-
BAB 3 PEMBUKTIAN VALIDITAS KALIMAT LOGIKA ASUMSI SALAH Perlu
pembuktian nilai True untuk semua interpretasi (2n) Membutuhkan
langkah pembuktian yang panjangAkan lebih mudah membuktikan bahwa
ada 1 interpretasi yang menyebabkan nilai kalimat salah Tidak valid
Asumsi salah tidak mungkin terjadi ValidContoh Soal 3.1 Buktikan
validitas kalimat A : if ((not x) or (not y)) then (not(x and
y))Jawab :Bentuk kalimat implikasi A : A1 A2(~ x ~ y) ~ (x
y)Misalkan A diasumsikan salah yang berarti
:Antsenden/premis/hipotesis A1 benar (~ x ~ y) =
Tkonklusi/konsekuen A2 salah ~ (x y) = F
-
Ada dua cara pembuktian valid/tidak valid A : (~ x ~ y) ~ (x
y)a.) Dimulai dari konklusi dulu (A2 = F) periksa apakah
hipotesisnya (A1 = T) ?b). Dimulai dari hipotesisnya dulu (A1 = T)
periksa apakah konklusinya (A2 = F) ? a). Konklusi A2 : ~ (x y) = F
(x y) = T x = T dan y =TPeriksa hipotesis A1 : (~ x ~ y) = F F = F
seharusnya A1 = TAsumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A
validb) Hipotesis A1 = (~ x ~ y) = T, ada beberapa kemungkinan
:Asumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A valid
Hipotesis A1(~ x ~ y) = TAkibatnya pada konklusi A2~ (x y)
Kondisi A2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx =
F dan y = FTFYax = F dan y = TTFYax = T dan y = FTFYa
-
Contoh Soal 3.2 Buktikan validitas kalimat B : (if x then y) if
and only if ((not x) or y)Jawab :Bentuk kalimat B biimplikasi B1
B2(x y) (~x y)Misalkan B diasumsikan salah, maka ada 2 kemungkinan
:a). hipotesis B1 benar (x y) = T dan konklusi B2 salah (~x y) =
Fb). hipotesis B1 salah (x y) = F dan konklusi B2 benar (~x y) =
Ta1). Dimulai dari hipotesis dulu (x y) = T dan (~x y) = F
Hipotesis B1(x y) = TAkibatnya pada konklusi B2 (~x y) =
FKondisi yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = T
dan y = TTFYax = F dan y = TTFYax = F dan y = FTFYa
-
a2). Dimulai dari konklusi dulu (x y) = T dan (~x y) = Fb1).
Dimulai dari hipotesis dulu(x y) = F dan (~x y) = T
Konklusi B2(~x y) = FAkibatnya pada hipotesis B1 (x y)Kondisi
yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = T dan y =
FFTYa
Hipotesis B1(x y) = FAkibatnya pada konklusi B2 (~x y) =
FKondisi B2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx
= T dan y = FFTYa
-
b2). Dimulai dari konklusi dulu (x y) = F dan (~x y) = T
Jadi asumsi B = F tidak pernah terjadi kalimat B valid
Konklusi B2(~x y) = TAkibatnya pada hipotesis B1 (x y) Kondisi
B1 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = F dan y
= TTFYax = T dan y = TTFYax = F dan y = TTFYa
-
Contoh Soal 3.3 Buktikan validitas kalimat C : if (if x then y)
then (if (not x) then (not y))Bentuk kalimat C implikasi C1 C2(x y)
(~x ~ y)Misalkan C diasumsikan salah yang berarti :hipotesis C1
benar (x y) = Tkonklusi C2 salah (~x ~ y) = FDimulai dari hipotesis
dulu : (x y) = T dan (~x ~ y) = F
Hipotesis C1(x y) = TAkibatnya pada konklusi C2(~x ~ y)Kondisi
C2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = T dan y
= TTFYax = F dan y = TFFTidakx = F dan y = FTFYa
-
Dimulai dari konklusi dulu :(x y) = T dan (~x ~ y) = FJadi
asumsi C = F dapat terjadi kalimat C tidak valid
Konklusi C2(~x ~ y) = FAkibatnya pada hipotesis C1(x y) Kondisi
C2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = F dan y
= TTFYa
-
POHON SEMANTIK Misalkan suatu kalimat logika A terdiri dari 3
proposisi p, q dan r Pohon semantik dimulai dengan cabang tertinggi
untuk proposisi pertama (p) Cabang tertinggi ini terdiri cabang
kiri (T) dan cabang kanan (F)Perhatikan cabang kiri No. 2 :Bila
dengan p = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan
(bernilai benar atau salah), maka cabang No. 2 ini tidak bercabang,
misalkan nilainya salahBila belum dapat ditentukan, maka cabang ini
akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F)
untuk proposisi kedua q
-
Perhatikan cabang kiri No. 4 :Bila dengan p = T dan q = T nilai
kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau
salah), maka cabang No. 4 ini tidak bercabang, misalkan nilainya
benarBila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang
lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi
ketiga r p = Tp = FT35q = Tq = Fp = Tp = F35q = Tq = F67r = Tr =
FLangkah-langkah tersebut di atas diulangi lagi untuk cabang-cabang
lainKalimat logika dikatakan valid bila semua cabangnya bernilai
benar, bila ada cabangnya yang bernilai salah, maka kalimat tsb
dikatakan tidak valid
-
Bila semua cabang bercabang lagi, maka pohon semantiknya menjadi
:Metoda pohon semantik dapat lebih efisien dari metoda tabel
kebenaran
-
Contoh Soal 3.4 Tentukan validitas kalimat G : if (if x then y)
then (if (not x) then not y)Jawab :Bentuk kalimat G implikasi :G1
G2G : (p q) (~ p ~ q)Periksa cabang No. 2 :Bila p = T, maka ~ p =
FG2 : (~ p ~ q) = T apapun nilai qBila (~ p ~ q) = T, maka G = T
apapun nilai G1 : (p q) Nilai G sudah dapat ditentukan, yaitu
bernilai T
-
Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2G : (p q) (~ p ~ q)Periksa
cabang No. 3 :Bila p = F, maka G1: (p q) = T apapun nilai q~ p = T,
nilai G2 : (~ p ~ q) tergantung pada nilai qBila ~ q = T, maka G2 =
T dan bila ~ q = F, maka G2 = FBila G2 = T, maka G = T dan bila G2
= F, maka G = FJadi nilai G belum sudah dapat ditentukan, cabang
No. 3 bercabang lagip = Tp = FT45q = Tq = F
-
Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2G : (p q) (~ p ~ q) Periksa
cabang No. 4 :Bila p = F dan q = T, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~
p ~ q) = FAkibatnya G : G1 G2 bernilai salah (F) Periksa cabang No.
5 :Bila p = F dan q = F, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~ p ~ q) =
TAkibatnya G : G1 G2 bernilai benar (T)Karena ada cabang yang
bernilai salah, maka kalimat G tidak valid
-
Contoh Soal 3.5 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q)
r]Jawab :Bentuk kalimat B biimplikasi : B1 B2Karena semua cabang
nilainya benar, maka kalimat B valid Lebih efisien dari tabel
kebenaran
NopqrNilai B1, B2 dan BLangkah berikut2TB1 tergantung pada nilai
q, rB belum dapat ditentukanBercabang 4 dan 53FB1 = T dan B2 = T
apapun nilai q, r B = T4TTBila r = T, maka B1 = T dan B2 = TBila r
= F, maka B1 = F dan B2 = FB = T5TFB1 = T dan B2 = T apapun nilai r
B = T
-
Latihan Soal 3.1 Buktikan validitas kalimat D : if(if(not x)
then y) then if(not y) then x) and (x or y)D : (~ x y) ( (~y x) (x
y))Latihan Soal 3.2 Tentukan validitas kalimat (p q) (~p r) (q r)
dengan menggunakan asumsi salah
-
Latihan Soal 3.3 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q)
r]Jawab :
Bentuk kalimat biimplikasi B1 B2B1 : [p (q r)] B2 : [(p q)
r]
NopqrNilai B1, B2 dan BLangkah berikut2T3F
-
Latihan Soal 3.4Periksalah validitas kalimat p (p q) dengan
menggunakan pohon semantikJawab : Bentuk kalimat OR Eksklusif A =
A1 A2
pq p qTTFTFTFTTFFF