Bab iii(fix)

PANAS JENIS

Paper Ini Disusun Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah

Pengantar Fisika Zat Padat

Oleh :

Mutiara Efendi (140310110016)

Maria Oktaviani (140310110018)

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN

2014

PENDAHULUAN

Bahasan struktur kristal pada bab lalu menganggap bahwa atom bersifat statik pada

masing-masing titik kisinya. Sebenarnya, atom tidaklah statik, melainkan berosilasi di sekitar

titik setimbangnya sebagai akibat energi termal. Getaran atom-atom pada suhu ruang adalah

sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dimiliki atom-atom pada suhu

tersebut.

Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal.

Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom

dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pedekatan gelombang

panjang.

Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki

panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini,

gelombang akan “melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit; sehingga

pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit.

Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari

jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan

gelombang.

3.1 Getaran Dalam Zat Padat

3.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar

Padatan terdiri dari atom diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di sekitar titik

setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Namun, saat gelombang yang merambat

mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besar daripada jarak antaratom, sifat

atomik dapat diabaikan dan padatan dapat dianggap sebagai medium kontinu. Dengan

demikian persoalan fisisnya menyangkut lingkup makro. Gelombang yang demikian disebut

gelombang elastik.

Misalnya, gelombang suara elastik longitudinal merambat dalam suatu batang

isotropik, yang mempunyai penampang A, massa jenis ρ dan modulus Young Y. Batang ini

mempunyai ilustrasi seperti berikut :

Gambar 1 ilustrasi batang berpenampang A

tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut :

σ =Y∈ ... (1)

dengan Y menyatakan Modulus elastik atau Modulus Young. Selanjutnya, menurut hukum

kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :

Δσ= F/A

F = A Δσ

F = A {σ(x+dx) - σ(x)} ...(2)

akan menyebabkan massa (m) elemen batang tersebut (ρAdx) mendapatkan percepatan

sebesar ∂2u/∂t2 sehingga :

F = A {σ(x+dx) - σ(x)}

m a = A {σ(x+dx) - σ(x)}

...(3)

dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan σ adalah tekanan.

Regangan e=du/dx dan tekanan σ dihubungkan oleh hukum Hooke

σ = Y u

Untuk bagian yang kecil sesungguhnya

Δσ = σ (x+dx) – σ (x) = (∂σ /∂x) dx

sehingga persamaan gerak gelombang (3) di atas menjadi

...(4)

yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi.

Diambil solusi berbentuk propagasi gelombang bidang, yaitu

u = Ao ei(kx - ωt) ...(5)

Dimana Ao, k dan ω adalah amplitudo, bilangan gelombang dan frekuensi radial

gelombang. Substitusi solusi (5) ke dalam persamaan gelombang (4) menghasilkan

ω = vs k ...(6)

dengan

vs = (Y/ρ)1/2 ...(7)

adalah kecepatan fasa gelombang. Hubungan (6) antara frekuensi dan bilangan gelombang

disebut relasi dispersi. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier, dengan kemiringan

kecepatan fasa, seperti disajikan pada Gambar 2 berikut

Gambar 2 Kurva dispersi gelombang elastik

Penyimpangan terhadap sifat linier di atas disebut dispersi. Ketidaklinieran terjadi

karena, khususnya, panjang gelombang yang relatif kecil jika dibandingkan dengan jarak

antar atom. Hal ini akan dipelajari pada getaran dalam kisi kristal. Apabila gelombang elastik

satu dimensi di atas hanya diperhatikan solusi domain ruangnya saja, yakni

u = Ao eikx ...(8)

dan ujung batang sebelah kanan berosilasi sama dengan sebelah kiri sehingga memiliki syarat

batas periodik

u (x=0) = u (x=L) ...(9)

dengan L adalah panjang batang, maka substitusi (8) ke dalam (9) menghasilkan kondisi

eikL = 1 ...(10)

sehingga

kn = (2π/L) n, dimana n=0, ±1, ±2, … (11)

Setiap nilai n di atas memberikan satu harga k sebagai representasi sebuah moda

getar. Jika L besar sekali, maka kn hampir kontinu (pandangan makro). Dalam domain k,

jarak antar titik adalah (2π/L), sehingga jumlah moda getar antara k dan (k+dk) sebesar

dN = (L/2π) dk ...(12)

