Bab I/Teorema Mekanika Kuantum BAB I TEOREMA MEKANIKA KUANTUM 1.1 Pengantar Persamaan Schrődinger untuk atom yang hanya mempunyai satu elektron dapat kita selesaikan secara pasti, tetapi tidak demikian halnya untuk atom yang berelektron banyak dan juga molekul, karena dalam kedua sistem yang terakhir terjadi repulsi antara satu elektron dengan elektron lain. Untuk itu, kita butuh metode lain untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk atom berelektron banyak dan molekul. Ada dua metode yang akan kita bicarakan pada Bab II dan Bab III, yaitu metode variasi dan teori perturbasi. Untuk dapat memahami kedua metode tersebut kita harus mengembangkan lebih lanjut pemahaman kita terhadap mekanika kuantum, yang secara garis besar telah kita pelajari. Jadi target bab ini adalah membahas secara lebih mendalam mengenai teorema mekanika kuantum. Sebelum mulai, marilah kita mengenal beberapa notasi integral yang akan dipergunakan. Definit integral seluruh ruang atas operator sembarang yang terletak di antara dua buah fungsi yaitu f m dan f n biasanya ditulis: d= = = (1-1) Notasi (1-1) di atas diperkenalkan oleh Dirac, dan disebut notasi kurung. Bentuk integral di atas juga sering ditulis: d= A m n (1-2) Notasi untuk integral seluruh ruang atas dua buah fungsi fm dan fn ditulis: 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
BAB I
TEOREMA MEKANIKA KUANTUM
1.1 Pengantar
Persamaan Schrődinger untuk atom yang hanya mempunyai satu elektron dapat kita
selesaikan secara pasti, tetapi tidak demikian halnya untuk atom yang berelektron banyak dan
juga molekul, karena dalam kedua sistem yang terakhir terjadi repulsi antara satu elektron
dengan elektron lain. Untuk itu, kita butuh metode lain untuk menyelesaikan persamaan
Schrodinger untuk atom berelektron banyak dan molekul. Ada dua metode yang akan kita
bicarakan pada Bab II dan Bab III, yaitu metode variasi dan teori perturbasi. Untuk dapat
memahami kedua metode tersebut kita harus mengembangkan lebih lanjut pemahaman kita
terhadap mekanika kuantum, yang secara garis besar telah kita pelajari. Jadi target bab ini
adalah membahas secara lebih mendalam mengenai teorema mekanika kuantum.
Sebelum mulai, marilah kita mengenal beberapa notasi integral yang akan
dipergunakan. Definit integral seluruh ruang atas operator sembarang yang terletak di antara
dua buah fungsi yaitu fm dan fn biasanya ditulis:
d = = = (1-1)
Notasi (1-1) di atas diperkenalkan oleh Dirac, dan disebut notasi kurung. Bentuk integral di
atas juga sering ditulis:
d = Am n (1-2)
Notasi untuk integral seluruh ruang atas dua buah fungsi fm dan fn ditulis:
d = = = m n (1-3)
Karena = d, maka:
m n * = m n (1-4)
dan dalam kasus khusus yaitu fm = fn maka (1-4) dapat ditulis : m m * = m m .
Hal-hal lain yang perlu diingat adalah:
1) d = 1 jika fm = fn dan fungsinya disebut ternormalisasi. (1-5)
d = 0 jika fm fn dan fungsinya disebut ortogonal (1-6)
Catatan:
d juga boleh ditulis m n (Kronikle Delta) yang harganya = 0 jika fm fn dan
berharga 1 jika fm = fn
1
d
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
2) Jika : = a dengan a bilangan konstan, maka disebut fungsi eigen sedang a
disebut nilai eigen atau: jika adalah fungsi eigen terhadap operator , maka berlaku
hubungan: = a dengan a adalah nilai eigen. (1-7)
1.2 Operator Hermit
Untuk memahami operator ini, kita harus mengingat kembali pengertian operator
linear dan pengertian nilai rata-rata. Operator linear adalah operator yang mewakili besaran
fisik, misal operator energi, operator energi kinetik, operator momentum angular dan lain-
lain. Selanjutnya telah kita ketahui pula bahwa jika adalah operator linear yang mewakili
besaran fisik A, maka nilai rata-rata A dinyatakan dengan:
A = d (1-8)
dengan adalah fungsi keadaan sistem. Karena nilai rata-rata selalu merupakan bilangan
real, maka: A = A *
atau: d= d (1-9)
Persamaan (1-9) harus berlaku bagi setiap fungsi yang mewakili keadaan tertentu suatu
sistem atau persamaan (1-9) harus berlaku bagi setiap fungsi berkelakuan baik (well
behaved function). Operator linear yang memenuhi persamaan (1-9) itulah yang disebut
operator Hermit.
Beberapa buku teks menulis operator Hermit sebagai operator yang mengikuti persamaan:
d = d (1-10)
untuk fungsi f dan g yang berkelakuan baik. Perlu dicatat secara khusus bahwa pada ruas kiri
persamaan (1-10), operator bekerja pada fungsi g sedang di ruas kanan, operator bekerja
pada fungsi f. Dalam kasus khusus yaitu jika f = g maka bentuk (1-10) akan tereduksi menjadi
bentuk (1-9).
2
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
Teorema yang berhubungan dengan Operator Hermit
Ada beberapa teorema penting sehubungan dengan operator Hermit, yaitu:
Teorema 1: Nilai eigen untuk operator Hermit pasti merupakan bilangan real.
Teorema 2: Dua buah fungsi 1 dan 2 berhubungan dengan operator Hermit dan baik 1
maupun 2 adalah fungsi eigen terhadap operator dengan nilai eigen yang
berbeda, maka 1 dan 2 adalah ortogonal. Jika kedua fungsi tersebut
mempunyai nilai eigen yang sama atau degenerate (jadi tidak ortogonal), maka
selalu ada cara agar dijadikan ortogonal.
Pembuktian Teorema 1:
Ada dua hal penting yang termuat dalam pernyataan teorema 1 yaitu bahwa operator
yang dipergunakan adalah operator Hermit jadi harus mengikuti (1-9) dan ada pernyataan
eigen value, ini berarti bahwa fungsi yang dibicarakan adalah fungsi eigen, jadi hubungan (1-
7) berlaku. Untuk ini kita misalkan fungsinya adalah , dan karena adalah operator hermit,
maka menurut (1-9): d = d
atau: d = d (1-11)
Menurut (1-7) : = a dengan a adalah nilai eigen untuk
= a* dengan a* adalah nilai eigen untuk
sehingga (1-11) dapat ditulis: a * d = a* d
*
Menurut (1-5) nilai * d = d
* = 1, jadi: a = a*
Harga a = a* hanya mungkin jika a bilangan real.
Pembuktian Teorema 2:
Karena 1 dan 2 adalah fungsi eigen terhadap operator misal operator , maka berlaku:
1 = a1 1 dan 2 = a2 2 (1-12)
Karena adalah operator Hermit terhadap 1 dan 2 maka menurut (1-10) berlaku:
d = d
atau: d = d (1-13)
Substitusikan (1-12) ke dalam (1-13), menghasilkan:
a2 1 2* d = a1
* 2 1* d
Menurut teorema I, harga a* = a, jadi:
3
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
a2 1 2* d = a1 2 1
* d (1-14)
Menurut (1-4), 1 2* d = 2 1
* d , jadi persamaan (1-14) boleh ditulis:
a2 1 2* d = a1 1 2
* d
atau: a2 1 2* d a1 1 2
* d = 0
atau: (a2 a1 ) 1 2* d = 0 (1-15)
Jika a1 tidak sama dengan a2 maka dari (1-15) tersebut (a2a1) tidak mungkin nol, sehingga:
1 2* d = 0 (1-16)
Karena 1 2* d = 0, maka 1 dan 2 ortogonal.
Jadi terbukti, jika dua buah fungsi eigen mempunyai nilai eigen berbeda terhadap
operator tertentu, maka kedua fungsi tersebut ortogonal. Yang menjadi pertanyaan sekarang
adalah, mungkinkah dua buah fungsi eigen yang independen, mempunyai nilai eigen yang
sama? Jawabnya adalah ya. Ini terjadi pada kasus degenerasi. Pada kasus ini, beberapa fungsi
eigen yang independen, mempunyai nilai eigen yang sama. Untuk dua fungsi eigen yang
degenerate atau yang nilai eigen-nya sama, maka kedua fungsi tersebut tidak ortogonal.
Dengan demikian, maka kita hanya boleh mengatakan bahwa dua fungsi eigen yang
berhubungan dengan operator Hermit adalah ortogonal jika kedua fungsi eigen itu tidak
degenerate.
Apakah Degenerate itu ?
Telah disinggung di atas bahwa jika dua atau lebih fungsi eigen yang independen
mempunyai nilai eigen sama, maka kasus seperti itu disebut degenerate. Untuk lebih
memahami masalah degenerate ini, marilah kita ingat kembali fungsi gelombang partikel
dalam kotak yang telah kita pelajari. Fungsi gelombang partikel dalam kotak 3 dimensi
dinyatakan sebagai:
= x y z dengan :
x = 2 21 2
Lx
n
Lxx
/
sin
x ; y = 2 21 2
Ly
n
Lyy
/
sin
y dan y = 2 21 2
Ly
n
Lyy
/
sin
y
jadi:
= 8 21 2
Lx Ly Lz
n
Lxx
. .sin
/
x sin
2n
Lyy
y sin2n
Lyy
y (1-17)
4
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
Jika operator Hermit, misal operator Hamilton dikenakan pada fungsi gelombang tersebut
maka nilai eigennya adalah energi yang besarnya:
E = Ex + Ey + Ez
dengan :
Ex = h n
mL
x
x
2 2
28
; Ey = h n
mL
y
y
2 2
28
dan Ez = h n
mL
z
z
2 2
28
(1-18)
sehingga:
E = h
m
n
L
n
L
n
L
x
x
y
y
z
z
2 2
2
2
2
2
28 + +
Jika kotaknya kubus dengan rusuk L:
E = h
m
n
L
x y z2 2 2 2
28
+ n + n
(1-19)
Jika kotaknya berbentuk kubus, maka menurut (1-19) harga nilai eigen E1-1-2 = E1-2-1 = E2-1-1 =
h
m L
2
28
6
meskipun eigen function-nya 1-1-2 1-2-1 2-1-1. Keadaan seperti itulah contoh
kasus degenerate. Untuk kasus degenerate tersebut, biasanya dikatakan bahwa derajad
degenerasinya = 3, karena ada 3 fungsi gelombang berbeda yang nilai eigen-nya sama yaitu
1-1-2; 1-2-1 dan 2-1-1. Sudah barang tentu masih tak terhingga banyaknya kasus degenerate
untuk fungsi gelombang partikel dalam kotak berbentuk kubus misal pasangan 1-1-3; 1-3-1
dan 3-1-1 dan masih banyak lagi.
Satu hal yang penting dari keadaan degenerate itu ialah, bahwa jika fungsi-fungsi
eigen yang degenerate itu dikombinasilinearkan, maka akan terbentuk fungsi eigen yang
baru.
Contoh: Jika fungsi adalah kombinasi linear dari 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 yang dinyatakan
Karena 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 adalah degenerate, maka pasti merupakan fungsi eigen yang
nilai eigennya sama dengan nilai eigen fungsi-fungsi penyusunnya.
Yang harus diingat adalah bahwa jika adalah kombinasi linear dari 1-1-2 dan 1-3-1
sehingga dapat ditulis: = c1 1-1-2 + c2 1-3-1 (1-21)
maka bukan fungsi eigen karena nilai eigen 1-1-2 dan c2 1-3-1 pasti tidak sama.
5
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
Relasi (1-20) disebut degenerasi karena fungsi eigen penyusunnya degenerate sedang (1-21)
bukan degenerasi. Jika kepada kita ditanyakan berapa energi pada (1-20) maka jawabnya
adalah E = h
m L
2
28
6
.
Ortogonalisasi
Misal kita mempunyai dua buah fungsi eigen yang degenerate, jadi nilai eigennya
sama maka menurut teorema 2 kedua fungsi tersebut tidak ortogonal. Pertanyaannya adalah
dapatkah kita membuatnya menjadi ortogonal? Jawabnya adalah, dapat.
Sekarang kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus degenerasi (yang fungsi-
fungsinya tidak ortogonal), dapat kita buat menjadi ortogonal. Kita misalkan kita mempunyai
operator Hermit dan dua buah fungsi eigen independen yaitu fungsi f dan fungsi G yang
mempunyai nilai eigen yang sama yaitu s, maka berarti:
f = s f ; G = s G
Karena nilai eigen keduanya sama, maka f dan G pasti tidak ortogonal. Agar diperoleh dua
fungsi baru yang ortogonal, ditempuh langkah sebagai berikut:
Kita buat fungsi eigen baru yaitu g1 dan g2 yang merupakan kombinasi linear f dan G
sehingga membentuk misalnya:
g1 = f dan g2 = G + c f dengan c adalah konstanta.
Kita harus menentukan harga c tertentu agar g1 dan g2 ortogonal. Agar ortogonal harus
dipenuhi syarat:
d = 0 atau:
d= 0 atau :
d + d = 0 atau :
d + c d = 0
Jadi agar g1 dan g2 ortogonal, maka harga c harus:
c =
Sekarang kita telah mempunyai dua fungsi ortogonal yaitu g1 dan g2 yaitu:
g1 = f dan g2 = G + c f dengan c =
6
d
d
d
d
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
Prosedur yang telah kita tempuh ini disebut Ortogonalisasi Schmidt.
1.3 Ekspansi Sembarang Fungsi Menjadi Kombinasi Linear Fungsi Eigen
Setelah kita membicarakan ortogonalitas fungsi eigen dari operator Hermit, sekarang
akan kita bicarakan sifat penting lain dari fungsi tersebut; sifat ini mengijinkan kita untuk
mengubah bentuk sembarang fungsi F(x) menjadi kombinasi linear fungsi-fungsi eigen. Jika
kombinasi linear fungsi eigen itu adalah a11 + a22 + a33..... + ann, atau agar lebih
singkat kita tulis saja dengan bentuk an n1
~ , maka ekspansi fungsi yang dimaksud adalah:
F(x) = an n1
~ (1-22)
dengan : an = n xall x
*( ) F dx (1-23)
Bagaimana mendapat (1-23) di atas ? Marilah kita ikuti langkah-langkah berikut:
Kedua ruas (1-22) kita kalikan dengan m* sehingga diperoleh:
m* F(x) = an n m *~
1 (1-24)
Jika kedua ruas (1-24) diintegralkan maka diperoleh:
m* F(x) dx = an n m *~
1
dx (1-25)
Telah kita ketahui bahwa :
m* dxn = m n (1-26)
sehingga (1-25) dapat ditulis:
m* F(x) dx = an . m n
1
~
(1-27)
Ruas kanan (1-27) adalah:
an . m n1
~
= a1. m 1 + a2 m 2 + ....a m m m + a m +1 m (m+1) +...
= a1. + a2 + ....a m + a m +1 . +...
= am
Sehingga (1-27) dapat ditulis:
m* F(x) dx = am atau am = m
* F(x) dx (1-28)
7
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
Jika indek m pada (1-28) diganti n maka persamaan (1-23) yang dicari diperoleh yaitu:
an = n xall x
*( ) F dx
Contoh:
Diketahui: F(x) = x untuk 0 < x < a/2
F(x) = 1 x untuk a/2 < x < a
Ekspansilah F(x) ke dalam fungsi eigen untuk partikel dalam kotak satu dimensi yang
panjang kotaknya = a.
Jawab:
Fungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi dengan panjang kotak = a adalah:
n = 2 1 2
a
n
a
/
sin
x (1-29)
Jadi bentuk ekspansinya menurut (1-22):
F(x) = an n1
~ =
2 1 2
1a
an
/ ~ sin
n
a x
(1-30)
Menurut (1-23) :
an = n xall x
*( ) F dx
= 2 1 2
a
n
ax F x
/
( )sin
dx
= 2 1 2
a
n
ax F x
/
( )sin
dx
= 2 1 2
0
2
ax .
a
/ /
sinn
ax dx
+
21
1 2
2a
a
a
/
/
( ) x . sinn
ax dx
= 2
2
3 2
2 2
a
n
n/
sin
(1-31)
Jadi:
a1 = 2 3 2
2
a /
; a2 = 0 ; a3 = 2
3
3 2
2 2
a /
; a4 = 0 ; a5 =
2
5
3 2
2 2
a /
; a6 = 0 dan
seterusnya.
Kita masukkan (1-31) ke dalam (1-30), maka:
F(x) = 2 1 2
1a
an
/ ~ sin
n
a x
8
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
= 2
3
3
5
51 2 3 2
2
3 2
2 2
3 2
2 2ax x x
/ ' ' '
2a
sin a
2a
sin a
2a
sin a
. . . .
= 2 3 51 2 3 2
2ax x x
/ '2a
1
1 sin
a
1
3 sin
a
1
5 sin
a . . . .
2 2 2
= 4 3 5
2
ax x x
1
1 sin
a
1
3 sin
a
1
5 sin
a . . . .
2 2 2
Pengertian Complete Set
Pada contoh ekspansi fungsi diatas, fungsi F(x) dapat diekspansi ke dalam bentuk
kombinasi linear fungsi gelombang partikel dalam kotak n dan dalam hal ini himpunan
fungsi disebut himpunan lengkap atau Complete Set. Apakah semua n dapat digunakan
untuk mengekspansi fungsi F? Jawabnya ternyata tidak, hanya himpunan fungsi yang
merupakan himpunan lengkap saja yang dapat digunakan untuk mengekspansi fungsi F.
Selanjutnya mengenai himpunan lengkap, dibuat definisi sebagai berikut:
Himpunan fungsi dapat disebut sebagai Himpunan Lengkap jika himpunan fungsi tersebut dapat digunakan untuk mengekspansi sembarang fungsi F menjadi kombinasi linear dengan mengikuti
persamaan F(x) = an n1
~ dengan an adalah tetapan sembarang.
Contoh himpunan fungsi gelombang yang bukan himpunan lengkap adalah himpunan fungsi
gelombang elektron atom hidrogen yang sudah pernah kita pelajari. Meskipun kita tahu
bahwa fungsi gelombang elektron atom hidrogen yaitu (n, l, m ) adalah fungsi r,,, namun
jika seandainya kita mempunyai sembarang fungsi F(r,,) maka fungsi tersebut tidak dapat
diekspansi menjadi kombinasi linear , karena seperti kita ketahui bahwa hidrogen hanya
berhubungan dengan energi diskrit saja padahal energi elektron bisa saja kontinum, yaitu
ketika elektron dalam proses lepas dari sistem atom menjelang terjadinya ionisasi. Jadi n
atom hidrogen bukan merupakan himpunan lengkap sehingga tidak mungkin kita
mengekspansi F(r,,) menjadi himpunan linear (n, l, m). Fungsi gelombang hidrogen baru
disebut himpunan fungsi lengkap jika menyertakan himpunan fungsi gelombang yang
berkorelasi dengan energi kontinum yang biasanya ditulis (E, l, m). Jika fungsi gelombang
hidrogen sudah dinyatakan secara lengkap seperti itu maka fungsi F(r,,) dapat diekspansi,
yaitu menjadi kombinasi linear fungsi diskrit dan kombinasi linear fungsi kontinum.
Teorema 3:
9
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
Jika g1, g2... adalah himpunan lengkap fungsi eigen dari operator dan jika fungsi F
juga fungsi eigen dari operator dengan nilai eigen k (jadi F = k F) sedang F diekspansi
dalam bentuk F = , maka gi yang a i nya tidak nol mempunyai nilai eigen k juga. Jadi
ekspansi terhadap F, hanya melibatkan fungsi-fungsi eigen yang mempunyai nilai eigen yang
sama dengan nilai eigen F. Selanjutnya sebagai rangkuman dari sub-bab 1.2 dan 1.3 dapat
dinyatakan bahwa Fungsi-fungsi eigen dari operator Hermite, membentuk himpunan
lengkap ortonormal dan nilai eigennya adalah real.
1.4 Eigen Fungsi Dari Operator Commute
Jika fungsi secara simultan adalah fungsi eigen dari dua buah operator dan
dengan nilai eigen aj dan bj, maka pengukuran properti A menghasilkan aj dan pengukuran B
menghasilkan bj. Jadi kedua properti A dan B mempunyai nilai definit jika merupakan
fungsi eigen baik terhadap maupun .
Pada bab V sub bab 5.1 kita telah menyatakan bahwa suatu fungsi adalah eigen
terhadap dan jika kedua operator tersebut commute atau:
= ai dan = bi Jika : (1-32)
[ , ] = 0 (1-33)
Sekarang pernyataan pada bab V tersebut akan kita buktikan. Yang harus kita buktikan
adalah: [ , ] = 0
Kita tahu: [ , ] = (1-34)
Jika dioperasikan pada i :
[ , ]i = i i
= ( i ) ( i )
= bi ai i
= bi ai i
= bi ai ai bi i
[ , ] = bi ai ai bi = 0 (terbukti) (1-35)
Pembuktian di atas adalah pembuktian untuk teorema 4 yang bunyinya:
Teorema 4: Jika Operator linear dan mempunyai himpunan fungsi eigen yang sama
maka dan adalah commute.
10
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
Perlu diingat dan yang dimaksud oleh teorema 4 hanya dan yang masing-
masing merupakan operator linear. Jika dan bukan operator linear maka keduanya bisa
tidak commute meskipun seandainya keduanya mempunyai fungsi eigen yang sama. Sebagai
contoh (,) yang kita bahas di bab V, adalah fungsi eigen dari operator dan operator
tetapi kedua operator tersebut non commute.
Teorema 5 : Jika operator Hermite dan adalah commute, maka kita dapat memilih
himpunan lengkap fungsi eigen untuk kedua operator itu.
Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
Anggap saja fungsi g i adalah fungsi eigen dari operator dengan nilai eigen a i maka
kita dapat menulis:
gi = ai gi (1-36)
Jika operator dioperasikan pada kedua ruas (1-36) di atas, maka:
( gi ) = (ai gi ) (1-37)
Karena dan commute dan karena linear maka:
( g i) = ai ( g i) (1-38)
Persamaan (1-38) di atas menyatakan bahwa fungsi g i adalah fungsi eigen terhadap
operator dengan nilai eigen a i , persis sama dengan fungsi g i yang juga fungsi eigen
terhadap operator dengan nilai eigen a i . Marilah kita untuk sementara menganggap bahwa
nilai eigen dari operator tersebut non degenerate, hingga untuk sembarang harga nilai
eigen a i yang diberikan berasal dari satu dan hanya satu fungsi eigen yang linearly
independent. Jika ini benar, maka kedua fungsi eigen g i dan g i yang mempunyai nilai eigen
sama yaitu a i harus linearly dependent, yaitu, fungsi yang satu harus merupakan kelipatan
sederhana dari yang lain,
g i = k i g i (1-39)
dengan k i adalah konstan. Persamaan (1-39) itu menyatakan bahwa fungsi g i merupakan
fungsi eigen dari operator sebagaimana yang hendak kita buktikan.
Jadi, jika dan commute dan fungsi g i adalah fungsi eigen terhadap maka g i
juga merupakan fungsi eigen dari (Jadi Teorema 5 adalah kebalikan dari Teorema 4)
Teorema 6: Jika g i dan g j adalah fungsi eigen dari operator Hermite dengan nilai eigen
berbeda (misal g i = a i g i dan g j = a jg j dengan a i a j), dan jika adalah
operator linear yang commute terhadap , maka:
11
Bab I/Teorema Mekanika Kuantum
< g j g i > = 0 atau d = 0 (1-40)
dengan s-r adalah seluruh ruang. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
Karena dan commute, maka fungsi eigen terhadap adalah juga fungsi eigen
terhadap , meski dengan nilai eigen berbeda. Jadi gi juga fungsi eigen terhadap , yang jika
nilai eigennya dimisalkan ki maka:
gi = ki gi (1-41)
dengan demikian (1-40) boleh ditulis:
d = = . 0 = 0 (terbukti)
1.5 Paritas
Ada operator mekanika kuantum yang tidak dikenal dalam mekanika klasik,
contohnya adalah operator paritas. Marilah kita ingat kembali bahwa dalam osilator harmonis,
kita mengenal adanya fungsi genap dan ganjil. Akan kita lihat bagaimana sifat ini dikaitkan
dengan operator paritas.
Operator paritas, dapat dilihat dari efeknya apabila ia bekerja pada sembarang
fungsi. Operator ini akan mengubah tanda semua koordinat Cartessius, sehingga kita boleh