Bab 6 Elemen Portal Bidang

140

Bab VI :

Elemen Portal Bidang

6.1 Umum

Portal bidang didifinisikan dimana gaya batang yang terjadi adalah gaya Normal, Lintang dan

momen.

Elemen Portal Bidang (plane frame element) adalah gabungan antara elemen rangka bidang

dengan elemen balok yang sudah dihitung pada bab sebelumnya yakni pada bab IV dan bab

V. Seperti pada bab sebelumnya gaya yang bekerja pada elemen rangka bidang adalah

seperti gambar 6.1, dimana gaya batang ada dua.

Sedangkan pada elemen balok gaya yang bekerja adalah:

Selanjutnya pada gambar 6.2 adalah elemen balok dimana gaya batang ada empat

Besaran gaya masing-masing sebesar

Elemen portal bidang adalah penjumlahan dari kedua elemen yakni elemen rangka bidang

dan elemen balok seperti yang dapat dilihat di Gambar 6.3, dimana pada elemen portal

bidang terdapat Momen, Gaya Lintang dan Normal dengan jumlah dof setiap elemen ada

enam.

Sx1 Sx2

Sy1 Sy2

MZ1 MZ2

Gambar 6.1: Elemen rangka bidang

Gambar 6.2: Elemen Balok

141

6.2 Matriks kekakuan

Dalam menentukan matriks kekakuan elemen portal bidang adalah penjumlahan dari elemen

rangka bidang dari bab 3 persamaan (3.3), (3.4) dan elemen balok dari bab 5 persamaan

(5.18), (5.20), (5.21) dan (5.23) , dimana gaya batangnya adalah sbb:

222111211 .0.0.0.0 vu

L

EAvu

L

EAuu

L

EASx

222312132122131

612612)(

126

L

EIv

L

EI

L

EIv

L

EI

Lvv

LEISy

222212212121

2646)2(

1)(

32

L

EIv

L

EI

L

EIv

L

EI

Lvv

LEIM Z

222111212 .0.0.0.0 vuL

EAvu

L

EAuu

L

EASx

222312132122132

612612)(

126

L

EIv

L

EI

L

EIv

L

EI

Lvv

LEISy

222112212122

4626)

426

L

EIv

L

EI

L

EIv

L

EI

L

EI

L

EIvv

L

EIM Z

Dengan demikian maka dengan cara matriks dapat dituliksan sbb:

Mz2

Sx2

Sy2

Z

Sy1

Sx1

Mz1

EA, Iz

L

y

x

Gambar 6.3 : Elemen portal bidang

142

2

2

2

1

1

1

22

22

22

22

3

2

2

2

1

1

1

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

v

u

v

u

LLLL

LL

I

AL

I

ALLLLL

LL

I

AL

I

AL

L

EI

M

S

S

M

S

S

ZZ

ZZ

Z

z

y

x

z

y

X

(6,1)

atau

dKf (6.2)

Dimana matriks kekakuan elemen portal bidang (portal bidang) K adalah

22

22

22

22

3

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LL

I

AL

I

ALLLLL

LL

I

AL

I

AL

L

EIK

ZZ

ZZ

Z

(6.3)

dan gaya adalah

2

2

2

1

1

1

z

y

x

z

y

X

M

S

S

M

S

S

f

(6.4)

Sedangkan perpindahan adalah

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

d

(6.5)

143

6.3 Transformasi pada system koordinat

Transformasi koordinat dilakukan dari sumbu lokal (X,Y) ke sumbu global 𝑋 ,𝑌 dengan

sudut sebesar 𝛼𝑒 seperti gambar 6.4. Yang ditransformasikan adalah titik 2 terlebih dahulu

yakni 𝑆𝑥2,𝑆𝑦2 𝑑𝑎𝑛 𝑀𝑧2 dari sumbu (X,Y) ke sumbu 𝑋 ,𝑌 .

Gambar 6.4: a) Transformasi koordinat pada elemen portal bidang b) Transformasi Gaya

terhadap sumbu global

Pada gambar 6.4 a) diperhatikan titik simpul 2, dimana 𝑆𝑥2, 𝑆𝑦2 𝑑𝑎𝑛 𝑀𝑧2 ditransformasikan

kearah sb (𝑋 ,𝑌 ) maka dihasilkan sebagai berikut

sin.cos, 222 SySxSx

(6.6)

cocSySySy .sin, 222

(6.7)

22 MzMz

(6.8)

Secara matriks ditulis

𝑓 2 =

𝑆 𝑥2

𝑆 𝑦2

𝑀 𝑧2

= cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛼 0𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 0

0 0 1

𝑆𝑥2

𝑆𝑦2

𝑀𝑧2

(6.9)

Persamaan (6.9) dapat ditulis menjadi

𝑓 2 = 𝑇 𝑓2 (6.10)

Dimana

Mz2

Sy2

Sx2

Y

X

Y X

SY2 . sin α

α

Z

α

SX2 . cos α

SX2 . sin α

SY2 . cos α

SY2

Sx2 Mz2

2

1 2 b) a)

144

𝑇 = cos𝛼 − sin 𝛼 0sin 𝛼

0

cos𝛼0

01 (6.11)

Persamaan (6.11) disebut matriks transformasi.

