ftigung mit den Eigenschaften und Sachverhalten des umgebenden physikalischen Raumes, wie der Gestalt von räumlichen erschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Die bekannteste Einteilung ist die Unterscheidung zwischen der mente« von Euklid (rd. 300 v. Chr.) dargestellte »klassische Geometrie«. Aus Axiomen und Postulaten (»Forderungen«) wurden on, v. a. bezüglich der Anordnung und Stetigkeit, wurden besonders durch M. Pasch, G. Peano und D. Hilbert geschlossen. noch die Grundbegriffe (z. B. Punkt: »etwas, das keine Teile besitzt«) erklärt. Heute verzichtet man meist auf eine derartige werden als Grundbegriffe Punkte und Geraden und als Grundbeziehungen Inzidenz, Zwischenbeziehung und die Kongruenz tetigkeitsaxiome sowie das Parallelenaxiom. Letzteres war für die Entwicklung der Geometrie seit Euklid von besonderer geht und g nicht schneidet. Lange Zeit versuchte man, dieses Axiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten; als beweisbarer n übrigen Axiomen unabhängig ist (N. Lobatschewski, J. B. Bolyai, C. F. Gauß). Das bedeutet, dass man neben der euklidischen rallelenaxioms Gültigkeit hat. Als absolute Geometrie bezeichnet man eine Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch er synthetischen Geometrie, bei der als Grundlage Axiomensysteme verwendet werden, und der analytischen Geometrie, bei trie kann man die Differenzialgeometrie und die Integralgeometrie ansehen, die durch Hinzunahme der Differenzial- und der geometrische Gebilde betrachtet werden, die durch Gleichungen beliebig hohen Grades beschrieben werden. Weiterhin ometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie). Zu diesen Gebieten gehören Beschreibung und Konstruktion geometrischer ischen Figuren geschieht in der Trigonometrie und in der sphärischen Trigonometrie. Ein Bindeglied zwischen der Planimetrie ichnet werden. In der Abbildungsgeometrie untersucht man Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, wobei man bildung sind. Größen, die Invarianten bei Kongruenzabbildungen (Bewegung) sind, untersucht man in der Kongruenzgeometrie. ntsprechend beschäftigt sich die Affingeometrie mit Invarianten bei affinen Abbildungen (Affinität). Die projektive Geometrie allen genannten Abbildungen gehen Geraden wieder in Geraden über, diese Abbildungen sind also geradentreu. Dies ist bei Eine topologische Invariante ist z. B. die Eigenschaft einer Kurve, geschlossen zu sein. Jede der genannten Abbildungsarten nbegriffs eine Systematik der Geometrie (F. Klein, 1872) entwerfen. Geschichte: Darstellungen geometrischer Figuren und ometrischen Beziehungen, wie sie bei Dreieck, Rechteck, Quadrat, den regelmäßigen Vielecken, der Spirale und dem Kreis ngsaufgaben könnte der Anlass zu näheren Betrachtungen derartiger Figuren gewesen sein. Bereits in der babylonischen und argeometrischer Figuren bekannt, die teils exakte, teils Näherungswerte lieferten. Sowohl den Babyloniern als auch den alten aber nur an Zahlenbeispielen verifiziert. Eine abstrakt beweisende, wissenschaftliche Geometrie bauten erst die Griechen auf. Bedeutung des Parallelenaxioms gab schon in der Antike Anlass zu Beweisversuchen. Sie wurden von den Arabern wieder ndert die nichteuklidische Geometrie. – Über den Bereich der euklidischen, nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Geometrie Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises, deren Lösung die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. In der von Apollonios von Perge systematisch behandelten Kegelschnitte). Im Verlauf der Entwicklung der analytischen Geometrie endgültig beantwortet werden. Auch die Antwort auf die Frage, welche regelmäßigen ebenen Vielecke sich exakt mit Zirkel en). Konstruktionen, die sich allein mit dem Zirkel ausführen lassen, hatte bereits 1672 G. Mohr untersucht. Im 17. Jahrhundert allerdings erst im 19. Jahrhundert intensiv weiterbearbeitet wurde. Aus den im 17. Jahrhundert entstandenen Methoden der ellte den gruppentheoretischen Gesichtspunkt in den Vordergrund (Erlanger Programm, 1872), kennzeichnete die einzelnen hin lose nebeneinander stehenden Geometrien in einen geordneten Zusammenhang bringen. Das Problem der Axiomatisierung agen der Geometrie« (1899,) übten einen maßgebenden, bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Weiterentwicklung der n algebraische Grundlage abstrakte, nicht kommutative oder nicht assoziative Körper sind. Dabei finden die algebraischen Christina Schmid, WS 09 / 10, Bachelorthesis, Schriftlicher Teil
Im Zeitraum von Oktober 2009 bis Februar 2010 habe ich mich mit der Frage auseinandergesetzt, wie man Kindern die Welt der Geometrie anschaulich begreifbar machen kann. Der vorliegende schriftliche Teil meiner Arbeit dokumentiert alle für das Verständnis der Arbeit notwendigen Aspekte, von der Recherche bis zur Umsetzung.
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Transcript
Geometrie: [griechisch, eigentlich »Feldmesskunst«] die, -/...’tri|en, Teilgebiet der Mathematik, das entstand aus der Beschäftigung mit den Eigenschaften und Sachverhalten des umgebenden physikalischen Raumes, wie der Gestalt von räumlichen
und ebenen Gebilden und Berechnungen von Längen, Flächen und Inhalten von Figuren. Die Geometrie wird nach den unterschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Die bekannteste Einteilung ist die Unterscheidung zwischen der
euklidischen Geometrie und der nichteuklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie ist die zuerst in dem Buch »Die Elemente« von Euklid (rd. 300 v. Chr.) dargestellte »klassische Geometrie«. Aus Axiomen und Postulaten (»Forderungen«) wurden
die Lehrsätze der Geometrie hergeleitet. Inhaltlich war diese Theorie schon recht vollständig; Lücken in der Argumentation, v. a. bezüglich der Anordnung und Stetigkeit, wurden besonders durch M. Pasch, G. Peano und D. Hilbert geschlossen.