Dalam domain frekuensi, dN di atas terletak antara ω dan (ω+dω). Rapat keadaan

g(ω) didefinisikan sedemikian sehingga bentuk g(ω)dω memberikan jumlah moda getar

yang mempunyai frekuensi antara ω dan (ω+dω) seperti di atas. Oleh karena itu didapatkan

Ungkapan ini hanya berlaku untuk gerakan dalam satu arah positip saja. Dengan

demikian g(ω) yang mencakup gelombang ke kiri dan ke kanan adalah

...(13)

Terlihat bahwa rapat keadaan g(ω) bergantung pada relasi dispersi. Untuk

hubungan linier (6), dimana dω/dk=vs, maka didapatkan

...(14)

yang konstan tidak bergantung pada ω.

Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikan syarat bahwa

ei kxL+k yL+kzL = 1

sehingga

(kx , ky , kz) = [ n (2π/L) , m (2π/L) , l (2π/L) ] ...(15)

dimana n, m, l = 0, ±1, ±2, …. Representasi dalam ruang k menunjukkan bahwa sebuah

titik mempunyai volume (2π/L)3 dan merepresentasikan satu moda getar, seperti Gambar 3

berikut ini.

Gambar 3 Nilai diskrit k untuk gelombang yang merambat tiga dimensi

Semua moda getar dengan k tertentu direpresentasikan oleh satu titik yang terletak pada

permukaan bola dalam ruang k, dengan jari-jari k dan berpusat di (kx , ky , kz) = (0,0,0).

Semua moda getar dengan vektor gelombang antara k dan (k+dk) terletak dalam elemen

volume 4πk2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k+dk).Dengan demikian, jumlah

moda getar dalam selang vektor gelombang di atas

...(16)

dimana V=L3 adalah volume sampel. Rapat keadaan g(ω) diperoleh dengan menggunakan

hubungan dispersi ω(k). Apabila digunakan hubungan dispersi linier (6), maka didapatkan

...(17)

yang dilukiskan dalam Gambar 4 berikut.

Gambar 4 Rapat keadaan dalam medium elastik

Ternyata bahwa bertambahnya g(ω) berbanding lurus dengan ω2, tidak seperti dalam

kasus satu dimensi dimana g(ω) berharga konstan. Hal ini terjadi karena kenaikan elemen

volume permukaan bola yang berbanding lurus dengan k2; dan karena itu berbanding lurus

juga dengan ω2 karena ω sebanding dengan k. Ungkapan g(ω) di atas bersesuaian dengan

moda tunggal untuk setiap nilai k. Sebenarnya, dalam tiga dimensi untuk setiap nilai k

mengandung tiga moda. berbeda, yaitu satu moda longitudinal dan dua moda transversal.

Hubungan dispersinya juga berbeda. Dengan demikian rapat keadaan (17) menjadi

...(18)

dimana vL dan vT , masing-masing merupakan kecepatan gelombang longitudinal dan

transversal. Jika vL=vT , maka ungkapan (18) menjadi :

...(19)

Sampai sejauh ini, kita telah membahas rambatan gelombang elastik pada bahan

padat. Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik

(bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut

dapat menyebabkan getaran kisi. Untuk selanjutnya, paket-paket energi getaran kisi disebut

fonon. Fonon dapat dipandang sebagai “kuasi partikel” seperti halnya foton pada gelombang

cahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme partikel-gelombang” ini,

rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon.

Tabel 1. Beberapa eksitasi parlementer pada zat padat

3.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat

Pembahasan mengenai panas jenis zat padat pada volume tetap Cv ternyata membuka

pengertian mengenai sifat getaran dalam suatu zat padat. Ternyata bahwa model-model

tentang getaran kisi yang dibuat untuk menerangkan perilaku harga Cv dengan suhu mutlak T

memberi pentunjuk bahwa energy getaran kisi Kristal terkuantisasi, artinya bahwa harga-

harga energy itu tidaklah continue , tetapi terbatas pada harga-harga diskrit tertentu. Dalam

butir-butir berikut ini akan diuraikan mengenai berbagai teori tentang panas jenis zat padat

(Kristal) yang memberi landasan tentang konsep terkuantisasi energy getar Kristal.