𝑓 2 =

𝑆 𝑥2

𝑆 𝑦2

𝑀 𝑧2

(6.12)

Sedangkan persamaan (6.12) dinamakan matriks gaya terhadap sumbu global

𝑓2 =

𝑆𝑥2

𝑆𝑦2

𝑀𝑧2

(6.13)

Kemudian persamaan (6.13) disebut matriks gaya terhadap sumbu lokal.

Pada titik simpul 1 berlaku juga berlaku juga seperti simpul 2 maka untuk satu elemen

berlaku :

𝑓 = 𝑇 𝑓 (6.14)

dimana 𝑇 = 𝑇 00 𝑇

Matriks transformasi dari persamaan (6.11) dan (6.14) untuk elemen portal bidang adalah

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

T

(6.15)

Untuk perpindahan (displacement vector) berlaku juga :

{d} = [T] {d} (6.16)

Dan dari persamaan (6.14) didapat

_1

fTf (6.17)

Dari persamaan (6.16) didapat

_1

dTd

(6.18)

Persamaan (6.17) dan persamaan (6.18) dimasukkan ke persamaan ke (6.2) menjadi

dTKfTe

1_

1

145

dTKTf

1_

dKf__

dimana : 1_

TKTK

\ (6.19)

Selanjutnya pada persamaan (6.19) 𝑇 adalah matriks Transformasi seperti pada persamaan

(6.15), sedangkan 𝐾 adalah matriks kekakuan seperti pada persamaan (6.3). Kemudian

TTT 1

karena [T] matriks Orthogonal.

Dengan cosα = c dan sinα = s, maka persamaan (6.15) menjadi

(6.20)

Dari persamaan (6.3) dengan memasukkan ZI

ALk

2

maka didapat

100000

0000

0000

000100

0000

0000

cs

sc

cs

sc

TT

146

22

22

3

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LL

kk

LLLL

LL

kk

L

EIK Z

Persamaan ke (6.20) dikali persamaan (6.21) menjadi

100000

0000

0000

000100

0000

0000

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

22

3

cs

sc

cs

sc

x

LLLL

LL

kk

LLLL

LL

kk

L

EITK ZT

Dari perkalian kedua matriks didapat

𝐾 𝑇 𝑇 =𝐸𝐼𝑧

𝐿3

𝑘𝑐 𝑘𝑠−12𝑠 12𝑐

0 −𝑘𝑐6𝐿 12 𝑠

−𝑘𝑠 0−12 𝑐 6𝐿

−6𝑙𝑠 6𝐿𝑐−𝑘𝑐 −𝑘𝑠

4𝐿2 6𝐿𝑠0 𝑘𝑐

−6𝐿𝑐 2𝐿2

𝑘𝑠 012𝑠 −12𝑐−6𝐿𝑠 6𝐿𝑐

−6𝐿 −12𝑐2𝐿2 6𝐿𝑠

12𝑐 −6𝐿−6𝐿𝑐 4𝐿2

(6.22)

Dengan mengalikan matriks

𝑇 𝐾 𝑇 𝑇 =𝐸𝐼𝑧𝐿3

𝑐 −𝑠𝑠 𝑐

0 00 0

0 00 0

0 00 0

1 00 𝑐

0 0−𝑠 0

0 00 0

0 𝑠0 0

𝑐 00 1

𝑘𝑐 𝑘𝑠−12𝑠 12𝑐

0 −𝑘𝑐6𝐿 12 𝑠

−𝑘𝑠 0−12 𝑐 6𝐿

−6𝑙𝑠 6𝐿𝑐−𝑘𝑐 −𝑘𝑠

4𝐿2 6𝐿𝑠0 𝑘𝑐

−6𝐿𝑐 2𝐿2

𝑘𝑠 012𝑠 −12𝑐−6𝐿𝑠 6𝐿𝑐

−6𝐿 −12𝑐2𝐿2 6𝐿𝑠

12𝑐 −6𝐿−6𝐿𝑐 4𝐿2

(6.23)

maka persamaan didapat

(6.21)

147

22

2222

2222

22

222

2222

3

_

466266

612)12(612)12(

6)12(126)12(12

266466

612)12(6)12()12(

6)12(126)12(12

LLcLsLLcLs

LcckscskLcckscsk

LscskskcLscskskc

LLcLsLLcLs

LcckscskLcckscsk

LscskskcLscskskc

L

EIK Z

(6.24)

Persamaan (6.24) adalah matriks kekakuan elemen portal bidang, dimana

sin,cos sc dan

ZI

ALk

2

(6.24a)

Jika α = 0, maka matriks kekakuannya menjadi

22

22

3

_

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LLLL

LL

kk

LLLL

LL

kk

L

EIK Z

(6.25)

6.4 Kompatibilitas, keseimbangan dan penentuan dari matriks kekakuan.

Diketahui konstruksi elemen portal bidang seperti gambar 6.5. dan yang akan dihitung adalah

untuk mencari matriks kekakuan dari konstruksi tsb, dimana ada enam simpul 1 sd 6 dan ada

elemen a s/d f. Perletakan pada simpul 1 adalah jepit dan simpul 6 sendi.

