BAB II LANDASAN TEORI - thesis.binus.ac.idthesis.binus.ac.id/doc/Bab2/2006-2-01303-MTIF-Bab 2.pdf9 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Mortalitas Mortalitas atau dalam asuransi lebih dikenal

9

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Mortalitas

Mortalitas atau dalam asuransi lebih dikenal dengan nama tabel tingkat kematian

mempunyai peranan yang sangat penting dalam menentukan premi tersebut. Dalam tabel

ini tertulis seperangkat fungsi-fungsi probabilititas yang berhubungan dengan hidup dan

meninggalnya seseorang pada usia tertentu. Tabel mortalitas ini berisi daftar dari lx, dx ,qx

dan sebagainya.

Secara umum dapatlah dinyatakan bahwa :

lx = banyak orang yang hidup pada usia X tahun

dx= banyak orang yang meninggal sebelum mencapai usia X+1 tahun

tetapi sudah mencapai X Tahun

Dari hasil-hasil ini maka akan dapat diturunkan nilai-nilai peluang hidup dan

meninggal dalam bentuk fungsi lx dan dx. Peluang dari orang yang berusia X akan hidup

dalam masa satu tahun mendatang, ditulis sebagai :

1xx

x

lPl+

= (2.1.1)

Peluang dari orang yang berusia X tahun akan meninggal dalam masa satu tahun

mendatang, ditulis sebagai :

xx

x

dql

= (2.1.2)

10

Lebih umum, npx dan nqx adalah peluang orang yang berusia X akan hidup/meninggal

dalam masa n tahun mendatang. Dengan rumus dapat ditulis sebagai :

x nn x

x

lpl+

= dan 1n x n xq p= − (2.1.3)

Dalam hal ini, penulis menggunakan tabel mortalitas “Comissioners 1941 Standard

Ordinary Mortality Table” atau biasa disebut “CSO Table.”

Berikut ini adalah grafik lx yang diplotkan terhadap usia.

Gambar 2.1 Plot lx Tabel Mortalitas CSO terhadap Usia

11

2.2 Fungsi Kehidupan (Survival Function)

Misalkan X adalah sebuah peubah acak kontinu yang menyatakan usia kematian

dari seseorang yang baru lahir dan X memiliki fungsi distribusi Fx(X).

( ) ( )xF x P X x= ≤ 0x ≥ (2.2.1)

Di bawah asumsi Fx(0)=0 maka fungsi

( ) 1 ( ) ( )xs x F x P X x= − = > 0x ≥ (2.2.2)

Akan memberikan s(0)=1. Fungsi s(x) seperti ini disebut dengan fungsi kehidupan. Dengan

kata lain fungsi kehidupan s(x) adalah peluang seseorang berusia 0 tahun (baru lahir) akan

bertahan hidup sampai berusia x tahun.

Dalam bidang ilmu aktuaria dan demografi fungsi kehidupan s(x) sering digunakan

sebagai langkah awal untuk perhitungan-perhitungan yang dilakukan misalnya untuk

menentukan peluang seseorang berusia x akan tetap hidup ataupun meninggal pada suatu

selang waktu. Walaupun demikian, penggunaan fungsi distribusi Fx(x) pun dapat dan biasa

dilakukan terutama dalam kaitannya dengan teori peluang dan statistika.

Melalui penerapan hukum-hukum probabilitas, peluang suatu kejadian yang

berhubungan dengan X dapat dituliskan sebagai persamaan dalam fungsi kehidupan atau

fungsi distribusi. Sebagai contoh, peluang seseorang yang baru lahir meninggal di antara x

dan z (x<z) adalah :

( ) ( ) ( )x xP x X z F z F x< ≤ = −

( ) ( )s x s z= − (2.2.3)

Dan peluang bersyarat dari seseorang yang baru lahir akan meninggal di antara usia x

dan z, jika diketahui akan tetap hidup sampai usia x,

12

( ) ( )( | )1 ( )

x x

x

F z F xP x X z X zF x−

< ≤ > =−

( ) ( )( )

s x s zs x−

= (2.2.4)

Hubungan antara tabel mortalitas dengan fungsi kehidupan adalah pada tabel mortalitas

digambarkan penyebaran kematian dari manusia yang awalnya berusia 0 tahun sampai

manusia berusia 100 tahun. Di dalam tabel mortalitas terdapat lx yaitu jumlah sekelompok

otang yang hidup pada usia x, dengan

. ( )x ol l s x= atau 1 . ( )x ol l s x t+ = + (2.2.5)

2.3 Waktu Hidup yang Tersisa (Future Lifetime)

Satu notasi yang digunakan untuk menyatakan seseorang masih hidup dan berusia x

adalah(x). Jika (x) meninggal pada usia X(X>x) maka T(x)=X-x menyatakan waktu hidup

yang tersisa dari (x), T(x) merupakan fungsi peubah acak kontinu X, oleh sebab itu T(x)

juga merupakan suatu peubah acak kontinu. Misalkan Gx(t) adalah fungsi distribusi dari

T(x) maka,

( ) ( ( ) ),Gx t P T x t= ≤ 0≥t

( ) ( )1 ( )

x x

x

F x t F xF x

+ −=

−

( ) ( )( )

s x s x ts x− +

= (2.3.1)

Fungsi Gx(t) menyatakan peluang (x) akan meninggal dalam t tahun. Namun

demikian, dalam komunitas aktuaria internasional, peluang(x) akan meninggal dalam t

tahun dinotasikan dengan xtq , karenanya,

13

( )t xq Gx t=

( ) ( )1 ( )

x x

x

F x t F xF x

+ −=

−

( ) ( )( )

s x s x ts x− +

=

( )1( )

s x ts x+

= − (2.3.2)

Akibatnya,

1 ( )t xP Gx t= −

1 ( ) ( )1 ( ) ( )

Fx x t s x tFx x s x

− + += =

− (2.3.3)

menyatakan peluang (x) akan tetap hidup sedikitnya dalam t tahun. Dengan kata lain xtP

menyatakan peluang (x) akan tetap hidup sampai usia x-t. Hal ini menunjukkan xtP adalah

fungsi kehidupan dari (x).

Jika t=1, penulisan indeks 1 pada xP1 dan xq1 , tidak perlu dilakukan, oleh karenanya

Px=P[(x) akan tetap hidup sedikitnya dalam 1 tahun]

qx=P[(x) akan meninggal dalam waktu 1 tahun]

Di samping itu untuk kasus diskrit, Future Life Time diubah bentuknya menjadi

Curtate Future Life Time, yaitu nilai variable acak T yang kontinu diubah menjadi diskrit

atau T=K+S

Gambar 2.2 Ilustrasi T dan K

K

Tahun 1 Tahun 2 T

K +1S

Polis dikeluarkan Tahun 3

14

2.4 Force of Mortality

Sebuah analogi dari fungsi dari sebuah kematian dapat di dapat dengan menggunakan

kepadatan probabilitas kematian pada saat mencapai umur x, yaitu menggunakan (2.2.3)

dengan xxz Δ+=

( ) ( )Pr( | )1 ( )

x x

x

F x x F xx X x x X xF x

+ Δ −< < + Δ > =

−

( )1 ( )

x

x

f x xF xΔ

≅−

(2.4.1)

Pada ekspresi ini, )()(' xfxF xx = adalah fungsi kepadatan peluang dari random variable

umur saat kematian kontinu. Fungsi

( )1 ( )

x

x

f xF x−

mempunyai interpretasi kepadatan peluang kondisional. Untuk setiap umur x, fungsi

tersebut memberikan nilai dari fungsi kepadatan peluang kondisional pada X pada saat

umur x, diberikan kehidupan pada umur tersebut,dan dinotasikan sebagai )(xμ .

