Bab 1 Statistika

BAB1 STATISTIK

AStandar Kompetensi

1. Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive.

2. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya

3. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya.

Kompetensi Dasar

Mengidentifikasi nilai suatu data yang ditampilkan pada tabel dan diagram.

Menyajikan data ukuran dalam bentuk diagram batang, garis, dan lingkaran.

Menyajikan data tunggal dalam tabel distribusi frekuensi.

Menyajikan data tidak tunggal dalam tabel distribusi frekuensi.

Memahami tabel distribusi frekuensi kumulatif dan relatif.

Menyajikan data dalam bentuk histogram, poligon, dan kurva ogive.

Menghitung mean, median, dan modus data tunggal dan data kelompok.

Menghitung kuartil, desil, dan persentil pada data tunggal dan data kelompok.

Menghitung jangkauan, harapan, jangkauan semi antarkuartil, simpangan rata-rata, varians, dan simpangan baku pada data tunggal dan data kelompok.

Statistika statistik Diagram Mean Median Modus

Hamparan Smpangan rata-

rata Simpangan baku Sampel Populasi

Kata Kunci

Tahukah Kamu?

Matematika SMA Kelas XI IPA

Bab 1 2

SEJARAH STATISTIKA

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus").

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi

data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan_alam

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Psikometrika&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Biometrika

http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonometrika

http://id.wikipedia.org/wiki/Metodologi

http://id.wikipedia.org/wiki/Psikologi

http://id.wikipedia.org/wiki/Biologi

http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomi

http://id.wikipedia.org/wiki/Linguistika

http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Meneliti_problem_sampel_berukuran_kecil&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_regresi

http://id.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson

http://id.wikipedia.org/wiki/Ronald_Fisher

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Statistika_inferensi&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_ilmiah

http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Inggris

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Inggris

http://id.wikipedia.org/wiki/Abad_ke-19

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Jerman

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gottfried_Achenwall&action=edit&redlink=1

Peta Konsep


Bab 1 Statistika

3

STATISTIKA

Penyajian PengolahanPengumpulan

DiagramTabel

Tabel distribusi frekuensi

distribusi frekuensi relatif

distribusi frekuensi kumulatif

batang

garis

lingkaranHistogram, poligon, &

ogive

Ukuran Statistika

Ukuran Pemusatan

Ukuran penyebaran

Ukuran Letak

Mean Modus MedianDesilKuartil

Jangkauan

Hamparan

Simpangan Kuartil

Varians

Simpangan Baku

Simpangan Rata-Rata

Persentil

mempelajari


Bab 1

Untuk memperoleh gambaran atau kesimpulan yang benar (mendekati benar) mengenai sebuah populasi, sampel atau contoh yang diambil diupayakan dapat mewakili (representatif) populasi itu.

Catatan

4

Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita menerima atau membaca beraneka ragam laporan dalam bentuk angka atau diagram. Laporan dalam bentuk angka atau diagram tersebut disebut statistik. Misalnya, sebuah penerbit melaporkan hasil produksinya untuk lima tahun terakhir, atau sebuah sekolah melaporkan rata-rata nilai masing-masing mata pelajaran setiap ulangan umum.

Statistika merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari:

Cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dengan sistematis, agar data-data itu dapat dipahami dengan jelas (Statistika deskriptif)

Menganalisis dan menafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan keputusan, perencanaan, dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sirat data tersebut (Statistika inferensial)

Dalam suatu penelitian sering melibatkan istilah populasi dan sampel. Populasi adalah seluruh objek yang akan diteliti sedangkan sebagian dari populasi yang benar-benar diamati disebut sampel.

A. PENGUMPULAN DATA

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu sebagai berikut.1. Data kuantitatif

Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran. a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara membilang.

Misalnya, data tentang banyak anak dalam keluarga.b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur.

Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan murid .2. Data kualitatif

Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan. Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas objek. Data seperti ini disebut atribut. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan kurang.

Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.


Bab 1 Statistika

5

B. PENYAJIAN DATA

Data yang dikumpulkan untuk laporan atau akan dianalisis lebih lanjut perlu diatur, disusun, disajikan dengan jelas dan baik, yaitu biasanya disajikan dalam bentuk tabel/daftar dan diagram/grafik. Penyajian data yang demikian memudahkan orang untuk membaca data itu atau lebih dimengerti oleh pembaca atau orang yang membuat keputusan berdasarkan data tersebut.

