BAB 5-Madis TREE.pdf

Bab V Tree

BAB V TREE

1.Pengantar

Pada bab 1 dan 4 telah dibahas Teori Himpunan dengan objek diskrit dan graf

beserta beberapa contoh soal dan latihan materi yang telah dipelajari tersebut

mendasari dalam mempelajari materi tree(pohon) pada bab ini.

2. Kompetensi

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat memahami pentingnya

mempelajari tree (aplikasi graf ) dan penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari

secara tepat.

3. Pokok bahasan: Pohon (Tree)

Sub Pokok bahasan :

Definisi Pohon (Tree) Hutan (forest)

Pewarnaan pohon

Pohon Perentang(spanning tree)

Terminologi pada pohon berakar

Pohon terurut

Pohon m-aray

Pohon Biner

Pohon Ekspresi

Pohon Keputusan

Kode Huffman

4. Kegiatan Belajar :

Pohon (Tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung

sirkuit. Konsep pohon merupakan salah satu konsep dari graf yang terapannya

Matematika diskrit V-1

Bab V Tree

banyak digunakan baik di bidang ilmu komputer maupun bidang lain yang mengkaji

pohon sebagai obyek matematika. Pada kehidupan sehari hari tanpa disadari kita

telah menerapkan konsep tree untuk menggambarkan hirarki, misalnya hirarki silsilah

keluarga, pertandingan olah raga, struktur organisasi. Penggunaan dalam tata bahasa

seperti untuk menguraikan kalimat yang disebut dengan pohon parsing(parse tree)

Menurut sejarah, teori pohon(tree) telah digunakan sejak tahun 1857 yaitu

matematikawan Inggris Arhtur cayley menerapkan teori pohon untuk menghitung

jumlah senyawa kimia. Pada bab 5 ini kita akan membahas tree yang ditinjau dari

teori graf.

Definisi 5.1. Pohon(tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak

mengandung sirkuit

Contoh 5.1.

Gambar 5.1. : G1 pohon , G2 dan G3 bukan pohon Gambar 5.1. menerangkan bahwa G1 merupakan pohon karena G1 merupakan graf

tak berarah terhubung dan tidak mengandung sirkuit, G2 bukan pohon karena dalam

graf G2 memuat sirkuit dan G3 juga bukan pohon karena grafnya tak terhubung.

Apabila G = (V,E) adalah pohon maka V tidak boleh berupa himpunan

kosong, tetapi E boleh berupa himpunan kosong. Contohnya graf yang terdiri atas

satu simpul, disini V tidak kosong tetapi himpunan sisi E kosong.

4.1. Hutan (forest)

Forest adalah kumpulan pohon yang saling lepas, atau graf yang tidak

terhubung dan tidak mengandung sirkuit.


Bab V Tree

Pohon didefinisikan juga sebagai graf tidak berarah dengan sifat bahwa

hanya terdapat sebuah lintasan tunggal antara setiap pasang simpulnya .

Contoh 5.2.

Gambar 5.2. : Hutan yang terdiri atas tiga buah pohon

Ketiga graf gambar 5.2 merupakan hutan yang terdiri atas tiga pohon yang saling lepas atau

tidak terhubung.

Sifat Pohon :

Sifat–sifat pohon dapat diperhatikan pernyataan pada teorema 5.1 sebagai

berikut.

Teorema 5.1. : Misalkan G = (V,E) adalah graf tidak berarah sederhana dengan jumlah simpulnya n. Maka pernyataan berikut ekivalen :

1. G adalah pohon

2. Setiap pasang simpul didalam G terhubung dengan lintasan tunggal.

3. G terhubung dan memiliki m = n-1 buah sisi

4. G tidak mengandung sirkuit dan memilik m = n-1 buah sisi.

5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan

membuat hanya satu sirkuit .

6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan ( Jembatan adalah sisi

yang apabila dihapus menyebabkan graf tidak terhubung).