Begrifflich unterscheidet sich Euklids Darstellung von heutigen axiomatischen Theorien wesentlich dadurch, dass er auch noch die Grundbegriffe (z. B. Punkt: »etwas, das keine Teile besitzt«) erklärt. Heute verzichtet man meist auf eine derartige
inhaltliche Interpretation. In der Darstellung der ebenen euklidischen Geometrie durch D. Hilbert (1899, etwas abgewandelt) werden als Grundbegriffe Punkte und Geraden und als Grundbeziehungen Inzidenz, Zwischenbeziehung und die Kongruenz
für Strecken verwendet. Die Axiome sind in fünf Gruppen zusammengefasst: Inzidenz-, Anordnungs-, Kongruenz- und Stetigkeitsaxiome sowie das Parallelenaxiom. Letzteres war für die Entwicklung der Geometrie seit Euklid von besonderer
Bedeutung. Es besagt: Ist g eine Gerade und P ein Punkt, der nicht auf g liegt, so gibt es genau eine Gerade h, die durch P geht und g nicht schneidet. Lange Zeit versuchte man, dieses Axiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten; als beweisbarer
Satz wäre es dann im Axiomensystem überflüssig gewesen. Erst im 19. Jahrhundert entdeckte man, dass dieses Axiom von den übrigen Axiomen unabhängig ist (N. Lobatschewski, J. B. Bolyai, C. F. Gauß). Das bedeutet, dass man neben der euklidischen
Geometrie, in der das Parallelenaxiom gilt, auch eine nichteuklidische Geometrie betrachten kann, in der die Negation des Parallelenaxioms Gültigkeit hat. Als absolute Geometrie bezeichnet man eine Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch
seine Negation gefordert sind.Nach dem Zugang zur Geometrie als mathematische Theorie unterscheidet man zwischen der synthetischen Geometrie, bei der als Grundlage Axiomensysteme verwendet werden, und der analytischen Geometrie, bei
der die geometrischen Objekte durch Koordinaten bestimmt werden. Als eine Art Fortsetzung der analytischen Geometrie kann man die Differenzialgeometrie und die Integralgeometrie ansehen, die durch Hinzunahme der Differenzial- und
Integralrechnung zur analytischen Behandlung der Geometrie entstanden. Ähnliches gilt für die algebraische Geometrie, in der geometrische Gebilde betrachtet werden, die durch Gleichungen beliebig hohen Grades beschrieben werden. Weiterhin
gliedert man die Geometrie in folgende Gebiete: In der Elementargeometrie differenziert man zwischen Planimetrie (ebene Geometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie). Zu diesen Gebieten gehören Beschreibung und Konstruktion geometrischer
Figuren und Messung von Längen, Winkeln, Flächen und Rauminhalten. Die Berechnung von Längen und Winkeln in geometrischen Figuren geschieht in der Trigonometrie und in der sphärischen Trigonometrie. Ein Bindeglied zwischen der Planimetrie
und der Stereometrie ist die darstellende Geometrie, in der räumliche Gebilde (Körper) in der Ebene (Zeichenebene) gezeichnet werden. In der Abbildungsgeometrie untersucht man Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, wobei man
darauf achtet, welche Größen (Längen, Winkel, Streckenverhältnisse, Flächeninhalte u. a.) fest bleiben, also Invarianten der Abbildung sind. Größen, die Invarianten bei Kongruenzabbildungen (Bewegung) sind, untersucht man in der Kongruenzgeometrie.
In der Ähnlichkeitsgeometrie spielen solche Größen eine Rolle, die bei Ähnlichkeitsabbildungen (Ähnlichkeit) fest bleiben. Entsprechend beschäftigt sich die Affingeometrie mit Invarianten bei affinen Abbildungen (Affinität). Die projektive Geometrie
schließlich betrachtet diejenigen Eigenschaften geometrischer Figuren, die bei projektiven Abbildungen invariant sind. – Bei allen genannten Abbildungen gehen Geraden wieder in Geraden über, diese Abbildungen sind also geradentreu. Dies ist bei
den topologischen Abbildungen (Homöomorphismus) nicht mehr der Fall; hier können z. B. Geraden in Parabeln übergehen. Eine topologische Invariante ist z. B. die Eigenschaft einer Kurve, geschlossen zu sein. Jede der genannten Abbildungsarten
bildet aber eine Gruppe bezüglich der Verkettung. Daher kann man auch mithilfe der Gruppentheorie und des Invariantenbegriffs eine Systematik der Geometrie (F. Klein, 1872) entwerfen. Geschichte: Darstellungen geometrischer Figuren und
geometrisierender Ornamente finden sich schon in sehr frühen Kulturen. Sie zeugen von einem Interesse an einfachen geometrischen Beziehungen, wie sie bei Dreieck, Rechteck, Quadrat, den regelmäßigen Vielecken, der Spirale und dem Kreis
vorliegen, und zum Teil von elementargeometrischen Kenntnissen. Auch das Bedürfnis nach einfachen Regeln für Vermessungsaufgaben könnte der Anlass zu näheren Betrachtungen derartiger Figuren gewesen sein. Bereits in der babylonischen und
in der ägyptischen Mathematik waren einfache Regeln für die Berechnung von Längen, Flächen- und Rauminhalten elementargeometrischer Figuren bekannt, die teils exakte, teils Näherungswerte lieferten. Sowohl den Babyloniern als auch den alten
Chinesen war bereits die später als pythagoreischer Lehrsatz formulierte geometrische Gesetzmäßigkeit geläufig; sie wurde aber nur an Zahlenbeispielen verifiziert. Eine abstrakt beweisende, wissenschaftliche Geometrie bauten erst die Griechen auf.
