-
Coordonator: Andrei Octavian Dobre
Silvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr,
Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana,
Blandina Maniiu, tefan Florin Marcu , Corneliu
Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel
Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,
Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin
Telteu, Iuliana Trac
GHID DE PREGATIRE ONLINE
BACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1www.mateinfo.ro
Profil: Real, Militar
Specializare: Matematic Informatic
Subiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul
elaborat de M.E.C.I.
Ploieti, 2011
Coordonator: Andrei Octavian Dobre
Silvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr,
Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana,
Blandina Maniiu, tefan Florin Marcu , Corneliu
Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel
Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,
Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin
Telteu, Iuliana Trac
GHID DE PREGATIRE ONLINE
BACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1www.mateinfo.ro
Profil: Real, Militar
Specializare: Matematic Informatic
Subiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul
elaborat de M.E.C.I.
Ploieti, 2011
Coordonator: Andrei Octavian Dobre
Silvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr,
Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana,
Blandina Maniiu, tefan Florin Marcu , Corneliu
Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel
Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,
Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin
Telteu, Iuliana Trac
GHID DE PREGATIRE ONLINE
BACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1www.mateinfo.ro
Profil: Real, Militar
Specializare: Matematic Informatic
Subiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul
elaborat de M.E.C.I.
Ploieti, 2011
-
IISSBBNN 997788--997733--00--1100229955--66
Toate drepturile prezentei ediii aparin site -ului
www.mateinfo.ro . Nicioparte a acestei ediii nu poate fi reprodus
far acordul scris alwww.mateinfo.ro (prof. Andrei Octavian Dobre)
.
Culegerea este oferita gratuit doar pe site-ul www.mateinfo.ro i
nu poate fipublicat pe un alt site fara acordul scris al
www.mateinfo.ro (prof. AndreiOctavian Dobre).
Site: www.mateinfo.roE-mail: [email protected] sau
[email protected]
Fiecare autor rspunde de corectitudinea i originalitatea
variantelor propuse.
Nume autori coala de provenien
Andrei Octavian Dobre(coordonator)
Grupul colar de Transporturi Ploieti
Silvia Brabeceanu Colegiul Tehnic '' Gheorghe Lazr "
PlopeniNicolae Breazu Colegiul Spiru Haret, PloietiDelia Valentina
Bulgr Liceul Teoretic "Traian Vuia" Fget , jud. TimiGeorgiana
Canache Grupul colar Toma Socolescu PloietiViorica Ciocnaru Grupul
colar Industrial Energetic, CraiovaIoan Lung Colegiul Na ional
Arany Janos SalontaViorica Lungana Colegiul Na ional Alexandru
Dimitrie Ghica, Alexandria, jud. TeleormanBlandina Maniiu Colegiul
Tehnic"Alexandru Doma"Alba Iuliatefan Florin Marcu Grup colar de
Transporturi Auto -CalaraiCorneliu Mnescu-Avram Grupul colar de
Transporturi PloietiOvidiu-Marius Mndrican Grupul colar C.
Cantacuzino, BicoiAdrian Muscalu Colegiul Agricol Nicolae Corneanu
TulceaGabriel Necula Colegiul Tehnic '' Gheorghe Lazr "
PlopeniNicolae Nicolaescu Colegiul Tehnic "Alexe Marin" Slatina
OltGabriela Nistor Grupul colar Administrativ i de Servicii Victor
Slvescu PloiestiCsaba Olh Grup colar "Liviu Rebreanu, Blan,
Jud.HarghitaEnache Paul Colegiul Naional Anastasescu , Rosiori de
Vede , jud. TeleormanIleana Ricu Grup colar Agricol "Roiorii de
Vede" TeleormanAdrian Stan Grup colar Costin Neniescu
BuzuConstantin Telteu Colegiul Naional de Arte Regina Maria,
ConstanaIuliana Trac coala cu cls. I-VIII Gh. Popescu Mrgineni
-Slobozia
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
1
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 1
Prof. Silvia Brabeceanu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai 3 264 log 64 .(5p) 2. Se consider funcia 1: ,
2xf f x . S se calculeze 2 3 10f f f
(5p) 3. S se rezolve n ecuaia 2 6 3x x x .(5p) 4. S se calculeze
probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea
8,9,10, 40A acesta s fie divizibil cu 4.(5p) 5. Se consider
vectorii 3 5u i j i 4 2v i j . Determinai coordonatelevectorului
12
2w u v .
(5p) 6. ntr-un triunghi ABC se cunosc 12, 8, 6AB BC AC . S se
calculeze cos B .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea 22 1 1 ,2 1 1x x
A x xx x
.(5p) a) S se calculeze 1 1A A .(5p) b) Notm matricea 21 1A A B
. S se determine , 1nB n .(5p) c) S se calculeze suma
1
n
kA k
.
2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie34 2
2 , ,2
x y xy x y x y .
(5p) a) S se arate c 12 1 2 1 , ,2
x y x y x y .(5p) b) S se verifice dac este o lege de compoziie
asociativ pe .(5p) c) S se demonstreze c 2 12 2 1 , , , 2
2nn
n ori
x x x x x x n n
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 3
2: , , ,xf D f x a b
ax b .
(5p) a) S se determine a i b , numere reale, astfel nct dreapta
1 14
y x s fieasimptot la graficul funciei.(5p) b) Pentru a i b gsii
la a). s se stabileasc domeniul maxim de definiie al funcieii apoi
s se studieze monotonia funciei.
(5p) c) S se calculeze 2lim f xx
f xx
.
2. Se consider funcia 1: 1, 2 ,2
xf f xx
.
(5p) a) S se calculeze 21
f x dx .(5p) b) S se determine 0a astfel nct 1 51 3ln
4
a
a
f x dx
.(5p) c) S se arate c 2
1
104
f x dx .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 2
Prof. Silvia BrabeceanuFiliera teoretic, profilul real,
specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul
militar, specializarea matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se afle partea real a numrului complex 41 5z i .(5p)
2. S se determine m , astfel nct suma ptratelor soluiilor
ecuaiei
2 2 3 0x m x m s fie 25 .(5p) 3. tiind c doi termeni ai unei
progresii geometrice sunt 1 3a i 4 192a , s secalculeze 8S .(5p) 4.
S se rezolve ecuaia 22log 3 4 2x x x .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
3
(5p) 5. S se arate c triunghiul cu vrfurile 10, 4A , 2,0B i
2,12C este triunghiisoscel.(5p) 6. S se determine m astfel nct
punctele 2,2A , 4, 3B , 1,2C m m s fiecoliniare.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider determinantul 1 2 2
4 1 4 ,2 4 1
x
D x x xx
.
(5p) a) S se calculeze valoarea determinantului pentru 1x .(5p)
b) S se demonstreze c 27 3D x x x .(5p) c) S se rezolve n ecuaia 3
0xD .
2. Se consider polinomul 4 3 1 1f aX bX cX a X X , cu , ,a b c
.(5p) a) tiind c polinomul f se divide cu 31X , s se calculeze suma
S a b c .(5p) b) Pentru 2, 5, 3a b c s se descompun n produs de
factori ireductibili peste polinomul f .(5p) c) Pentru 2, 5, 3a b c
s se calculeze 2 2 2 21 2 3 4x x x x , unde 1 2 3 4, , ,x x x x
suntrdcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile 2, : 0, , , 1xf g f x arctg x g x
x .
(5p) a) S se arate c 0,f x g x x .(5p) b) S se gseasc punctele
de extrem local ale funciei 2: 0, , 1
xg g xx
.(5p) c) S se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei : 0, ,f
f x arctg x npunctul de tangen 3 ,
3 6A
.
2. Se consider funcia 3: 1,1 , 2 ,nn nf f x x n i 11
n nI f x dx
.(5p) a) S se calculeze 1I .(5p) b) S se calculeze volumul
corpului obinut prin rotaia subgraficului funciei nf njurul axei Ox
pentru 1n .(5p) c) S se determine o relaie de recuren pentru 1
3
1
2n
nI x dx
.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
4
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 3
Prof. Silvia Brabeceanu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai 3 710 10C C .(5p) 2. Fie funcia : , 3 2 7f f x
m x m . S se determine m astfelnct punctul 4, 3A m m s fie situat
pe graficul funciei.(5p) 3. S se determine soluiile reale ale
ecuaiei 3 3 32 5 2 7x x x .(5p) 4. S se rezolve ecuaia 4 4 4 6 2 2
10 0x x x x .(5p) 5. S se determine m astfel nct vectorii 5 2 1u m
i m j i
2 3 3v m i m j s aib acelai modul.(5p) 6. n reperul cartezian
xOy se consider punctele 2, 3 , 5,4A B i 1,1C . S se scrieecuaia
perpendicularei din B pe AC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie dat sistemul 35 3 0
: 0 , , ,3 2 0
x y zS x y z x y z
x y z
(5p) a) S se afle determinantul i rangul matricei asociat
sistemului.(5p) b) S se rezolve sistemul.(5p) c) S se gseasc o
soluie 0, 0 0,x y z a sistemului pentru care 0 0 02 3 9x y z .
2. Pe mulimea numerelor reale se definesc legile de compoziie i
astfel2x y x y i 2 4 4 6x y xy x y , ,x y .
(5p) a) Se dau mulimile 2 3 0A x H x x i 0B x H x x . S
secalculeze \A B .(5p) b) S se demonstreze c , , ,x y z x z y z x y
z .(5p) c) Fie a x x i b x x . S se determine x pentru care media
aritmetic anumerelor a i b este negativ.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
5
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 24
: \ 1 ,1
f f x xx
.
(5p) a) S se calculeze 1
1lim
1xf x f
x .
(5p) b) S se determine intervalele de convexitate i concavitate
ale funciei f .(5p) c) S se calculeze asimptotele la graficul
funciei f .
