1 BAB I HIMPUNAN PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai sesuatu yang mempunyai konsep himpunan. Himpunan sangat bermanfaat dalam perbagai persoalan matematika diantaranya untuk memahami sifat-sifat bilangan cacah, untuk mendefinisikan kejadian dalam teori peluang dan dalam geometri ruang. Himpunan sangat membantu untuk memahami banyak topik-topik matematika, yang menjadi lebih mudah untuk mempelajarinya dari pada menggunakan teori- teori yang lain. A. Pengertian Himpunan Suatu himpunan atau suatu kumpulan benda-benda terjadi, bila kita mengelompokkan benda benda itu menjadi himpunan atau suatu kumpulan. Misalnya himpun buku-buku di dalam suatu perpustakaan, suatu tim olah raga, siswa-siswa dalam suatu kelas dan sebagainya. Dengan mengerti himpunan seorang anak dengan mudah dapat menentukan apakah mainannya hilang dari keranjang mainannya, dan iapun dapat menentukan berapa banyak mainannya. Biasanya kita memerlukan suatu definisi dari suatu pengertian agar kita dapat memastikan apa yang hendak kita maksud. Namun pengalaman menunjukkan bahwa tidak semua pengertian dapat didefinisikan, sebab apabila didefinisikan, mungkin pengertian yang mudah dipahami menjadi sangat panjang dan mungkin juga kalimatnya menjadi berulang sehingga artinya menjadi kabur. Karena itu dipergunakan himpunan sebagai suatu pengertian yang tidak didefinisikan namun sudah diketahui maksudnya. Walaupun himpunan tidak didefinisikan namun harus diketahui dengan jelas bahwa yang dibicarakan adalah kumpulan objek-objek atau simbol-simbol yang mempunvai sifat yang dapat menunjukkan apakah objek itu menjadi anggota atau bukan anggta dari himpunan tersebut.
25
Embed
BAB I HIMPUNAN - pakbisri.files.wordpress.com · a) Himpunan bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 16. b) Himpunan bilangan genap. c) Himpunan penari wanita dari Jawa. 5.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAB I
HIMPUNAN
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai sesuatu yang mempunyai
konsep himpunan. Himpunan sangat bermanfaat dalam perbagai persoalan
matematika diantaranya untuk memahami sifat-sifat bilangan cacah, untuk
mendefinisikan kejadian dalam teori peluang dan dalam geometri ruang.
Himpunan sangat membantu untuk memahami banyak topik-topik matematika,
yang menjadi lebih mudah untuk mempelajarinya dari pada menggunakan teori-
teori yang lain.
A. Pengertian Himpunan
Suatu himpunan atau suatu kumpulan benda-benda terjadi, bila kita
mengelompokkan benda benda itu menjadi himpunan atau suatu kumpulan.
Misalnya himpun buku-buku di dalam suatu perpustakaan, suatu tim olah raga,
siswa-siswa dalam suatu kelas dan sebagainya. Dengan mengerti himpunan
seorang anak dengan mudah dapat menentukan apakah mainannya hilang dari
keranjang mainannya, dan iapun dapat menentukan berapa banyak mainannya.
Biasanya kita memerlukan suatu definisi dari suatu pengertian agar kita
dapat memastikan apa yang hendak kita maksud. Namun pengalaman
menunjukkan bahwa tidak semua pengertian dapat didefinisikan, sebab apabila
didefinisikan, mungkin pengertian yang mudah dipahami menjadi sangat panjang
dan mungkin juga kalimatnya menjadi berulang sehingga artinya menjadi kabur.
Karena itu dipergunakan himpunan sebagai suatu pengertian yang tidak
didefinisikan namun sudah diketahui maksudnya.
Walaupun himpunan tidak didefinisikan namun harus diketahui dengan
jelas bahwa yang dibicarakan adalah kumpulan objek-objek atau simbol-simbol
yang mempunvai sifat yang dapat menunjukkan apakah objek itu menjadi anggota
atau bukan anggta dari himpunan tersebut.
2
Dari pengertian himpunan yang dikemukakan tersebut dapat diartikan, bila
ditetapkan suatu obyek, maka dapat ditentukan keanggotaan obyek tersebut dalam
suatu himpunan yang rnaksud.
