Bab IV · Web viewSehingga fungsi naik jika f’(x) > 0 dan fungsi turun jika f’(x) < 0. 4.5 Teorema Nilai Rata-rata Teorema nilai rata-rata adalah bagian lain dari Kalkulus

BAB IVAPLIKASI TURUNAN

4.1 Nilai Hampiran

Notasi yang menyatakan turunan pertama dari y = f(x) merupakan

notasi Libniz. merupakan operator yang menyatakan turunan dari

peubah yang mengikutinya terhadap x. Notasi lain untuk adalah D

.Untuk memulai suatu definisi tentang hampiran, andaikan f(x) suatu fungsi yang dapat diturunkan, dan andaikan P(xo,yo) sebagai titik tetap dalam y=f(x).Karena f(x) dapat diturunkan maka

Jadi jika sangat amat kecil akan semakin dekat

dengan f’(xo), sehingga:

Definisi DiferensialAndaikan y = f(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan dari peubah bebas x

Adalah kenaikan Sebarang dalam peubah bebas dx, disebut diferensial peuah bebas x, sama dengan

adalah peubah aktual dalam peubah y pada saat x berubah dari x ke x+ yaitu .dy disebut diferensial peubah tak bebas y yang didefinisikan oleh dy = f’(x) dxBerdasarkan definisi hampiran di atas, didapatkanJika y = f(x) dengan x diberikan suatu perubahan/pertambahan maka y menerima tambahan yang berpadanan dengan yang dapat dihampiri dengan dy. Jadi f(x+ ) dihampiri dengan

Contoh:Dengan menggunakan hampiran, tentukan 1. Penyelesaian Pilih fungsi yang sesuai dengan dan didapatkan Y = , dan dengan memilih x = 36 dan

Diperoleh

Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-100

Atau

Dengan menggunakan humus diferensial Diperoleh

= 6- 0,000417 = 5,999583 Sehingga didapat 2. Sin 44 Penyelesaian Pilih fungsi yang sesuai dengan sin 44 dan didapatkan Y = sin x, dan dengan memilih x = 45 dan Diperoleh Atau Dengan menggunakan humus diferensial Diperoleh


Soal-soal 1) Carilah dy untuk setiap fungsi berikut ini.

a. y = sin ( )b. y = e

c. y =

d. 2 2) Gunakan diferensial untuk menentukan pendekatan dari

a. b. c. cos 59d. tan 44

3) Suatu keping terbuat dari baja, karena panas memuai sehingga jar-jarinya yang semula 12,5 cm bertambah menjadi 12,65 cm. Dengan menggunakan diferensial carilah pertambahan luas yang terjadi.

4) Suatu bola es berjari-jari 10 cm, karena suhu panas jari-jarinya menyusut menjadi 9,8 cm. Taksirlah perubahan volume dan luas permukaannya.

5) Buatlah hampiran (nilai pendekatan) nilai volume material dalam tempurung bola yang berjari-jari 5 cm dan jari-jari luarnya 5,125 m.

6) Keenam sisi sebuah kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 cm dan volume sebelah dalam kotak 40 cc. Gunakan diferensial untuk menentukan hampiran volume baja yang digunakan untuk membuat kotak tersebut.


7) Garis tengah luar sebuah tempurung bola tipis adalah 12 dm. Jika tebal tempurung 0,3 dm, gunakan diferensial untuk membuat hampiran volume daerah sebelah dalam tempurung.

8) Bagian dalam sebuah tangki berbentuk tabung terbuka dan bergaris tengah 12 m dengan kedalaman 10 m. Alasnya terbuat dari tembaga dan sisinya dari baja. Gunakan diferensial untuk menaksir berapa galon cat air yang digunakan untuk melapis setebal 0,05 cm bagian baja dari bagian dalam tangki (catatan: 1 galon = 231 cc)

4.2 Kelajuan Misal y = f(x) suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang tertentu, maka f(x) dapat diturunkan (differentiable) pada suatu titik tertentu dalam selang tersebut jika memenuhi definisi

asalkan berlimit.