3.2.1 Kapasitas Panas

Dalam padatan, terdapat dua jenis energi thermal yang tersimpan di dalammya yaitu

energi vibrasi atom-atom di sekitar posisi keseimbangannya dan energi kinetik yang

dikandung elektron-bebas. Jika suatu padatan menyerap panas maka energi internal yang

tersimpan dalam padatan meningkat yang diindikasikan oleh kenaikan temperaturnya. Jadi

perubahan energi pada atom-atom dan elektron-bebas menentukan sifat-sifat thermal padatan.

Sifat-sifat thermal yang akan kita bahas adalah kapasitas panas.

Tiap-tiap atom pada benda padat ini dapat berosilasi ke tiga arah secara bebas dan

independen, sehingga padatan dapat dipandang sebagai sistem yang memiliki 3N osilator

harmonik sederhana, dengan N menunjukkan jumlah atom dalam kekisi kristal tersebut. Oleh

karena tiap osilator harmonik memiliki energi rata-rata kBT, energi total rata-rata padatan itu

adalah sebesar 3NkBT, dan kapasitas kalornya adalah 3NkB.

Dengan mengambil nilai N sebagai tetapan Avogadro NA, dan menggunakan

hubungan R = NAkB antara tetapan gas R dengan tetapan Boltzmann kB, hal ini akan

menjelaskan hukum Dulong-Petit mengenai kapasitas kalor jenis benda padat, yang

menyatakan bahwa kapasitas kalor jenis (per satuan massa) suatu benda padat berbanding

terbalik terhadap bobot atomnya. Dalam versi modernya, kapasitas kalor molar suatu benda

padat adalah 3R ≈ 6 cal/(mol·K).

Namun, hukum ini menjadi tidak akurat pada temperatur yang rendah. Hal ini

disebabkan oleh efek-efek kuantum. Selain itu, hukum ini juga tidak konsisten dengan hukum

ketiga termodinamika, yang menurutnya kapasitas kalor molar zat apapun haruslah menuju

nilai nol seiring dengan temperatur sistem menuju nol mutlak. Teori yang lebih akurat

kemudian dikembangkan oleh Albert Einstein (1907) dan Peter Debye (1911) dengan

memasukkan pertimbangan efek-efek kuantum.

Kapasitas Panas adalah sejumlah panas (ΔQ) yang diperlukan per mol zat untuk

menaikkan suhunya 1 K, disebut kapasitas kalor. Untuk membedakan dengan kapasitas panas

yang ditulis dengan huruf besar (Cv dan Cp), maka panas spesifik dituliskan dengan huruf

kecil (cv dan cp). Bila kenaikan suhu zat ΔT, maka kapasitas panas adalah :

Jika proses penyerapan panas berlangsung pada volume tetap, maka panas yang

diserap sama dengan peningkatan energi dalam zat ΔQ = ΔU. Kapasitas kalor pada volume

tetap (Cv) dapat dinyatakan:

Dengan U adalah energi internal padatan yaitu total energi yang ada dalam padatan baik

dalam bentuk vibrasi atom maupun energi kinetik elektron bebas. Kapasitas panas pada

tekanan konstan, (Cp) dengan relasi

dengan H adalah enthalpi. Pengertian enthalpi dimunculkan dalam thermodinamika karena

sesungguhnya adalah amat sulit menambahkan energi pada padatan (meningkatkan

kandungan energi internal) saja dengan mempertahankan tekanan konstan. Jika kita

masukkan energi panas ke sepotong logam, sesungguhnya energi yang kita masukkan tidak

hanya meningkatkan energi internal melainkan juga untuk melakukan kerja pada waktu

pemuaian terjadi. Pemuaian adalah perubahan volume, dan pada waktu volume berubah

dibutuhkan energi sebesar perubahan volume kali tekanan udara luar dan energi yang

diperlukan ini diambil dari energi yang kita masukkan. Oleh karena itu didefinisikan enthalpi

guna mempermudah analisis, yaitu

dengan P adalah tekanan dan V adalah volume.

Kapasitas panas zat pada suhu tinggi mendekati nilai 3R; R menyatakan tetapan gas umum.

