Bab 6 Bilangan Kompleks

BAB 6Bilangan Kompleks

Tujuan Pembelajaran Umum :Setelah mempelajari topik ini, Anda diharapkan dapat memahami konsep dasar bilangan kompleks ,sifat-sifat , dan penerapannya pada persoalan teknik .

Tujuan Pembelajaran khususs :Setelah Anda mempelajari topik ini, Anda diharapkan

1) Mampu menentukan penjumlahan ,dan pengurangan bilangan kompleks secara aljabar dan grafik;perkalian dan pembagian bilangan kompleks;

2) Mampu menentukan perkalian ,dan pembagian bilangan kompleks;3) Mampu mengubah bilangan komplek bentuk baku ke bentuk kutub dan

eksponensial;4) Mampu menentukan perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam

bentuk kutub dan eksponensial5) Mampu menentukan akar bilangan kompleks ;6) Mampu menerapkan bilangan kompleks untuk menyelesaikan masalah

rangkaian listrik;

6.1 Konsep Dasar Bilangan Kompleks

Dalam suatu kondisi sering dijumpai bentuk akar negatif , walaupun persoalan yang dihadapi persoalan bilangan real. Sebagai contoh ,himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan

adalah himpunan kosong, karena tidak terdefinisi.Bilangan seperti ini dinamakan Bilangan Imajiner. Jika bilangan ini digabungkan ke dalam bilangan real, akar bilangan dapat ditentukan sekalipun bilangan tersebut negatif.

Kita definisikan = sebagai satuan dasar imajiner , yang memiliki sifat = -1dengan bilangnan ini , akar bilangan negatif dapat ditentukan oleh perkalian dan bilangan real .

Contoh 1. = = 2

Secara umum dituliskan dapat dituliskan (1)

Definisi 1. Bilangan Kompleksa dan b adalah bilangan real dan = maka

z = a + b (2)

Matematika Terapan 1 untuk Teknik Energi 92

dinamakan bilangan kompleks, a dinamakan bagian real, dan b dinamakan bagian imajiner

selanjutnya, bagian real dari bilangan kompleks ditulis, R(z) = adan bagian imajiner ditulikan I(z) = bApabila a = 0, bilangan komplek z = b , yang dinamakan bilangan imajiner asli, sedangkan jika b = 0 , bilangan kompleks z = a adalah real.Secara geometri bilangan kompleks dinyatakan sebagai vektor di bidang yang ditunjukkan dalam gambar 6.1.1, yang selanjutnya gambar tersebut dinamakan Diagram argan.

Panjang vektor dalam gambar 6.1.1 adalah r = dinamakan nilai mutlak atau modulus dari bilangan kompleks z (selanjutnya dituliskan mod(z) = r).Sudut dinamakan argumen dari bilangan kompleks z yang selanjutnya ditulisakan arg(z) = .Sekawan bilangan kompleks a + b yang ditulis = a – b adalah pencerminan bilangan kompleks a + b terhadap sumbu real (R(z))

Contoh 1 Tentukan mod(z) dan sekawan bilangan komples 4 – 3

Matematika Terapan 1 untuk Teknik Energi

r

I(z)

R(z)

z = a + bb

a

Gambar 6.1.1

I(z)

bia

bia

Sekawan

Gambar 6.1.2

R(z)

93

Penyelesaian mod(z) = r = = 5

dan bentuk sekawan = 4 +3

Penjumlahan dan Pengurangan z1 = a + bi dan z2 = c + di , maka z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (b + d)i (3)z1 - z2 = (a + bi) – (c + di) = (a - b) + (b - d)i (4)

Penjumlahan dan pengurangan secara geometri ditunjukkan pada gambar 6.1.3,yang identik dengan penjumlahan dan pengurangan vector.

Contoh 2Apabila z1 = 3 - 4i dan z2 = 2 - 3i , tentukan z1 + z2 , z1 - z2

Penyelesaian Dengan menerapkan persamaan 3 dan 4, diperoleh

z1 + z2 = 5 -7 iz1 - z2 = 1 – i

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleksz1 = a + bi dan z2 = c + di maka z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i (5)

= (6)

Contoh 3

Apabila z1 = 2 - 4i dan z2 = 5 - 7i , tentukan z1 z2 ,

Penyelesaian Dengan menerapkan persamaan 5 dan 6, diperoleh


-z2

z1-z2

z1+z 2 z1

z2

Gambar 6.1.3

94

z1 z2 = 10 – 28 + (-14 – 20 ) i = -18 – 34i

= = = +

Latihan 6.1 Gambarkan pada bidang kompleks, bilangan kompleks dan sekawannya berikut ini

