13 BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-DESAIN Dalam subbab 3.1, kita akan mempelajari salah satu sifat penting dari kode swa-dual genap. Sifat tersebut diberikan oleh Teorema 3.1(Teorema Gleason), Teorema ini secara mengesankan telah menentukan bentuk pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap. Di samping itu, pada subbab 3.2 kita akan mempelajari teori t-desain. Kemudian kita tunjukan bahwa untuk sebarang kode linier C, jika banyaknya bobot tak nol pada C kurang dari atau sama dengan jarak minimum pada kode dual β₯ , maka setiap katakode di C membentuk t-desain. Dua hasil yang disebutkan di atas merupakan dua hal penting yang akan digunakan dalam menentukan batas atas bagi jarak minimum kode swa-dual genap. Penentuan batas atas tersebut dibahas pada bab IV. 3.1 Teorema Gleason Teorema 3.1.1 Teorema Gleason(Gleason, 1970). Pencacah bobot sebarang kode swa-dual genap merupakan polinom dalam 1 , = 8 + 144 4 + 8 dan 2 , = 4 4 4 β 4 4 . Bukti: Misal kode swa-dual biner dengan panjang n dan dimensi 2 n k , serta setiap bobot dari semua kata kode di C merupakan kelipatan 4. Misalkan , C W xy adalah pencacah bobot kode swa-dual tersebut, karena C swa-dual , C W xy = , C W xy . Berdasarkan teorema Mac Williams, , C W xy dapat dihitung sebagai berikut : , C W xy = 2 1 2 n , C W x yx y
9
Embed
BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-DESAIN - β¦ suatu grup hingga π’ dari matriks-matriks ... Teorema 3.2.5(MacWilliams dan Sloane [1]). Misal kita pilih sebuah vektor u berbobot t di
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
13
BAB III
TEOREMA GLEASON DAN t-DESAIN
Dalam subbab 3.1, kita akan mempelajari salah satu sifat penting dari kode swa-dual
genap. Sifat tersebut diberikan oleh Teorema 3.1(Teorema Gleason), Teorema ini secara
mengesankan telah menentukan bentuk pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap.
Di samping itu, pada subbab 3.2 kita akan mempelajari teori t-desain. Kemudian kita
tunjukan bahwa untuk sebarang kode linier C, jika banyaknya bobot tak nol pada C kurang
dari atau sama dengan jarak minimum pada kode dual πΆβ₯ , maka setiap katakode di C
membentuk t-desain.
Dua hasil yang disebutkan di atas merupakan dua hal penting yang akan digunakan
dalam menentukan batas atas bagi jarak minimum kode swa-dual genap. Penentuan batas atas
tersebut dibahas pada bab IV.
3.1 Teorema Gleason
Teorema 3.1.1 Teorema Gleason(Gleason, 1970). Pencacah bobot sebarang kode swa-dual
genap merupakan polinom dalam π1 π₯,π¦ = π₯8 + 14π₯4π¦4 + π¦8 dan π2 π₯,π¦ =
π₯4π¦4 π₯4 β π¦4 4.
Bukti: Misal πΆ kode swa-dual biner dengan panjang n dan dimensi 2
nk , serta setiap
bobot dari semua kata kode di C merupakan kelipatan 4. Misalkan ,CW x y adalah
pencacah bobot kode swa-dual tersebut, karena C swa-dual ,CW x y = ,C
W x y .
Berdasarkan teorema Mac Williams, ,C
W x y dapat dihitung sebagai berikut :
,C
W x y =2
1
2n
,CW x y x y
14
=2
1
2n
0
nn j j
j
j
A x y x y
=
0 22
n j jn
j
nj
A x y x y
=
0 22 22
n j jn
j jn jj
x y x yA
=1/2 1/2
0 2 2
n j jn
j
j
x y x yA
=0 2 2
n j jn
j
j
x y x yA
= ,2 2
x y x yW
Sehingga diperoleh ,CW x y = ,C
W x y = ,2 2
x y x yW
. (3.1.a)
Kita tinjau ,CW x y berdasarkan definisi pencacah bobot, bentuk ,CW x y dapat
dituliskan sebagai :
,CW x y0
n
n j j
j
j
A x y
; jA banyaknya kata kode berbobot j .