Karena R ≅ 2 kalori/K-mol, maka pada suhu tinggi kapasitas panas zat padat :

Gambar 5. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu

1. Teori Klasik

Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas tersimpan

sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakan bahwa besaran fisis

energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak atau momentum, maka untuk

setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki energi sama, yaitu (½)k0T, dengan k0 adalah

konstanta Boltzmann. Hal ini berarti energi kinetik setiap atom gas memiliki energi (½)k0T.

Gas monoatomik memiliki tiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk

gas sebanyak 1 kilomol

...(20)

Dengan demikian, kapasitas panas pada volume konstan

...(21)

Sesungguhnya, kapasitas panas permol didefinisikan sebagai panas ΔQ yang

diperlukan tiap satu mol untuk menaikkan suhu ΔT, yakni C=ΔQ/ΔT. Jika proses

berlangsung pada volume tetap, maka ΔQ=ΔU, dimana ΔU adalah kenaikan energi dalam

sistem. Dalam hal persamaan di atas, NA adalah bilangan Avogadro dan R adalah tetapan

gas. Menurut (21) teori ini menghasilkan nilai CV=12,47 J/0K kmol. Harga ini sesuai untuk

gas He dan Ar pada suhu kamar. Setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat

kebebasan untuk geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki

energi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Pada gerak selaras sederhana, energi kinetik

rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energi total sistem atom dalam

kristal menurut hukum ekipartisi

...(22)

Ungkapan ini menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstan

adalah :

...(23)

Harga (23) sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit (1819), yang berlaku untuk

hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi. Selanjutnya, eksperimen

menunjukkan bahwa nilai CV menurun apabila T menurun, dan mendekati nol apabila T

menuju 0 K. Disamping itu, terdapat indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat

rendah mendekati nol mutlak

CV ∼ T3

Penyempurnaan bahasan kapasitas panas ini, selanjutnya menggunakan teori

mekanika kuantum.

2. Teori einstein tentang CV Zat Padat

Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam menerangkan radiasi benda hitam, maka

konsep kuantisasi energi itu juga diterapkan Einstein dalam teorinya tentang CV zat padat.

Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian sebagai berikut.

a. Atom kristal merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki frekuensi

sama dan energi diskrit

εn = n ћ ω , n = 0, 1, 2, … (24)

dengan ω adalah frekuensi osilator. Jarak antartingkat energi ini sebesar ћ ω.

b. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi

Boltzmann

f (εn) = e−εo / k n T ... (25)

Sebuah osilator dengan satu derajat kebebasan mempunyai energi ratarata

Substitusi (24) dan (25) ke persamaan di atas menghasilkan :

... (26)

Gambar 6 berikut menyajikan perbandingan energi kuantum rata-rata osilator dan energi

klasik kristal untuk satu derajat kebebasan.

Tampak bahwa pada suhu tinggi, sehingga koT>>ћω, osilator berada dalam keadaan

kuantum tereksitasi tinggi. Pada keadaan demikian sifat kuantum spektrum dapat diabaikan,

sehingga dihasilkan energi klasik rata-rata Pada suhu rendah, koT<<ћω, dan energi

koT tidak cukup untuk mengeksitasikan osilator ke tingkat eksitasi pertama. Dalam hal ini

energi osilator jauh lebih kecil daripada koT. Oleh karena itu, pada suhu rendah ini, sifat

kuantum gerakan lebih dominan.

Bila zat padat sebanyak 1 kmol dan setiap atom mempunyai 3 derajat kebebasan,

maka energi totalnya

... (27)

dimana ωE adalah frekuensi Einstein (frekuensi bersama osilator). Kapasitas panas pada

volume konstan

... (28)

dimana θE=(ћωE/ko) adalah suhu karakteristik Einstein. Secara grafik CV di atas

ditunjukkan dalam Gambar 7 berikut.

Gambar 7 Kapasitas panas tembaga. Titik-titik merupakan hasil eksperimen. Kurva mengungkapkan teori Einstein untuk suhu θE=240 K

Secara teori dapat dibuat kurva CV terhadap T/θE yang bentuknya sama untuk

berbagai macam kristal. Data eksperimen (CV,T) suatu kristal tertentu, dapat dicari

kesesuaiannya yang terbaik, sehingga θE dapat ditentukan. Selanjutnya, frekuensi Einstein ωE

pun dapat diperoleh. Untuk θE= 240 K didapatkan ωE = 2,5.1013/s dalam daerah inframerah.

Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.

a. Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T>>θE, bentuk eθ E / T dapat diekspansikan dalam

deret pangkat θE/T, sehingga menghasilkan CV ≅ 3 R seperti hasil teori klasik.

b. Pada suhu yang sangat rendah, dimana T<<θE, bentuk eθE / T jauh lebih besar daripada

satu, sehingga

... (29)

dimana B(T) adalah fungsi yang relatif tidak peka terhadap suhu. Karena bentuk eksponensial

eθ E / T , maka kapasitas panas ini terus berkurang sehingga mendekati nol dengan cepat

sekali. Jadi CV →0 saat T→0. Hasil ini sesuai denga eksperimen.

2. Teori Debye tentang CV Zat Padat

Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di

sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling

berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik

dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak kolektif.

Frekuensi getaran atom bervariasi dari ω=0 sampai dengan ω=ωD. Batas frekuensi ωD

disebut frekuensi potong Debye.

Untuk menerangkan kebergantungan CV terhadap T, Debye memodelkan getaran kisi

dengan mengambil anggapan sebagai berikut.

a. Atom kristal merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan daerah frekuensi

ω=0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah moda getar yang

diperkenankan. Dengan demikian pada kristal terjadi gerakan kisi secara keseluruhan

sehingga terdapat moda kisi bersama. Kristal merupakan medium elastik kontinu.

b. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda bersama. Oleh karena itu moda

kisi mempunyai hubungan dispersi linier kontinu (6) dan rapat keadaan (19) yang sama

dengan bahasan gelombang elastik yang lalu. Setiap modus getaran merupakan osilator

harmonik tunggal ekivalen yang mempunyai energi rata-rata (26) seperti osilator model

Einstein. Oleh karena itu energi total getaran seluruh kisi

(30)

dimana integrasi dilakukan terhadap semua frekuensi yang diperkenankan. Frekuensi batas

bawah, tentunya, adalah ω=0. Sedangkan frekuensi batas atas ditetapkan oleh debye dengan

batasan bahwa jumlah moda yang dicakup dalam rentang frekuensi tersebut haruslah sama

dengan jumlah derajat kebebasan untuk keseluruhan padatan. Jadi

... (31)

dimana frekuensi atas ωD disebut frekuensi Debye. Hasil integrasi di atas, setelah

mensubstitusikan (19) memberikan nilai

... (32)

dimana n=NA/V adalah konsentrasi atom dalam padatan.

Energi total (30) dapat ditulis kembali

... (33)

dan kapasitas panas pada volume konstan

... (34)

Apabila x=(ћω/koT) dan suhu Debye didefinisikan sebagai θD=(ћω/ko), maka persamaan

(34) dapat ditulis dalam bentuk

... (35)

Suhu Debye θD dapat diperoleh dengan mencocokkan kurva eksperimen dari data

(CV,T) suatu kristal dengan kurva universal teoritis CV terhadap T/θD. Untuk suatu zat

tertentu, sudu Debye θD adalah suhu yang dipilih sedemikian rupa sehingga kurva

eksperimen akan berimpit dengan kurva universal teoritis.

Tabel 2. Suhu Debye untuk Beberapa Zat

Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.

a. Pada suhu tinggi, T>>θD, didapatkan CV ≅ 3 R yang sesuai dengan hukum Dulong-

Petit. Dalam keadaan demikian, setiap moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energi

klasik rata-rata Jika kita substitusikan energi klasik rata-rata tersebut ke dalam

(30) akan didapatkan E = 3RT dan CV=3R.