Die älteste erhaltene Darstellung eines axiomatischen Aufbaus der Geometrie ist in Euklids »Die Elemente« enthalten. Die Bedeutung des Parallelenaxioms gab schon in der Antike Anlass zu Beweisversuchen. Sie wurden von den Arabern wieder
aufgenommen und später in Europa weitergeführt; schließlich entwickelte sich aus diesen Bemühungen im 18. und 19. Jahrhundert die nichteuklidische Geometrie. – Über den Bereich der euklidischen, nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Geometrie
hinaus führten die drei klassischen, in der Antike aufgeworfenen Probleme der Würfelverdopplung (delisches Problem), der Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises, deren Lösung die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. In der
Antike gaben sie Anlass zum Ersinnen von Näherungskonstruktionen und zur Beschäftigung mit höheren Kurven (u. a. die von Apollonios von Perge systematisch behandelten Kegelschnitte). Im Verlauf der Entwicklung der analytischen Geometrie
konnten diese Probleme zum Teil auf algebraische Fragen zurückgeführt und im 19. Jahrhundert mithilfe der Galois-Theorie endgültig beantwortet werden. Auch die Antwort auf die Frage, welche regelmäßigen ebenen Vielecke sich exakt mit Zirkel
und Lineal konstruieren lassen, wurde im 18. Jahrhundert von C. F. Gauß auf algebraischem Wege gegeben (fermatsche Zahlen). Konstruktionen, die sich allein mit dem Zirkel ausführen lassen, hatte bereits 1672 G. Mohr untersucht. Im 17. Jahrhundert
entwickelten sich aus der Lehre von der Perspektive die Anfänge der projektiven Geometrie (G. Desargues, B. Pascal), die allerdings erst im 19. Jahrhundert intensiv weiterbearbeitet wurde. Aus den im 17. Jahrhundert entstandenen Methoden der
Infinitesimalrechnung ging durch Anwendung auf Kurven und Flächen im Raum die Differenzialgeometrie hervor. F. Klein stellte den gruppentheoretischen Gesichtspunkt in den Vordergrund (Erlanger Programm, 1872), kennzeichnete die einzelnen
Geometrien durch die Invarianten der ihnen zugeordneten Transformationsgruppen und konnte somit die verschiedenen, bis dahin lose nebeneinander stehenden Geometrien in einen geordneten Zusammenhang bringen. Das Problem der Axiomatisierung
der Geometrie griffen am Ende des 19. Jahrhunderts M. Pasch, D. Hilbert, G. Peano u. a. auf. Besonders Hilberts »Grundlagen der Geometrie« (1899,) übten einen maßgebenden, bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Weiterentwicklung der
geometrischen Forschung aus. In den letzten Jahrzehnten wurden die Untersuchungen ausgedehnt auf Geometrien, deren algebraische Grundlage abstrakte, nicht kommutative oder nicht assoziative Körper sind. Dabei finden die algebraischen
Eigenschaften ihre Entsprechung in den geometrischen Sätzen.
Christina Schmid, WS 09 / 10, Bachelorthesis, Schriftlicher Teil
Bachelorthesis, Schriftlicher Teil
Studiengang Kommunikationsdesign
HTWG Konstanz
eingereicht bei Prof. Karin Kaiser und Prof. Andreas P. Bechtold
vorgelegt von Christina Schmid
Konstanz, Februar 2010
Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie
stellungen fördern die Entwicklung besonderer Denkweisen, wie
das Aufsuchen von Regeln und Beziehungen, das Zerlegen in
leichter lösbare Teilprobleme oder das Wechselspiel zwischen
kreativem Probieren und systematischem Problemlösen. Die
Geometrie schult Kinder darin, in ihrer Umwelt Strukturen
wahrzunehmen und zu begreifen.
Worum geht’s?
Die Zusammenfassung
7Der Geometrie muss mehr Platz eingeräumt werden. Es müssen
neue Wege gefunden werden, Kindern geometrische Begriffe
und Zusammenhänge zu vermitteln. Spiele und Rätsel zur
Geometrie bereiten Kindern Spaß und können daher auch in der
Freizeit Platz finden.
Deshalb behandelt das Lernbuch »Vom Punkt zur Kugel und
zurück« die Elementargeometrie unter gestalterisch spannenden
Gesichtspunkten. Kinder bekommen einen Überblick über die
klaren Strukturen der Geometrie. Der kleine Punkt, die schnelle
Gerade, streitende Flächen und ungeduldige Körper erwecken
die Geometrie zum Leben. Auf einer Entdeckungsreise durch die
Dimensionen werden die jungen Leser auf eine neue, freundliche
Art animiert, die Welt der Geometrie aktiv wahrzunehmen und
selbst mitzugestalten. Sowohl das Begreifen von Begriffen, als
auch der künstlerisch-ästhetische Aspekt der Geometrie spielen
eine tragende Rolle.
In anschaulicher Weise erklärt das Buch alle relevanten Begriffe
und Zusammenhänge und bietet darüber hinaus Material für
kreative Spiele mit Geometrie. Kinder werden so durch und
durch für Geometrie motiviert, inspiriert und begeistert.
8 Dieses Projekt richtet sich an Kinder im Grundschulalter.
Verglichen mit den Leistungsniveaus der Bildungsstandards
entsprechen die Geometrie-Themen den Bildungsplänen der
dritten und vierten Klasse. Die Kinder im Alter von acht bis
zehn Jahren können bereits fließend längere Texte lesen und
selbstständig Aufgaben lösen. Die motorischen Fähigkeiten
der Kinder sind soweit ausgebildet, dass sie ohne Hilfe von
Erwachsenen diverse handwerkliche Basteleien bewältigen.
Kindern mit Matheablehnung soll ein neuer Zugang zur
Mathematik über die Geometrie gezeigt werden. Für Kindern
mit großem Interesse an Mathematik wird neues Material für die
Freizeit geboten.
Aber nicht allein Kinder sind Zielgruppe dieses Projekts, sondern
auch die Eltern und Lehrer.
Für wen?
Die Zielgruppe
vgl. Bildungsstandards
9
10
Recherche
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14
Antworten?
Überlegungen zur Recherche
Als Einstieg in die Thematik habe ich einen Stapel Mathebücher
und Arbeitshefte verschiedener Verlage analysiert.
Einen Einblick in die aktuellen Verlagsprogramme der ver-
schiedenen Schulbuchverlage bot die Frankfurter Buchmesse.
Dort kam über den Mildenberger Verlag der Kontakt zum
Mathebuch-Autor Thomas Laubis zustande. Ein Interview mit
ihm beantwortete viele Fragen, bestätigte Vermutungen und
warf neue Fragen auf.
Wie Matheunterricht heute aussieht, konnte ich mir während
einer Schulstunde in der 3d der Grundschule Sonnenhalde
anschauen.
Was Kindern gefällt, erzählten mir Julia, Lea und Marie in einem
Gespräch über ihr Mathebuch, Farben, Illustrationen, Schriften,
Schriftgrößen und lustige Texte.
Wissenswertes über die Didaktik der Geometrie ließ sich aus
Fachliteratur für Lehrer entnehmen.
Zwei Verlage stellten mit ihre umfangreichen Zusammen-
stellungen an Unterrichtsmaterial für den Geometrieunterricht
zur Ansicht zur Verfügung.
Wie sieht’s aus?Mathebücher und Arbeitshefte
Wie entsteht ein Mathebuch? Ein Interview
8:40 Uhr, Mathe, Klasse 3dFeldforschung)
Was gefällt euch?Ein Gespräch mit 3 Mädchen
Raum und EbeneDidaktik der Geometrie
Was gibt’s?Unterrichtsmaterial
15Geometriebücher für die Freizeit von Kindern im Grundschulalter
gibt es nicht. Das englischsprachige Buch »Shape« richtet sich
an Vorschulkinder, Kindern ab 10 ist das Buch »Zahlen, Spiralen
und Quadrate« zu empfehlen.
