Outline BAB 7. Integral Jurusan Manajemen Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 5th December 2016
Outline
BAB 7. Integral
Jurusan Manajemen Informatika
Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember
5th December 2016
Integral
Pengertian
MATDAS
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Pengertian
Integral
Y Y ′ Y”
Turunan Turunan
Integral
Figure: Anti turunan
Secara umum
jika y ′ = dydx atau dy = y ′dx maka
Rdy = y =
Ry ′
Dapat ditulis
Untuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulisRF ′(x)dx = F (x) + c
Integral
Pengertian
Integral
Y Y ′ Y”
Turunan Turunan
Integral
Figure: Anti turunan
Secara umum
jika y ′ = dydx atau dy = y ′dx maka
Rdy = y =
Ry ′
Dapat ditulis
Untuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulisRF ′(x)dx = F (x) + c
Integral
Rumus dasar
MATDAS
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR
1x =
Rx−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1R
cosx dx = sinx + c
2R
sinx dx = −cosx + c
3R
sec2x dx = tanx + c
4R
cosec2x dx = −cotx + c
5R
secxtanx dx = secx + c
6R
cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponenRax dx = ax
ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x2 − 4x) dx =
2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x2 − 4x) dx =
2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x2 − 4x) dx =
2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Sifat
MATDAS
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat
1R{f (x) ± g(x) dx =
Rf (x) dx +
Rg(x) dx
2R
k f (x) dx = kR
f (x) dx
3R b−a f (x) dx = −
R ab f (x) dx
4R b−a f (x) dx +
R cb f (x) dx =
R c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2R 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Teknik pengintegralan
MATDAS
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa
1R
x(3x − 1) dx =
2R(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusi
Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1
a .
1n+1 .(ax + b)n+1 + c
1R(3x + 4)4 dx =
2R(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:
R4x(x2 + 9)5 dx= dan
Rsin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
c. Integral parsial (pertemuan minggu depan)
Bentuk umum integral parsial:R
u dv = uv −R
v du. Contoh:R3x .cos2x dx =
Integral
Penerapan integral
MATDAS
1 Integral
Pengertian
Rumus dasar
Sifat
Teknik pengintegralan
Penerapan integral
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =R b
a y dx
2 L2 = −R c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =R b
a y dx
2 L2 = −R c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =R b
a y dx
2 L2 = −R c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)
1 L1 =R b
a x dy
2 L2 = −R c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)
1 L1 =R b
a x dy
2 L2 = −R c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)
1 L1 =R b
a x dy
2 L2 = −R c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y1 = f (x)
x = a x = b
Y2 = g(x)
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva
1 L =R b
a (y1 − y2) dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y1 = f (x)
x = a x = b
Y2 = g(x)
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva
1 L =R b
a (y1 − y2) dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y = f (x)
x = a x = b
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x
1 v =QR b
a y2 dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y = f (x)
x = a x = b
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x
1 v =QR b
a y2 dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
X
y = b
y = a
X = f (y)
Y
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y
1 v =QR b
a x2 dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
X
y = b
y = a
X = f (y)
Y
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y
1 v =QR b
a x2 dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh
1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !
2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh
1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !
2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh
1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !
2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !