3/8/2007 Fisika I 1
Keep running
VEKTOR
3/8/2007 Fisika I 2
Keep running BAB I : VEKTOR
Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitubesar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalahperpindahan.
ArSebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal
(misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalamhandout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.
a
b
R
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
3/8/2007 Fisika I 3
Keep running
PENJUMLAHAN VEKTOR
Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b danvektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkanvektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukanujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalahmenghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.
b
ca
RS
T
T = R + S
3/8/2007 Fisika I 4
Keep running BESAR VEKTOR RESULTAN
Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor Sdinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :
(1.1)cos2RSSRT 22 +=
RS
T
T = R + S
Sudut menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R danvektor S
3/8/2007 Fisika I 5
Keep running PENGURANGAN VEKTOR
Untuk pengurangan vektor, misal A B dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor Badalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapiarahnya berlawanan.
AB
-B
D D = A B
3/8/2007 Fisika I 6
Keep running CONTOH
Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudianbergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !
40 km
S
10 km
20 km
U
B
3/8/2007 Fisika I 7
Keep running
CONTOH40 km
Jawab :
10 km
20 km
10 km
40 km
A
B
C
D = A + B +
C
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahankedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakanvektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.
Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :m17101040 22 =+
3/8/2007 Fisika I 8
Keep running
VEKTOR SATUAN
RRr =Vektor satuan didefenisikan sebagai : (1.2)
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalahsatu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektordapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektorsatuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian dimana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalamvektor satuan.Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positifVektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positifVektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
3/8/2007 Fisika I 9
Keep running
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS
2z
2y
2x RRRR ++=
Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk
Besar vektor R adalah :
R
Ry
Rz
Rx
Vektor dalam 2 Dimensi
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakandalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masingsumbu koordinat.
3/8/2007 Fisika I 10
Keep running
CONTOH
Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitisb. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor
Jawab :
(2,2)
(-2,5)
x
y
Vektor perpindahan :R = (xujung xpangkal)i + (yujung ypangkal)jR = (-2 2)i + (5 2)j = -4i + 3j
pangkal
ujung
Rx
Ry
a.
3/8/2007 Fisika I 11
Keep running
CONTOH
(2,2)
(-2,5)
x
y
pangkal
ujung
Rx
Ry
b. Sudut yang dibentuk :
o1
x
y1 3743tan
RR
tan =
==
Besar vektor R = 543RR 222y2
x =+=+ satuanc.
3/8/2007 Fisika I 12
Keep running
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS
Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :
R = (x0 + +xi + +xn)i + (y0 + +yi + +yn)j (1.3)
xAxB
yA
yB
A
B
xA + xB
A + B
A
B
yA + yB
3/8/2007 Fisika I 13
Keep running
CONTOH
Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2jB = 2i 4j Tentukan :
a. A + B dan A + Bb. A B dan A B
Jawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j
= 5i 2jA + B = 29)2(5 22 =+
b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j A B = 3761 22 =+
AB
A + B
-BA B
3/8/2007 Fisika I 14
Keep running
SOAL
1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan danarahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukanvektor satuannya!
2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan :a. Vektor perpindahan benda tersebutb. Jarak perpindahanc. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh
vektor satuannya
3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehinggaberlaku cA = 10 satuan !
4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan :a. A + B - Cb. A + B + C
3/8/2007 Fisika I 15
Keep running SOLUSI
R = Rxi + RyjDiketahui :
Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuanRy = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan
Dengan demikian R = 2i + 2 j satuanVektor satuan :
r = cos 60o + sin 60o = i + j
60o
X
Y
R
3
3
1.
3
3/8/2007 Fisika I 16
Keep running
SOLUSI
m5224RR 222y2
x =+=+jiRr
55
552
R==
X
Y
R
1 5
2
a. R = (x2 x1) i + (y2 y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dantitik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i 2 j.
b. R =
c.
2.
3/8/2007 Fisika I 17
Keep running
SOLUSI
3. Besar vektor A = = 5 satuan
Dengan demikian nilai c = 2 satuan
22 43 +
a. A + B C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j
b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j-5i + 12j = = 13 satuan
4.
22 125 +
3/8/2007 Fisika I 18
Keep running
PERKALIAN SKALAR
Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari duabuah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :
A . B = AB cos (1.4)Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :
A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.
A
B
3/8/2007 Fisika I 19
Keep running
PERKALIAN SKALAR
Perhatikan animasi disamping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0
3/8/2007 Fisika I 20
Keep running CONTOH
ABcos B.A=
Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukansudut antara vektor A dan B !Jawab :
A
B
Untuk menentukan sudut antaravektor A dan B dapat menggunakanpersamaan (1.4).