Karena setiap bobot dari semua kata kode di πΆ merupakan kelipatan 4, ,CW x y hanya
memuat pangkat dari 4y . Sehingga ,CW x y dapat kita tulis sebagai :
,CW x y = 0
1n jn j
j
j
A x y
= ,CW x iy , dengan i = 1 . (3.2.b)
Persamaan (3.2.a) menunjukan ,CW x y tidak berubah atau invarian terhadap
transformasi linier 1T :
15
Ganti x dengan 2
x y
Ganti y dengan 2
x y
Atau dalam bentuk matriks 1T : ganti x
y
dengan 1
2
1 1
1 1
x
y
.
Sejalan dengan hal di atas, persamaan (3.2.b) menunjukan bahwa ,CW x y juga
tidak berubah atau invarian terhadap transformasi linier 2T :
Ganti x dengan x
Ganti y dengan iy
Atau dalam bentuk matriks 2T : ganti x
y
dengan 1 0
0 i
x
y
.
Selain hal di atas, ,CW x y
tentulah invarian terhadap sebarang kombinasi
2
1 2 1 1 2 1, , ,....T T T TT T dari transformasi ini. Tidaklah sulit untuk menunjukan bahwa matriks
transformasi 1T dan 2T ketika dikalikan dalam semua kemungkinan, menghasilkan sebuah
grup 1G yang memuat 192 matriks.
Sehingga permasalahan kita adalah mencari semua polinom ,CW x y yang invarian
terhadap setiap matriks dari 1G . Polinom-polinom tersebut kita sebut sebagai polinom-
polinom yang invarian terhadap grup 1G . Akan tetapi, kita tidak akan mendapatkan
jawaban yang tunggal. Karena jika polinom f dan g invarian terhadap setiap matriks dari 1G
, maka cf untuk semua c elemen πΉ, f+g, f-g, dan fg juga invarian terhadap setiap matriks dari
1G . Oleh karena itu, cukuplah kita cari banyaknya polinom homogen yang bebas linier dan
invarian terhadap semua matriks dari 1G untuk setiap derajat d, sebut sebagai da .
16
Salah satu cara sederhana untuk menangani bilangan-bilangan 0 1 2, , ,...a a a adalah
dengan mengombinasikan 0 1 2, , ,...a a a dalam bentuk deret pangkat atau fungsi pembangkit
π π = 2
0 1 2 ...a a a .
Sebaliknya, jika kita tahu Ξ¦ π , kita bisa mendapatkan da . Sampai pada tahap ini kita akan
memanfaatkan teorema Molien berikut ini :
Teorema 3.2.2 Teorema Molien. Untuk suatu grup hingga π’ dari matriks-matriks
kompleks π Γ π, π π diberikan oleh :
π π =1
π’
1
πππ‘ πΌβππ΄ π΄βπ’
dimana π’ adalah banyaknya matriks di π’, det adalah determinan, πΌ adalah matriks
identitas, dan A merupakan matriks-matriks di π’.
Bukti Teorema Molien tidak dituliskan dalam Tugas Akhir ini, demi menjaga
kefokusan Tugas Akhir ini. Bukti Teorema Molien dapat dilihat di [1].
Untuk grup G1 , kita dapatkan ππΊ1 π =
1
192
1
1βπ 2 +1
1βπ2 +1
1βπ 1βππ + β― . Dengan
penghitungan langsung menggunakan program Maple, diperoleh :
ππΊ1 π =
1
1βπ8 1βπ24 (3.2.a)
Persamaan (3.2.a) diekspansi dalam pangkat dari π, menghasilkan :