8/18/2019 BAB II_Latihan Soal Matrik
1/37
56
BAB II
SOAL DAN PEMBAHASAN
MATRIK
2.1. Penjumlahan Matrik
!nt!h "
Jika : A =
301
253
412
, B =
341
722
311
Dit : A + B
Penyelesaian :
A + B =
301
253
412
+
341
722
311
=
+++++++++
334011
722523
341112
=
642
975
723
2.2. Pen#uran#an Matrik
!nt!h "
Jika : A =
175
633
412
, B =
195
324
310
Dit : A - B
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57
Penyelesaian :
A - B =
175
633
412
_
195
324
310
A – B =
−−−−−−−−−
119755
362343
341102
=
−−
020
311
102
2.$. Perkalian Matrik
!nt!h "
Jika : A =
165
224
132
, B =
211
367
241
Dit : A B
Penyelesaian :
A B =
165
224
132
211
367
241
=
++++++++++++++++++
2!13!62!51!16!64!51!17!61!5
2!23!22!41!26!24!41!27!21!4
2!13!32!21!16!34!21!17!31!2
A B =
30574"
1"3020
152724
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5"
A B # B A
!nt!h "
Jika : A =
055
243
121
, B =
311
973
244
Dit : A B # B A
Penyelesaian :
A B =
055
243
121
311
973
244
=
++++++++++++++++++
3!09!52!51!07!54!51!03!54!5
3!29!42!31!27!44!31!23!44!3
3!19!22!11!17!24!11!13!24!1
A B =
555535
4"4226
231911
B A =
311
973
244
055243
121
=
++++++++++++++++++
0!32!11!15!34!12!15!33!11!1
0!92!71!35!94!72!35!93!71!3
0!22!41!45!24!42!45!23!41!4
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59
B A =
32119
177969
123426
Ja$i te%&'kti A B # B A
2!4! (%ans)*se at%ik
*nt* :
Jika : A =
112
614
532
Dit : a! At
&! A + At
.! /Att = A
Pen%ele&aian "
a! A =
112
614
532
At =
165
113
242
&! A + At =
112614
532
+
165
113
242
A + At =
277
727
774
A + At = at%iks siet%is, &'kti A12 = A21
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60
.! 'At( t ) A
A =
112614
532
t
165
113
242
=
112
614
532
Ja$i te%&'kti /Att = A
'A * B( t ) At * B t
!nt!h "
Jika : A =
227
145
312
, B =
346
115
422
Dit : /A + Bt = At + B
Penyelesaian :
At =
213
241
752
B t =
314
412652
A + B =
227
145
312
+
346
115
422
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61
=
5613
2510
734
/A + Bt =
t
5613
2510
734
/A + Bt =
527653
13104
A t + B t =
213
241
752
+
314
412
652
A t + B t =
527
653
13104
Ja$i (e%&'kti /A + Bt = A t + B t
'A * B(t ) B t + A t , At + Bt
!nt!h "
Jika : A =
971
543
214
, B =
224
173
412
Dit : /A Bt = Bt At # At Bt
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62
Penyelesaian :
A t =
952
741
134
B t =
214
271
432
A B =
971
543
214
224
173
412
=
++++++++++++++++++
2!91!74!12!97!71!14!93!72!1
2!51!44!32!57!41!34!53!42!3
2!21!14!42!27!11!44!23!12!4
A B =
296"59
36413"
211519
/A Bt =
292621
6"4115
593"19
B t A t =
214
271
432
952
741
134
=
++++++++++++++++++
9!27!11!45!24!13!42!21!14!4
9!27!71!15!24!73!12!21!74!1
9!47!31!25!44!33!22!41!34!2
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63
=
292621
6"4115
593"19
At Bt )
952
741
134
214
271
432
)
++++++
++++++++++++
2!92!54!21!97!53!24!91!52!2
2!72!44!11!77!43!14!71!42!1
2!12!34!41!17!33!44!11!32!4
