Bab II-Teori Kuantum

Bab 2. Teori Kuantum

2.1 Radiasi Termal

Pancaran energi oleh permukaan setiap benda berkaitan dengan suhu permukaan benda tersebut, dinamakan radiasi termal.

Pembelajaran mengenai radiasi termal, memberikan penjelasan bahwa energi yang dimiliki sistem tingkat atom dan molekul dapat terkuantisasi spektrum bersifat diskrit.

Permukaan benda yang paling sempurna

sebagai pemancar radiasi termal adalah yang

memberikan intensitas pancaran maksimum

untuk seluruh selang frekuensi.

Benda hitam sempurna merupakan pemancar

dan penyerap radiasi termal terbaik.

Susunan eksperimental untuk mengukur

intensitas radiasi termal adalah sebagai berikut:

Spektrum radiasi Termal

Eksperimen

Dalam eksperimen ini dilakukan pengukuran

jumlah radiasi dalam selang dθ pada θ setara

dengan selang dλ pada λ. Besaran ini kita

sebut intensitas radiant (radiant intensity) R.

hasil percobaan adalah deretan R dλ

sebanyak nilai λ yang berbeda.

Dari data pengamatan menghasilkan bentuk

grafik:

Dari hasil percobaan disimpulkan:

1. Intensitas radiant total terhadap seluruh

panjang gelombang berbanding lurus dengan

T4

2.

4

0

8 2 4

........hukum Stefan

: tetapan stefan boltzman

5,6703 10 /

Rd T

w m K

T

mK

WienpergeseranHkmKT

maks

maks

3

3

10898,2

........10898,2.

Raylegh-Jeans menemukan rumusan dengan

menggunakan teori klasik dan termodinamika :

Dari rumus di atas menghasilkan bentuk grafik seperti

pada gambar berikut:

JeansRaylughrumusanc

KTR .....4

8)(

4

Dari gambar terlihat bahwa, pada daerah

panjang gelombang yang panjang ramalan teori

klasik tampak menghampiri data pengamatan

tetapi pada daerah panjang gelombang pendek

rumus klasik ternyata sama sekali gagal

(bencana ultra-violet)

Untuk kasus benda hitam, teori klasik tidak

berhasil menjelaskan hal ini. Sehingga

diperlukan suatu teori fisika baru.

Planck mengemukakan bahwa sebuah atom yang bergetar hanya dapat menyerap dan memancarkan energi kembali dalam bentuk paket (kuanta).

Setiap osilator dapat memancarkan atau menyerap energi hanya dalam jumlah yang merupakan kelipatan bulat dari suatu energi dasar.

Planck berhasil menurunkan persamaan

Penurunan rumus di atas dapat dilihat pada pustaka Kenneth (12.6) dan Beisser (9.6)

hv

nE

1

18

4)(

4

he

e

hccR

Persamaan Planck berimpit secara sempurna

dengan data pengamatan.

Foton (Cahaya)

Apakah foton itu ?

Tidak mempunyai massa diam.

Bergerak dengan laju cahaya c=3X108m/s.

Memenuhi hubungan :

Tidak memiliki ukuran fisik.

Tidak dapat dibelah karena tidak memiliki unsur-unsur

penyusun.

Apakah foton itu partikel atau gelombang ?

Foton dapat bersifat partikel, dapat bersifat gelombang

dalam gerakannya.

pcEh

phvE ; ;

2.2 Efek Fotolistrik( sifat partikel dari

gelombang ) Terlepasnya elektron-elektron dari

permukaan logam yang dipanaskan.

Skema peralatan untuk mengamati efek

fotolistrik

Dari percobaan diperoleh :

1. Laju pancaran elektron bergantung pada intensitas

cahaya (foton).

2. Energi foto elektron bergantung pada frekuensi foton,

makin besar frekuensi foton, makin besar energi foto

elektron (bergantung secara linear).

3. Laju pancaran elektron tak bergantung pada panjang

gelombang foton di bawah suatu panjang gelombang

tertentu, di atas nilai itu arus secara berangsur-angsur

menurun hingga nol pada suatu panjang gelombang

pancung (cut off wavelength).

