BAB II.docx

BAB IPENDAHULUAN1.1Latar BelakangDahulu statistik hanyalah merupakan kumpulan dari angka-angka mengenai penduduk dan pendapatan suatu masyarakat serta angka-angka lain yang diperlukan oleh pemerintah. Angka-angka yang menerangkan keadaan penduduk itu diperlukan oleh pemerintah untuk menentukan jumlah pajak yang akan dipungut dan cara pemungutannya, demikian juga untuk menaksir kekuatan potensiil negara yang bersangkutan di dalam keadaan perang. Tetapi, lama-kelamaan pemerintah mencampuri bidang-bidang yang lebih luas dari perekonomian suatu masyarakat dan angka-angka yang diperlukan dan dikumpulkan pun bertambah banyak macamnya. Dengan demikian macam dan jumlah angka-angka yang harus diolah bertambahbanyak dan cara-cara pengolahan baru pun ditemukan.Pengukuran dispersi atau biasa disebut sebagai deviasi (penyimpangan) , merupakan ukuran tau tingkat penyebarana data yang nilai rata-rata hitungnya(distribusi data terhadap nilai rata-ratanya), ukuran disperse dapat pula dikatakan sebagai rata-rata tingkaat penyimpangan dari hasil pengukuran (observasi), sehingga pengukuran tersebut dinyatakan sebagai variasi data terhadap nilai rata-ratanya. Dengan mengetahui ukuran disperse dari sekumpulan data yangdipunyai, tentunya akansangat membantu dalam menafsirkan dan menginterpretasikan bagaimana seragaman data yang sebenarnya. . Ada beberapa macam pengukuran dispers, antara lain adalah : pengukuran jarak (range), pengukuran deviasi , pengukuran varians.Maka dengan adanya makalah ini, kami menjelaskan tentang ukuran penyebaran data dalam statistika. Semoga makalah ini bermanfaat kepada para pembaca. 1.2Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang di atas, dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut :1. Bagaimana cara menghitung nilai range, deviasi , dan varians dalam suatu data statistika2. Apa saja elemen yang terkandung dalam perhitungan ange, deviasi dan varians dalam data statistika3. Untuk mengetahui kelebihan dan kelemahan range dalam ilmu statistika

1.3Tujuan PenulisanSesuai dengan permasalahan diatas, tujuan yang dicapai dalam makalah ini adalah :1. Untuk mengetahui perhitungan nilai range, deviasi , dan varians dalam suatu data statistika2. Untuk mengetahui elemen yang terkandung dalam perhitungan ange, deviasi dan varians dalam data statistika3. Untuk mengetahui kelebihan dan kelemahan range dalam ilmu statistika

BAB IIPEMBAHASAN2.1Pengertian Ukuran PenyebaranUkuran penyebaran adalah ukuran statistic yang digunakan untuk mengetahui luas penyebaran data atau homogenitas data. Dua variable yang memiliki mean yang sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya .Ada beberapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.Macam-macam ukuran penyebaran data adalah :1. Range (rentang)2. Rata-rata Deviasi (deviasi mean) 3. Standar Deviasi4. VariansiKegunaan Ukuran Penyebaran Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suaturangkaian data atau tidak.

Contoh data upah 5 (lima) karyawan berikut :Rp 15.000,- Rp 25.000,- Rp Rp 30.000,- Rp 30.000,- Rp 100.000,-Nilai rata-rata atau mean-nya = Rp 50.000,-Kita dapat mengatakan bahwa nilai rata-ratanya kurang mewakili karena data tersebut memiliki standar deviasi yang besar, dimana 4 dari 5 karyawan berada di bawah rata- rata.

Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curahhujan, suhu udara, dsb.

Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkanukuran penyebaran sampel terhadap ukuran populasi. Berikut beberapa contoh pentingnya ukuran penyebaran .1. Saat biaya pulsa mahal, maka salah satu upaya untuk meringankan biaya pulsa adalah memilih operator yang paling banyak pelanggannnya, sehingga memudahkan bicara antar pelanggan yang sama. Saat ini terdapat 68 juta pelanggan untuk lima oprator, sehingga rata-rata pelanggan setiap orang mencapai 13,6 juta; jarak (range) sebesar 32 juta, dan standar deviasi sebesar 13 juta. Pelanggan terbanyak dimiliki oleh Telkomsel, yaitu 35 juta dan yang terkecil adalah Telkom Flexi dengan 3 juta pelanggan.2. Misalkan anda ingin belajar berenang. Anda menanyakan berapa kedalaman rata-rata kolam renang. Misalkan kedalaman rata-rata adalah 1,5 meter. Jika tinggianda adalah 1,65 meter, mungkin Anda piker Anda tidak akan tenggelam. Namun Anda harus ingat bahwa 1,5 meter adalah rata-ata mulai dari kolam anak-anak yang kedalamannya hanya 30 cm sampai dengan kolam untuk dewasa yang kedalamannya mungkin mencapai 3,5 meter, Anda bisa tenggelam.Dari contoh diatas, Kita bisa jadi lebih memahami pentingnya ukuran penyebaran. Apabila suatu kumpulan data yang tidak mempunyai nilai ekstrem rendah dan tinggi, maka ukuran pemusatan relatif baik untuk digunakan . namun demikian, apabila datanya mengandung nilai ekstrem , maka kita perlu mengetahui sebarannya. Pada kasus sampel atau populasi yangmempunyai nilai ukuran pemusatan yang sama sekalipun,belum tentu mempunyai karakter yang sama. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk memahami makna ukuran penyebaran. Ada beberapa kemungkianan yang terjadi jika menggambarkan dua data ditinjau darinilai rata-rata hitung dan penyebarannya.1. Rata rata sama dengan penyebaran yang berbeda.2. Rata-rata berbeda, sebaran berbeda.3. Rata-rata berbeda, sebaran sama.2.2 Range (Jarak)Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran yang paling sederhana dari ukuran penyebaran.2.2a Data yang tidak dikelompokkan Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi maupun sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat.

Jarak/Range (R) = Nilai Terbesar (H) Nilai terkecil (L)Contoh 1:TAHUNSiswa SMP Negeri 2 Jakarta

Laki-lakiPerempuan

2002250256

2003243240

2004267238

2005271288

2006244260

Penyelesaian :JumlahLaki- lakiPerempuan

Tertingi271288

Terendah243238

Jarak271 243 = 28 288 238 = 50

Nilai range diperoleh dengan mengurangkan nilai tertinggi dengan nilai terendah.Contoh 2:Hasil ujian beberapa mata pelajaran semester genap dari 3 orang siswa kelas II MAN adalah sebagai berikut :A= 60557065508040B= 50556065706555C= 60606060606060Dari data diatas dapat kita ketahui :A = Memiliki H = 80, L = 40, R= 80 40 = 40, meannya 60B = Memiliki H = 70, L = 50, R= 70 50 = 20, meannya 60C = Memiliki H = 60, L = 60, R= 60 60 = 0, meannya 60Dari contoh 2 di atas dapat kita tarik kesimpulan :1. Semakin kecil rangenya, maka semakin homogen distribusinya2. Semakin besar rangenya, maka semakin heterogen distribusinya3. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representative4. Semakin besar rangenya, maka meannya semakin kurang representative

2.2b Untuk data yang dikelompokkanData berkelompok adalah data yang sudah dibuat distribusi frekuensinya. Untuk data kelompok , nilai jarak (NJ) dapat dihitung dengan dua cara : a. NJ = Nilai tengah kelas akhir - Nilai tengah kelas pertama b. NJ = Batas atas kelas akhir Batas bawah kelas pertama Berat Badan (kg)BanyaknyaMahasiswa (f)

