BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Dasar Teori 2.1.1 Integral Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri dari dua macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu merupakan suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering disebut batas atas dan batas bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk mencari fungsi asal dari turunan suatu fungsi (Purcell & Verberg, 2010). Integral tentu dinyatakan seperti pada Persamaan (1). = ∫ () . (1) Integrasi tentu sama dengan menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y =f(x), dengan batas x=a dan x=b (Munir, 2015). Integral ganda merupakan perhitungan volume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang alasnya berupa bidang yang dibatasi oleh garis x=a, x=b, y=c, y=d. Volume benda berdimensi tiga dihitung seperti pada Persamaan (2). =∫ ∫ (, ) = ∫ [∫ (, )] (2) Volume = Luas Alas x tinggi Solusi integral ganda adalah dengan melakukan integrasi dua kali dalam arah x menghitung luas alas, dan arah y menghitung tinggi (Munir R, 2015) 2.1.2 Integrasi Numerik Integrasi Numerik merupakan cara perhitungan yang digunakan apabila kondisi dalam perhitungan analitik dirasa sulit atau bahkan tidak mungkin untuk memperoleh hasil integral. Dengan kata lain, integrasi numerik dilakukan ketika perhitungan integral secara eksak sulit dilakukan (Munir, 2015). Hasil penyelesaian metode numerik berupa nilai hampiran (approximation), sehingga timbul kesalahan (error). Pada penyelesaian secara numerik diusahakan menghasilkan error sekecil mungkin untuk memperoleh hasil yang lebih baik 5
14
Embed
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Dasar Teori 2.1.1 Integralabstrak.ta.uns.ac.id/wisuda/upload/M0512055_bab2.pdf · Metode Trapesium atau trapezoidal rule merupakan metode integrasi numerik
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Dasar Teori
2.1.1 Integral
Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri
dari dua macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu
merupakan suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering
disebut batas atas dan batas bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk
mencari fungsi asal dari turunan suatu fungsi (Purcell & Verberg, 2010).
Integral tentu dinyatakan seperti pada Persamaan (1).
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎. (1)
Integrasi tentu sama dengan menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y
=f(x), dengan batas x=a dan x=b (Munir, 2015).
Integral ganda merupakan perhitungan volume ruang di bawah permukaan kurva
f(x,y) yang alasnya berupa bidang yang dibatasi oleh garis x=a, x=b, y=c, y=d.
Volume benda berdimensi tiga dihitung seperti pada Persamaan (2).
𝐼 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥]𝑑𝑦𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎 (2)
Volume = Luas Alas x tinggi
Solusi integral ganda adalah dengan melakukan integrasi dua kali dalam
arah x menghitung luas alas, dan arah y menghitung tinggi (Munir R, 2015)
2.1.2 Integrasi Numerik
Integrasi Numerik merupakan cara perhitungan yang digunakan apabila
kondisi dalam perhitungan analitik dirasa sulit atau bahkan tidak mungkin untuk
memperoleh hasil integral. Dengan kata lain, integrasi numerik dilakukan ketika
perhitungan integral secara eksak sulit dilakukan (Munir, 2015). Hasil
penyelesaian metode numerik berupa nilai hampiran (approximation), sehingga
timbul kesalahan (error). Pada penyelesaian secara numerik diusahakan
menghasilkan error sekecil mungkin untuk memperoleh hasil yang lebih baik
5
(Munir, 2015) Ada beberapa metode dalam perhitungan integral secara numerik.
Diantaranya metode Trapesium, Simpson, Romberg, hingga Monte Carlo.
2.1.2.1 Metode Trapesium
Metode Trapesium atau trapezoidal rule merupakan metode integrasi
numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk
Trapesium (Munir, 2015). Sebuah pias berbentuk Trapesium dari x = x0 sampai x
= x1. Perhatikan Gambar 2.1 dibawah ini.
Gambar 2.1 Metode Trapesium (Munir, 2015)
Secara umum aturan Trapesium diperoleh dari Persamaan (3).
𝐼 = ℎ
2 (𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓𝑖
𝑛−1`𝑖=1 + 𝑓(𝑥𝑛)) (3)
dengan :
n = jumlah upselang
h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)
𝑛 )
a,b = batas kurva
f(x) = fungsi
2.1.2.2 Metode 1/3 Simpson
Kaidah Simpson merupakan turunan dari metode Newton-Cotes. Metode
atau kaidah ini dikenalkan oleh seorang ahli matematika bernama Thomas
Simpson (1710-1761) dari Leicestershire, England.
Metode 1/3 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi
oleh hampiran fungsi parabola. Gambar 2.2 menunjukkan metode 1/3 Simpson.
Gambar 2.2 Metode 1/3 Simpson (Munir, 2015)
Integral 1/3 Simpson secara numerik didefinisikan seperti pada Persamaan
(4) di bawah ini.
: 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏
𝑎≈ 𝐼 =
ℎ
3 (𝑓(𝑥0) + 4 ∑ 𝑓
𝑖𝑛−1𝑖=1,3,5 + 2 ∑ 𝑓
𝑖𝑛−2𝑖=2,4,6 + 𝑓(𝑥𝑛)) (4)
Dengan
n = jumlah upselang
h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)
𝑛 )
a,b = batas kurva
f(x)` = fungsi integral
Penggunaan metode 1/3 Simpson ini mensyaratkan bahwa jumlah upselang (n)
harus genap (Munir, 2015).
