BAHAN AJARFISIKA KUANTUM
(3 SKS)
Rombel : 01
Semester GaenapDisusun oleh :
Mosik
PRODI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
TAHUN 2011/2012BAB 1PENDAHULUAN
Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.
Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangat berhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya. Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampu memberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlah fenomena berskala-kecil seperti sifat radiasi dan interaksi radiasi-materi.Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulang lagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagai pengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.
Untuk memahami materi perkuliahan ini disarankan untuk membaca pustaka :
1. Alonso,Finn. 1972. Fundamental University Physics III, Quantum and Statistical Physics..USA: Addison Westly Publishing Company
2. Amnon Yariv. 1982. Theori and. Aplication of Quantum Mechanics USA: by John Wiley & Son.Inc.
3. Beiser, Arhtur. 1969. Perfective of Modern Physics. Tokyo: Mc Graw- Hill Kogakusha Ltd.
4. Stephen Gasionorowich. 1974. Quantum Physics. USA. by John Wiley & Son.Inc
1.1 Radiasi Benda-hitam
Benda-hitam: penyerap semua radiasi elektromagnet yang mengenainya, atau pengemisi semua radiasi elektromagnet yang dimiliknya. Berdasarkan termodinamika, distribusi panjang gelombang spektrumnya hanya bergantung pada temperatur tidak pada jenis bahan benda :
Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimum berbanding lurus dengan 1/T. maxT=konstan; disebut hukum pergeseran Wien
Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnet diemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.
Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalam benda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:
Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u()=kBT di mana kB=1,3806 x 10-23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c= ,
Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjang gelombang yang besar.
Max Planck (1900):
Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan dengan medan radiasi.
Suatu osilator dengan frekuensi hanya bisa memiliki energi:
h=6,624 x 10-34 Js disebut konstanta Planck, dan h disebut kuantum energi.
Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi adalah:
Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi adalah:
Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan
Persamaan dapat diungkapkan dalam sebagai berikut:
Misalkan x=hc/kBT, maka
Max Planck (1858-1947, warga Jerman). Karyanya dalam distribusi spectrum radiasi, yang membuka jalan ke teori kuantum, mendapat penganugrahan hadiah Nobel di tahun 1918. Dalam tahun-tahun terakhirnya, banyak menulis tentang agama dan filsafat
Untuk memperoleh E() maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,
Dalam pengamatan ternyata:
(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapat melepaskan elektron, dan
(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam, semakin banyak elektron yang dilepaskan. Albert Einstein (1879-1855, warga Jerman-Amirika Serikat) Seorang filsuf pecinta damai yang ramah. Guru intelektual bagi dua generasi fisika-wan teori yang meninggalkan sidik karyanya dalam hampir setiap bidang kajian fisika modern
Untuk menerangkan efek fotolistrik, Einstein di tahun 1905 merumuskan hipotesis teori kuantum cahaya yang sangat erat kaitannya dengan hipotesis Planck tentang terkuantisasinya tenaga osilator pada benda hitam sempurna. Hipotesis Einstein mengandaikan bahwa:
a). cahaya terdiri dari paket-paket tenaga (foton) yang bergerak dengan kelajuan cb).tenaga foton cahaya yang memiliki frekuensi ( adalah sebesar
c).dalam proses foto listrik, sebuah foton diserap seluruhnya oleh elektron pada permukaan logam.
. Pada efek fotolistrik suatu elektron meyerap sepenuhnya tenaga sebuah foton yang sebagian digunakan untuk lepas dari ikatannya, dan sebagaian lagi digunakan untuk tenaga gerak.
.
Nilai dari Ek bervariasi bergantung bagaimana proses elektron itu melepaskan diri dari pemukaan. Semakin kecil nilai W semakin besar nilai dari Ek. Untuk nilai maksimum dari Ek yang kemudian disebut tenaga gerak maksimum , W mencapai nilai terkecil, sebut saja W0, sehingga dapat dinyatakan sebagai
dalam ujikaji dari Millikan dapat ditentukan yaitu sama dengan eV0 sehingga
Persamaam tersebut memberikan hubungan ketrgantungan linier antara V0 dan ( s.W0 disebut fungsi kerja yang mencirikan jenis bahan logam yang dapat dinyatakan dengan . Fungsi kerja kadang kadang dinyatakan dalam demensi beda potensial sehingga
Jadi hipotesis Einstein tentang teori kuantum cahaya yang dikemukakan pada tahun 1905 dapat menerangkan fakta-fakta eksperimental yang berkaitan dengan efek fotolistrik.
Tabel 2.1
FUNGSI KERJA UNTUK BEBERAPA BAHAN LOGAM
Logam (dalam volt)Logam (dalam volt)
Ag4,73K2,24
Al4,08Mg3,68
An4,82Na2,28
Bi4,25Ni5,01
Ca2,71Sn4,38
CdAnWolfram4,5 (~)
HgBiZn3,7 (~)
*)Funsi kerja ini diukur dengan metoda fotoleistraik pada suhu ruang, dikutip dari Handbook of Physics and Chemistry volume 50, crc, usa
Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentang cahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagi karena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.
Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimana permukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi. Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagai kuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=h. Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatu partikel diungkapkan sebagai berikut:
Efek Compton (1924)
Arthur H. Compton (1892-1962, warga Amerika Serikat). Penelitiannya dengan hamburan sinar-X membuktikan kebe-naran teori foton Einstein. Penerima hadiah Nobel tahun 1927 ini juga merintis penelitian dengan sinar-X dan sinar kosmik. Selama perang dunia dua, mempimpin proyak penelitian bom atom AS
Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan oleh
elektron bebas.