Selanjuntya jika y = f(t) t adalah waktu, dengan cara yang sama

dapat ditentukan . Bentuk disebut laju sesaat perubahan.

Dengan demikian jika y menyatakan jarak (s), maka menyatakan

kecepatan. Hal-hal yang berkaitan dengan kelajuan dapat dikembangkan untuk konsep yang lebih komplek.

Contoh1. Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan kelajuan 0,3

cm/det. Seberapa cepat volume kubus bertambah pada saat panjang rusuk 12 cmJawab


Misal panjang rusuk x maka volume rusuk (V) = x dan

Pada saat panjang rusuk 12 cm maka perubahan pertambahannya dapat dinyatakan dengan

= 3 (12 cm) (0,3 cm/dt) = 12,96 cm = 12,96 cc/det.

2. Seorang mahasiswa menggunakan sedotan meminum es dari gelas berbentuk kerucut yang sumbunya tegak dengan kelajuan 3 cc/det. Jika tinggi gelas 10 cm dan garis tengahnya 6 cm. Seberapa cepatkan menurunnya permukaan es dalam gelas jika tinggi es 5 cm.

Jawab

Pada gambar di samping diperoleh


Misal tinggi kerucut y dan jari-jarinya x, maka volume kerucut

V =

=

=

Dengan mendiferensilkan terhadap t, diperoleh:

Sehingga pada saat tinggi es dalam 5 cm diperoleh

3. Sebuah tangga panjangnya 5 m bersandar pada dinding, Jika ujung bawah tangga ditarik menjauhi dinding dengan kecepatan 0,02 m/det. Seberapa cepat ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada saat ujung tangga sejauh 1 meter dari dinding.Jawab


Misal panjang tangga r, tinggi dinding y dan jarak ujung bawah tangga dengan dinding. Maka menurut teorema Pitágoras:

dengan mediferensialkan masing-masing bagian terhadap t, diperoleh:

Karena maka:

sehingga

Karena panjang tangga 5 m dan jarak ujung tangga dengan dinding 1 m, maka Didapat

1(0,02) = -

Soal-soal1) Dengan menganggap bahwa gelembung sabun mempertahankan

bentuk bulatnya selama berkembang, seberapa cepat jari-jarinya bertambah pada saat jari-jarinya 3 dm, jika udara ditiupkan kedalam gelembung dengan laju 3 dm


2) Sebuah pesawat udara terbang mendatar pada keinggian 1 meter melintas langsung di atas seorang pengamat. Jika laju pesawat tetap yaitu 400 km/jam. Seberapa cepat jarak dari pengamat bertambah 45 detik kemudian. (catatan: perhatikan bahwa dalam 45 detik pesawat menempuh jarak 5 km).

3) Dari sebuah pipa mengalir pasir dengan laju 16 dm /det. Jika tumpukan pasir yang keluar membentuk kerucut pada tanah yang tingginya ¼ garis tengah alas, seberapa cepat tingginya bertambah pada saat tinggi tumpukan 4 dm.

4.3 Maksmum dan Minimum

Andaikan f(x) suatu fungsi dengan daerah definisi S seperti pada gambar di atas, maka dapat dilihat bahwa f(x) memiliki nilai maksimum dan minimum pada S tersebut. Dengan menganggap bahwa nilai-nilai yang demikian itu ada, kita akan mengetahui dimana nilai-nilai maksimum tersebut berada.

DefinisiAndaikan S daerah definisi suatu fungsi f(x) yang memuat titik c, kita katakan bahwa: 1) f(c) adalah nilai maksimum f(x) pada S jika f(c) untuk setiap x

di S.


2) f(c) adalah nilai minimum f(x) pada S jika f(c) f(x) untuk setiap x di S.

3) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f(c) adalah nilai masksimum atau minimum.

4) Fungsi yang ingin kita maskimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.