2.1.2.3 Metode 3/8 Simpson
Metode 3/8 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi
oleh fungsi kubik. Dimana metode 3/8 Simpson ini mensyaratkan jumlah
upselang (n) harus kelipatan 3 (Munir, 2015). Gambar 2.3 menunjukkan metode
3/8 Simpson.
Gambar 2.3 Metode 3/8 Simpson (Munir, 2015)
Secara umum aturan 3/8 Simpson dapat dilihat pada Persamaan (5).
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏
𝑎
≈ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 𝐼 = ∫ 𝑝3(𝑥) 𝑑𝑥 3ℎ
0
3ℎ
0
𝐼 = 3ℎ
8 (𝑓(𝑥0) + 3 ∑ 𝑓𝑖
𝑛−1𝑖≠3,6,9 + 2 ∑ 𝑓𝑖
𝑛−3𝑖=3,6,9 + 𝑓(𝑥𝑛)) .....................(5)
n = jumlah upselang
h = jarak antar titik ( ℎ =(𝑏−𝑎)
𝑛 )
a,b = batas kurva
f(x) = fungsi integral
2.1.2.4 Metode Romberg
Metode Romberg didasarkan pada ekstrapolasi Richardson. Setiap
penerapan ekstrapolasi Richarson akan menaikkan orde galat pada hasil solusinya
sebesar dua. Hal ini akan mengakibatkan nilai galat semakin kecil dan solusi
numeriknya mendekati nilai sejati (nilai eksak). Pada integrasi Romberg, mula-
mula menghitung kuadratur dengan lebar interval h dan 2h untuk menurunkan
galat hampiran integral dari O(h2n
) menjadi O(h2n+2
) dengan menggunakan
ekstrapolasi Richardson. Dimana untuk n=1 berhubungan dengan nilai dasar dari
hasil perhitungan rumus metode Trapesium, n=2 berhubungan dengan nilai dasar
dari hasil perhitungan rumus Simpson atau O(h4 ) , n=3 berhubungan dengan nilai
dasar dari perhitungan rumus Boole atau O(h6 ) , jadi untuk n berhubungan
dengan O(h2n
) (Munif & Hidayatullah, 2003).
Persamaan (6) berikut ini merupakan ekstrapolasi Richardson:
𝐽 = 𝐼(ℎ) + 𝐼(ℎ)−𝐼(2ℎ)
2𝑞−1 (6)
Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai
I = Ak + Ch2 + Dh
4 +Eh
6 +...
Dimana h = (b-a)/n dan Ak = perkiraan nilai integrasi dengan kaidah
Trapesium dan jumlah pias n = 2k. Orde Galat Ak adalah O(h
2). A0 adalah
taksiran integrasi I = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎 dengan kaidah Trapesium dengan pembagian
daerah integrasi n= 20 = 1 pias. A1 adalah taksiran integrasi I = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 dengan
kaidah Trapesium dengan pembagian daerah integrasi n= 21 = 2 pias.
Gunakan runtutan A0, A1, A2,.. untuk mendapatkan B1, B2, B3 . Nilai B1,
B2, B3 dapat dilihat pada Persamaan (7).
𝐵𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐴𝑘− 𝐴𝑘−1
22−1 (7)
Jadi, nilai I sekarang adalah I = Bk + D’h4 + E’h
6+.... dengan orde galat Bk
adalah O(h4) (Munir, 2015). Begitu seterusnya hingga didapatkan seperti Tabel
2.1 di bawah ini.
Tabel 2.1 Tabel Romberg
O(h2 ) O(h
4 ) O(h
6) O(h
8) O(h
10) O(h
12)
A0
A1 B1
A2 B2 C2
A3 B3 C3 D3
A4 B4 C4 D4 E4
2.1.2.5 Metode Monte Carlo
Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang
digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak
variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode
numerik lainnya. Salah satu penggunaan penting metode Monte Carlo adalah
untuk menghitung integral suatu fungsi. Ide dasarnya adalah dengan mengambil
sejumlah titik acak pada sumbu absis yang berada pada batas integrasi, kemudian
dihitung nilai fungsinya dan dijumlahkan. Pengambilan jumlah titik sampel dapat
dipilih sembarang sesuai dengan kebutuhan. Formulasi integrasi Monte Carlo
untuk satu dimensi dinyatakan seperti pada Persamaan (8) (Gunarto, 1992).
𝐼 = (𝑏−𝑎)
𝑛 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑖=𝑛𝑖=1 (8)
2.1.3 Kesalahan (Error)
Error atau yang sering disebut galat merupakan salah satu bentuk
kesalahan yang terjadi karena adanya ketidaksamaan anatara solusi analitik dan
solusi numerik. Pada perhitungan integral, error merupakan standar mutlak antara
selisih nilai analitik (nilai eksak) dan nilai hampiran (Munir, 2015).
Error dinyatakan dalam persamaan (9) :
𝐸 = 𝑥 − �̅� (9)
dimana
E = error atau galat
x = nilai analitik (eksak)
�̅� = nilai hampiran
Sebagai contoh, jika �̅� = 8.5 merupakan nilai hampiran x = 8.35, maka
galatnya adalah 𝐸 = -0.15 . Tanda galat (positif atau negatif) tidak
dipertimbangkan, sehingga galat mutlak atau galat absolut dapat didefinisikan