-
*II. Kinematika Robot (Manipulator) 2.1 Matrik Transformasi
Posisi dan OrientasiDefinisi : Kinematika : Studi analitis
pergerakan lengan robot (robot arm) terhadap sistem kerangka
koordinat referensi yang diam/bergerak tanpa memperhatikan gaya
yang menyebabkan pergerakan tersebut.terdapat dua topik pembahasan
kinematikaDirect/Forward Kinematics : (angles to
positions)Diketahui : panjang setiap link dan sudut setiap
jointInformasi yang akan diperoleh : posisi dari ujung lengan robot
dalam kerangka 3 DInverse Kinematics : (Positions to
angles)Diketahui : panjang setiap link, posisi ujung lengan
robotInformasi yang akan diperoleh : sudut masing joint untuk dapat
mencapai posisi tersebut
-
*
Definisi : Terminologi Kinematika Link, Joint, End-effector,
gripper (lihat kuliah yang lalu)Base : Link (Link 0) yang terhubung
pada kerangka koordinat diam (fixed) biasanya terhubung langsung
pada sistem kerangka koordinat cartesian (world
coordinate)Kinematic chain : sejumlah link yang dihubungkan oleh
joint (yang membentuk sebuah manipulator)Open kinematic chain :
sejumlah link yang memiliki hubungan kerangka koordinat yang
terbuka (acyclic)Mixed kinematic chain : sejumlah link yang
memiliki hubungan tertutup
-
*Open KinematicMixed Kinematic
-
*Review : Vector dan Matriks Dot Product: Representasi Geometri:
Vektor Satuan (Unit Vector)Vector dalam arah vektor yang dipilih
dengan magnituda = 1. Representasi vektor :
-
*Review : Vector dan Matriks TerminologiSquare matrix A adalah
Matriks A (n x n), disebut, Matriks A berorde n (square matrix of
order n) merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom
sama (m = n)Diagonal Matrix adalah square matrix, dengan elemen aij
= 0 jika i jIdentity matriks (Matriks Identitas) adalah diagonal
matrix dimana nilai elemen aij = 1 jika i = jSymetric Matrix
(Normal Matrix) adalah square matrix dimana nilai transpose adalah
nilai matrik itu sendiri, A = AT atau elemen aij = ajiSkew Matrix
adalah square matrix dimana nilai elemen aij = - aji atau jika A
adalah Skew Matrix maka A = - AT Sebuah symetric matrix A dapat
dibuat dari sebuah non-symetric matrix B, dengan operasi A = B +
BT/2Orthogonal Matrik adalah AT = A-1
-
*Review : Vector dan Matriks Matrix Multiplication:Matriks A (m
x n) dan Matriks B (n x p), dapat dikalikan jika jumlah kolom
Matriks A sama dengan jumlah baris Matriks B.Perkalian matriks
tidak secara umum tidak bersifat komutatif (Non-Commutative
Multiplication) AB is NOT equal to BA Matrix Addition:
-
*Review : Vector dan Matriks Matrix Determinant
.