Contoh1. f(x) = x2 + 4x + 4 pada interval S = [-2,0] mempunyai nilai

maksimum pada x = 0 yaitu f(0) = (0)2 + 4(0) + 4 = 4 dan nilai minimum pada -2 = 0 yaitu f(-2) = (-2)2 + 4(-2)+ 4 = -8

2. g(x) = Pada S = [1,3], g(x) tidak mempunyai nilai maksimum, namun g(x) mempunyai nlai minimum di x =2 yaitu g(2)= 2-2 = 0.

3. f(x) = 3 pada interval S = [-2,2] tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum pada S.

Pada umumnya fungsi-fungsi yang ingin kita maksimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah definisinya, Selang-selang tersebut boleh berupa selang buka, setengah buka, atau tertutup misalnya (a,b), [a,b), (a,b], [a,b], (- , ( , (a, , [a, , atau (

Jika c sebuah titik tempat f’(c) = 0, c disebut titik stasioner. Jika c adalah titik di dalam I tempat f’ tidak ada, c disebut titik singuler. Titik singuler berupa titik tempat garfik f(x) berpojok tajam, garis singgung tegak, atau berupa loncatan-loncatan. Nilai ekstrim dapat terjadi di titik stasioner. Titik-titik ujung interval, titik stasioner dan titik singuler merupakan kata kunci dalam menentukan nilai maksimum dan minimum.


Sebarang titik dalam daerah fungsi yang termasuk ketiga titik dimaksud dinamakan titik kritis f(x).

TeoremaAndaikan f(x) terdefinisi pada selang I yang memuat titik c, jika f(c) adalah nilai ekstrim maka c haruslah berupa titik kritis.Yakni c berupa salah satu:

i. titik-titik ujung dari I ii. titik stasioner dari f(f’(c) = 0, atau iii. titik singuler dari f(f’(c) tidak ada)

Contoh1. Tentukan titik kritis dari f(x) = x2 + x pada [-2,2] Jawab Titik kritis adalah ujung-ujung interval yaitu x = -2, x = 2, dan f’(x)

= 0, sehingga diperoleh titik kritis yaitu x = -1/2. 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) =

Jawab Titik kritis f(x) adalah1) titik ujung interval yaitu x = -3 dan x = 3

2) f’(x) = dan didapat x = 1 dan x = -2

3) untuk x = -3 didapat f(x) =

untuk x = -2 didapat f(x) = 4

untuk x = 1 didapat f(x) =

untuk x = 3 didapat f(x) =


Sehingga nilai maksimum tercapai pada x = 3 dan nilai minimum tercapai pada x = 1.

Maksimum dan minimum suatu fungsi dapat juga diaplikasi dalam masalah masalah praktis, yaitu masalah yang sering dan mungkin timbul dalam kehidupan sehari-hari. Masalah yang demikian jarang mempunyai titik singuler. Kenyataannya untuk masalah-masalah ini nilai maksimum dan minimum biasanya terjadi pada titik stasioner walaupun titik-titik ujung harus diperiksa.Contoh.1) Dua buah bilangan tidak negatip jumlahnya 10. Tentukan bilangan-

bilangan tersebut sehingga hasil kalinya maksimum.Jawab Misal bilangan pertama x ( x > 0) dan bilangan kedua y ( y > 0)Sehingga x + y = 10 dan hasil kalinya H = xy.Karena x + y = 10 maka y = 10 – x sehingga hasil kalinya H = x(10-x) = 10x - xKarena hasil kalinya maksimum maka H’ = 0 atau 10-2x = 0Diperoleh x (bilangan pertama) adalah 5 dan y (bilangan kedua) = 5.