4. hanya bergantung pada jenis bahan.

5. Apabila sumber cahaya dijalankan , arus segera akan

mengalir (dalam selang waktu 10-9s)

c

c

Beberapa Fungsi Kerja Fotolistrik

Bahan Lambang Fungsi kerja

Cesium Cs 1,9

Kalium K 2,2

Natrium Na 2,3

Lithium Li 2,5

Kalsium Ca 3,2

Tembaga Cu 4,5

Perak Ag 4,7

Platina Pt 5,6

ev ,

Fungsi kerja ( ) adalah energi minimum yang

diperlukan untuk membebaskan sebuah

elektron.

Rumusan empiris efek fotolistrik

Jev

hv

K

hv

Js

h

hvKhv

maks

maks

19

0

34-

0

106,11 1

kerja fungsi:

elektron foto maksimumkinetik energi :

foton energi:

106,626

Planck konstanta :

hc

1240

maks

c

hc hcK

hc ev nm

Contoh :

1. Fungsi kerja logam tungsten adalah 4,52

ev. Hitung :

a. Panjang gelombang pancung λc tungsten

b. Energi kinetik maksimum elektron yang

dipancar apabila digunakan radiasi

dengan λ = 200 nm.

c. Potensial henti untuk kasus ini.

Penyelesaian :

a.

b.

c.

nmev

evnm

ev

smJs

hchchv

c

c

c

274 52,4

1240

52,4

/10310626,6 834

0

evevnm

evnm

hchvhvKmaks

68,1 52,4 200

1240

0

Volte

evev

Kev

s

makss

68,1 68,1

Soal kuis

1Bila logam natrium disinari dengan cahaya

berpanjang gelombang 4,2 x102 nm, maka

potensial hentinya sebesar 6,5 volt ; bila

panjang gelombang diubah menjadi 3,10 x

102 nm , maka potensial hentinya 1,69

volt. Hitung fungsi kerja logam natrium dan

hitung nilai konstanta Plack.

2 Bila cahaya berpanjang gelombang λ

menyinari permukaan tembaga , maka

potensial hentinya V. Berapakah potensial

hentinya , dinyataka dalam V, jika panjang

gelombang yang sama digunakan untuk

menyinari permukaan natrium.

28-2-2013

2.3 Efek Compton ( sifat partikel

dari gelombang )

Melalui efek compton, radiasi dihamburkan oleh

elektron bebas yang terikat lemah pada

atomnya.

Skema hamburan Compton :

Proses hamburan ini dianalisis sebagai

suatu interaksi ( tumbukan dalam

pengertian partikel secara klasik ) antara

sebuah foton dan sebuah elektron

Keterangan hc

E h

hp

c

2

0E m c

Energi foton datang

Momentum foton datang

Energi diam elektron

Sudut hambur foton

' ''

hcE h

Energi foton hambur

''

hp

c

Momentum foton hambur

2 2 2

0E m c p c Energi elektron hambur

2 2 2 2 2

2 2 2 2

momentum awal momentum akhir

'0 cos cos ......(1) sb x

'sb y: 0 sin sin ......(2)

(1)dan(2)

cos 'cos

sin 'sin

( ) cos ( ) 2 'cos ( ') cos

( ) sin ( ') sin

hv hvp

c c

hvp

c

c

pc hv hv

pc hv

pc hv hvhv hv

pc hv

p

2 2 2 2( ) 2 'cos ( ) .......(3)c hv hvhv hv

2

0

2 4 2 2

0

2 2 2 2

0

2 2 2 2

dari persamaan energi total partikel

2

'

( ) 2 ' ( ') ........(4)

E K m c

E m c p c

p c K Km c

K hv hv

p c hv hvhv hv

pm

cm

h

cm

h

cm

h

h

cm

c

v

c

v

c

v

c

v

h

cm

ch

hvhvhvhvcm

426,2

elektronuntuk compton gelombang panjang:

)cos1('

)cos1('

11'

'

cos1

'

11

)cos1(''

2dengan dibagi inipersamaan

)cos1)(')((2'2

(4)dan (3)persamaan dari

0

0

0

0

0

22

2

0

Contoh :

Sinar x yang panjang gelombangnya 10

pm, dihambur oleh suatu sasaran (target).

