Bab9. Teknik Pegnintegralan

Kalkulus 1*9. TEKNIK PENGINTEGRALAN

KALKULUS I

KALKULUS I*9.1 Integral ParsialFormula Integral Parsial :

Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhanaContoh : Hitung misal u = x, maka du=dx

sehingga

KALKULUS I

KALKULUS I*Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kaliContoh: HitungJawab (i) Misaldu = 2xdxdv = sinxdxV=-cosxIntegral parsial(ii)Misal u = xdu = dxdv = cosx dxv = sinx

KALKULUS I

KALKULUS I*Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kananContoh: HitungJawab : (i) Misal dv=cosxdxv=sinxIntegral parsial(ii) Misal dv = sinxdxv=-cosxIntegral yang dicari ,bawa keruas kanan

KALKULUS I

KALKULUS I*Soal latihanHitung 1.2.3.4.5.6.

KALKULUS I

KALKULUS I*9.2 Integral Fungsi Trigonometri

Bentuk : * Untuk n ganjil, Tuliskan :

dan gunakan identitas * Untuk n genap, Tuliskan :

dan gunakan identitas

KALKULUS I

KALKULUS I*Contoh: Hitung 1.Jawab: 2.1.2.

KALKULUS I

KALKULUS I*

Bentuk

a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan gunakan identitas b). Untuk m dan n genap, tuliskan menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas Contoh :

.

KALKULUS I

KALKULUS I*

KALKULUS I

KALKULUS I* . Bentuk Gunakan identitasserta turunan tangen dan kotangenContoh :a.

KALKULUS I

KALKULUS I*b.

KALKULUS I

KALKULUS I*Soal LatihanHitung1.2.3.4.5.

KALKULUS I

KALKULUS I*9.3 Substitusi Trigonometri a. Integran memuat bentuk,misal Contoh: Hitung Misal dx = 5 cost dttx5

KALKULUS I

KALKULUS I* b. Integran memuat bentuk,misal Contoh: Hitung Misal tx5

KALKULUS I

KALKULUS I* c. Integran memuat bentuk,misal Contoh :Hitung Misal tx5

KALKULUS I

KALKULUS I*Soal LatihanHitung1.2.3.4.5.6.7.8.9.

KALKULUS I

KALKULUS I*Substitusi Bentuk Akar Integran memuat ,misalContoh: HitungMisal Dengan turunan implisitdx=2uduJawab :

KALKULUS I

KALKULUS I*Soal LatihanHitung1.2.3.4.5.6.

KALKULUS I

KALKULUS I*9.4 Integral Fungsi RasionalIntegran berbentuk fungsi rasional : , der (P)< der(Q) Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :1. Faktor linear tidak berulang.2. Faktor linear berulang.3. Faktor kuadratik tidak berulang.4. Faktor kuadratik berulang.

Kasus 1. ( linier tidak berulang )Misal

maka,

dengan konstanta yang dicari.

KALKULUS I

KALKULUS I* Contoh: HitungJawab: Faktorkan penyebut : Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kananA +B =1-3A+3B=1x3x13A +3B=3-3A+3B=1+6B=4B=2/3,A=1/3Sehingga

KALKULUS I

KALKULUS I*Kasus 2. Linear berulangMisal Maka dengan konstanta akan dicariContoh: Hitung Jawab :

KALKULUS I

KALKULUS I*Penyebut ruas kiri =penyebut ruas kanan A+C=0A+B+4C=0-2A-B+4C=1A+B+4C=0-2A-B+4C=1+-A+8C=1A+C=0-A+8C=1+9C=1C=1/9A=-1/9B=-1/3

KALKULUS I

KALKULUS I* Kasus 3. Kuadratik tak berulangMisalMaka dengan konstanta yang akan dicari

KALKULUS I

KALKULUS I*Contoh :HitungJawab: A+B=0C=0A=1B=-1

KALKULUS I

KALKULUS I* Kasus 4. Kuadratik berulangMisal Maka dimana konstanta yang akan dicari

KALKULUS I

KALKULUS I*Contoh: HitungJawab :

KALKULUS I

KALKULUS I*Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperolehA+B=03B+C=04A+2B+3C+D=16B+2C+3D+E=-154A+6C+3E=22

Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3 D=-5, E=0Sehingga

KALKULUS I

KALKULUS I* Catatan: jika , bagi terlebihdahulu P(x) dengan Q(x), sehingga Contoh: HitungDer(P(x))=3>der(Q(x))=2Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)x+25x+4

KALKULUS I

KALKULUS I*..(*)Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untukUntuk x=2 dan x=-2Untuk x = 25.2+4=A(2+2)A=7/2Untuk x = -25.(-2)+4=B(-2-2)B=3/2Dengan menggunakan hasil diatas :

KALKULUS I

KALKULUS I*Soal Latihan1.2.3.4.5.6.7.Hitung

KALKULUS I

KALKULUS I*Integral Fungsi Rasional dalam sin dan cos, f fungsi rasionalCara :Gunakan subsitusi , dari sini dapat diperoleh

KALKULUS I

KALKULUS I*Contoh: HitungJawab:Gunakan substitusi diatas diperoleh

KALKULUS I

KALKULUS I*Soal LatihanHitung1.2.3.4.5.

KALKULUS I

*********************************