Bab_IV.Penggunaan_Turunan.pptx

Ika Permata Octasari (21060112083008)

Yokanan Tri K.P (21060112008018)

APLIKASI TURUNAN

SUB BAB APLIKASI TURUNAN

• Maksimum dan Minimum

• Kemonotonan dan Kecekungan

• Maksimum dan Minimum Lokal

• Masalah Maksimum dan Minimum• Teorema Nila Rata-rata

Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu :◦ Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau

minimum pada S.◦ Anggap bahwa nilai itu ada.◦ Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakana

bahwa : f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk

semua x di S; f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk

semua x di S; f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai

maksimum atau nilai minimum.

MAKSIMUM dan MINIMUM

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :

Teorema A :(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu

pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas. Seperti yang diterangkan dalam Teorema B berikut :

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:

titik ujung dari I titik stasioner dari f(f’(c) = 0) titik singular dari f(f’(c) tidak ada)

Jadi dapat disimpulkan cara sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I, yaitu : Carilah titik-titik kritis dari f pada I. Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar

adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh Soal :Carilah nilai maksimum dan minimum dari y(x) = x2 + 6x + 5 pada interval [ -4,0].

Penyelesaian :Turunan dari y(x) adalah y’ (x) = 2x + 6Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari persamaan : y’(x) = 2x + 6 = 0 ( dikali ½) x + 3 = 0 x = -3Sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) dengan -4, -3, 0.y(-4) = (-4)2 + 6 (-4) + 5 = -3y(-3) = (-3)2 + 6 (-3) + 5 = -4 y(0) = 02 + 6 (0) + 5 = 5Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].

Latihan .

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsif(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2].

Jawab:Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 - x).

Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titiksingularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis,yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua titikstasioner).

Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut:f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai nilaimaksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa: f adalah naik pada I jika untuk setiap

pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)

f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan xi dan x2 dalam I,

x1 < x2 → f(x1) > f(x2) f monoton murni pada I jika ia naik pada I

atau turun pada pada I. 

KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN

Teorema A(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada

selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f

naik pada I. Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f

turun pada I. Teorema B

(Terorema Kecekungan). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). Jika f “ (x) > 0 untuk semua x dakam (a,b), maka f

cekung ke atas pada (a,b). Jika f “ (x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f

cekung ke bawah pada (a,b).

Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a,b).

Jika f ’ naik pada I,

maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I;

jika f ’ turun pada I,maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.

Contoh Soal :Cari dimana f naik dan dimana turun, jika h(x) = 1/3 x3 – 3/2 x2 – 4x + 1 dengan menggunakan teorema kemonotonan.

Penyelesaian : Turunan dari h(x) adalah h’(x) = x2 – 3x – 4 Fungsi h naik, jika : h’(x) > 0

x2 – 3x – 4 > 0(x + 1) (x – 4) > 0x + 1 > 0 atau x -4 > 0x > -1 x > 4

Fungsi h turun, jika : h’(x) < 0x2 – 3x – 4 < 0(x + 1) (x – 4) < 0x + 1 < 0 atau x -4 < 0x < -1 x < 4

Jadi, titik-titik pemisahnya adalah -1 dan 4, dengan terdiri atas tiga selang yaitu (-¥, -1), (-1, -4), dan (4, ¥). Dengan memakai titik uji -2, 0, dan 5.· x = -2 h(x) = x2 – 3x – 4 = (-2)2 – 3 (-2) –

4 = 4 + 6 – 4 = 6 (positif)· x = 0 h(x) = x2 – 3x – 4 = (0)2 – 3 (0) – 4

= 0 – 0 – 4 = -4 (negatif)· x = 5 h(x) = x2 – 3x – 4 = (5)2 – 3 (5) – 4

= 25 – 15 – 4 = 6 (positif)

Jadi, menurut Teorema A, h naik pada (-¥, -1) dan [4, ¥) dan h turun pada [-1, 4].

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat

selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a ,b) ∩ S;

f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S;

f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

MAKSIMUM DAN MINIMUM LOKAL

Teorema A(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f

kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0

untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai maksimum lokal f.

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai minimum lokal f.

(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B(Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’

dan f “ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c,dan andaikan f’(c)=0.

Jika f “ (c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.Jika f “ (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh Soal :Tentukan nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 8x + 12 pada (-¥, ¥).

Penyelesaian :Fungsi poliom f kontinu dimana-mana (Teorema A kekontinuan fungsi yang dikenal) Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x – 8 Titik kritis untuk f yaitu f’(x) = 0

2x – 8 = 02x = 8x = 4

f turun, jika : f’(x) < 02x – 8 < 02x < 8x < 4dengan interval (0, 4)

f naik, jika : f’(x) > 02x – 8 > 02x > 8x > 4dengan interval (4, 0)

Jadi, menurut Teorema A (Uji Turunan Pertama Untuk Ekstrim Lokla) poin (ii), yaitu :Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (0, 4) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (4,0), maka f (4) = (4)2 – 8.4 + 12 = 16 – 32 + 12 = -4f(4) = -4 adalah nilai minimum lokal.

LatihanTentukan nilai maksimum dan minimum

lokal f(x) = x3 - 12x.

Jawab:

f ’(x) = 3x2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2) mempunyai

tanda:

Menurut Uji Turunan Pertama, f(-2) merupakannilai maksimum lokal dan f(2) merupakan nilaiminimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat padagrafiknya.

Ada beberapa langkah untuk dipakai dalam masalah maks-min terapan.

Langkah 1 Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesuai untuk besaran – besaran kunci.

Langkah 2 Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut.

Langkah 3 Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari varuabel-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel,misalnya x.

Langkah 4 Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

Langkah 5 Tentukan titik-titik kritis(titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0.

Langkah 6 Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan

Contoh Soal :Sebidang tanah terletak sepanjang sebuah tembok yang akan dipagari untuk sebuah kebun, jika tersedia pagar kawat sepanjang 200 m dan kebun berbentuk persegi panjang. Berapa ukuran kebun tersebut, agar luasnya maksimum ?Penyelesaian :Diket : Keliling = 200 mDit : Berapa ukuran kebun agar L maksimum = . . . ?Jawab : Misal : lebar = X dan panjang = Y

2L + P = K2X + Y = 200 mY = 200 – 2X

Sehingga, L (X) = XY= X (200 – 2X)= 200X – 2X2

Himpunan nilai-nilai X yang mungkin :X (200 – 2X) = 0X = 0 atau 200 – 2X = 0-2X = -200 X = 100

Jadi himpunan nilai-nilai X yang mungkin dalam interval (0, 100).Titik Kritis : dL = 0 200 – 4X = 0 -4X = -200 X = 50 m

Sehingga X = 50 m, satu-satunya titik kritis yang terletak dalam selang (0,100). Dengan memasukkan titik-titik ujung, ekstrim

dari A dapat terjadi hanya di X = 0, 50, atau 100.A (0) = 0A (50) = 5000 m2A (100) = 0Dengan demikian luas kebun maksimumnya

adalah 5.000 m2 yang terletak pada titik kritis X = 50.

Untuk X = 50 m → Y = 200 – 2X = 200 – 100 = 100 m.

Oleh karena itu, untuk mendapatkan luas kebun yang maksimum, dengan panjang kawat yang ada, panjang dua sisi yang tegak lurus dengan tembok haruslah 50 m dan sisi yang sejajar dengan tembok harus 100 m.

Contoh 7.Tentukan titik pada lingkaran x2 + y2 = 1yang terdekat ke titik P(1,2).Jawab:Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y) padalingkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1,2), yakni

Karena meminimumkan s sama dengan meminimumkans2, kita tinjau D = s2,

Turunkan terhadap x, kita peroleh

Perhatikan bahwa dD/dx = 0 apabila

yaitu apabila x = 1/√5.

Dengan memeriksa tanda dD/dx di sekitar 1/√5,kita simpulkan bahwa D mencapai minimum di x =1/√5.

Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/√5,2/√5).

Daerah asal f adalah [0,∞) dan daerahhasilnya juga [0,∞), sehingga grafiknya akanterletak di kuadran pertama. Titik potongdengan sumbu x adalah 0 dan 5, sedangkantitik potong dengan sumbu y adalah 0.

Untuk x > 0, turunan pertama f adalah

Jadi, titik-titik stasionernya adalah 1 dan 5,dan tanda f ’(x) adalah

Jadi f naik pada [0,1), turun pada [1,5], dan naikpada (5,∞). Menurut Uji Turunan Pertama, f(1) =16 merupakan nilai maksimum lokal dan f(5) = 0merupakan nilai minimum lokal (sekaligus global).Sekarang kita hitung turunan keduanya:

Menggunakan rumus akar persamaan kuadrat,kita dapatkan f ’’(x) = 0 ketika x = 1 + 2√6/3 ≈ 2,6.Di kiri 2,6, f ’’(x) < 0, shg grafiknya cekung kebawah;sedangkan di kanan 2,6, f ’’(x) > 0, shg grafiknyacekung ke atas. (2,6;f(2,6)) merupakan titik belok.

Dengan semua informasi ini, kita dapat menggambar grafikfungsi f(x) = √x.(x - 5)2 sebagai berikut:

Teorema Nilai Rata-rataPak Dono mengatakan bahwa ia telah menempuh 112 kmdalam 2 jam tanpa pernah melampaui 55 km/jam.

Tentu saja ia berbohong. Tetapi bagaimana kita dapatmembuktikannya?

Teorema Nilai Rata-rata. Jika f kontinu pada [a,b]

dan mempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu cє (a,b) sedemikian sehingga

Catatan. [f(b) - f(a)]/(b - a) adalah nilai rata-rata f

Ilustrasi:

Kembali ke cerita Pak Dono tadi, misalkan f(t)menyatakan jarak yang ditempuh dalam t jam. Maka fkontinu dan turunannya, f ’(t), menyatakan kecepatanpada saat t.Menurut Teorema Nilai Rata-rata, mestilah terdapatt1 є (0,2) sedemikian sehingga

f ’(t1) = [f(2) - f(0)]/(2 - 0) = 56.Ini berarti bahwa Pak Dono pernah melampaui 56km/jam.

Contoh 8

Diketahui f(x) = x2, x є [0,1]. Hitung nilai rata-rata fdan tentukan c є (0,1) sedemikian sehingga f ’(c)sama dengan nilai rata-rata f.

Jawab:Nilai rata-rata f pada [0,1] adalah

[f(1) - f(0)]/(1 - 0) = 1.Sementara itu f ’(x) = 2x = 1 jika dan hanya jikax = ½.Jadi c = ½ adalah bilangan yang kita cari.