4.2. Pewarnaan pohon

Apabila ditinjau dari teori pewarnaan graf, maka pohon mempunyai

bilangan kromatik 2 dengan kata lain dua buah warna cukup untuk mewarnai


Bab V Tree

simpul - simpul di pohon sedemikian tidak ada dua buah simpul yang bersisian

mempunyai warna sama. Untuk ilustrasi diberikan pohon dengan simpul

bertetangga diberi dua warna yang berbeda sbb:

Contoh 5.3 : Diberikan tree yang simpul bersisian akan diberi warna yang

berbeda maka dalam pewarnaannya cukup menggunakan dua warna.

Gambar 5.3. Tree yang simpulnya akan diberi warna

Jawab :

Diambil dua buah warna untuk mewarnai simpul-simpul misal merah dan

hijau dalam pewarnaannya dua simpul yang bersisian diberi warna yang berbeda

apabila simpul a diberi warna merah maka simpul b diberi warna hijau karena

simpul b bersisian dengan simpul a. Karena simpul b berwarna hijau maka

simpul c berwarna merah dan simpul d, e, f berwarna hijau karena bersisian

dengan simpul c. Maka simpul yang berwarna merah : a, c dan yang berwarna

hijau b, d, e, f jadi dua warna pada contoh tersebut merah dan hijau dapat

digunakan untuk mewarnai tree yang dimaksud .

4.3 Pohon Perentang (spanning tree)

Misalkan G =( V, E ) adalah graf tidak berarah terhubung yang bukan

pohon maka graf G memuat beberapa sirkuit. Graf G dapat diubah menjadi

pohon T = ( Vi, Ei) dengan cara memutuskan sirkuit yang ada yaitu :


Bab V Tree

1. Pilih salah satu circuit lalu putuskan dengan Graf G tetap terhubung.maka

jumlah circuit berkurang satu.

2. Lakukan proses tersebut sehingga circuitnya hilang dari graf G.

maka graf G berubah menjadi pohon T, yang disebut dengan Pohon perentang

(spanning tree). Dalam hal ini simpul dalam T sama dengan simpul dalam graf G

sedangkan sisi dalam T merupakan bagian dari sisi dalam graf G.

Contoh 5.4: Dari graf G sbb

Gambar 5.4. Graf yang akan dijadikan tree

Dapat dibangun pohon (tree) dengan cara menghapus circuit satu demi

satu sehingga diperoleh tree sbb :

Gambar 5.5 Tree yang mungkin terjadi

T1 , T2 dan T3 , adalah pohon yang diperoleh dengan menghapus circuit pada graf G

Gambar 5.4. 4.3.1. Pohon Rentang Minimum (minimum spaning tree).

Apabila G adalah graf berbobot, maka bobot pohon rentang T dari G

didefinisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohon rentang yang berbeda


Bab V Tree

mempunyai bobot yang berbeda pula . Diantara semua pohon rentang dalam graf

G, pohon rentang yang berbobot minimum dinamakan pohon rentang

minimum(minimum spaning tree) pohon merentang minimum ini mempunyai

terapan yang luas dalam masalah riil.

Contoh 5.5.: Misalkan akan dibangun jalur transpotasi darat yang menghubungkan

sejumlah kota di suatu pulau, dalam rancangannya digambarkan sbb :

Gambar 5.6. Graf rancangan jalur transpotasi darat

dari rancangan yang ada diambil jalur yang terpendek dengan harapan biaya

pembuatan lebih murah. Oleh karenanya diperlukan pohon merentang minimum

untuk menyelesaikan permasalahan yang ada yaitu :

Gambar 5.7. Pohon merentang minimum jalur transpotasi darat

Dalam membangun pohon rentang minimum terdapat dua algoritma yaitu

algoritma prim dan algoritma kruskal.


Bab V Tree

Algoritma Prim

Algoritma Prim membentuk pohon rentang minimum langkah demi langkah.

Pada setiap langkah diambil sisi dari graf G yang mempunyai bobot minimum

tetapi terhubung dengan pohon rentang minimum.

Langkah 1 : Ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukan ke

dalam T.

Langkah 2 : Pilih sisi (V1,V2) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian

dengan simpul di T, tetapi (V1,V2) tidak membentuk sirkuit di T.

selanjutnya tambahkan (V1,V2) ke dalam T.

Langkah 3 : Ulangi langkah 2 sebanyak n-2 kali.

Secara keseluruhannya algoritma Prim mempunyai 1 + (n-2) = n-1 jumlah

langkah, yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon rentang dengan n buah simpul.

Algoritma prim jika ditulis dalam notasi pseudo-code sbb:

Algoritma 5.1. algoritma untuk membentuk pohon merentang minimum

Prosedur Prim (input G : graf, output T; pohon)

{Membentuk pohon merentang minimum T darigrafterhubung G.

Masukan :

graf-berbobot terhubung G = (V,E)yang sama |V| = n

Keluaran : pohon merentang minimum T = (V,E)

}

Deklarasi

e : sisi

algoritma

T ← sisi e yang mempunyai bobot minimum dalam E

dan bersisian dengan simpul dalam T


Bab V Tree

E ← E-{e}{ e sudah dipilih jadi e dibuang dari}

For i ← 1 to n – 2 do

E ← sisi yang mempunyai bobot terkecil di dalam E

dan bersisian dengan simpul di T

T ← T ∪ {e} {masukkan e ke dalam T yang sudah

terbentuk}

E ← E-{e} { e sudah dipilih , jadi buang e dari E}

Algoritma Kruskal Pada algoritma Kruskal ini, sisi-sisi graf akan diurut berdasarkan bobotnya

yang menaik ( dari kecil ke besar). Sisi dari graf G yang membentuk pohon

dimasukkan dalam himpunan T. Dalam keadaan awal, sisi yang sudah diurut

berdasarkan bobot membentuk hutan(forest), masing- masing pohon yang membentuk

hutan hanya berupa satu simpul. Hutan tersebut dinamakan hutan pohon rentang

(spaning forest) selanjutnya tambahkan sisi dari graf G kedalam T jika ia tidak

membentuk siklus di T.

Langkah Algoritma Kruskal

Langkah 0 : Sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot

kecil ke bobot besar.

Langkah 1 : T masih kosong

Langkah 2 : Pilih sisi (V1,V2) dengan bobot minimum yang tidak membentuk

sirkuit di T. Tambahkan (V1,V2) ke dalam T.

Langkah 3 : Ulangi langkah 2 sebanyak n-1 kali.

4. 3.2. Pohon Berakar

Pohon berakar(rooted tree) adalah pohon yang satu buah simpulnya diperlukan

sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah .

Akar mempunyai derajad masuk sama dengan nol dan simpul lainnya berderajad

masuk sama dengan satu. Simpul yang mempunyai derajad keluar sama dengan nol

disebut daun atau simpul terminal.


Bab V Tree

Simpul yang mempunyai derajad keluar tidak sama dengan nol disebut simpul

dalam atau cabang. Pada gambar 5.8. simpul A disebut sebagai akar dan dari

simpul A dapat dicapai simpul-simpul lainnya. Sedangkan F, G, H, D, J dan I

disebut dengan simpul akhir. Setiap simpul di pohon dapat dicapai dari akar dengan

sebuah lintasan tunggal.

Contoh ; 5.6

Gambar . 5.8. Lintasan tungggal dicapai dari akar A

4.4. Beberapa terminology pada pohon berakar

Pandang gambar pohon berakar berikut

.

Gambar 5.9. Pohon berakar

Anak (child atau children) dan orang tua (paren)

Misal X sebuah simpul di dalam pohon berakar. Simpul Y dikatakan anak

simpul X jika ada sisi dari simpul X ke Y , pada keadaan demikian X disebut

orangtua ( parent) Y.