Cofactor
Inverse Matrix : (matriks cofactor dibagi dengan
determinant)
-
*Matrix dan Vector Review Karakteristik MatriksInverse of a
diagonal Matrix
Inverse dari symmetrical matrix adalah symmetrical matrixInverse
dari non-symmetrical matrix adalah non-symmetrical matrixInverse
dari perkalian matriks adalah .Rank sebuah matriks A (m x n) = orde
dari sub matriks A terbesar dengan determinan = 0Sebuah matrik
dengan orde yang lebih besar dari Rank adalah matriks Singular Jika
| A | 0, maka Matriks A adalah non singularMatriks yang non
singular memiliki inverse
-
* Transformasi Dasar Dua persoalan Transformasi :Bagaimana
menghitung nilai sebuah titik terhadap sebuah KK tertentu yang
mengalami rotasi Penentuan Matrik Rotasi DasarBagaimana menghitung
nilai sebuah titik tehadap sebuah KK tertentu yang mengalami
translasi/pergeseran Penentuan Vektor Translasi Matrik Rotasi
DasarPerhatikan dua buah Kerangka Koordinat (KK) 0XYZ dan 0UVW yang
pada saat awal berimpitOXYZ merupakan KK diamOUVW merupakan KK
bergerakTitik P ikut bergerak bersama KK OUVW Pada saat KK OUVW
bergerak/berputar, titik pusat (origin) selalu berimpit dengan
titik pusat KK OXYZ (coincident)
-
* Matrik Rotasi DasarTitik P dapat direpresentasikan dalam nilai
koordinat terhadap KK OXYZ maupun KK OUVW, pUVW = (pu, pv, pw)T
pXYZ = (px, py, pz)TPersoalannya adalah bagaimana menghitung matrik
transformasi (3 x 3) yang akan mentransformasikan koordinat pUVW
menjadi nilai koordinat yang dinyatakan terhadap KK OXYZ pXYZ = R
pUVW
-
* Matrik Rotasi Dasartitik pUVW dan pXYZ , masing-masing dapat
dinyatakan dalam nilai komponen vektor, yang menyatakan proyeksi
titik P terhadap masing-masing sumbu dari KK pXYZ = px ix + py jy +
pz kz)pUVW = pu iu + pv jv + pw kw)i, j, k = vektor satuan dalam
arah sumbu KK Berdasarkan definisi dari Dot product
-
* Matrik Rotasi DasarPersamaan sebelumnya dapat diekspresikan ke
dalam bentuk matrik
Dengan cara yang sama, kita dapat memperoleh nilai koor dinat
pUVW terhadap koordinat pXYZ, pUVW = Q pXYZ
-
* Matrik Rotasi DasarKarena Dot Product bersifat komutatifQ =
R-1 = RTQR = RTR = R-1R = I Q, R disebut matrik transformasi
orthogonalDisebut juga matrik transformasi orthonormal karena
elemen-elemen nya berupa vektor satuan (unit vector)
-
* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu Y Rotasi Terhadap
Sumbu Z Rotasi Terhadap Sumbu X
-
* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu X pXYZ = Rx, pUVW ix
iu
-
* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu Y pXYZ = Ry, pUVW jy
jv
-
* Matrik Rotasi Dasar Rotasi Terhadap Sumbu Z pXYZ = Rz, pUVW kz
kw
-
* Matrik Rotasi Dasar (Contoh)Diketahui dua buah titik auvw =
(4,3,2)T dan buvw = (6,2,4)T terhadap KK OUVW hitunglah nilai titik
tersebut terhadap KK OXYZ (axyz dan bxyz) jika KK OUVW diputar
terhadap sumbu OZ sebesar 60o
-
* Matrik Rotasi Dasar (Contoh)Diketahui dua buah titik axyz =
(4,3,2)T dan bxyz = (6,2,4)T terhadap KK OXYZ hitunglah nilai titik
tersebut terhadap KK OUVW (auvw dan bovw) jika KK OUVW diputar
terhadap sumbu OZ sebesar 60o
-
* Matrik Rotasi KompositMatrik rotasi dasar dapat dikalikan
untuk menyatakan rotasi terhadap beberapa sumbu dari Kerangka
KoordinatMengingat bahwa perkalian matriks tidak bersifat
komutatif, maka urutan rotasi terhadap beberapa sumbu menjadi
penting Contoh 1, Pada saat awal KK OXYZ dan KK OUVW berimpit.
Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW berturut-turut
:diputar terhadap sumbu OX sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap
sumbu OZ sebesar sudut , kemudiandiputar terhadap sumbu OY sebesar
sudut
-
* Matrik Rotasi KompositContoh 2, Pada saat awal KK OXYZ dan KK
OUVW berimpit. Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW
berturut-turut :diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut ,
kemudiandiputar terhadap sumbu OZ sebesar sudut , kemudiandiputar
terhadap sumbu OX sebesar sudut
-
* Matrik Rotasi KompositPada saat awal dua buah KK tersebut
berimpit (coincident) dengan demikian matrik rotasi adalah matrik
Identitas/Satuan, IBila KK OUVW diputar terhadap salah satu sumbu
dari KK OXYZ lakukan proses perkalian premultiply sesuai dengan
matriks rotasi dasar dan urutannya Bila KK OUVW diputar terhadap
salah satu sumbu dari KK nya sendiri (OUVW) lakukan proses
perkalian postmultiply sesuai dengan matriks rotasi dasar dan
urutannya KK OUVW (bergerak) selain dapat diputar terhadap KK OXYZ
(referensi/diam) dapat pula diputar terhadap sumbunya sendiri
(sumbu OU, sumbu OV atau sumbu OW)Aturan umum untuk menghitung
matriks transformasi komposit yang mencakup dua kemungkinan rotasi
diatas (berputar terhadap sumbu KK diam atau KK dirinya sendiri)
adalah :
-
* Matrik Rotasi KompositContoh, Pada saat awal KK OXYZ dan KK
OUVW berimpit. Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW
berturut-turut :diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut ,
kemudiandiputar terhadap sumbu OW sebesar sudut , kemudiandiputar
terhadap sumbu OU sebesar sudut Perhatikan contoh diatas
menghasilkan nilai matrik rotasi komposit yang sama dengan contoh
sebelumnya namun berbeda dalam urutan rotasi
-
* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangSelain rotasi terhadap
sumbu-sumbu dari KK (diam atau bergerak) dapat juga terjadi rotasi
sebesar sudut terhadap sebuah sumbu sembarang. OR, yang memiliki
komponen vektor rx, ry, rz melalui titik pusat (origin) KK. Salah
satu keuntungan dengan cara rotasi terhadap sumbu sembarang adalah
tidak diperlukan rotasi terhadap beberapa sumbu dari KK. Untuk
menurunkan matrik rotasi, Rr, , pertama kali perlu dilakukan
beberapa kali rotasi terhadap sumbu KK OXYZ agar sumbu OR searah
dengan sumbu OZ. Kemudian lakukan rotasi terhadap sumbu OR (atau
sumbu OZ) dengan sudut dan terhadap sumbu KK OXYZ untuk
mengembalikan sumbu OR ke posisi semula
-
* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangUntuk mensejajarkan Sumbu OR
dengan sumbu OZ dapat dilakukan dengan cara memutar sumbu OR
terhadap sumbu OX sebesar sudut (sumbu OR sekarang berada di bidang
XZ) kemudian diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut - (Sumbu OR
sejajar dengan sumbu OZ). Setelah diputar terhadap sumbu OZ (atau
sumbu OR) sebesar , kembalikan lagi sumbu OR ke posisi semula
dengan cara membalik urutan diatas dengan sudut yang berlawanan
-
* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangDengan demikian, Matrik Rotasi
,Rr, , yang merepresentasikan putaran terhadap sumbu sembarang
dapat dinyatakan menjadi Dimana :
-
* Rotasi Terhadap Sumbu SembarangCONTOH : Hitunglah matrik
rotasi Rr, yang merepresentasikan putaran sebesar sudut terhadap
vektor r = (1, 1, 1)T Karena vektor r bukan vektor satuan maka
komponen vektornya perlu dinormalisasi sepanjang sumbu-sumbu utama
dari KK OXYZ, yaitu : Dengan mensubstitusi persamaan diatas dengan
persamaan sebelumnya , diperoleh :
-
* Rotasi Dengan sudut EuleurPerputaran sudut dari sebuah KK
seringkali dinyatakan dalam perputaran sudut Euler, yaitu , , dan
terhadap KK referensi Terdapat 3 sistem perputaran sudut Euleur
yang pada dasarnya perbedaannya terletak pada urutan putarannya.
