1 BAB I MATRIKS Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley (1821 – 1895). Matriks berkembang karena peranannya dalam cabang-cabang Matematika lainnya, misalnya bidang ekonomi, industri dan transportasi. Dengan menggunakan matriks , maka penyelesaian sistem persamaan linear akan lebih mudah diselesaikan. Pembahasan bab ini diawali dengan definisi matriks dan operasi dasar matriks yang sudah dikenal, namun untuk pengenalan sifat-sifat lebih lanjut penyajian matriks akan menggunakan notasi matriks untuk mempersingkat penulisan. Meskipun matriks ini bukan hal yang baru, karena sudah pernah diperoleh di SLTA, namun dengan menguasai materi dalam bab ini akan lebih mudah mengikuti pembahasan berikutnya. TIK : Setelah mempelajari materi inidiharapkan mahasiswa dapat: a. menjelaskan operasi-operasi aljabar matriks b. menentukan bentuk eselon tereduksi suatu matriks c. menghitung nilai determinan suatu matriks d. menentukan invers suatu matriks.
27
Embed
BAB I MATRIKS - faizalhabibieone.files.wordpress.com · 2 1.1. Operasi Aljabar Matriks Definisi: Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan, susunan tersebut
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAB I
MATRIKS
Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang
dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley (1821 – 1895).
Matriks berkembang karena peranannya dalam cabang-cabang Matematika
lainnya, misalnya bidang ekonomi, industri dan transportasi. Dengan
menggunakan matriks , maka penyelesaian sistem persamaan linear akan lebih
mudah diselesaikan.
Pembahasan bab ini diawali dengan definisi matriks dan operasi dasar
matriks yang sudah dikenal, namun untuk pengenalan sifat-sifat lebih lanjut
penyajian matriks akan menggunakan notasi matriks untuk mempersingkat
penulisan. Meskipun matriks ini bukan hal yang baru, karena sudah pernah
diperoleh di SLTA, namun dengan menguasai materi dalam bab ini akan lebih
mudah mengikuti pembahasan berikutnya.
TIK : Setelah mempelajari materi inidiharapkan mahasiswa dapat:
a. menjelaskan operasi-operasi aljabar matriks
b. menentukan bentuk eselon tereduksi suatu matriks
c. menghitung nilai determinan suatu matriks
d. menentukan invers suatu matriks.
2
1.1. Operasi Aljabar Matriks
Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-
bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung besar atau kurung
siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau elemen dari matriks.
Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah
A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
...............
...
...
21
22221
11211
atau A =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
...............
...
...
21
22221
11211
Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu A = ( )ija
dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan baris dan kolom
dari matriks A.
Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks
berukuran mxn dan dilambangkan dengan Amxn atau (aij)mxn, ditulis singkat
A = ( )ija . Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke -ij dari matriks A. Matriks
A = ( )ija dengan m=n dikatakan sebagai matriks persegi, elemen a11, a22, ... , ann
disebut elemen diagonal utama dari A. Jumlahan elemen diagonal utama disebut
trace dari A.
Untuk dapat menggunakan matriks perlu dikaji operasi aljabar matriks berikut.
1. Kesamaan Matriks.
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika A dan B
berukuran sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak ) adalah sama.
3
Jika disajikan dalam notasi matriks, A = ( )ija dan B = ( )ijb maka A = B jika
aij = bij , untuk setiap i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
32xA , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
131452
32xB , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5231
22xC , dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
32xD
maka BA ≠ , CA ≠ , CB ≠ , dan A = D. š
2. Penjumlahan dan pengurangan matriks.
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih, hanya dapat dilakukan
jika matriks tersebut berukuran sama. Penjumlahan atau pengurangan dua
matriks didefinisikan sebagai penjumlahan atau pengurangan elemen yang
bersesuaian.
Jika )( ijaA = dan )( ijbB = , maka )( ijij baBA +=+ dan )( ijij baBA −=− .
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
A dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
231501
B maka ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
402951
BA ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
402951
AB , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−
060153
BA , dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=−060153
AB . š
Sifat : Jika A, B, dan C matriks yang berukuran sama maka berlaku:
a. ABBA +=+ (Komutatif)
b. CBACBA ++=++ )()( (Asosiatif)
3. Pergandaan matriks dengan bilangan (skalar).
Pergandaan matriks dengan skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar
dengan setiap elemen matriks tersebut.
4
Jika )( ijaA = dan k sebarang skalar, maka )( ijkaAkkA == .
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
A , maka ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4628104
2A dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−−−
=−231452
A . š
4. Pergandaan matriks.
Pergandaan matriks A dan B, dinotasikan AB, hanya dapat dilakukan jika
banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Jika mxpijaA )(= dan pxnijbB )(= , maka AB = mxnijcC )(= , dengan kj
p
kikij bac ∑
=
=1
.
