bab_5_1_new.doc

BAB VF U N G S I K O N T I N U

Pada bab ini akan diawali dengan pengkajian terhadap kelas fungsi yang sangat penting di dalam analisis real, yaitu kelas fungsi kontinu. Pertama akan didefinisikan pengertian kekontinuan di titik dan kekontinuan pada himpunan, dan menunjukkan beberapa macam kombinasi dari fungsi kontinu.

5.1 Fungsi Kontinu

Pada subbab ini akan dijelaskan pengertian suatu fungsi kontinu di suatu titik atau pada suatu himpunan. Pengertian kekontinuan ini merupakan pengertian sentral dari analisis matematika dan akan digunakan dalam hampir semua dari materi buku ini.

Definisi 5.1.1 Misalkan A , f : A , dan Fungsi f dikatakan kontinu di c jika untuk sebarang terdapat sehingga untuk setiap

dengan berlaku

|f(x) – f(c)| < eFungsi yang tidak kontinu di c, dikatakan tak kontinu (discontinuous) di c.

Catatan (a) Jika adalah titik limit dari A, dari Definisi 4.1.4 dan 5.1.1 dapat disimpulkan bahwa f kontinu di titik c jika dan hanya jika

. (5.1)

Jadi, jika c titik limit dari A, maka agar (5.1) terpenuhi, tiga syarat harus dipenuhi :

(i) ada, (ii) ada di dalam , (iii) harus sama dengan .

(b) Jika bukan titik limit dari A, maka terdapat persekitaran dari c

sehingga . Jadi disimpulkan bahwa fungsi f secara otomatis kontinu di c. Titik c semacam ini disebut titik terasing dari A. Karena kekontinuan otomatis untuk titik yang demikian, untuk selanjutnya kita akan membahas kekontinuan hanya di titik limit.

Definisi 5.1.2 Misalkan A , f : A , dan Fungsi f dikatakan kontinu pada B jika f kontinu di setiap titik dari B.

Sebagaimana pada pengertian limit fungsi yang dapat didekati dengan konsep barisan, kekontinuan ini juga berlaku kriteria barisan.

Teorema 5.1.3 Misalkan A , f : A , dan Kedua pernyataan berikut ekuivalen:(a) f kontinu di c. (b) Jika sebarang barisan bilangan real di dalam A yang konvergen ke c, maka

konvergen ke

Dengan mengambil kontraposisi dari Teorema 5.1.3 di atas, maka diperoleh kriteria ketakkontinuan berikut.

___________________________________________________________________Analisis Real 75

Teorema 5.1.4 (Kriteria Ketakkontinuan) Misalkan A , f : A , dan Fungsi f tak kontinu di c jika dan hanya jika terdapat barisan di dalam A yang

konvergen ke c tetapi barisan tidak konvergen ke

Contoh 5.1.5 (a) kontinu pada .

Seperti yang telah ditunjukkan pada Contoh 4.1.6 (a), jika c , maka .

Selanjutnya karena maka f kontinu di setiap titik di c . Jadi, f kontinu pada .(b) kontinu pada .Sebagaimana yang telah ditunjukkan pada Contoh 4.1.6 (b), jika c , maka

. Karena maka g kontinu di setiap titik di c . Jadi, g kontinu

pada c .(c) kontinu pada

Dari Contoh 4.1.6 (d) telah ditunjukkan bahwa jika , maka .

Karena ini menunjukkan bahwa g kontinu di setiap . Jadi h kontinu pada A. (d) Fungsi signum tidak kontinu di 0.

Fungsi signum telah didefinisikan di dalam Contoh 4.1.9 (b) dan tidak

ada di dalam . Oleh karena itu fungsi sgn tidak kontinu di 0, meskipun sgn (0) terdefinisi. (e) Misalkan A = dan f fungsi Dirichlet didefinisikan dengan

Fungsi f tak kontinu di setiap titik di dalam . (Fungsi ini dikenalkan oleh P.G.L, Dirichlet pada Tahun 1829).

Jika rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional yang konvergen ke . Eksistensi barisan ini dijamin oleh Teorema Kerapatan 2.5.5.

Karena untuk setiap n N, maka , sementara . Oleh

karena itu, tidak konvergen ke . Jadi f tidak kontinu di bilangan rasional .

Di pihak lain, jika b bilangan irrasional, maka terdapat barisan bilangan rasional sehingga konvergen ke b. Karena untuk setiap n N, maka

, sementara . Oleh karena itu, tidak konvergen ke

. Jadi f tidak kontinu di bilangan irrasional b.Karena setiap bilangan real adalah rasional atau irrasional, maka

disimpulkan bahwa f tidak kontinu di setiap titik dari .(f) Misalkan Untuk sebarang bilangan irrasional didefinisikan

dengan . Untuk bilangan rasional di dalam A, m dan n relatif prima,

didefinisikan dengan . Fungsi h kontinu di setiap bilangan irrasional di dalam A, dan tak kontinu di setiap bilangan rasional di dalam A. (Fungsi ini dikenalkan oleh K.J. Thomae pada Tahun 1875).

___________________________________________________________________Analisis Real 76

Jika rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional di dalam A

yang konvergen ke . Karena , sementara , maka h tidak

kontinu di .Di pihak lain, jika b bilangan irrasional dan , maka (dengan Sifat

Archimides) terdapat bilangan asli sehingga . Terdapat berhingga bilangan rasional dengan penyebut yang lebih kecil dari K di dalam interval

. Akibatnya dapat dipilih yang kecil sehingga persekitaran yang tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari

. Oleh karena itu, untuk , berlaku

.

Jadi Fungsi Thomae h kontinu di bilangan irrasional b.

Catatan (a) Kadang suatu fungsi f : A tidak kontinu di c, dikarenakan ia tidak terdefinisi di c. Akan tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c, maka dapat didefinisikan F pada dengan

yang kontinu di c. (b) Jika fungsi g : A tidak mempunyai limit di c, maka tidak dapat dibentuk fungsi G pada yang kontinu di c dengan mendefiniskan

Untuk meyakini ini, perhatikan bahwa jika ada dan sama dengan C, maka

harus ada dan sama dengan C juga.

Contoh 5.1.6 (a) Fungsi untuk tidak mempunyai limit di

(lihat Contoh 4.1.9 (c)). Jadi tidak ada nilai yang dapat dikawankan di untuk memperoleh perluasan kontinu dari g di .(b) Misalkan untuk . Karena f tidak terdefinisi di , maka fungsi f tidak kontinu di titik ini. Akan tetapi, menurut Contoh 4.2.8 (d)

. Oleh karena itu, dapat didefinisikan fungsi F pada dengan

yang kontinu di .

Latihan 5.1

1. Buktikan Teorema 5.1.3.2. Misalkan , f kontinu pada , g kontinu pada dengan

. Didefinisikan h pada dengan untuk dan untuk . Buktikan bahwa h kontinu pada !

___________________________________________________________________Analisis Real 77

3. Misalkan f didefinisikan untuk x , , dengan . Dapatkah f didefinisikan kembali di sehingga f kontinu di titik ini?

4. Misalkan A , f : A kontinu di . Tunjukkan bahwa untuk sebarang

terdapat sehingga untuk , berlaku .

5. Misalkan f : kontinu di c dan misalkan tunjukkan bahwa terdapat

persekitaran sehingga jika maka 6. Misalkan f : kontinu pada dan S = {x : f(x) = 0} adalah himpunan

nol dari f. Jika dan , tunjukkan bahwa .

7. Misalkan A B , f : B dan g pembatasan dari f terhadap A (yaitu untuk ).

(a) Jika f kontinu di , tunjukkan bahwa g kontinu di c.(b) Tunjukkan dengan contoh bahwa jika fungsi g kontinu di c, tidak perlu fungsi

f kontinu di c.8. Tunjukkan bahwa fungsi harga mutlak kontinu pada !

9. Misalkan dan f : memenuhi kondisi x, y . Tunjukkan bahwa f kontinu pada !

10. Misalkan f : kontinu di c dan misalkan untuk setiap bilangan r rasional. Buktikan bahwa untuk semua x !

11. Misalkan didefinisikan fungsi g : dengan untuk x rasional dan . Carilah titik-titik dimana g kontinu!

12. Misalkan f : (0,1) terbatas tetapi sehingga tidak ada. Tunjukkan

bahwa terdapat dua barisan dan di dalam (0,1) dengan

, sehingga dan ada tetapi tidak sama.

5.2 Kombinasi dari Fungsi Kontinu

Pada subbab sebelumnya telah didefinisikan beberapa operasi aljabar terhadap kelas fungsi, kemudian juga telah dikaji limit dari fungsi-fungsi baru itu. Hasil-hasil tersebut dapat dielaborasi untuk kekontinuan fungsi.

Teorema 5.2.1 Misalkan A , f dan g fungsi pada A, dan b . Jika dan fungsi f dan g kontinu di c, maka (a) dan kontinu di c.(b) Jika h : A kontinu di dan jika untuk setiap maka

hasil bagi kontinu di c.Bukti: Jika bukan titik limit dari A, maka kesimpulan akan terbukti dengan sendirinya. Oleh karena itu diasumsikan bahwa adalah titik limit dari A.(a) Karena f dan g kontinu di c, maka

Sehingga dengan Teorema 4.2.4(a) diperoleh

Jadi kontinu di c. Untuk yang lain dapat dibuktikan dengan cara serupa.

___________________________________________________________________Analisis Real 78

(b) Karena maka Tetapi karena maka

dengan Teorema 4.2.4(b) diperoleh

Jadi kontinu di c. ∎

Berikut ini diberikan akibat dari Teorema 5.2.1.

Teorema 5.2.2 Misalkan A , f, g fungsi kontinu pada A, dan b , maka(a) dan kontinu pada A.(b) Jika h : A kontinu pada A dan jika untuk setiap

maka hasil bagi kontinu pada A.Bukti: Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ∎

Contoh 5.2.3 (a) Fungsi polinomial kontinu pada .Misalkan untuk semua x . Dari Contoh

4.2.5 (c) bahwa untuk sebarang c . Jadi fungsi polinomial

kontinu pada .(b) Fungsi rasional.Jika p dan q fungsi polinomial pada , maka terdapat berhingga bilangan

akar real dari q. Jika , maka . Akibatnya dapat didefinisikan fungsi rasional r dengan

untuk .

Jika , maka

.

Dengan kata lain, r kontinu di c. Karena c sebarang bilangan real yang bukan akar dari q, kita simpulkan bahwa fungsi rasional kontinu di setiap bilangan untuk mana ia terdefinisi.(c) Fungsi sinus kontinu pada .Dalam pelajaran kalkulus untuk x, y, z , diperoleh

, ,

.

Sehingga, jika c , maka

.

Oleh karena itu sin kontinu di c. Karena c sebarang, maka sin kontinu pada .(d) Fungsi cosinus kontinu pada .Untuk x, y, z , berlaku

, ,

cos x – cos y = .

Sehingga, jika c , maka

___________________________________________________________________Analisis Real 79

.

Oleh karena itu cos kontinu di c. Karena c sebarang, maka cos kontinu pada .(e) Fungsi tan, cot, sec, csc adalah fungsi-fungsi kontinu dimana ia terdefinisi.Sebagai contoh, fungsi tangen yang didefinisikan dengan

apabila (yaitu apabila x ≠/2 + n, n N). Karena sin dan cos kontinu pada , maka fungsi tan kontinu pada domainnya.

Teorema 5.2.5 Misalkan A R, f : A dan didefiniskan , untuk

(a) Jika f kontinu di , maka kontinu di

(b) Jika f kontinu pada A maka kontinu pada A.

Bukti: Ini akibat langsung dari Latihan 4.2.13. ∎

Teorema 5.2.6 Misalkan A , f : A dan untuk semua

Selanjutnya misalkan didefinisikan sebagai untuk

(a) Jika f kontinu di , maka kontinu di

(b) Jika f kontinu pada A maka kontinu pada A.

Bukti: Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ∎

Komposisi dari Fungsi Kontinu

Berikutnya akan ditunjukkan, jika fungsi f : A kontinu di titik c dan jika g : B kontinu di maka komposisi juga kontinu di c, dengan syarat

Teorema 5.2.7 Misalkan A, B , dan misalkan f : A dan g : B adalah fungsi-fungsi dengan Jika f kontinu di dan g kontinu di maka fungsi komposisi : A juga kontinu di c.Bukti: Diberikan sebarang . Misalkan W adalah persekitaran Karena g

kontinu di b, maka terdapat sehingga jika , , maka

. (5.2)

Karena f kontinu di c, maka untuk di atas terdapat sehingga untuk

, , berlaku

.

Dengan kondisi terakhir ini dan (5.2) berlaku . Jadi, jika

, , maka dipenuhi

.

Karena sebarang, maka kontinu di c. ∎

___________________________________________________________________Analisis Real 80

Teorema 5.2.8 Misalkan A, B , misalkan f : A kontinu pada A dan g : B kontinu pada B. Jika maka fungsi komposisi : A kontinu pada A.Bukti: Teorema ini sebagai akibat langsung Teorema 5.2.7. ∎

Contoh 5.2.9 (a) Misalkan untuk x .

Dengan Ketaksamaan Segitiga

untuk semua x, c . Jadi, kontinu di c . Jika f : A sebarang fungsi

kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa

kontinu pada A. Hasil ini memberikan bukti alternatif dari Teorema 5.2.5.(b) Misalkan untuk .

Mudah difahami bahwa kontinu di sebarang . Jika f : A sebarang

fungsi kontinu pada A dan untuk semua , maka menurut Teorema

5.2.8 menyatakan bahwa kontinu pada A. Hasil ini memberikan bukti

alternatif dari Teorema 5.2.6.(c) Misalkan untuk x .

Pada Contoh 5.2.3 (c) telah ditunjukkan bahwa kontinu pada . Jika f : A kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa kontinu pada A.

Khususnya, jika untuk , maka fungsi kontinu di setiap titik . Lihat kembali Contoh 5.1.6 (a).

Latihan 5.2

1. Tunjukkan bahwa jika f : A kontinu pada A dan n N, maka fungsi

yang didefinisikan sebagai untuk , kontinu pada A.

2. Berikan contoh fungsi f dan g yang keduanya tak kontinu di c , tetapi penjumlahannya dan perkaliannya kontinu di c.

3. Misalkan g didefinisikan pada dengan , dan jika , dan misalkan untuk semua x . Tunjukkan bahwa

. Apakah hal ini bertentangan dengan Teorema 5.2.7.?

4. Misalkan f , g didefinisikan pada dan c . Misalkan dan g

kontinu di b. Tunjukkan bahwa . (Bandingkan hasil ini

dengan Teorema 5.2.7 dan hasil sebelumnya).5. Berikan suatu contoh fungsi f : [0,1] yang tak kontinu di setiap titik dari

tetapi kontinu pada .

6. Tentukan konstanta a dan b sehingga fungsi yang diberikan kontinu pada .

___________________________________________________________________Analisis Real 81

(a) (b)

7. Misalkan f, g fungsi-fungsi yang kontinu dari ke dengan untuk semua bilangan rasional r. Apakah berlaku untuk semua x ?

8. Misalkan f : kontinu pada dan memenuhi untuk semua m

N, n N. Tunjukkan bahwa untuk semua x .9. Misalkan f terdefinisi pada sebagai

.

Tunjukkan bahwa f tak kontinu di setiap bilangan bulat.10. Misalkan f : kontinu pada R dan P = {x R : f(x) > 0}. Jika

tunjukkan bahwa terdapat persekitaran

11. Misalkan f, g : kontinu pada dan S = {x R : f(x) ≥ g(x)}. Jika

dan , tunjukkan bahwa .

12. Fungsi f : dikatakan aditif jika untuk semua x, y . Buktikan bahwa jika f kontinu di satu titik , maka f kontinu di setiap titik dari .

13. Misalkan f aditif dan kontinu pada . Jika , tunjukkan bahwa untuk semua x .

14. Misalkan f kontinu pada dan memenuhi untuk semua

x, y . Tunjukkan bahwa untuk semua x , untuk suatu a.15. Fungsi f : memenuhi untuk semua x, y .

Tunjukkan bahwa jika f kontinu di , maka f kontinu di setiap titik dari . Juga, jika untuk suatu a , maka untuk semua x .

16. Misalkan f, g : kontinu di suatu titik c, dan untuk

x . Tunjukkan bahwa untuk semua x . Gunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwa h kontinu di c.