Die Zusammenfassung der Rechercheergebnisse findet sich am
Ende des Kapitels.
Was gibt’s sonst? Geometrie in der Freizeit
Genug recherchiertDie Zusammenfassung
16 »Die Gestaltung von Lernmaterial […] blieb bis heute ein
Stiefkind der Didaktik. Die Entwicklung und Gestaltung von
Lernumgebungen ist zu einem Teil Umsetzung wissenschaftlicher
Erkenntnisse, bleibt aber zu einem wichtigen Teil intuitive und
kreative Arbeit.«
Schulbücher müssen vielen Anforderungen gerecht werden. Sie
sollen günstig in der Produktion, robust für mehrere Schüler-
generationen und leicht im Schulranzen sein. Alle Themen
müssen, wie in den Bildungsplänen vorgeschrieben, anschaulich,
vielfältig und leistungsdifferenziert behandelt werden. Texte
und Aufgaben müssen leicht verständlich und alle Schriften gut
lesbar sein. Illustrationen sollen Mädchen gleichermaßen wie
Jungen ansprechen.
All dies führt bei Mathebüchern zum großen Standardformat A4
mit vollen Seiten, großer Erstleseschrift, bunten Illustrationen
und vielerlei Übungsaufgaben. Allen Mathebüchern gemeinsam
sind liebevoll illustrierte Lernbegleiter, wie Bären, Raben,
Mathetiger, oder auch Drachen, Einstern und Super M. Zusätzlich
sitzen illustrierte Kinder mit immer neuen Namen zwischen
den Rechenaufgaben. In manchen Mathebüchern werden auch
Fotografien verwendet, um den Bezug zwischen Mathematik
und Alltag zu unterstreichen. Symbole für die verschiedenen
Wie sieht’s aus?
Mathebücher und Arbeitshefte
Baellstaedt: Wissensvermittlung. Die Gestaltung von Lernmaterial (12)
Zusammenfassung der Analyse von:
- Einstern 2- multi Mathematik 2 bis 4- multi Mathematik 3 und 4, Arbeitsheft- Mathetiger 3- Nussknacker 4- Super M 4- Welt der Zahl 3- Welt der Zahl 3, Arbeitsheft
17
Aufgabenarten sind häufig nicht intuitiv deutbar und gehen
zwischen den vielen Seitenelementen unter.
Die inhaltliche Struktur der verschiedenen Mathebücher ist für
Laien auf den ersten Blick nicht ersichtlich. Dazu als Beispiel der
Kapitelaufbau des Mathebuchs Welt der Zahl, Klasse 3:
• Wiederholung und Vertiefung
• Aufbau des Tausenders
• Flächen
• Rechnen mit großen Zahlen
• Längen
• Schriftliches Addieren
• Gewicht
• Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren
• Zeit
• Körper
• Schriftliches Subtrahieren
• Räumliche Orientierung
• Mehr von Sachen und Zahlen
• Schriftliches Subtrahieren
• Wiederholung
Ergänzend zu den Mathebüchern gibt es Arbeitshefte zum
Reinschreiben. Hier geht es nicht um ausführliche Erklärungen
und vielseitige Herleitungen zu einem neuen Thema, sondern
um das Üben und Wiederholen. Verglichen mit den Büchern
wirken die Seiten der Übungshefte ruhiger. Zum Lösen der
Aufgaben wird den Kindern viel Platz geboten. Zum Großteil
sind die Arbeitshefte in schwarz-weiß gehalten.
vgl. S. 24Spiralcurriculum
vgl.Welt der Zahl 3
vgl.multi Mathematik 3 und 4, Arbeitsheft
Welt der Zahl 3, Arbeitsheft
18 Allgemein lässt sich eine Tendenz feststellen, weg vom Mathebuch
hin zum Lernen mit Themenheften. Anders als andere Lehrwerke
ist beispielsweise Einstern, das Mathematikwerk für offenes
Arbeiten von Cornelsen, als ein Paket von sechs Heften pro
Jahrgangsstufe aufgebaut. Sechs Themenhefte in der ersten
Klasse, in die die Kinder hineinschreiben können, sowie fünf
Themenhefte plus ein jährlich zu ergänzendes Schülerarbeitsheft
in der zweiten Klasse. So wird eine offene Unterrichtsformen
unterstützt und auf den individuellen Lernprozess der Kinder
eingegange – sie können innerhalb gegebener Auswahlmöglich-
keiten selbst aussuchen, welche Aufgaben sie bearbeiten
möchten und was sie sich schon zutrauen. Einstern ist so
gestaltet und strukturiert, dass Kinder alleine damit arbeiten
können.
vgl. Einstern 2vgl. www.cornelsen.de/einstern
19
20 Der Analyse von Mathebüchern und Arbeitsheften warf die
Frage auf, wie der Prozess von der Idee zum Mathebuch abläuft.
Einblick in den Entstehungsprozess eines Mathebuchs bekam ich
durch ein Interview mit dem Autor Thomas Laubis. Der Kontakt
kam auf der Frankfurter Buchmesse über den Mildenberger
Verlag zustande. Das Interview mit Thomas Laubis fand am
4. November 2009 in Erzingen statt. Der folgende Text fasst das
Interview im Wesentlichen zusammen.
Thomas Laubis ist Rektor an der Grundschule Weizen (Süd-
schwarzwald), Mitherausgeber des Mathematiklehrgangs
Mathetiger, erschienen bei Mildenberger, und Betreuer des
Internet-Forums MATHE IM NETZ.
Zum Mathebuchschreiben kam Thomas Laubis vor 20 Jahren.
Sein ehemaliger Grundschullehrer Peter Pfaff verfasste damals
zusammen mit Karl-Heinz Keller das Mathebuch Mathematik für
den Mildenberger Verlag.
»Herr Pfaff hatte meinen Werdegang verfolgt, wusste, dass ich
Mathematik studiert habe und dass ich Lehrer geworden bin.
Nachdem ich eine Stelle bekommen hatte, hat er mich angerufen
und gefragt:
Wie entsteht ein Mathebuch?
Ein Interview
Der Fragenkatalog zum Interview, sowie die Tonaufnahme des Interviewssind auf der CD im Anhang zu finden.
21
DidactaBildungsmesse in Hannover
Bildungsstandards im Anhang
›Hast du nicht Lust bei uns mitzumachen?‹
›Das kann ich ja gar nicht.‹
›Das weißt du doch gar nicht.‹ «
Neben seiner Tätigkeit als Lehrer arbeitete Thomas Laubis
zunächst als freier Mitarbeiter an der Überarbeitung der
bisherigen Mathebücher mit. Später kam der Verlag auf ihn und
zwei weitere Lehrer zu, um ein neues Mathebuch in Auftrag zu
geben. Die vier Bücher erforderten drei Jahre Entwicklungszeit.