Jika dan adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur
dan me adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:
h/mec=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.
> jadi energi foton terhambur (E) lebih kecil daripada energi foton datang (E).
1.3 Dualisme Gelombang-Partikel
Louis de Broglie :
Louis de Broglie (1892-1987, warga Perancis). Salah seorang keluarga ningrat, yang karyanya mem-berikan sumbangan sangat penting pada pengembangan awal teori kuantumMengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat mendua, tetapi jugapartikel.
Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikel yang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang,mempunyai panjang gelombang:Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyai momentum linier px= k dengan k=2/. Fungsi gelombang partikel itu adalah .
Kecepatan fasa:
Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.
Yang penting adalah kecepatan grup, yakni
1.4. Spektroskopi Atom Hidrogen
Johann Balmer (1885): Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garis spektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:
Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum,
Dengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3, 4, dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, Bagaimana sebenarnya struktur atom?
Ernest Rutherford (1911):
Berdasarkan percobaan hamburan partikel-, menyarankan struktur atom terdiri dari inti bermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya. Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuan Rutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.BAB 2
DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM2.1 Operator
Operator merupakan alat bantu matematik yang akan mempunyai arti hanya jika operator tersebut dioperasikan terhadap suatu fungsi.
Contoh :
Komutator:
Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornya seperti
Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan d/dx ! Gunakan fungsi (x)
sebagai alat bantu:
Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyai fungsi eigen yang sama.
2.2 Operator Fisis, Fungsi eigen dan nilai eigen
Operator posisi
Operator posisi
Operator momentum:
Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyai momentum linier px= k dengan k=2/. Fungsi gelombang partikel itu adalah .
Bagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen px= k ?
Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:
Operator energi total
Setiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnya operator bagi energi total adalah seperti diperlihat dalam persamaan:
Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut:
1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya;
2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai eigen adalah ril.
Persamaan harga eigen:
2.3 Persamaan Gelombang
Tinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengan kedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktu adalah (x,t). Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:
Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas, pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, (0)=0 maka D=0,
BAB 3
PERSAMAAN SCHRODINGER
3.1 Persamaan Schrdinger Bebas WaktuTinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p di dalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah jumlah energi kinetik dan potensial:
Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu
Misalkan (x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:
Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensi
tetap. Untuk itu (x,t) memenuhi
Akhirnya diperoleh persamaan:
Untuk tiga dimensi persamaan Schrdinger ini adalah:
Bagian waktu exp(-it) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh, dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrdinger yang tak bergantung waktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi. V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkan fungsi gelombang (x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusi yang harus dicari dari persamaan tersebut.
Persamaan Schrdinger di atas dapat dituliskan sebagai berikut
Dalam bahasa matematik, E adalah harga eigen dari operator H dengan fungsi
eigen (x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen.
3.2. Persamaan Schrodinger bergantung Waktu.Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensi
tetap. Untuk itu (x,t) memenuhi
Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang (x,t) dalah:
Ini disebut persamaan Schrdinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel . dimana
Persamaan Kontinuitas
Persamaan kontinuitas digunakan untuk mengetahui apakah dalam aliran partikel flux arus bersifat konstan atau tidak. Jika terjadi terjadi perubahan flux arus di tempat yang berbeda dalam suatu aliran partikel berarti terjadi kebocoran dalam aliran tersebut. Persamaan kontinuitas diturunkan dari persamaan Schrodinger yang bergantung waktu. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
, dengan konyugate komplexnya :
. Jika masing masing persamaan dikalikan
dan .
Jika keduanya dijumlahkan didapat :
Dimana
Flux didefinisikan sebagai :
Jadi
Persamaan tersebut merupakan hukum konsevatif, jika persamaan tersebut diterapkan untuk mengetahui perubahan probabilitas disuatu tempat x=a sampai x=b terhadap waktu maka,
Jadi besarnya perubahan Probabilitasterhadap waktu antara a s/d b sama dengan perbedaan flux di temat a dan b untuk waktu yang sama.
3.3 Sifat-sifat suatu Fungsi Gelombang
Untuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktudisebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.
adalah rapat peluang partikel berada di x
Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:
Fungsi (x) yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi,
sedangkan yang disebut rapat peluang adalah
.
Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni:
tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, (x)
memiliki hanya satu harga saja.
fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan
fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ;
Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah
Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket seperti
dan konjugasinya dalam bra seperti Integral overlap dituliskan seperti:
Ortogonalisasi Schmidt
Andaikan 1 dan 2 adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadap
lainnya. Misalkan 1=1, lalu pilih 2=2+1. Besarnya dihitung atas dasar 1 dan 2 yang ortogonal satu sama lain.
Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya memenuhi persamaan
Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator hermitian.
3.4 Persamaan Gerak Heisenberg
Secara umum jika adalah harga rata-rata operator A besaran fisis dengan fungsi
gelombang (x,t) maka:
Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah
BAB 4SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK
SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANA
Persamaan Schrdinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatu partikel
dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.
Bentuk persamaan di atas dapat diubah menjadi :
=
Maka
Solusi umum dari persamaan tersebut adalah
4.1. Potensial undakan
Kerapatan peluang elektron di x>0 dapat dihitung dengan menggunakan 2(x):
Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya, elektron masih mempunyai peluang berada di x>0. Peluang itu menuju nol jika Vo>>E, atau di x=.
adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapat diramalkan.4.2 Potensial Tangga Persegi
Dalam daerah 0