2) Ronaldo mempunyai kawat berduri yang akan digunakan untuk membatasi kebun apel berbentuk persegi panjang. Kawat tersebut sepanjang 200 meter. Tentukan ukuran kebun apel yang dipagari sehingga luasnya maksimum.JawabMisal panjang kebun x dan lebarnya y maka keliling kebun adalah 2x + 2y = 200. Luas kebun L = xy. Karena 2x + 2y = 200 maka


L = x ( )

= 100x - xL’ = 100 – 2xKarena luas kebun maksimim maka 100 – 2x = 0 dan didapat x = 50, sehingga y = 100 – 50 = 50.

Soal-soal1) Buktikan bahwa persegi panjang dengan keliling K yang luasnya

maksimum haruslah berupa persegi (bujur sangkar).2) Bilangan apakah yang melebihi kuadratnya secara maksimum?

Mulailah dengan meyakinkan diri anda bahwa bilangan itu berada pada interval [0,1].

3) Seutas tali panjangnya 16 sm dipotong menjadi dua bagaian, bagian pertama ditekuk untuk membentuk sebuah bujursangkar dan potongan lainnya ditekuk untuk membentuk sebuah lingkaran. Dimana kawat seharusnya dipotong agar jumlah luas bujursangkar dan lingkaran minimum? Maksimum?

4) Carilah volume terbesar dari kotak terbuka yang dibuat dari selembar papan seluas 24 m dengan cara memotong bujur sangkar berukuran sama pada pojok-pojok dan melipat sisi-sisi ke atas.

5) Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 100 m yang akan digunakan untuk memagari kandang seperti gambar di bawah ini. ( Catatan : pembatas kandang berupa tembok tidak memerlukan kawat. Tembok


Tentukan ukuran kandang sehingga luasnya maksimum.6) Andaikan petani pada soal nomor 3 di atas mempunyai kawat

sepanjang 80 meter dan digunakan untuk memagari kandang seperti gambar berikut:

Tembok

Tentukan ukuran kandang sehingga luasnya maksimum.7) Sebuah segi empat harus dimasukkan dalam setengah lingkaran

dengan jari-jari r satuan seperti pada gambar berikut.

4.4 Kemotonan dan Kecekungan DefinisiAndaikan f(x) suatu fungsi terdefinisi pada selang I yang terbuka, tertutup, tidak keduanya maka dikatakan:1) f(x) naik pada I, jika untuk setiap bilangan dalam I dan


2) f(x) turun pada I, jika untuk setiap bilangan dalam I dan

3) f(x) monoton murni pada I jika naik pada I atau turun pada I.

Teorema Andaikan f(x) kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I.1) Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam I, maka f(x) naik pada I2) Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam I, maka f(x) turun pada ITeorema di atas memperbolehkan kita untuk menentukan secara persis dimana suatu fungsi yang terdiferensiasikan naik dimana fungsi tersebut turun. Hal ini merupakan masalah penyelesaian dua pertidaksamaan.Contoh Tentukan fungsi berikut dimana naik dan dimana turuna. f(x) =

Jawab f’(x) = 6x - 18 x + 12Untuk menentukan f(x) naik, maka f’(x) > 0 dan untuk menentukan f(x) turun maka f’(x) < 0, sehingga6x - 18 x + 12 > 0

+++++++ - - - - - - - - - - - +++++++

Sehingga f(x) = naik pada ( dan (2, dan f(x) turun pada interval (1,2).

b. f(x) =


Jawab f’(x) = Untuk > 0 maka - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++

Sihingga f(x) = naik pada (2, dan turun pada (

c. f(x) =

Jawab

f’(x) =

=

f(x) naik jika f’(x) > 0 dan f’(x) < 0, sehingga:

> 0 dan < 0

- - - - - - - - - - - - - - - - ++++++

Sihingga f(x) = naik pada (2, dan turun pada (

Teorema Andaikan f(x) terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I1. Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f(x) cekung ke atas pada I2. Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f(x) cekung ke bawah pada I

Contoh


Ditentukan f(x) = . Dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah.Jawab f(x) = didapat f’(x) = 6x dan f”(x) = 12 xSehingga fungsi naik jika f’(x) > 0 dan fungsi turun jika f’(x) < 0.