Tiga sistem perputaran ditunjukkan dalam Tabel dibawah ini
UrutanSudut Euler Sistem ISudut Euler Sistem IISudut Euler
Sistem III (Roll, Pitch and Yaw1 Terhadap sumbu OZ Terhadap sumbu
OZ Terhadap sumbu OX2 Terhadap sumbu OU Terhadap sumbu OV Terhadap
sumbu OY3 Terhadap sumbu OW Terhadap sumbu OW Terhadap sumbu OZ
-
* Rotasi Dengan sudut Euleur Sistem IPerputaran ini dapat
dinyatakan dalam KK OXYZ (KK referensi) dengan urutan : Terhadap OZ
sebesar Terhadap OX sebesar , dan Terhadap OZ sebesar
-
* Rotasi Dengan sudut Euleur Sistem IIPerputaran ini dapat
dinyatakan dalam KK OXYZ (KK referensi) dengan urutan : Terhadap OZ
sebesar Terhadap OY sebesar , dan Terhadap OZ sebesar
-
* Rotasi dengan sudut Euleur Sistem III (Roll, Pitch,Yaw,
RPY)
-
*Matriks Transformasi HomogenMatrik Rotasi (3 x 3)
Vector Translasi (3 x 1)
Matrik Homogen (4 x 4)
-
*Matrik Transformasi HomogenBentuk Matrik hanya translasi
Bentuk Matrik rotasi saja
Aturan matrik transformasi homogen bentuk komposit sama dengan
aturan sebelumnya untuk bentuk rotasi/translasi terhadap KK diam
atau KK berputar.
-
*2.2 Metoda Denavit Hatenberg (DH)Pada umumnya robot berupa
serial-link manipulator yang terdiri dari sekumpulan benda tegar
(rigid bodies), disebut link, dalam sebuah untaian (chain) yang
dihubungkan oleh joint. Setiap Joint memiliki satu derajat
kebebasan (degree-of-freedom, dof) yang dapat berotasi atau
bertranslasiSeringkali robot manipulator diklasifikasikan dalam
nilai dof. Misalnya robot 5 dof, artinya robot memiliki 5 joint
yang dapat digerakan secara bebasSebuah manipulator n joint, diberi
nama Joint 1 sampai dengan Joint n, memiliki n+1 link, diberi nama
Link 0 s/d Link n. Link 0, disebut Link Base, biasanya diam
(fixed). Link n, disebut end effector Joint i menghubungkan Link
i-1 dengan Link i. Setiap linki memiliki sebuah kerangka koordinat
(KKi).
-
*Denavit-Hartenberg (D-H) digunakan untuk menggambarkan hubungan
Transformasi (homogen) antara sebuah link dengan link
tetangganya.Secara garis besar terdapat 4 tahap Menetapkan Kerangka
Koordinat (KK)Setiap linki memiliki sebuah kerangka koordinat (KKi)
: 1) Arah sumbu Zi-1 2) Arah sumbu Xi3) Arah Sumbu Yi 4) Posisi
Titik pusat KKi Menetapkan Parameter DH Menghitung Matrik
Transformasi Homogen Setiap Link Menghitung Persamaan Kinematik
langsung (direct kinematic)
-
*Arah sumbu Zi-1 berimpit dengan sumbu pergerakan dari joint
iPenetapan Kerangka Koordinat
-
*Arah sumbu XiApabila sumbu Zi-1 dan Zi berpotongan, arah
sumbunya sejajar dengan Zi-1 X Zi (Cross product)Apabila Zi-1 dan
Zi paralel, maka arah sumbunya sejajar dengan garis tegak lurus
bersama dari Zi-1 menuju ke Zi. Penetapan Kerangka Koordinat
-
* Arah Sumbu Yi mengikuti aturan tangan kananPenetapan Kerangka
Koordinat
-
*Titik pusat KKi Pada titik potong antara sumbu Z i-1 dengan Zi
di sumbu ZiTitik potong garis tegak lurus bersama antara Z i-1
dengan Zi.Penetapan Kerangka Koordinat
-
*Penetapan Parameter DHTerdapat 4 parameter ai (link length);
Jarak dari titik potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi menuju