2. Se consider funciile : 0, , 2 1f f x x x i : 0, ,g g x f x
.
(5p) a) S se determine o primitiv G a funciei g pentru care 1 3G
.(5p) b) S se calculeze
1
limx
xg t dt .
(5p) c) S se calculeze aria cuprins ntre graficul funciei f ,
axa Ox i dreptele de ecuaii0x i 2x .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 4
Prof. Silvia Brabeceanu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai 3 3
2 2
1 3 1 33 3
i i
i i
.
(5p) 2. S se determine valorile reale ale lui x pentru care
23log 1x 3log 4 4x .(5p) 3. Determinai mulimea
2/ 2 3 0
i 0
3xA x x
x x
.
(5p) 4. S se determine termenul ce conine pe 2x din
dezvoltarea301 1
3 3 ,yx xy x y
.
(5p) 5. Fie 3 5Ar i j
, 4 3Br i j
, 2 7Cr i j
vectorii de poziie ai vrfurilortriunghiului ABC . S se determine
vectorul de poziie al centrului de greutate a triunghiuluiABC .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
6
(5p) 6. Punctele 3,4 , 7,4 , 11, 3 , 1, 3A B C D sunt vrfurile
unui trapez isoscel.S se calculeze aria trapezului ABCD .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul 33 2 0
: 0 , , , ,3 2 0
x y zS x y az x y z a
x y z
.
Notm cu A matricea sistemului.(5p) a) S se determine rangul
matricei A n funcie de a .(5p) b) S se rezolve sistemul pentru 1a
.(5p) c) S se gseasc o soluie 0, 0 0,x y z a sistemului cu
proprietatea 3 20 0 0 0x y z .
2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie5 5
20, ,x y xy x y x y .
(5p) a) S se arate c 5 5 5, ,x y x y x y .(5p) b) S se
demonstreze c mulimea ,5 este parte stabil a lui n raport cu
legeade compoziie.(5p) c) Se d expresia 8 7 63E x x x , x . S se
demonstreze c 0,E x x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia : 0, , ln 2ln 1f f x x x .(5p) a) S se
calculeze derivatele de ordinul nti i doi ale funciei f .(5p) b)
Fie funcia 2: 0, , ln 1
xg g xx
. Se noteaz cu ng x derivata de
ordinul n i cu ,nx n rdcina derivatei de ordinul n . S se
calculeze ,nx n .
(5p) c) S se calculeze limn
n
n
x.
2. Se consider integralele1
20
,
9
n
n
xI dx nx
.(5p) a) S se calculeze 0 13 2I I .(5p) b) S se demonstreze c
pentru n este adevrat relaia 2 19 1n nI I n .
(5p) c) S se arate c 1 ,1n
I nn
.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
7
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 5
Prof. Nicolae BreazuFiliera teoretic, profilul real,
specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul
militar, specializarea matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Fie ( nb ) n o progresie geometric . tiind c 3 17b b 100
, s se calculeze 5 15b b .(5p) 2. Rezolvai ecuaia x 6 x 1 2x 19
.(5p) 3. Dac 1f : 0; , f x x
x , demonstrai c f f x 2 , x 0; .
(5p) 4. O carte ilustrat are 300 pagini. Dintre acestea, 280
pagini au text, iar 200 audesene.
Cte pagini au i text i desen?(5p) 5. S se scrie ecuaia nlimii
dus din B n triunghiul ABC, dac A(2;-3); B(10;9) i
C(0;-1).
(5p) 6. Demonstrai c 2
x2ctg2sin x , x 2k
x1 ctg2
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se d matricea1 0 0
A 1 3 12 4 1
.
(5p) a) Calculai detA i explicai de ce matricea A este
inversabil;(5p) b) Demonstrai c n n 3A A 2I , n 1 ;(5p) c) Calculai
201012 A A .
2. n grupul 6S ; se consider permutrile 1 2 3 4 5 6 3 1 2 6 4 5
i
1 2 3 4 5 6
6 3 2 1 5 4
(5p) a) Determinai paritatea sau imparitatea permutrilor i ;(5p)
b) n grupul 6S ; , stabilii care dintre ordinele acestor dou
permutri este maimare;(5p) c) Rezolvai ecuaia x x .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
8
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2f : \ 1; 2; 3 , f x
x 1 x 2 x 3 .
(5p) a) S se determine A, B, C astfel nct A B Cf xx 1 x 2 x
3
;(5p) b) Demonstrai c irul n nn 1a , a f 1 f 2 ... f n este
convergent i s se
gseasc nnlim a ;
(5p) c) S se arate c graficul funciei este simetric fa de un
punct al planului i s sedetermine coordonatele acestui punct.
2. Se d funcia f : 0;2011 , f x 2x (5p) a) S se explice de ce f
nu admite primitive dar este funcie integrabil pe 0;2011 ;(5p) b) S
se calculeze 2011
02x dx ;
(5p) c) Artai c funcia x0
1F : 0; , F x f t dt4
este funcie strict cresctoare peintervalul 10;
4 .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 6
Prof. Nicolae BreazuFiliera teoretic, profilul real,
specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul
militar, specializarea matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se calculeze 201041 1 1
...
1 x 1 x 1 x , pentru x 0 , unde a este
partea ntreag a numrului real a;
(5p) 2. Rezolvai ecuaia3 32lg x lg x
2x 10 ;
(5p) 3. Artai c funcia 3 2 xf : 2;2 , f x x ln2 x este funcie
par;
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
9
(5p) 4. S se demonstreze c k k 2 k 1 kn n 2 n 2 n 2C C 2C C
;(5p) 5. n patrulaterul convex ABCD, M este mijlocul laturii AB, N
mijlocul laturii CD iarP,
Q, R mijloace ale segmentelor AD , MN , respectiv BC . Artai c
P, Q, R suntpuncte coliniare.
(5p) 6. Rezolvai ecuaia 2 2sin x cos x cos x 0 pentru x 0;2
.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consider matricele 22 1 1
A 3 1 p1 2 1
i 2
2 1 1 2
B 3 1 p 21 2 1 q
.
(5p) a) S se afle p astfel nct detA s fie minim;(5p) b) S se
afle p i q astfel nct rangA= rangB;(5p) c) Determinai p astfel nct
matricea A s fie inversabil i calculai 1A .
2. Fie polinoamele 5 3 2f 2x 4x ax bx c , cu a,b,c i 3 2g x x x
1 .(5p) a) Determinai a,b,c astfel nct f s se divid cu polinomul
g;(5p) b) Pentru a=4, b= -6, c=4, s se rezolve ecuaia f x 0 ;(5p)
c) Calculai
20105 52010i i
i 1 i 1S x x
tiind c 1 2 3 4 5x , x , x , x , x sunt rdciniledeterminate la
punctul b).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia 2f : 1; , f x x ln x 1 .(5p) a) Demonstrai c f
este strict cresctoare pe intervalul 1; ;(5p) b) Stabilii
intervalele de convexitate, de concavitate i punctele de inflexiune
alefunciei f;(5p) c) Artai c f este bijectiv i calculai derivata
funciei 1f n 0y 4 .
3. Fie funcia 2:[0; ] , ( ) cos 1f f x x i irul 2 n 2n nn 1k
1
ka , a cos
n n .
(5p) a) S se calculeze 0
f x sin xdx ;(5p) b) S se determine volumul corpului obinut prin
rotirea graficului funciei f n jurulaxei Ox;(5p) c) Demonstrai c
irul n n 1a este convergent i gsii nnlim a .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
10
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 7
Prof. Nicolae Breazu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se ordoneze cresctor numerele 3 3, 2, , log 2e , unde
e este baza logaritmuluinatural;
(5p) 2. Rezolvai n mulimea ecuaia 6 3x 7x 8 0 ;(5p) 3. S se
determine inversa funciei 2
x 3, pentru x 2;f : , f x
x 1, pentru x ; 2
;
(5p) 4. Calculai 2011 1 2010 2 20092011 20112 C 2 C 2 ... 1
;(5p) 5. Artai c n orice triunghi ABC are loc relaia
2 2b cb cos C ccos Ba
;(5p) 6. Cte soluii are ecuaia arcsin sin x 2 ?
Justificai.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se d sistemulx 2y 3z 02x y mz 0x y 2z 0
.
(5p) a) Calculai determinantul sistemului;(5p) b) Determinai m
astfel nct sistemul s admit soluie unic;(5p) c) Artai c pentru m=9
expresia
2 2 2
2 2 2x y zEx 5y z
este constant.
2. Se d mulimea a b b
G X a,b b a b a,b , det X a,b 1b a a
.
(5p) a) Artai c G este parte stabil a lui 3M n raport cu
nmulirea matricelor;(5p) b) Explicai de ce 3I G dar 3O G ;(5p) c)
Artai c G; este grup.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
11
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 3f : , f x 1 x .(5p) a) S se studieze
derivabilitatea funciei f n 0x 1 ;(5p) b) Determinai punctele de
extrem i intervalele de monotonie ale funciei f;(5p) c) S se
rezolve ecuaia f x m , unde m .
2. Fie funcia 22 x 1f : , f x x 4x 5 i a .
(5p) a) Calculai 10
f x dx ;(5p) b) S se determine valorile lui a, astfel nct aria
subgraficului funciei f pe intervalul
a 1;a s fie maxim;(5p) c) S se calculeze
a
s alim
ln a, unde s(a) reprezint aria suprafeei cuprinse ntre
graficul
funciei i axa Ox, pe intervalul [a 1;a] .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 8
Prof. Nicolae Breazu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se arate c numrul 9 80 9 80 este ntreg;(5p) 2.
Rezolvai ecuaia x x xx x 3 1 x n mulimea numerelor ntregi;(5p) 3. S
se arate c funcia f : , f x x 1 x 1 nu este nici injectiv, nici
surjectiv;(5p) 4. ntr-o urn sunt 30 bile albe i 20 bile negre.