Untuk menyatakan suatu himpun dapat dengan cara menyebutkan semua
anggotanya. Cara ini disebut dengan tabulasi. Unsur-unsur himpunan tersebut
dinyatakan di antara dua kurung kurawal dan untuk memisahkan anggota yang
satu dengang yang lain digunakan tanda koma.
Contoh 1 : Himpunan enam bilangan cacah yang pertama ditulis {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Contoh 2 : Himpunan huruf hidup abjad latin ditulis {a, i, u, e, o}
Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf besar misalnya : A, B,
C, dan sebagainya.
Himpunan semua bilangan ganjil diberi nama misalnya A = {1, 3, 5, 7, 9,
... }. Tiga titik pada lambang ini digunakan untuk menunjukkan bahwa barisan
bilangan tersebut berarti tak terhingga, dapat dibaca dan seterusnya.
Tiga titik dipergunakan juga untuk menunjukkan himpunan yang
anggotanya terlalu banyak untuk ditulis semuanya.
Contoh 3 : Himpunan bilangan prima kurang dan 100 ditulis (2, 3, 5, 7, ... , 97).
Contoh 4 : Himpunan bilangan genap kurang dan 1000 ditulis (0, 2, 4, … , 998).
Penlu diperhatikan bahwa yang dapat ditulis dengan menggunakan tiga
titik adalah himpunan-himpunan yang anggota-anggotanya memiliki urutan
tertentu. Misalnya untuk menyatakan himpunan semua gunung berapi di
Indonesia, maka tidak dapat hanya dituliskan tiga gunung berapi di Sumatera,
kemudian tiga titik dan diakhiri dengan gunung berapi di Irian Jaya.
Cara lain untuk menyatakan suatu himunan ialah dengan menyebutkan
syarat keanggotaannya, sedangkan anggotanya dinyatakan dengan suatu variabel.
Contoh 5 : Hirnpunan semua bilangan cacah genap ditulis {x│x bilangan cacah
genap} atau {bilangan cacah genap}.
Contoh 6 : Himpunan semua bilangan asli mulai dari 10 sampai dengan 20
ditulis { x│x ≤ x ≤ 20, x bilangan asli} atau (bilangan asli 10 sampai dengan 20).
3
Suatu himpunan dimungkinkan tidak rnempunyai anggota, mempunyai
anggota terhingga atau tak terhingga. Hirnpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai anggota dilambangkan dengan { } atau ɸ.
Gontoh 7 : Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2 adalah bimpunan
kosong.
Contoh 8 : Himpunan orang yang tingginya lebih dan 1000 m, adalah himpunan
kosong.
Untuk menyatakan keanggotaan dari suatu himpunan digunakan lambang
“€”. Misalnya a € {a, b, c} artinya a anggota himpunan {a, b, c}. Lambang €
dapat dibaca elemen, anggota atau termasuk di dalam. Sebaliknya untuk
menyatakan bukan anggota dituliskan dengan lambang “¢“. Misalnya p bukan
anggota dari {a, b, c} dituliskan p ¢ {a, b, c).
Untuk penulisan x € A berarti x anggota A, sedangkan x ¢ A dapat
diartikan x bukan anggota A.
LATIHAN
Kerjakan soal-soal latihan berikut ini!
1. Berilah tiga contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
2. Buatlah kalimat sendiri yang dapat menjelaskan arti himpunan.
3. Jika A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dan 16, nyatakan pernyataan
berikut benar atau salah.
(a) 11 € A (b) {5} € A (c) 14 € A
(d) 81 € A (e) A € A (f) 16 € A
(g) {1,2,3, … ,16} € A (h) 0 € A (i) { } € A
4. Tulislah dengan rnenggunakan notasi pembentuk himpunan.
a) Himpunan bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 16.
b) Himpunan bilangan genap.
c) Himpunan penari wanita dari Jawa.
5. Sebutkan bagian buku Matematika Sekolah Dasar (jilid dan Kelas) yang
menyajikan pengajaran topik himpunan pada bab ini, dan buatlah inti isi
pelajarannya.