Kita mempunyai

( )( )1 ( )

x

x

f xxF x

μ =−

'( )( )

s xs x−

= (2.4.2)

nilai dari )(xfx dan )(1 xFx− megimplikasikan bahwa 0)( ≥xμ

15

Force of mortality dapat digunakan untuk menspesifikasikan distribusi X. Untuk

mendapatkan hasil ini, kita mulai dengan (2.4.2), ubah x menjadi y dan atur kembali untuk

mendapatkan

( ) log ( )y dy d s yμ− =

mengintegralkan persamaan ini dari x sampai x+n, kita mendapat

( )( ) log( )

x n

x

s x ny dys x

μ+ ⎡ ⎤+

− = ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

log n xP=

dan mengambil eksponensial mendapatkan

exp ( )x n

n xx

P y dyμ+⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

dengan mengganti s=y-x, maka persamaannya menjadi

0exp ( )

nn xP x s dsμ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

Secara khusus, kita mengganti notasi untuk memudahkan penggunaannya dengan

mengganti umur sudah hidupnya dengan 0 dan waktu kehidupannya dengan x. Maka kita

dapat

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−== ∫

xx dssxsP

00 )(exp)( μ

Sebagai tambahan

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−=−= ∫

xdssxsxFx

0)(exp1)(1)( μ

dan

16

)()(exp)()('0

xdssxfxxFx

x μμ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−== ∫

)(0 xPx μ= (2.4.3)

)()( tF xT dan )()(

tf xT adalah fungsi distribusi dan fungsi kepadatan peluang dari T(x),

waktu hidup yang tersisa dari (x). Dari (2.3.2) kita dapat bahwa xtxT qtF =)()( , maka

( )( )

T xt x

dt qfdt

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

)()(1

xstxs

dtd

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−+

=)()('

)()(

txstxs

xstxs

)( txPxt += μ 0≥t (2.4.4)

2.5 Hukum-Hukum Mortalitas ( Gompertz )

Terdapat tiga prinsip dalam membangkitkan bentuk analitik dari fungsi kehidupan

dan mortalitas. Pertama adalah filosofi. Banyak fenomena yang dipelajari dan fisika dapat

dijelaskan secara efisien dengan rumus yang sederhana. Untuk itu, dengan menggunakan

argumen biologi bahwa kehidupan manusia dikendalikan oleh sebuah hukum persamaan

yang sederhana. Yang kedua, justifikasi (pembenaran) adalah praktis. Adalah lebih mudah

melihat fungsi dengan sedikit parameter daripada melihat sebuah tabel kehidupan dengan

mungkin 100 parameter atau peluang kematian. Yang ketiga , justifikasi (pembenaran)

untuk fungsi kehidupan analitik yang sederhana adalah mengurangi perkiraan beberapa

parameter fungsi dari data kematian.

17

Terdapat beberapa jenis fungsi kehidupan dan mortalitas analitik yang berkaitan

dengan hukum-hukum tersebut, antara lain :

Penemu )(xμ S(x) Batasan

De Moivre

(1729)

( )x− −ω 1 ωx

−1 ω≤≤ x0

Gompertz

(1825)

cxB ( )[ ]1exp −− cxm 0,1,0 ≥>> xCB

Mahekam(1860) cxBA+ ( )[ ]1exp −−− cxmAx 0,1,,0 ≥>−≥> xcBAB

Weibull(1939) xnk [ ]xn 1exp +− μ 0,0,0 ≥>> xnk

Tabel 2.1 Hukum- Hukum Mortalitas

Dimana :

cBm

log= dan

1+=

nkμ (2.5.1)

Dalam hal ini, penulis menggunakan pendekatan Gompertz. Ini dikarenakan, menurut

penulis bentuk Gompertz ini yang paling sesuai dengan bentuk demografi Indonesia.

Bentuk Gompertz yang dimaksud yaitu,

( )exp 1( ) xm cs x − −⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (2.5.2)

2.6 Bunga

Jenis bunga yang digunakan adalah bunga majemuk.Didefinisikan sebagai suatu

perhitungan bunga yang besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besarnya pokok

18

sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Besarnya pendapatan bunga

tergantung pada besar pokok, jangka waktu investasi dan tingkat suku bunga.

Dalam bunga majemuk didefinisikan fungsi v sebagai faktor diskonto

11

vi

=+

(2.6.1)

sedangkan untuk tingkat diskonto didefinisikan d sebagai berikut

* 11

id i v vi

= = = −+

sehingga 1 d v− = (2.6.2)

Untuk tingkat bunga nominal dan tingkat diskonto nominal dengan pembayaran m

kali setahun dapat didefinisikan sebagai berikut :

( )

1 1

m

m

ii

m+ = +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 /( )

11mm

m ii = −⎡ ⎤⎣ ⎦+ (2.6.3)

( )1 1

mmd d

m− =

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )1 /( ) 1 /

1 11mm m

m mdd v= − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦− (2.6.4)

dengan analogi pada persamaan (2.6.2) maka bentuk d(m) dapat dinyatakan dengan

persamaan : ( )

( )

( )

( )

1 /

m

m

m

m

ii

d+

= (2.6.5)

Force of interest δ :

( )lim ln(1 )m

miiδ

→∞= = + (2.6.6)

( ) 1

1 vie δ −− = =+ (2.6.7)

19

2.7 Metode Pembayaran Benefit Asuransi Jiwa

2.7.1 Benefit Asuransi yang Dibayarkan Pada Saat Terjadinya Kematian ( Cara

perhitungan Kontinu)

Pada Asuransi yang dibayarkan pada saat kematian /perhitungan kontinu ini,

pembayaran benefit kepada ahli waris dilakukan seketika pada saat si tertanggung

meninggal. Namun asumsi ini tidak mencerminkan praktek asuransi yang real, namun

mempunyai keuntungan bahwa formula dapat dievaluasi langsung dari Tabel

Mortalitas.

Jumlah dan waktu pembayaran benefit asuransi tergantung pada panjang interval

dari mulainya asuransi sampai kematian tertanggung. Model ini akan dikembangkan

dengan model fungsi benefit, bt , dan fungsi diskon(bunga), vt . Dalam model

perancangan ini, vt adalah tingkat faktor diskon(bunga) dari waktu pembayaran kembali

pada saat polis dikeluarkan dan t adalah panjang interval pada saat polis dikeluarkan

sampai dengan waktu kematian.

Definisi dari fungsi Present Value (Nilai Tunai), zt, adalah

Zt=btvt (2.7.1)

Zt adalah nilai tunai atau premi pada saat polis dikeluarkan. Waktu yang tersisa

dari waktu pada saat polis dikeluarkan sampai si tertanggung meninggal adalah

variable acak waktu hidup yang tersisa dari si tertanggung x,yaitu T=T(x).