60 625

63 6518

66 6842

69 7127

71 748

Penyelesaian :Cara I : Nilai tengah kelas akhir = = 73 kg: Nilai tengah kelas Pertama = = 61 kgNJ = Nilai tengah kelas terakhir - Nilai tengah kelas pertama = 73 61 = 12 kgCara II: Batas atas kelas akhir = 74,5: Batas bawah kelas Pertama = 59,5NJ = Batas atas kelas terakhir - Batas bawah kelas pertama = 74,5 59,5 = 15 kg2.3Pengertian DeviasiDeviasi adalah selisih atau simpangan masing-masing skor atau interval dengan rata-rata hitungnya. Bila setiap skor atau nilainya lebih besar dari meannya, maka deviasinya positif. Bila setiap skor atau nilainya lebih kecil dari meannya, maka deviasinya negative. Penjumlahan deviasi akan selalu menghasilkan nol, sehingga deviasi tidak dapat digunakan untuk mengetahui variabilitas data, untuk mengatasi hal ini maka tanda-tanda aljabarnya ( tanda +, dan - ) diabaikan, atau tanda positif dan negarifnya tidak mempengaruhi penjumlahan nilai mutlaknya. Sehingga hasil penjumlahan dapat digunakan untuk mengetahui variabilitas data.Deviasi terbagi dua, yaitu deviasi rata-rata dan standar deviasi. 2.3a Data yang tidak dikelompokkan Deviasi rata-rata Apabila diperhatikan ukuran dari range, maka kesimpulan data hanya didasarkan pada dua data ekstrem yaitu data tertinggi dan terendah. Hal tersebut berarti tidak mempertimbangkan semua nilai data baiik dalam populasi maupun sampel. Oleh sebab itu, di samping ukuran range, juga dikembangkan ukuran deviasi rata-rata. Deviasi rata-rata mengukur besarnya variasi atau selisih dari setiap nilai dalam populasi atau sampel dari rata-rata hitungnya. Deviasi rata-rata didefenisikan dan dirumuskan sebagai berikut :Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya.Bentuk rumus deviasi rata-rata yang disingkat dengan MD (mean deviation) adalah:MD = Keterangan : MD : Deviasi rata-rataX : Nilai setiap data pengamatan : Nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan N: Jumlah data atau pengamatan dalam sampel / populasi: Lambang penjumlahan: Lambang nilai mutlakDeviasi standarDeviasi Standar atau sering kali dinamakan sebagai simpangan baku atau penyimpangan baku, merupakan ukuran penyebaran terbaik karena dapat digunakan untuk membandingkan suatu rangkaian data dengan lainnya. Rumus deviasi standar dinyatakan dengan :

Keterangan : : Varians ( merupakan huruf Yunani, dibaca tho)X : Nilai setiap data / pengamatan : Nilai rata-rata hitungN : Jumlah total data / pengamatan: Simbol operasi penjumlahan2.3bData yang dikelompokkanDeviasi rata-rata untuk data berkelompok dirumuskan sebagai berikut : Keterangan :MD = Deviasi rata-rataf = Jumlah frekuensi setiap kelasX= Nilai setiap data pengamatan = Nilai rata rata hitung dai seluruh nilai pengamatan = Jumlah data atau pengamatan dalam sampel= Operasi penjumlahan = Lambang nilai mutlak2.4 VariansiVarians adalah simpangan baku (s) yang dipangkat duakan. Itulah sebabnya, notasi variansi adalah notasi simpangan baku yang dikuadratkan (s2). Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi adalah devisi kuadrat dari setia data terhadap rata-rta hitung semua data dalam populasi . sedangkan varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel, dimana sampel adalah bagian dari populasi.2.4aData yang tidak dikelompokkanVarians PopulasiVarians populsi dapat dirumuskan sebagai berikut : dengan Contoh : Hitunglah varians dari pertumbuhan ekonomi Negara maju dan Indonesia.TahunPertumbuhan Ekonomi (%)