titik pusat KKi sepanjang sumbu Xi (atau jarak terpendek antara
sumbu Zi-1 dengan sumbu Zi ) ai (link twist); Sudut dari sumbu Zi-1
menuju sumbu Zi terhadap sumbu Xi (menggunakan aturan tangan
kanan)
di (link offset); Jarak dari titik pusat KK i-1 menuju ke titik
potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi sepanjang sumbu Zi-1 qi
(joint angle); Sudut dari sumbu Xi-1 menuju sumbu Xi terhadap sumbu
Zi-1 (menggunakan aturan tangan kanan)
LINK PARAMETER (Lokasi relatif 2 buah sumbu di dalam Ruang)JOINT
PARAMETER
-
*Penetapan Parameter : ai (link length)ai (link length); Jarak
dari titik potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi menuju titik
pusat KKi sepanjang sumbu Xi. (atau jarak terpendek antara sumbu
Zi-1 dengan sumbu Zi )Jarak dari sumbu Zi-1 ke sumbu Z i sepanjang
garis tegak lurus bersama (common perpendicular)Common
perpendicular adalah jarak terpendek dua buah garis dalam
ruang.Common perpendicular tidak selalu terletak di dalam link.Jika
sumbu ZI-1 dan Sumbu Zi berpotongan ai = 0Tidak didefinisikan untuk
Joint Prismatic, ai = 0
z1z2a2x2
-
*Penetapan Parameter : i(link twist)ai (link twist); Sudut dari
sumbu Zi-1 menuju sumbu Zi terhadap sumbu Xi Sudut offsetBiasanya
kelipatan dari 90o Sumbu Zi-1 // Zi, ai = 0a2z1z2x2
-
*Penetapan Parameter : di (link offset)di (link offset); Jarak
dari titik pusat KK i-1 menuju ke titik potong antara sumbu Zi-1
dengan sumbu Xi sepanjang sumbu Zi-1 Berupa variabel untuk untuk
Joint Prismatic (translasi)Penetapan Parameter : qi (Joint
Angle)Sudut dari sumbu Xi-1 menuju sumbu Xi terhadap sumbu Zi-1
(menggunakan aturan tangan kanan) Berupa Variabel untuk Joint
rotasi
-
*Robot PUMA 560
-
*Robot Stanford
-
*Setelah parameter (a, , d, ) setiap link telah ditentukan,
persamaan matriks homogen dapat dibangun untuk membentuk hubungan
antar KK terdekat (adjacent), atau hubungan KK i dengan KK i-1,
dimana i menyatakan link ke i, yang pada prinsipnya adalah membuat
agar kedua KK koordinat tersebut berimpit, yaitu melalui urutan
operasiPutar sebesar sudut i terhadap sumbu Zi-1 agar sumbu Xi-1
dengan sumbu Xi sejajar/paralel Translasikan sejauh di sepanjang
sumbu Z i-1 agar sumbu X i dan sumbu Xi-1 berimpit
(coincidence)Translasikan sejauh ai sepanjang sumbu Xi agar kedua
titik pusat berimpitPutar sebesar sudut i terhadap sumbu Xi agar
kedua KK berimpitPerhitungan Matrik Transformasi Homogen
-
*Bentuk InverseUntuk joint berputar ai, i dan di adalah
konstanta, i variabel memenuhi hubungan : i-1 A i = Tz,d Tz, Tx,a
Tx,
-
*Bentuk InverseUntuk joint prismatic ai, i dan i adalah
konstanta, di variabel memenuhi hubungan : i-1 A i = Tz, Tz,d
Tx,
-
*Contoh Matrik Transformasi untuk Robot PUMA dimana semua
jointnya berputar
-
*Persamaan Kinematik untuk ManipulatorMatriks Transformasi
homogen 0Ti yang menyatakan lokasi KK ke i terhadap kerangka
koordinat dasar (base, KK ke 0) merupakan rantai perkalian dari
matrik transformasi i-1Ai dan diekspresikan sebagai : Dimana[xi,
yi, zi] = Matrik orientasi KKi pada link i terhadap KK dasar/base .
