1 BAB I PENGENALAN TENTANG APLIKASI MATEMATIKA DISKRET I.1. Pendahuluan Banyak masalah kehidupan sehari-hari yang dapat diabstraksi sebagai masalah yang berkaitan dengan himpunan benda-benda diskret dan relasi biner pada benda-benda tersebut. Sebagai contoh, marilah kita perhatikan serangkaian pol pendapat umum yang dilakukan untuk menentukan kepopuleran para calon presiden. Dalam setiap pol yang diadakan, ingin diketahui pendapat para pemilih tentang dua di antara para calon, dan lalu ditentukan siapa favoritnya. Hasil pol- pol tersebut ditafsirkan sebagai berikut : Calon a dianggap lebih favorit daripada calon b jika salah satu di antara tiga kondisi berikut dipenuhi : 1. Calon a lebih favorit daripada calon b di dalam pol yang diadakan antara keduanya. 2. Calon a lebih favorit daripada calon c di dalam sebuah pol, sedangkan calon c lebih favorit daripada calon b di dalam pol yang lain. 3. Calon a lebih favorit daripada calon c, dan calon c lebih favorit daripada calon d, dan calon d lebih favorit daripada calon b di dalam tiga pol terpisah yang diadakan, dan begitu seterusnya. Untuk dua calon tertentu, misalnya kita ingin tahu apakah salah satu lebih kuat daripada yang lain atau tidak. Misalkan S = {a, b, c, ...} himpunan para calon presiden dan R sebuah relasi biner pada S sedemikian rupa sehingga (a,b) ada di dalam R jika pol antara a dan b diadakan dan a terpilih sebagai calon yang lebih favorit. Relasi biner pada suatu himpunan dapat disajikan dalam bentuk tabel atau grafik. Misalkan relasi biner pada Gambar 1.1.a dan Gambar 1.1.b mempresentasikan hasil-hasil pol yang diadakan. Kita lihat bahwa calon a lebih favorit daripada calon e sebab pasangan terurut (a, b), (b, d), (d, e) ada di dalam R.
79
Embed
BAB I PENGENALAN TENTANG APLIKASI MATEMATIKA …mufidnilmada.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/9733/Graph... · Contoh : Gambar 1.5 Jaringan Lalu Lintas Gambar 1.6 Model Graf
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAB I
PENGENALAN TENTANG APLIKASI MATEMATIKA DISKRET
I.1. Pendahuluan
Banyak masalah kehidupan sehari-hari yang dapat diabstraksi sebagai
masalah yang berkaitan dengan himpunan benda-benda diskret dan relasi biner
pada benda-benda tersebut. Sebagai contoh, marilah kita perhatikan serangkaian
pol pendapat umum yang dilakukan untuk menentukan kepopuleran para calon
presiden. Dalam setiap pol yang diadakan, ingin diketahui pendapat para pemilih
tentang dua di antara para calon, dan lalu ditentukan siapa favoritnya. Hasil pol-
pol tersebut ditafsirkan sebagai berikut :
Calon a dianggap lebih favorit daripada calon b jika salah satu di antara tiga
kondisi berikut dipenuhi :
1. Calon a lebih favorit daripada calon b di dalam pol yang diadakan antara
keduanya.
2. Calon a lebih favorit daripada calon c di dalam sebuah pol, sedangkan
calon c lebih favorit daripada calon b di dalam pol yang lain.
3. Calon a lebih favorit daripada calon c, dan calon c lebih favorit daripada
calon d, dan calon d lebih favorit daripada calon b di dalam tiga pol
terpisah yang diadakan, dan begitu seterusnya.
Untuk dua calon tertentu, misalnya kita ingin tahu apakah salah satu lebih kuat
daripada yang lain atau tidak. Misalkan S = {a, b, c, ...} himpunan para calon
presiden dan R sebuah relasi biner pada S sedemikian rupa sehingga (a,b) ada di
dalam R jika pol antara a dan b diadakan dan a terpilih sebagai calon yang lebih
favorit.
Relasi biner pada suatu himpunan dapat disajikan dalam bentuk tabel atau
grafik. Misalkan relasi biner pada Gambar 1.1.a dan Gambar 1.1.b
mempresentasikan hasil-hasil pol yang diadakan. Kita lihat bahwa calon a lebih
favorit daripada calon e sebab pasangan terurut (a, b), (b, d), (d, e) ada di dalam R.
2
a
a b c d e
a ü
b ü b e
c ü ü
d ü ü
e
c d
(a) (b)
Gambar 1.1 Hasil pol yang diadakan
Sebagai ilustrasi lain, misalkan sejumlah kota dihubungkan oleh jalan-
jalan raya. Bila diberikan peta jalan-jalan raya tersebut, kita mungkin ingin
mengetahui apakah ada rute jalan raya antara kedua kota pada peta tersebut.
Dalam berbagai masalah yang berkaitan dengan benda-benda diskret dan relasi
biner, representasi grafik seringkali merupakan bentuk penyajian yang
memudahkan. Hal ini menuntun kita pada pembelajaran tentang teori graf, suatu
pembelajaran tentang aplikasi dari Matematika Diskret.
I.2. Penerapan Graf Dalam Persoalan Matematika Diskret
Graf dapat didefinisikan sebagai kumpulan simpul-simpul yang
dihubungkan dengan garis. Simpul biasa dinyatakan dengan istilah verteks dan
garis biasa dinyatakan dengan istilah edges atau busur.
Contoh :
1.1 Struktur kimia adalah kumpulan atom-atom yang terikat menurut aturan
ikatan kimia tertentu.
Sebagai contoh, CH4 (Metana) merupakan ikatan kimia yang terdiri dari 1
atom C dan 4 atom H, sehingga terbentuk ikatan seperti di bawah ini. H H C H H CH4 (Metana) Model Graf
Gambar 1.2
3
Dari ikatan yang ada pada Gambar 1.2, dapat diubah ke dalam model graf
seperti gambar di sampingnya.
1.2 Jaringan komunikasi adalah kumpulan beberapa pusat atau stasiun yang
dapat berkomunikasi secara langsung.
Subscriber Group Switching Centre Local exchange
Gambar 1.3 Jaringan Telepon
Switching Center Model Graf
Gambar 1.4 Jaringan Switching
1.3 Jaringan lalu lintas adalah kumpulan jalan yang saling berhubungan. Jika
digambar dalam bentuk graf, simpul melambangkan persimpangan dan
busur melambangkan arah lalu lintas.