1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Untuk menyusun sekumpulan data yang urutannya belum tersusun secara teratur, data tersebut disajikan dalam bentuk tabel. Sebuah tabel umumnya terdiri dari beberapa bagian: judul tabel, judul kolom, judul baris, badan tabel, catatan dan sumber data. Penyajian data dalam bentuk tabel mengutamakan keakuratan dan ketepatan datanya, meskipun secara tampilan tidak menarik. Kita perhatikan contoh tabel perkiraan cuaca berikut.

Tabel 1.1 Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia

Kota Cuaca Suhu (◦C) Kelembaban (%)Ambon Berawan 23-33 61-95Bandung Hujan 19-29 65-95Denpasar Hujan 25-31 73-96Jakarta Hujan 25-33 65-93Jayapura Hujan 24-33 60-90Makasar Hujan 24-33 66-90Medan Hujan 24-30 63-93Palembang Hujan 23-32 68-98Pontianak Hujan 24-33 65-96Semarang Hujan 24-32 58-92Surabaya Hujan 24-33 56-92Djogyakarta hujan 24-33 58-93

Dari contoh table 1.1Judul tabel : Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di IndonesiaJudul kolom : Kota, Cuaca, Suhu, dan KelembabanJudul baris : Ambon, Denpasar, Bandung,…, DjogjakartaBadan Tabel : data cuaca (berawan, hujan), data suhu dan data kelembabanSumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

Contoh 1.1


Bab 1 6

Dengan menyajikan data seperti itu, kita dapat dengan mudah membaca table itu, sebagai contoh; pada hari Senin, 22 Januari 2007, di kota Denpasar diperkirakan hujan, suhu 25◦C-31◦C dan kelembaban 73%-96%.

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagrama. Diagram Batang

Diagram batang adalah suatu penyajian data dengan menggunakan batang-batang berarah vertikal atau horizontal. Pada diagram ini antara batang satu dengan yang lainnya diberikan jarak sehingga letak tiap batang tadi tampak terpisah. Pada diagram batang juga dilengkapi dengan skala sehingga nilai dapat dibaca dari diagram tersebut.

Data banyaknya sepeda motor di suatu wilayah pada tahun 2007 sampai dengan 2011 disajikan pada tabel 1.2 berikut.

Tabel 1.2 Data Banyaknya Sepeda Motor dari tahun 2007- 2011

Bentuk diagram batangnya disajikan pada Gambar 1.1

b. Diagram Garis

(b) Diagram Batang Tegak (a) Diagram Batang Mendatar

Gambar 1.1 diagam batang

Banyaknya Sepeda Motor di sebuah Wilayah pada Tahun 2007, 2008, 2009, 2010, dan 2011

Contoh 1.2

2007

2008

2009

2010

2011

0 1000200030004000500060007000

banyaknya sepeda motor

tahu

n

2007 2008 2009 2010 20110

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

tahun

banyak-nya

sepeda motor

Tahun Banyaknya Sepeda motor

2007 15392008 19702009 31442010 44052011 5931


Bab 1 Statistika

7

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data.Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut.

Hasil penjualan gula pasir di distributor Seroja pada periode Januari-Juli 2010 ditunjukan pada Tabel 1.3 berikut.

Bulan Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni Juli

Jumlah (ons) 10 15 30 35 25 45 60

Data tersebut dapat ditunjukan dalam diagram garis seperti pada Gambar 1.2

c. Diagram Lingkaran

Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan

sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak

menunjukkan data pengamatan.

Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu

t.

Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik titik koordinat tersebut

dengan garis lurus.

Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni Juli0

10

20

30

40

50

60

70

bulan

jum

lah

(ons

)

Contoh 1.3

Gambar 1.2 diagam garis


Bab 1 8

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Daftar jumlah siswa kelas XI A yang mengambil pelajaran ekstrakurikuler adalah sebagai berikut.

Menentukan besar presentase setiap objek terhadap keseluruhan data dan besar sudut pusat sektor lingkaran sebagai berikut.

Ekstrakurikuler Jumlah persen Sudut pusatMusik 9 9

40×100 %=22,5 %

940×360 °=81 °

Tari 5 540×100 %=12,5 %

540×360 °=45 °

Bulutangkis 6 640×100 %=15 %

640×360 °=54 °

Basket 8 840×100 %=20 %

840×360 °=72 °

Lain-lain 12 1240×100 %=30 %

1240×360 °=108 °

40

Tabel 1.3 Data Anggota Ekstrakurikuler

Contoh 1.4

Ekstrakurikuler Banyaknya SiswaMusik 9Tari 5Bulutangkis 6Basket 8Lain-lain 12

Dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi,

data akan lebih mudah digunakan untuk keperluan

statistika


Bab 1 Statistika

info

9

3. Distribusi FrekuensiSeringkali kita menjumpai sekumpulan data amatan dalam jumlah atau ukuran yang besar untuk dianalisis. Ukuran data yang besar ini dapat disederhanakan dengan cara menentukan banyak nilai amatan yang sama, atau banyak nilai amatan yang terletak pada interval tertentu. Banyak nilai amatan yang sama atau banyak nilai amatan yang terletak pada interval tertentu itu disebut frekuensi.Tabel yang memuat nilai amatan atau nilai amatan yang terletak pada interval tertentu bersama-sama frekuensinya disebut sebagai tabel distribusi frekuensi. Sebagai konsekuensi dua amatan ini, maka kita mempunyai dua macam; tabel distribusi frekuensi tunggal dan tabel distribusi terkelompok. a. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal

Untuk memahami cara membuat tabel ini, kita perhatikan hasil ujian semester mata pelajaran Matematika 30 sisiwa:

80 30 50 70 70 70 40 8090 5080 90 70 70 60 60 60 70 50 6060 60 70 60 60 80 80 80 60 70

Carilah data yang berhubungan dengan tabel, diagram batang, diagram garis dan diagram lingkaran dari koran, majalah atau internet.

1. Catatlah informasi apa saja yang dapat diketahui dari data tersebut.2. Kumpulkan dalam bentuk kliping, lengkap dengan judul, keterangan, dan sumber informasi.3. Pilihlah salah satu dari data tersebut untuk diinformasikan kepada teman-temanmu.

Gambar 1.3 diagram lingkaran

22,5%

12.5%

Bulutangkis15%

Basket20%

Lain-lain30%

Data Anggota Ekstrakurikuler

catatan

Tugas kelompok

Jadi, gambar dari diagram lingkarannya adalah seperti gambar di samping.


Bab 1

Turus (tally) adalah cara mudah menghitung frekuensi. Banyak kelas biasanya diambil paling sedikit 5 dan palinng banyak 20.

10

Dari kumpulan dia atas kita dapat membaca bahwa:1 siswa mendapat nilai 301 siswa mendapat nilai 403 siswa mendapat nilai 509 siswa mendapat nilai 608 siswa mendapat nilai 706 siswa mendapat nilai 802 siswa mendapat nilai 90Keterangan-keterangan ini tentu saja akan lebih praktis apabila kita sajikan seperti dalam tabel berikut ini.

Tabel 1.4 Nilai Ujian (xi) Turus Banyak siswa/ frekuensi (fi)

30 I 140 I 150 III 360 IIII IIII 970 IIII III 880 IIII I 690 II 2

Penyajian data seperti Tabel 1.4 disebut tabel distribusi frekuensi tunggal. Dari tabel ini dengan cepat dapat ditemukan berapa banyak frekuensi siswa yang memperoleh nilai 30, 40 dan seterusnya.

b. Tabel Distribusi KelompokJika kita dihadapkan pada kelompok data amatan yang sangat besar ukurannya, maka pembuatan tabel distribusi frekuensi tunggal juga kurang efektif. Untuk kasus demikian akan lebih baih apabila kumpulan data tersebut kita kelompokan ke dalam beberapa kelas interval terlebih dahulu.Berikut ini adalah tabel berat badan siswa kelas XI IPA

Tabel 1.5Panjang Benda (dalam cm) Turus Frekuensi (fi)

71 - 80 II 281 - 90 IIII 4

91 – 100 IIII IIII IIII IIII IIII 25101 – 110 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII

IIII IIII II47


Bab 1 Statistika

11

111 – 120 IIII IIII IIII III 18121 – 130 IIII 4

Dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok ada beberapa pengertian dan aturan yang perlu dipahami.1. Kelas

Kelas adalah interval suatu data yang memuat beberapa data. Tabel di atas memuat 6 kelas yaitu kelas pertama 71-80, kelas kedua 81-90, kelas ketiga 91-100 dan seterusnya.

2. Batas KelasPada setiap kelas nilai terkecil disebut batas bawah dan nilai terbesar disebut batas atas kelas. Sebagai contoh pada kelas interval 91-100 batas bawahnya 91 dan batas atasnya adalah 100.