Penjelasan :

Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil, demikian juga

variabel x. Sebagai pendekatan dapat diambil : ex ≅ 1 + x sehingga integral yang

bersangkutan menghasilkan :

Masukkan hasil ini kepersamaan (35)

Sesuai dengan hukum Dulong-Petit, pada suhu tinggi model ini sesuai dengan hasil

eksperimen.

b. Pada suhu rendah, T<<θD,

dengan menggunakan hubungan analitik

didapatkan

... (36)

Penjelasan :

Pada suhu rendah (T<<θD), batas integral pada persamaan (35) menuju tak berhingga dan

integral tersebut menghasilkan 4π4/15. Dengan demikian:

Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasil pengamatan. Dalam keadaan

demikian, hanya sedikit moda tereksitasi, yakni moda yang memiliki energi kuantum

ћω, yang lebih kecil daripada kT.

Pada grafik berikut ini menunjukkan betapa baiknya hasil pengukuran dengan teori

untuk berbagai Kristal.

3.2.2 Konsep Fonon

Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar,

seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau

gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukleasi dan

pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, disertai

dengan penataan atom–atom atau molekul-molekul secara teratur dengan berulang sehingga

sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal

dan elektron di dalamnya.

Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan

keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau molekul–

molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya coulomb). Kisi–kisi

tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom–atom yang menyusun zat padat

bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya sehingga kisi–kisi kristal pun ikut bervibrasi.

Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan

energi dengan panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik

disebut fonon. Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat

dianalogikan seperti dalam foton dalam gelombang elektromagnetik

Konsep fonon tersirat dalam teori Debye yang sangat penting dan jauh mencapai

konsepnya. Kita telah melihat bahwa energi setiap mode adalah terkuantisasi, energi dari unit

kuantum menjadi ћω. Karena mode yang kita miliki adalah gelombang elastis, yang pada

kenyataannya, terkuantisasi energi gelombang suara elastis. Prosedur ini analog dengan yang

digunakan dalam mengkuantisasi energi medan elektromagnetik, di mana sel hidup alam

lapangan diungkapkan dengan memperkenalkan foton. Dalam kasus ini, partikel seperti

entitas yang membawa energi unit bidang elastis dalam modus tertentu disebut sebuah Fonon.

Energi fonon tersebut yaitu:

є = ћω ... (37)

Sedangkan Fonon juga merupakan gelombang berjalan, ia membawa momentum

sendiri. Analogi foton (sama seperti persamaan de Broglie), momentum Fonon diberikan oleh

p = h / λ, dimana λ adalah panjang gelombang. Ditulis λ = 2π / q, dimana q adalah vektor

gelombang, kita memperoleh momentum untuk Fonon tersebut:

p = ћq ... (38)

Sama seperti kita berpikir tentang gelombang elektromagnetik sebagai aliran foton,

sekarang kita melihat sebuah gelombang suara elastis sebagai aliran fonon yang membawa

energi dan momentum gelombang. Kecepatan perjalanan Fonon sama dengan kecepatan

suara dalam medium.

Dalam hal ini dapat dibayangkan bahwa bila gelombang elektromagnet merambat

identik dengan adanya arus foton, sedangkan pada rambatan gelombang mekanik atau

gelombang suara identik dengan adanya aliran arus fonon yang membawa energi dan

momentum seperti pada persamaan (37) dan (38)

Jumlah fonon dalam suatu moda gelombang pada keseimbangan termal dapat

diprediksi dari persamaan :

Karena energi setiap fonon adalah hω dan energi rata-rata fonon diberikan oleh persamaan

diatas maka jumlah rata-rata fonon dalam suatu moda gelombang adalah :

Jadi, jumlah fonon bergantung suhu, pada T = 0, n = 0, tetapi bila T meningkat, n

akan bertambah. Pada suhu tinggi n ≅ kT/ . Dengan demikian dapat dikatakan fonon tercipta

dengan menaikkan suhu; dan hal ini berbeda dengan partikel lain (proton, elektron) yang

jumlahnya tetap meskipun suhunya berubah.

3.3 Vibrasi Dalam Kisi kristal

Telah dibahas rambatan gelombang dalam padatan sebagai medium kontinu, yaitu

kediskritan kisi dapat diabaikan. Saat panjang gelombang jauh lebih besar daripada jarak

antar atom, yaitu k→0, maka dihasilkan relasi linier ω=vsk. Tetapi, saat panjang gelombang

menurun dan k membesar, maka kediskritan kisi menjadi berperan karena atom-atom mulai

menghamburkan gelombang. Akibatnya kecepatan menurun, dan dalam hal ini menyebabkan

kurva relasi dispersi tidak lagi linier melainkan mengalami penurunan kemiringan.