20

2.7.2 Benefit Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian ( Cara

perhitungan Diskrit)

Pada asuransi yang dibayarkan pada akhir tahun kematian /cara perhitungan

diskrit ini, pembayaran benefit kepada ahli waris ketika si tertanggung meninggal

adalah pada akhir tahun kematian. Pada prakteknya, sebagian besar benefit dianggap

dibayarkan pada saat kematian si tertanggung sampai pembayaran yang sesungguhnya

dilakukan. Model tersebut dibentuk dengan mengunakan fungsi waktu hidup yang

tersisa dari tertanggung T.Pada sebagian besar aplikasi asuransi, informasi yang terbaik

terdapat pada distribusi peluang T pada pembentukkan tabel kematian diskrit. Ini

adalah distribusi peluang K, waktu hidup yang tersisa yang dipotong pada saat polis

dikeluarkan.Pada asuransi ini, kita membangun perbedaan dengan membangun model-

model asuransi jiwa, dimana bentuk dan waktu pembayaran benefit bergantung pada

jumlah tahun-tahun yang lengkap dari waktu pada saat polis dikeluarkan sampai

dengan waktu kematian.

Model asuransi jiwa ini menggunakan waktu hidup yang tersisa yang dipotong

dari si tertanggung.Dalam hal ini fungsi benefit, bk+1, dan fungsi diskon, vk+1, secara

berturut-turut adalah benefit yang dibayarkan dan factor diskon yang dibutuhkan untuk

jangka waktu dari waktu pembayaran benefit kembali ke waktu saat polis dikeluarkan

ketika waktu yang tersisa yang dipotong adalah k, dan si tertanggung meninggal pada

tahun k+1. Present Value/ Nilai Tunai pada asuransi diskrit ini adalah dinyatakan

dengan ZK+1 yaitu

1 1. 1k k kZ b V+ + += (2.7.2)

21

2.8.Jenis-Jenis Asuransi

2.8.1. Asuransi Berjangka (n-Term Insurance)

Asuransi Berjangka adalah Asuransi dimana benefit dibayarkan kepada ahli

waris bila si tertanggung meninggal dalam suatu jangka waktu tertentu, disebut jangka

waktu polis (term).

2.8.1.1. Benefit Dibayarkan Di Akhir tahun Kematian (Diskrit)

Misal 1 unit dibayarkan jika si tertanggung meninggal dalam jangka waktu

n tahun, dan waktu pembayaran adalah akhir tahun kematian. Maka

⎩⎨⎧

=+01

1kb lainnya

nk 1,...,1,0 −=

11

kkV v

++ =

{ 1

0

KvZ+

= ,...2,1,

1,...,1,0++=

−=nnnK

nK

Premi yang sekali bayar atau Net Single Premium(NSP) didefinisikan

dengan 1:x nA yaitu,

.

111

:0

[ ] k x x k

nk

x nk

E Z p qvA +

−+

=

= =∑ (2.8.1)

Diukur dari waktu pengeluaran polis, tahun asuransi dari kematian adalah 1

plus variabel acak curtate-future-lifetime, K.

22

2.8.1.2. Benefit Dibayarkan Sesaat Terjadinya Kematian (Kontinu)

Sebuah asuransi jiwa dalam jangka waktu n-tahun menyediakan

pembayaran jika hanya tertanggung meninggal dalam jangka waktu n-tahun

seperti yang telah disetujui dalam polis. Jika pembayarannya dilakukan pada saat

kematian (x) , maka :

⎩⎨⎧

=01

tb ntnt

>≤

,

t

tv v= 0≥t ,

0

t

Z v⎧⎪= ⎨⎪⎩

nTnT

>≤

.

Ketiga definisi ini mengunakan 3 konvensi. Pertama, karena waktu hidup

masa depan adalah variabel yang non negativ, kita mendefinisikan bt, vt, dan Z

hanya nilai-nilai non-negativ. Kedua, untuk sebuah nilai t dimana bt, adalah 0

nilai dari vt adalah tidak relevant. Ketiga, kecuali ditetapkan, nilai bunga

ditetapkan konstan.

Ekspetasi variable acak nilai Tunai variabel azak Z, dinamakan actuarial

present value(Nilai Tunai Asuransi) dari asuransi. Actuarial present value untuk

asuransi berjangka waktu n-tahun dengan pembayaran pada saat kematian(x),

E[Z], didefinisikan 1

:x nA . Ini dapat dihitung dengan mengetahui Z sebagai fungsi

T sehingga E[Z]=E[Zt ]. Kemudian kita menggunakan p.d.f pada T untuk

mendapatkan

1

: 0 0[ ] [ ] . ( ) ( )

n tt t T t x x

x nE z E z Z f t dt p t dtvA μ

∞= = = =∫ ∫ (2.8.2)

23

2.8.2 Asuransi Seumur Hidup (Whole Life Insurance)

Asuransi berjangka, karena relative lebih murah, adalah asuransi yang termurah

untuk beberapa keadaan (preminya lebih murah). Akan tetapi, mempunyai kelemahan.

Bila periodanya sudah habis maka asuransi pun habis pula sedang si tertanggung

mungkin merasa masih perlu diasuransikan. Sudah barang tentu bila habis periodenya,

si tertanggung dapat pula mengasuransikan kembali dirinya, akan tetapi karena

umurnya yang sudah lebih tua, maka harga asuransi yang harus dibayar (premi) akan

menjadi lebih besar pula.

Asuransi Seumur Hidup adalah suatu jawaban untuk mengatasi masalah di atas.

Asuransi ini menjamin bahwa ahli waris si tertanggung akan menerima sejumlah uang

kapan sajapun si tertanggung meninggal sedangkan besar premi tidak berubah (tetap).

2.8.2.1. Benefit Dibayarkan Di Akhir Tahun Kematian (Diskrit)

Jumlah pembayaran benefit sudah pasti namun waktu pembayaran (K+1)

adalah acak. dan mengikuti aturan

1 1kb + = 0,1, 2,...k =

11

kkv v++= 0,1, 2,...k =

vkZ 1+= 0K ≥ (2.8.3)

Dan Nilai Tunai (Present Value) adalah didefinisikan dengan

1.

0[ ] K

x k x x kk

A E Z P qv∞

++

=

= =∑ (2.8.4)

24

2.8.2.2. Benefit Dibayarkan Sesaat Terjadinya Kematian (Kontinu)

Asuransi Seumur hidup ini membayarkan benefit kepada ahli waris

kapapun di masa depan pada saat si tertanggung meninggal. Dan Pembayaran

benefit yang dilakukan sesaat setelah si tertanggung meninggal adalah :

1=tb 0≥t

ttv v= 0≥t

tZ V= 0≥T

Nilai Tunai Asuransinya adalah

0

[ ] ( )n

t x xx

E z p t dtvA μ∞= = ∫ (2.8.5)

Asuransi Seumur hidup sebenarnya adalah asuransi berjangka waktu ∞=n

2.8.3 Asuransi Dwiguna

Asuransi Dwiguna membayar nilai nominal asuransi bila:

a) Si tertanggung meninggal dunia selama jangka waktu tertentu, atau

b) Si tertanggung hidup sampai akhir jangka waktu tertentu.

Secara matematika, Dwiguna ini merupakan jumlah antara asuransi berjangka

dan Dwiguna murni.