Se extrag simultan 5 bile. Care este
probabilitatea de a extrage 3 bile albe i 2 bile negre?
(5p) 5. S se calculeze 13
sin12
;
(5p) 6. Dou nlimi ale unui triunghi sunt egale cu 6 i cu 10.
Artai c a treia nlimeeste mai mic dect 15.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider irul de determinani: n n 1 definit astfel:
1 2 3 n
n 1 coloane
1 1 1 1 1 1 ... 11 1 1
1 1 1 x 1 1 1 x ... 1; 1 x 1 ; ;....;
1 x 1 1 x 1 .. .. ... ..1 1 x
1 1 1 x 1 1 ... x
,
unde x \ 1 .(5p) a) Calculai 2 i 3 ;(5p) b) Demonstrai c dac x \
1 , fixat, irul n n 1 este o progresie geometric.
Gsii raia acestei progresii;(5p) c) Dac p , numr prim, iar x
astfel nct x-1 i p sunt prime ntre ele, artaic
n irul 1 2 n1, 1,..., 1,... exist cel puin un termen divizibil
cu p.2. Polinomul 2 n0 1 2 nf a a x a x ... a x X are printre
rdcini i numerelecomplexe k 2k
2kz cos i sin , k 0,1,2,3,4
5 5 . Polinomul g X are
rdcinile k kw z 1, k 0,1,2,3,4 .(5p) a) Calculai 0 1 na a ... a
;(5p) b) Determinai polinomul g;(5p) c) Care este gradul minim pe
care l poate avea f, astfel nct f i g s aib divizori
comuni de grad cel puin 1?
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se dau irul n 2 n1 1 1
a ...e 1 e 1 e 1
, n 1 i funcia xf : , f x ln e 1 .
(5p) a) S se arate c irul n na este monoton;(5p) b) S se aplice
teorema lui Lagrange funciei f pe un interval de forma k,k 1 ,
unde
k 0 ;(5p) c) S se arate c irul n na este convergent i s se arate
c nnlim a 0;ln 2 .
2. Fie 2f : 0; , f t ln t 1 i x0F : 0; , F x f t dt .(5p) a)
Artai c F x 0 pentru orice x 0 ;(5p) b) S se demonstreze c derivata
funciei F este strict cresctoare pe 0; ;(5p) c) Calculai x 22 0x 0
1lim ln t 1 dtsin x .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
13
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 9
Prof. Delia Valentina Bulgr
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se ordoneze cresctor numerele: 3 33!, 200, log 243
.
(5p) 2. S se arate c 1 4 9 , 0, 0.a ba b a b
(5p) 3. S se rezolve n ecuaia: 2lg( 6 5) lg(3 ) lg3x x x .(5p)
4. Cte submulimi ale mulimii A={1,2,3,4,5,6,7,8} au suma
elementelor egal cu 8?(5p) 5. Se consider punctele A(m+1,n),
B(2m,n+2), C(2n+1,m). S se determine m i n tiind ccentrul de
greutate al triunghiului ABC este originea sistemului de coordonate
XOY.
(5p) 6.tiind c ( , )2 i 2sin
3 , s se calculeze ctg .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea 21 5 10( ) ( ),
2 1 4a a
X a M aa a
.
(5p) a) S se arate c ( ) ( ) ( ), ,X a X b X ab a b a b (5p) b)
S se determine valoarea a pentru care X(a) nu este inversabil.(5p)
c) S se calculeze ( ( )) , 1nX a n
2. Se consider polinomul 2 2011 2010( 1) ( 1) 1 [ ]f X X X X
(5p) a) S se calculeze f(0) i f(-1).(5p) b) S se determine restul
mpririi polinomului f la polinomul 2g X X .(5p) c) S se arate c
polinomul 2 1h X X divide polinomul f.SUBIECTUL al III-lea (30 de
puncte)
1. Se consider funcia1 12 3
: , ( )2 3
x x
x xf f x
(5p) a) S se arate c funcia f este strict cresctoare pe .(5p) b)
S se determine asimptotele graficului funciei f.(5p) c) S se arate
c funcia f este mrginit..
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
14
2. Se consider funciile2
: , ( ) ,nn n x
xf f x ne
i12
0
( )n
n nI f x dx .(5p) a) S se calculeze 0I .
(5p) b) S se verifice relaiile 11( ) (2 ),2n n
f x f x x i 1 1 ,4n nI I n (5p) c) S se calculeze lim n
nS , unde 0 1 2 ... ,n nS I I I I n
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 10
Prof. Delia Valentina Bulgr
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se calculeze modulul numrului complex 6( 2 2 2 2 )z i
.(5p) 2. Se consider progresia aritmetic 1( )n na cu 1 33a . tiind
c suma primilor 10termeni ai progresiei este 420, s se afle raia
progresie aritmetice.(5p) 3. S se determine , 4n n astfel nct 2 2
21nC .(5p) 4. . S se rezolve n intervalul (0, 2 ) ecuaia 1sin 2
2x .
(5p) 5. Triunghiul ABC are vrfurile A(2,3), B(4,2) i centrul de
greutate G(3,-1). S se determinecoordonatele punctului C.(5p) 6. S
se arate c 15 35 55 75 1tg tg tg tg
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie n 3( )M matricele:2 1 11 2 11 1 2
A
i1 1 11 1 11 1 1
B
.
Se consider matricea 21
, \{0}3 3xxM A B x
x .
(5p) a) S se calculeze 2A i 2B .(5p) b) S se arate c , , \{0}x y
xyM M M x y .(5p) c) S se calculeze ( ) , 1nxM n .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
15
2. Fie , ,a b c i 3 2{ | 0}H z z az bz c .(5p) a) Dac a=b=c+1=0
s se determine mulimea H.(5p) b) Dac a=b=c+1=0 s se arate c (H,)
este grup.(5p) c) Pentru a=b=c+1=0 s se arate c 3( , ) ( , )H ,
unde 3( , ) este grupul aditiv alclaselor de resturi modulo n.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile 2 1 1, :[0, ) , ( ) 1n n nf g f x x nx
nx i1 2( ) 2 ( 1) 1, , 2.ng x x n x n n n
(5p) a) S se verifice c 2'( ) ( ), 0.nf x nx g x x (5p) b) S se
arate c ( ) 0, 0.g x x (5p) c) S se arate c 1 1( ), 1, , 2n
nx n x x n n
x x .
2. Se consider irurile 1( )n nI i 1( )n nJ definite astfel:1
lne
n
nI x xdx i2
1
(ln )e
n
nJ x x dx .(5p) a) S se calculeze nI .(5p) b) S se stabileasc o
relaie ntre nI i nJ .
(5p) c) S se calculeze 1lim n nnn
I Je
.
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 11
Prof. Delia Valentina Bulgr
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Se consider 7 7 7log 35 log 9 log 45a . S se arate c a
.(5p) 2. S se determine \{2}m pentru care funcia 2: , ( ) ( 2) 2f f
x m x mx m admite un maxim egal cu -1.
(5p) 3. S se determine termenul din mijloc al dezvoltrii 203 1(
) , 0,x x xx
.(5p) 4. Care este numrul de diagonale ale unui poligon convex
cu n laturi?
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
16
(5p) 5. Fie A,B dou puncte distincte, iar punctul M mijlocul
segmentului [AB]. S se arate cpentru orice punct O exist egalitatea
2OA OB OM .(5p) 6. S se calculeze lungimea razei cercului nscris
ntr-un triunghi care are lungimile laturilorde 5, 7 i 8.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul2 3 0
5 3 03 5 0
x y zx y z
x y z
i matricea 3
0 0 00 0 00 0 0
O
. Se noteaz cu A
matricea sistemului.(5p) a) S se calculeze determinantul i
rangul matricei A.(5p) b) S se rezolve sistemul.(5p) c) S se gseasc
o matrice 3 3( ),B M B O astfel nct 3A B O
2. Se consider mulimea de numere reale 2 2{ 2 | , , 2 1}M a b a
b a b .(5p) a) S se arate c M este parte stabil n raport cu
nmulirea numerelor reale.(5p) b) S se arate c dac z M atunci 0z i 1
M
z .
(5p) c) S se gseasc un element z M astfel nct 1010
z .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia2
1: , ( ) 1
1xf f xx
.(5p) a) S se rezolve inecuaia f(x)
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
17
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 12
Prof. Delia Valentina Bulgr
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se calculeze partea ntreag a numrului 32 1 .
(5p) 2. Fie 21
: , ( )1
f f xx x
. S se arate c40 ( ) ,3
f x x .(5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2
49 35 25x x x .(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegnd un numr
din mulimea numerelor naturale de trei cifre,produsul cifrelor sale
s fie impar?(5p) 5. S se determine a pentru care vectorii ( 3)u a i
a j i 4 5v i j suntperpendiculari.(5p) 6. S se calculeze perimetrul
triunghiului ABC, tiind c AB=3, AC=4 i ( ) 60m BAC .SUBIECTUL al
II-lea (30 de puncte)
1. Fie 51 2 3 4 5 1 2 3 4 5
, , ,
5 2 4 1 3 2 3 1 5 4S
.
(5p) a) S se demonstreze c .(5p) b) S se determine mulimea *{ |
}nH n (5p) c) S se arate c mulimea *{ | }nH n este un subgrup al
grupului 5( , )S .
2. Se consider corpul 5( , , ) i polinomul 3 53 [ ]f X aX X , cu
5a .(5p) a) Pentru 1a s se determine rdcinile polinomului f.(5p) b)
S se determine 5a pentru care polinomul f admite dou rdcini
diferite n 5 .(5p) c) Notnd cu 1 2 3 5, ,x x x rdcinile polinomului
f, s se calculeze 3 3 31 2 3S x x x .SUBIECTUL al III-lea (30 de
puncte)
1. Se consider funcia2
: , ( ) xf D f xx ax b
, ,a b .(5p) a) Pentru a=b=1, s se scrie ecuaia tangentei la
graficul funciei f n punctul de abscis x=1.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
18
(5p) b) S se determine a astfel nct 2 1( ( ) 1)2limx x ax b f x
.
