Geometri Netral / 161 BAB 7 GEOMETRI NETRAL Dia menjadi sangat terkenal ketika dia diminta untuk menjumlahkan angka-angka 1 sampai 100, dia juga memberitahukan pola bilangan dan dijawab dengan menjumlahkannya. Gauss bisa mengkalkulasi angka-angka pada umur yang sangat muda bahkan dia dapat membantu ayahnya untuk menghitung gajinya. Gauss telah berbuat banyak hal-hal mengagumkan di Matematika. Saat di Brunswick itulah Gauss memformulasikan prinsip kuadrat terkecil dan hasil perkiraan yang dianggap benar jika geometri Euclid tidak benar, dan berbagai temuan kecil lainnya, seperti halnya Euler, Gauss berfikir aljabar secara numerik. Ketika Gauss berumur duapuluh tahun, ia mengalami suatu perkembangan yang sangat cepat, kecepatan yang tidak masuk akal, di bidang penyelidikan matematika dan teori konstruksi. Meskipun keluarganya miskin, Gauss dibiayai oleh adipati Brunswick untuk masuk perguruan tinggi Caroline. Di perguruan tinggi itu gauss melanjutkan studinya di bidang geometri, aljabar dan analisis. Setelah belajar selama 3 tahun, Gauss datang ke universitas gottingen, disini gauss mendapatkan keberhasilan Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777, di Brunswick, Daerah duke Brunswick (sekarang Negara Jerman). Gauss tumbuh didalam keluarga yang agak sederhana, bukan kaya maupun terdidik. Gauss mulai sekolah dasar saat usia tujuh tahun, saat itulah kecerdasannya ditemukan hampir dengan seketika.
30
Embed
BAB 7 GEOMETRI NETRAL - · PDF fileA. Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada Geometri Netral Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Geometri Netral /
161
BAB 7
GEOMETRI NETRAL
Dia menjadi sangat terkenal ketika dia diminta untuk
menjumlahkan angka-angka 1 sampai 100, dia juga
memberitahukan pola bilangan dan dijawab dengan
menjumlahkannya. Gauss bisa mengkalkulasi angka-angka
pada umur yang sangat muda bahkan dia dapat membantu
ayahnya untuk menghitung gajinya.
Gauss telah berbuat banyak hal-hal mengagumkan di
Matematika. Saat di Brunswick itulah Gauss
memformulasikan prinsip kuadrat terkecil dan hasil
perkiraan yang dianggap benar jika geometri Euclid tidak
benar, dan berbagai temuan kecil lainnya, seperti halnya
Euler, Gauss berfikir aljabar secara numerik.
Ketika Gauss berumur duapuluh tahun, ia mengalami suatu
perkembangan yang sangat cepat, kecepatan yang tidak
masuk akal, di bidang penyelidikan matematika dan teori
konstruksi. Meskipun keluarganya miskin, Gauss dibiayai
oleh adipati Brunswick untuk masuk perguruan tinggi
Caroline. Di perguruan tinggi itu gauss melanjutkan
studinya di bidang geometri, aljabar dan analisis. Setelah
belajar selama 3 tahun, Gauss datang ke universitas
gottingen, disini gauss mendapatkan keberhasilan
Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777, di Brunswick, Daerah duke Brunswick (sekarang Negara Jerman). Gauss tumbuh didalam keluarga yang agak sederhana, bukan kaya maupun terdidik. Gauss mulai sekolah dasar saat usia tujuh tahun, saat itulah kecerdasannya ditemukan hampir dengan
seketika.
/ Geometri Netral 162
terbesarnya. Setelah hanya satu tahun di universitas
Gottigen, Gauss bekerja di sambil membuat penemuan yang
besar.
Di tahun 1799, Gauss berprofesi sebagai doctor di
Universitas Helmstedt. Gauss benar-benar hidup sukses
walaupun tumbuh dewasa dalam keluarga yang tak sehat
dan miskin, menakjubkan!!!!!!
A. Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada
Geometri Netral
Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat
kesejajaran dari Euclides, maka geometri ini disebut
geometri absolut atau gemoetri netral. Geometri
absolut ini termuat dalam geometri terurut, jadi
pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi
pengertian pangkal geometri absolut. Selain itu
diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu
kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen
dan interval. Jika segmen AB kongruen dengan
segmen CD, maka untuk menyatakan ini digunakan
notasi AB CD. Pengertian ini tidak didefenisikan.
Pengertian pangkal geometri absolut, menurut
Pasch ialah
a. Titik-titik A, B, C, D, …
b. Keantaraan
c. Kongruensi.
Titik dipandang sebagai unsur yang tidak
didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi sebagai
relasi-relasi yang tidak didefinisikan.
Adapun aksioma-aksioma kongruensi adalah sebagai
berikut :
Aksioma 6.1
Geometri Netral /
163
Jika A dan B titik berlainan, maka pada sebarang sinar
yang berpangkal di C dan tepat satu titik D
sedemikian, hingga AB CD.