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
A dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
312134102
B maka
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−+−+−+−++−+
=6314904122125241508204
AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
451091916
.
Matriks BA tidak dapat diperoleh karena banyaknya kolom dari B adalah 3
sedangkan banyaknya baris dari A adalah 2. š
Sifat : Jika A, B, dan C matriks sehingga operasi berikut berlaku, maka :
a. ACABCBA +=+ )( Distributif kiri
CABAACB +=+ )( Distributif kanan
b. ACABCBA −=− )( Distributif kiri
CABAACB −=− )( Distributif kanan
c. CABBCA )()( = Assosiatif
5
1.2. Jenis – jenis Matriks
Beberapa matriks dengan elemen tertentu yang seringkali digunakan disajikan
berikut.
1. Matriks Nol.
Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol, dinotasikan 0.
Contoh :
Matriks ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡000000
merupakan matriks nol
Sifat : Untuk sebarang matriks A yang ukurannya bersesuaian sehingga operasi
aljabar berikut dapat dilakukan, berlaku :
a. A + 0 = 0 + A = A.
b. A – A = 0.
c. 0 – A = –A.
d. A . 0 = 0 . A = 0.
2. Matriks Transpos.
Transpos dari matriks A, dinotasikan dengan A1 atau At, adalah matriks
yang kolom pertamanya adalah baris pertama matriks A, kolom keduanya
adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya.
Jika mxnijaA )(= maka nxmjit aA )(=
Contoh :
6
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
472531
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
4321
B maka ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
457321
tA dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=4231tB . š
Sifat : Untuk sebarang matriks A berlaku :
a. (At)t = A
b. (kA)t = kAt
c. (A + B)t = At + Bt
d. (AB)t = Bt At
3. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah.
Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama bernilai 0
disebut matriks segitiga atas. Begitu pula matriks persegi yang semua
elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.
Jadi nnijaA x)(= disebut matriks segitiga atas jika 0=ija untuk i > j dan
disebut matriks segitiga bawah jika 0=ija untuk i < j.
Contoh :
Matriks A=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
33
2322
131211
000
aaaaaa
dan B= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
333231
2221
11000
aaaaa
aberturut-turut adalah
matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.
4. Matriks Diagonal.
Adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya adalah nol kecuali
elemen pada diagonal utama.
Jadi nnijaA x)(= disebut matriks diagonal jika 0=ija untuk i ∫ j .
7
Contoh : ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
500030001
, ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
000030001
5. Matriks Identitas (Matriks Satuan).
Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1
disebut matriks identitas, dinotasikan dengan In atau I.
Dalam bentuk notasi matriks , dituliskan )( ijaI = dengan aij = 1, untuk i=j
dan aij = 0, untuk i∫j, berlaku untuk i,j=1,2,...,n.
Contoh : ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
3I .
Sifat : Untuk sebarang matriks A yang berukuran nxn berlaku In A=A In =A.
6. Matriks invers
Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I. Dalam
hal ini invers matriks A dinotasikan A-1. Matriks yang mempunyai invers
disebut matriks non singular.
Contoh : Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=5321
A maka ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=1325
B adalah invers dari A sebab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=5321
AB ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
1325
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=1001
5321
1325
BA . š
Sifat : a. ( A-1 )-1 = A
b. (AB )-1 = B-1 A -1
8
7. Matriks Simetris.
Suatu matriks persegi A dikatakan simetris jika A = At.
Jika )( ijaA = maka A dikatakan simetris jika jiij aa = , untuk setiap i,j.
Contoh :
Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
502043231
A adalah simetris sedangkan matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
502143231
B tidak
simetris. Mengapa ?
Untuk sebarang matriks persegi A, matriks A+At merupakan matriks simetris.
Mengapa ?
8. Matriks Skew Simetris (Simetris Miring).
Matriks A dikatakan simetris miring jika At = –A .
Jika )( ijaA = maka A dikatakan simetris miring jika jiij aa −= , untuk setiap
i,j.
Contoh :
Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=012103
230A adalah matriks simetris miring.
9. Matriks-matriks persegi yang istimewa.
- Jika A dan B matriks-matriks persegi sedemikian sehingga AB = BA,
maka A dan B disebut commute.
- Jika AB = -BA, maka A dan B disebut Anti Commute.
- Matriks A yang memenuhi A k+1 = A (k bilangan positif), disebut periodik
9
- Jika A 2 = A, maka A disebut matriks Idempoten.
- Jika A k = 0, dengan k bilangan bulat positif terkecil maka A disebut
matriks nilpoten. Dalam hal ini bilangan k disebut indeks nilpoten.
