Bab I Bilangan Real

OPERASI PADA BILANGAN REAL

A. Bilangan Real1. Sistem Bilangan Real Bilangan atau angka adalah alat bantu untuk meng-hitung pada kehidupan sehari – hari. Oleh karena itupengetahuan tentang bilangan harus diketahui oleh setiap orang.

• Bilangan kompleks merupakan tingkatan bilangan yang paling tinggi. Bilangan ini terdiri dari bilangan khayal (imajiner) dan bilangan nyata (real).

• Himpunan bilangan real biasanya dilambangkan dengan R. Bilangan real dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik – titik sepanjang garis bilangan, dimana bilangan-bilangan inimengukur jarak kekanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yg disebut titik awal dan di beri label 0.

• Bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dan biasanya banyak angka desimalnya tak hingga. Contoh bilangan irrasional adalah bilangan bentuk akar, , dan lain – lain.

• Himpunan bilangan rasional biasanya dilambangkan dengan huruf Q. Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.Misalnya: 6, ½, 7/9, dan sebagainya.

Contoh:

1. Ubahlah bilangan desimal berulang di bawah ini menjadi bentuk a/b.

A. 0,2 B.0,36

jawab: a. Misalnya 0,2 = 0,2222… = x 2,2222… = 10x 2+0,222… = 10x 2+x = 10x 2 = 9x x = 2/9

b.0,36= 36/99=4/1

• Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan B, terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif.

• Bilangan prima adalah bilangan yg hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan komposit adalah bilangan yg memiliki faktor lebih dari dua.

2. Operasi pada Bilangan RealOperasi penjumlahan dan pengurangan Pada Bilangan RealSifat – sifat pada operasi penjumlahan bilangan real antara lain sebagai berikut. Untuk a, b, c € R.• Komutatif : a + b = b + a• Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)• Memiliki elemen identitas penjumlahan yaitu 0,

sehingga a + 0 = 0 + a = a.• Memiliki invers penjumlahan. Invers penjumlahan dari a adalah –a, sehingga a + (-a) = -a + a = 0.

Untuk penjumlahan dan pengurangan pada bilanganpecahan berlaku:• a/c + b/c = a+b/c atau a/c – b/c = a-b/c, dengan

a,b,c,d € B dan c ≠ 0.• a/b + c/d = ad + bc/bd atau a/b – c/d = ad-bc/bd,

dengan a,b,c,d € B dan b, d ≠ 0. Atau dengan cara menyamakan penyebut dari pe-cahan – pecahan tersebut terlebih dahulu, yakni dgnmencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari pe-nyebut – penyebut tersebut.

Contoh :Hitunglah :a. 2 – 7b.12 – 10 + 3 – (-2)Jawab :a. 2 – 7 = -5b.12 – 10 + 3 – ( -2) = 7

Operasi perkalian dan pembagian pada bilangan realSifat – sifat pada operasi perkalian antara lain sebagai berikut.untuk a, b, c € R.• Komutatif : a · b = b · a• Asosiatif : (a · b) · c = a · (b · c)• Memiliki unsur identitas yaitu 1, sehingga a · 1 = 1 · a = a• Memiliki Invers perkalian

Untuk suatu a € R, a ≠ 0, a · 1/a = 1, dengan 1/a disebut invers perkalian dari a.

Pada perkalian dan pembagian bilangan real berlaku:a · (-b) = -(ab) (-a) : b = -(a/b)a : (-b) = -(a/b) (-a) · (-b) = ab(-a) · b = -(ab) (-a) : (-b) = a/b

Untuk perkalian dan pembagian pada pecahan berla-ku:a/b · c/d = ac/bd a/b : c/d = ad/bc

Contoh:1. Tentukan invers perkalian dari: a. 4 b. 3/8 c. 7/9 Jawab:a. Invers perkalian dari 4 adalah ¼.b. Invers perkalian dari 3/8 adalah 8/3.c. Invers perkalian dari 7/9 adalah 9/7.

Selain sifat – sifat di atas, ada lagi sifat yg disebut sebagai sifatdistributif perkalian terhadap penjumlahan. Untuk a, b, c € R, a(b + c) = ab + ac (a + b) c = ac + bcPerhatikan contoh berikut:1. Hitunglah: A. 2(5 + 3) B. (12 – 3)4 jawab: A. 2(5 + 3) = 2 · 5 + 2 · 3 = 10 + 6 = 16 B. (12 – 3)4 = 12 · 4 – 3 · 4 = 48 – 12 = 36

a. Pangkat bulat positif dan negatif

1. an = a x a x a x ……………x a

Sebanyak n faktor

2. dengan a ≠ 0

B.BILANGAN BERPANGKAT

Contoh : 1. 42 = 4 x 4 = 16

2.

b. Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat

dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0

dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0

dengan a ≠ 0, b ≠ 0

Contoh :

= 1000

c. Bilangan bulat berpangkat bilangan pecahan

Karena 42 = 16

Contoh :

a. Operasi perpangkatan

(1). a0 = 1, dengan a ≠ 0

(3). am x an= a m + n

(4). (am )n= a m x n

Menyelesaikan Operasi Pangkat Tak Sebenarnya

(7). (a x b)m = am x a

Contoh :

1. Sederhanakanlah masing-masing bentuk di bawah ini dan tuliskan hasilnya dalam bentuk pangkat positifa. x5 . X-1 b. (a2b3)-4 c.