5.3 Fungsi Kontinu pada Interval

Fungsi yang kontinu pada suatu interval mempunyai sejumlah sifat-sifat penting yang tidak dimiliki oleh fungsi-fungsi kontinu pada umumnya. Pada subbab ini akan dibicarakan sifat-sifat penting tersebut.

Definisi 5.3.1 Fungsi f : A dikatakan terbatas pada A jika terdapat konstanta sehingga untuk semua

Dengan kata lain, suatu fungsi dikatakan terbatas jika jangkauannya terbatas di dalam .

___________________________________________________________________Analisis Real 82

Teorema 5.3.2 (Teorema Keterbatasan) Misalkan interval tertutup terbatas dan misalkan f : I . Jika f kontinu pada I, maka f terbatas pada I.Bukti: Andaikan f tidak terbatas pada I, maka untuk sebarang n N terdapat bilangan sehingga Karena I terbatas maka barisan

terbatas. Oleh karena itu dengan Teorema Bolzano Weierstrass akan terdapat subbarisan yang konvergen ke bilangan real x. Karena I tertutup dan

anggota dari berada di dalam I, maka dengan Latihan 3.2.14 diperoleh

Oleh karena f kontinu di c, maka konvergen ke . Selanjutnya dari

Teorema 3.2.3 disimpulkan bahwa barisan terbatas. Tetapi hal ini

kontradiksi karena

, r .

Jadi pengandaian harus diingkari menjadi f terbatas pada I. ∎

Definisi 5.3.3 Misalkan A , f : A . Fungsi f dikatakan mempunyai maksimum mutlak pada A jika terdapat titik sehingga

dan f dikatakan mempunyai minimum mutlak jika terdapat titik sehingga

Selanjutnya disebut titik maksimum mutlak bagi f pada A dan titik minimum mutlak bagi f pada A.

Teorema 5.3.4 (Teorema Maksimum-Minimum) Jika interval tertutup terbatas dan f : A kontinu pada I, maka f mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada I.

Bukti: Perhatikan himpunan yang merupakan jangkuan dari f

pada I. Pada Teorema 5.3.2 telah ditunjukkan bahwa himpunan terbatas.

Misalkan dan Akan ditunjukkan bahwa terdapat titik

dan sehingga dan Akan ditunjukkan eksistensi dari ,

sedangkan eksistensi dari ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca.

Karena maka s* - 1/n untuk n N bukan batas atas bagi .

Akibatnya terdapat bilangan sehingga

s* - < f(xn) ≤ s* untuk n N (5.3)

Karena I terbatas maka barisan terbatas. Oleh karena itu dengan Teorema

Bolzano-Weierstrass 3.3.8 terdapat subbarisan yang konvergen ke

bilangan . Karena anggota dari berada di dalam I, maka dari Latihan 3.2.14,

diperoleh bahwa Tetapi karena f kontinu di , maka .

Akibatnya dari (5.3) diperoleh

s* - < f( ) ≤ s* untuk r N.

Dengan Teorema Apit 3.2.6, disimpulkan bahwa . Jadi diperoleh

___________________________________________________________________Analisis Real 83

yang berarti bahwa adalah titik maksimum mutlak dari f pada I. ∎

Selanjutnya akan diberikan sebuah teorema yang memberikan cara mencari akar-akar dari fungsi kontinu.

Teorema 5.3.5 (Teorema Akar) Misalkan I adalah interval dan f : I kontinu pada I. Jika adalah bilangan-bilangan di dalam I sehingga , maka terdapat bilangan sehingga

Bukti: Misalkan . Misalkan dan . Jika

, maka diambil dan bukti selesai. Jika , maka diambil

, sementara jika , maka diambil . Dalam kedua

kasus jika , maka dan . Proses biseksi ini diteruskan.

Misalkan interval-interval yang ditentukan dengan

proses biseksi sehingga dan . Misalkan . Jika

, maka diambil dan bukti selesai. Jika diambil

, sementara jika diambil . Dalam hal ini

jika , maka

dan .

Jika proses berakhir dengan melokalisasi titik sehingga , bukti selesai.

Jika proses belum berakhir, kita peroleh barisan interval tersarang , n N. Karena interval-interval ini ditentukan dengan cara biseksi, maka

. Akibatnya dengan Sifat Interval Tersarang 3.2.7 terdapat titik

c sehingga untuk semua n N. Karena untuk semua n N, maka

dan .

Hal ini memberikan . Karena f kontinu di c, maka

.

Di pihak lain, karena untuk semua n N, maka menurut Teorema 3.2.5

. Juga karena untuk semua n N, maka

. Dari kedua hal ini, maka haruslah ∎

Teorema 5.3.5 di atas dapat dibuat generalisasinya sebagai berikut.

Teorema 5.3.6 (Teorema Nilai Antara Bolzano) Misalkan I interval dan f : I kontinu pada I. Jika dan k memenuhi maka terdapat titik

yang terletak di antara a dan b sehingga Bukti: Jika dan , maka . Dengan Teorema 5.3.5 terdapat bilangan c dengan sehingga , atau

Tetapi jika ambil sehingga . Akibatnya terdapat titik c dengan sehingga , yang berarti ∎

___________________________________________________________________Analisis Real 84

Akibat 5.3.7 Misalkan interval tertutup terbatas dan f : I kontinu pada I. Jika k memenuhi

maka terdapat bilangan sehingga

Bukti: Dari Teorema 5.3.4 terdapat titik dan sehingga

Selanjutnya dengan Teorema 5.3.6, maka Akibat Teorema terbukti. ∎

Teorema 5.3.8 Jika I interval tertutup terbatas dan f : I kontinu pada I, maka himpunan juga merupakan interval tertutup terbatas.

Bukti: Misalkan dan maka dari Teorema 5.3.4, m dan M berada di dalam Lebih lanjut,

Sebaliknya, jika k adalah sebarang anggota dari maka akan terdapat titik sehingga Jadi, Karena k sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa Dari kedua ketaksamaan yang diperoleh tersebut, dapat disimpulkan bahwa yang berarti bahwa juga merupakan interval tertutup terbatas. ∎

Catatan: Jika interval dan f : I kontinu pada I, maka telah dibuktikan bahwa adalah interval . Tetapi dalam hal ini tidak selalu interval

.

Latihan 5.3

1. Misalkan dan f : I kontinu pada I sehingga untuk setiap . Buktikan terdapat bilangan sehingga untuk semua .

Tunjukkan dengan contoh bahwa hal ini tidak berlaku apabila diganti dengan atau .

2. Misalkan dan f : I kontinu pada I sehingga untuk setiap

terdapat sehingga . Buktikan terdapat titik sehingga

.3. Misalkan dan f : I kontinu pada I. Didefinisikan g : I dengan

untuk . Buktikan bahwa g kontinu pada I.

4. Tunjukkan bahwa setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real mempunyai paling sedikit satu akar real.

5. Tunjukkan bahwa polinomial mempunyai paling sedikit dua akar real. Gunakan kalkulator untuk menghitung akar-akar ini dengan ketelitian sampai dua desimal.

6. Misalkan f kontinu pada interval sehingga . Buktikan terdapat

sehingga dan . [Petunjuk : Definisikan g pada

sebagai ].

7. Misalkan , f : I kontinu pada I, dan . Misalkan

dengan . Buktikan bahwa . Ini

memberikan bukti alternatif dari Teorema 5.3.5).

___________________________________________________________________Analisis Real 85

8. Periksa pemetaan dari interval terbuka [tertutup] oleh fungsi untuk x .

9. Periksa pemetaan dari interval terbuka [tertutup] oleh fungsi dan

untuk x .10. Jika f : [0,1] kontinu dan hanya mempunyai jangkauan rasional [irrasional]

saja, apakah f konstan?11. Misalkan dan f : I naik pada , (yaitu jika , , maka

), dan memenuhi sifat nilai antara pada . Tunjukkan f kontinu pada .

12. Misalkan dan kontinu pada . Buktikan terdapat titik sehingga . Titik ini disebut titik tetap untuk f. Apakah hal ini berlaku jika

diganti dengan atau .

13. Misalkan dan kontinu pada dan titik-titik di dalam I. Tunjukkan bahwa terdapat sehingga

.

14. Misalkan dan kontinu pada dan positif, tunjukkan

terdapat sehingga

.

15. Jika f dan g kontinu pada sehingga dan , buktikan bahwa terdapat sehingga .

___________________________________________________________________Analisis Real 86