Contoh :
a. Matriks ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2112
A dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
6446
B adalah Commute, sebab :
AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡16141416
6446
2112
dan BA = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡16141416
2112
6446
.
b. Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−=
321431422
A adalah idempoten sebab A2 = A.
c. Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
312625311
M adalah nilpoten berindeks 3, sebab M3 = 0.
1.3. Operasi Baris Elementer
Selain operasi aljabar matriks yang sudah diperkenalkan pada subbab 1.1,
ada operasi lain yang dapat dikenakan pada suatu matriks untuk mendapatkan
matriks lain. Operasi ini dinamakan operasi baris elementer karena dikenakan
pada baris-baris suatu matriks. Operasi ini banyak digunakan untuk menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear yang akan dibahas pada bab berikutnya.
Operasi baris elementer meliputi tiga bentuk, yaitu :
a. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.
10
b. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar 0≠k , dinyatakan
dengan Bi(k).
c. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada baris ke-i,
dinyatakan dengan Bij(k).
Operasi semacam ini juga dapat dilakukan pada kolom, dengan notasi B diganti
K, namun untuk pembahasan ini operasi hanya dikenakan pada baris saja.
Jika kita melakukan operasi baris elementer pada suatu matriks untuk
memperoleh matriks yang lain, matriks awal dan hasilnya dihubungkan dengan
tanda ≈ .
Contoh : Diketahui matriks A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
.
a. Jika baris ke-1 ditukar dengan baris ke-3, diperoleh
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
13B
≈ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
151312421
Jika operasi K13 dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
124213151
.
b. Jika baris ke-2 dikalikan 3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
)3(2B
≈ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421936151
Jika operasi K2(2) dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
4413221101
.
11
c. Jika baris ke-1 dikalikan -2 kemudian ditambahkan ke baris ke-2, diperoleh
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
)2(12 −
≈B
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
4211110151
Jika operasi K31(-1) dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
321112051
. š
Jika operasi baris elementer dikenakan pada matriks identitas akan
diperoleh suatu matriks yang khas. Sebuah matriks berukuran nxn disebut
matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan In
dengan melakukan satu operasi baris elementer.
Karena ada tiga macam operasi baris elementer, maka ada 3 macam matriks
elementer :
1. Eij, yaitu matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i ditukar dengan
baris ke-j.
Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001010100
13E , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100001010
12E
2. )k(Ei adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i digandakan
dengan skalar .k 0≠
Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100030001
)3(2E , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−
200010001
)2(3E .
12
3. Matriks )k(Eij adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-j
digandakan dengan skalar 0≠k kemudian ditambahkan ke baris ke-i.
Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010041
412 )(E , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=−100110
001)1(23E .
Sifat-sifat matriks elementer:
a. Jika matriks A digandakan dari kiri dengan matriks elementer E, maka EA
adalah suatu matriks baru yang diperoleh bila operasi baris elementer yang
digunakan untuk memperoleh E dari I, diterapkan pada A.
Contoh : Misal ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
457321
A ,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001010100
13E ,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100030001
)3(2E , dan
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010041
412 )(E .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
13B≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
217345
, dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001010100
.13 AE⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
217345
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
)3(2B≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
4527921
, dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100030001
).3(2 AE⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
4521921
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
)4(12B≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
45733013
, dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010041
).4(12 AE⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
.⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
45733013
. š
b. Invers dari matriks elementer juga merupakan matriks elementer.
13
Jika satu operasi baris elementer diterapkan pada I untuk menghasilkan E,
maka terdapat operasi baris elementer yang bila diterapkan pada E akan
menghasilkan I. Berbagai kemungkinan operasi seperti di atas disajikan
sebagai berikut.
Operasi baris pada I untuk menghasilkan E
Operasi baris pada E untuk menghasilkan I
Menukar baris ke-i dan baris ke-j (Bij) Menukar baris ke-j dan baris ke-i (Bji). Menggandakan baris ke -i dengan skalar 0≠k (Bi(k)).
Menggandakan baris ke -i dengan 1/k (Bi(1/k)).
Menambahkan k kali baris ke-j kepada baris ke-i (Bij(k)).
Menambahkan -k kali baris ke-j kepada baris ke-i (Bij(-k)).
Operasi pada kolom kanan merupakan invers (balikan) dari operasi pada
kolom kiri. Jika operasi pada kolom kanan dikenakan pada I maka akan mengha-
silkan matriks elementer, sebut saja E0, yang menurut sifat a berlaku
E.E0 = I dan E0.E = I
Dengan demikian E0 adalah invers dari E. Dari tabel di atas diperoleh :