Jawab : a. x5.x-1 = x5-1 = x4

b. (a2b3)-4 = (a2)-4 . (b -3)-4

= a-8 . b12

c.

Jawab :

(Mengubah bentuk dalam kurung ke dalam pangkat positif)

2. Sederhanakanlah :

3. Sederhanakanlah dan tuliskan jawabannya dalam bentuk pangkat pecahan positif :

Jawab :Jawab :

1. Sifat – sifat Perpangkatan dalam Bentuk Akar

Untuk m dan n bilangan bulat positif, berlaku :

C.BENTUK AKAR

Contoh 1.Contoh 1.

Jawab.Jawab.

Sederhanakanlah bentuk kebentuk akar sederhana.

Contoh 2.Contoh 2.

Sederhanakanlah :

Jawab.Jawab.

= 2 . a.b.b

= 2 ab2

Contoh 3.Contoh 3.

Jawab.Jawab.

Sederhanakanlah :

Contoh 4.Contoh 4.

Sederhanakanlah : Jawab.Jawab.

Mereduksi Induk Sebuah Akar Mereduksi Induk Sebuah Akar

Ingat :

Contoh 1.Contoh 1.

Sederhanakanlah :

Jawab.Jawab.

Contoh 2.Contoh 2.

Sederhanakanlah bentuk polinom berikut :

Jawab.Jawab.

Ingat :

Operasi Bentuk Akar

Contoh 1.Contoh 1.

Hitunglah :

Jawab.Jawab.

Contoh 2.Contoh 2.

Sederhanakanlah bentuk :

Jawab.Jawab.

Soal-soal :Tentukanlah harga x yang memenuhi persamaan berikut :

D.LOGARITMA

PENGERTIAN LOGARITMAPada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai arti bilanganberangkat, misalnyaa p =b , dan permasalahannya adalah mencaribilanganb jika a dan p diketahui. Sekarang akan dibahas mengenaipermasalahan menentukan bilangan p jika a danb diketahui.Permasalahan demikian yang merupakan permasalahan logaritma.Perhatikan definisi berikut ini. DEFINISI 1.6.1 :Untukb bilangan positif danb 1, arti dariB loga =x adalahb x =a

Berkaitan dengan pengertian logaritma pada definisi di atas, adabeberapa hal yang perlu diperhatikan.(a) Bilanganb

Disebut basis atau bilangan pokok logaritma, dan x disebut hasil logaritma.(b) Bilangan b dipilih positif. Jika b negatif dan dipangkatkan denganbilangan rasional, maka

tidak selalu menghasilkan bilangan real.(c) Karena b positif dan x real, nilai b x > 0. Karena a =b x , berarti a

Jugaharus positif.(d) Nilai b harus tidak sama dengan 1, sebab untuk sembarang x maka nilai 1 x

= 1.(e) Gantilah x pada ekspresi b x = a dengan b log a

Kita juga dapat mencari nilai log dari suatu bilangan dengan caramemfaktorkan bilangan tersebut menjadi

perkalian basis darilogaritmanya. Karena243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35, maka.c. Karena 0,25 = ¼ = 4-

1= 2-2, makaTidak semua logaritma dapat dicari hasilnya

dengan mudah seperticontoh di atas. Misalnya tidak dapat dicari menggunakan caraseperti di atas. Nilai

tersebut dapat dicari menggunakan tabel ataukalkulator. Selain itu, perhatikan bahSelain itu, perhatikan bahwa

karena b > 0, berapapun nilai x akan menghasilkan b x yang selalu positif. Dengan demikian logaritmaterdefinisi hanya untuk bilangan

positif

Dengan mengalikan dengan 22+0,3

diperoleh22+0,3+0,02

< 5 < 22+0,3+0,03

dan ini berarti = 2,32…. Untuk ketepatan tiga angka dibelakang koma, berarti 2,325.

SIFAT – SIFAT LOGARITMASebagaimana telah diuraikan pada subbab

sebelumnya, bahwa logaritmadapat diturunkan dari perpangkatan. Dengan pemahaman tersebut, sifat-

sifat perpangkatan dapat digunakan untuk mendapatkan sifat-sifatlogaritma seperti berikut ini.i.

Jika b > 0,b 1,p> 0 danp >0, maka. Jika b > 0,b 1,p > 0 dan> 0 danq >0, maka.

Jikab > 0,b 1,p > 0 dan q >0, makaiv. Jika b > 0,b 1,p real, dan q rasional,

Contoh: soal logaritma