(5p) c) Pentru a=1, s se determine b astfel nct funcia f s admit
un extrem devaloare 2
3.
2. Se consider irul 0( )n nI definit prin2
2
12
2ln 1n
n
e
n
e
xI dxx
i suma0 1 ... ,n nS I I I n
(5p) a) S se calculeze 0I .(5p) b) S se arate c 0( )n nI este o
progresie aritmetic , preciznd raia.
(5p) c) S se calculeze1
24lim
n
n
n
Sn
.
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 13
Prof. Canache Georgiana
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se determine numrul natural x din egalitatea 2 + 7 +
........+ x =245.(5p) 2. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia
: 7 2 1 3
1 4x x
x x
.(5p) 3. Aflai valoarea minim a funciei f : -> f(x)=5x2 -3x+1
.(5p) 4. S se determine numrul funciilor f:{a,b,c,d}{1,2,3,4} cu
proprietatea cf(a)=f(b).(5p) 5. Se consider triunghiul ABC cu
vrfurile A(2, -1) , B(0,3) i C(-4, -2). S secalculeze cos A.
(5p) 6.Calculai E= 43
tg ctgctg tg , dac cos =
1, (0, )
3 2
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
19
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consider matricea3 1 10 2 20 0 2
A
(5p) a) Calculai A2-3At(5p) b) Calculai inversa matricei A.(5p)
c) Determinai An
2. Se consider , , inel comutativ ,unde 4x y x y si4 4 20x y xy
x y , ,x y
(5p) a) Calculai (e1 e2)+( e1 e2) ,unde e1 este elemental neutru
al primei legi ,iar e2 esteelementul neutru al celei de a doua
legi.(5p) b) S se determine a,b astfel nct inelele , , si ( , +,) s
existe unizomorfism de forma f : -> , f(x)=ax+b(5p) c) S se
rezolve n ecuaia
2011
..............
de ori
x x x 22011 + 4
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia f : (-4,4)-> f(x)= 4ln4
x
x
(5p) a) Gsii asimptotele funciei f.(5p) b) S se determine
punctele de extrem ale graficului funciei f.(5p) c) Calculai 1lim (
)
xx f
x
2. Se consider funcia f : -> f(x)=x3+6x2-x-30(5p) a)
Calculai
4
3
( )2
f x dxx
(5p) b) Calculai 320
21
2 3
6 30
xdx
x x x
x
(5p) c) Calculai21
60 4
dxxx www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
20
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 14
Prof. Canache Georgiana
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Ordonai descresctor numerele 5 , 3 2 , 4 6(5p) 2. Se d
ecuaia x2-(3m+1)x+m2 - m=0 , m . Calculai expresia E(m)=
x12+x22-x1-x2 ,unde x1si x2 sunt rdacinile ecuaiei.(5p) 3. S se
determine inversa funciei f : (3 , )-> (0, ) f(x)=(5p) 4. Cte
numere de 2 cifre se pot forma cu elemente ale mulimii {1,2,3,4,6}
?(5p) 5. Aflai m astfel nct distana dintre punctele A(m+1 ,5) i
B(3, m-3) s fie de5 2 .
(5p) 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris
triunghiului ABC tiind c m( B )=4 i
AC=8.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie mulimea G=1
{ ( , ) 1 | , }0 0 1
a bM a b a a a b
(5p) a) Calulai M(1,2)M(2,3)(5p) b) S se arate c 3 GI (5p) c)
Calculai inversa matricei M(a,b)
2. Se consider a 4 i polinomul f=x3+ x2+x+a 4[x](5p) a) Calculai
f( )+ f( )+ f( )+ f( ) ,pentru a=(5p) b) Pentru a= , s se determine
rdcinile din 4 ale polinomului f.(5p) c) Aflai a 4 pentru care
polinomul este ireductibil n 4[x]
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : -> f(x)= 4x2-3x+2arctg x(5p) a) Studiai
monotona funciei f pe .(5p) b) Verificai dac f este funcie
bijetiv.(5p) c) Calculai 2
( )limx
f xx
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
21
2. Se d funcia f : [-2,2] -> 2( ) 4f x x (5p) a) Calculai
22
2
4x x dx
(5p) b) Aflai volumul corpului obinut prin rotirea graficului
funciei f n jurul axei ox(5p) c) Calculai
1
0
lim ( )nx
f x dxx
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 15
Prof. Canache GeorgianaFiliera teoretic, profilul real,
specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul
militar, specializarea matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Artai c numrul 22(1 3 2) (1 3 2)i i este numr ntreg
.(5p) 2. S se rezolve n sistemul de ecuaii 6
8x yxy
(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale 3 23 7 56 xx x =x(5p)
4. Aflai m astfel nct vectorii ( 2) 2u m i j i ( 5) 3v m i j s fie
coliniari.(5p) 5. Aflai numrul termenilor raionali ai dezvoltrii
1132 5(5p) 6. Se consider punctele A(5,-2) i B(1,3) . S se scrie
ecuaia mediatoarei segmentului AB.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie dreptele d1: 2x-y=5 , d2: x+4y=-2 i d3: x+y=m , unde m(5p)
a) Aflai m astfel nct dreptele sa fie concurente.(5p) b) Aflai m
astfel nct coordonatele triunghiului format de cele 3 drepte au
toatecoordonatele ntregi.(5p) c) S se calculeze valorile lui m
pentru care triunghiul determinat de cele 3 dreptepentru m=-2.
2.Se consider ecuaia 3 2 5 0x mx x n m,n i x1,x2,x3 soluiile
complexeale acesteia.(5p) a) Pentru m=2 si n=0 aflai x1,x2,x3(5p)
b) Aflai m i n tiind c x1= 2+i.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
22
(5p) c) Calculai x13+x23+x33 , unde m,n
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se d funcia f: / { 2,0} 2 23 2( ) ( 2)xf x
x x
(5p) a) Determinai asimptotele graficului funciei f .(5p) b)
Stabilii intervalele de monotonie ale funciei f.(5p) c) Calculai
2lim( (1) (2) ....... ( ))
x
nf f f n
2. Se consider funciile f : (-2 , ) 23( ) ( 2)( 2)xf x
x x i F: (-2 , )->
F(x)=a ln(x+2)+b ln(x2+2)+c arctg2x
, a, b, c (5p) a) Aflai a,b,c astfel nct F o primitiv a lui f
.(5p) b) Calculai
1
0
( )f x dx(5p) c) Stabilii monotonia funciei F ,n cazul n care F
este o primitiv a lui f.
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 16
Prof. Canache Georgiana
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Artai c numrul 13 132 3 2 3i i
este numr natural.(5p) 2. S se determine m astfel nct funcia f:
f(x)=(3m2-15)x+7 s fie funciestrict cresctoare.(5p) 3. S se
determine valorile lui n pentru care 1 24 2 10
n nC C (5p) 4. Care este valoarea sumei 1 2 2 3 ............ (
1)n n ?
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
23
(5p) 5. Aflai coordonatele simetriului punctului A(-2,1) fa de
mijlocul segmentului [BC] , undeB(1,-5) i C(-3,-3).(5p) 6. Aflai m
astfel nct punctele A(3,-2) , B(2,5) i C(3m,m-1) s fie
coliniare.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie m i3 2 12 1
2 3 1 0A m
m
(5p) a) Calculai determinantul matricei A.(5p) b) S se afle m
astfel nct matrice A sa fie inversabil .(5p) c) Aflai m astfel nct
A-1= - A*
2. Se consider mulimea G 2( ) , 2 25{ | , , 1}5a bG a bb a a
b
(5p) a) Artai c G este parte stabil a lui 2( ) n raport cu
nmulirea matricelor.(5p) b) Aflai un element A G astfel nct b 0(5p)
c) S se arate c mulimea G conine o infinitate de elemente.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 5 2 7: \{ } , ( )4 4 5
xf f xx
(5p) a) Determinai asimptotele funciei f.(5p) b) S se determine
limita irului
1( )
nna , an=f(1)f(2)... f(n).(5p) c) S se determine puntele de
inflexiune ale graficului funciei g: , g(x)=f(ex).
2. Fie funciile g,G : (- ) unde g(x)=x 4 5x i G(x)= 2( ) 4 5ax
bx c x ia,b,c (5p) a) Aflai a,b i c astfel nct G s fie o primitiv a
lui g.(5p) b) Studiai convexitatea/ concavitatea funciei G penrtu
a,b i c aflate la punctul a.(5p) c) Calculai
2
3
( ) ( )G x g x dx
ww
w.ma
teinfo
.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
24
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 17
Prof. Viorica Ciocnaru
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai modulul numrului complex z = (1+ i)(1- i 3
).(5p) 2. Rezolvai ecuaia x3 + 4 x2 - 2x - 8 = 0.(5p) 3. Exprimai n
funcie de a = log 12 27, log 616.(5p) 4. Determinai b21 n progresia
geometric n care b3 = 2 i b5 = C 24 .(5p) 5. Scriei ecuaia medianei
dus prin vrful A(2, 5) al triunghiului ABC unde B(-3, 2) i C(5,
-4).(5p) 6. Calculai
5cos3cos7coscos
pentru12 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =233
222
211
111
xx
xx
xx
unde x1, x2, x3 sunt rdcinile ecuaiei x3 + a x + b = 0,
a,b R. Se noteaz cu Sk = x1k + x2k + x3k, k N* i D = det A.(5p)
a) Calculai S2, S3, S4 n funcie de a i b.(5p) b) Artai c Sk+3 + a
Sk+1+ b Sk = 0, k N.(5p) c) Artai c rdcinile x1, x2, x3 sunt reale
dac i numai dac D2 0.