Hitung :

a. Panjang gelombang sinar x yang di-

hambur dengan sudut 450

b. Panjang gelombang maksimum yang ada

dalam sinar x yang terhambur.

c. Energi maksimum elektron yang ter-

hentak.

Jawab :

a.

b.

0

0

0

' (1 cos )

' (1 cos 45 )

10,0 2,426 0,293

10,7

h

m c

h

m c

pm

pm

0

0

' mencapai harga maksimum jika 180

' 1 ( 1) 2 2,426

' 10 4,852

' 14,852

hpm

m c

pm pm

pm

c.

3 3

3

energi kinetik hentak yang maksimum

1 1( ')

'

1 11240

10,0 14,852

1 11240

10.10 14,852.10

1 1 11240 .10

10 14,9

4080

maksK h v v hc

evnmpm pm

evnmnm nm

evnmnm

ev

Hasil Percobaan hamburan Compton :

Soal.

1. Bila logam natrium disinari dengan cahaya

yang panjang gelombangnya 4,2 X102 nm

maka potensial hentinya 0,65 V, bila panjang

gelombang ditambah menjadi 3,10 X 102 nm

maka potensial hentinya menjadi 1,69 V.

c=3 X108m/s. hitung fungsi ( ) kerja dan

tetapan Planck (h ).

2. Bila cahaya berpanjang λ menyinari

permukaan tembaga, potensial hentinya V.

Berapa potensial henti natrium (dinyatakan

dengan V) jika panjang gelombang yang sama

digunakan untuk menyinarinya.

3. Panjang gelombang pancung bagi efek foto

listrik dalam suatu logam tertentu adalah 254

nm. Hitung fungsi kerja logam tersebut. Apakah

efek fotolistrik akan teramati untuk λ > 254 nm

ataukah untuk λ < 254 nm.

4. Penyinaran permukaan seng menghasilkan

efek fotolistrik.

a. Berapa panjang gelombang terbesar

yang akan mengakibatkan foto elektron ter-

pancar.

b. Berapa potensial hentinya bila digunakan

cahaya berpanjang gelombang 220,0 nm.

5. Foton datang berenergi 10,39 eV, mengalami hambur-an compton dan berkas kamburnya yang diamati pada sudut 450 relatif terhadap arah berkas yang datang.

a. Berapa energi foton yang terhambur pada sudut itu.

b. Berapa banyak energi kinetik yang dihasilkan pada elektron hambur.

6. Foton sinar X berpanjang gelombang 0,0248 nm . Jatuh pada suatu sasaran dan foton mengalami hamburan compton diamati pada sudut (90o).

a. Berapa λ foton terhambur tersebut.

b. Berapa momentum foton datang dan hambur

c. Berapa energi kinetik elektron hambur.

d. Berapa momentum elektron hambur.

Sinar X

Dalam tahun 1985 Wilhelm Roentgen

mendapatkan bahwa radiasi yang

kemampuan tembusnya besar sifatnya

belum diketahui, ditimbulkan jika elektron

cepat menumbuk materi

Peralatan produksi sinar x:

Ketika elektron menumbuk sasaran, elektron diperlambat karena bertumbukan dengan atom-atom materi.

Terjadi transfer energi kinetik dari elektron ke atom .

Jika energi kinetik sebelum tumbukan K dan energi setelah tumbukan K’, energi foton adalah :

Biasanya elektron melakukan banyak tumbukan, maka sebelum diam, elektron tersebut me- mancarkan banyak energi yang berbeda-beda dari yang paling kecil ke yang paling besar.