4
Contoh :
Gambar 1.5 Jaringan Lalu Lintas
Gambar 1.6 Model Graf Jaringan Lalu Lintas
1.4 Sebuah papan sirkuit adalah kumpulan komponen yang dihubungkan
dengan sebuah lintasan konduktor. Jika digambar dalam bentuk graf,
simpul melambangkan simpangan dan busur melambangkan terminal dari
komponen. Model alternatif lainnya adalah simpul melambangkan
komponen dan busur melambangkan lintasan konduktor antara terminal-
terminal dalam komponen.
Gambar 1.7 Sirkuit dan Model Grafnya
5
Contoh-contoh di atas merupakan beberapa contoh tentang aplikasi graf
dalam sistem model yang nyata. Dalam setiap persoalan, graf memberikan sebuah
sruktur model tentang sistem yang kita pelajari, menjelaskan interaksi dan
hubungan antara berbagai komponen dalam sistem. Sedangkan dalam berbagai
persoalan, masalah yang sering muncul dalam pelaksanaannya adalah
mendapatkan sebuah penyusunan yang memenuhi semua permintaan, dan
optimal menurut beberapa kriteria seperti harga, pengeluaran atau penampilan.
Masalah dasar yang sering muncul pada Matematika Diskret yaitu :
1. Masalah eksistensi
Apakah sedikitnya ada satu penyusunan dalam tipe khusus ?
2. Masalah perhitungan
Berapa banyak penyusunan dari tipe khusus yang ada ?
3. Masalah optimisasi
Diperoleh dengan memilih bentuk dari semua penyusunan yang mungkin
untuk tipe yang pasti dan terbaik menurut beberapa kriteria.
Kita dapat mengilustrasikan masalah-masalah ini ke dalam contoh berikut :
Contoh 1.5 :
Masalah Alokasi :
Pada permasalahan pengalokasian frekuensi pengangkutan ke stasiun
pengirim, dimisalkan ada m saluran (frekuensi) yang mungkin digunakan oleh n
stasiun pengirim. Stasiun yang dialokasikan dekat dengan stasiun yang lain dan
tidak dapat menggunakan saluran yang sama tanpa menyebabkan percampuran.
Jadi, diberikan dua stasiun yang dapat atau tidak dapat dinyatakan bahwa kedua
stasiun itu menggunakan saluran yang sama. Sejumlah persoalan terjadi.
Masalah Eksistensi :
Apakah mungkin untuk mengalokasikan sebuah saluran pada setiap gardu
di mana untuk dua stasiun yang berbeda saluran harus mempunyai saluran yang
berbeda? Jika ya, bagaimana cara mendapatkan alokasi tersebut ?
Masalah Perhitungan :
Berapa banyak alokasi yang sesuai ?
6
Masalah Optimasi :
Berapa jumlah saluran minimum yang memenuhi kondisi alokasi ?
Bagaimana kita dapat memodelkan situasi ini ? Sebuah model graf dapat
dikembangkan sebagai berikut. Setiap stasiun dihubungkan oleh simpul dan 2
simpul dihubungkan oleh 1 busur jika dan hanya jika stasiun yang berhubungan
tidak menggunakan saluran yang sama.
Sebagai contoh, dimisalkan ada 5 stasiun dan informasi yang ada
dinyatakan dalam hubungan matriks berikut.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
- 1 0 0 1
1 - 1 1 0
0 1 - 1 1
0 1 1 - 1
1 0 1 1 - Tabel 1.1
1 menunjukkan adanya hubungan (Gardu tidak bisa diberikan pada channel yang
sama) dan
0 menunjukkan tidak ada hubungan.
Dari informasi yang ada, dapat dibuat model graf seperti di bawah ini.
1 5 2 4 3
Gambar 1.8
Penggambaran matriks konflik yang ada ke dalam bentuk graf tentu saja
tidak menyelesaikan masalah. Tetapi, aspek visual dari model graf tersebut
7
memberikan beberapa pandangan. Sebagai contoh, pembuatan segitiga ke dalam
bentuk graf, menunjukkan bahwa kita membutuhkan sedikitnya tiga saluran yang
berbeda. Dapatkah kita membuat alokasi, jika kita hanya mempunyai tiga saluran?
Bagaimana kita menyelesaikan masalah eksistensi jika kita hanya punya m
saluran? Sebuah alokasi mungkin terjadi hanya jika kita dapat mempartisi simpul
dalam graf menjadi m himpunan di mana tidak ada dua simpul dalam himpunan
yang sama terhubung oleh sebuah busur. Hal inilah yang membawa kita ke konsep
pewarnaan.
Sebuah graf dikatakan Graf k-colourable jika simpul-simpul dalam graf
dapat diwarnai dengan syarat 2 simpul yang adjacent (berdampingan) diwarnai
berbeda. Sebagai contoh Graf Gi, i = 1, 2, 3, 4, ... yang disajikan ke dalam Gambar
1.8 mempunyai i-pewarnaan.
G1 G2 G3 G4 Gambar 1.9
Sebuah Combinatorial Design merupakan cara memilih himpunan bagian
dari suatu himpunan berhingga jika dan hanya jika beberapa kondisi khusus
terpenuhi. Kondisi khusus ini disebut dengan mengeliminasi bias.
Contoh 1.6 :
Sebuah percobaan yang dilakukan untuk menguji efek samping dari 5 jenis obat
terhadap 5 subyek.
Dimisalkan obat-obat yang ada diberi label 1,2,3,4,5 dan subyeknya diberi nama
A,B,C,D,E.
Kemungkinan 1 : A B C D E
1 2 3 4 5
(Subyek A diberi obat berlabel 1, subyek B diberi obat berlabel 2, dan
seterusnya.)
Apa yang salah dengan kemungkinan 1 ?
8
Beberapa subyek mungkin alergi terhadap obat tertentu sehingga hasilnya akan
bias.
Kemungkinan 2 : Memberi setiap subyek setiap jenis obat, 5 hari berturut-turut.
HARI Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 C 1 2 3 4 5 D 1 2 3 4 5
S U B Y E K E 1 2 3 4 5
Tabel 1.2
Apakah solusi ini benar ? Hasilnya dapat mengakibatkan bias, karena :
(i) Hari-hari tertentu, obat diberikan (Tiap hari sama obat)
(ii) Efek dari obat pertama dapat mempengaruhi efek obat terakhir
Bagaimana cara menghilangkan bias ?