2. Fie G = (-1, 1) i legea de compoziie definit pe G, x y =1
xy
yx, x, y G.
(5p) a) Artai c legea este comutativ i asociativ.(5p) b)
Determinai elemental neutru, e.(5p) c) Determinai mulimea
elementelor simetrizabile.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia f: R R, f(x) =1
12
x
xi funcia g: R\ {1} R, g(x) =
11x .
(5p) a) Calculai f(x) i determinai asimptotele Gf.(5p) b)
Calculai g(n) (x).(5p) c) Artai c (f g) (n) (x)(x2 + 1) + 2n (f g)
(n-1) (x) x + n (n -1) (f g) (n-2) (x) = 0.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
25
2. Se consider irul (In)n 0 definit prin In = 1
0 2xx n dx, n N.
(5p) a) Determinai I0 i I1 i stabilii o legtur ntre I0 i I1.(5p)
b) Calculai In + 2 In-1, n N*.(5p) c) Studiai monotonia i mrginirea
irul (In)n 1 i calculai nlim In.
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 18
Prof. Viorica Ciocnaru
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai | z | i_
z pentru z = (2 + i)4.(5p) 2. Calculai probabilitatea ca un
element din mulimea {A 13 , C 45 , P3, C 25 , A 24 } s
verificerelaia
2n < 10 n + 1.
(5p) 3. Rezolvai inecuaia log0,25 (log 7452
x
xx ) > 0.
(5p) 4. Determinai suma vectoriloru = 2
i - 3
j i
v = 4
i + 5
j i produsul lor scalar.
(5p) 5. Triunghiul ABC are vrfurile A(-2, 6), B(-5, 2), C(3, -
4). Scriei ecuaia nlimii din A iaria triunghiului.
(5p) 6. Artai c dac ntr-un triunghi ABC are loc relaia sin A
=CBCB
coscos
sinsin
, atunci
triunghiuleste dreptunghic.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =
2121212121212121
i B = p A + I4, unde p R.
(5p) a) Verificai c 2 B B2 = I4.(5p) b) Artai c B este
inversabil p R i calculai inversa ei.(5p) c) Artai c Bn = I4 + n p
A, n N* i p R.
2. Pe Z se definete legea de compoziie astfel: x y = x + ay a,
x, y Z.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
26
(5p) a) Determinai a Z astfel nct legea s fie asociativ.(5p) b)
Determinai a i e Z astfel nct x e = e x = x, x Z i calculai a
a.(5p) c) Artai c (Z, ) este grup abelian.SUBIECTUL al III-lea (30
de puncte)
1. Fie funcia f: R R, f(x) = arc tg x 2x.(5p) a) Calculai f (1),
f(1).(5p) b) Studiai monotonia funciei i curbura ei.(5p) c)
Determinai asimptota la graficul funciei ctre + .
2. Se consider funcia f: [0, 1]R, f(x) =65
12 xx i se definete irul (In)n 0 prin
In = )(1
0
xfx n dx, n N.(5p) a) Determinai I0 i I1.(5p) b) Calculai In+2 +
5 In+1+ 6 In, n N.(5p) c). Determinai o primitiv a funciei f care
trece prin M(1,
21 ln
43 ).
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 19
Prof. Viorica Ciocnaru
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai n N astfel nct s aib loc relaia A 2 4n > C
3 4n .(5p) 2. Ordonai descresctor numerele log 6 36, 3 16 , 20 , 4
48 .(5p) 3. Calculai probabilitatea ca alegnd un element din
mulimea {
6
,
4
,
3
,
2
,
32
,
65
, }, cos Q?
(5p) 4. S se gseasc termenii dezvoltrii ( x +421
x)8astfel nct puterea lui x > 0 s fie numr
natural.(5p) 5. Rezolvai ecuaia z5 = 1 unde z C cu ajutorul
formei trigonometrice a unui numrcomplex.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
27
(5p) 6. Aflai perimetrul i aria triunghiului ABC cu vrfurile
A(-2, -6), B(-1, 3), C(3, 6).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie sistemul t1 x + t2 y + t3 z = m unde t1, t2, t3 sunt
rdcinile complexe ale ecuaieit2 x + t3 y + t1 z = nt3 x + t1 y + t2
z = p
t3 + m t2 + n t + p = 0.(5p) a) Aflai m, n, p dac t1 = 1, t2 =
-1, t3 = 2.(5p) b) Rezolvai sistemul dac m = n = p = 1.(5p) c)
Pentru m 0, ecuaia t3 + m t2 + n t + p = 0 admite rdcin tripl nenul
dac i numaidac
sistemul este incompatibil.
2. Fie inelele comutative (Z, , ) i (Z, , ), unde x y = x + y 4,
x y = x + y 7,x y = xy - 4(x + y) + 20, x y = xy - 7(x + y) + 56,
x, y Z.
(5p) a) Aflai elementele neutre ale celor dou inele.(5p) b)
Determinai elementele simetrizabile ale celor dou inele.(5p) c)
Artai c funcia f: Z Z, f(x) = x + 3 stabilete un izomorfism ntre
inelele (Z, , ) i
(Z, , ).SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia f: R\ { 1} R, f(x) =1
562
3
x
xx.
(5p) a) Determinai rdcinile ecuaiei f(x) = 0.(5p) b) Determinai
ecuaiile asimptotelor la Gf.
(5p) c) Calculai xlimx
x
x
xf 213
)(
.
2. Se consider funcia f: R\ {-5, 0}R, f(x) = )5(1xx .
(5p) a) S se calculeze n xf1
)( dx, n 2, n N.(5p) b) Dac se noteaz integrala de la a) cu In,
s se determine nlim In.
(5p) c) Fr a calcula efectiv integrala, s se arate c31 )()3(
7
4
xfxx dx 1.www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
28
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 20
Prof. Ciocnaru VioricaFiliera teoretic, profilul real,
specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul
militar, specializarea matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai modulul i conjugatul numrului complexii
2332
.
(5p) 2. Gsii coeficientul lui x4 n dezvoltarea (x- 2x2 +
1)5.(5p) 3. Determinai suma vectorilor 1
v ,
2v ,
3v i cosinusul unghiului format de 1
v i
2v tiind c
nv = 1
122
nn
n i +1
12
2
nn
n j , n N.(5p) 4. Aflai partea ntreag a numrului log6 2011.(5p)
5. Calculai bc cos2 A/ 2 + ac cos2 B/ 2 + ab cos2 C/ 2.(5p) 6.
Determinai raportul Sa / Sg unde Sa este suma primilor 101 termeni
ai unei progresiiaritmetice
i Sg este suma primilor 80 termeni ai unei progresii geometrice,
ambele progresii avndprimul
termen 5 i raia 0,2.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea M =100210321
.
(5p) a) Calculai M2, M3, Tr M.
(5p) b) Artai c Mn se scrie sub forma Mn =100
101
n
nn
x
yx, n N, calculai xn, yn.
(5p) c) Calculai M13, M23, M21 (complemenii algebrici) i
M2011.
2. Se consider sistemul^^^^
2332 zyx , ^^^^ 6246 zyx , ^^^^ 3423 zyx .(5p) a) Calculai
determinantul matricei sistemului n inelul Z12 i n inelul Z7 .(5p)
b) Determinai elementele inversabile n inelul Z12 n raport cu
nmulirea i calculai
probabilitatea ca alegnd un element din Z12, acesta s fie
inversabil.(5p) c) Rezolvai sistemul n inelul Z12.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
29
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funciile f, g: R R, f(x) =
n
kk kxp
1cos i g(x) = kx
kpn
k
k sin1
, n N\ {0,1},
unde pk R, k {1, 2, 3, ...}.(5p) a) Calculai g(x), g(x), f(0) i
g(0) .(5p) b) Artai c dac f(x) 0, x R, atunci g(x) este nul x
R.(5p) c) Calculai g (k ), k Z i
x
xgx
)(lim0 .
2. Se consider funciile f: (1, )R, f(x) = )ln1(1
xx , g: R R, g(x) = ex (2 ex 3) i
h: (0, )R, h(x) =x
1 (2 ln x 3). Determinai:(5p) a) primitiva F a funciei f cu
proprietatea F(ee-1) = 2.
(5p) b) t R astfel nct t xg0
)( dx = 0.
(5p) c) t > 0 astfel nct te
xh2
)( dx = 0.
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 21
Prof. Andrei Octavian Dobre
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Soluia ecuaiei (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155(5p) 2. S
se simplifice expresia 2 ! (2 )!( 1)( 2) ...(2 2)(2 1)2 2
n n
n n n n n
(5p) 3. Rezolvai ecuaia 3 4 1 2 1 5x x x x (5p) 4. Dac funcia :f
, ( ) 2012 1f x x , are inversa :g , s se calculezeg(2012)(5p) 5.