Bab V Tree

Contoh 5.7.: Dari gambar 5.9 dikatakan bahwa simpul B, C disebut simpul

anak(child) dari simpul A dan A disebut sebagai orang tua (parent).

Lintasan (path)

Lintasan dari simpul vi ke simpul vk adalah runtunan simpul-simpul v1 v2 …

vk sedemikian vi adalah orang tua dari v i+1 untuk 1 ≤ i ≤ k. panjang lintasan

adalah jumlah sisi yang dilalui dalam suatu lintasan yaitu k-1.

Keturunan (descendant) dan leluhur (ancestor).

Jika terdapat lintasan dari simpul X ke simpul Y di dalam pohon, maka X

adalah leluhur dari simpul Y dan Y adalah keturunan simpul X. Contoh pandang

gambar 5.9., simpul C merupakan leluhur simpul J , begitu juga J merupakan

keturunan dari C

Saudara Kandung (sibling)

Simpul yang ber-orangtua sama disebut saudara kandung satu sama lain,

contoh. pandang gambar 5.9, simpul B,C merupakan merupakan saudara kandung

karena mempunyai orang tua yang sama yaitu A.

5. Upapohon (subtree)

Misalkan X adalah simpul didalam pohon T, maka yang dimaksud dengan

upapohon dengan X sebagai akarnya ialah subgraf T’(V’,E’) sedemikian V’

mengandung X dan semua keturunannya dan E’ mengandung sisi –sisi dalam

semua lintasan yang berasal dari X.


Bab V Tree

Contoh 5.8:

Gambar 5.10. Subtree T’ = (V,E) dengan G sebagai akarnya

Dari subtree gambar 5.10. diketahui subtree T’=(V,E) dengan G sebagai

akarnya dengan himpunan simpul adalah V’={ G, K, L, M} dan himpunan sisi

E’={(G,K),(K,L),(K,M)}

Derajad (degree)

Derajad sebuah simpul adalah jumlah subtree (atau jumlah anak) pada simpul .

Daun(leaf)

Simpul yang berderajat nol (tidak mempunyai anak). Simpul dalam(internal

nodes) adalah simpul yang mempunyai anak.

Aras (level) atau tingkat

Akar mempunyai tingkatan sama dengan 0 (nol), sedangkan tingkatan simpul

lainnya mempunyai tingkatan 1 (satu) ditambah panjang lintasan dari akar ke

simpul tersebut. Untuk ilustrasi dapat dilihat gambar berikut

Gambar 5. 11: Pendefinisian Level Tiap Simpul.


Bab V Tree

Tinggi (height) atau kedalam (depth)

Level maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman tersebut

atau tinggi pohon adalah panjang maksimum lintasan dari akar ke daun.

4.5. Pohon terurut

Pohon terurut (order tree) adalah pohon berakar yang memperhatikan urutan anak.

4.5.1. Pohon m-aray

Adalah pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling

banyak m buah anak yang disebut m-ary. Jika m=2 pohon disebut sebagai pohon

biner(binary tree). Pohom m-ary dikatakan teratur atau penuh(full) jika setiap

simpul cabang mempunyai tepat m anak.

4.5.2. Pohon Biner

Pohon biner merupakan kasus khusus pohon m-ary jika m = 2. Pohon biner

adalah pohon yang setiap simpul cabangnya mempunyai maksimum dua buah anak,

anak dengan arah kiri disebut anak kiri(left child) dan anak kanan (right child). Left

subtree adalah pohon yang akarnya anak kiri dan pohon yang akarnya anak kanan

disebut dengan right subtree .

Gambar 5.12. : Pohon biner simpul cabang maksimum mempunyai dua anak

Pohon yang semua simpulnya terletak dibagian kiri saja atau dibagian kanan

saja disebut pohon condong(skewed tree), pohon yang condong ke kiri disebut pohon

condong kiri (skew left), pohon yang condong ke kanan disebut pohon condong


Bab V Tree

kanan (skew right). Pohon biner penuh (full binary tree) adalah pohon biner yang

setiap simpulnya mempunyai tepat dua buah anak kiri dan kanan.

Gambar 5. 13 : Pohon biner penuh

Gambar 5. 13 : Pohon biner seimbang

Pohon biner seimbang (balanced binary tree) adalah pohon biner yang

perbedaan tinggi antara subtree kiri dan kanan maksimal 1( satu).

4.5.3. Pohon Ekspresi

Pohon biner ekspresi adalah pohon biner dengan daun menyatakan operand

dan simpul dalam menyatakan operator. Contoh ekspresi pohon biner (a + b) * (c /

(d + e )) dinyatakan dalam pohon biner gambar 5.14. Daun menyatakan operand a ,

b, c, d dan e simpul dalam termasuk akar dinyatakan operator +, * dan /.

Ilustrasi proses dari ekspresi pohon biner (a + b) * (c / (d + e )) adalah sebagai

berikut


Bab V Tree

Gambar : 5.14. Ekspresi pohon biner (a + b) * (c/(d+e))

Compiler menggunakan pohon ekspresi untuk mengevaluasi ekspresi yang

ditulis dalam notasi infix yaitu operator berada diantara dua buah operand pada

notasi prefik (polish notation) operand mendahului dua buah operand-nya,

sedangkan notasi postfik (inverse polish notation) kedua operan mendahului

Operatornya.

Contoh 5.9

Ekspresi dalam bentuk infix : (a+b)*(c/(d+e)) .

Ekspresi dalam bentuk prefix * + ab/c+de

Ekspresi dalam bentuk postfik ab+cde+/*

Pembentukan pohon Ekspresi dari eksppresi dalam bentuk infik (a+b)*(c/(d+e)) .

Gambar : 5.15. Pembentukan pohon ekspresi (a+b)*(c/(d+e)).


Bab V Tree

Gambar 5.15. menerangkan proses penyusunan pohon ekspresi bentuk infik

yang dibangun dari bawah ke atas dengan memperhatikan urutan prioritas

pengerjaan operator ( +, -, *, / ). Jadi dalam pembentukan pohon ekspresi (a + b) * (c

/(d + e)) diawali dengan membentuk subtree (d + e) selanjutnya membentuk subtree

(c /(d + e) dan (a + b) akhirnya subtree (c / (d + e) dan (a + b) digabung.

4.5.4. Pohon Keputusan

Pohon keputusan digunakan untuk memodelkan persoalan yang terdiri atas

serangkaian keputusan yang mengarah ke solusi. Setiap simpul dalam menyatakan

keputusan , sedangkan daun menyatakan solusi.

Contoh 5.10 : Akan diurutkan tiga bilangan a,b, dan c, alur kemungkinannya sbb :

Gambar 5.16. Pohon keputusan untuk membandingkan bilangan a, b dan c

Proses pengurutan bilangan gambar 5.16 adalah pertama membandingkan

bilangan a dan b apabila bilangan a > b maka a dibandingkan bilangan c.

apabila bilangan b > c maka b dan c dibandingkan demikian seterusnya sehingga

diperoleh kemungkinan bilangan a > b > c atau a > c > b atau b > a > c atau b > c> a.

Kode awalan

Kode awalan (prefix code) adalah himpunan kode, missal kode biner, sedemikian

sehingga tidak ada anggota kumpulan yang merupakan awalan dari anggota yang

lain.


Bab V Tree

Contoh diberikan himpunan kode perfiks { 000,001,01,10,11}, pohon biner dari

kode prefiks { 000,001,01,10,11}

Gambar 5. 17. Pohon biner dari kode prefiks { 000,001,01,10,11}

kode awalan pada pohon biner yang bersesuaian sisi diberi label 0 atau 1.

Pelabelan harus konsisten sisi kiri diberi label 0 saja ( atau 1 saja) sedangkan sisi

kanan dilabeli 1 saja (atau 0 saja). Barisan sisi-sisi yang dilalui oleh lintasan dari

akar ke daun menyatakan kode awalan. Kode awalan ini ditulis pada daun.

Kode Huffman

Dalam komunikasi data pesan (messege) yang dikirim seringkali ukurannya

sangat besar sehingga waktu pengirimannya lama. Begitu juga dalam penyimpanan

data, arsip(file) yang berukuran besar memakan ruang penyimpanan yang besar

pula. Kedua masalah ini dapat diatasi

Table kode ASCII untuk beberapa karakter sbb :

No Simbol Kode ASCII

1 A 01000001

2 B 01000010

3 C 01000011

4 D 01000100


Bab V Tree

Akan dibuat pohon Huffman untuk pesan ABACCDA

Dengan rangkaian bit sbb

01000001010000100100000101000011010000110100010001000001

Tabel keseringan muncul dan kode Huffman untuk string ABACCDA sbb:

No Simbol Keseringan Probabilitas Kode Huffman

(diperoleh dari pohon biner)

1 A 3 3/7 0

2 B 1 1/7 110

3 C 2 2/7 10

4 D 1 1/7 111

Sehingga string ABACCDA dengan kode Huffman direpresentasikan sbb :

0110010101110

Kode Huffman untuk masing-masing karakter dapat diperoleh dari Pohon Huffman

Gambar 5,18. Pohon Huffman untuk string ABACCDA

Untuk memperoleh kode Huffman terlebih dahulu kita harus menghitung keseringan

kemunculan masing-masing symbol dalam teks, selanjutnya dibuat pohon biner sbb :


Bab V Tree

1. Kita pilih dua simbol dengan probabilitas paling kecil , pada contoh tersebut

huruf B dan D mempunyai probabilitas keseringan muncul paling kecil. Simbol

orang tua dari B dan D adalah BD dengan probabilitas keseringan muncul 1/7 +

1/7 = 2/7 yang merupakan jumlah dari probabilitas B dan D.

2. Pilih dua simbol berikutnya yang probabilitasnya kecil , pada contoh ini C

dengan probabilitas 2/7 dan BD 2/7. kombinasisikan kedua simbol sehinnga

diperoleh simpul orang tua CBD dengan probabilitas 4/7.

3. Simpul ABCD diperoleh dengan mengkombinasikan simpul A dan CBD

probabilitas keseringan muncul 7/7.

4. dalam pohon biner tersebut cabang pada sisi kiri diberi label 0 (nol) dan sisi

kanan diberi label 1(satu).

5. Dari pohon Huffman diperoleh symbol A mempunyai kode huffman 0, CBD

kode 1, C kode 10, B kode 110 dan symbol D mempunyai kode 111.

Resume :

1. Pohon(tree) adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit

2. Apabila G = (V,E) adalah pohon maka V tidak boleh berupa himpunan kosong,

tetapi E boleh berupa himpunan kosong.

3. Forest adalah kumpulan pohon yang saling lepas, atau graf yang tidak

terhubung dan tidak mengandung sirkuit.

4. Misalkan G = (V,E) adalah graf tidak berarah sederhana dengan jumlah

simpulnya n. Maka pernyataan berikut ekivalen :

a. G adalah pohon

b. Setiap pasang simpul didalam G terhubung dengan lintasan tunggal.

c. G terhubung dan memiliki m = n-1 buah sisi

d. G tidak mengandung sirkuit dan memilik m = n-1 buah sisi.

e. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan

membuat hanya satu sirkuit .

f. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan ( Jembatan adalah sisi

yang apabila dihapus menyebabkan graf tidak terhubung).