Untuk menghilangkan bias, tidak ada 2 subyek yang mendapatkan jenis
obat yang sama pada hari yang sama. Jadi muncul tepat 1 kali pada setiap baris
dan kolom.
HARI Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
A 1 2 3 4 5 B 2 3 4 5 1 C 3 4 5 1 2 D 4 5 1 2 3
S U B Y E K E 5 1 2 3 4
Tabel 1.3
Inilah solusi yang terbaik. Sejumlah persoalan akan timbul, seperti :
1. Apakah solusinya tunggal ?
2. Apa yang terjadi, jika kita hanya punya 4 subyek ?
Bentuk matriks yang diberikan di atas dapat disebut dengan istilah Latin
Square. Latin square didefinisikan sebagai suatu bentuk matriks di mana antara
satu baris dan satu kolom tidak ada yang sel yang sama.
9
LATIHAN SOAL
1. Gambarkan sebuah graf yang mewakili setiap komponen kimia berikut !
(a) H H H H H C C C C H H H H H C4H10 (Butana) (b) H H C H H H H C C C H H H H
C4H10 (Iso-butane)
Susunan di atas mempunyai komposisi yang sama tetapi berbeda bentuk.
Dapatkah kamu menjelaskan mengapa hal ini dapat terjadi ?
2. Untuk masing-masing graf di bawah ini, tentukan minimum warna yang
dibutuhkan untuk mewarnai simpul-simpul dibawah ini sehingga simpul yang
berdampingan dapat diwarnai berbeda.
(a) (b) (c)
10
3. Tentukan Latin Square dengan order :
(a) 2
(b) 3
(c) 4
4. Dua Latin Square A = (aij) dan B = (bij) dari n order yang sama dikatakan
ortogonal jika n2 order yang berpasangan (aij, bij) semuanya berbeda. Tentukan
sepasang Latin Square ortogonal order 3 !
11
BAB II
GRAF DAN JARINGAN
Pada bab terdahulu diberikan beberapa contoh tentang graf. Dalam bab ini,
kita akan melihat beberapa permasalahan khusus dalam rancangan jaringan.
Masyarakat modern didominasi oleh sistem jaringan untuk informasi
penyaluran, transportasi rakyat, dan penyaluran barang-barang serta energi.
Jaringan telekomunikasi dan jaringan komputer adalah contoh umumnya. Secara
luas dikatakan, sebuah jaringan adalah sebuah sistem yang melibatkan aliran atau
perpindahan komoditas. Komoditas yang dimaksud dapat berupa benda yang
dapat disentuh, seperti komponen elektronik, mobil-mobil, kaleng bir, gas alam
atau benda yang tidak dapat disentuh seperti informasi, persahabatan dan
hubungan kekeluargaan. Jaringan-jaringan ini dapat dimodelkan ke dalam
kesatuan matematika yang disebut graf.
Seperti yang telah dijelaskan dalam pendahuluan, sebuah graf dapat
disebut sebagai kumpulan titik yang disebut simpul dan dihubungkan oleh garis
yang disebut busur. Graf dapat digunakan sebagai cara yang sangat sederhana
untuk memodelkan banyak jaringan. Sebagai contoh, sebuah jaringan komunikasi
dapat dimodelkan ke dalam bentuk graf, dengan simpul menyatakan pusat
komunikasi (contohnya, saluran telepon) dan busur menyatakan jaringan
komunikasi (contohnya, saluran telegraf). Dalam memodelkan sebuah jaringan
dengan graf, simpul dalam graf umumnya dinyatakan dalam bentuk titik yang
menyatakan asal aliran serta tempat berakhir (contohnya, stasiun kereta api,
terminal, pabrik, gudang, dan lain-lain). Busur dalam graf secara umum
menyatakan saluran di mana komoditas berakhir (contohnya, trayek kereta api,
rute penerbangan, aliran pipa, dan lain-lain).
Sebuah graf memberikan model struktural dari jaringan. Dalam
kebanyakan jaringan, metode konstruksi biasanya dinyatakan oleh harga, efisiensi,
kehandalan dan kapasitas.
12
II.1. Graf
Graf adalah kumpulan simpul atau verteks yang dihubungkan dengan garis
atau busur.
Definisi 2.1
Graf adalah himpunan busur dan simpul yang banyaknya berhingga dan busur-
busurnya menghubungkan sebagian atau keseluruhan pasangan dari simpul-
simpulnya. (C.L. Liu)
Graf G(V, E) terdiri atas himpunan simpul yang dinyatakan
dengan V = {v1,v2, v3, ..., vn} dan himpunan busur yang dinyatakan dengan E =
{e1, e2, e3, ..., en} dengan ei = (vi, vj) merupakan busur yang menghubungkan
simpul vi dan simpul vj.
Dalam menggambarkan graf, simpul digambarkan dengan lingkaran kecil
atau titik tebal dan busur digambarkan dengan garis, dan arah panah pada garis
melambangkan arah dari garis tersebut. Nomor atau nama simpul dapat diletakkan
di dalam lingkaran kecil atau di tepi titik tebal.
Busur (i,j) disebut busur berarah jika terdapat suatu aliran dari simpul i
menuju ke simpul j. Dalam hal ini simpul i disebut simpul awal, sumber atau
pangkal dan simpul j disebut simpul akhir, ujung, tujuan, atau terminal dari busur
(i, j). Jika tidak terdapat aliran dari simpul i ke simpul j, maka busur (i, j) disebut
busur tidak berarah.
i j i j i j a. busur tak berarah b. busur berarah c. busur dua arah
Gambar 2.1 Penulisan simpul dan busur dari graf G (V, E) yang digunakan seperti
Gambar 2.1. Jika simpul s telah diberi nomor i maka cukup ditulis i, dan jika
simpul s telah diberi nomor j, maka cukup ditulis simpul j. Demikian juga busur
yang menghubungkan simpul i dan j cukup ditulis busur (i,j).
II.2. Jaringan
Suatu jaringan G (V, E, W) terdiri atas himpunan simpul yang dinyatakan
dengan V = {v1,v2, v3, ..., vn} dan himpunan busur yang menghubungkan simpul-
13
simpul ∈ V dinyatakan dengan E = {e1, e2, e3, ..., en} = {(vi, vj) : vi V∈ } dan
setiap busur pada jaringan diberikan bobot (W).