Negara MajuIndonesia

19943,27,5

19952,68,2

19963,27,8

19973,24,6

19982,2-13,7

19992,04,8

20002,33,5

20013,23,2

Penyelesaian :Diketahui : N = 8Langkah langkah :1. Mencari nilai rata-rata hitung populasi X/ N , yaitu = = 2,62. Mengurangkan setiap nilai X dengan dan hasilnya tetap dalam nilai absolute, tidak dimutlakkan . = 3,2 2,6 = 0,6. dst3. Mengkuadratkan nilai , sehingga = (0,6)2 = 0,36. Dst4. Menjumlahkan , sehingga disapatkan nilai 1,94. Untuk mendapatkan nilai varians, maka nilai 1,94 dibagidengan N dimana N=8, sehingga diperoleh nilai vaians adalah 0,24.a. Varians Negara MajuTahunX

19943,20,60,36

19952,60,00,00

19963,20,60,36

19973,20,60,36

19982,2-0,40,16

19992,0-0,60,36

20002,3-0,30,09

20012,1-0,50,25

Jumlah X = 20,8 = 1,94

Rata rata X/ N = 2,6 = / N = 0,24

Ikuti langkah yang sama untuk mencari varian Negara maju. Sehingga didapatkan :b. Varians IndonesiaTahunX

19947,54,217,64

19958,24,924,01

19967,84,520,25

19974,61,62,56

1998- 13,7-17,0289,00

19994,81,52,25

20003,50,20,04

20013,2-0,10,01

Jumlah X = 26,2 = 355,76

Rata rata X/ N = 3,3 = / N = 44,47

Varians sampelSampel merupakan bagian dari populasi, namun apabila angggota kdi dalam populsi kurang atau sama dengan 30 , diusahakan semuanya menjadi bagian yang dikaji. Apabila jumlahanggoa dalam populasi > 30, maka langkah pengambilan sampel dapat dilakukan,sehingga jumlah data tidak terlalu besar. Varians sampel dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan: Varians sampelX : Nilai setiap data / pengamatan : Nilai rata-rata hitungn : Jumlah total data / pengamatan: Simbol operasi penjumlahanPembagi untuk varians populasi berbeda dengan sampel, untuk populasi N, sedang untuk sampel n-1. Mengapa menggunakan n-1, kkarena apabiladigunakan n, akan menghasilkan dugaan yang lebih rendah (underestimate) terhadap varians populasinya. Nilai varians sampel menjadi penduga yang bias atau menyimpang terhadap populasinya. Pada ukuran sampel yang kecil, pembagi n-1 akan mengoreksi hasil dugaan yang rendah, sehingga menjadi penduga yang tidak bias.

2.4bData yang dikelompokkanVarians untuk data berkelompok hamper sama dengan variansdata tunggal, namun dikalikan dengan frekuensi setiap kelasnya. Varians data berkelompok dirumuskan :

Keterangan: Varians sampelf: Jumlah frekuensi setiap kelas X : Nilai setiap data / pengamatan : Nilai rata-rata hitungn : Jumlah total data / pengamatan: Simbol operasi penjumlahanIntervalTitik tengahFf.XX-(f .(

160 303231,52463,0-259,267.185134.369

304- 447375,551.877,5-115,213.27166.355

448 591519,594.675,528,88297.465

592 735663,531.999,0172,829.86089.580

736 - 878807,01807,0316,3100.046100.046

Jumlah209.813,0397.815

= = = 490,65Jadi, untuk mencari Varians adalah : = = = 20.9382.5Kelebihan dan kelemahan range2.5aKelebihan RangeHasil pengukuran jarak sebetulnya sudah dapat menggambarkan dispersi (variasi) nilai-nilai observasi dengan cara yang paling sederhana sekali. Bila kita ingin memperoleh hasil pengukuran dispersi secara kasar dan cepat, pengukuran jarak tersebut dapat digunakan. Karena kesederhanaan pengukurannya, maka jarak pengukuran yang demikian banyak sekali digunakan dalam pengawasan kualitas.2.5b Kelemahan Range 1. Range akan sangat tergantung kepada nilai-nilai ekstrimnya. Dengan kata lain, besar-kecilnya Rangeakan sangat ditentukan oleh Nilai Terendah dan Nilai Tertinggi yang terdapat dalam distribusi data, dengan demikian Range sifatnya sangat labil,dan kurang teliti. Contoh : Data X: H = 80,L = 30 R = 80 - 30 = 50Data Y: H = 95,L = 45 R = 95 - 45 = 50Data Z: H = 88,L = 38 R = 88 - 38 = 502. Range sebagai ukuran penyebaran data , tidak memperhatikan distribusi yang terdapat didalam range itu sendiri.Contoh : Nilai tertinggi dan terendah yang dicapai oleh 8 orang mahasiswa masing-masing adalah 80 dan 40 ,sehingga rangenya = 80 40 = 40. Dengan range sebesar itu ada kemungkinan distribusi nilai itu adalah : 40,47,52,59,64,67,70,dan 80. Mungkin juga : 40,40,40,40,40,40,40, dan 80, mungkin juga 40,40,50,50,60,60,80,dan 80, atau distribusi bentuk lainnya. Yang jelas, hanya mengetahui rangenya saja,kita belum tahun secara pasti bagaimana sebenarnya bentuk distribusi data yang kita hadapi mulai dari nilai terndah hingga nilai tertinggi. Karena kelemahan itulah maka sebagai salah satu ukuran penyebaran data, Range sangat jarang digunakan dalam pekerjaan analistik statistic.

BAB IIIPENUTUP

3.1KesimpulanDengan uraian singkat di atas, kita dapat melihat kenyataan bahwa statistik sudah sejak lama menjadi bahan pelajaran yang sangat berguna bagi orang-orang yang mempelajari ilmu-ilmu masyarakat (social sciences). Tentu hal berarti bahwa statistic tidak hanya dipelajari oleh orang-orang dari ilmu social saja, di dalam ilmu-ilmu lain pun pemakaian statistik itu dilakukan oleh banyak orang.

3.2 SaranDemikianlah makalah ini kami buat, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca . Kami menyadari makalah ini masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih focus dan detail dengan contoh yang lebih banyak dan dapat dipertanggung jawabkan. Penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk perbaikan dan kesempurnaan dalam pembuatan makalah selanjutnya.

Kumpulan Pertanyaandari kelompok lain1. Annisa Fitri AnggrainiKenapa pada perhitungan nilai jarak yang kelompokkan ada dengan 2 cara. Kenapa hasilnya berbeda dari kedua cara tersebut?Jawab :Pada cara I yaitu :NJ = Nilai tengah kelas akhir - Nilai tengah kelas pertama . Memakai nilai tengah dari suatu data kelompok .misalkan nilai kelas pertama 20 24 , memiliki nilai tengah = 22 dan nilai kelas akhir 40 44 , memiliki nilai tengah = 42. Sehingga memiliki nilai jarak 42- 22 = 20. Biasanya penggunaan nilai jarak seperti digunakan pada grafik polygon.

Pada cara II yaitu : NJ = Batas atas kelas akhir Batas bawah kelas pertama. Batas atas dan batas bawah adalah 0,5 pada suatu data. Misalkan kelas pertama 20-24 dan kelas akhir 40-44 . memiliki batas bawah 20 - 0,5 = 19,5. Dan kelas terakhir memiliki batas atas 44 + 0,5 = 44,5. Dan biasanya cara seperti ini digunakan pada grafik Histogram.