=
365045
273"34
243415
Ja$i te%&'kti /A Bt = B t A t # At Bt
2!5! Dete%inan
a! a%a *akt*%
!nt!h "
Jika : A =
144
532
421
Dit : $et A
Pen%ele&aian "
a%a 1 :
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64
$et A =
A
=
144
532
421
A= 1
14
53
- 2
14
52
+ 4
44
32
= 1 /3!1 – 4!5 – 2 /2!1 – 4!5 + 4 /2!4 – 4!3
= 1 /3 – 20 – 2 /2 – 20 + 4 /" – 12
= -17 + 36 – 16
= 3
a%a 2 :
Dete%inan
A = 131312121111
K a K a K a +−
A =
144
532
421
*l* 1 in*% $a%i &a%is 1 k*l* 1
11 = /-11+1
14
53
= /1 /3!1 – 4!5
= 3 - 20
= - 17
*l* 2 in*% $a%i &a%is 1 k*l* 2
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65
12 = /-11+2
14
52
= /-1 /2!1 – 4!5
12 = /-1 /2 - 20
= 1"
*l* 3 in*% $a%i &a%is 1 k*l* 3
13 = /-11+3
44
32
= /1 /2!4 – 4!3
= /1 /"-12
= - 4
Ja$i A
= 1 /-17 + 2 /1" + 4 /-4
= -17 + 36 – 6
= 3
-. ara Sarru&
!nt!h "
Jika : A =
144
532
421
Dit : $et A
Penyelesaian :
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66
A
=
44
32
21
144
532
421
A = 1!3!1 + 2!5!4 + 4!2!4 – 4!3!4 – 4!5!1 – 1!2!2
= 3 + 40 + 32 – 4" – 20 – 4
= 3
2.. In/er& Matrik&
!nt!h "
Jika : A =
215
233
142
Dit : A-1
Pen%ele&aian "
A-1 = A
1
! At kofaktor
A-1 = A
A Kofaktor t
A-1 = A
adjA
$iana = A$ A = At kofaktor
A =
215
233
142
*l* 1 in*% $a%i &a%is 1 k*l* 1 a11 = 2
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67
11 = /-11+1
21
23
11 = /1 /3!2 – 1!2
= 6 – 2
= 4
in*% $a%i &a%is 2 k*l* 1 a21 = 3
21 = /-12+1
2114
= /-1 /4!2 – 1!1
= /-1 /" – 1
21 = - 7
in*% $a%i &a%is 3 k*l* 1 a31= 5
31 = /-13+1
23
14
= /1 /4!2 – 3!1
= " – 3
= 5
*l* 2 in*% $a%i &a%is 1 k*l* 2 a12 = 4
12 = /-11+2
25
23
= /-1 /3!2 – 5!2
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13/37
6"
= /-1 /6 – 10
= 4
in*% $a%i &a%is 2 k*l* 2 a22= 3
22 = /-12+2
25
12
= /1 /2!2 – 5!1
= 4 – 5
= -1
in*% $a%i &a%is 3 k*l* 2 a32= 1
32 = /-13+2
23
12
= /-1 /2!2 – 3!1
= /-1 /4 – 3
= -1
*l* 3 in*% $a%i &a%is 1 k*l*3 a13 = 1
13 = /-11+3
15
33
= /1 /3!1 – 5!3
= 3 – 15
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14/37
69
= -12
in*% $a%i &a%is 2 k*l* 3 a23 = 2
23 = /-12+3
15
42
= /-1 /2!1 – 5!4
= /-1 /2 – 20
= 1"
in*% $a%i &a%is 3 k*l* 3 a33 = 2
33 = /-13+3
33
42
= /1 /2!3 – 3!4
= 6 – 12
= - 6
A *akt*% =
−−−−
−
615
1"17
1244
A= a11 22 + a12 12 + a13 13
= 2 /4 - 4 /-4 + 1 /-12
A= " + 16 - 12
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70
= 12
A-1 = A
A Kofaktor t
A-1 = 12
1
−−
−−
−
61"12
114
574
A-1 =
−−
−−
−
126121"1212
121121124
125127124
A
-1
=
−−−−
−
21231
1212131
12512731
2!7! A$*int at%ik
!nt!h "
Jika A =
637
1"5
324
Dit : A$ A $an A-1
Pen%ele&aian "
Ba%is 1 in*% $a%i &a%is 1 k*l* 1 a11 = 4
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71
11 = /-11+1
63
1"
= /1 /"!6 – 3!1
= 4" – 3
= 45
in*% $a%i &a%is 1 k*l* 2 a12 = 2
12 = /-11+2
67
15
= /-1 /5!6 – 7!1
= /-1 /30 – 7
= - 23
in*% $a%i &a%is 1 k*l* 3 a13 = 3
13 = /-11+3
37
"5
= /1 /5!3 – 7!"