Merupakan matriks 3x3, terletak disebelah kiri atas dari 0Ti pi =
Vektor posisi yang berarah dari titik pusat KK dasar menuju titik
pusat KK i. Merupakan vektor 3x1, terletak disebelah kanan atas
dari 0Ti
-
*Persamaan Kinematik untuk ManipulatorSebagai contoh, untuk i =
6, matrik transformasi T = 0A6, yang menyatakan posisi dan orintasi
dari ujung lengan robot terhadap KK dasar (matriks ini seringkali
disebut arm matrix), yang berbentuk :
-
*Persamaan Kinematik untuk ManipulatorDimana (diasumsikan bentuk
tangan parallel-jaw)n = Normal vector, arah tegak lurus terhadap
jari dari tangan robot s = Sliding vector, searah dengan pergerakan
jari, gripper open/close a = Approach vector, arah tegak lurus
dengan telapak/muka tangan p = Position vector, arah dari titik
pusat KK dasar menuju titik pusat KK tangan
-
*Persamaan Kinematik untuk Robot PUMADimana
-
*Persamaan Kinematik untuk Robot PUMAPersamaan Arm Matrix,
0T6
-
Kinematika Balik Manipulator Kinematika Balik (Invers Kinematic)
merupakan formulasi untuk menghitung sudut dari joint apabila
Posisi Ujung lengan (end-effector) diketahui Beberapa metoda untuk
menghitung invers kinematikInvers Transform Screw
AlgebraGeometri
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560)Geometric Approach (Lee and Ziegler, 1984) 3 derajat
pertama untuk mencapai posisi 3 derajat berikutnya untuk mencapai
orientasiShoulderElbowWrist
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560)Beberapa Definisi :
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Konfigurasi Robot berdasarkan definisi diatas Konfigurasi
dapat dinyatakan dalam indikator
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi untuk 3 Joint PertamaPerhatikan posisi p dimana
3joint pertama berpotongan dengan 3 joint terakhir, yang memenuhi
hubungan : Yang berhubungan denganvektor posisi dari transformasi
0T4
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 1Jika vektor posisi p diproyeksikan
terhadap bidang x0y0 diperoleh beberapa persamaan sbb :
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 1Indeks superscript (L dan R) pada
sudut joint menyatakan konfigurasi Left dan Right Arm Fungsi
cosinus dan sinus untuk konfigurasi Left/Right ArmPersamaan diatas
dapat diekspresikan ke dalam bentuk persamaan dengan menggunakan
indikator ARM (Left/Right) menjadi
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Diperoleh Sudut Joint 1
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 2Jika vektor posisi p diproyeksikan
terhadap bidang x1y1 diperoleh beberapa nilai sudut joint 2 sesuai
dengan 4 konfigurasi lengan : (lihat Tabel)
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 2Dari tabel diatas nilai sudut joint 2
dapat ekspresikan ke dalam bentuk persamaan dengan menggunakan
indikator ARM dan ELBOW sbb : Dari gambar geometri diperoleh
beberapa persamaan
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 2Dari persamaan diatas dapat diperoleh
bentuk cosinus dan sinus dari sudut Joint 2 adalah : Diperoleh
Sudut Joint 2
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 3Jika vektor posisi p diproyeksikan
terhadap bidang x2y2 diperoleh beberapa nilai sudut joint 3 sesuai
dengan 4 konfigurasi lengan (lihat tabel) :
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 3Dari tabel diatas sudut joint 3 dapat
diekspresikan ke dalam bentuk persamaanBentuk sinus dan cosinus
persamaan diatas : Diperoleh Sudut Joint 3
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560)Atur joint 4 sedemikian rupa sehingga rotasi terhadap
joint 5 akan mensejajarkan (align) sumbu dari joint 6 dengan vektor
approach yang telah ditentukan (given)Atur joint 5 untuk