A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4Besar vektor A = 543 22 =+Besar vektor B = 20)2(4 22 =+
1252
ABcos == B.A
AB
Dengan demikian = 79,7o
3/8/2007 Fisika I 21
Keep running
PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektormenghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :
A B = C (1.6)Besar vektor C adalah :
C = AB sin (1.7)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentukoleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor Cdapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasilperkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.
B
B
A
A
C = A B
C = B A
C = -C
3/8/2007 Fisika I 22
Keep running PERKALIAN VEKTOR
Perhatikan animasi disamping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i i = j j = k k = 0i j = k ; j k = i; k i = jj i = -k ; k j = -i; i k = -j
3/8/2007 Fisika I 23
Keep running
PERKALIAN VEKTOR
Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buahvektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutanperkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jarimenyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.
Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :
3/8/2007 Fisika I 24
Keep running CONTOH
Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + kTentukan : a. A B
b. Buktikan A B = -B AJawab :
A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 6k + 3(-j) + 16(-k) 8.0 + 4i = 4i 3j 22k
a.
b. B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k 6(-k) 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B terbukti
3/8/2007 Fisika I 25
Keep running SOAL
1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j k danvektor B = 3 i 4 k !
2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j k terhadaparah vektor B = i + 3 j 4 k !
3. Diberikan tiga buah vektor :A = 1 i + 2 j kB = 4 i + 2 j + 3 kC = 2 j 3 k Tentukan :a. A . (B C)b. A . (B + C)c. A (B + C)
4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalahtegak lurus !
3/8/2007 Fisika I 26
Keep running
SOLUSI1.
61)(21A 222 =++=
Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besarvektor A :
54)(3B 22 =+=Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :
657
ABcos == B.A
Dengan demikian = 55,1o
Besar vektor B :
A
BAB
Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :
2614
)4(31)4).(1(3.21.4
B cosAA
222B=++
++=== A.B
2.
3/8/2007 Fisika I 27
Keep running SOLUSI
B C = (4i + 2j + 3k) (2j 3k) = 8(i j) 12(i k) 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12iA . (B C) = (i + 2j k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 8 = 4
3. a.
B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j k).(4i + 4j) = 12b.c. A (B + C) = (i + 2j k) (4i + 4j) = i 4j 4kDua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0R . S = RxSx + RySy + RzSz
Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
4.
3/8/2007 Fisika I 28
Keep running BESARAN FISIS
Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsimatematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.
S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)
S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakanvariabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gayainteraksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besarmuatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.
Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakanfungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasanmateri di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satuvariabel saja.
3/8/2007 Fisika I 29
Keep running
BESARAN FISIS
Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanyaditentukan oleh satu variabel, yaitu x.
yDari grafik di sampingdiketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. y1
x1 x2 x3 x4
y2
y3
x
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapatdigambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.
3/8/2007 Fisika I 30
Keep running BESARAN FISIS
Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsiwaktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.
t (detik) x (meter)
0 9
1 4
2 1
3 0
4 1
5 4
6 9
7 16
8 25
9 360 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t
x
(
t
)
x(t) = (t 3)2
3/8/2007 Fisika I 31
Keep running BESARAN FISIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
E(r)
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.
2rqE k=
r (m) E (N/C)
1 9
2 2,25
3 1
4 0,5625
5 0,36
6 0,25
7 0.1837
8 0,1406
9 0,1111
10 0,09
3/8/2007 Fisika I 32
Keep running CONTOH
1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gayapegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstantapegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsijarak x !
x
F
F =kx
3/8/2007 Fisika I 33
Keep running CONTOH
2. Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumbertegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan olehfungsi :
Q(t) = q(1 e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !
t
Q = q(1 e-At)
Q
q
3/8/2007 Fisika I 34
Keep running DIFERENSIAL
Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukangaris singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejakjaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.
Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukanbesar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisiterhadap waktu.
f(x)
xc c+h
f(c+h)
f(c)Garis s
inggung
Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgungpada titik P dapat ditentukanoleh persamaan :
Ph
)c(f)hc(flim m
0h
+=
(1.9)
3/8/2007 Fisika I 35
Keep running DIFERENSIAL
Jika x = c dan x = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :
x)x(f
limx'x)x(f)'x(f
lim mx'xx'x =
=
(1.10)
Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakanoleh :
f(x) Dxydxdy
Berlaku untuk turunan :1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)
3/8/2007 Fisika I 36
Keep running
DIFERENSIAL
dCdBA =
Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagaiperbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakandalam bentuk :
Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakanfungsi dari besaran C. Sebagai contoh :
waktuJaraktanKecepa = dt
dxv =
waktuUsahaDaya =
dtdWP =
waktutanMuaArus = dt
dqI =
3/8/2007 Fisika I 37
Keep running CONTOH
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber teganganDC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :
Q(t) = q(1 e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :a. Fungsi arus sebagai waktub. Besar arus saat t = 0c. Gambarkan grafik I(t)
Jawab :a.