'hv K K

Elektron yang melakukan satu kali tumbukan

memancarkan foton dengan energi maksimum.

min

min

min

1240

1240

hv K

hc hc hcK

K ev

evnm

ev

vnm

v

Spektrum sinar x pada berbagai partikel pemercepat :

2.4 Produksi Pasangan

Foton menumbuk atom, seluruh energi foton hilang dalam proses ini dua partikel tercipta.

Energi yang hilang dalam proses ini berubah menjadi energi relativistik positron E+dan elektron E- .

K+_dan K- selalu positif, maka agar proses ini terjadi, foton harus memiliki sekurang- kurangnya 2 m0c

2=1,02MeV.

2 2

0 0 ( ) ( )

hv E E

m c K m c K

Kebalikan dari produksi pasangan adalah

pemusnahan pasangan (anihilasi).

Dapat terjadi bagi positron dan elektron

bebas dengan syarat harus tercipta dua

buah foton:

(m0c2+K+)+ (m0c

2+K-)=E1+E2

Proses anihilasi

Produksi pasangan

Jika sinar x (gelombang elektromagnetik) me-nembus

bahan (materi), intensitasnya akan berkurang menurut

persamaan :

I=I0e-μd

I: intensitas sinar x (foton)setelah menembus bahan setebal d

I0=intensitas mula-mula foton

μ =koefisien penyerapan (atenuasi)materi yang dilalui

7 maret 2013

elektron

positron foton elektron

positron foton

Soal.

Sebuah positron bertumbukan dengan

sebuah elektron dan keduanya teranihil-

asi, masing-masing partikel mempunyai

energi kinetik 1 MeV. Hitung panjang

gelombang foton yang dihambur.

Penyelesaian :

Tumbukan antara positron dan elektron akan

beranihilasi dengan menghasilkan energi. 2

2

0

31 8 2

15 6 19

15 13 15 15

15

19

6

6

2 2

2

9,1 10 (3 10 / ) 1

81,9.10 1.10 1,6.10

81,9,10 1,6.10 81,9.10 160.10

1241,9.10 /

1.6.10

1,51.10 1,51

1240

1,51 10

om c Khv m c K

kg m s MeV

J J

J J J j

Jx ev J

ev Mev

hcev

hc ev

ev

6

6410,6.10

3.02.10

nmnm

ev

2.5 Sifat Gelombang dari Partikel

Gelombang de Broglie : Partikel berperilaku

sebagai gelombang.

Dalam cara partikel, memiliki sifat gelombang

sebuah foton berfrekuensi , dengan

energinya diungkapkan oleh persamaan :

sulit untuk menerapkan pada kasus partikel

panjang gelombang foton

E hv

cE h

E hvmomentum p

c c

h hp

p

Persamaan diatas Sulit diterapkan untuk kasus

partikel

Momentum

,........E h energifoton

E h hp

c c

h

p

De Broglie mengusulkan bahwa persamaan berlaku juga untuk partikel (p=mv)

Panjang gelombang dihitung menurut persamaan di atas yang disebut panjang gelombang de Broglie.

Pada keadaan tertentu benda yang bergerak memperlihatkan sifat gelombang dan pada keadaan lain memperlihatkan sifat partikel. Sifat mana yang tampak jelas bergantung pada perbandingan antara panjang gelombang de Broglie dengan dimensinya.

h

mv

h

p

Contoh soal :

Cari panjang gelombang de Broglie dari :

a. Bola golf 46 gram dengan kecepatan 30 m/s

b. Elektron dengan kecepatan 107m/s

Penyelesaian :

a.

3434

3

30 / ,

perhitungan non relativistik

6,63 104,8.10

46.10 .30 /

dimensi jauh lebih kecil dari bola golf tersebut

dalam gerakannya tidak memperlihatkan aspek gelombang

ov m s v c m m

h Jsm

mv kg m s

31

34

31 7

11

-11

9,1 10

6,63 10

9,1 10 10 /

7,3 10

jari-jari atom hidrogen 5,3 10

dimensi elektron <dari dimensi

dalam gerakannya dapat memperlihatkan aspek gelombang

ov c m m kg

h Js

mv kg m s

m

m

b.