4
B. Diagram Venn
Untuk menggambarkan himpunan kita dapat menggunakan diagram
yang disebut dengan diagram Venn. Perkataan Venn diambil dan nama John
Venn (1834-1923) ahli logika berkebangsaan Inggris.
Suatu himpunan digambarkan dengan daerah yang dibatasi kurva
tertutup, sedangkan untuk himpunan semesta biasanya digambarkan dengan
daerah persegi panjang. Untuk menggambarkan anggota-anggota himpunan
dapat digunakan noktah-noktah. Tetapi seandainya himpunan tersebut
mempunyai anggota yang cukup banyak, anggota-anggota himpunan tersebut
tidak usah digambarkan. (Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat
semua unsur yang dibicarakan).
Contoh 1 : S = {1, 2, 3, ... , 8}
A = {1, 2, 3, 4}
Gambar diagram vennnya berikut :
Contoh 2 : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
Gambar diagram vennnya berikut :
5
Contoh 3 : S = {bilangan bulat}
A = {fbilangan cacah}
B = {bilangan prima}
Karena himpunan-himpunan ini banyak anggotanya tidak terhingga,
anggota-anggota himpunan tersebut tidak digambarkan dengan noktah
sehingga gambarnya :
Contoh 4 : S = {bunga}
A = {bunga melati}
B = {bunga mawar}
6
Gambar diagram vennnya berikut :
C. Hubungan Antar - Himpunan
1. Himpunan Bagian (subset)
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian B dilambangkan
dengan A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah
anggota B.
Contoh 1: Jika A {x,y} dan B {w,x,y,z) maka A C B, karena setiap
anggota A merupakan anggota B.
Contoh 2: Jika P = {4,7} dan Q = {4,7} maka P C Q, karena setiap
anggota P adalah anggota Q, dan juga Q C P, karena setiap
anggota Q adalah anggota P.
Contoh 3: A = Himpunan bilangan asli dan C = Himpunan bilangan
cacah, maka A C C karena setiap bilangan asli adalah bilangan
cacah.
Contoh 4: D = {12, 2
2, 3
2, 4
2} dan E = {1,4,9,16} maka D C E karena
setiap anggota D adalah anggota E dan E C D karena setiap
anggota E adalah anggota D.
Contoh 5: H = {1,3,5,7) dan I = {3,5,7,9). H bukan himpunan bagian I
karena ada anggota H yaitu 1 yang bukan anggota I.
7
2. Himpunan Bagian Murni (Proper Subset)
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian murni (proper subset) B
ditulis A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota
B dan sedikitnya ada satu anggota B yang buan anggota A.
Contoh 1 : Diberikan himpunan A = {m, n, o, p} dan B = {m, n, o, p, q},
maka A C B kaena setiap anggota A adalah anggota B dan ada
anggota B yiang bukan anggota A yaitu q.
Contoh 2 : P = {x, y, z) dan Q = {y, x, z} maka P C Q (P bukan himpunan
bagian murni Q) karena tidak ada anggota Q yang bukan anggota
P.
Contoh 3 : C = {0,2,4,6, … ) dan D = {n | n bilangan cacah genap}, C bukan
hmpunan bagian murni D karena tidak ada anggota D yang bukan
anggota C.
Contoh 4: P = himpunan segi tiga, dan Q himpunan segitiga siku-siku, maka
Q C P, karena setiap segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dan
ada segitiga yang tidak siku-siku. misalnya segtiga lancip dan
segitiga tumpul.
Untuk penulisan lambang himpunan bagian dan himpunan bagian
murni sering kali tidak dibdakan, yaitu menggunakan lambang “C” yang
diartikan sebagai himpunan bagian.
3. Himpunan Sama
Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan sama ditulis A = B, jika dan
hanya jika A C B dan B C A.
Concoh 1: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4}. Dan kedua himpunan mi
jelas terlihat A C B dan B C A, sehingga dapat disimpulkan A =
B.
Contoh 2 : {l x 1, 2 x 2, 3 x 3} sama dengan {1, 4, 9}.
Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa dua himpunan adalah sama
jika dan hanya jika mempunyai anggota yang sama.
4. Semesta Pembicaraan
8
Definisi : Semesta Pembicaraan atau himpunan Semesta adalah suatu
himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan. Pada
umumnya semesta pembicaraan dilambangkan dengan S atau U.
Contoh : Himpunan A = {1,3,5,7} Semesta pembicaraan yang mungkin
untuk himpunan A adalah himpunan bilangan ganjil, himpunan
bilangan cacah, himpunan bilangan asli dan sebagainya.
Himpunan ayam, semesta pembicaraan yang mungkin adalah
himpunan binatang, himpunan makhluk hidup dan sebagainya.
5. Himpunan yang Ekuivalen
Definisi : Jika A dan B himpunan yang terhingga (finite) maka himpunan A
dikatakan ekuivalen dengan himpunan B, bila setiap anggota A
dapat dipasangkan, (dikorespondensikan) satu-satu dengan setiap
anggota B. Atau dua himpunan yang terhingga dikatakan
ekuivalen jika kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang
sama banyak. A ekuivalen B ditulis A ~ B.
Contoh 1 : A = {a, b, c} dan B = {p, q, r}. Karena dapat dikorespondensikan
satu-satu sebagai berikut,
A = {a, b, c}
B = (p, q, r}
maka dapat dikatakan A ~ B
Contoh 2 : P = {a, i, u, e, o}, Q = {2, 4, 6, 8, 10}.
Karena,
P = {a, i, u, e, o}
Q = { 2, 4, 6, 8, 10}
maka dapat dikatakan P ~ Q
9
6. Himpuan-himpunan Terpisah (disjoint)
Definisi : Himpunan A dikatakan terpisah dengan himpunan B, jika tidak
ada anggota A yang menjadi anggota B dan tidak ada anggota B
yang menjadi anggota A.
Contoh 1 : A = {5, 6, 7} dan B = {1, 3}, maka A terpisah dengan B.
Contoh 2 : P = {tiga huruf pertama pada abjad} Q = {empat huruf terakhir
pada abjad}P terpisah dengan Q.
Untuk menunjukkan dua himpunan yang terpisah dapat dilihat pada
diagram Venn berikut :
A terpisah dengan B
LATIHAN
Kerjakan soal-soal latihan berikut ini!
1. Nyatakan pernyataan beriku benar atau salah
a) {z, r} C {x, y, z, r} b) {Santi, Dina, Mari} C {Santi}
c) {7, 2, 6,} C {2, 6, 7} d) 6 C {4, 5, 6, 7}
e) {2, 5, 6} C {7, 5, 2} f) {p, q, r) € {p, q, r, s}
2. Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, . . . ) A = {0, 2, 4, 6, . . .) C = {0, 3,6,9, . .
.) Isilah dengan tanda € atau ¢ sehinga terdapat pernyataan yang benar
a) 10 . . . A b) 5. . . B
c) 30 . . . C d) 0 . . . A
e) 172 . . . B f) 111 . . . C
10
3. Tulislah semua himpunan bagian {a, b, c}
4. Gambarlah diagram Venn untuk himpunan-himpunan berikut
a) S = {0,1,2,3,4} A = {0,1} B = {3,4}
b) S = {a,b,c,d,e} P = (a,b,c) Q = {a,b}
c) S = {bilangan cacah} C = {bilangan genap}
D = {bilangan ganjil}
d) S = {bilangan cacah} R = {bilangan kelipatan 4}
T = {bilangan kelipatan 3}
e) S = {bilangan cacah} E = {bilangan kelipatan 3}
F = {bilangan kelipatan 6}
5. Sebutkan anggota-anggota himpunan yang ditunjukkan gambar berikut :
a) Himpunan A
b) Himpunan B
c) Himpunan anggota S yang bukan anggota A atau bukan anggota B
6. Tentukanlah kompiemen himpunan berikut, jika diketahui Semesta
pembicaraan dan himpunannya.
a) S = {huruf dalam abjad latin}, A = {Vokal}
b) S = {bilangan cacah}, B = {bilangan genap}
c) S = {bilangan cacah}, C = {bilangan prima}
7. a) Apakah 2 himpunan yang sama tentu ekuivalen? Apa sebabnya? Berilah
sebuah contoh!
b) Apakah 2 himpunan yang ekuivalen tentu sama? Apa sebabnya? Berilah