( ) AtAt qAe)e1(qdtd
dtdQI ===
Besar arus I :
Pada saat t = 0 harga I adalah :
I = qAe-A.0 = qA
qAI(t)
t
c.
b.
3/8/2007 Fisika I 38
Keep running INTEGRAL
Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurvafungsi f(x) dan sumbu x.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
x
y
x0
x
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x 3)2 + 5 danluas yang ditentukan padabatas dari x = 1 sampaidengan x = 8.
3/8/2007 Fisika I 39
Keep running INTEGRAL
Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :
A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x
=
==7
0ii x)x(f)7n(A
Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagidengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi.Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.
=
===n
0i
8
1inn
dx)x(fx)x(flim)n(AlimA
3/8/2007 Fisika I 40
Keep running INTEGRAL
= dTSR
Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syaratmasing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu samalain.
Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :
Sebagai contoh :
Usaha = Gaya jarak = dsFW= dAEFluks = Medan luas
3/8/2007 Fisika I 41
Keep running CONTOH
Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gayapegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstantapegas dan x adalah jarak. Tentukan :a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegasb. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktuJawab :
=== 221 kxdxkxdxFWa. Usaha yang dilakukan :
W =
kx2
W
x
b.
3/8/2007 Fisika I 42
Keep running SOAL
Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan olehpersamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m danB = 5.103 N/m2. Tentukan :a. Grafik F terhadap xb. Perubahan Gaya F terhadap jarakc. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm
1.
Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.
x (m)10
8
4
V (volt) Tentukan :a. Fungsi potensial V sebagai fungsi xb. Jika diketahui medan listrik E adalah
turunan pertama dari potensial listrikV, tentukan fungsi E(x)
c. Gambarkan grafik E terhadap x
3/8/2007 Fisika I 43
Keep running SOAL
3. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t 2t2 m/sbergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :
a. Gambarkan grafik v(t)
b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik
c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)
d. Gambarkan grafik a(t)
e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu
f. Posisi saat kecepatan v = 0
3/8/2007 Fisika I 44
Keep running SOLUSI
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
x (cm)
F (N)1. a.
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh
dxdF
1. b.
= A 2Bx = 103 104x
3/8/2007 Fisika I 45
Keep running
SOLUSI
Usaha yang dilakukan :
( ) ( ) 2222
10.9
10.33
312
21
10.9
10.3
2 xBxAdxBxAxdxFW
===
W = 36.10-4A 234.10-6B = 2,43 Joule
1. c.
2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsilinier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakanpersamaan garis V = ax + b.
Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4
Untuk titik (10,8) 10.a + b = 810
8
4
V (volt)
x (m)
Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4
3/8/2007 Fisika I 46
Keep running SOLUSI
Medan listrik E(x) =dx
)x(dV
Dengan demikian nilai E(x) konstan.
2. b. = 2,5
x (m)
E (V/m)
2,5
2. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0-2 0
-1 5
-1 0
-5
0
5
1 0
1 5
2 0
x (m)
v (m/s)
3. a.
3/8/2007 Fisika I 47
Keep running
SOLUSI
3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 2.32= 12 m/s.
Percepatan a(t) =dt
)t(dv= 10 4t3. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
x (m)
a (m/s2)3. d.
3/8/2007 Fisika I 48
Keep running
SOLUSI
Fungsi posisi x(t) = 33222 tt5dtt2t10dt)t(v == 3. e.
Saat v = 10t 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Padasaat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detikposisi x di :
3. f.
323
322 41
312555.5 ==
Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m
x(5) =
BAB I : VEKTORPENJUMLAHAN VEKTORBESAR VEKTOR RESULTANPENGURANGAN VEKTORCONTOHCONTOHVEKTOR SATUANPENULISAN VEKTOR SECARA ANALITISCONTOHCONTOHPENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITISCONTOHSOALSOLUSISOLUSISOLUSIPERKALIAN SKALARPERKALIAN SKALARCONTOHPERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTORCONTOHSOALSOLUSISOLUSIBESARAN FISISCONTOHCONTOHDIFERENSIALDIFERENSIALCONTOHINTEGRALINTEGRALINTEGRALCONTOHSOALSOALSOLUSISOLUSISOLUSISOLUSISOLUSI