Dengan kata lain, jaringan merupakan suatu graf yang memiliki bobot
pada setiap busurnya. Oleh karena itu, pada umumnya graf dinotasikan dengan G
(V, E) dan jaringan dinotasikan dengan G(V, E, W).
Jaringan komunikasi jika dibuat dalam bentuk graf, maka simpul
melambangkan pusat komunikasi dan busur melambangkan link komunikasi.
Contoh :
Perusahaan memproduksi l tanaman, P1, P2, ..., Pl yang dibutuhkan m outlets
atau pasar M1, M2, ..., Mm. Komoditas khusus disimpan pada n gudang, W1,
W2, ..., Wn. Dalam graf, busur melambangkan hubungan transportasi dan
simpul melambangkan produksi tanaman, gudang dan pasar.
Pada tiap busur, akan ditentukan jumlah maksimum komoditas yang dapat
ditransport sepanjang hubungan dan harga transport 1 unit.
Pada simpul mewakili:
Tanaman Pi, i = 1, 2, ..., l . Kita dapat menentukan bobot sebagai rata-rata
produksi tanaman dan harga produksi per unit untuk Pi.
Gudang Wj, j = 1, 2, ..., n. Kita dapat menentukan bobot sebagai
kemampuan penyimpanan pada gudang Wj dan harga penyimpanan satu
unit per waktu.
Pasar Mk, k = 1, 2, ..., m, kita dapat menentukan bobot sebagai permintaan
per waktu, dan harga penjualan komoditas.
Pembahasan selanjutnya tentang seberapa jauh penggunaan graf sebagai
model struktural. Sekarang, kita akan membahas beberapa persoalan khusus
yang muncul.
Persoalan Penghubung
Sebuah jaringan komunikasi (contohnya, jaringan telepon) yang
menghubungkan n pusat atau kota T1, T2, ..., Tn harus diinstall. Masing-masing
pusat mampu untuk menerima dan menyalurkan informasi. Jadi dua pusat
dapat berkomunikasi secara langsung maupun tidak langsung. Diberikan
contoh n×n matriks C = [cij] di mana cij menyatakan harga penginstallan
14
jaringan komunikasi (contohnya, jaringan telepon) antara pusat Ti dan Tj,
disusun menjadi sebuah jaringan untuk mencapai dua tujuan berikut :
(i) sedikitnya dua pusat yang dapat berkomunikasi, dan
(ii) jumlah biaya instalasi adalah minimum.
Berdasarkan Persoalan Penghubung di atas, jika n = 6, dan matriks biayanya
Jaringan yang ada dapat digambarkan sebagai berikut : C2 60 C4 40 20 80 C1 20 20 C6 80 20 50 100 C3 C5 Gambar 2.4 Perkembangan teori graf diawali dari teka-teki (puzzle). Salah satu teka-
tekinya adalah masalah jembatan Konigsberg. Solusi dari teka-teki ini mengilhami
beberapa konsep dasar dalam teori graf.
17
Sebuah rencana kota tua Konigsberg (sekarang Kaliningrad) di Prussia
Timur dan sungai Pregel (sekarang Pregolya) dengan tujuh jembatan perentang
ditunjukkan pada Gambar 2.5. Hal ini menunjukkan bahwa masyarakat
Konigsberg dapat menghibur diri mereka dengan mengelilingi kota dan
menyeberangi tujuh jembatan tepat satu kali. Pada tahun 1736 Leonhard Euler,
seorang matematikawan dari Swiss, dalam artikel perdananya mengembangkan
sebuah metode untuk menyelesaikan persoalan umum ini.
Gambar 2.5
Metode Euler menjelaskan bahwa setiap daratan dinyatakan dengan
simpul dan setiap jembatan dinyatakan dengan busur yang menghubungkan
simpul-simpul. Berdasarkan informasi tersebut, dapat dibuat graf seperti di bawah
ini :
C A B D
Gambar 2.6
Hal inilah yang membuat hasil kerja Euler memberikan konsep penting
dalam “graf Eulerian” yang muncul dalam kehidupan modern sekarang. Aplikasi
hal ini dalam teori graf seperti pengiriman surat, pengeplotan mesin dan masih
banyak lagi. Aplikasi ini akan dibahas dalam Bab 6.
A
C
D
B
18
LATIHAN SOAL
1. Sebuah perusahaan minuman mempunyai 3 jenis minuman B1, B2, dan B3.
Masing-masing minuman mempunyai kapasitas produksi 5000 karton per
bulan. Perusahaan mempunyai outlet di Louisville (M1), Plains (M2), Pittsburg
(M3) dan St. Louis (M4) yang membutuhkan 1.500, 3.500, 2.000, dan 2.500
karton per bulan. Biaya pengiriman per 100 karton minuman Bi, i = 1, 2, 3, ke
outlet-outlet Mj, j = 1, 2, 3, 4 diberikan dalam matriks di bawah ini :
M1 M2 M3 M4
2520351217182582015305
3
2
1
BBB
a. Gambarkan graf berbobot untuk menunjukkan situasi di atas !
b. Permasalahan optimasi apa yang akan muncul ?
2. Seorang penjual koran bertanggung jawab dalam mengirimkan koran-koran ke
rumah-rumah yang ditunjukkan dalam map ini pada sore hari. Karena
kemacetan lalu lintas, dia tidak dapat menyeberang jalan kembali dan tidak
dapat mengirimkan koran ke rumah-rumah di seberang jalan. Jadi ia harus
berjalan sebanyak dua kali. Apakah mungkin bagi penjual koran untuk
menentukan rute terpendek agar ia dapat berjalan di jalan itu tepat hanya satu
kali ?
19
3. Air dikirimkan dari sumber penampungan utama D ke sebuah penampungan
cabang lainnya, R, melalui sebuah saluran pipa yang terdiri atas 5 stasiun
pemompa P1, P2, ..., P5. Rata-rata air yang dialirkan antara berbagai stasiun per
hari dalam jutaan liter disajikan dalam tabel di bawah ini.
D P1 P2 P3 P4 P5 R
0000000250000000200000000015000000
18016000000002000100000001702002300
5
4
3
2
1
RPPPPPD
Permasalahannya adalah untuk memaksimumkan aliran air per hari dari
sumber penampungan utama ke penampungan cabang lainnya.