= 15 – 56
= - 41
Ba%is 2 in*% $a%i &a%is 2 k*l* 1 a21 = 5
21 = /-12+1
63
32
= /-1 /2!6 – 3!3
= /-1 /12 – 9
= - 3
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72
in*% $a%i &a%is 2 k*l* 2 a22 = "
22 = /-12+2
67
34
= /1 /4!6 – 7!3
22 = 24 – 21
= 3
in*% $a%i &a%is 2 k*l* 3 a23 = 1
23 = /-12+3
37
24
= /-1 /4!3 – 7!2
= /-1 /12 – 14
23 = 2
Ba%is 3 in*% $a%i &a%is 3 k*l* 1 a31 = 7
31 = /-13+1
1"32
= /1 /2!1 – "!3
= 2 – 24
= - 22
in*% $a%i &a%is 3 k*l* 2 a32 = 3
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73
32 = /-13+2
15
34
= /-1 /4!1 – 5!3
= /-1 /4 – 15
= 11
in*% $a%i &a%is 3 k*l* 3 a33 = 6
33 = /-13+3
"524
= /1 /4!" – 5!2
33 = 32 – 10
= 22
A *akt*% =
−−
−−
221122
233
412345
A$ A = At kofaktor =
332313
322212
312111
K K K
K K K
K K K
A$ A =
−
−
−−
22241
11323
22345
8ne%s at%ik A a$ala :
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74
A-1 = A
adjA
A = a11 11 + a12 12 + a13 13
= /4/45 - /2 /23 + /3 /-41
= 1"0 – 46 -123
= 11
A-1 =
−
−−−
11221121141
11111131123
11221131145
A-1 =
−
−
−−
21121141
11131123
21131145
2.0. Ei#en alue an Ei#en ekt!r
!nt!h "
ika : A =
− 01
23
8 =
10
01
Dit : i;en
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20/37
75
A I −λ =
λ
λ
0
0
-
− 01
23
=
−−
λ
λ
1
23
A I −λ =
−−λ
λ
1
23
= [ ]1/2//3/ −−− λ λ
= 2λ - 3λ + 2
A I −λ = /λ -1 /λ - 2 λ = 1 $an λ = 2
Ja$i ei;en al'enya a$ala λ = 1, λ = 2
i;en ekt*%nya :
• λ = 1 / kita s'&sit'sikan λ = 1 ke $ala at%ik ka%akte%istik en;;'nakan
)e%saaan linie% **;en!
A I −λ =
−−λ
λ
1
23
=
−−11
231
=
−−11
22
−−11
22
y
x
=
0
0
-2 - 2y = 0 = 1
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21/37
76
+ y = 0 y = -1
Ja$i ei;en ekt*%nya )a$a λ = 1 a$ala /1,-1
• λ = 2
A I −λ =
−−λ
λ
1
23
=
−−21
232
=
−−11
21
−−11
21
y
x
=
0
0
- – 2y = 0 = -2
+ 2y = 0 y = 1
Ja$i, i;en ekt*%nya )a$a λ = 2 a$ala /-2,1
2!9! Jika :
A=[6 9 4
5 7 8
4 6 5] B=[
2 7 1
1 5 4
1 2 3]
Dit "
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77
a! A+B $! At , A+ At , /Att ! A-1 , B-1
&! A – B Bt , B+B t , /Btt
.! A B, B A e! Det A , Det B
Pen%ele&aian
a. Penjumlahan Matrik&
A + B
¿
[6 9 4
5 7 84 6 5]
+
[2 7 1
1 5 41 2 3 ]
¿ [6+2 9+7 4+15+1 7+5 8+44+1 6+2 5+3]
