BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Banjar/Barisan Tak Hingga Barisan tak hingga {Sn} = S1, S2, S3, ... , Sn, ... adalah suatu fungsi dari n dimana daerah domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli). Contoh: Bila n = 1, 2, 3, ..........., maka fungsi 1n1+ Banjar Tak Berhinggauntuk menunjukkan bahwa tak ada suku terakhir. Fungsi 1n1++n11, atau dapat ditulis : .....,1n151,41,31,21.....,,+Contoh lain:1.{1, 2, 3, 4, ......... Un} Un= n 2.{3, 6, 9, 12, ......... Un} Un= 3n 3. n1nn41,31,21.U}...U..........,1,{=4. 1, 4, 7, 10, 13, ... an= 3n 2, n 1 5. L,54,43,32,210, 1n ,n1-1an=6. L,76,67,54,45,32,230, 1n ,n1(-1)1bnn+=Andiani / Kalkulus I / September08 27. L,76-,67,54-,45,32-,230, 1n ,n1(-1)cnn+=8. 0.999, 0.999, 0.999, 0.999, ... dn= 0.999, n 1 Barisan {Sn} dikatakan terbatasjika terdapat bilangan-bilangan P dan Q sehingga : P Sn Q untuk semua n. Contoh: ...,2n1n 2,...,67,45,23+Sn2 Tetapi 2, 4, 6, ... , 2n, ... adalah tidak terbatas. Barisan {Sn} dikatakan tidak turunjika S1 S2 ... Sn... Dan dikatakan tidak naikjika S1 S2 ... Sn... Contoh: Barisan 1. ...,516,49,34,211n n2=+adalah barisan tidak turun. 2. {2n - (-1)n} = 3, 3, 7, 7, ... adalah barisan tidak turun. 3. ...,41,31,211,n1=adalah barisan tidak naik. 4. {-n} = -1, -2, -3, -4, ... adalah barisan tidak naik Limit Barisan Jika titik-titik berurutan yang diperoleh dari barisan : (*).....,n1-2....,,59,47,35,231, terletak pada garis bilangan, dan untuk n cukup besar akan terletak disekitar titik 2. Keadaan seperti ini dikatakan bahwa Limit barisan adalah 2. Andiani / Kalkulus I / September08 3Jika x adalah peubah yang jangkauannya barisan (*), maka dikatakan bahwa x mendekati 2 sebagai limit atau x menuju 2 sebagai limit dan ditulis : x 2 {{2)n1-(2limUlimnnn==Kekonvergenan Barisan {Sn} dikatakan konvergenke bilangan berhingga S sebagai limit, []=+, jika untuk setiap bilangan positif , bagaimanapun kecilnya, terdapat bilangan bulat positif m sehinggauntuk n > m akan berlaku m maka MSn>. Jika Sn> M maka +=+Slimnn . Jika Sn< -M maka =+-Slimnn . Jadi dapat disimpulkan: Definisi -Barisan {an} dinamakan konvergenmenuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai: Lalimnn =-Apabila untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk n N => | an L | < -Suatu barisan yang tidak konvergen kesuatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.
Andiani / Kalkulus I / September08 5Sn= s1 + s2+ s3+ ... + snMJika sSlimnn =+suatu bilangan hingga, maka deret (1) dikatakan konvergendan s disebut jumlahnya. Jika adatidak Slimnn =+, maka deret (1) dikatakan divergen. Suatu deret adalah divergen karena =+Slimnn atau jika n membesar maka Snmembesar dan mengecil tanpa mendekati suatu limit. Contoh: Deret : 1 1 + 1 1 + ..... Untuk deret ini : s1= 1, s2= 0, s3= 1, s4= 0 , ...... Contoh-Contoh: 1.Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan {}n1-1adalah konvergen. Penyelesaian: Barisan {}n1-1adalah terbatas karena 0 Sn1 untuk semua n. Karena : Jika Sn= {}n1-1, maka : 1)n(n1S1)n(n1n1-11n1-1Sn1n++=++=+=+Berarti bahwa Sn+1Sn, merupakan barisan yang tidak turun. Andiani / Kalkulus I / September08 6Jadi barisan ini konvergen ke s = 1 2.Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan ..(2n)2.4.6.8...1)-..(2n1.3.5.7...adalah konvergen. Penyelesaian: Barisan ..(2n)2.4.6.8...1)-..(2n1.3.5.7...adalah terbatas, karena 0 Sn1 untuk semua n. Karena : Jika ..(2n)2.4.6.8...1)-..(2n1.3.5.7...Sn=Maka : n1nS.22n12n2)..(2n2.4.6.8...1)..(2n1.3.5.7...S++=++=+Berarti barisan ini tidak naik, jadi barisan konvergen ke s = 0 3.Limit dari barisan konvergen adalah tunggal. Misalkan berlaku kebalikannya sehingga: sSlimnn =dan tSlimnn =, dimana 02t-s>>Lingkungan dari s dan t mempunyai sifat-sifat yang saling berkontradiksi : i)Tidak memiliki titik-titik persekutuan ii)Masing-masing memiliki semua suku-suku barisan kecuali sejumlah berhingga dari suku-suku tersebut. Jadi s = t dan limitnya adalah tunggal. 4.Jika a > 1, maka +=alimnn Ambil M > 0, betapapun besarnya. Andiani / Kalkulus I / September08 7Misalkan a = 1 + b dimana b > 0, maka : ()Mnb1......b1.21)-n(nnb1b1a2nn>+>+++=+=Jika bMn >Karena an> M dan jika bMn >untuk M betapapun besarnya maka +=alimnn 5.Deret aritmatika tak hingga a + (a + d) + (a + 2d) + ..... + [a + (n-1)d] divergen jika a2+ d2> 0 Untuk deret a + (a + d) + (a+ 2d) + ..... + [a + (n-1)d] Sn= n [2a + (n-1)d] dan =Slimnn Kecuali untuk a = d = 0 Jadi deret divergen jika a2+ d2> 0 6.Deret geometri tak hingga a + ar + ar2+ ..... + arn-1+ ....., dimana a 0 Konvergen ke r-1ajika 1r 1, f(x) > 0 dan menurun jika x naik. Ambil = 1 dan pandang : =+=+=+=++3-12u lim12x lim12x dxlimdxf(x)uu1u1u u1Nilai integralnya tidak ada, jadi deret divergen. Andiani / Kalkulus I / September08 10Soal: Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian dari : 1. ...64136116141++++2. ...41sin 16131sin 9121sin 41sin ++++3. 0)(p...514131211pppp>+++++Uji Banding Suku umum dari deret yang diketahui yang akan diuji konvergensinya akan dibandingkan dengan suku umum dari deret yang diketahui konvergensinya atau divergensinya. Deret-deret berikut akan berguna sebagai deret uji : a) Deret geometri a + ar + ar2+ ..... + arn+ ....., dimana a 0 akan konvergen jika 0 < r < 1 dan divergen jika p 1. b) Deret LLn14131211pppp++++++konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1 Contoh:Selidiki konvergensi dari : LL1n117110151212+++++++Dengan menggunakan uji banding. Penyelesaian :LL1n117110151212+++++++Suku umum 22nn11n1S