Dwiguna Murni n Tahun menyediakan pembayaran benefit pada akhir tahun n

jika dan hanya jika si tertanggung selamat sedikitnya n tahun dari sejak polis

dikeluarkan. Jika jumlah yang dibayarkan 1 unit maka:

⎩⎨⎧

=10

tb ntnt

>≤

,

25

vnvt = 0≥t , (2.8.6)

⎩⎨⎧

=vnZ0

nTnT

>≤

Satu-satunya element dari Dwiguna murni yang tidak pasti ini adalah apakah

sebuah klaim akan terjadi. Ukuran dan waktu pembayaran, jika klaim terjadi, dapat

ditentukan sebelumnya. Dalam ekspresi Z= vnY, dimana Y adalah indikator dari

sebuah kejadian bertahan hidup sampai dengan umur x+n. Y ini mempunyai nilai 1 jika

tertanggung bertahan hidup sampai usia x = n dan bernilai 0 jika tidak. Dwiguna murni

ini mempunyai lambang nEx.

Sedangkan asuransi Dwiguna n tahun menyediakan sejumlah uang yang akan

dibayarkan baik pada saat kematian tertanggung atau sampai lamanya bertahan hidup

tertanggung sampai akhir jangka waktu n tahun, yang mana dulu yang terjadi.

2.8.3.1 Benefit Dibayarkan Di Akhir Tahun Kematian (Diskrit)

Asuransi Dwiguna n tahun dengan sejumlah unit dibayarkan pada akhir

tahun kematian adalah kombinasi antara asuransi berjangka n tahun diskrit

dengan n tahun dwiguna murni. Untuk itu maka fungsinya :

11 =+kb ,...1,0=k

1

1

k

kn

V vv

+

+

⎧⎪= ⎨⎪⎩

0,1,..., 1

, 1,...k nk n n= −= +

(2.8.7)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

vv

n

k

Z1

0,1,..., 1

, 1,...k nk n n= −= +

(2.8.8)

26

Atau dengan kata lain asuransi Dwiguna adalah gabungan antara asuransi

berjangka n tahun dan Dwiguna murni 1: : n xx n x n EA A= + (2.8.9)

2.8.3.2 Benefit Dibayarkan Sesaat Terjadinya Kematian (Kontinu)

Jika asuransi ini dibayarkan sejumlah uang(benefit) pada saat kematian maka :

1=tb 0≥t

⎪⎩

⎪⎨⎧

=vv

n

t

tV ntnt

>≤

⎪⎩

⎪⎨⎧

=vv

n

T

Z nTnT

>≤

Asuransi Dwiguna ini dapat dipandang sebagai kombinasi antara asuransi

berjangka waktu n tahun dan Dwiguna murni n tahun. Misalkan Z1, Z2,Z3

menyatakan secara berturut-turut Nilai Tunai asuransi berjangka, Dwiguna murni,

dan asuransi Dwiguna dengan benefit dibayarkan pada saat si tertanggung

meninggal. Dari definisi di atas kita dapat :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=0

1 vT

Z nTnT

>≤

.

⎩⎨⎧

=vnZ0

2 nTnT

>≤

⎪⎩

⎪⎨⎧

=vv

n

T

Z 3 nTnT

>≤

Sehingga Z3=Z1+Z2 dan dengan melihat nilai ekpetasinya maka :

1

: :n x

x n x nEA A= + (2.8.10)

27

2.9 Anuitas

Anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap selang

waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Suatu anuitas yang pasti dilakukan dalam

jangka waktu pembayaran disebut anuitas pasti. Jika pembayaran dilakukan tergantung

hidup matinya seseorang disebut ‘anuitas hidup’.

2.9.1 Anuitas Pasti

2.9.1.1 Pembayaran Tahunan

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan 1 kali dalam setahun

disebut anuitas tahunan. Pembayaran anuitas yang dilakukan pada akhir periode

(akhir tahun) disebut anuitas akhir, sedangkan pembayaran anuitas yang

dilakukan di awal periode (awal tahun) disebut anuitas awal.

Total nilai sekarang dari anuitas akhir (ditulis na ) adalah

2 3 1... n n

nva v v v v−= + + + + +

( )2 2 11 ... n nv v v v v− −= + + + + + (2.9.1)

Dengan menggunakan rumus pada deret geometri diperoleh

11

n

nv

vva

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 n

vivv⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 n

iv−= (2.9.2)

28

Sedangkan total nilai sekarang dari anuitas awal (ditulis na&& ) adalah

2 2 11 ... n n

nva v v v− −= + + + + +&&

11

n

vv−=−

1 n

dv−= (2.9.3)

2.9.1.2 Pembayaran m kali Setahun

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m kali setahun dengan

selang pembayaran setiap 1/m tahun disebut anuitas dengan pembayaran m

kali. Total nilai sekarang dari anuitas akhirnya (ditulis ( )m

na ) adalah

( ) 1/ 2 / 1/1 ...m m m n m n

n m v v v va −⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦+

1/ 1/

1/1

1

m n m

mmv v

v

+⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

1/

1

1(1 )

n

mm

vi−

=⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦+

( )

1 n

mv

i−

= (2.9.4)

Total nilai sekarang dari anuitas awalnya (ditulis ( )mna&& ) adalah

1/ 2/ (1/ )( )

1 1 ...m m n mmn ma v v v −

= ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦+&&

29

1/

111

n

mmvv

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1/

1

1 1

n

mm

vd

−=

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦−

( )

1 n

mv

d−

= (2.9.5)

2.9.1.3 Pembayaran Kontinu

Pembayaran anuitas dilakukan setiap saat disebut anuitas kontinu. Total

nilai sekarang dari anuitas tersebut adalah

( )

( )

1 1lim limn

n nmn mm m

a a v vi δ→∞ →∞

− −= = = (2.9.6)

2.9.2 Anuitas Hidup

Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang

masih hidup. Besarnya pembayaran bisa tetap atau berubah-ubah.

2.9.2.1 Anuitas Hidup Kontinu

Anuitas hidup seumur hidup menyediakan pembayaran sampai kematian.

Nilai sekarang dari anuitas ini adalah

TY a= 0T ≥ (2.9.7)

Total nilai sekarang dari anuitas ini (ditulis xa ) adalah

0.

x tx t t xa a P dtμ

+

∞= ∫ (2.9.8)

Anuitas hidup n-tahun menyediakan pembayaran selama (x) hidup untuk n

tahun ke depan. Nilai sekarang dari anuitas ini adalah

30

1

1

T

n

T

n

vaY

vaδ

δ

−=

−=

⎧⎪= ⎨⎪⎩

,0,

T nT n≤ <≥

(2.9.9)

Total nilai sekarang dari anuitas ini ( ditulis :x na ) adalah

.: 0

[ ] .x t

nT t x dt n n x

x nE Y a P a Pa μ

++= = ∫ (2.9.10)

Dan hubungan antara anuitas hidup n-tahun dengan asuransi Dwiguna n-tahun

adalah

[ ] :

:

11 x n

x n

ZE Y E Aa δ δ=

−−⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

: :1x n x na Aδ = − : : 1x n x nA aδ+ = (2.9.11)

dengan

{ T

nvZV

= 0 T nT n≤ <≥

2.9.2.2 Anuitas Hidup Diskrit

Teori anuitas diskrit mirip dengan teori anuitas hidup kontinu. Untuk

anuitas kontinu tidak ada perbedaan pembayaran di awal atau di akhir interval,

sedangkan di dalam anuitas diskrit perbedaan waktu pembayaran itu sangat

berpengaruh.

