07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 2
Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sub Pokok Bahasan– Pendahuluan– Solusi SPL dengan OBE– Solusi SPL dengan Invers matriks dan Aturan
Crammer– SPL Homogen
Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan LinearRangkaian listrikJaringan KomputerModel Ekonomi dan lain-lain.
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 3
1. Pendahuluan
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnyatidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.
Contoh :Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y) maka ia harus membayar $ 5000, sedangkan jikamembeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar$ 10000.Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL
x + 2y = 50003x + y = 10000
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 4
Bentuk umum sistem persamaan linear
Dapat ditulis dalam bentuk :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
L
MOMM
L
L
11
21111
11111
11212111 ... bxaxaxa nn =+++
22222121 ... bxaxaxa nn =+++
mnmnmm bxaxaxa =+++ ...2211
MMMM
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mb
bb
M2
1
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nx
xx
M2
1
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 5
AtauAX = B
dimana– A dinamakan matriks koefisien– X dinamakan matriks peubah– B dinamakan matriks konstanta
Contoh :Perhatikan bahwa SPL
x + 2y = 50003x + y = 10000
dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛10000
5000 y
x 1321
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 6
Solusi SPLHimpunan bilangan Real dimana jika
disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.
Perhatikan SPL :x + 2y = 50003x + y = 10000
Maka{x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL tersebut{x = 1000, y =3000 } merupakan bukan solusi SPL itu
Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tigakemungkinan :
– SPL mempunyai solusi tunggal– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak– SPL tidak mempunyai solusi
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 7
Ilustrasi Solusi SPL dengan garis pada kartesius
Artinya : SPL 2x – y = 2x – y = 0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
y = xy = 2x - 2
(2, 2) merupakan titik potongdua garis tersebut
Tidak titik potong yang lain selain titik tersebut
(2, 2)x
y
1 2
2
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 8
Perhatikan SPLx – y = 02x – 2y = 2
Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajarTak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis ituArtinya
SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
x
y y = x y = x – 1
1
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 9
Perhatikan SPLx – y = 02x – 2y = 0
Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan ½
Diperoleh persamaan yang sama dengan pers. pertamaJika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpitTitik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebutArtinya
SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
y
x
x – y = 02x – 2y = 0
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 10
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE• Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar• Lakukan OBE sampai menjadi esilon baris tereduksi
Contoh :Tentukan solusi dari SPL
3x – y = 5x + 3y = 5
Jawab :Martiks yang diperbesar dari SPL
~55
3113
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − ~55
1331
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
~105
10031
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
~15
1031
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛12
1001
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 11
Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE menjadi perkalian matriks
Solusi SPL tersebut adalah x = 2 dan y = 1
Contoh :Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :
a. a + c = 4a – b = –12b + c = 7
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1 2
1 0
0 1
yx
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 12
b. a + c = 4a – b = –1–a + b = 1
c. a + c = 4a – b = –1–a + b = 2
Jawab :a.
∼
Terlihat bahwa solusi SPL adalaha = 1, b = 2, dan c =3
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−71
4
120011101
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
100010001
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 13
b.
∼
Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriksdiperoleh :
Ini memberikan a + c = 1 dan b + c =5.Dengan memilih c = t, dimana t adalah parameter.Maka solusi SPL tersebut adalah :
, dimana t adalah parameter
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
11
4
011011101
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
051
000110101
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
051
000110101
cba
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
051
111
tcba
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 14
c. ∼
Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisientetapi matriks konstanta pada baris ke-3 sama dengan1 (tak nol)
Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa 0.a + 0.b = 1.
Tak ada nilai a dan b yang memenuhi kesamaan ini.Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
21
4
011011101
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
151
000110101
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
151
000110101
cba
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 15
Contoh : Diketahui SPL :
x + 2y – 3z = 43x – y + 5z = 24x + y + (a2 – 14) z = a+2
Tentukan a sehingga SPL : a. Mempunyai solusi tunggalb. Tidak mempunyai solusic. Solusi yang tidak terhingga
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 16
Jawab: Matrik diperbesar dari SPL adalah
a. Agar SPL mempunyai solusi tunggal:a2 – 16 ≠ 0 sehingga a ≠ ± 4
~214-14
251343-21
2 ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
aa ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
142-7010147043-21
2 aa
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
416-0010147043-21
~2 aa
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 17
b. Perhatikan baris ketiga0x + 0y + (a2 – 16a) z = a – 4SPL tidak mempunyai solusi saata2 – 16 = 0 dan a– 4 ≠ 0Sehingga a = ± 4 dan a ≠ 4.Jadi , a = – 4.
c. SPL mempunyai solusi tak hingga banyaka2 – 16 = 0 dan a – 4 = 0
Jadi , a = 4
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
416-0010147043-21
2 aa
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 18
Solusi SPL dengan Matriks Invers
AtauAX = B
Kalikan setiap ruas di atas dengan A–1
A–1 A X = A–1 Bdiperoleh :
X = A–1 BIngat bahwa suatu matriks A mempunyai invers
jika dan hanya jikaDet (A) ≠ 0.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
L
MOMM
L
L
11
21111
11111
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nx
xx
M2
1
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nb
bb
M2
1
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 19
Contoh :Tentukan solusi dari SPL berikut :
a + c = 4a – b = –12b + c = 7
Jawab :Perhatikan bahwa
Jadi A mempunyai Invers
0 1 12001-1101
≠==A
1-2-2111-121-
1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−A
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 20
sehingga X = A–1 B berbentuk :
Jadi, Solusi SPL tersebut adalah
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
cba
71-4
1-2-2111-121-
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
cba
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
321
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 21
Solusi SPL dengan aturan CramerMisalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
Jika determinan A tidak sama dengan nolmaka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, xi)
Langkah-langkah aturan cramer adalah :• Hitung determinan A• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.
Contoh :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
L
MOMM
L
L
11
21111
11111
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nx
xx
M2
1
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nb
bb
M2
1
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aba
abaaba
A
L
MOMM
L
L
1
2211
1111
2
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 22
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
Contoh :
Tentukan solusi b dari SPL berikut :a + c = 4a – b = –12b + c = 7
Jawab :Perhatikan bahwa
)det()det(
AAx i
i =
1 12001-1101
==A
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 23
Maka
Jadi, Solusi peubah b yang memenuhi SPL adalah b = 2
)A ( det ) Ab (det b =
117001-1141
=
701-1
1 1001
(-4) 1701-
1 ++=
) 0 - 7 ( 1 ) 0 - 1 ( (-4) ) 0- 1- ( 1 ++=
7 (-4) 1- ++= 2=
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 24
Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?
( )( )
112701-1-104
detdet
=
= A Aa a
1 5 0 4-
) (-7) - 2- ( 1 ) 0- 1- ( 4 271-1-
1 0 1201-
4
=++=+=
++=
07/03/2007 12:14 MA-1223 Aljabar Linear 25
Sistem Persamaan Linear HomogenBentuk umum
• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten,selalu mempunyai solusi.
• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi ituadalah
• Jika tidak demikian, SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak. (biasanya ditulis dalam bentuk parameter)