¿[8 16 5
6 12 12
5 8 8 ]
-. Pen#uran#an Matrik&
A – B
¿[6 9 4
5 7 8
4 6 5] – [
2 7 1
1 5 4
1 2 3]
¿[6−2 9−7 4−15−1 7−5 8−44−1 6−2 5−3 ]
¿[4 5 3
4 2 4
3 4 2]
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23/37
7"
3. Perkalian Matrik&
A B
¿[6 9 4
5 7 8
4 6 5]×[
2 7 1
1 5 4
1 2 3]
¿[6.2+9.1+4.1 6.7+9.5+4.2 6.1+9.4+4.3
5.2+7.1+8.1 5.7+7.5+8.2 5.1+7.4+8.34.2+6.1+5.1 4.7+6.5+5.2 4.1+6.4+5.3]
¿
[25 95 54
25 86 57
19 68 43]
B A
¿[2 7 1
1 5 4
1 2 3]×[
6 9 4
5 7 8
4 6 5]
¿[2.6+7.5+1.4 2.9+7.7+1.6 2.4+7.8+1.51.6+5.5+4.4 1.9+5.7+4.6 1.4+5.8+4.51.6+2.5+3.4 1.9+2.7+3.6 1.4+2.8+3.5]
¿[51 73 69
47 68 64
28 41 35]
(e%&'kti A B ≠ B A
. Tran&4!&e Matrik&
A=[6 9 4
5 7 8
4 6 5]
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24/37
79
At =[
6 5 4
9 7 6
4 8 5]
A+ At =[6 9 4
5 7 8
4 6 5]+[
6 5 4
9 7 6
4 8 5]
¿[6+6 9+5 4+45+9 7+7 8+64+4 6+8 5+5 ]
¿
[12 14 8
14 14 14
8 14 10]/Att = A
A
t ¿t =[6 5 4
9 7 6
4 8 5]t
¿
¿[6 9 45 7 8
4 6 5]
B=[2 7 1
1 5 4
1 2 3]
Bt =
[2 1 1
7 5 2
1 4 3]B+B t =[
2 7 1
1 5 4
1 2 3]+[
2 1 1
7 5 2
1 4 3]
¿
[
2+2 7+1 1+1
1+7 5+5 4+2
1+1 2+4 3+3
]
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25/37
"0
¿[4 8 2
8 10 6
2 6 6]
B t ¿t =B¿
B
t ¿t =[2 1 1
7 5 2
1 4 3]t
¿
¿[2 7 1
1 5 4
1 2 3]
/A + Bt = At + Bt
[ A+B ]t =[
8 16 5
6 12 12
5 8 8 ]
t
¿[ 8 6 5
16 12 8
5 12 8]
At +Bt =[
6 5 49 7 6
4 8 5]+[2 1 17 5 2
1 4 3] ¿[
6+2 5+1 4+1
9+7 7+5 6+24+1 8+4 5+3]
¿
[
8 6 5
16 12 8
5 12 8
](e%&'kti : /A + Bt = At + Bt 'A + B(t ) B t + A t , At + Bt
[ A × B ]t =[
25 95 54
25 86 57
19 68 43]
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26/37
"1
¿[25 25 19
95 86 68
54 57 43]
Bt × A
t =[2 1 1
7 5 2
1 4 3]×[
6 5 4
9 7 6
4 8 5]
¿[2.6+1.9+1.4 2.5+1.7+1.8 2.4+1.6+1.57.6+5.9+2.4 7.5+5.7+2.8 7.4+5.6+2.51.6+4.9+3.4 1.5+4.7+3.8 1.4+4.6+3.5]
¿[25 25 19
95 86 68
54 57 43]
At × B
t =[
6 5 4
9 7 6
4 8 5] x [
2 1 1
7 5 2
1 4 3]
¿
[6.2
+5.7
+4.1 6.1
+5.5
+4.4 6.1
+5.2
+4.3
9.2+7.7+6.1 9.1+7.5+6.4 9.1+7.2+6.34.2+8.7+5.1 4.1+8.5+5.4 4.1+8.2+5.3]
¿[51 47 26
73 68 41
69 64 35]
Terbukti , ( A ×B)t =B t × At ≠ At × Bt
e. Determinan
a%a 1 :
Det A=| A|=[6 9 4
5 7 8
4 6 5]
¿6[7 86 5]−9[5 84 5]+4[5 74 6 ] ¿6 (7.5−6.8 )−9 (5.5−4.8 )+4 (5.6−4.7)