1

2

3 4

5

6

a

b

c

e

f

d

F M

Z

Y

X

Gambar 6.5: contoh elemen

portal bidang

148

Pada gambar 6.5, setiap elemen dibuat suatu ketentuan dimana setiap elemen mempunyai

simpul awal dengan nomor simpul 1 dan simpul akhir dengan nomor 2. Dengan demikian

untuk seluruh elemen a s/d f dibuat mana yang awal dengan nomor simpul satu dan mana

yang akhir dengan nomor simpul dua dan dirincikan di tabel 6.1.

Tabel 6.1: Elemen awal dan akhir

Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir)

a 1 2

b 2 3

c 3 4

d 2 5

e 5 4

f 6 5

Matriks elemen a, b, e dan f adalah [Ka], [Kb], [Kc], [Kf] sesuai dengan persamaan (6.24)

dengan besar sudut transformasi sebesar a = b = e = f = 900 . Sedangkan pada elemen c

dan kekakuannya adalah [Kc], [Kd] dan sudut transformasinya adalah c = d = 0.

Untuk system koordinat global (𝑋 ,𝑌 ) untuk setiap elemen a s/d f berlaku :

{f} = [K] {d} (6.26)

Untuk titik awal/pangkal dari persamaan ini besarnya adalah

𝑓 1 = 𝑘 11 . 𝑑 1 + 𝑘 12 . 𝑑 2 (6.26.a)

dan untuk titik akhir/ujung

𝑓 2 = 𝑘 21 .𝑑 1 + 𝑘 22 .𝑑 2 (6.26.b)

Pada portal gambar 6.5 berlaku syarat kompabilitas, dimana artinya walaupun dibagi dengan

beberapa elemen, besar perpindahan masing-masing elemen adalah sama. Untuk menjamin

kompatibilitas maka harus ditetapkan seperti dibawah ini

{da1} = {d1}

{da2} = {db1} = {dd1} = {d2}

{db2} = {dc1} = {d3} (6.27)

{dc2} = {de2} = {d4}

{dd2} = {de1} = {df2} = {d5}

{df1} = {d6}

f1

f2 =

K11

K21

K12

K22

d1

d2 =

149

Pada titik simpul i berlaku :

𝑓𝑖 =

𝐹𝑥𝐹𝑦𝑀𝑧

(6.28)

Adapun definisi arah positif dari gaya-gaya dalam seperti yang dijelaskan pada gambar 6.6

Gambar 6.6: arah Gaya dalam positif dalam elemen portal bidang elemen

Sebagai contoh titik simpul 3 pada Gambar 6.5

𝑓 3 = 𝐹00 (6.29)

Selanjutnya untuk menghitung matriks kekakuan struktur maka dihitung berdasarkan

persamaan sbb:

{f1} = {fa1}

{f2} = {fa2} + {fb1} + {fd1}

{f3} = {fb2} + {fc1} (6.30)

{f4} = {fc2} + {fe2}

{f5} = {fd2} + {fe1} + {ff2}

{f6} = {ff1}

Selanjutnya dari persamaan (6.26a) dan (6.26b) dimasukkan kepersamaan (6.30) dihasilkan

{f3}

Gaya luar

{fc1}

Gaya dalam

Gaya dalam

{fb2}

c

b

150

{f1} = [Ka11] {d1} + [Ka12] {d2}

{f2} = [Ka21] {d1} + [Ka22] {d2} + [Kb11] {d2} + [Kb12] {d3} + [Kd11] {d2}

+ [Kd12] {d5}

{f3} = [Kb21] {d2} + [Kb22] {d3} + [Kc11] {d3} + [Kc12] {d4} (6.31)

{f4} = [Kc21] {d3} + [Kc22] {d4} + [Ke21] {d5} + [Ke22] {d4}

{f5} = [Kd21] {d2} + [Kd22] {d5} + [Ke11] {d5} + [Ke12] {d4} + [Ke21] {d5}

+ [Kf22] {d6}

{f6} = [Kf11] {d5} + [Kf12] {f6}

Persamaan ini dapat ditulis dengan matriks

𝑓 1𝑓 2𝑓 3𝑓 4𝑓 5𝑓 6

=

𝑘 𝑎11 𝑘 𝑎12

𝑘 𝑎21 𝑘 𝑎22 + 𝑘 𝑏11 + 𝑘 𝑑11

0 0𝑘 𝑏12 0

0 0 𝑘 𝑑12 0

0 𝑘 𝑏21 0 0

𝑘 𝑏22 + 𝑘 𝑐11 𝑘 𝑐12

𝑘 𝑐12 𝑘 𝑐22 + 𝑘 𝑒22

0 0 𝑘 𝑒21 0

0 𝑘 𝑑12 0 0

0 𝑘 𝑒12

0 0

𝑘 𝑑22 + 𝑘 𝑒11 + 𝑘 𝑓21 𝑘 𝑓22

𝑘 𝑓11 𝑓 𝑓12

𝑑 1𝑑 2𝑑 3𝑑 4𝑑 5𝑑 6

(6.32)

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

𝑓 = 𝐾 𝑑 (6.33)

dimana :

𝑓 =

𝑓 1𝑓 2𝑓 3𝑓 4𝑓 5𝑓 6

(6.34)

𝐾 =

𝑘 𝑎11 𝑘 𝑎12

𝑘 𝑎21 𝑘 𝑎22 + 𝑘 𝑏11 + 𝑘 𝑑11

0 0𝑘 𝑏12 0

0 0

𝑘 𝑑12 0

0 𝑘 𝑏21 0 0

𝑘 𝑏22 + 𝑘 𝑐11 𝑘 𝑐12

𝑘 𝑐12 𝑘 𝑐22 + 𝑘 𝑒22

0 0 𝑘 𝑒21 0

0 𝑘 𝑑12 0 0

0 𝑘 𝑒12

0 0

𝑘 𝑑22 + 𝑘 𝑒11 + 𝑘 𝑓21 𝑘 𝑓22

𝑘 𝑓11 𝑓 𝑓12

(6.35)

dan

151

𝑑 =

𝑑 1𝑑 2𝑑 3𝑑 4𝑑 5𝑑 6

(6.36)

Pada persamaan (6.32) berlaku syarat batas boundary condition dimana pada titik simpul 1

𝑑 1 = 000 (6.37)

dan pada titik simpul 6 berlaku

𝑑 6 = 00𝜒6

(6.38)

Demikian juga pada persamaan (6,32) besar Gaya luar pada simpul 2 dan 5 adalah

𝑓 2 = 𝑓 5 = 000 (6.39)

Sedangkan pada simpul 3 adalah

𝑓 3 = 000 (6.40)

Pada simpul 4

\ 𝑓 4 = 00𝑀 (6.41)

Sedangkan pada simpul 6 berlaku

𝑓 6 = 𝑆 𝑥6

𝑆 𝑦6

0

(6.42)

dimana S6x dan S6y (reaksi pada perletakan di simpul 6) masih belum diketahui. Demikian

juga reaksi pada titik simpul 1 belum diketahui

𝑓 1 = 𝑆1𝑥

𝑆1𝑌

𝑀1

(6.43)

Dari persamaan (6.32) terdapat 18 buah tidak diketahui diantaranya 13 displacement yakni

perpindahan 𝑢2, 𝑣2, 𝜒2, 𝑢3, 𝑣3,𝜒3 , 𝑢4, 𝑣4,𝜒4 , 𝑢5, 𝑣5, 𝜒5, dan 𝜒6. Selanjutnya 5 gaya dalam

yang belum diketahui (1,2,3,4 dan 5) lihat gambar 6.7.

;

152

Gambar 6.7: 13 displacement dan 5 gaya dalam yang belum diketahui

Dengan demikian matriks (6.32) adalah matriks 18 x 18. Matriks tersebut akan dapat

dijadikan suatu matriks 13 x 13, yang dengan kondisi batas (persamaan 6.37 dan 6.38) baris

ke 1, 2, 3, 16 dan 17 dapat dihilangkan. Selanjutnya dengan matriks Invers didapat

𝑑 = 𝐾 −1 𝑓 (6.44)

persamaan dapat diselesaikan, dan 13 displacement dapat diketahui.

Setelah itu maka displacement dimasukkan ke persamaan (6.32) maka 5 gaya dalam dapat

diketahui/dihitung.

6.5. Transformasi koordinat global ke lokal

Dari koordinat global ke lokal diperlukan transformasi, dimana nanti kegunaannya adalah

untuk menghitung gaya batang.

𝑑 = 𝑇 𝑑 (6.45)

Dimana

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

d (6.46)

u3

v3

𝜒3

u2

v2

𝜒2

u4

v4

𝜒4

u5

v5

𝜒5

1

2

3 4

5

6

𝜒6

5

1

2 3

4

153

displacement terhadap sumbu lokal

100000

0000

0000

000100

0000

0000

cs

sc

cs

sc

T

(6.47)

adalah matriks transformasi untuk displacement.

2

2

2

1

1

1

_

v

u

v

u

d (6.48)

displacement terhadap sumbu global.

6.6 Aplikasi Elemen Portal bidang

Pada aplikasi elemen portal bidang dapat pada gambar 6.8 dimana ada sebuah gaya

horizontal H. Yang akan dihitung adalah perpindahan yang terjadi, Reaksi pada perletakan,

gaya dalam yang terjadi dan gambar bidang Momen, Lintang dan Normal.

h = 4 m

L = 4

m

H = 25000 N

a

b

c

1

2

3

4

Gambar 6.8: Aplikasi elemen portal bidang dengan gaya H

154

Kolom dan balok dari baja, dimana IZ = 5700 cm4, E=210.000 N/mm2, A= 78,1 cm2

Dikerjakan dengan program M-Exell. Berat sendiri diabaikan dalam perhitungan.

Tahap I: dihitung kekakuan individual elemen a, b dan c dimana diambil dari persamaan (6.3)

Matriks kekakuan individual ka=kb=kc besarnya dihitung dengan program M-Exell adalah

410,025.00 - -

(410,025.00) -

-

- 2,244.38 4,488,750.00

- (2,244.38)

4,488,750.00

- 4,488,750.00 11,970,000,000.00

- (4,488,750.00)

5,985,000,000.00

(410,025.00) - -

410,025.00 -

-

- (2,244.38) (4,488,750.00)

- 2,244.38

(4,488,750.00)

- 4,488,750.00 5,985,000,000.00

- (4,488,750.00)

11,970,000,000.00

Tahap II : Menghitung kekakuan terhadap sumbu Global diambil dari persamaan (6.24)

Pada Elemen a Matriks kekakuan terhadap sumbu global 𝐾 𝑎 dengan sudut α = 90o, dan

dihitung dengan M-Exell didapat

EIz/L2 k cos sin L

187.03

2,192.28 0.00 1.00 4000

Dan matriks kekakuan 𝐾 𝑎 besarnya adalah:

2,244.38 0.00

(4,488,750.00)

(2,244.38) 0.00

(4,488,750.00)

0.00 410,025.00

0.00 0.00

(410,025.00)

0.00

(4,488,750.00)

0.00

11,970,000,000.00

4,488,750.00

(0.00)

5,985,000,000.00

(2,244.38) 0.00

4,488,750.00

2,244.38 0.00

4,488,750.00

0.00 (410,025.00)

(0.00) 0.00

410,025.00

(0.00)

(4,488,750.00)

0.00

5,985,000,000.00

4,488,750.00

(0.00)

11,970,000,000.00

155

Elemen b 𝐾 𝑏 dengan sudut α = 0o

410,025.00

-

-

(410,025.00)

-

-

-

2,244.38

4,488,750.00

-

(2,244.38)

4,488,750.00

-

4,488,750.00

11,970,000,000.00

-

(4,488,750.00)

5,985,000,000.00

(410,025.00)

-

-

410,025.00

-

-

-

(2,244.38)

(4,488,750.00)

-

2,244.38

(4,488,750.00)

-

4,488,750.00

5,985,000,000.00

-

(4,488,750.00)

11,970,000,000.00

Elemen c dengan sudut α = 270o

Eiz/L2 K cos sin L

187.03 2192.28 0.00 -1.00 4000

Maka kekakuan 𝑘 𝑐 adalah

Tahap III: Menghitung kekakuan struktur

Matriks kekakuan struktur didapat setelah prinsip kompatibilitas dengan masing-masing gaya

batang pada simpul sbb:

f1 = ka11. d1 + ka12.d2

f2 = ka21. d1 + ka22.d2 + kb11.d2 + kb12.d3

f3 = kb21.d2 + kb22.d3 + kc11.d3 + kc12. d4

f4 = kc21.d3 + kc22.d4

Selanjutnya dibuat dalam bentuk matriks

2,244.38 0.00

4,488,750.00

(2,244.38) 0.00

4,488,750.00

0.00

410,025.00

(0.00) 0.00

(410,025.00)

(0.00)

4,488,750.00

(0.00)

11,970,000,000.00

(4,488,750.00)

0.00

5,985,000,000.00

(2,244.38) 0.00

(4,488,750.00)

2,244.38 0.00

(4,488,750.00)

0.00

(410,025.00)

0.00 0.00

410,025.00

0.00

4,488,750.00

(0.00)

5,985,000,000.00

(4,488,750.00)