Aksioma 6.2
Jika AB CD dan CD EF, maka AB EA.
Aksioma 6.3
AB BA
Aksioma 6.4
Jika [ABC] dan [A’B’C’] dan AB A’B’ dan BC B’C’,
maka AC A’C’.
Aksioma 6.5
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC
B’C’, CA C’A’. AB A’B’, sedang D dan D’ adalah
dua titik berikutnya sedemikian, hingga [BCD] dan
[B’C’D’] dan BD B’D’, maka AD A’D’.
Dari aksioma-aksioma ini dapat diturunkan,
bahwa kongruensi suatu relasi ekuivalensi. Aksioma
5.2 menunjukkan dipenuhinya sifat transitif. Dari
aksioma 5.1 dan 5.3 dapat diturunkan, bahwa sifat
refleksif dan simetrik juga dipenuhi.
Jika kita perhatikan aksioma 5.4, tampak adanya
penjumlahan segmen garis yang menjadi dasar untuk
teori panjang.
B
C
A
D
B1
C1
A1
D1
/ Geometri Netral 164
Menurut Aksioma 5.5 kongruensi segmen dapat
diperluas menjadi kongruensi sudut.
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan
BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’, maka biasa
dikatakan kedua segitiga itu sisi-sisinya sama (S, S, S)
yang secara diam-diam mengakibatkan sudut ABC
sama dengan sudut A’B’C’ atau susut ABD sama
dengan sudut A’B’D’.
Bagian kedua dari Aksioma 5.5 dapat
disimpulkan, bahwa jika AB A’B’, sudut ABD sama
dengan A’B’D’ dan BD B’D’, maka AD A’D’ (S,
Sdt, S). Kongruensi dua segitiga tidak didefinisikan
dengan jelas.
Kongruensi dua segmen AB CD ekivalen
dengan AB = CD untuk panjang. Jadi symbol untuk
segmen sama dengan symbol untuk panjang.
Diskusi
Buktikan: Jika AB CD maka CD AB
Definisi 6.1
Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang
kongruen dengan pelurusnya (suplemennya); besarnya
suatu sudut siku-siku sama dengan ½ .
Definisi 6.2
Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat
kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r.
Suatu titik Q yang memenuhi Q > r dikatakan ada
di luar lingkaran. Suatu titik yang tidak pada dan tidak
di luar lingkaran, dikatakan ada di dalam lingkaran.
Kegagalan dalam usaha membuktikan postulat
kesejajaran Euclides telah memberikan suatu isyarat
Geometri Netral /
165
adanya perkembangan teori-teori geometri yang
kontradiksi dengan postulat kesejajaran ini. Pada bab
ini akan dipelajari konsekuensi postulat Euclides selain
postulat kesejajaran Euclides. Bab ini bertujuan untuk
menjelaskan peran postulat kesejajaran dalam geometri
Euclides, membukakan jalan untuk mempelajari
geometri non-Euclides pada bab berikutnya, dan
menghasilkan teorema yang cocok untuk geometri
non-Euclides.
B. Teori Saccheri dalam Geometri Netral
Teorema geometri netral ini tepatnya
disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides
kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari
geometri netral kita bertolak dari sebagian teori
Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang
ditetapkan Saccheri, yakni postulat kesejajaran
Euclides harus dianggap valid. Sebaliknya, kita periksa
kemungkinan penyatuan postulat lain sehingga
pengetahuan geometri kita menjadi lebih dalam.
Kita pelajari geometri netral dengan cara
mengamati teorema-teorema. Karena teorema
akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat
kesejajaran, demikian juga pada proposisi-proposisi
geometri netral. Istilah yang digunakan dalam
pengukuran segmen garis dan sudut, misalnya sudut
siku-siku dan ukuran derajat sudut juga merupakan
bagian dari geometri netral.
1. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga
Lemma 6.1
/ Geometri Netral 166
Jika diberikan ABC dan A. Maka ada segitiga
A1B1C1 sedemikian hingga A1B1C1 mempunyai
jumlah sudut yang sama dengan ABC, dan A1 <
21 A.
Bukti :
Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih pada AE
sedemikian hingga AE = EF dan E terletak antara A
dan F. Maka BEA CEF dan sudut-sudut yang
bersesuaian sama.
Kita tunjukan AFC adalah A1B1C1 yang kita cari.
Dengan memberikan nama sudut-sudutnya seperti
pada gambar, kita tahu bahwa :
2 = 2’ , 3 = 3’ dan
A + B + C = 1 + 2 + 3 + 4
= 1 + 2’ + 3’ + 4
= CAF + AFC + FCA
Untuk melengkapi bukti, perhatikan A = 1 +
2 yang berakibat A = 1 + 2’
Pada persamaan tersebut, salah satu dari ruas
kanan, 1 atau 2’ harus kurang atau sama
dengan setengah dari suku di ruas kiri yaitu A.