Anuitas hidup diskrit menurut waktu pembayaran terbagi menjadi 2 yaitu

segera(immediate) dan awal(due). Yang dimaksud dengan segera adalah sutau

rangkaian pembayaran, pembayaran pertama setahun dari sekarang, yang kedua

dua tahun dari sekarang dan seterusnya Dan yang dimaksud awal adalah

31

pembayaran pertama dilakukan sekarang dan pembayaran kedua dilakukan

setahun dari sekarang dan seterusnya. Dan untuk perhitungan premi ini

digunakanlah anuitas hidup awal(due) karena biasanya premi dibayar di depan.

Nilai sekarang dari anuitas seumur hidup adalah

1kY a += && 0K ≥ (2.9.12)

Total nilai sekarang dari anuitas seumur hidup ini adalah

[ ] 1 .

0 0.k k x x k

kk xx

k kE Y a P q Pa v+ + =

∞ ∞

= =

= =∑ ∑&&&& (2.9.13)

Nilai sekarang dari anuitas awal n-tahun adalah

1k

n

aYa

+⎧⎪= ⎨⎪⎩

&&

&& 0 k n

K n≤ <≥

(2.9.14)

Total nilai sekarang dari anuitas ini adalah

[ ] 1 . .

1 1

0 0.n k k x x k n

n nk

n x k xk k

a E Y a P q a P Pv+ +

− −

= =

= = + =∑ ∑&& && && (2.9.15)

karena 1 ZYd−

= dan { 1K

nvZV

+

= 0 K nK n≤ <≥

, maka

[ ] [ ] ::

1 1 x nx n

E Z Aa E Yd d

− −= = =&& atau : : 1x n x nA d a+ =&& (2.9.16)

dengan analogi yang sama, maka ini berlaku juga untuk anuitas seumur hidup

yaitu

1 xx

Aad−

=&& (2.9.17)

32

2.9.2.3 Anuitas Hidup dengan m-kali Pembayaran

Anuitas hidup sebesar 1 pertahun yang dibayarkan sebesar 1/m pada awal

setiap 1/m tahun selama orang yang berusia (x) tersebut hidup. Total nilai

sekarang dari anuitas ini dinotasikan dengan simbol ( )

:m

x na&& . Sebelumnya akan kita

bahas terlebih dahulu satu asumsi yang sering digunakan dalam interpolasi pada

interval (x,x+1).

Asumsi itu adalah asumsi interpolasi linear, dengan x merupakan integer

dan 0 1t≤ ≤ . Jika menggunakan asumsi interpolasi liniar maka

( ) (1 ) ( ) ( 1)f x t t f x tf x+ = − + +

( ) (1 ) ( ) ( 1)s x t t s x ts x+ = − + +

1 11 1(1 )k k k

k x k x k xP t P t Pv v v+ ++ += − +

Sekarang kita bahas anuitas untuk m-kali pembayaran pertahun selama n- tahun.

Gambar 2.3 Ilustrasi m-kali pembayaran dalam pertahun

1 2 1 ( 1)1 ( 1)

( ) 1 ( 1)1/ 2 / 1 1 ( 1): 1

1 1 1 1 1 1. . ... . . ... . mnm m m m

m mm m nm mx n x x x x xa P P P P P

m m m m m mv v v v v −−

−−= + + + + + + +&&

1 2 1 ( 1)0 0 1 ( 1)

1 ( 1)0 1/ 0 2/ 1 1 ( 1)1

1 1 . . ... . . ... . mnm m m m

mm m nm mx x x x xP P P P P

m v v v v v −+ + −

−+ + −⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

/

1 1/

0 0

1j m x k

n mk j mk x

k jP P

m v v +

− −

= =

= ∑ ∑ dimana *t s x t x s x tP P P+ +=

sehingga,

( / )

1 1( ) ( / ):

0 0

1k j m x

n mm k j mx n

k ka P

m v +

− −+

= =

= ∑∑&&

1 2 n-1

1/m

n

1/m 1/m1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m

2/m 1/m 2/m (m-1)/m1/m(m-1)/m

33

1

1 11

0 0

1 1 k x k x

n mk k

k k

j jP Pm m mv v +

− −+

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑∑ , asumsi interpolasi linier

( )1

1 11

20 0

k x k x k x

n mk k k

k j

jP P Pv v v m+

− −+

= =

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑

( )1

11

0

12

k x k x k x

nk k k

k

mP P Pmv v v +

−+

=

−⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( )1

1 11

0 0

12

k x k x k x

n nk k k

k k

mP P Pmv v v +

− −+

= =

−= − −∑ ∑

Jadi,

( ):

( ):

1 12

n n x

m nx n x

ma a Pm v−

= − −&& && atau (2.9.18)

( )

: : :( )1

2

m

x n x n x nmd ma a A

md

−= −&& && (2.9.19)

Dengan analogi yang sama maka berlaku juga untuk anuitas seumur hidup yang

m kali pembayaran ( )

( )1

2

m

xm x

d ma amd

A−= −&& && (2.9.20)

didefinisikan nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut yang merupakan

variabel acak dari Y adalah

( )1

mZY

d−

= dengan { ( 1) /K j h

nvZV

+ +

= , 0,1,..., 1k n J hk n< = −≥

(2.9.21)

34

2.10 Premi Bersih (Net Premium)

Berkenaan dengan polis asuransi didefininisikan jumlah kerugian (total loss) L, untuk

penanggung adalah perbedaan antara nilai sekarang dari santunan dan nilai sekarang dari

pembayaran premi. Kerugian ini (L) merupakan peubah acak dari nilai santunan sekarang

yang dibayar oleh penanggung dikurangi anuitas dari premium yang dibayar oleh

tertanggung. Prinsip ini dikenal dengan prinsip ekivalen (equivalence principle) dan

mempunyai syarat bahwa :

E[L]=0 (2.10.1)

Sehingga

E[Nilai santunan sekarang – Nilai premi sekarang]=0

E[Nilai santunan sekarang]=E[Nilai Premi sekarang

Premi yang memenuhi prinsip ini disebut premi bersih. Jika besar L>0 maka kerugian

telah terjadi. Selanjutnya jika disebut premi maka yang dimaksud adalah premi bersih.

2.10.1 Premi diskrit

Premi diskrit yang dibayarkan tiap tahun untuk asuransi diskrit (benefit

dibayarkan pada akhir tahun kematian)

Untuk asuransi seumur hidup , premi tahunan disimbolkan dengan XP diperoleh dari

XX

X

AP a=&&

(2.10.2)

35

Premi ini dibayar tahunan selama si tertanggung masih hidup. Kerugian penanggung

adalah

11

KK

XL av P ++= − && 0,1,2...K = (2.10.3)

Untuk asuransi berjangka n-tahun , premi tahunan disimbolkan dengan 1:x nP

diperoleh dari

11 :

::

x nx n

x naAP =&&

(2.10.4)

Premi ini dibayar tahunan selama n tahun. Kerugian penanggung adalah

{ 1 1: . 1

1: .