0.00

11,970,000,000.00

156

𝑓1

𝑓2

𝑓3

𝑓4

=

𝑘𝑎11

𝑘𝑎21

𝑘𝑎12

𝑘𝑎22 + 𝑘𝑏11

0𝑘𝑏12

00

00

𝑘𝑏21

0

𝑘𝑏22 + 𝑘𝑐11

𝑘𝑐21

𝑘𝑐12

𝑘𝑐22

𝑑1

𝑑2

𝑑3

𝑑4

Dengan boundary condition dimana pada simpul 1 dan 4 perpindahan sama dengan nol

𝑑1 =

𝑢1

𝑣1

𝜒1

= 000 dan 𝑑6 =

𝑢6

𝑣6

𝜒6

= 000

Dan dengan demikian matriks kekakuan 𝐾 adalah sbb;

412,269.38 0.00 4,488,750.00 (410,025.00) - -

0.00 412,269.38 4,488,750.00 - (2,244.38) 4,488,750.00

4,488,750.00 4,488,750.00 23,940,000,000.00 - (4,488,750.00) 5,985,000,000.00

(410,025.00) - - 412,269.38 0.00 4,488,750.00

- (2,244.38) (4,488,750.00) 0.00 412,269.38 (4,488,750.00)

- 4,488,750.00 5,985,000,000.00 4,488,750.00 (4,488,750.00) 23,940,000,000.00

Tahap IV: menghitung displacement

Dari persamaan 6.44

𝑑 = 𝐾 −1 𝑓

Sedangkan 𝐾 −1 adalah:

0.000319759 1.0436E-06 -4.83379E-08 0.000318542 -1.0436E-06 -4.80334E-08

1.0436E-06 2.43697E-06 -5.218E-10 1.0436E-06 1.90414E-09 -5.218E-10

-4.83379E-08 -5.218E-10 5.19783E-11 -4.80334E-08 5.218E-10 -3.79263E-12

0.000318542 1.0436E-06 -4.80334E-08 0.000319759 -1.0436E-06 -4.83379E-08

-1.0436E-06 1.90414E-09 5.218E-10 -1.0436E-06 2.43697E-06 5.218E-10

-4.80334E-08 -5.218E-10 -3.79263E-12 -4.83379E-08 5.218E-10 5.19783E-11

157

dan besar 𝑓 adalah

𝑓 = 𝑓2

𝑓3 =

25.00000000

Maka displacement 𝑑 didapat dari perkalian matriks M-Exell adalah

u2 7.993984 mm

v2 0.026090 mm

C2 -0.001208 Rad

u3 7.963540 mm

V3 -0.026090 mm

c3 -0.001201 Rad

Gambar displacement ada pada gambar 6.9

Gambar 6.9 : Displacement dan Reaksi

u3 =7,96 mm u2= 7.99 mm

v2=0.026 mm v3 = - 0.026 mm

V1 = 10.697,6 N

V4 = 10.697,6 N

H1=12.517,1 N

H4=12.482,9 N

M1=26.650.441,3 Nmm M4=28.559.336,7 Nmm

158

Tahap V: menghitung reaksi

Gaya luar yang ada berikut dengan gaya di perletakan adalah

𝑓1

𝑓2

𝑓3

𝑓4

=

𝐻1

𝑉1

𝑀1

2500000000𝐻4

𝑉4

𝑀4

Pada matriks ini yang belum diketahui adalah reaksi pada simpul 1 yakni

𝑓1 = 𝐻1

𝑉1

𝑀1

dan pada titik simpul 4 adalah

𝑓1 = 𝐻1

𝑉1

𝑀1

Untuk mendapatkan reaksi tersebut maka dilakukan perkalian matrik kekakuan struktur dan

dispalcement. Dari perkalian dengan menggunakan M-Exell diperoleh

H1

(12,517.1)

V1

(10,697.6)

M1

28,650,441.3

25,000.0

0.0

0.0

0.0

(0.0)

0.0

H4

(12,482.9)

V4

10,697.6

M4

28,559,336.7

159

Besaran Reaksi pada simpul 1 dan 4 dapat dilihat di gambar 6.9 diatas. Dari hasil reaksi ini

coba dibuat interpretasi hasil, yakni syarat keseimbangan kearah horizontal 𝐻 = 0 , kearah

vertikal 𝑉 = 0 dan 𝑀 = 0 baik titik simpual 1 dan simpul 2.

Dalam keseimbangan kearah horizontal H1 + H4 + 25000 = 0 dan kelihatan memenuhi

syarat, demikian juga kearah vertikal V1 + V4 = 0 juga memenuhi syarat.Terakhir dicek

Momen kearah titik 4, 𝑀4 = 0 maka 10.697,6*4000 - 25.000*4000 +28.650.441.3

+28.559.336.7 = 0.

Dengan demikian maka perhitungan dianggap sudah benar dan memenuhi syarat

keseimbangan.