Difraksi sinar x

Panjang gelombang sinar x dapat dihitung

dengan menggunakan spektrometer sinar

x.

Peralatan :

Kristal :sebagai kisi pendispersi

Untuk mendapatkan hasil yang baik orde λ

sinar x harus dalam orde yang sama

dengan orde lebar kisi

digunakan kristal NaCl

Skema difraksi sinar X :

Untuk mencari jarak antara bidang Bragg

gunakan rumus :

Misal :

Cari jarak atomik untuk kristal garam dapur,

NaCl, yang massa rumus senyawa kimianya

58,5 u dan kerapatan P=2,16 x 103kg/m3

1/3

27(1,66 10 / )

: rumus massa kimia

Md kg u

KP

M

Penyelesaian 1/3

27

27

3 3

29 3 1/3

36 3 1/3

10

terdiri dari 2

(1,66 10 / )

58,5 (1,66 10 / )

2 (2,16 10 / )

(2, 25 10 )

(22,5 10 )

2,82 10

0, 282

NaCl Na Cl K

Md kg u

KP

u kg u

kg m

m

m

m

nm

Penerapan teori gelombang partikel de

Broglie pada percobaan Davisson-Germer,

tentang difraksi elektron

Eksperimen Davisson-Germer untuk

mempelajari difraksi

elektron

Elektron meninggalkan kawat pijar dipercepat oleh tegangan V. berkasnya menumbuk sebuah kristal, berkas yang terhambur diamati pada sudut Ø relatif terhadap berkas yang datang.

Pada suatu percobaan tertentu berkas elektron 54 eV diarahkan tegak lurus pada target nikel dan maksimum yang tajam dalam distribusi elektron terjadi pada sudut 500 dari berkas semula. Sudut datang dan sudut hambur terhadap suatu keluarga bidang Bragg keduanya bersudut 65o. Jarak bidang antar keluarga Bragg (diukur melalui difraksi sinar x) adalah 0,091 nm.

dengan menggunakan analisis Bragg

2 sin , n=1 (orde)

2 0,091 . sin 65

0,165

o

n d

nm

nm

2 2 2 2

31 19

24

-34

dengan menggunakan rumus de Broglie

=

energi kinetik elektron 54

12 2 2

2

2 9,1 10 54 1,6 10 /

4,0 10 m/s

6,626 10panjang gelombang elektron =

4,

h

mv

ev

K mv K mv mK m v mv mK

mv kg eV J eV

kg

Js

24

10

0 10 /

1,66 10 0,166

kg m s

m nm

Dengan menggunakan dua macam

analisis , menghasilkan nilai panjang

gelombang ( ) yang sama , eksperiment

Devison da Germer menunjukkan bukti

langsung dari hipotesis de Broglie

mengenai sifat gelombang benda

bergerak.

2.6 Prinsip Ketidakpastian

Heissenberg

Sebuah partikel begerak harus dipandang

sebagai group gelombang de Brogglie.

Dengan menggunakan hubungan

34

2 ,

2

1,05 10

hp

k

hkp k

Js

Terdapat hubungan terbalik antara ketidak

pastian kedudukan ( ) dan ketidak

pastian bilangan gelombang ( ) , sebagai

berikut:

xk

Lebih sempit group gelombang de Broglie,

posisi partikel dapat ditentukan secara

tepat,tetapi panjang gelombang tidak terdefinisi

dengan baik.

Group gelombang yang lebar, panjang

gelombang terdefinisi dengan baik, tetapi

kedudukannya tidak terdefinisi dengan baik.

Gambar dibawah salah satu contoh grup

gelombang.

Skematik Group gelombang :

1 x.2 . p 1.

2 2

.2 2

.2

ketidakpasianHeissenberg

x kh

hx p

hx p

ketidakpastian energi dan waktu

.2

hE t

Gelombang ?

Kuantitas yang berubah secara berkala.

Untuk air , tinggi permukaan air

Untuk bunyi, tekanan udara

Untuk cahaya ,medan magnet dan medan

listrik

Apanya yang berubah-ubah

dalam gelombang partikel ?