Kx n K

x n n

av PL aP

++−= −

&&&&

0,1,..., 1K nK n= −≥

(2.10.5)

Untuk asuransi Dwiguna n tahun , premi bersih tahunan disimbolkan dengan :x nP

diperoleh dari

::

:

x nx n

x naAP =&&

(2.10.6)

Premi ini dibayar tahunan selama n tahun. Kerugian penanggung adalah

{ 1: 1

:

.

.

Kx n K

x n n

av PL aP

++−= −

&&&&

0,1,..., 1K nK n= −≥

(2.10.7)

Premi diskrit yang dibayarkan tiap tahun untuk asuransi kontinu (benefit

dibayarkan segera setelah si tertanggung meninggal)

Dan untuk benefit asuransi yang dibayarkan segera setelah si tertanggung

meninggal masih tetap menggunakan premi diskrit, sehingga gabungan antara

asuransi kontinu dan premi diskrit disebut semi kontinu

36

Untuk Asuransi seumur hidup premi tahunan yang harus dibayar adalah

XX

X

AP a=&&

(2.10.8)

Dan untuk asuransi berjangka n-tahun adalah

1

1 ::

:

x nx n

x naAP =&&

(2.10.9)

Yang terakhir untuk asuransi Dwiguna, premi yang harus dibayarkan tiap tahun

adalah

::

:

x nx n

x naAP =&&

(2.10.10)

2.10.2 Premi m-kali Pembayaran

Premi m-kali pembayaran adalah premi yang diperoleh dari jenis asuransi

diskrit atau kontinu dan dari anuitas hidup m-kali pembayaran tiap tahun.

Premi yang dibayarkan tiap m-kali tiap tahun untuk asuransi diskrit (benefit

dibayarkan pada akhir tahun kematian)

Untuk asuransi seumur hidup , premi bersih m-kali per tahun disimbolkan dengan

( )mXP , diperoleh dari

( )( )

mm X

XPaA=&&

(2.10.11)

Premi ini dibayar m-kali dalam setahun seumur hidup si tertanggung. Kerugian

penanggung adalah

37

1

1 ( )( )K

K mmL axPv +

+= − && 0,1, 2,...K = (2.10.12)

Dan untuk asuransi berjangka n-tahun , premi bersih m-kali per tahun disimbolkan

dengan ( )1

:

m

x nP , diperoleh dari

1( )1 :

( )::

mx nmx n

x na

AP =&&

(2.10.13)

Premi ini dibayar m-kali dalam setahun selama n-tahun. Kerugian penanggung adalah

( )( )1 11

:( )( )1

:

.

.

mmKK

x nmm

x nn

av PLaP

++⎧ −⎪= ⎨

−⎪⎩

&&

&&

0,1,... 1K nK n= −≥

(2.10.14)

Serta untuk asuransi Dwiguna n tahun, premi bersih m-kali per tahun disimbolkan

dengan ( )

:

m

x nP , diperoleh dari

( ):

( )::

mx nmx n

x na

AP =&&

(2.10.15)

Premi ini dibayar m-kali dalam setahun selama n tahun. Kerugian penanggung adalah

( )( )11

:( )( )

:

mmKK

x nmm

x n

nn

av PLaPv

++

⎧ −⎪= ⎨−⎪⎩

&&

&&

0,1,... 1K nK n= −≥

(2.10.16)

Premi yang dibayarkan m-kali tiap tahun untuk asuransi kontinu (benefit

dibayarkan pada akhir tahun kematian)

Untuk asuransi seumur hidup , premi bersih m-kali pembayaran per tahun

disimbolkan dengan ( )( )X

mXP A , diperoleh dari

38

( )( )( )X

m XX m

x

P AAa

=&&

(2.10.17)

Premi ini dibayarkan m kali dalam setahun selama si tertanggung hidup. Kerugian si

penanggung adalah

1

( )( )K

T mmL axPv += − && 0T ≥ (2.10.18)

Sedangkan untuk asuransi berjangka n-tahun , premi bersih m-kali per tahun

disimbolkan dengan ( )1

:

( )x n

mAP , diperoleh dari

( )1

:

1

( ) :( )

:x n

m x nm

x nA

a

AP =&&

(2.10.19)

Premi ini dibayarkan m kali dalam setahun selama n tahun. Kerugian si penanggung

adalah

( ). 1

( )

.

( ) 1:

( ) 1:

mTK

m

n

mAx n

mAx n

av PLaP

⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ −⎪= ⎨−⎪⎩

&&

&&

T nT n<≥

(2.10.20)

Dan untuk asuransi Dwiguna n tahun, premi bersih m-kali per tahun disimbolkan

dengan ( ):

( )x n

mAP diperoleh dari

( ):

( ) :( )

:x n

m x nm

x nA

a

AP =&&

(2.10.21)

Premi inidibayarkan m kali dalam setahun selama n tahun. Kerugian si tertanggung

adalah

( )1

( )

( ):

( ):

mTK

m

n

mAx n

mAx n

av PLaP

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ −⎪= ⎨−⎪⎩

&&

&&

T nT n<≥

(2.10.22)

39

2.11 Hubungan Antara Diskrit dan Kontinu

dttuP xxtt

x vA )(..0∫∞

=

...)(.....)(..)(..12

1

1

0++++= ∫∫∫

+dttuPdttuPdttuP xxt

K

k

txxt

txxt

t vvv

misal y=t-k maka t=k y=0

t=k+1 y=1

dykyuPdttuP xxkyky

xxtK

k

t vv )(..)(..1

0

1+= +

++

∫∫

karena Ux(y+k)=Ux+y(k) maka

∑∫∞

=

+++=

0

1

0)(..

kkxxky

ky dyyuPv

karena y+kPx=kPx.yPx+k maka

∑∫∞

=

++=0

.1

0)(..

kkxkxyxk

ky dyyuPPvv

karena q kxkxkxy yuP

+++ =)(. maka

1

00

( )k yk x

x kk

P d yqv v∞

+=

=∑ ∫

1

00

( )k yk x

x kk

P d yqv v∞

+=

=∑ ∫

40

dan δiydvy =∫ )(

1

0 sehingga

∑∞

=+

=0k

kxxk

k

x qvA Piδ

AA xx

iδ

= (2.11.1)

2.12 Deterministik Model

Deterministik model biasa digunakan oleh perusahaan asuransi jiwa dalam

menghitung premi suatu asuransi. Perhitungan premi pada model ini biasa tergantung pada

tabel mortalitas.Pembayaran benefit pada model deterministik ini dilakukan pada kahir

tahun kematian (diskrit). Dalam kesempatan ini penulis menggunakan deterministik model

ini sebagai pembanding hasil perhitungan premi yang telah penulis lakukan dengan

menggunakan simulasi fungsi T.

2.12.1 Asuransi Jiwa Berjangka

Misal ada lx orang masing-masing menaruh uang di suatu dana sebesar z dan

sesudah 1 tahun setiap ahli waris dari mereka yang sudah meninggal mendapat 1 unit

, dari dana tadi. Yang menjadi pertanyaan adalah berapa besar z.