Besonders wichtig war von Anfang an die Identifikationsfigur:
der Mathetiger soll die Grundschulkinder durch alle vier Jahre
begleiten. Mit Hilfe einer Handpuppe sollen die Kinder ihre
Scheu verlieren und zum Sprechen gebracht werden.
»Was für Englisch und Deutsch nicht verkehrt ist, kann für Mathe
auch nicht falsch sein.«
Die Handpuppe hat sich in den letzten sieben Jahren bewährt.
Mit einem zwei-Meter großen Mathetiger, der auf der alljährlichen
Didacta zum Einsatz kommt, wurde kürzlich sogar an mehreren
Schulen ein Film gedreht.
Der Mathematiklehrgang Mathetiger sollte bundesweit heraus-
gegeben werden und nicht in Regionalausgaben wie sein
Vorgänger. 16 verschiedene Bildungspläne mussten also gewälzt
werden. Nur so konnte das Buch von den einzelnen Kultusministerien
genehmigt werden. Die Unterschiede der Bildungspläne sind
in den letzten 20 Jahren immer kleiner geworden, denn die
Kultusministerkonferenz trifft eine gemeinsame Vereinbarung
aller Länder, was ein Kind bis zum Ende des zweiten und des
vierten Schuljahres erreicht haben soll: Die Bildungsstandards.
22
Die Themen des Mathematiklehrgangs werden zunächst auf die
Schuljahre verteilt.
»Die Strukturierung durch Farben hat sich ganz am Anfang
entwickelt. Wir haben die Farben festgelegt: Blau, gelb, grün, rot
für Klasse eins bis vier. Die passenden Cover wurden von unserem
Fotodesigner erstellt. Die Vorgabe war natürlich der Mathetiger
und man soll sehen, dass er ein bisschen erwachsener wird.«
Für die Anordnung der Themen innerhalb der einzelnen Bücher
haben die Autoren ein Konzept erstellt: Mathetiger soll ein
durchgängiger Lehrgang sein, der von vorne nach hinten
durchgearbeitet werden kann, aber auch ein Spiralcurriculum
berücksichtigt:
»Spiralcurriculum heißt, es schraubt sich hoch. Beispielsweise
Geometrie machen wir nicht als Block, sondern verteilen es
portionsweise im Buch. Nach ein paar anderen Themen greifen
wir nun weiter hinten im Buch das Thema Geometrie wieder
auf. So geht es spiralförmig durch das ganze Buch und so
schrauben wir uns immer weiter nach oben. Wir glauben, dass
das der methodische Weg ist, wie wir die Kinder auf einen
entsprechenden Level bringen.«
Mit der Entwicklung der Aufgaben geht der kreative Teil
los. Als Lehrer hatten die Autoren bereits vieles erprobt und
aufgeschrieben, wie man Kindern ein neues Thema spielerisch
und anschaulich näher bringen kann.
»Für uns ist ein ganz großes Thema das Mathematisieren der
Umwelt. Wir wollen die Mathematik in der Umwelt entdecken
oder wollen die Mathematik aus der Umwelt herausziehen. […]
Spiralcurriculum
23
Es muss natürlich die mathematische Struktur folgen. Da haben
wir keinen Spielraum. Das finden Sie in allen Mathebüchern.
Aber wie man zu einem Thema kommt, das unterscheidet sich.«
Sobald die Aufgaben festgelegt wurden, erstellen die Autoren
ein Manuskript. Darauf befinden sich die Anordnung der
Aufgaben, sowie Skizzen oder Beschreibungen der Motive für
die Zeichnerin.
»Das geben wir dann in den Satz. Die Layouterin setzt das erst
mal. Sie sagt Bescheid, falls man aus Platzgründen mehr oder
weniger Aufgaben unterbringen kann und legt fest, wie groß
das Kopfbild werden könnte. Wir bekommen das dann als PDF
zurück – mit Löchern, wo noch Platz ist. Dann überlegen wir uns,
was wir machen. So geht jede Seite hin und her.
Wenn wir dann sagen, okay, so könnte es sein, dann erst geht
es zu unserer Zeichnerin Judith Heusch. Die Illustratorin hat
gestalterische Freiheit und bringt oft eigene Ideen mit ein.
Im Satzbüro laufen dann die Fäden zusammen. Zum Schluss
werden alle Seiten darauf geprüft, dass sie schön, ansprechend
und nicht überladen sind.«
Zurzeit wird die Erstausgabe von Mathetiger überarbeitet. Die
Bücher für die erste und zweite Klasse wurden durch jeweils vier
Jahreszeitenhefte ersetzt. Auch Klasse drei und vier sollen bald
von den Vorteilen dieser Hefte profitieren: Sie sind leichter und
brauchen weniger Platz im Schulranzen, außerdem lässt sich die
Struktur der Themen leichter erkennen.
24
Für jedes Schuljahr gibt es zusätzlich Anregungen für spielerische
Aufgaben im Klassenzimmer:
»Das ist schwieriger, weil man es über das Lehrerhandbuch
transportieren muss. Leider haben wir einen großen Prozentsatz
Lehrer, die das einfach nicht lesen. Deren Unterrichtsvorbereitung
sieht so aus, dass sie nur ins Mathebuch schauen. Das ist
überhaupt nicht unser Ansatz von Mathematikunterricht. Unser
Ansatz sieht vor, dass es zunächst einen ganz großen handelnden
Teil geben muss, einen Teil in der Auseinandersetzung mit dem
Kind. Erst ganz zum Schluss kommt das Buch. Das ist ein relativ
aufwendiger Mathematikunterricht aber unseres Erachtens ein
erfolgreicher Weg.«
Vor dem Interview mit Thomas Laubis blätterte ich durch
mehrere Mathebücher verschiedener Verlage. Die Unterschiede
liegen auf den ersten Blick vor allem im Stil der Illustrationen.
»Die Unterschiede der Schulbücher erlebt man erst wenn man
damit arbeitet. Beim einen hüpft ein Tiger, bei anderen ein Bär
– beurteilen kann ein Lehrer das Buch erst, nachdem er ein
Jahr damit gearbeitet hat. […] Innovative Neuerungen, etwas
ganz anderes – das gibt es nicht, weil es nicht funktioniert.