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27/37
"2
¿6 (−13 )−9 (−7 )+4 (2)
¿−78+63+8
¿−7
a%a 2
| A|=a11 K
11−a
12 K
12+a
13 K
13
A=[6 9 4
5 7 8
4 6 5]
*l* 1 : in*% $a%i &a%is 1 *l* 1
K 11det ¿ (−1 )1+1[7 86 5]
¿1(7.5−6.8)
¿1 (−13)
¿−13
*l* 2 : in*% $a%is Ba%is 1 *l* 2
K 12det ¿ (−1 )1+2[ 5 84 5]
¿−1(5.5−4.8)
¿−1 (−7 )
¿7
*l* 3 : in*% $a%i Ba%is 1 *l* 3
K 13det ¿ (−1 )1+3[5 74 6]
¿1(5.6−4.7)
¿1(2 )
¿2
Jadi| A|=a11
K 11−a
12 K
12+a
13 K
13
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"3
¿6 (−13 )−9 (−7 )+4 (2)
¿−78+63+8
¿−7
a%a 3: a%%'s
| A|=[6 9 4
5 7 8
4 6 5]6 9
5 7
4 6
¿6.7 .5+9.8 .4+4.5 .6−4.7.4−6.8.6−5.5 .9
¿210+288+120−112−288−225
¿−7
Det B=|B|=[2 7 1
1 5 4
1 2 3]
a%a 1 :
Det B=|B|=
[
2 7 1
1 5 4
1 2 3
] ¿2[5 42 3]−7[1 41 3]+1[1 51 2] ¿2 (5.3−2.4 )−7 (1.3−1.4 )+1(1.2−1.5)
¿2 (7 )−7 (−1 )+1(−3)
¿14+7−3
¿18
a%a 2 :
|B|=b11
K 11−b K
12+b K
13
B=[2 7 1
1 5 4
1 2 3]
*l* 1 : in*% $a%i &a%is 1 *l* 1
K 11det ¿ (−1 )1+1[5 42 3]
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"4
¿1(5.3−2.4 )
¿1(7 )
¿7
*l* 2 : in*% $a%is Ba%is 1 *l* 2
K 12det ¿ (−1 )1+2[1 41 3]
¿−1(1.3−1.4)
¿−1 (−1)
¿1
*l* 3 : in*% $a%i Ba%is 1 *l* 3
K 13det ¿ (−1 )1+3[1 51 2]
¿1(1.2−1.5)
¿1 (−3 )
¿−3
Jadi|B|=b11
K 11−b K
12+b K
13
¿2 (7 )−7 (−1 )+1(−3)
¿14+7−3 ¿18
a%a 3: a%%'s
|B|=
[2 7 1
1 5 4
1 2 3 ]2 7
1 5
1 2
¿2.5 .3+7.4 .1+1.1.2−1.5.1−2.4 .2−3.1 .7
¿30+28+2−5−16−21
¿18
5. In/er& Matrik&
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"5
A=[6 9 4
5 7 8
4 6 5]
Dit : A-1
*l* 1 : in*% Ba%is 1 *l* 1, a11= 6
K 11= (−1 )1+1[7 86 5]
¿1(7.5−6.8)
¿1 (−13)
¿−13
in*% Ba%is 2 k*l* 1, a21= 5
K 21=(−1 )2+1[9 46 5]
¿−1(9.5−6.4 )
¿−1 (21)
¿21
in*% Ba%is 3 k*l* 1, a31= 5
K 31=(−1 )3+1[9 47 8]
¿1(9.8−7.4)
¿1 ( 44 )
¿44
*l* 2 : in*% $a%is Ba%is 1 *l* 2, a12=9
K 12=(−1 )1+2[5 84 5]
¿−1(5.5−4.8)
¿−1 (−7)
¿7
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"6
in*% Ba%is 2 k*l* 2, a22 =7
K 22=(1)2+2[6 44 5]
¿1(6.5−4.4)
¿1 (14 )
¿14
in*% Ba%is 3 *l* 2, a32 =6
K 32=(1 )3+2
[
6 4
5 8
]
¿−1(6.8−5.4)
¿−1 (28 )
¿−28
*l* 3 : in*% $a%i Ba%is 1 *l* 3, a13 = 4
K 13=(−1 )1+3[5 74 6]
¿1(5.6−4.7)
¿1 (2 )
¿2
in*% &a%is 2 k*l* 3 , a23 ="