Fie punctele A(0,2), B(4,6), C(8,10) . Daca punctul A este
simetricul lui A fa de BC,aflai lungimea segmentului AA.(5p) 6. n
triunghiul ABC avem BC=4, AC=2 si AB = 6. Dac M este mijlocul
segmentului [BC]aflai ( )m BAM
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
30
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.2 2 2 2
1x y zax by cz da x b y c z d
(5p) a) Aflai detA(5p) b) Daca a=b si a c aflati rangul matricei
A(5p) c) Daca a=b=d si a c rezolvai sistemul
2. Pe multimea G = (0,1) se defineste legea de compozitie
asociativ*
2 ( 1)xy
x yxy x y
(5p) a) Aratati ca (G,*) este monoid(5p) b) Calculati 1 1 1*
*...*
2 3 2012
(5p) c) Calculati * *...*de n ori
x x x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia :f , unde2 1 2
2 26( ) lim ,
4
n
nn
x xf x xx x
(5p) a) Aflai ( )f x pentru | | 1x (5p) b) Studiai continuitatea
funciei in 0 1x si 0 1x (5p) c) Studiai convexitatea i concavitatea
funciei
2. Fie1
2
1
(1 )nnI x dx
, *n (5p) a) Calculai 2I
(5p) b) Artai c 12
2 1n nnI I
n
(5p) c) Calculai suma0 1 2 31 1 1 1
... ( 1)3 5 7 2 1
n n
n n n n n nS C C C C Cn
ww
w.ma
teinfo
.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
31
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 22
Prof. Andrei Octavian Dobre
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Fie dezvoltarea 41( )nx xx
. Dac diferena dintre coeficientul termenului al treilea
aldezvoltarii i coeficientul termenului al doilea al dezvoltarii
este 44 atunci aflai termenul din aceastdezvoltare care nu l conine
pe x(5p) 2. Aflai z astfel nct 2 2 1 0z z z i (5p) 3. Rezolvati
ecuatia 2 2[ 1] 1x x x x (5p) 4. Fie ecuaia 22 2 7 4 0x mx m . S se
arate c pentru soluiile ecuaiei verificegalitatea 2 21 2( 2) ( 2)
1x x m (5p) 5. Fie AB si CD doua coarde perpendiculare ale unui
cerc cu centrul O.Dac { }AB CD P , s se arate c: 2PA PB PC PD PO
(5p) 6. Dac n triunghiul ABC tim b=2, c=6 i lungimea bisectoarei
din A este de 4 cm, aflaicos
2A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.bx ay ccx az bcy bz a
(5p) a) Aratai c determinantul matricei asociate este un numr
divizibil cu 2(5p) b) Aflai rangul matricei asociate
sistemului.(5p) c) Aratai c sistemul are solutie unic dac i numai
dac 0abc . n acest caz rezolvaisistemul.
2. Fie { / , , , }ka b
A a b Z k fixatkb a
(5p) a) Aratai c ( , , )kA este inel(5p) b) Afai k astfel nct
inelul kA s aib divizori ai lui 0
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
32
(5p) c) Demonstrai c k pA A dac i numai dac k=p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia 2011: , ( ) 1f f x x (5p) a) Aratai c 'f
este strict descrescatoare pe [0; )(5p) b) S se calculeze 1 1 2lim
( '( ) '( ) ... '( ))
n
nf f fn n n n
(5p) c) Utiliznd teorema lui Lagrange s se arate ca pentru orice
1[ , ]k kxn n
avem1( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )k k k k kx f f x f x f
n n n n n
, 2n si {1, 2,.., }k n
2. Se consider irul ( )n nI definit prin2
1
00
xI e dx i 210
, 1xnI e dx n
(5p) a) S se calculeze 0I
(5p) b) Aratai c *11
,n nI nI ne
(5p) c) Aratai c *! 1 1 1( (1 ... )),1! 2! !n
nI e ne n
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 23
Prof. Ioan Lung
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai partea real a numrului complex41 i
z2 .
(5p) 2. Fie funcia 2f : 2,10 , ( ) 2 3.B f x x x Determinai
mulimea B astfel nctfuncia f s fie surjectiv.(5p) 3. Calculai 5log
3 2 25 log (3 7) log (3 7) .(5p) 4. Rezolvai ecuaia 519 19nC C
.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
33
(5p) 5. Fie punctele ( 1,1)A , (3,5)B i (4,9)C . Determinai
punctual D astfel nct ABCDs fie un parallelogram.
(5p) 6. Dac 22x
tg , calculai cos2x.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea1 0 10 1 01 0 1
A
(5p) a) Calculai 3A .(5p) b) Determinai numerele reale p,q
astfel nct 3 2A pA qA .(5p) c) Determinai matricea 2 *... ,nB A A A
n N .
2. Se consider polinomul 2000 1000 3 2 2 (1 2)f X X X X X i
.(5p) a) Artai c 1
2i este rdcin a lui f.
(5p) b) Artai c 2 2 1X X divide polinomul f.(5p) c) Determinai
restul mpririi polinomului f la 2( 1)X .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se d funcia f : , ( )R R f x x arctgx .(5p) a) Studiai
monotonia funciei f .(5p) b) Determinai punctele de inflexiune ale
funciei f .(5p) c) Determinai asimptotele funciei f .
2. Se d funcia2
0
f : , ( ) ( 3)x
tR R f x t e dt .(5p) a) Calculai f(1).(5p) b) Determinai
punctele de extrem ale funciei f .(5p) c) Calculai 20
( )limx
f xx
.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
34
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 24
Prof. Ioan Lung
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai partea imaginar a numrului complex 23 2
iz
i .
(5p) 2. Determinai funcia f : , ( )R R f x ax b tiind c 1(8) 2f
i 1( 4) 2f .(5p) 3. Fie funcia 2f : , ( ) 4 1A B f x x x .
Determinai o pereche de mulimi (A,B)astfel nct funcia f s fie
bijectiv.(5p) 4. Fie A o mulime avnd n elemente. Determinai numrul
natural n astfel nctmulimea A s conin 255 de submulimi nevide.(5p)
5. Considerm punctele ( 3, 3), ( , 1), (2, 5)A B m m C . Determinai
numrul real mastfel nct aria triunghiului ABC s fie 33
2.
(5p) 6. Calculai arcsin(sin2).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie mulimea 21( ) ( )
1x x
M A x M Rx x
.
(5p) a) Calculai detA(2011).(5p) b) Artai c mulimea M este
stabil n raport cu nmulirea matricelor.(5p) c) Artai c A(2011) este
inversabil i determinai matricea 2011nA .
2. Fie permutrile de gradul 5:1234545132
,12345 12345
,
25431 53421 .
(5p) a) Determinai semnul permutrii .(5p) b) Determinai
permutarea 1 .(5p) c) Rezolvai ecuaia x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia f : , ( ) 2 4 2D R f x x x .(5p) a) Determinai
domeniul maxim de definiie al funciei f.(5p) b) Determinai domeniul
de derivabilitate al funciei f.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
35
(5p) c) Aplicai teorema lui Lagrange funciei f pe intervalul
11,18 i determinai punctulc corespunztor.
2. Se consider funciile 0f : , ( )n R R f x x i 1( ) cos ( )n nf
x f x , 0n .
(5p) a) Calculai2
20
( )sinf x xdx
.(5p) b) Artai c funciile fn sunt mrginite, n N .(5p) c)
Determinai volumul corpului de rotaie determinat de funcia
1: 0, , ( ) ( )2g R g x f x .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 25
Prof. Ioan Lung
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinai rdcina ptrat a numrului 1 4 3z i .(5p) 2.
Rezolvai sistemul 2 2
2 03 2 7 4
x y
x xy y x y
(5p) 3. Studiai injectivitatea funciei 2f : , ( ) 2 3 2R R f x x
x .(5p) 4. Determinai termenul din mijloc al dezvoltrii
203 2 1a
a
.
(5p) 5. Considerm punctele ( 3, 3)A i (1,3)B . Determinai ecuaia
mediatoareisegmentului AB .(5p) 6. Calculai tg( 75 ).
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
36
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider determinantula b cc a bb c a
, a,b,c
(5p) a) Calculai determinantul .(5p) b) Calculnd determinantul n
dou moduri, artai c
3 3 3 2 2 23 ( )( )a b c abc a b c a b c ab ac bc (5p) c)
Rezolvai pe R ecuaia 3 3 8 6x y xy tiind c 2 0x y .
2. Fie 0, \ 1G i legea de compoziie ln yx y x .(5p) a) Artai c
legea este asociativ i comutativ.(5p) b) Artai c ( , )G este grup
abelian.(5p) c) Determinai numrul ...e e e , unde e apare de n
ori.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie irul 1n na , 2
33 3 3 3 3
7 19 3 3 1...
1 2 2 3 1nn n
an n
.
(5p) a) Determinai termenul general al irului 1n na .(5p) b) S
se calculeze 3lim nn
na .
(5p) c) S se calculeze 1lim sin sinn nn
na na .
2. Se consider funcia 22f : , ( ) min ,
1R R f x x
x
.(5p) a) Explicitai funcia f i artai c admite primitive.(5p) b)
Determinai primitivele funciei f.(5p) c) Calculai aria suprafeei
mrginit de graficul funciei f, axa Ox i dreptele verticale
1, 2x x .www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
37
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta26
Prof. Ioan Lung
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai 2 3 2011cos cos 2 cos3 ... cos 2011i i i i
.(5p) 2. S se determine valorile parametrului real m astfel nct
ntre soluiile 1 2,x x aleecuaiei 21 5 7 2 0m x m x s existe relaia
1 2 3x x .(5p) 3. Rezolvai pe mulimea numerelor reale ecuaia 52
8
1log 15log2
x x .(5p) 4. Considerm o mulime A cu 10 elemente. Care este
probabilitatea ca alegnd osubmulime a lui A, aceasta s conin dou
elemente?(5p) 5. Considerm punctele ( 4, 2), (2,0), ( 5,1)A B C .
Artai c dreptele AB i AC suntperpendiculare.(5p) 6. Rezolvai pe
mulimea 0, ecuaia 2sin 3 1 0x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie sistemul2 1
12,
x y mzx y zx my z m R
(5p) a) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s admit o
singur soluie.(5p) b) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s
fie incompatibil.(5p) c) Determinai parametrul m astfel nct
sistemul s admit o singur soluie 0 0 0, ,x y z cu 0 0y .
2. Pe mulimea 7,G se definete legea de compoziie 7 7 56x y xy x
y .(5p) a) Artai c ( , )G este grup abelian.(5p) b) Rezolvai pe R
ecuaia
2011
... 7ori
x x x .
(5p) c) Fie funcia f : 0, , ( )G f x ax b . Determinai numerele
reale a i b astfelnct funcia f s fie un izomorfism de la grupul ( ,
)G la grupul * ,R .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
38
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Considerm funcia 2f : , ( ) ln 1R R f x xarctgx x .(5p) a)
Calculai f x .(5p) b) Artai c funcia f este strict cresctoare.(5p)
c) Demonstrai c *( ) 0,f x x R .