1. (-4-6i) 2. 5-10i3. -2 – 7i 4. -3 – i

Selesaikan operasi-operasi berikut secara grafik dan cek hasilnya secara aljabar5. (1-3i) + (4 + 2i) 6. (2 + i) + (3 – 4i)7. (-4 – 2i) +(6 + 5i) 8. (-3 + 7i) + (-6 + 2i)9. (7 + 5i) – (2 – i) 10. (3 + 2i ) – (1 – 2i)11. (-12 + 4i) –(-5 +5i) 12. (7 +12i)+(1 -11i)13. (-5-9i)-(-3-5i) 14. (-1-4i)-(10+2i)

Tuliskan dalam bentuk baku, setiap operasi yang diberikan. 15. (2 + i)(3 – i ) 16. (1 – 3i)(2 + 2i)17. (2 – i)(3 – 2 i) 18. (3 – 4i)(1 + i)19. (3 – 4i) 20. (4 + 6i)21. (1 + i)2 22. (3 – 4i)2

23. ( - i )2 24. (2 +3i)2

25 26

27 28

29 30

31 32

33 34

6.2. Bentuk-bentuk Bilangan KompleksBentuk bilangan kompleks pada pasal 6.1, dinamakan bentuk baku. Operasi yang lebih rumit seperti memangkatkan atau menarik akar dari suatu bilangan kompleks akan sulit dilakukan apabila bilangan kompleks yang digunakan bentuk baku. Pada pasal ini ,dibahas bentuk – bentuk bilangan kompleks .

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks Bentuk baku bilangan kompleks dengan pada Diagram Argan ditunjukkan pada gambar 6.2.1


Dengan mod(z) = r = , arg(z) = = dan dengan menerapkan definisi

sinus dan cosinus didapat huhungan a = r cos , dan b = r sin

sehingga dalam bentuk kutub , dihasilkan = r cos + i r sin = r (cos + i sin ) (8)

Penulisan bentuk kutub dapat disingkat menjadi r atau r cis ( singkatan dari r( cos + i sin ))

Contoh 1.Nyatakan kedalam bentuk kutub bilangan kompleks -2 - 2 iPenyelesaian

mod (z) = = 4

dan karena bilangan kompleks di kuadran III, diperoleh

arg(z) = = 240o

Dengan demikian, bentuk kutub bilangan kompleks tersebut adalah = 4

Contoh 2.Nyatakan dalam bentuk kutub bilangan kompleks 2 - 2 i


r

I(z)biaz

Gambar 6.2.1

R(z)

96

I(z)

iz 322 Gambar 6.2.2

R(z)

Penyelesaian mod (z) = = 4

Karena bilangan kompleks di kuadran IV, dihasilkan

arg(z) = = 315o

Sehingga 2 - 2 i = 4

Bentuk Eksponensial Bilangan KompleksTeorema 1. Euler

ei = cos + i sin = = cis (9)

Contoh 3.Nyatakan dalam bentuk eksponen bilangan kompleks -1 + iPenyelesaian

mod (z) = dan

arg(z) = = 135o =

jadi

-1 + i =

Teorema 2Apabila = r1 dan = r2 ,

= r1 r2 + ) (10)dan

= = (11)

Contoh 4 Hitunglah

a. (2 - 2 i)( )

b.

Penyelesaian a. dari contoh 4 dan contoh 5, dan persamaan 10,didapatkan

(2 - 2 i)( ) = 4 4 = 16 = 16 = -15,9391 – 1,3945 i

b. dari contoh 4 dan contoh 6, dan persamaan 11,didapatkan


= =

= -0,8967 + 3,3461 i

Teorema 3 De Moivre(12)

Contoh 5.Tentukan (-2 - 2 i)4

Penyelesaian(-2 - 2 i)4 =

Dari persamaan 12,didapat = =

= -128 - 128 i

Akar-akar Bilangan Kompleks Teorema 5Akar pangkat n dari bilangan kompleks r cis diberikan oleh

, dengan k = 0, 1, 2, 3, … (13)

Akar pangkat n dari bilangan kompleks z ( ) memiliki n buah nilai yaitu, , , , …, . Untuk mendapatkannya, ditentukan dengan langkah- langkah berikut Nyatakan bilangan kompleks ke bentuk kutub Nyatakan bentuk akarnya kedalam persamaan 13 Substitusi harga k = 0, 1, 2, 3, … n-1 untuk mendapatkan n buah akar bilangan

kompleks

Contoh 6.Tentukan nilai akar bilangan kompleks berikut

a.b.

Penyelesaian a. r = = 4

= = 60o

Bentuk umum sudut = 60o + k 360 , k = 0 , 1 , 2 , …

Dengan menerapkan persamaan 13, diperoleh = =

karena n = 3 , harga-harga k yang disubstitusikan, k = 0 , 1 , 2 adalah k 0 1 2

Bentuk grafis akar-akar bilangan kompleks ditunjukkan pada gambar 6.2.3


b. r = = 2

= = 330o

Bentuk umum sudut = 330o + k 360 , k = 0 , 1 , 2 , …

Dengan menerapkan persamaan 13, didapatkan = =

n = 5 , harga-harga k yang disubstitusikan, k = 0 , 1 , 2, 3, 4 adalah k 0 1 2 3 4

Latihan 6.2Tuliskan dalam bentuk kutub, dan eksponensial bilangan komplek berikut dengan , 0 < 3601 3 2 2i3 3 + 3i 4 4 – 4i5 -3 + i 6 -63 – 6 i7 -2 + 23 i 8 -33 – 3 i9 3 + i 10 23 – 2 i

Tuliskan dalam bentuk baku bilangan kompleks yang diberikan11 1213 1415 1617 1819 20Gunakan kalkulator, untuk menuliskan bilangan komplek berikut ke bentuk kutub


oz 260433

oz 140432

oz 20431

260o

140o

20o

Gambar 6.2.3

99

dengan , 0 < 36021 2 + 3i 22 -1 + 4i23 -2 – 4i 24 -1 - 11 i25 3 + 2i 2627 (1 -3i)2 28 (1 + 3i)3

29 (5 - 3 i)2 30

Selesaikanlah operasi berikut, dengan menerapkan teorema perkalian dan pembagian bentuk kutub.Selanjunya tentukan bentuk bakunya.31 3233 34

35 36

37 38

39 40

Terapkan teorema De Moivre, untuk menyelesaikan bentuk-benuk pangkat berikut 41. (1 + i)5 42. (-1 + i)6

43. (2 – 2i)6 44. (-3-3i)4

45. (- - i )6 46. (1 - 3)7

47. (-33 – 3i)5 48. (-2 + 23)4

6.3 Penerapan Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks digunakan untuk menganalisis masalah teknik. Seperti yang dibahas dalam pasal ini, masalah rangkaian listrik dengan komponen-komponennya adalah hambatan R[ohm], suatu induktor yang mempunyai induktansi L[henry], dan kapasitor yang berkapasitansi C [farad], juga sumber gaya gerak listrik (elektromotif) V [volt].Sifat- sifat yang digunakan dalam menganalisis rangkaian listrik adalah arus I yang melalui hambatan murni R memiliki phase yang sama dengan tegangan

VR (Gambar 6.3.1)VR = I R (14)


VR

I

VR

I

R

Gambar 6.3.1

100

arus I yang melalui induktansi murni L, ketinggalan 90o dengan tegangan VL ( Gambar 6.3.2 )

VL = I XL ( XL : Reaktansi induktif ) (15)XL = , ( f : frekuensi ) (16)

arus I yang melalui kapasitansi murni C, memimpin 90o dengan tegangan VC ( Gambar 6.3.3 )

VC = I XC ( XC : Reaktansi kapasitif ) (17)

XC = , ( f : frekuensi ) (18)

Selanjutnya ,arus yang melalui rangkaian seri R , L dan, C dijabarkan sebagai berikut arus I yang melalui rangkaian seri hambatan R dan induktansi L, ketinggalan o dengan tegangan V ( Gambar 6.3.2 )Dengan menuliskan iVL menyatakan I ketinggalan 90o dengan tegangan VL , dihasilkan

V = VR + i VL (19)dari persamaan 14 dan 15, persamaan 19 dituliskan

V = I R + i I XL = I (R + i XL ) V = I Z , ( Z : Impedansi kompleks ) (20)

Impedansi = mod (Z), mod (Z) =

dan

Arg(Z) = =


VL

L

I

VLI

Gambar 6.3.2

C

VC

I

VC

I

Gambar 6.3.1

101

Arus I yang melalui rangkaian seri hambatan R dan kapasitansi C, memimpin o dengan tegangan V ( Gambar 6.3.3 )Dengan menuliskan -i VC menyatakan I memimpin 90o dengan tegangan VC , dituliskan

V = VR - i VC (21)Dari persamaan 14 dan 17, persamaan 21 dituliskan menjadi

V = I R - i I XC = I (R - i XC ) V = I Z , ( Z : Impedansi kompleks ) (22)