(a) Gambarkan jaringannya !
(b) Dimisalkan sebuah penampungan R` ditambahkan ke dalam jaringan.
Stasiun pemompa P3, P4 dan P5 dihubungkan ke R` dengan saluran
pipa yang mempunyai kapasitas 50, 75, dan 100 juta liter per hari.
Bagaimana perubahan yang terjadi pada jaringan? Permasalahan
optimasi apa yang muncul ?
(c) Dimisalkan pompa P4 mempunyai kapasitas maksimum 280 juta liter
per hari dan kapasitas pipa tidak berubah. Bagaimana jaringan dalam
soal (a) akan berubah ?
4. Perpustakaan universitas dikelompokkan ke dalam empat fasilitas, dengan
nama Catalog (C), Photocopy (P), Jurnal (J) dan Buku baru (B). Sebuah
investigasi menjelaskan permintaan harian, dan jumlah peredaran setiap
pasangan fasilitas : E C P J B
−−
−−
−
261942322664125801964774421257720032804200
BJPCE
20
E menyatakan jalan masuk. Diputuskan untuk mengatur fasilitas-fasilitas ke
dalam bentuk jalan, dengan tujuan memaksimumkan jumlah nilai pasangan
fasilitas yang berdampingan. Gambarkan model graf untuk persoalan ini !
5. Sebuah universitas mensponsori seminar setengah hari tentang Optimasi
Kombinatorial. Ada tujuh pembicara, masing-masing dari mereka berbicara
selama 1 jam. Seminar ini memerlukan waktu lebih dari 4 jam dan oleh karena
itu beberapa pembicara harus menjadwalkan waktunya pada jam yang sama.
Matriks berikut memberikan hubungan antara para pembicara dalam seminar.
“1” menunjukkan pembicara tidak dapat menjadwalkan pada waktu yang sama
dan “-“ menunjukkan tidak ada hubungan.
1 2 3 4 5 6 7
−−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−
111111
11111111
11111
111
7654321
a. Gambarkan matriks di atas ke dalam bentuk graf !
b. Dapatkan seminar diatur dalam waktu yang spesifik ?
21
BAB III
KONSEP DASAR TEORI GRAF
Pada bab ini akan diperkenalkan konsep-konsep dasar dari teori graf. Graf
biasa dilambangkan dengan G, verteks atau simpul dilambangkan dengan V dan
busur atau garis dilambangkan dengan E.
Sebuah graf G terdiri dari himpunan V(G) dari simpul, himpunan E(G) dari busur
dan suatu relasi insidensi yang menghubungkan setiap busur.
Jika e adalah sebuah busur dari G dengan ujung u dan v maka e dikatakan
menghubungkan u dan v.
Definisi 3.1
Sebuah busur dikatakan berinsidensi (insident), jika simpul tersebut terdapat busur
yang menghubungkannya dengan simpul yang lain.
Sebuah busur yang memiliki ujung yang sama dikatakan loop. Misalkan
busur berarah (a) berinsidensi dari simpul a dan berinsidensi ke simpul a, maka
dikatakan loop. Dengan kata lain loop merupakan sebuah busur yang berinsidensi
dari dan ke simpul yang sama. Pada Gambar 3.1 diberikan sebuah contoh graf G
dengan V(G) = {v1, v2, ..., v5} dan E(G) = {e1, e2, ..., e8}. Busur e8 merupakan
loop. Gambar lain dari Graf G digambarkan pada Gambar 3.2 :
v2 e1 e5 e7 v1 e3 e4 e8 v4 v5 e2 e6 v3
Gambar 3.1
v2 e1 e5 e4 e3 v1 e8 v5 e7 v4 e2 e6 v3
Gambar 3.2
22
Definisi 3.2
Dua simpul dikatakan berdampingan (adjacent), jika kedua simpul tersebut
dihubungkan oleh sebuah busur.
Pada busur berarah (a,b), simpul a dikatakan berdampingan (adjacent) ke simpul
b, dan simpul b dikatakan berdampingan (adjacent) dari simpul a.
Definisi 3.3
Sebuah simpul dikatakan simpul terasing atau terisolasi jika tidak terdapat busur
yang berinsidensi dengannya.
Sebuah busur dari suatu graf dikatakan insidensi jika busur tersebut
memiliki satu simpul persekutuan. Dua simpul dikatakan berdampingan jika
simpul-simpul tersebut berada pada ujung garis yang sama. Sebuah simpul
dikatakan terasing jika tidak ada busur yang menghubungkannya dengan simpul
yang lain.
e3 e1 v1 v2
e4 e2 v5 v6 e6
v3 v4 e5
Gambar 3.3. Graf dengan 6 simpul dan 6 busur
Perhatikan Gambar 3.3 di atas :
v6 merupakan simpul terasing, karena tidak ada busur yang
menghubungkan simpul v6 dengan simpul lainnya.
Busur e1 merupakan loop, karena menghubungkan v2 dengan dirinya
sendiri.
Busur e2, e5 dan e6 insidensi pada v4.
v1 dan v2 berdampingan, karena berada pada satu garis yaitu e3.
Secara umum, bentuk graf tidak unique atau tunggal.
Definisi 3.4
Suatu graf dikatakan multiple edges jika terdapat lebih dari 1 busur yang
menghubungkan pasangan titik yang sama.
23
Pada Gambar 3.2 didapatkan bahwa busur e3 dan e4 multiple edges. Simpul v2 dan
v3 sama-sama dihubungkan e3 dan e4.
Definisi 3.5
Suatu graf dikatakan simpel atau sederhana jika tidak memiliki loop dan multiple
edges.
Contoh 3.1 : v1 v2
v3 v4
Gambar 3.4 Graf Simpel
Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 merupakan graf tidak simpel
Definisi 3.6
Suatu graf dikatakan graf complete atau graf lengkap jika graf tersebut simpel dan
setiap pasangan simpul yang berbeda dihubungkan oleh satu busur.
Graf complete yang mempunyai n titik dinotasikan Kn.
Kn punya
2n
= )1(21
−nn busur.
Bukti :
)1(21
)!2(!2)!2()!1(
)!2(!2!
2 −=−
−−=
−= nn
nnnn
nnCn
Definisi 3.7
Graf yang memiliki himpunan simpul yang dapat dipartisi menjadi 2 himpunan X
dan Y, di mana ujung satunya di X dan ujung yang lain di Y, dinamakan graf
Bipartite.