2. Se consider funcia 1 1f : , , ( )3 3 1
R f xx
.(5p) a) Determinai primitivele funciei f.(5p) b) Calculai
0
1limn
n k
kfn n
.(5p) c) Fie F o primitiv a funciei f astfel nct 50
3F . Rezolvai ecuaia
1F x f x .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 27
Prof. Viorica Lungana
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Scrierea zecimal a
numrului
371
este ......,0 321 naaaa . S se determine 2011a .
(5p) 2. S se determine rdcinile reale ale ecuaiei : 0342 xx
.(5p) 3. S se arate c numrul de submulimi ale unei mulimi cu n
elemente este n2 .(5p) 4. Un copac cu nlimea de 10 m crete n
fiecare lun cu 4% din nlimea sa. Ce
nlime va avea copacul dup dou luni?
(5p) 5. Fie ,0,, cba cu 1,, cba . Artai c: 1lglglg baaccb cba
.(5p) 6. n triunghiul ABC se dau 6BC ,
2A i
6C . Calculai: BCAC , ABAC ,
BCBA .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
39
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricele:
369246123
A ,
100010001
3I i AIB 3 .
(5p) a) S se calculeze determinantul i rangul matricei A.
(5p) b) Dac
321
X i 123Y , s se calculeze matricea XYAS .(5p) c) S se arate c
matricea B este inversabil i inversa sa este matricea
AIB111
31 .
2. Fie ,*I grup abelian, unde ,1I R i legea de compoziie este
definit prin2* 2222 yxyxyx , Iyx , .
(5p) a) S se determine elementul neutru i mulimea elementelor
simetrizabile.(5p) b) S se arate c ntre grupurile ,*R i ,*I exist
un izomorfism ,1,0:f
de forma mxxf , unde m R, se va determina.(5p) c) Fie Ix . S se
calculeze
oride
xxxx100
*...*** .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie un ir nf astfel ca pentru orice n N s avem: nfnfnf 31
i
210 f .
(5p) a) S se calculeze 4,3,2,1 ffff .(5p) b) Exprimai termenul
general nf n funcie de n.(5p) c) S se calculeze nffffSn ....210 i s
se arate c
301 fnfSn
2. Fie :f RR o funcie care admite ca primitiv funcia F cu
proprietatea xxxfxF ,sin R.
(5p) a) Calculai xdxe x sin .(5p) b) Calculai derivata funciei
xexF .(5p) c) Dac 00 f , atunci determinai funcia f .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
40
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 28
Prof. Viorica LunganaFiliera teoretic, profilul real,
specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul
militar, specializarea matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se determine valorile parametrului real m pentru care
ecuaia 012 mxx arerdcini complexe.
(5p) 2. S se rezolve ecuaia 02
33
1 xx .
(5p) 3. S se calculeze a , pentru
n
kka
0 21
, unde a este partea ntreag a numruluireal a.
(5p) 4. S se calculeze suma nnaaaaS ...32 32 , a R.(5p) 5. O
trup de actori are n componena sa 4 brbai, 3 femei i 3 copii. n cte
moduri
se poate face distribuia ntr-o pies de teatru care are 2 roluri
de brbai, 2 roluri defemei i un rol de copil?
(5p) 6. Calculai ctgttgt 43 , tiind c 052sin42cos3 tt .SUBIECTUL
al II-lea (30 de puncte)
1. nM 2(C) se consider matricele
1001
2I ,
0000
2O i submulimea
Cwzzw
wzG ,____ .
(5p) a) S se verifice c GI 2 i GO 2 .(5p) b) S se calculeze z i
w dac 0____ zw
wz.
(5p) c) S se arate c dac GQP , , atunci GQP .
2. Pentru orice n Z, considerm funcia nxxff nn 222,,2,2: . Sse
arate c:
(5p) a) nmfff nmnm ,; Z.(5p) b) Mulimea ZnfG n mpreun cu operaia
de compunere a funciilor este grup
comutativ.(5p) c) Grupul ,G este izomorf cu grupul aditiv al
numerelor ntregi ,Z .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
41
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia ,0:f R, 22 112
xx
xxf i irul 1nna definit prin
nfffan ...21(5p) a) S se verifice egalitatea ,0,1
1122 x
xxxf .
(5p) b) S se arate c n
n
nnan ,1
22
2
N*.
(5p) c) S se calculeze nnfnn
a
1
lim .
2. Fie funcia
3
2,
351,1: f , xxxf arccos
32 .
(5p) a) S se arate c f este funcie bijectiv.
(5p) b) Calculai: 21
21
21dx
x
x.
(5p) c) Calculai:
0
1
dxxf .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 29
Prof. Viorica Lungana
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. a) S se arate c xxxxx ,21
11
211 N.
b) S se calculeze suma20112010
1...
431
321
211
S .(5p) 2. Cte laturi are un poligon convex cu msurile n grade
ale unghiurilor n progresie
aritmetic de raie 20 , dac cel mai mic unghi are 68 ?(5p) 3. S
se dea un exemplu de dou numere iraionale cu proprietatea c suma i
produsul
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
42
lor sunt numere raionale strict pozitive.(5p) 4. S se rezolve
ecuaia 43232 1212 xx .(5p) 5. Folosind metoda induciei matematice,
demonstrai inegalitatea:
1,121...21
11
222 nnn .(5p) 6. S se rezolve ecuaia: 02sinsin xx .SUBIECTUL al
II-lea (30 de puncte)
1. n M 3(C) se consider matricele
100010001
3I i
000100230
A .
(5p) a) Calculai matricele: 2A i 3A .(5p) b) S se arate c pentru
orice z C, determinantul matricei zAI 3 este egal cu 1.(5p) c)
Calculai: 233 AAIAI . Ce putei spune de inversa matricei AI 3 ?
2. Fie gf , Z5 X , 145 XXf , 23235 XXXXg .(5p) a) S se afle cel
mai mare divizor comun al celor dou polinoame.(5p) b) S se afle cel
mai mic multiplu comun al polinoamelor f i g.(5p) c) S se rezolve
ecuaia xgxf .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcia :f RR dat de legea 1
122
xx
xxf .
(5p) a) S se studieze continuitatea funciei f pe R.(5p) b) S se
studieze derivabilitatea funciei f n punctul 1x .(5p) c) Cercetai
cte puncte de extrem are funcia f .
2. Se consider irul 0nnI , e nn dxxI1
ln .
(5p) a) Calculai 0I i 1I .(5p) b) Gsii o formul de recuren
pentru irul 0nnI .(5p) c) Studiai convergena irului i, n cazul n
care este convergent, calculai limita sa.
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
43
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 30
Prof. Viorica Lungana
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se determine funcia de gradul al doilea :f RR, cbxaxxf
2 , astfelnct graficul ei s conin punctele 4,1;1,3;2,1 CBA .
(5p) 2. S se determine parametrul real m astfel nct yxmyxyx
,,06422 R.
(5p) 3. Fie :f R 2 R 2
,1 xx
xf . S se arate c funcia f este bijectiv i s secalculeze xf 1
.
(5p) 4. S se determine coeficientul lui 8x n dezvoltarea
binomului25
21
x
x .
(5p) 5. S se calculeze imaginea funciei :f RR, 1
32
2
x
xxxf .
(5p) 6. Dintr-un far nalt de 100 m (fa de nivelul mrii) se vd pe
mare dou nave peaceeai linie cu baza farului, una sub un ungh de 45
i cealalt sub un unghi de 30 .
Aflai distana dintre cele dou nave.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider sistemul
12102
zmyxzmyx
zymx, unde m R.
(5p) a) S se rezolve sistemul pentru 1m .(5p) b) S se determine
parametrul real m, astfel nct sistemul s fie
compatibildeterminat.(5p) c) S se determine parametrul real m,
astfel nct sistemul s fie incompatibil.
2. Se consider polinomul cbacbXaXXf ,,;34 R.(5p) a) Pentru 501c
s se demonstreze c 200811 ififff , unde
12 i .(5p) b) Pentru 2a , 2b , 1c s se determine rdcinile
polinomului f.(5p) c) S se demonstreze c nu exist valori reale ale
coeficienilor cba ,, astfel ca f s se
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
44
divid cu XXg 3 .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcia real Ef : R, 168143 xxxxxf .(5p) a) Determinai
domeniul de definiie i artai c funcia f se poate scrie
,10110,5,5125,1,1
xdacxdacxxdac
xf
(5p) b) Studiai continuitatea funciei f n punctele 51 x i 102 x
i calculai derivatafunciei.
(5p) c) Cercetai dac funcia f este derivabil n punctele 51 x i
102 x . Stabiliidomeniul de derivabilitate al funciei. Ce fel de
puncte sunt 51 x i 102 x pentrugraficul funciei f ?
2.(5p) a) Demonstrai inegalitatea 0,1ln xxx .(5p) b) Artai c
01lnlim
1
0
2
dxa xx
nn
n, unde 0a .
(5p) c) S se calculeze 1
02
22lim dxaxx
xxn
nn
nn
n, unde 0a .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 31
Prof. Blandina Maniiu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1 S se determine partea imaginar a numrului complex z 1
.1
ii
(5p) 2. Se consider funcia f : , f(x)=x +2.S se rezolve ecuaia f
2( ( )) ( ).f x f x(5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale
ecuaia 12 9 9 7.x x
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
45
(5p) 4. S se rezolve sistemul: ! 6 ,! 25
x
y
unde x,y .(5p) 5. S se determine parametrul real m,tiind c
dreptele distincte d 1: 3 2mx y
i d 2:12 2 3 0x y sunt perpendiculare pe aceeai dreapt d.(5p) 6.