Banyaknya lx yang meninggal adalah dx, jadi banyaknya dana yang harus

dikumpulkan adalah dx unit. Jadi jumlah uang yang disumbangkan dengan bunga

haruslah sama dengan dx unit atau

dxizlx =+ )1(

)1( ilxdxz+

=

41

lxvdxz =

Notasi : lx

vdxcx =

Jadi : lxdx

lxvdxcz

vv

x

x

x

1+

=== (2.12.1)

Cx atau z disebut premi bersih untuk asuransi berjangka selama 1 tahun.

Misal 1:x nA = Nilai Tunai suatu asuransi berjangka sebesar 1 unit pada seseorang

berumur x selama n tahun, artinya bila (x) meninggal dalam jangka waktu antara x

dan x+n maka ahli warisnya akan menerima 1 unit, pada akhir tahun (x) meninggal.

Jadi

21 11

: ...n

nxx n

x xvq

q qvvA −= + + +

x

nxn

x

x

x

x

ld

ld

ldv vv 112 ... −++

+++= (2.12.2)

2.12.2 Asuransi Jiwa Seumur Hidup

Notasi: Ax= Nilai Tunai dari suatu asuransi seumur hidup sebesar 1 yang

dibayarkan pada akhir tahun si tertanggung (usia x) meninggal.

Dengan menggunakan metoda diskonto diperoleh

w

wxw

x

x

x

xx

ld

ld

ldvA vv 112 ... +−+

+++=

∑∞

=

+++

=0

1

i xx

ixix

ld

vv (2.12.3)

42

2.12.3 Asuransi Jiwa Dwiguna

Asuransi Dwiguna adalah kombinasi antara asuransi Berjangka n-term dengan

Dwiguna murni yaitu :

1

: :n x

x n x nEA A= + (2.12.4)

dengan 2

1 11: ...

n

nxx n

x xvq

q qvvA −= + + +

x

nxn

x

x

x

x

ld

ld

ldv vv 112 ... −++

+++=

dan xx lvE xn = (2.12.5)

2.13 Perangkat lunak

Menurut Pressman (2001, p6), perangkat lunak adalah :

1. instruksi – instruksi (program komputer) yang jika dijalankan akan

menyediakan fungsi yang diperlukan.

2. struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi informasi

3. dokumen yang menyatakan operasi dan kegunaan program.

2.13.1 Dasar Perancangan Perangkat Lunak

Menurut Mahyuzir (1991, p78), perancangan merupakan proses penerapan

bermacam-macam tehnik dan prinsip dengan tujuan untuk mendefinisikan peralatan,

proses atau sistem secara rinci. Perancangan dilakukan pada tahap awal pengembangan.

Tujuan perancangan adalah menghasilkan model yang akan dibuat. Perancangan

perangkat lunak mengalami perubahan jika didapatkan metode yang baru, analisis yang

baik dan penyusunan pengertian yang lebih luas.

43

2.13.2 Fase Pengembangan Perangkat Lunak

Model fase pengembangan perangkat lunak yang digunakan adalah Waterfall

Model. Adapun fase-fase yang ada pada Waterfall model ini antara lain :

1. Analisis Kebutuhan dan definisi masalah

Pada fase ini, kita menganalis apa yang menjadi kebutuhan dan yang

menjadi tujuan dari membuat perangkat lunak ini.

2. Merancang Sistem dan perangkat lunak

Merancang sistem adalah membagi-bagi kebutuhan-kebutuhan tersebut

pada perangkat keras dan perangkat lunak. Yang kemudian keduanya saling

bersinkronisasi

3. Implementasi dan unit testing

Pada fase ini, rancangan perangkat lunak direalisasikan menjadi

sekumpulan unit/modul-modul program.unit testing berguna untuk

mengecek apakah suatu unit tersebut sesuai dengan spesifikasi dan

kegunaan yang diharapkan.

4. Integrasi dan Tes Sistem

Modul-modul program tersebut kemudian diintegrasikan satu sama lain

menjadi satu kesatuan sistem yang utuh dan mengecek system tersebut

apakah sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan. Setelah selesai dengan

testing program, sistem tersebut dapat dilepas ke klien

5. Penggunaan dan perawatan

Biasanya fase ini adalah yang paling lama.Perawatan perangkat lunak

meliputi perbaikan kesalahan yang tidak muncul pada tahan-tahap

sebelumnya dalam pembuatan perangkat lunak, mengembangkan perangkat

lunak yang sudah ada ketika ada kebutuhan yang baru.

44

Gambar 2.4 Waterfall Model

2.14 Simulasi Monte Carlo

Jika ingin menggambarkan suatu fenomena kejadian yang seusai dan mirip dengan

kejadian nyata, maka akan banyak faktor biaya yang sesuai dan mirip dengan kejadian

nyata, maka akan banyak faktor biaya yang harus disediakan. Faktor biaya tersebut

diantaranya tenaga, waktu, dana dan faktor-faktor lainnya yang mungkin saja faktor

tersebut sulit untuk diperoleh. Oleh karena itu, simulasi merupakan suatu solusi atas

penggambaran suatu fenomena yang tidak memerlukan faktor biaya.

Simulasi adalah suatu teknik numerikal untuk mengadakan percobaan pada komputer

digital yang mencakup tipe dari matematika dan model logika tertentu yang

menggambarkan tingkah laku bisnis atau sistem ekonomi dalam suatu periode dari kejadian

yang nyata.

Merancang Perangkat Lunak dan Sistem

Integrasi dan Testing Sistem

Implementasi dan Testing Unit

Penggunaan dan Perawatan

Definisi Kebutuhan

45

Keuntungan dari simulasi adalah :

• Dapat digunakan untuk membantu menganalisa suatu tujuan dari sistem meskipun

data masukkannya tidak lengkap

• Sebagai alat pendidik untuk memperkuat analisa penyelesaian dari suatu

metodologi.

• Simulasi data lebih murah biayanya(dari segi waktu,tenaga,dana,dll) dariapada

data lapangan (kejadian nyata)

• Pada model analitik, umumnya menggunakan pembatasan dengan pendekatan

asumsi untuk menyederhanakan atau memudahkan pengerjaan matematikanya

sehingga jumlah yang bisa dihitung terbatas pada bentuk pengukuran sistem

tersebut. Sedangkan pada model simulasi tidak terdapat pembatasan serta data yang

dibangkitkan pada simulasi dapat digunakan untuk menaksir beberapa hal pada

bentuk pengukuran.

Inti dari simulasi dalam tugas akhir ini adalah membangkitkan peubah acak T(x).

T(x) adalah lamanya sisa hidup seseorang yang berusia x. Tabel yang digunakan pada tabel

populasi adalah tabel mortalitas “Comissioners 1941 Standard Ordinary Mortality Table”

atau biasa disebut “CSO Table.” dengan asumsi tingkat suku bunga 2,5 %

Simulasi Monte Carlo banyak digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

tertentu dalam statistika yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Simulasi Monte Carlo

menggunakan bilangan acak untuk mengakpromasikan solusi permasalahan. Salah satu

penggunaan standar dari Simulasi Monte Carlo ini adalah Menghitung integral

( )b

ag x dxθ = ∫

46

dengan g(x) adalah fungsi nilai real yang tidak bisa diintegralkan secara analitik. Untuk

mengaprokmasikan nilai integral dengan simulasi Monte Carlo, misalkan

( )( )x ayb a−

=−

( )x a y b a= + −

( )dxdy

b a=

−( )dx dy b a= −

sehingga

1

0( ( ) )( )g a b a y b a dyθ = + − −∫

1

0( )h y dy= ∫

dengan ( ) ( ( ) )( )h y g a b a y b a= + − − . Jika y merupakan peubah acak berdistribusi uniform

(0,1) maka f(y)=1 sehingga

1

0( )h y dyθ = ∫

1

0( )1h y dyθ = ∫

[ ]( ( )E h y=

Jika y1,y2,...,yk saling bebas dan berdistribusi U(0,1), maka 1 2, ( ), )( ) ..., ( kh y h y h y saling

bebas dan berdistribusi identik dengan mean θ . Dan menurut Hukum bilangan besar

1

( )ki

i

h yk=

∑ [ ]( ( )E h y θ= untuk k →∞

Oleh karena itu, kita bisa mengaprokmasikan θ dengan membangkitkan yi sebagai

bilangan besar kemudian diambil rata-rata dari ( )ih y .

47

2.15 Menaksir Parameter Gompertz

Dari persamaan (2.2.5) dan (2.3.3) akan diperoleh

.

.

( ) ( )( ) ( )

o x tt x

o x

s x t l s x t lPs x l s x l

++ += = = (2.15.1)

Hubungan dengan Gompertz, diperoleh dari persamaan (2.2.5) dan (2.5.2) , yatitu

( )( )

exp 1

exp 1

( )( )

x tm ct x xm c

s x tPs x

⎡ ⎤+− −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

+= =

( )( )

exp / exp( )

exp / exp( )

x tm mcxm mc

+−

−=

( )exp x t xm c c+− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (2.15.2)

Sehingga akan didapat:

.x t x t xl l P+ =

( )exp. x t xx m c cl +− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Jika t x= dan 0x = , maka

( )0 exp 1. xx m cl l − −⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (2.15.3)

Persamaan ini menyatakan banyaknya orang yang hidup pada usia x.

Nilai-nilai lx dan lo didapat dari tabel mortalitas “Comissioners 1941 Standard Ordinary

Mortality Table” atau biasa disebut “CSO Table.”

Dengan menggunakan software Mathlab 6.01 didapat parameter m = 0.0105 dan c =

1.0652.

48

2.16 Teknik Transformasi Invers

Proposisi:

Misalkan U adalah peubah acak berdistribusi Uniform (0,1). Untuk sembarang fungsi

distribusi kontinu F, peubah acak V yang didefinisikan oleh 1( )V UF −= , mempunyai

distribusi F.

Bukti:

1Pr( ) Pr( ( ) )V v U vF −≤ = ≤

1Pr( ( ( ))) ( ))F U F vF −= ≤

Pr( ( ))U F v= ≤

( ),F v= (0,1)U U

∴Fungsi distribusi v adalah F

Proposisi diatas menunjukkan bahwa kita dapat membangkitkan peubah acak V dari fungsi

distribusi kontinu F dengan membangkitkan bilangan acak U dan mentransformasikan V

menjadi 1( )UF − atau 1( )V UF −=

Peubah acak U1,U2,U3... yang berdistribusi Uniform(0,1) dibangkitkan melalui random

numbers di komputer, dan setiap U1 mempunyai fungsi kepadatan peluang :

{1,( ) 0,uf x = 0 1,

xlainnya≤ ≤

0,( ) ,

1uF x x

⎧⎪= ⎨⎪⎩

0

0 11

xx

x

<≤ ≤>

Misalkan kita akan membangkitkan V yang berdistribusi eksponensial dengan parameter

λ =1. Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang untuk V yang berdistribusi eksponensial

adalah :

49

,

,( )

0

vef vλλ −⎧⎪= ⎨

⎪⎩

, 0, 0vv≥<

1( )0

veF vλλ −⎧⎪ −= ⎨

⎪⎩

, 0, 0vv≥<

Jika 1,λ = maka

,

0,( )

vef v−⎧

= ⎨⎩

, 0, 0vv≥<

dan 0

1( )v

F v e−⎧⎪ −= ⎨⎪⎩

, 0, 0vv≥<

Langkah-langkah untuk membangkitkan peubah acak V yang berdistribusi eksponensial

( 1λ = )adalah :

1) Hitung fungsi distribusi dari peubah acak V. Untuk distribusi eksponensial ( 1λ = ),

fungsi disribusinya ( ) 1 vF v e−= − , 0v ≥ (2.16.1)

2) Tetapkan ( )F v U= . Dalam hal ini, ( ) 1 vF v e−= − , 0v ≥ . Di sini V merupakan

peubah acak, sehingga 1 ve−− merupakan peubah acak yang kemudian disebut U.

3) Selesaikan persamaan ( )F v U= Untuk V dalam bentuk U. Dalam hal ini,

1 v Ue−− =

1v Ue− = +

ln(1 )v U= − −

Pada umumnya persamaan terakhir ditulis 1( )V UF −=

4) Membangkitkan peubah acak U1,U2,U3... yang berdistribusi Uniform (0,1),

kemudian menghitung peubah acak yang diinginkan dengan

1( )i iV UF −=

Untuk kasus ini, ln(1 )i iV U= − − , untuk i=1,2,3..

50

2.17 Membangkitkan Peubah Acak T(x)

Untuk memperoleh peubah acak T(x), kita gunakan persamaan (2.15.2) yaitu

( )exp x t xx m c cP +− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Fungsi distribusi dari T(x) adalah

( )( ) Pr ( )F t T x t= ≤

t xq=

1 t xP= −

( )exp1 x t xm c c+− −⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

Bentuk persamaan di atas mirip dengan persamaan (2.16.1), sehingga ( ) ( ),F v F t= maka

( )x t xv m c c+−=

Sehingga jika kita menggunakan teknik transformasi invers akan didapat peubah acak T(x)

yaitu :

ln(1 )v U= − −

( ) ln(1 )x t x Um c c+− = − −

( )1 ln(1 )x tm Uc c − = − −

( )1ln(1 )t

x

Umc

c−

− −=

ln(1 ) 1x

t Umc

c − −= +

ln(1 ) 1ln ln xU

mct C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− − +=

ln(1 ) 1ln

lnxU

mctC

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− − +=

51

Jadi, peubah acak T(x) adalah

ln(1 ) 11ln *

lnxU

mct

C⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− − +=

Untuk membangkitkan peubah acak T(x), langkah-langkah yang diambil adalah :

1) Kita bangkitkan peubah acak berupa U1,U2,U3...n yang masing-masing berdistribusi

Uniform (0,1). Buat peubah acak baru, yakni peubah acak antitetik yang diperoleh dari

hasil 1-Ui, i=1,2,...n. Kegunaan peubah antitetik adalah untuk memperkecil variansi

dari taksiran.

2) Transformasikan data tersebut sehingga berdistribusi eksponensial ( 1λ = ), dengan

transformasi sebagai berikut : ln(1 ),i iV U= − − i=1,2,...,n

3) Transformasi ini akan menghasilkan peubah acak T(x), Yakni t1,t2,...tn. yang diperoleh

dengan persamaan berikut :

11ln *

lnxVi

mct

C⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+= . i=1,2,...,n