Dan modulus dari impedansi Z , dihasilkan mod (Z) =

dan

Arg(Z) = =

Contoh 1Tentukan besar hambatan, dan induktansi dari rangkaian yang dihubungkan seri dengan impedansi

a. 20 + i 10 b.

dan diketahui frekuensi sumber tegangan 50 HzPenyelesaiana. Impedansi kompleks

Z = 20 + i 10 Dari persamaan 20 , diperoleh

R = 20 , dan XL = 10 Dengan menerapkan persamaan 16, didapatkan


V = IZ

V

L

VR = IR

VL = I XLI

Gambar 6.3.2

R

V = IZ

V

C

VR = IR

VC = I XC

I

Gambar 6.3.3

R

102

L = = = 0,0318 H

b. Z = = 14 + i 24,25 R = 14 , dan XL = 24,25

L = = = 0,0772 H

Contoh 2Tentukan besar hambatan dan kapasitansi dari rangkaian yang dihubungkan seri dengan impedansi a. -i 40 b. dan diketahui frekuensi sumber tegangan 50 Hz

Penyelesaiana. Impedansi kompleks

Z = -i 40

Karena bagian imajiner negatif , reaktansinya adalah kapasitif, dan dari persamaan 22, dihasilkan

R = 0 , dan XC = 40 Dengan menerapkan persamaan 16, diperoleh

C = = F

C = = 79,58

b. Z = = 28,28 - i 28,28R = 28,28 , dan XC = 28,28

C = = = 112,56

Contoh 3Sumber tegangan AC besarnya 200 Vdan frequensi 50 Hz yang dihubungkan dengan suatu rangkaian dengan impedansi 10 – 20 i . Hitunglah a) Resistor R b) kapasitansi C c) Besar impedansi d) Besar arus Penyelesaian a). Impedansi kompleks

Z = 10 – 20 i R = 10 , dan XC = 20

b). Dari persamaan 16, kapasitansinya adalah

C = F = = 159,15

c). Besar impedansi = mod (Z)mod (Z) = = 22,36

Arg (Z) = = -63,43o


d). Dari I = , karena V dan Z bilangan kompleks dan dengan menerapkan

persamaan 11, dihasilkan I = = = 10,73 63,43 Amper

Latihan 6.3Tentukan Resistor R dan induktansi L atau kapasitansi yang dihubungkan seri, untuk setiap impedansi berikut ini. (Asumsikan frequensi 50 Hz)

1. 4 + 7i 2. 3 – 2i 3. 10 i 4. -200i 5. 15

6. Sumber tegangan AC yang besarnya 100 V, dan frequensi 50 Hz yang dihubungkan dengan suatu rangkaian dengan impedansi 20 – 30 i .

Hitunglah a) Resistor R b) Capasitansi C c) sudut phase antara arus dan tegangan.7. Dua tegangan dinyatakan oleh 15 + 10 i dan 12 – 4i volt. Tentukan besar Resultan kedua tegangan tersebut.8. Dua buah impedansi, Z1 = 2 + 6i dan Z2 = 5 – 2i , dihubungkan seri dengan

sumber tegangan 100 V . Hitunglah besar arus dan sudut phase relatif terhadap tegangan.9. Selesaikan soal 8, untuk Z1 dan Z2 yang dihubungkan paralel


Rangkuman

1. Bentuk Baku Bilangan Kompleks z = a + bi

dengan a : bagian riil dari z ( R(z) = a ) , b : bagian imaginer dari z ( I(z) = b ) i = , dalam diagram argan digambarkan

dengan r = dan tan = r : disebut nilai mutlak dari z ( )

: dinamakan argumen dari z ( arg(z) = )

2. Penulisan a + bi = r

bentuk ini dinamakan bentuk kutub , dan dapat juga dituliskan r = r cis

r cis singkatan dari r cis = r cos + i sin

3. Bentuk sekawan bilangan kompleks z = a + bi

4. Empat dasar operasi bilangan Kompleks Penjumlahan

(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (b + d)i


x =R(z)

y =I(z)

r

b

a

105

Pengurangan (a + bi) – (c + di) = (a - b) + (b - d)i Perkalian (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i Pembagian

5. Bentuk eksponensial Teorema Euler

ei = r = r cis

6. Perkalian dan pembagian bentuk kutubr1 r2 = r1 r2 + )

=

7. Nilai pangkatTeorema De Moivre

untuk semua n bilangan riil

8. Nilai akarAkar ke n dari bilangan kompleks r cis diberikan oleh



Bab 6 Bilangan Kompleks

Documents