Kuantitas variabel yang memberi

karakterisasi gelombang de Broglie

disebut fungsi gelombang ( )

Superposisi gelombang : Bilamana 2 gelombang atau lebih bekerja secara serentak pada suatu titik tertentu dalam ruang, maka perubahan yang timbul dari hasil kerjasama gelombang-gelombang itu sama dengan jumlah vektor perubahan yang dihasilkan oleh masing-masing gelombang itu tersendiri di titik itu.

merupakan fungsi gelombang, superposisi dari N buah persamaan gelombang.

NIIIIII ...

Group Gelombang

Gelombang merepresentasikan perilaku

gelombang suatu partikel melalui panjang

gelombang de broglie :

Gelombang superposisi yaitu gelombang yang

memiliki lebih dari satu vektor gelombang (k)

dan/lebih dari satu frekuensi (w), dapat

merepresentasikan kedudukan partikel dalam

gambaran gelombang partikel tersebut.

Superposisi dari N buah gelombang

beramplitudo sama A0 dengan vektor gelombang

yang bervariasi antara dan

p

h

0k nN

kk

10

Spektrum (k) terhadap amplitudo gelombang A0:

Sketsa hasil superposisi N buah gelombang

dalam sumbu x, untuk kasus t = 0 adalah:

vg : kecepatan group gelombang

Terlihat hubungan yang memenuhi :

x : ukuran ketidakpastian kedudukan partikel.

x< maka k> sesuai dengan hubungan di atas.

Dengan menggunakan analisis Fourier tentang penjabaran kedalam deret fungsi harmonik, dengan sebaran spektrum-k berbentuk distribusi fungsi Gauss, diperoleh bahwa harga terkecil dari x dikalikan dengan k adalah :

(x) (k) = ½

Untuk semua sebaran lain berlaku :

(x) (k) > ½

k

dvg

w

4))(( kx

Sehingga secara umum berlaku :

dengan maka,

Hubungan antara ketidakpastian kedudukan

dan momentum linier dari suatu partikel yang

sesuai dengan ungkapan di atas dinamakan

prinsip ketidakpastian Heisenberg.

2

1 kx

xpk )(

2

xpx

Skematik Group gelombang :

2.7 Partikel dalam kotak potensial

Suatu partikel yang terpantul bolak-balik

antara dinding kotak.

L:lebar kotak

Dengan menganggap dinding kotak luas sekali sehingga tidak kehilangan energi.

Dari sudut pandang gelombang, sebuah partikel yang terperangkap dalam kotak analog dengan gelombang berdiri pada tali yang terpentang antara dinding kotak.

Sebuah partikel yang bergerak harus dipandang sebagai group gelombang de Broglie.

Variabel gelombang adalah fungsi gelombang Ψ(psi)

Ψ: harus nol pada dinding

λ :ditentukan oleh

Panjang gelombang de Broglie dari partikel yang

terperangkap harus memenuhi :

2 1, 2,3,.......

energi total dalam partikel

0

di dalam kotak energi potensial (V) partikel =0

n

Ln

n

h

mv

E V K

K

E K

Terlihat dari persamaan di atas bahwa En terkuantisasi

2 2

2

2 2 22 2

2 2 2

n

, 2

.2

2 .

.2 82

2

: bilangan kuantum

:1,2,3,.....

E : energi total dari partikel yang

n

n

n

h hmv mv mK

mv

h hmK E K

m

h hE n n

mL mLLm

n

n

terperangkap dalam kotak (satu dimensi)

2 22 2

2 2

2 2

1 2 2

2 1

3 1

4 1

8 2

18 2

2 4

3 9

4 16

n

hE n n

mL mL

hn E

mL mL

n E E

n E E

n E E

Contoh : Sebuah elektron dalam kotak yang lebarnya

0,01 nm. Tingkat energi elektron tersebut yang

diizinkan adalah.

n En (eV) (nm)

1 15000 0,02

2 60000 0,01

3 135000 0,02/3

4 240000 0,005

5 375000 0,004

n 15000 n2 0,02/n