1. HelniOktavianiPada halaman 5 terdapat 3 point yaitu :1. Rata rata sama dengan penyebaran yang berbeda.1. Rata-rata berbeda, sebaran berbeda.1. Rata-rata berbeda, sebaran sama.Apakah maksud dari ketiga point tersebut?Jawab :1. Rata rata sama dengan penyebaran yang berbeda. Misalkan ada 2 data, A = 50,30,45,45,40 dan B = 45,45,35,35,50. Sama- sama memiliki rata-rata yaitu 42. Dan memiliki sebaran yang berbeda. Pada data A memiliki sebaranyaitu 50 30 = 20 sedangkan pada data B yaitu 50 35 = 15.1. Rata-rata berbeda, sebaran berbeda.Misalkan ada 2 data , A= 50,30,45,45,40 dan B = 55,45,30,40,50. Rata-rata A= = 42, data B = = 44 memiliki rata- rata berbeda. Sebaran A = 50 - 30 = 20, dan B = 55 - 30 = 25. Dari contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa rata-rata dan sebaran dari kedua data tersebut berbeda.1. Rata-rata berbeda, sebaran sama.Misalkan ada 2 data , A= 40,40,40,40,40 dan B = 50,50,50,50,50. Rata-rata A = 40, dan B = 50. Tetapi memiliki sebaran yang sama yaitu 0. Maka dapat disimpulkan bahwa pada data A dan B memiliki rata-rata berbeda dengan sebaran yang sama.

1. Vingky Zulfa AzriaPada halaman 6, apakah yang dimaksud dengan :Semakin kecil rangenya, maka semakin homogen distribusinya dan Semakin besar rangenya, maka semakin heterogen distribusinya ?Jawab :1. Semakin kecil rangenya, maka semakin homogeny distribusinya .maksudnya adalah jika semakin kecil sebaran pada suatu data maka data tersebut memiliki datum yang sama .Contoh :Data A : 45,50,50,40,50,45,50,40, 40 memiliki range 50-40 = 10. Jika dilihat dari datanya terdapat nilai yang sama / homogen. Sehingga kemungkinan kecil memiliki data yang berbeda.karna datanya hanya berkisar dari 40 -50.1. Semakin besar rangenya, maka semakin heterogen distribusinya. Maksudnya adalah jika semakin besar sebaran pada suatu data maka data tersebut memiliki datum yang bervariasi/ berbeda .Contoh :Data B = 30,40,35,35,45,45,50,55,60 memiliki range 60 30 = 30. Jika dilihat dari datanya terdapat nilai yang berbeda / heterogen.Sehingga data yang dihasilkan berbeda karena jaraknya jauh.1. Yeni Yulia PutriKenapa range sangat jarang digunakan dalam pekerjaanan alistik statistic. Karena range hanya diukur dari nilai tertinggi dan terendahnya saja tanpa melihat distribusi datanya. Sehingga data tersebut kurang akurat dan kurang teliti.Contoh Data A : H= 90 , L= 50 , R = 90 50 = 40Data B : H =80 , L= 40 , R= 80 40 = 40Data C : H = 75, L = 35, R = 75 35 =40.Ketiga data tersebut memiliki range yang sama .sehingga tidak memperhatikan distribusi data di masing- masing data tersebut. Sehingga range jarang digunakan dalam analistik statistik. Karena dalam pengerjaan analistik statistik haruslah memiliki data yang akurat disetiap datanya.

DAFTAR PUSTAKADajan Anto . 1995 cet XVII. Pengantar Metode Statistik. Jakarta :LP3ESHartono.2010. Statistika untuk Penelitian.Yogyakarta :Pustaka PelajarHill McGraw. 1988. Schaums Outline of Theory and Problem of Statistics. Jakarta : ErlanggaRazak Abdul. 2005. Statistika Pengolahan Data Sosial Sistem Manual.Pekanbaru : AutografikaSantosa Purbayu Budi, Hamdani Muliawan .2007. Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomi dan Niaga.Jakarta : ErlanggaSantoso Singgih. 2003. Statistik Deskriptif : Konsep dan Aplikasi dengan Microsoft Excel dan SPSS. Yogyakarta : AndiSudijono Anas. 2009. Pengantar Statistika Pendidikan. Jakarta : Raja Grafindo PersadaSuharyadi,Purwanto . 2008. Statistika : Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta : Salemba EmpatSupangat Andi. 2010.Statistika Dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan NonParametik. Jakarta : KencanaSupranto J. 2008. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta : Erlangga Zulkarnain. 2006. Statistika Pendidikan. Pekanbaru : Cendikia Insani

21