Jika 1 < 21 A namakan A sebagai A1 ; jika tidak,
namakan F sebagai A1 kemudian namakan dua titik
Geometri Netral /
167
yang lain dari AFC dengan B1 dan C1, maka
lemma terbukti.
Secara sederhana lemma di atas menyatakan
bahwa “kita dapat mengganti sebuah segitiga baru
dengan merampingkan segitiga awal tanpa mengubah
jumlah sudut-sudutnya”. Hal ini bisa dilakukan
dengan memotong ABE dari ABC dengan
meletakkan di belakang FCE.
Sepintas, lemma ini tidak ada artinya, pada hal
tidak, sebab dalam geometri netral kita tidak dapat
mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga
selalu konstan, yang hal ini merupakan teorema
Euclides yang buktinya tergantung pada postulat
kesejajaran. Oleh karena itu, lemma ini penting sebab
lemma itu menunjukkan bahwa jika diberikan suatu
segitiga tertentu, kita dapat membuat segitiga yang
nonkongruen, tetapi mempunyai jumlah sudut yang
sama. Dengan demikian berarti ada tak berhingga
segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya
mempunyai jumlah sudut yang sama dengan segitiga
yang diberikan.
Sekarang kita dapat membuktikan banyak sekali
teorema yang merupakan konsekuensi dari usaha
Saccheri yang menyalahkan hipotesis sudut tumpul.
Bukti bebasnya diberikan oleh A.M. Legendre (1752 –
183).
Teorema 6.1 (SACCHERI – LEGENDRE).
Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama
dengan 1800.
Bukti (tak langsung)
/ Geometri Netral 168
Andaikan ada ABC dengan jumlah sudut = 180o +
o, bilangan positif. Menurut lemma, ada A1B1C1
dengan jumlah sudut = 180o + o sedemikian
hingga A1 < 21 A. dengan menggunakan
lemma lagi, berarti ada A2B2C2 dengan jumlah
sudut = 180o + o sedemikian hingga A2 < 21 A1
< (21 )2 A. Dan seterusnya dengan cara yang sama,
kita dapat membuat barisan segitiga-segitiga
A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3,….., yang masing-
masing jumlah sudutnya 180o + o, sedemikian
hingga
An < n2
1 A, untuk sebarang bilangan bulat
positif n.
Jelaslah kita dapat memilih n yang cukup besar
sedemikian hingga An sekecil mungkin, misalnya
An < o.
Karena An + Bn + Cn = 180o + o, yang berarti
bahwa :
Bn + Cn > 180o
Berarti, kontradiksi dengan Teorema 5.3 dari Bab 5.
Jadi pengandaian salah, dan teorema 6.1 di atas
benar.
Contoh 6.1
Misalkan = 1 dan A = 250 maka dalam ABC
didapatkan A + B + C = 180o dan A = 25o.
Menurut lemma ada A1B1C1 sedemikian hingga
A1 + B1 + C1 = 181o dan A1 < 25o / 2. Dengan
cara yang sama :
Ada A2B2C2 sedemikian hingga A2 + B2 +
C2 = 181o dan A2 < 25o / 4. Untuk menunjukkan
Geometri Netral /
169
terjadinya kontradiksi, gunakan lemma tiga kali
lagi untuk mendapatkan A5B5C5 dengan A5 +
B5 + C5 = 180o dan A5 < 25o / 32 1.
Akibatnya B5 + C5 > 180 (tidak mungkin
terjadi).
Teorema Akibat (corollary).
Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama
dengan 360.
Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan
Saccheri bahwa hipotesis sudut tumpul adalah salah.
Demikian juga, teorema ini menyangkal bahwa jumlah
sudut suatu segitiga dapat melebihi 180. Tetapi
kemungkinan bahwa jumlah sudut dalam segitiga
kurang dari 180, yang bersesuaian dengan hipotesis
Saccheri tentang sudut lancip menarik perhatian kita
sendiri.
2. Adakah persegipanjang itu ?
Adanya persegipanjang dalam geometri
merupakan yang penting. Bayangkan, bagaimana
bentuk geometri Euclides jika kita tidak punya atau
tidak dapat menggunakan persegipanjang. Tentu saja
sulit sekali akan membuat suatu persegipanjang tanpa
mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran
Euclides, atau salah satu dari teorema akibatnya,
misalnya jumlah sudut segitiga adalah 180.
Akibatnya, seluruh teorema dalam pembahasan ini
dapat dianggap bahwa persegipanjang itu ada. Untuk
menghindari kesalahpahaman, secara formal kita
definisikan istilah persegipanjang sebagai berikut.
Definisi 6.3
/ Geometri Netral 170
Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semua
sudutnya adalah siku-siku.
Ingat, karena kita mempelajari geometri netral,
tidak otomatis kita dapat menggunakan proposisi
Euclides yang terkenal, seperti :
(a) sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang