Catatan Kuliah Metode Numerik BAB 3 Interpolasi 1. Beda Hingga 2. Interpolasi Linear dan Kuadrat 2. Interpolasi Linear dan Kuadrat 3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur Newton 4. Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton 5. Polinom Interpolasi Lagrange 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Catatan Kuliah Metode Numerik
BAB 3
Interpolasi
1. Beda Hingga
2. Interpolasi Linear dan Kuadrat2. Interpolasi Linear dan Kuadrat
3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur
Newton
4. Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton
5. Polinom Interpolasi Lagrange
1
Catatan Kuliah Metode Numerik
1. Beda Hingga
Misalkan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris fj = f(xj) dari suatu fungsi f pada titik-titik yang berjarak sama,
x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, …
dengan h > 0 tetap.
Fungsi f(xi) bisa berupa hasil suatu rumus atau nilai yang diperoleh secaraempiris dari percobaan.
Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiapBeda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiapnilai fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.
Beda-beda kedua dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilaibeda pertama dari fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalamtabel.
Seterusnya sehingga dalam tabel beda, setiap beda dimasukan ke dalamkolom yang sesuai, ditengah-tengah antara elemen-elemen kolomsebelumnya dari mana beda itu dibangun. Titik (koma) desimal dan nolpemula dari beda-beda itu boleh dihilangkan.
2
Catatan Kuliah Metode Numerik
Terdapat tiga notasi untuk beda-beda yang terjadi dalam suatu tabel beda.
A. Beda-beda Pusat
Bentuk tabel beda-beda pusat sebagai berikut:
0
1
2
x
x
x
−
−
0
1
2
f
f
f
−
−
2
1
2
3
f
f
δ
δ
−
−
2
1
2
f
f
δ
δ −
2
1
3fδ −
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
3
2
1
0
x
x
x
2
1
0
f
f
f
2
3
2
1
2
f
f
δ
δ
1
2
0
f
f
δ
δ
2
1
32
fδ
mmm
fff −= ++
1
2
1δSecara umum diperoleh,
Indeks beda di kiri adalahrataan indeks beda di kanan
2
1
2
1
2
−+−=
mmm fff δδδ
Catatan Kuliah Metode Numerik
B. Beda-beda Maju
Bentuk tabel beda-beda maju sebagai berikut:
1
0
1
2
x
x
x
x
−
−
1
0
1
2
f
f
f
f
−
−
0
1
2
f
f
f
f
∆
∆
∆
∆
−
−
2
1
2
2
2
f
f
f
∆
∆
∆
−
−
1
3
2
3
−
−
∆
∆
f
f
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
4
2
1
x
x
2
1
f
f
1f∆ 0
2f∆ 1−∆ f
mmm fff −=∆ +1
Secara umum diperoleh,
Beda-beda dengan indeks yang sama terletak pada garis yang miring ke bawah atau maju padatabelmmm fff ∆−∆=∆ +1
2
Catatan Kuliah Metode Numerik
Algoritma Beda-beda maju
Diberikan xj,
Untuk k = 1, 2, …, n lakukan
untuk m = 0, 1, …, n – k, lakukan
njxfff jjj ...,,2,1,0),(0
===∆
m
k
m
k
m
kfff
1
1
1 −
+
−∆−∆=∆
C. Beda-beda Mundur
Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut:
5
Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut:
2
1
0
1
2
x
x
x
x
x
−
−
2
1
0
1
2
f
f
f
f
f
−
−
2
1
0
1
f
f
f
f
∇
∇
∇
∇ −
2
2
1
2
0
2
f
f
f
∇
∇
∇
2
3
1
3
f
f
∇
∇
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
Catatan Kuliah Metode Numerik
mmm fff −=∇ −1
Secara umum diperoleh, Beda-beda dengan indeks yang samaterletak pada garis yang miring ke atasatau mundur pada tabel
mmm fff ∇−∇=∇ −1
2
Kaitan dari ke tiga notasi beda-beda di atas adalah :
22
nm
n
nm
n
m
nfff
+−∇=∆=δ
Contoh 3.1
6
Contoh 3.1
Nilai dan beda dari f(x) = 1/x, x = 1 (0.2) 2, 4D
x f(x) Beda
PertamaBeda Kedua
Beda Ketiga
Beda Keempat
0.2
8.1
6.1
4.1
2.1
0.1
5000.0
5556.0
6250.0
7143.0
8333.0
0000.1
556
694
893
1190
1667
−
−
−
−
−
138
199
297
477
61
98
180
−
−
−
37
82
Catatan, bila ditetap-
kan x0 = 1.6, maka di-
peroleh
-0.0893
2
1−= fδ1−∆= f
0f∇=
Catatan Kuliah Metode Numerik
2. Interpolasi linear dan Kuadrat
Diberikan tabel nilai suatu fungsi f(x), seringkali untuk mencari nilai-nilaif(x) untuk nilai x diantara nilai-nilai x yang muncul dalam tabel tersebut.
Masalah untuk memperoleh nilai f(x) demikian disebut Interpolasi.
Nilai-nilai f(x) yang ditabulasikan dan digunakan dalam proses ini disebutnilai-nilai pivotal.
Metode interpolasi biasanya didasarkan pada asumsi bahwa disekitar nilaix yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang nilainya pada x tersebut merupakan hampiran dari nilai fungsi f(x).
Interpolasi linear
7
Iterpolasi linear adalah metode interpolasi yang paling sederhana. Kurva fungsi f dihampiri dengan suatu talibusur pada dua nilai tabulasi yang berdekatan x0 dan x1.
Hampiran f pada x = x0 + rh adalah
x0 x1
f(x)
f0
f1h
x
rh)()()(
0101ffrfxpxf −+=≈
00 frf ∆+=
Dimana : 10,0 ≤≤−
= rh
xxr
p1(x)
Catatan Kuliah Metode Numerik
Interpolasi linear sering digunakan untuk menghitung tabel logaritma danfungsi trigonometri.
Interpolasi linear akan memberikan hasil yang baik selama nilai-nilai x dalam tabel sedemikian dekatnya sehingga talibusur-talibusurmenyimpang dari kurva f(x) cukup kecil, katakanlah kurang dari ½ satuanangka terakhir dalam tabel untuk setiap x diantara x0 dan x1.
Galat untuk iterpolasi linear adalah
Taksiran galat tersebut adalah :
)()()()()( 0101 xfffrfxfxpx −−+=−=ε
2
2
8
1)( Mhx ≤ε
Dimana f(x) mempunyai turunan kedua pada dan f’’(x) terbatasdengan
Interpolasi kuadrat
8
10xxx ≤≤
2)('' Mxf ≤
Pada interpolasi kuadrat, kurva fungsi f diantara x0 dan x2 = x0 + 2h dengan parabola kuadrat yang melalui titik-titik (x0, f0), (x1, f1), (x2, f2) sehingga mendapatkan rumus yang lebih teliti.
dimana,
)2(2
)1()()()( 0120102 fff
rrffrfxpxf +−
−+−+=≈
0
2
002
)1(f
rrfrf ∆
−+∆+=
20,0 ≤≤−
= rh
xxr
Catatan Kuliah Metode Numerik
Contoh 3.2
Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972 dan nilai ln 9.5 = 2.2513. Tentukan nilai ln 9.2.
Jawab
Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga
ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)
= 2.1972 + 0.4 ( 2.2513 – 2,1972)
= 2.2188 (eksak sampai 3D)
Contoh 3.3Contoh 3.3
Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972, ln 9.5 = 2.2513 dan nilai ln 10.0 = 2.3026.
Masukan : n, xi, i = 0, 1, .., n ; f(xi), i = 0, 1, .., n ; x
Langkah-langkah :
lakukanniUntuk ,...,,2,1←
lakukannjUntuk ,...,,1,0←
0←plag
1←faktor
− xx
Contoh 3.7
Diberikan pasangan nilai x dan f(x) berikut:
Gunakan Interpolasi Lagrange untuk menghitung f(9.2).
20
)(. ixffaktorplagplag +←
−
−←≠
ji
j
xx
xxfaktorfaktormakaijJika .
X 9.0 9.5 10.0 11.0
f(x) 2.19722 2.25129 2.30259 2.39790
Catatan Kuliah Metode Numerik
Jawab
Dalam hal ini diperoleh,
Sehingga
)0.11)(0.10)(5.9()(0 −−−= xxxxl
)0.11)(0.10)(0.9()(1 −−−= xxxxl
)0.11)(5.9)(0.9()(2 −−−= xxxxl
)0.10)(5.9)(0.9()(3 −−−= xxxxl
ii f
xl
lLf ∑=≈
3
3)(
)2.9()2.9()2.9(
21
i
i ii xl∑
=0
3)(
3
33
3
2
22
2
1
11
1
0
00
0
)(
)2.9(
)(
)2.9(
)(
)2.9(
)(
)2.9(f
xl
lf
xl
lf
xl
lf
xl
l+++=
39790.200000.3
04800.030259.2
50000.0
10800.025129.2
37500.0
28800.019722.2
0000.1
43200.0+
−++
−
−=
21920.2= (Eksak sampai 5D)
Catatan Kuliah Metode Numerik
Masalah pencarian x untuk f(x) yang diberikan dikenal sebagai interpolasibalikan / invers.
Jika fungsi f terdiferensialkan dan df/dx tidak nol dekat titik dimanainterpolasi balikan harus diperhitungkan, balikan x = F(y) dan y = f(x) adasecara lokal didekat nilai f yang diberikan dan mungkin terjadi bahwa F dapat dihampiri dalam lingkungan itu dengan suatu polinom yang derajatnya agak rendah. Kemudian jalankan interpolasi balikan denganmembuat tabulasi F sebagai suatu fungsi y dan menerapkan metode-metode interpolasi yang langsung pada F.
Jika df/dx = 0 dekat atau pada titik yang diinginkan, kemungkinan bergunauntuk memecahkan p(x) = f dengan iterasi. Dalam hal ini, p(x) adalahpolinom yang menghampiri f(x) dan f adalah nilai yang diberikan.