Comparai elementele cos2 i cos3.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider mulimea M= , ,
1/ 0 1 0 , ,
0 0 1p q p q
p qA A p q
3 .M
(5p) a) S se arate c oricare ar fi m,n,p,q avem:, ,m n p qA A M
.
(5p) b) S se arate c orice matrice din M este inversabil i s se
afle inversa ei.(5p) c) S se afle n funcie de p i q rangul
matricei
,p qA1,
.p qA
2. Se consider polinomul f= 5 4 3 22 5 6 16X X X X X .(5p) a) S
se afle rdcinile ntregi ale polinomului f.(5p) b) Aflai 2 2 2 2 21
2 3 4 5 .x x x x x (5p) c) Aflai rdcinile reale ale polinomului f
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie f: 0, ,f(x)= lnx x .(5p) a) Aflai asimptotele funciei
f.(5p) b) Studiai monotonia funciei f pentru x>0.(5p) c)
Demonstrai c f(x)>0 pentru x>1.
2. Fie f: , f(x)= 1 .2 sin x
(5p) a)Studiai mrginirea funciei f pentru x .
(5p) b) Calculai2
0
( ) .f x dx
(5p) c) Demonstrai c orice primitiv F(x) a funciei f(x) este
strict cresctoare i
calculai 20110
1lim ( ) .x
xf t dt
x www
.mate
info.r
o
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
46
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 32
Prof. Blandina Maniiu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se determine partea ntreag a
numrului 3 2 2.(5p) 2. Studiai paritatea funciei f: 2, 2 2, , ( )
ln .2
xf xx
(5p) 3. S se rezolve n ecuaia 10 2 10 3x x (5p) 4. Calculai 0 2
88 8 8...C C C .(5p) 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se
consider punctele
2,1 , 2,2A B i 5, 3C .S se scrie ecuaia dreptei care trece prin
C i esteperpendicular pe AB.
(5p) 6. Calculai sin cos .8 8
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consider matricea A 31 1 1
1 1 1 .1 1 1
M
(5p) a) Calculai rang A.(5p) b) Aflai 1A .(5p) c) Dac B=A 12A s
se afle B 2011 .
2. Fie G=(2, ) i 2 2 6, , .x y xy x y x y (5p) a) Demonstrai c G
este parte stabil a lui n raport cu legea .(5p) b) Aflai mulimea
elementelor simetrizabile n raport cu legea .(5p) c) Ct este suma i
produsul soluiilor ecuaiei 11x x ?SUBIECTUL al III-lea (30 de
puncte)
1. Se consider funcia f: , 2 .f x arctg x arctgx (5p) a) Aflai
ecuaiile asimptotelor la graficul funciei f.(5p) b) Studiai
monotonia funciei .(5p) c) Artai c 0 ( ) , .
2f x x
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
47
2. Se consider funcia f:2
, 1, ( ) .
, 12
xxe x
f x ax
x x
(5p) a) S se afle valoarea parametrului real a pentru care f
este continu n x 0 1.(5p) b) Pentru a=3e demonstrai c f admite
primitive pe .(5p) c) Calculai
2
0
( ) ,f x dx pentru a=3e.
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 33
Prof. Blandina Maniiu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Aflai inversa funciei f: , ( ) 3 4.f x x (5p) 2. Aflai
modulul numrului complex z 1 2 .
1 2ii
(5p) 3. Aflai o relaie independent de m ,ntre rdcinile
ecuaiei 2 2( 1) 2 1 0, .x m x m m (5p) 4. Calculai suma 1 1! 2
2! ... n !n , *n .(5p) 5. Aflai aria triunghiului ABC tiind c
AB4,AC6 i m( 0) 15 .A (5p) 6. Fie A(1,-2),B(-3,0) i C(1,2).Scriei
ecuaia nlimii din A ,a
triunghiului ABC.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consider matricea A(x)2
1 0 01 0 , .
2 2 4 1x x
x x x
(5p) a) S se rezolve ecuaia S0 unde S este suma tuturor
elementelor matricei.(5p) b) Calculai A(x) ( ), , .A y x y (5p) c)
Aflai A *(2011), .n n
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
48
2. Se consider polinomul f X 4 24 16X X i numrul 3 .i (5p) a)
Calculai f( ).(5p) b) Aflai toate rdcinile polinomului f.(5p) c)
Descompunei polinomul f n factori ireductibili n XSUBIECTUL al
III-lea (30 de puncte)
1. Fie f 2 1: , ( ) ln ,1
xD f x Dx
este domeniul maxim de definiie alfunciei f.
(5p) a) S se afle D i s se determine asimptotele verticale la
graficului funciei f.(5p) b) Studiai derivabilitatea funciei i
calculai ( ).f x(5p) c) Scriei ecuaia tangentei la graficul funciei
f ,n punctul de abscis x 3.
2. Fie f n : ,f n ( ) 2 ,xnx x e n ,i I 1
1
.n nf x dx
(5p) a) Studiai paritatea funciei f ( ).n x(5p) b) Calculi 0I
.
(5p) c) S se determine1
0 20111
( ( ) ( ))f x f x dx
.
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 34
Prof. Maniiu Blandina
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. S se rezolve n ecuaia 3log 2 2 23 5log 2 2 0.xx (5p) 2.
Dac 3 2,
3x yx y aflai
x
y,x,y , 0, 3 0.y x y
(5p) 3. Aflai mulimea 2 8log log 8 .x x x (5p) 4. Determini
valorile parametrului real m, astfel nct ecuaia
2 ( 2) 4 0x m x s nu admit solii reale.(5p) 5. Fie dreptele de
ecuaii 1 2: 2 1 0, : 3 4 0d x y d x y
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
49
i 3 : 3 0d x y m .Determinai m real astfel nct dreptele sfie
concurente.
(5p) 6. S se rezolve n 0,2 ecuaia cos2x sin 2 1.x SUBIECTUL al
II-lea (30 de puncte)
1.Se consider sistemul de ecuaii liniare1
( 1) 2( 1)
mx y zm x y z
x y m z m
i A matricea sistemului
(5p) a) S se calculeze determinantul matricei A, i s se afle
valorile lui m pentrucare matricea are rang maxim
(5p) b) S se determine valoarea lui m pentru care sistemul este
compatibildeterminat.
(5p) c) Pentru m 2 s se rezolve sistemul.
2. Fie polinomul f 4 3 2 1X X X X cu rdcinile 1 2 3 4, , ,x x x
x .(5p) a) Aflai media aritmetic i media geometric a rdcinlor 1 2 3
4, , ,x x x x .(5p) b) Calculai 11 201 2001 20111 2 3 4 .x x x x
(5p) c) Aflai ctul i restul mpririi lui f la 2 1 5 1
2X X i
descompunei f n factori ireductibili n X .SUBIECTUL al III-lea
(30 de puncte)
1. Fie funciile f,g: ,f(x) 2 1x
x i g(x)
( )f xe .
(5p) a) Determinai asimptotele graficului funciei g(x).(5p) b)
Calculai ( )f x i studiai derivabilitatea funciei n x=0.(5p) c)
Aflai punctele de extrem local ale funciei f(x).
2. Se consider f: .
12 , 1( ) .1, 1
xe xf xx x
(5p) a) S se arate c funcia f(x) admite primitive pe R i
calculai primitivele ei.(5p) b) Calculai aria suprafeei plane
determinat de graficul funciei f, axa Ox i
dreptele x=0; x=2.
(5p) c) Calculai3
2
( ) .exf x dx
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
50
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 35
Prof. tefan Florin Marcu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate
subiectele se cer rezolvri complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculai : 4 4(3 ) (3 )i i .(5p) 2. Artai c : 1 2 2010lg
lg .... lg lg 2011 0
2 3 2011 .
(5p) 3. Aflai numrul soluiilor ntregi ale inecuaiei : 2 2011
2010 0x x .(5p) 4. S se afle *, 2n N n , pentru care : 1 22 9n nC C
.(5p) 5. n sistemul de coordonate XOY , se consider punctele :
A(m,4) , B(2,3) , C(3,4) .
Aflai valorile lui mR , pentru care triunghiul ABC este
dreptunghic , cu m()=90 .
(5p) 6. Calculai perimetrul triunghiului ABC , tiind c AB=3 ,
AC=4 i m( BAC
)= 60 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consider matricea A 2 ( )M R , A= 1 22 4 .
(5p) a) Artai c : 2A = 5 A .(5p) b) Calculai suma : 2 2011....A
A A .(5p) c) Artai c , dac X 2 ( )M R verific relaia 2X A , atunci
15X A sau
15
X A .
2. Pe R , definim legea de compoziie " " astfel :x y= 2( )x y a
x y a a , ( ) ,x y R , unde a R fixat arbitrar .
(5p) a) Artai c (a; ) este o parte stabil a lui R , n raport cu
legea " " .(5p) b) Dac :f R R , ( )f x x+a , artai c : ( ) ( ) ( )f
x y f x f y , ( ) ,x y R .
www.
matei
nfo.ro
-
Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte
www.mateinfo.ro
51
(5p) c) Dac a=2011 , rezolvai n R , ecuaia :2011
...
ori
x x x x
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie :f R R , ( )f x 2 3x x , xR .(5p) a) Calculai :
1
2 3 5lim1
x x
x x .
(5p) b) Artai c f este o funcie convex .(5p) c) Rezolvai n R ,
ecuaia : 2 3x x =5 .
2. Fie irul 1( )n nI ,1 3 1n
nn
xI dxx
.(5p) a) Artai c irul 1( )n nI , este strict descresctor .(5p)
b) Artai c irul 1( )n nI este mrginit .(5p) c) Calculai : lim (3
)n
nn I .
EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)
Prob scris la MATEMATIC
Varianta 36
Prof. tefan Florin Marcu
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic -
informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea
matematic - informatic.
Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10
puncte din oficiu. Timpul efectiv de lu