3.3.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi

Perhatikan kisi monoatom (hanya tersusun oleh satu jenis atom) satu dimensi seperti

ditunjukkan oleh gambar 8. Pada keadaan seimbang atom-atom secara rata-rata menduduki

titik kisi. Kemudian, atom-atom akan menyimpang dengan simpangan sebesar ….un-1, un, un

+1,............dst.

Gambar 8. Kisi eka-atom satu dimensi dalam keadaan seimbang (atas) dan dirambati

gelombang longitudinal (bawah).

Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak atom ke-n dapat diungkapkan sebagai

berikut :

(39)

m massa atom, C tetapan elastik ikatan antar atom (semacam tetapan pegas), dan t

menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian berbentuk :

un = A exp [i (qxn - ωt) ] (40)

A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke-n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang dan

dapat dituliskan :

xn = na (41) n bilangan bulat dan a tetapan kisi. Masukkan solusi (40) ke dalam persamaan gerak (39), dan

dengan menggunakan hubungan Euler :

2 cos y = eiy + e-iy

diperoleh solusi ω :

(42)

Dengan :

Hasil (42) menyatakan hubungan antara ω dan q, jadi jelas bahwa persamaan tersebut

menyatakan hubungan dispersi yang dalam kasus ini berbentuk/bersifat sinusoida. Dalam

pembahasan di atas secara implisit telah digunakan pendekatan gelombang pendek, karena

medium “tampak” sebagai deretan atom-atom diskrit. Dari hasil dapat dikatakan bahwa

untuk kisi diskrit atau pendekatan gelombang pendek, hubungan dispersinya sinusoida (tidak

linier); lihat gambar 9.

Gambar 9. Hubungan dispersi, ω vs q, sinusoida dari kisi diskrit

(pendekatan gelombang pendek)

3.3.2 Kecepatan Gelombang

Untuk gelombang “murni”, yaitu gelombang yang hanya memiliki satu nilai q dan

satu nilai ω, gelombang menjalar dengan satu nilai kecepatan v. Pada gambar 10 ditunjukkan

gelombang murni dan gelombang paket. Gelombang yang disebut terakhir merupakan hasil

perpaduan (superposisi) dari sejumlah masing-masing dengan nilai q1, q2, q3 .......... dan ω1,

ω2,ω3, ........... Perhatikan gelombang paket pada gambar 10c, gelombang tersebut

mempunyai dua komponen; yaitu gelombang “isi” yang frekuensinya lebih besar dan

gelombang “sampul”

yang mempunyai frekuensi lebih kecil. Kedua komponen gelombang merambat dengan

kecepatan yang berbeda secara umum.

Gelombang “isi” merambat dengan apa yang disebut kecepatan fasa (vf); sedangkan

gelombang “sampul” merambat dengan kecepatan kelompok/grup (vg). Kedua kecepatan ini

didefinisikan sebagai berikut :

(43)

Gambar 10. a. Gelombang murni merambat dengan satu nilai kecepatan. b. Superposisi gelombang dengan nilai q dan ω berbeda-beda menghasilkan gelombang seperti

pada c. Gelombang paket dengan dua komponen, masing-masing merambat dengan kecepatan vf dan vg.

untuk selanjutnya akan ditentukan kecepatan rambat gelombang untuk kisi malar maupun kisi

diskrit. Untuk kisi malar, panjang gelombang (λ) besar sedemikian sehingga :

Dari hubungan dispersi secara umum, lihat persamaan (42) sebagai berikut :

oleh karena q→ 0, maka :

dan ini berarti :

(44)

Dengan :

Tampak bahwa untuk kisi malar, kecepatan rambat gelombang baik kecepatan fasa

maupun kecepatan kelompok sama dengan kecepatan rambat vs. Kisi malar, sebagai medium

perambatan gelombang yang bersifat demikian (hubungan dispersi linier, vf = vg = vs)

disebut medium dispersif. Di pihak lain, untuk kisi diskrit, karena hubungan dispersinya

sinusoida maka kecepatan rambat gelombang yang bersangkutan adalah :

(45)

Terlihat bahwa :

Medium yang bersifat sebagai kisi diskrit adalah medium tak-dispersif. Perhatikan ungkapan

untuk kecepatan kelompok, bahwa untuk nilai q = ± (π/a) menghasilkan kecepatan kelompok

vg = 0. Bila hal ini terjadi akan dapat diamati bahwa gelombang “isi” tetap merambat

sedangkan gelombang “sampul” diam (menghasilkan gelombang berdiri).