Es funktioniert nicht für eine ganze Klasse. Da sitzt eine
heterogene Masse vor mir. Ich muss einem ganz schwachen
Kind gerecht werden und ich muss natürlich auch ein sehr gutes,
leistungsstarkes Kind fördern. Das ist meine Aufgabe als Lehrer
und auch unsere Aufgabe als Schulbuchautoren.«
25
Das Interview lenkt Thomas Laubis von sich aus immer wieder auf
die Geometrie. Er eröffnet mir, dass die leider oft vernachlässigt
würde:
»Häufig bekommen wir Rückmeldungen von Lehrern, dass
Geometrie zwar schön sei, aber aus Zeitgründen übersprungen
werden müsse. Mit der Begründung Kinder müssten ja rechnen
lernen. Das finden wir sehr sehr schade. Unsere Beobachtung
ist immer gewesen, dass leistungsschwache Kinder aus dem
arithmetischen Bereich gerade bei Geometrie riesige Erfolge
haben und endlich mal Licht am Ende des Tunnels sehen. […] Diese
Kinder haben Erfolge bei geometrischen Themen, weil es etwas
ganz abgekoppeltes ist. Das hat endlich mal nichts mit einer
Zahl zu tun und ich kann falten, basteln und zeichnen. Das
ist ein mathematisches Thema, das den Kindern viel Freude
breitet – wenn man es handlungsorientiert macht.«
Beim Thema Matheangst ist Thomas Laubis vorsichtig. Aber es
gibt Kinder, die sich schwer tun mit Zahlbegriffen und mit dem
Rechnen:
»Später bei Matheablehnung spielen viele Komponenten
zusammen. Eine Komponente ist das Elternhaus, die Umgebung.
Es ist ja so ein bisschen schick zu sagen ›in Mathe war ich
immer schlecht’. Es ist Quatsch so etwas laut zu sagen. Die
Leute reden dann vor allem von Sekundarstufe eins und zwei.
In der Grundschule haben wir in der Tat Kinder mit Dyskalkulie,
Rechenschwäche. Das ist ein ganz kleiner Prozentsatz. Kleiner,
als es manche Eltern gern hätten…«
26 Mein letzter Matheunterricht in der Grundschule liegt schon
eine Weile zurück. Wie Kinder heute unterrichtet werden,
durfte ich für eine Schulstunde an der Konstanzer Grundschule
Sonnenhalde selbst miterleben. Ein Erlebnisbericht:
Donnerstag, 8:40 Uhr, Mathe bei der Rektorin Frau Geissler in
der Klasse 3d:
»Gu-ten Mor-gen, Frau Geiss-ler.«
Die Unterrichtsstunde befasst sich mit dem Thema Uhrzeit,
Zeitpunkt und Dauer. Zu Beginn sollen die Kinder so lange wie
möglich die Luft anhalten. Mit Hilfe einer Stoppuhr wird die
Dauer von Frau Geissler gestoppt.
In der zweiten Übung sollen die Kinder zwei Minuten auf einem
Bein stehen.
Auf diesen praktischen Einstieg ins Thema folgt die Theorie.
Frau Geissler fragt nach der mathematischen Schreibweise von
Sekunde, Minute und Stunde. Mit den Antworten der Kinder
entsteht nach und nach ein fein säuberlicher Tafelaufschrieb.
Langsam und deutlich liest die Lehrerin das Geschriebene
laut vor. Anschließend stellt sie ein paar Rechenaufgaben zu
Uhrzeiten mit Beispielen, wie die Länge der großen Pause.
8:40 Uhr, Mathe, Klasse 3d
Feldforschung
27
»Das was an der Tafel steht schreibt ihr nun in absoluter
Schönschrift ab.«
Die Schüler der Klasse sind unterschiedlich schnell fertig mit
ihrem Heftaufschrieb. Manche Kinder sind unruhig und werden
von Frau Geissler ermahnt.
An den Wänden des Klassenzimmers hängen bunte Plakate
mit Verhaltensregeln, aber auch Fotografien und ein Regal mit
Instrumenten, Büchern und Kassetten.
Zur Vertiefung folgen nun schwierigere Rechenaufgaben.
»Am Samstagabend dürft ihr ab 20:15 Uhr einen Film anschauen.
Der geht eine Stunde und zwanzig Minuten. Wie spät ist es
dann?«
Die Begeisterung über die Länge des Films weicht schnell dem
Grübeln nach der richtigen Lösung.
Auf falsche Antworten erwidert die Lehrerin kein »Nein«,
sondern die Frage:
»Hat noch jemand eine andere Lösung gefunden?«.
Die Schulstunde neigt sich dem Ende zu.
Ein Schüler fragt:
»Können wir nochmal mit Luft anhalten machen?
Hat Spaß gemacht.«
Also dürfen die Kinder zum Abschluss der Stunde versuchen,
wie lange sie es schaffen nicht zu blinzeln.
28
Im Anschluss an die Schulstunde erzählt Frau Geissler von den
Unterschieden des Unterrichts heute verglichen mit früher:
»Heutzutage bringen Kinder mehr Vorwissen mit in die Schule,
jedoch ist alles unstrukturiert. Unsere Aufgabe ist es, das zu
ordnen. Die klare Struktur im Unterricht ist besonders wichtig
geworden.«
Im Unterricht bei Frau Geissler spielt das Mathebuch und das
Übungsheft keine große Rolle. Das sei eher zum Nachlesen
oder für die Hausaufgaben da. Die neuen Themenhefte für
offenes Arbeiten in Klasse 1 und 2 kämen ihrer Vorstellung von
Matheunterricht entgegen. Die Regeln würden in der Schule
erklärt und in Freiarbeit von den Schülern vertieft. Von den Eltern
werden diese Unterrichtsformen unterschiedlich aufgefasst,
denn es sei nicht eindeutig erkennbar, wie weit ihr Kind ist, wenn
es kein Mathebuch mit klarem Ablauf gibt.
Der ideale Unterricht für Frau Geissler ist das handelnde Lernen
mit Alltagsbeispielen, welche die Schüler beschäftigen und sie
zum Weiterdenken anregen:
»Das mit dem Luftanhalten werden die Kinder nie wieder
vergessen – das beschäft jeden!«
vgl S. 20Einstern 2
29
30 Um einen Eindruck von der Denkweise von Kindern zu bekomme,
erschien ein Gespräch mit ihnen sinnvoll. Julia und Lea aus der
Klasse 3d, sowie Julias ältere Schwester Marie (6. Klasse) stellten
sich dafür zur Verfügung.
Im Vorfeld entstand ein grober Fragebogen. Die Fragen bezogen
sich zunächst auf die Wirkung des ihnen bekannten Mathebuchs
Welt der Zahl und des dazugehörigen Arbeitshefts.