Bab V Tree

5. Pohon Perentang (spanning tree)

Misalkan G =( V, E ) adalah graf tidak berarah terhubung yang bukan pohon

maka graf G memuat beberapa sirkuit. Graf G dapat diubah menjadi pohon

T = ( Vi, Ei) dengan cara memutuskan sirkuit yang ada yaitu :

a. Pilih salah satu circuit lalu putuskan dengan Graf G tetap terhubung

maka jumlah circuit berkurang satu.

b. Lakukan proses tersebut sehingga circuitnya hilang dari graf G. 6. Pohon berakar (rooted tree)

Pohon berakar (rooted tree) adalah pohon yang satu buah simpulnya diperlukan

sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah.

a. Akar mempunyai derajad masuk sama dengan nol dan simpul lainnya

berderajad masuk sama dengan satu. Simpul yang mempunyai derajad

keluar sama dengan nol disebut daun atau simpul terminal.

b. Simpul yang mempunyai derajad keluar tidak sama dengan nol disebut

simpul dalam atau cabang.

7. Pohon terurut (order tree) adalah pohon berakar yang memperhatikan urutan anak.

a. Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak

m buah anak yang disebut m-ary.

b. Jika m = 2 pohon disebut sebagai pohon biner(binary tree). Pohon biner

adalah pohon yang setiap simpul cabangnya mempunyai maksimum dua

buah anak, anak dengan arah kiri disebut anak kiri (left child) dan anak

kanan (right child).

c. Pohom m-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul

cabang mempunyai tepat m anak.


Bab V Tree

Referensi :

1. Deo N, 1984, Graph theory with Applications to Engineering and Computer

Science, Prentice-Hall .

2. Johnsonbaugh, 2005, Discrete Mathematics , Prentice Hall.

3. John A. Dossey. Albert D. Otto 2006, Discrete Mathematics , Addison

Wesley New York.

4. Munir R, 2005, Matematika Diskrit', Informatika Bandung.

5. Susana EP , 2004, Discrete Mathematics with Aplications , Thomson

Learning Singapoure

Latihan :

Graf soal 5.1- 5.4 mana yang termasuk tree

5.5. Berapa banyak simpul pada tree dengan 15 sisi?

5.6. Berapa banyak sisi pada tree dengan 21 simpul?

5.7. Dengan menggunakan algoritma prime tentukan minimal spaning tree untuk

gambar berikut


Bab V Tree

5.8. Tunjukkan bahwa sebuah pohon biner teratur mempunyai sejumlah ganjil

simpul.

5.9. Gambarkan semua pohon rentang dari graf lengkap dengan 4 buah simpul.

5.10 . Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut :

P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O,

a). Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk.

b). Tentukan hasil penelusuran preorder , inorder dan postorder dari jawaban a).

Soal 5.11 – 5.12 untuk setiap pohon berakar berikut tentukan

a) Akar

b) Simpul dalam

c) Simpul akhir

d) Orang tua(parent) dari F

e) Keturunan (descendant) dari D

f) leluhur (ancestor) dari H


Bab V Tree

5.13. Kontruksikan ekspresi tree pada ekspresi berikut :

a). a * b + c

b). ((a-b/c)*(d + e/f )

c). (4 + 2) * ( 6 - 8)

5.14. Gambarkan binary Tree pada ekspresi berikut

a). a * b – (c/(d+e)

b). a /(b-c.d )

5.15. Buatlah pohon Huffman untuk string abaaccdeba dengan ketentuan simbol

dengan peluang lebih kecil sebagai anak kiri dan simbol dengan peluang lebih

besar sebagai anak kanan , sisi kiri dilbeli dengan 0 dan sisi kanan dengan 1.

Tuliskan kode Huffman untuk setiap simbol pembentuk string, selanjutnya

tuliskan rangkaian bit yang merepresentasikan string tersebut dengan kode

Huffman.

5.16. Tentukan spaning tree yang mungkin terjadi untuk tree berikut


Bab V Tree

5.17. Gunakan algoritma kruskal untuk menentukan spaning tree untuk graf berikut

Dengan simpul awal A


BAB 5-Madis TREE.pdf

Documents