K 23=(−1 )2+3[6 94 6 ]
¿−1(6.6−4.9)
¿−1 (0 )
¿0
in*% &a%is 3 k*l* 3 , a33 =5
K 33=(−1 )3+3
[
6 9
5 7
] ¿1(6.7−5.9)
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"7
¿1 (−3 )
¿−3
Akofaktor=[−13 7 2−21 14 044 −28 −3 ]
At kofaktor= Adj A=[
−13 −21 447 14 −282 0 −3 ]
A−1=
At kofaktor
| A|
A−1=
−17 [
−13 −21 447 14 −282 0 −3 ]
B=
[2 7 1
1 5 4
1 2 3]Dit : B-1
*l* 1 : in*% Ba%is 1 *l* 1, &11= 2
K 11= (−1 )1+1[5 42 3 ]
¿1(5.3−2.4 ) ¿1 (7 )
¿7
in*% Ba%is 2 k*l* 1, &21= 1
K 21=(−1 )2+1[7 12 3]
¿−1
(7.3
−2.1
) ¿−1 (21−2 )
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""
¿−19
in*% Ba%is 3 k*l* 1, &31= 1
K 31=(−1 )3+1[7 15 4]
¿1(7.4−5.1)
¿1 (28−5 )
¿23
*l* 2 : in*% $a%is Ba%is 1 *l* 2, &12=7
K 12=(−1 )1+2[1 41 3 ]
¿−1(1.3−1.4)
¿−1 (3−4 )
¿1
in*% Ba%is 2 k*l* 2, &22 =5
K 22=(1 )2+2[2 11 3]
¿1(2.3−1.1)
¿1 (6−1 ) ¿5
in*% Ba%is 3 *l* 2, &32 =2
K 32=(1 )3+2[2 11 4]
¿−1(2.4−1.1)
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"9
¿−1 (8−1 )
¿−7
*l* 3 : in*% $a%i Ba%is 1 *l* 3, &13 =1
K 13=(−1 )1+3[1 51 2]
¿1(1.2−1.5)
¿1 (2−5 )
¿−3
in*% &a%is 2 k*l* 3 , &23 =4
K 23=(−1 )2+3[2 71 2]
¿−1(2.2−1.7)
¿−1 ( 4−7 )
¿3
in*% &a%is 3 k*l* 3 , &33 =3
K 33=(−1 )3+3[2 71 5]
¿1(2.5−1.7)
¿1 (10−7 )
¿3
B kofaktor=[ 7 1 −3−19 5 3
23 −7 3 ]
Bt kofaktor= Adj B=[
7 −19 231 5 −7−3 3 3 ]
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90
B−1=
Bt kofaktor
|B|
|B|=b11 K 11−b K 12+b K 13
¿2 (7 )−7 (−1 )+1(−3)
¿14+7−3
¿18
B−1
= 1
18
[ 7 −19 23
1 5 −7−3 3 3 ]
¿[ 7/18 −19/18 23 /181/18 5/18 −7 /18−1/6 1/6 1 /6 ]
2.16. 7ika "
A=[3 14 3] Dit : i;en
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91
Ja$i i;en a$ala λ=1 danλ=5
-. Ei#en ekt!r
λ = 1 / kita s'&sit'sikan λ = 1 ke $ala at%ik ka%akte%istik en;;'nakan
)e%saaan linie% **;en!
| λI − Aλ|=[ λ−3 −1−4 λ−3]
¿[1−3 −1−4 1−3]
| λI − Aλ|=[−2 −1−4 −2]
[−2 −1
−4 −2][ x
y
]=
[0
0
] −2 x− y=0
−4 x−2 y=0
=-1 , y=2
Ja$i, i;en e.t*%nya )a$a λ=1 a$ala /-1,2
?nt'k λ=5
| λI − Aλ|=[ λ−1 −1−4 λ−3]
¿[5−3 −1−4 5−3]
| λI − Aλ|=[ 2 −1−4 2 ]
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92
[ 2 −1−4 2 ][ x y ]=[00 ] 2 x− y=0
−4 x+2 y=0
=1 , y = 2
Ja$i, i;en e.t*%nya )a$a λ=5 a$ala /1,2