Zur Diskussion stand außerdem die Gestaltung des Buchs Zahlen,
Spiralen und Quadrate, sowie einige erste Entwurfsseiten zum
Thema Geometrie – in Farbe und schwarz-weiß.
Mögt ihr Mathe?
Gefällt euch euer Mathebuch?
Was gefällt euch?
Was gefällt euch nicht?
Wie gefällt euch diese Seite?
Zu voll? Zu leer? Zu viel weiß?
Welche Schriften findet ihr schön?
Was sind eure Lieblingsfarben?
Mögt ihr auch schwarz – weiß?
Mögt ihr Geometrie?
Warum?
Was gefällt euch?
Ein Gespräch mit 3 Mädchen
vgl.Welt der Zahl 3 + Arbeitsheft
vgl.S. xx Zahlen, Spralen und Quadrate
31Die Kinder sind sehr offen für die unterschiedlichen Gestaltungs-
ansätze. In ihrem Mathebuch gefallen ihnen die bunten Seiten
mit den großen Bildern am besten. Das Arbeitsheft mögen sie
lieber als das Buch, denn da darf man reinschreiben und muss
nicht immer alles in das Matheheft abschreiben.
Egal welche Schrift, welche Schriftgröße, sie lesen alles laut
vor und freuen sich am meisten über kleine lustige Sätze am
Seitenrand.
Bunt finden sie toll und schwarz weiß okay: »Das kann man ja
anmalen«. Grau stößt jedoch auf totale Ablehnung.
Zum Thema Geometrie haben sie schon länger nichts mehr
gemacht. Nur am Anfang des Schuljahres: »Das hat Spaß
gemacht.«
Kathrin, Lea, Julia und Marieschauen sich Entwürfe an
32 Geometrie in der Grundschule
Neben der Arithmetik ist die Geometrie ein wichtiger Teil des
Mathematikunterrichts in der Grundschule. Die Geometrie hat
eine besondere Bedeutung bei der Erschließung der Lebens-
wirklichkeit der Kinder. Im Rahmen des Geometrieunterrichts
lernen Kinder einerseits die wichtigsten Formen des
Alltags und ihre wesentlichen Eigenschaften, andererseits
die Lagebeziehungen als Mittel zur Strukturierung des sie
Haller, Michael (2001): Das Interview. Ein Handbuch für Journalisten.
3. überarbeitete Auflage. Konstanz: UVK Medien
Die schriftliche Arbeit
Niederhauser, Jörg (2000): Die schriftliche Arbeit.
3., völlig neu erarbeitete Auflage. Mannheim: Dudenverlag
92
93Hiermit versichere ich, Christina Schmid, geboren am 26. 12. 1985
in Tuttlingen, dass die vorliegende Abschlussarbeit selbstständig
von mir verfasst wurde.
Ich habe keine anderen als die angegebenen Quellen und
Hilfsmittel verwendet.
Ich versichere, dass ich diese Abschlussarbeit weder im In- noch
Ausland bisher als Prüfungsarbeit vorgelegt habe.
Konstanz, den 01.02.2009
Christina Schmid
Eidesstattliche Erklärung
94 CD
• Das Buch Vom Punkt zur Kugel und zurück (PDF)
• Bachelorthesis, Schriftlicher Teil (PDF)
• Interview mit Thomas Laubis (WAV)
• Fragebogen Thomas Laubis (TxT)
• Bildungspläne (PDF)
• Liste der zugelassenen Schulbücher in Baden Württemberg (PDF)
Anhang
95
Geometrie: [griechisch, eigentlich »Feldmesskunst«] die, -/...’tri|en, Teilgebiet der Mathematik, das entstand aus der Beschäftigung mit den Eigenschaften und Sachverhalten des umgebenden physikalischen Raumes, wie der Gestalt von räumlichen
und ebenen Gebilden und Berechnungen von Längen, Flächen und Inhalten von Figuren. Die Geometrie wird nach den unterschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Die bekannteste Einteilung ist die Unterscheidung zwischen der
euklidischen Geometrie und der nichteuklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie ist die zuerst in dem Buch »Die Elemente« von Euklid (rd. 300 v. Chr.) dargestellte »klassische Geometrie«. Aus Axiomen und Postulaten (»Forderungen«) wurden
die Lehrsätze der Geometrie hergeleitet. Inhaltlich war diese Theorie schon recht vollständig; Lücken in der Argumentation, v. a. bezüglich der Anordnung und Stetigkeit, wurden besonders durch M. Pasch, G. Peano und D. Hilbert geschlossen.
Begrifflich unterscheidet sich Euklids Darstellung von heutigen axiomatischen Theorien wesentlich dadurch, dass er auch noch die Grundbegriffe (z. B. Punkt: »etwas, das keine Teile besitzt«) erklärt. Heute verzichtet man meist auf eine derartige
inhaltliche Interpretation. In der Darstellung der ebenen euklidischen Geometrie durch D. Hilbert (1899, etwas abgewandelt) werden als Grundbegriffe Punkte und Geraden und als Grundbeziehungen Inzidenz, Zwischenbeziehung und die Kongruenz
für Strecken verwendet. Die Axiome sind in fünf Gruppen zusammengefasst: Inzidenz-, Anordnungs-, Kongruenz- und Stetigkeitsaxiome sowie das Parallelenaxiom. Letzteres war für die Entwicklung der Geometrie seit Euklid von besonderer
Bedeutung. Es besagt: Ist g eine Gerade und P ein Punkt, der nicht auf g liegt, so gibt es genau eine Gerade h, die durch P geht und g nicht schneidet. Lange Zeit versuchte man, dieses Axiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten; als beweisbarer
Satz wäre es dann im Axiomensystem überflüssig gewesen. Erst im 19. Jahrhundert entdeckte man, dass dieses Axiom von den übrigen Axiomen unabhängig ist (N. Lobatschewski, J. B. Bolyai, C. F. Gauß). Das bedeutet, dass man neben der euklidischen
Geometrie, in der das Parallelenaxiom gilt, auch eine nichteuklidische Geometrie betrachten kann, in der die Negation des Parallelenaxioms Gültigkeit hat. Als absolute Geometrie bezeichnet man eine Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch
seine Negation gefordert sind.Nach dem Zugang zur Geometrie als mathematische Theorie unterscheidet man zwischen der synthetischen Geometrie, bei der als Grundlage Axiomensysteme verwendet werden, und der analytischen Geometrie, bei
der die geometrischen Objekte durch Koordinaten bestimmt werden. Als eine Art Fortsetzung der analytischen Geometrie kann man die Differenzialgeometrie und die Integralgeometrie ansehen, die durch Hinzunahme der Differenzial- und
Integralrechnung zur analytischen Behandlung der Geometrie entstanden. Ähnliches gilt für die algebraische Geometrie, in der geometrische Gebilde betrachtet werden, die durch Gleichungen beliebig hohen Grades beschrieben werden. Weiterhin
gliedert man die Geometrie in folgende Gebiete: In der Elementargeometrie differenziert man zwischen Planimetrie (ebene Geometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie). Zu diesen Gebieten gehören Beschreibung und Konstruktion geometrischer
Figuren und Messung von Längen, Winkeln, Flächen und Rauminhalten. Die Berechnung von Längen und Winkeln in geometrischen Figuren geschieht in der Trigonometrie und in der sphärischen Trigonometrie. Ein Bindeglied zwischen der Planimetrie
und der Stereometrie ist die darstellende Geometrie, in der räumliche Gebilde (Körper) in der Ebene (Zeichenebene) gezeichnet werden. In der Abbildungsgeometrie untersucht man Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, wobei man
darauf achtet, welche Größen (Längen, Winkel, Streckenverhältnisse, Flächeninhalte u. a.) fest bleiben, also Invarianten der Abbildung sind. Größen, die Invarianten bei Kongruenzabbildungen (Bewegung) sind, untersucht man in der Kongruenzgeometrie.