mensejajarkan sumbu joint 6 dengan vektor approachAtur joint 6
untuk mensejajarkan vektor sliding (atau y6) dan vektor
normalKriteria diatas diekspresikan ke dalam bentuk operasi
terhadap vektor : Solusi untuk 3 Joint Terakhir
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi untuk 3 Joint TerakhirShoulderElbowWrist
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 4Perhatikan gambar proyeksi KK 0X4Y4Z4
ke bidang X3Y3 dan tabel yang menggambarkan orientasi WRIST yang
dinyatakan dalam indikator
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 4Dari gambar tadi terlihat hubungan
persamaan Dimana vektor x3 dab y3 adalah vektor kolom dari
0T3Dengan demikian solusi dari sudut joint 4
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 5Perhatikan gambar proyeksi KK 0X5Y5Z5
ke bidang X4Y4 memenuhi hubungan persamaan :Dimana vektor x4 dan y4
adalah vektor kolom dari 0T4Dengan demikian solusi dari sudut joint
5
-
Kinematika Balik Manipulator (Pendekatan Geometri, Studi Kasus
PUMA 560) Solusi Sudut Joint 6Perhatikan gambar proyeksi KK nsa ke
bidang X5Y5 memenuhi hubungan persamaan :Dimana vektor y5 adalah
vektor kolom dari 0T5 dan n, s adalah vektor normal dan vektor
sliding 0T6Dengan demikian solusi dari sudut joint 6
-
*Kinematika Mobile RobotPosture: position(x, y) and
orientation
-
*Jenis RodaFixed wheelCentered orientable wheelOff-centered
orientable wheel (Caster wheel)Swedish wheel:omnidirectional
property
-
*Fixed wheelKecepatan Titik P
Titik P tidak dapat berpindah menuju arah tegak lurus bidang
roda
xy dimana, ax : vektor satuan arah sumbu X
-
*Centered orientable wheelsKecepatan titik P ax : vektor satuan
arah sumbu x ay : vektor satuan arah sumbu y
dimana,
-
*Kecepatan Titik P ax : Vektor satuan arah sumbu x ay : Vektor
satuan arah sumbu y
dimana,Off-Centered orientable wheels(caster wheels)
-
*Swedish wheelKecepatan Titik P ax : Vektor satuan arah sumbu x
as : Vektor satuan arah pergerakan dari roller
dimana,
-
*1. Differential DriveD : panjang titik tengah robot dari awal
menuju akhir pergerakan
-
*Posture robot
v : Kecepatan linier robotw : Kecepatan sudut robot(x,y) :
Posisi robot : Orientasi robotControl Input
Differential Drive
-
*Differential Drive Kecepatan Linier roda kanan Kecepatan Linier
roda kirir Jari2 nominal masing2 rodaR instantaneous curvature
radius trayektori robot (Jarak dari ICC ke titik tengah antara dua
roda).Property: pada setiap saat, roda kiri dan kanan harus
mengikuti trayektori disekitar ICC dengan kecepatan sudut yang
sama
-
*Differential DriveKendala NonholonomicPersamaan Kinematik
Hubungan antara input kendali dengan kecepatan rodaModel Posture :
Model kinematik terhadap KK bumi
-
*Differential DriveModel kinematik dalam KK robot
-
*2. Tricycle Variabel Kendali :steering direction (t)angular
velocity of steering wheel ws(t)
ICC harus terletak pada garis yang melewati sumbu roda
belakang
-
*Tricycle Jika roda kemudi bersudut (t) terhadap rah garis
lurus, mobile robot akan berotasi sebesar kecepatan sudut (t)
terhadap ICC yang terletak pada jarak R sepanjang garis lurus sumbu
roda belakang
-
*Tricycled: Jarak roda depan ke as roda belakang
-
*Tricycle Model Kinematik dalam KK Robot
-
*Tricycle Model Kinematik dalam KK Bumi
-
*3. Synchronous DriveVariabel kendali (independent)v(t), (t) ICC
selalu terletak di tak hingga arah orientasi kemudi menentukan arah
dari ICC
-
*4. Ackerman SteeringThe Ackerman Steering equation:
:
-
*Ackerman SteeringEquivalent:
-
*Model Kinematik Input KendaliXY : forward vel : steering
vel
-
*Model Kinematik XYnon-holonomic constraint: : forward velocity
: steering velocity
*********(Eq1)(Eq2)Eq1-Eq2 ***********