Tahap VI: menghitung gaya batang

Dalam menghitung gaya batang diambil dari persamaan (6.45)

{d} = [T] {𝑑 }

Elemen a: sudut 𝛼 = 900, maka dengan matriks transformasi

Sedangkan displacement terhadap sumbu global

𝑑 𝑎 =

000

7,99400,0261−0,0012

Maka displacement terhadap sb lokal adalah

100000

0000

0000

000100

0000

0000

cs

sc

cs

sc

T

100000

001000

010000

000100

000001

000010

T

_

2

2

2

1

1

1

daT

v

u

v

u

da

160

Displacement pada batang a dihasilkan 𝑑𝑎

u1 0

v1 0

c1 0

u2 0.026090008

v2 -7.99398394

c2 -0.001208447

Dengan demikian maka gaya batang pada elemen a adalah

daKa

M

S

S

M

S

Sx

fa

Z

Y

X

Z

Y

2

2

2

1

1

1

Besar 𝑓𝑎 adalah

Sx1

(10,698)

Sy1

12,517

Mz1

28,650,441

Sx2

10,698

Sy2

(12,517)

`Mz2

21,417,887

Gaya batang pada batang a digambar pada Gambar 6.10, dimana Momen pada gambar6.10

a, Gaya Lintang pada gambar 6.10 b dan Normal pada Gambar 6.10 c .

161

Selanjutnya perhitungan gaya dalam elemen b, dimana displacement 𝑑 𝑏 = 𝑑𝑏 adalah

Kemudian gaya batang 𝑓𝑏 diperoleh dari

bb

Z

Y

X

Z

Y

dK

M

S

S

M

S

Sx

fb

2

2

2

1

1

1

u1

7.9940

v2 0.026090008

c1 -0.001208447

u2 7.963539655

v2 -0.026090008

c2 -0.001200836

Mz2 = -21,372,334.86 Nmm

Mz1: -21,417,887.12 Nmm

Sy1= 12.517 N

x

Sy2= - 12.517 N

Sy1= - 10.698 N

Sx2= 10.698 N

y

2

a) b)

Gambar 6.10: Gaya dalam pada elemen a . Pada a) Momen, b) Gaya Lintang dan c)Normal.

c)

162

Besar gaya dalam 𝑓𝑏 adalah

Sx1

12,482.92

Sy1

(10,697.56)

Mz1

(21,417,887.12)

Sx2

(12,482.92)

Sy2

10,697.56

Mz2

(21,372,334.86)

Gaya dalam elemen b dapat dilihat di gambar 6.11

Gambar 6.11: Gaya batang elemen b

Selanjutnya perhitungan Elemen c, dimana

{dc} = [T] {𝑑𝑐 }

Mz1= -21,417.887 Nmm Mz2= -21.372.334,86 Nmm

Sy1=-10,697.56 N Sy2 = 10,697.56 N

Sx1= 12,482.92 N Sx2 = -12.482.92 N

x y

163

Elemen c α=270 o

Sedangkan 𝑑 𝑐 adalah

7.963539655

(0.026090008)

(0.001200836)

-

-

-

Dengan perkalian {dc} = [T] {𝑑𝑐 } maka didapat 𝑑𝑐 sebesar

u1 0.026090008

v1 7.963539655

c1 -0.001200836

u2 0

v2 0

c3 0

100000

0000

0000

000100

0000

0000

cs

sc

cs

sc

T

100000

001000

010000

000100

000001

000010

T

164

Gaya dalam batang c adalah 𝑓𝑐 = 𝑘𝑐 . 𝑑𝑐 dan didapat dengan M-Exell

Sx1

10,697.555

Sy1

12,482.918

Mz1

21,372,334.863

Sx2

(10,697.555)

Sy2

(12,482.918)

Mz2

28,559,336.745

Gaya batang 𝑓𝑐 dapat dilihat di gambar 6.12.

Tahap VII: menggambarkan Bidang Momen, Lintang dan Normal

Dalam menggambarkan bidang momen, lintang dan normal diperhatikan hasil gaya batang

pada gambar 6.9, gambar 6.10 dan gambar 6.11. Maka bidang momen dapat dilihat di gambar

6.12. Selanjutnya gambar bidang Lintang dapat dilihat digambar 6.13 dan gambar bidang

Normal dapat dilihat digambar 6.14.

Mz1= 21,372,334.863 Nmm

Mz2: 28,559,336.745 Ncm

Sy1= - 12,482.918 N

x

Sy1= 12,482.918. N

Sx2= - 10,697.555 N

Sx1= 10,697.555 N

y 1

2

Gambar 6.11: gaya batang fc

165

Mz2: 28,559,336.745 Ncm

Mz1= 21,372,334.863 Nmm

Mz2= 21.372.334,86 Nmm

Mz1= -21,417.887 Nmm

Mz1: 28,650,441 Nmm

Mz2 = 21,417,887 Nmm

Gambar 6.12: Bidang Momen

Sy1= - 12.517 N

Sy2= 12.517 N

Sy1=-10,697.56 N Sy2 = 10,697.56 N

Sy1= 12,482.918. N

Sy1= - 12,482.918 N

Gambar 6.13: Bidang Lintang

166

6.7. Portal bidang dengan beban merata

Pada beban merata maka pada titik simpul yang dimodelkan akan dikerjakan gaya sesuai

dengan Tabel 5.1, contoh adalah pada gambar 3.15, dimana pada batang b akan dimodelkan

gaya luar yang bekerja adalah Fiy, Fjy, Miz dan Mjz yang diambil dari tabel 5.2.

h

L

a

b

c

q Fiy Fjy

Miz Mjz

Sy1= - 10.698 N

Sx2= 10.698 N

Sx1= 12,482.92 N Sx2 = -12.482.92 N

Sx1= 10,697.555 N

Sx2= - 10,697.555 N

Gambar 3.14: Bidang Normal

Gambar 5.15: Model beban terbagi rata pada elemen portal bidang

167

Selanjutnya pada saat menentukan gaya dalam gaya dalam khusus yang ada beban meratanya

adalah berdasarkan

freddkf

Dimana fred adalah kebalikan dari adalah Fiy, Fjy, Miz dan Mjz. Sedangkan yang tidak

ada beban merata maka tidak akan dikurangi dengan fred .

Contoh aplikasi beban merata q= 250 kN/m ada elemen portal bidang pada gambar 6.16 ,

hitung displacement dan gaya dalam. Kolom dan balok dari baja, dimana IZ = 5700 cm4,

E=210000 N/mm2, A= 78,1 cm2

Fiy = F2y = - 0.5 q.L= - 0.5x 250 x 4 = -500 kN, dan Fjy= -500 kN sedangkan Miz = M2z

= −1

12𝑞𝐿2 = −

1

12 250 42 = −333,333 𝑘𝑁𝑀, sedang Mjz=M3z= 333,33 kNM, gaya

tersebut dapat dilihat di gambar 5.17.

Gambar 5.16: Portal bidang dengan beban merata

h

L

a

b

c

q =250 kN/m

168

Gambar 5.17:

Setelah dihitung dengan M-Exell maka displacement adalah

Reaksi pada perletakan

H1 83,219.5

V1 500,000.0

M1 (110,807,429.4)

0.0

(500,000.0)

(333,333,333.3)

(0.0)

(500,000.0)

333,333,333.3

H4 (83,219.5)

V4 500,000.0

M4 110,807,429.4

Gambar lendutan/defleksidan reaksi dapat dilihat di gambar 5.18

u2 0.10148095 mm

v2 -1.21943784 mm

c2 -0.01859030 rad

u3 -0.10148095 mm

V3 -1.21943784 mm

c3 0.01859030 rad

h = 4 m

L = 4

m

a

b

c

2

1

3

4

Fiy=-500

Miz=-333,33 Mjz=+333,33

Fjy=-

5000

169

Gambar 5.18

Kemudian gaya batang a:

Sx1 500,000

Sy1 (83,219)

Mz1 (110,807,429)

Sx2 (500,000)

Sy2 83,219

Mz2 (222,070,381)

Gaya batang c:

Sx1 500,000.000

Sy1 83,219.453

Mz1 222,070,381.351

Sx2 (500,000.000)

Sy2 (83,219.453)

Mz2 110,807,429.370

u2= -0.10148095 mm

v2=-1.21943784 mm

V1 = 500.000 N

V4 = 500.000 N

H1=83.219,5 N

H4=-83.219,5 N

M1=26.650.441,3 Nmm M4=28.559.336,7 Nmm

v3=-1.21943784 mm

u2= -0.10148095 mm

170

Gaya batang b:

Sx1 83,219.45

Sy1 (0.00)

Mz1 (111,262,951.98)

Sx2 (83,219.45)

Sy2 0.00

Mz2 111,262,951.98

Khusus batang b yang direduksi

freddkf

Freduksi adalah

-

500,000.00

333,333,333.33

-

500,000.00

(333,333,333.33)

Maka f batang b menjadi

83,219.45

500,000.00

222,070,381.35

(83,219.45)

500,000.00

(222,070,381.35)

171

Gambar Bidang Momen

Gambar Lintang

Mz2: 110.807.426 Ncm

Mz1= 222.070.381 Nmm

Mz2= 21.372.334,86 Nmm

Mz1= -21,417.887

Nmm

Mz1:- 110.807.426 Nmm

Mz2 = -222,070,381 Nmm

Sy1= - 83.219 N

Sy2= 83.219 N

Sy1=500.000 N Sy2 = 500.000 N

Sy1= -83.219. N

Sy1= - 83.219 N

172

Bidang Normal

Sy1= 500.000 N

Sx2= 500.000 N

Sx1= 83.219 N Sx2 = -83.219 N

Sx1= 500.000 N

Sx2= 500.000 N