In der Ähnlichkeitsgeometrie spielen solche Größen eine Rolle, die bei Ähnlichkeitsabbildungen (Ähnlichkeit) fest bleiben. Entsprechend beschäftigt sich die Affingeometrie mit Invarianten bei affinen Abbildungen (Affinität). Die projektive Geometrie
schließlich betrachtet diejenigen Eigenschaften geometrischer Figuren, die bei projektiven Abbildungen invariant sind. – Bei allen genannten Abbildungen gehen Geraden wieder in Geraden über, diese Abbildungen sind also geradentreu. Dies ist bei
den topologischen Abbildungen (Homöomorphismus) nicht mehr der Fall; hier können z. B. Geraden in Parabeln übergehen. Eine topologische Invariante ist z. B. die Eigenschaft einer Kurve, geschlossen zu sein. Jede der genannten Abbildungsarten
bildet aber eine Gruppe bezüglich der Verkettung. Daher kann man auch mithilfe der Gruppentheorie und des Invariantenbegriffs eine Systematik der Geometrie (F. Klein, 1872) entwerfen. Geschichte: Darstellungen geometrischer Figuren und
geometrisierender Ornamente finden sich schon in sehr frühen Kulturen. Sie zeugen von einem Interesse an einfachen geometrischen Beziehungen, wie sie bei Dreieck, Rechteck, Quadrat, den regelmäßigen Vielecken, der Spirale und dem Kreis
vorliegen, und zum Teil von elementargeometrischen Kenntnissen. Auch das Bedürfnis nach einfachen Regeln für Vermessungsaufgaben könnte der Anlass zu näheren Betrachtungen derartiger Figuren gewesen sein. Bereits in der babylonischen und
in der ägyptischen Mathematik waren einfache Regeln für die Berechnung von Längen, Flächen- und Rauminhalten elementargeometrischer Figuren bekannt, die teils exakte, teils Näherungswerte lieferten. Sowohl den Babyloniern als auch den alten
Chinesen war bereits die später als pythagoreischer Lehrsatz formulierte geometrische Gesetzmäßigkeit geläufig; sie wurde aber nur an Zahlenbeispielen verifiziert. Eine abstrakt beweisende, wissenschaftliche Geometrie bauten erst die Griechen auf.
Die älteste erhaltene Darstellung eines axiomatischen Aufbaus der Geometrie ist in Euklids »Die Elemente« enthalten. Die Bedeutung des Parallelenaxioms gab schon in der Antike Anlass zu Beweisversuchen. Sie wurden von den Arabern wieder
aufgenommen und später in Europa weitergeführt; schließlich entwickelte sich aus diesen Bemühungen im 18. und 19. Jahrhundert die nichteuklidische Geometrie. – Über den Bereich der euklidischen, nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Geometrie
hinaus führten die drei klassischen, in der Antike aufgeworfenen Probleme der Würfelverdopplung (delisches Problem), der Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises, deren Lösung die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. In der
Antike gaben sie Anlass zum Ersinnen von Näherungskonstruktionen und zur Beschäftigung mit höheren Kurven (u. a. die von Apollonios von Perge systematisch behandelten Kegelschnitte). Im Verlauf der Entwicklung der analytischen Geometrie
konnten diese Probleme zum Teil auf algebraische Fragen zurückgeführt und im 19. Jahrhundert mithilfe der Galois-Theorie endgültig beantwortet werden. Auch die Antwort auf die Frage, welche regelmäßigen ebenen Vielecke sich exakt mit Zirkel
und Lineal konstruieren lassen, wurde im 18. Jahrhundert von C. F. Gauß auf algebraischem Wege gegeben (fermatsche Zahlen). Konstruktionen, die sich allein mit dem Zirkel ausführen lassen, hatte bereits 1672 G. Mohr untersucht. Im 17. Jahrhundert
entwickelten sich aus der Lehre von der Perspektive die Anfänge der projektiven Geometrie (G. Desargues, B. Pascal), die allerdings erst im 19. Jahrhundert intensiv weiterbearbeitet wurde. Aus den im 17. Jahrhundert entstandenen Methoden der
Infinitesimalrechnung ging durch Anwendung auf Kurven und Flächen im Raum die Differenzialgeometrie hervor. F. Klein stellte den gruppentheoretischen Gesichtspunkt in den Vordergrund (Erlanger Programm, 1872), kennzeichnete die einzelnen
Geometrien durch die Invarianten der ihnen zugeordneten Transformationsgruppen und konnte somit die verschiedenen, bis dahin lose nebeneinander stehenden Geometrien in einen geordneten Zusammenhang bringen. Das Problem der Axiomatisierung
der Geometrie griffen am Ende des 19. Jahrhunderts M. Pasch, D. Hilbert, G. Peano u. a. auf. Besonders Hilberts »Grundlagen der Geometrie« (1899,) übten einen maßgebenden, bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Weiterentwicklung der
geometrischen Forschung aus. In den letzten Jahrzehnten wurden die Untersuchungen ausgedehnt auf Geometrien, deren algebraische Grundlage abstrakte, nicht kommutative oder nicht assoziative Körper sind. Dabei finden die algebraischen
Eigenschaften ihre Entsprechung in den geometrischen Sätzen.
Christina Schmid, WS 09/10, Bachelorthesis, Schriftlicher Teil