Definisi 3.8
Graf Bipartite Complete adalah graf Bipartite dengan bipartisi (X,Y) di mana
setiap simpul X dihubungkan dengan setiap simpul Y. Graf Bipartite Complete
dinotasikan dengan Km,n , di mana X = m dan =Y n.
24
Contoh 3.2 :
K1,3 K2,3 K3,3
Gambar 3.5
Catatan :
Graf Bipartite tidak mungkin punya loop, tidak harus simpel tetapi punya multiple
edges.
Sebuah graf G adalah k-colourable jika simpul-simpulnya dapat diwarnai,
tidak lebih dari k-warna, di mana tidak ada dua simpul yang berdampingan
diwarnai yang sama. Jika graf G 2-colourable, maka graf ini memiliki bipartisi
(X,Y) dengan simpul dari X diberi 1 warna dan simpul di Y diberi warna lainnya.
Kesimpulannya, jika G merupakan graf Bipartite maka G merupakan 2-
colourable. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa graf G bipartite jika
dan hanya jika 2-colourable.Jika G merupakan graf Bipartite akan mempunyai 2
warna atau yang lebih dikenal dengan istilah 2-colourable.
Contoh 3.3 :
Mana dari graf di bawah ini yang merupakan graf Bipartite ?
2. Sebuah paket berisi barang-barang asli di Los Angeles dapat dikirimkan ke
Boston melalui beberapa rute berbeda, yang ditunjukkan di bawah ini. Bobot
tiap busur menyatakan biaya transportasi atau pengiriman paket antar kota
yang berhubungan. Gunakan algoritma Djikstra untuk menemukan rute
terpendek yang dapat meminimumkan biaya dari Los Angeles ke Boston!
H
A 58 130 F 25 48 40 I B 85 29 58 66 63 D 27 53 43 75 29 G C 28 85 E A = Portland F = Chicago B = Salt Lake City G = Memphis C = Los Angeles H = Boston D = Kansas City I = Washington E = Dallas
3. Sebuah perusahaan perbankan dengan kantor pusat di New York (NY)
mempunyai beberapa cabang utama di London (L), Paris (P), Zurich (Z),
Roma (R), Berlin (B), Montreal (M), dan Vienna (V). Setiap hari informasi
penting (meliputi rata-rata pertukaran mata uang, dan lainnya) harus
56
diinformasikan dari kantor pusat ke kantor cabang. Biaya pengiriman pesan
melalui teleks antara dua kantor cabang, diberikan pada matriks di bawah ini.
Tentukan rute komunikasi termurah antara kantor pusat dengan setiap kantor
cabang lainnya !
4. Pelayaran dengan tujuan untuk mengirimkan barang-barang bekas melakukan
perjalanan dari Coquitlam ke Saskatoon. Rute-rute yang mungkin ditunjukkan
di bawah ini. Bobot untuk tiap busur menyatakan biaya pengiriman barang-
barang bekas antara kota yang berhubungan. Gunakan algoritma Djikstra
untuk menentukan rute terpendek yang dapat meminimumkan total biaya
transportasi !
H E 20 43 42 18 K 62 F I 56 B 42 26 48 32 22 5 40 39 41 31 24 C J 5 52 61 16 L A 20 D G A = Coquitlan G = Cranbrook B = Kamlocpe H = Bdmonton C = Kelama I = Calgary D = Penticton J = Swift Current E = Jasper K = Saskatoon F = Golden L = Regina
57
5. Berdasarkan jaringan di bawah ini, bobot busur menyatakan kemungkinan
yang diberikan oleh fungsi busur.
90 2 4 80 1 70 90 80 80 3 5 75
Tentukan rute yang handal atau efektif dalam jaringan tersebut !
58
KONSEP LEBIH JAUH DALAM TEORI GRAF
Dalam Bab 3, kita mempelajari beberapa konsep dasar dalam teori graf, di
mana sebagian besar telah dipelajari dalam Matematika Diskret. Dalam bab ini,
kita memperkenalkan beberapa konsep dan ide lebih jauh dalam teori graf. Tujuan
pertama adalah mengilustrasikan beberapa metode pembuktian dalam teori graf.
Kita mulai dengan memperkenalkan beberapa notasi yang sering digunakan dalam
teori graf.
Untuk sebuah graf G :
V(G) = jumlah simpul di G
ε (G) = jumlah busur di G
d(u) = derajat simpul u di G
δ (G) = derajat paling minimum di G
∆ (G) = derajat paling maksimum di G
Derajat suatu simpul sama dengan dua kali jumlah busurnya.
∑∈
=)(
)(2)(Gvv
Gvd ε (5.1)
Sebagai akibatnya, sebuah graf simpel mempunyai jumlah genap dari simpul
berderajat ganjil.
Teorema 1.1 :
Untuk graf G, buktikan bahwa ∆≤≤vε
δ2 !
Bukti : Dari (5.1) kita memperoleh
∑∈
=)(
)(2Gvv
vdε
vδ≥ sehingga vε
δ2
≤ dan
∑∈
=)(
)(2Gvv
vdε
v∆≤ sehingga ∆≤vε2
59
Jadi terbukti bahwa ∆≤≤vε
δ2 .
Untuk kesimpulan selanjutnya dengan mudah dinyatakan bahwa himpunan
simpul yang berdampingan ke sebuah simpul u dinyatakan dengan N(u) dan yang
berjauhan dinyatakan dengan N (u). Dengan kata lain N(u) sebagai tetangga dari
u dan N (u) bukan tetangga dari u.
Teorema 5.2 :
Misal G adalah graf simpel dengan )(21 xv
≥δ menunjukkan bilangan bulat x,
maka G terhubung.
Bukti :
Misal d(u) = δ . Ambil himpunan lain N(u) dari u
≥ vuN21)(
121)( −
−≤ vvuN
)(uNw ∈ maka δ<−
−≤− 2211)( vvuN
Titik )(uN harus berhubungan dengan sedikitnya satu titik di )(uN . Jadi G
terhubung.
Teorema 5.3 :
G adalah graf dengan 2≥δ . G punya cycle.
Bukti :
P = v0, v1, v2, ..., vl lintasan terpanjang di G
v0 v1 v2 vk vl v0 ada di P. Karena 2≥δ , v0 dihubungkan ke beberapa simpul vk dengan 1<k l≤ .
Maka G punya cycle C = v0, v1, v2, ..., vk, v0.
G punya cycle yang panjangnya 1+δ
60
Teorema 5.4 :
G adalah graf dengan v≥ε . G punya cycle.
Bukti :
P(n) adalah Graf G dengan n simpul dari n≥ε punya cycle.
Langkah 1 : Jika v = 1 dan 1≥ε , g punya sedikitnya 1 loop dan memiliki cycle
yang panjangnya satu. P(1) terbukti.
Langkah 2 : (Langkah induktif)
P(n) benar dan g graf dengan simpul n+1 dan 1+≥ nε . Jika
2)( ≥Gδ , G punya cycle.
2)( <Gδ dan v simpul di G dengan 1)( ≤vd .
Maka graf G-V didapat dengan menghapus v dan semua busur insiden ke v
memiliki )()( VGVnVG −=≥−ε .
Jadi G-V punya cycle dan G punya cycle. P(n+1) benar jika P(n) benar.
BARISAN DERAJAT
Menyatakan banyaknya busur yang insiden dengan simpul.
Jika V(G) = {v1, v2, ..., vn}, barisan (d(v1), d(v2), ..., d(vn)) disebut barisan derajat
G.
Contoh 5.1 :
Perhatikan graf di bawah ini.
v3 v1 v5 v2
v4
Barisan derajat dari G :
(v1, v2, v3, v4, v5) = (1, 5, 4, 4, 4)
61
Teorema 5.5 :
Sebuah barisan (d1, d2, ..., dn) dari bilangan bulat tak negatif adalah barisan derajat
dari G jika dan hanya jika ∑=
n
iid
1 genap.
Bukti :
Kita akan membuktikan 2 kenyataan :
(i) Jika (d1, d2, ..., dn) adalah barisan derajat maka ∑=
n
iid
1= genap. (syarat
cukup)
(ii) Jika (d1, d2, ..., dn) adalah barisan dari bilangan bulat tak negatif maka
∑=
n
iid
1 genap, maka ada graf yang memiliki barisan derajat (d1, d2, ...,
dn). (syarat perlu)
Bukti :
Untuk membuktikan (ii) buat graf dengan barisan derajat (d1, d2, ..., dn)
seperti ini.
V(G) = {v1, v2, ..., vn}, karena ∑=
n
iid
1 genap, jumlah simpul di yang
ganjil adalah genap. Pasangkan di dan gabungkan setiap pasangan
dengan satu busur. Tambahkan loop sebesar 2
id pada setiap simpul i.
Jadi graf yang dihasilkan akan memiliki barisan derajat (d1, d2, ..., dn).
Contoh 5.2 :
Bentuk graf dengan barisan (4, 1, 3, 6, 5, 1) ! v1 v1 v6 v2 v6 v2
v5 v3 v5 v3
62
v4 v4 Ada 4 komponen yang tidak terhubung.
Graf dikatakan grafik jika ada graf simpel dengan barisan derajat d.
Contoh 5.3 :
Apakah barisan berikut grafik ?
1. (4, 1, 3, 6, 5, 1)
2. (6, 6, 5, 5, 4, 3, 1)
Jawaban :
1. (4, 1, 3, 6, 5, 1) berarti ada 6 simpul.
Derajat maksimum pada graf simpel dengan 6 simpul adalah 5. Jadi bukan
grafik.
Derajat maksimum = Jumlah simpul – 1
2. (6, 6, 5, 5, 4, 3, 1) berarti ada 7 simpul.
Andai G grafik, v1 dan v2 menyatakan dua simpul di G dengan derajat g.
Karena G punya 7 simpul, v1 dan v2 berdampingan maka v1 dan v2
berdampingan ke simpul di G lainnya dengan menunjukkan bahwa
2)( ≥Gδ .
Jadi G bukan grafik.
Teorema 5.6 :
Misal d = (d1, d2, ..., dn) adalah barisan tidak naik dari bilangan bulat tidak negatif,
dan menyatakan barisan
( ndd ddddd ,...,,1,...,1,1 2132 11 ++ −−− )
oleh d`. Maka d adalah grafik jika dan hanya jika d` grafik.
Bukti :
Misalkan d` adalah grafik. Maka dengan definisi, ada sebuah graf simpel G`
dengan V(G`) = {v2, v3, ..., vn} yaitu :
≤≤++≤≤−
=nijikadd
dijikadvd
i
iiG 2,
12,1)(
1
1`
Sebuah graf baru dapat digambarkan dengan menghubungkan sebuah simpul baru,
v1 ke G` dan menggabungkan v1 ke v2, v3, ..., 11+dv . Jelas G adalah simpel dan
63
mempunyai d sebagai barisan derajat. Maka d juga grafik. Misal d adalah barisan
grafik. Maka G ada dengan V(G) = {v1, v2, ..., vn} sehingga d(vi) = di untuk
ni ≤≤1 . Kita mempunyai dua kemungkinan.
Kemungkinan 1 :
v1 berdampingan dengan v2, v3, ..., 11+dv . Maka graf G-v1 mempunyai barisan
derajat d` sehingga grafik.
Kemungkinan 2 :
v1 tidak berdampingan dengan semua simpul v2, v3, ..., 11+dv . Maka harus ada
simpul vj dan vk dengan j < k sehingga v1 berdampingan ke vk tetapi tidak ke vj.
Kita dapat memisalkan dj > dk selama jika dj = dk kita dapat mengubah vj dan vk.
Jadi harus ada sebuah simpul vm misalnya, yang berdampingan ke vj tetapi tidak
ke vk. Misal G` adalah graf yang diperoleh dari G dengan menghapus busur v1vk
dan vmvj dan menambah busur v1vj dan vkvm.
v1 vj v1 vj vk vm vk vm G G΄ Jelas bahwa G` mempunyai barisan derajat d. Tetapi di G`, jumlah derajat dari
simpul yang berdampingan dengan v1 lebih luas dari pada di G. Akibatnya, jika
kita melanjutkan prosedur ini, kita mengakhiri sebuah graf dengan barisan derajat
d di mana v1 memenuhi hipotesis dari kemungkinan pertama. Jadi d adalah grafik.
Catatan :
Pembuktian-pembuktian di atas memberikan gambaran algoritma untuk
menguji apakah suatu barisan grafik atau tidak. Kita ilustrasikan dalam contoh
berikut.
Contoh 5.4 :
Tunjukkan apakah barisan ini grafik ? Jika ya, buat grafnya !
1. (4, 4, 3, 2, 1, 0)
2. (5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0)
Solusi :
64
1. (4, 4, 3, 2, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika (3, 2, 1, 0, 0) adalah grafik.
Akan tetapi (3, 2, 1, 0, 0) adalah bukan grafik. Tidak ada graf yang
menyatakan simpel.
2. (5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika
(2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 0) adalah grafik. Disusun kembali
(2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika
(1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik. Disusun kembali
(2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik.
Jadi barisan ini merupakan grafik.
Graf dari barisan di atas disajikan di bawah ini.
(1,1,1,1,1,1,1,1,0)
(2,2,2,1,1,1,1,1,1,0)
(2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,0)
(5,3,3,3,3,2,2,2,1,1,1,0)
65
Penggambaran grafik dimulai dari yang paling akhir. Bentuk grafnya tidak
tunggal.
APLIKASI TEORI GRAF DALAM KIMIA
Bentuk struktur dari susunan kimia adalah sebuah diagram yang
menyatakan ikatan antara atom-atom dalam molekul. Sebagai contoh,
H H H H C H H C C H H H H
C1H4 (Metana) C2H6 (Etana) H
O
O S O O H SO4H2 (Asam Sulfat) Jadi jelas bahwa sebuah struktur hanya bagian khusus dari graf. Bentuk modelnya
adalah :
Ikatan Kimia Model Graf ATOM SIMPUL IKATAN BUSUR
66
Dengan catatan bahwa komposisi kimia tersebut tidak cukup untuk
mengidentifikasikan substansi, selama ada substansi yang mempunyai komposisi
kimia yang sama tetapi berbeda bentuk fisiknya. Sebagai contoh,
H H H H H C C C C H H H H H
C4H10 (Butana) H H C H H H H C C C H H H H C4H10 (Iso-butana) Atom-atom di atas disusun dalam bentuk yang berbeda. Teorema berikut
menunjukkan bagaimana teori graf dapat diaplikasikan ke dalam hasil informasi
tentang susunan kimia.
Teorema 5.7 (Cayley) :
Struktur dari parafin (hidrokarbon) CnH2n+2 direpresentasikan dalam
bentuk pohon.
Bukti :
Sebuah parafin adalah molekul di mana setiap atom karbon mempunyai 4
ikatan dan setiap atom hidrogen mempunyai satu ikatan. Misal G adalah graf yang
67
menggambarkan molekul tersebut. Kemudian setiap simpul G mempunyai derajat
1 atau 4. Selanjutnya
v(G) = 3n + 2
dan
∑∈
=)(
)deg(21)(
GVvvGε
= ]224[21
++ nn
= 3n + 1 = v(G) – 1
Jadi G pasti adalah pohon.
PERMASALAHAN DOKUMENTASI KIMIA
Permasalahan dasar adalah memberi sebuah nama yang tunggal untuk
setiap struktur kimia. Seorang ahli kimia yang mengisolasi beberapa susunan dari
produk alami secara jelas ingin mengetahui :
(i) mungkin atau tidak susunan itu telah diketahui,
(ii) semua susunan yang telah diketahui yang mengandung sebuah
fragmen pasti merupakan bagian dari keseluruhan susunan
kimia tersebut.
ISOMORFIK
Dua buah graf dikatakan isomorfik (G1 ≅ G2) jika ada pemetaan satu-satu
dari simpul G1 ke G2 yang menunjukkan kedekatannya.
Contoh 5.5 :
Berdasarkan graf G1 dan G2 yang ditunjukkan di bawah ini :
u1 u2 u3 v4 v2 v1 v5 u4 u5 u6 v6 v3
68
G1 G2
21 GG ≅ selama pemetaan )()(: 21 GVGV →φ
didefinisikan oleh ii vu =)(φ , i = 1, 2, ..., 6
adalah sebuah pemetaan satu-satu yang membentuk kedekatan.
PERMASALAHAN KODING DALAM TEORI GRAF
Temukan sebuah algoritma yang baik untuk memberikan setiap graf
sebuah kode tunggal yang merupakan sebuah simbol string, dengan cara yang
sama, dua graf diberikan kode yang sama jika dan hanya jika keduanya isomorfik.
PERMASALAHAN ISOMORFISMA GRAF
Temukan sebuah algoritma yang baik untuk menentukan mungkin atau
tidak dua graf yang diberikan isomorfik.
PERMASALAHAN ISOMORFISMA SUB GRAF
Diberikan dua graf G dan H. Temukan sebuah algoritma yang baik untuk
menentukan mungkin atau tidak sub graf dari G isomorfik dengan H.
Catatan :
1. Permasalahan koding hanya permasalahan dokumentasi kimia.
2. Permasalahan isomorfisma sub graf membuat kimiawan tertarik untuk
meletakkan semua susunan yang diketahui.
3. Permasalahan isomorfisma graf tidak sesederhana dapat menjadi
pembuktian pada akhir latihan bab ini.
PENGUJIAN ISOMORFISMA
Apakah G1 ≅ G2 ?
BRUTE FORCE
1. Beri label salah satu graf, misalnya G1. Hasilnya akan terbentuk
sebuah matriks adjasensi yang tunggal untuk G1.
69
2. Untuk setiap pelabelan yang mungkin bagi G2, periksa mungkin atau
tidak menghasilkan matriks adjasensi yang sama dengan G1?
KOMPLEKSITAS
Dalam kemungkinan terburuk prosedur di atas membutuhkan k.n2.n!
operasi, di mana k adalah sebuah konstanta dan n = )(GV . Eksponensial !
PERBAIKAN KEMBALI
Simpul-simpul diklasifikasikan ke dalam kelas-kelas menurut beberapa
graf yang sejenis. Dalam simpul-simpul yang isomorfisma di G1 harus dipetakan
secara onto ke simpul-simpul yang berhubungan di G2. Hal ini memberikan
sedikit latihan permutasi.
FORMULA CAYLEY UNTUK MENGHITUNG POHON PERENTANG
Permasalahan yang ada adalah bagaimana menentukan jumlah pohon
perentang yang mungkin. Sebuah busur e dikatakan berhimpit jika dihapus dan
ujungnya diidentifikasi. Graf yang dihasilkan dinotasikan dengan G.e. Berikut