4.5 Teorema Nilai Rata-rata Teorema nilai rata-rata adalah bagian lain dari Kalkulus yang pembuktian teorema-teorema yang ada banyak menggunakan prinsip dan kaidah turunan fungsi. Secara geometris, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa jika grafik suatu fungsi kontinu mempunyai garis singgung tidak tegak pada setiap titik antara titik A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sedemikian sehingga garis singgung di titik C secara dengan tali busur AB. Gambaran secara geometri teorema nilai rata-rata adalah:

Teoream AJika f(x) kontinu pada I = [a,b] dan terdiferensiasikan pada titik-titik dalam dari [a,b] maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dengan


atau f(b) – f(a) = f’(c)(b-a)

Bukti Pembuktian teorema di atas berdasarkan analisis fungsi s(x) = f(x)-g(x) seperti gambar berikut:

Berdasarkan gambar, g(x) adalah persamaan garis lurus yang melalui titik (a,f(a)) dan (b,f(b)), sehingga gradiennya adalah

g(x) – f(a) =

bentuk ini menghasilkan rumus s(x) = f(x) – g(x)

= f(x) – f(a) - (x-a)

Jika s(b) = s(a) = 0 dan x dalam (a,b)

s’(x) = f’(x) -

Sekarang kita membuat pernyataan penting, Jika kita mengetahui bahwa terdapat suatu bilangan c dalam (a,b) yang memenuhi s’(c) = 0 sehingga persamaan di atas menghasilkan

0 = f’(c) -

Atau


f’(c) =

Contoh Ditentukan f(x) pada [-1,2]. Carilah semuan bilangan c yang mungkin dalam [-1,2] sehingga memenuhi teorema nilai rata-rata.Jawab f(x) = menghasilkan f’(x) = 3x - 2x – 1sehingga menurut teorema nilai rata-rata

f’(c) =

3c - 2c -1 = = = 1

10

Dengan menggunakan akar persamaan kuadrat diperoleh c =

atau

c =-0,55 dan c = 1,22. Keduanya terletak dalam [-1,2]

Teorema B Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta c sedemikian sehingga F(x) = G(c) + cUntuk semua x dalam (a,b)BuktiAndaikan H(x) = F(x) – G(x) maka H’(x) = F’(x) – G’(x) = 0Untuk semua x dalam (a,b). Selanjutnya pilih x sebagai suatu titik yang tetap dalam (a,b) dan andaikan x sebarang titik lain di sana. Fungsi H memenuhi hipotesis


teorema nilai rata-rata pada selang tertutup dengan titik ujung x dan x. Jadi, sebuah bilangan c diantara x dan x sedemikian rupa sehingga:H(x) – H( ) = H’(c)(x-x )Tetapi menurut hipotesis H’(c) = 0. Oleh karena itu H(x) – H(x ) = 0 atau H(x) = H(x ) untuk semua x dalam (a,b). Karena H(x) = F(x) – G(x) akhirnya dapat kita simpulkan bahwa F(x) – G(x) = H(x ).Andaikan H(x ) = C maka F(c) = G(x) + C

Soal-soal Dalam setiap fungsi berikut, tentukan apakah teorema nilai rata-rata dapat diterapkan terhadap fungsi yang diketahui pada selanga yang diberikan, Jika dapat digunakan tentukan nilai c yang mungkin. Jika tidak berikan alasannya.1) f(x) = pada [1,2].2) f(x) = x + x pada [-2,2]3) f(x) = x + 3x -1 pada [-3,1]

4) f(x) = pada [-2,2]

5) f(x) =

6) f(x) = x +

7) f(x) = pada [1,2]8) f(x) = x + pada [-2,1]

9) f(x) = pada [0,4]


Bab IV · Web viewSehingga fungsi naik jika f’(x) > 0 dan fungsi turun jika f’(x) < 0. 4.5 Teorema Nilai Rata-rata Teorema nilai rata-rata adalah bagian lain dari Kalkulus

Documents