3.3.3. Kisi Diatomik Satu Dimensi

Pembahasan untuk kisi eka-atom seperti yang telah diuraikan di atas dapat diterapkan untuk

kisi dwi-atom. Pada gambar 2.8, atom-atom yang berukuran lebih kecil, dengan massa m,

diberi nomer genap, sedangkan atom-atom yang lebih besar, dengan massa M, diberi nomer

ganjil. Apabila kisi dirambati gelombang, atom-atom akan mengalami penyimpangan sebesar

........ U2r-1, U2r, U2r+1 ...........dan seterusnya.

Gambar 11. Kisi diatomik satu dimensi

Persamaan gerak untuk atom bernomer ganjil adalah :

(46)

dan untuk atom bernomer genap :

(47)

Selanjutnya, kita ambil fungsi gelombang berbentuk :

(48)

dan substitusikan ke persamaan gerak di atas : (46) dan (47), menghasilkan :

yang dapat ditulis dalam bentuk matrik :

(49)

Persamaan matrik ini akan mempunyai penyelesaian “non-trivial” (solusi yang tidak nol) bila

determinannya dama dengan nol. Jadi,

dan memberikan hasil :

(50)

Bila diperhatikan, persamaan (50), untuk kisi dwi-atom satu dimensi. Pada gambar 12, titik

potong kurva ω(q) dengan sumbu ω adalah

(51)

Gambar 12. Hubungan dispersi kisi dwi-atom satu dimensi.

Persamaan (50) menghasilkan dua penyelesaian, yaitu penyelesaian I :

(52)

yang disebut frekuensi cabang optik. Disebut demikian karena bila dihitung nilai frekuensi ini

(sekitar ω2) ada di bawah gelombang inframerah (optik). Sedangkan penyelesaian II :

(53)

yang disebut frekuensi cabang akustik, karena sifatnyaseperti gelombang bunyi : q → 0,

ω→0, dan q meningkat, ω juga meningkat secara “hampir” linier. Bagaimanakah atom-atom

bergetar oleh rambatan gelombang ini ? untuk melihat gerakan atom-atom, perhatikan

amplitudo A1 dan A2 pada persamaan (48). A1 adalah amplitudo bagi getaran atom nomer

ganjil dan A2 untuk atom-atom nomer genap. Dapat dibuktikan bahwa untuk cabang akustik

A1 dan A2 sefasa, sedangkan untuk cabang optik A1 berlawanan fasa dengan A2. Lihat gambar

13.

Gambar 13. Getaran atom pada cabang optik dan akustik : a. longitudinal optik b. longitudinal akustik c. transversal optik c. transversal akustik.

Pada kurva dispersi dalam gambar 12, untuk daerah frekuensi antara ω1 dan ω2 tidak ada

kurva ω(q) yang memenuhi dalam selang nilai Daerah frekuensi ini (antara ω1 dan

ω2) disebut celah frekuensi (frequency gap). Hal ini berarti bahwa kisi dwi-atom tidak

merambatkan gelombang yang berfrekuensi antara ω1 dan ω2, tetapi meredamnya. Keadaan

ini memungkinkan kisi bertindak sebagai filter mekanik lolos pita, artinya meloloskan selang

(pita) frekuensi tertentu dan meredam selang (pita) frekuensi yang lain.

REFERENSI

El-Habsyi, Habib. 2012. Dinamika Kisi Kristal. Dilansir dari situs www.academia.edu

diakses tanggal 13 maret 2013.

Drs. Parno, M.Si. 2006. Diktat Kuliah Fisika Zat Padat. Universitas Negeri Malang

NN. 2013. Kapasitas Panas dan Konsep Fonon. [PDF]

Suardika, Komang. 2011. Makalah Fisika Zat Padat. Universitas Pendidikan Ganesha