3. Tepi KelasTepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua kelas interval yang berurutan. Sebagai contoh, kelas pertama 71 – 80 dan kelas kedua 81

– 90 maka tepi kelas adalah 12

(80+81 )=80,5 yang merupakan tepi atas(ta) kelas

pertama dan tepi bawah(tb) kelas kedua.4. Panjang Kelas

Jika masing-masing kelas mempunyai panjang yang sama, maka panjang kelas merupakan selisih antara tepi atas dengan tepi bawah.

Panjang kelas = tepi atas – tepi bawahPanjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas.

5. Titik Tengah KelasTitik tengah sebuah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap mewakili kelas itu. Titik tengah kelas disebut juga nilai tengah kelas atau rataan kelas dan ditetapkan sebagai berikut.

Titik tengah = 12

(batas bawah + batas atas)

Menyusun Tabel Frekuensi BerkelompokSebelum menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok sebaiknya terlebih dahulu data diurutkan dari datum terkecil sampai datum terbesar.Data yang telah diurutkan seperti itu disebut statistika jajaran atau statistika peringkat. Dari statistika jajaran dapat ditetapkan nilai datum terkecil, disebut statistika minimum yaitu xmin=x1 dan nilai datum terbesar, disebut statistik maksimum, yaitu xmaks=xn. Kedua statistik ini (xmin dan xmaks) disebut sebagai statistik-statistik ekstrim. Tabel distribusi frekuensi berkelompok dapat disusun melalui langkah-langkah sebagai berikut.

1 menentukan nilai data terbesar (xmaks ) dan nilai data terkecil (xmin ) kemudian tentukann rentang atau jangkauannya, yaitu: R = xmaks - xmin

2 tentukan banyak kelas (k) dari n buah data berdasarkan aturan Sturgess, yaitu k = 1 + 3,3 log n

3 menentukan panjang kelas atau interval kelas dengan rumus: panjang kelas= rentang/banyak kelas

4 dengan menggunakan nilai panjang kelas yang diperoleh pada step 3, tetapkan kelas-kelasnya sehingga mencakup semua nilai amatan

5 tentukan frekuensi setiap kelasnya dengan menggunakan sistem turus. kemudian susunlah tabel distribusi frekuensi berkelompok

Contoh 1.5


Bab 1

Dalam menentukan banyak kelas dengan menggunakan kaidah empiris Sturgess, nilai k yang diperoleh nilai k nukan bilangan bulat. Nilai k itu harus dibulatkan (ke bawah atau ke atas) sedemikian sehingga panjang kelas yang diperoleh merupakan bilangan ganjil dan tidak terlalu besar.

Catatan

12

Suatu data diperoleh dari 40 kali pengukuran (teliti sampai mm terdekat) sebagai berikut.157 149 125 144 132 156 164 138 144 152148 136 147 140 158 146 165 154 119 163176 138 126 168 135 140 153 135 147 142173 146 162 145 135 142 150 150 145 128Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok untuk data tersebut!Jawab:Banyak data, n = 40Nilai statistik minimum xmin = 119, dan nilai statistik maksimum xmaks = 176.1. Rentang (R) = xmaks - xmin = 176 – 119 = 572. Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n = 1+ 3,3 log 40 ¿ 6,286...

Banyak kelas dibulatkan ke atas menjadi k=7 buah.

3. Panjang kelas = rentang

banyak kelas =

577

= 8,1428...

Panjang kelas dibulatkan ke atas menjadi 9.4. Dengan panjang kelas 9 dan nilai statistik minimum ditetapkan

sebagai batas bawah kelas pertama (tidak harus demikian), maka diperoleh kelas-kelas dan titik-titik tengah kelas sebagai berikut.

Kelas pertama 119-127 dengan titik tengah 123,Kelas ketiga 128-136 dengan titik tengah 132,Kelas kedua 137-145 dengan titik tengah 141,


Bab 1 Statistika

13

Kelas keempat 146-154 dengan titik tengah 150,Kelas kelima 155-163 dengan titik tengah 159,Kelas keenam 164-172 dengan titik tengah 168, danKelas ketujuh 173-181 dengan titik tengah 177.

Perhatikan bahwa semua nilai amatan terdistribusikan atau tersebar dalam kelas-kelas tersebut.5. Tabel distribusi berkelompok untuk data tersebut dapat ditampilkan dalam tabel

berikut.Tabel 1.6

Hasil pengukuran (mm) Titik tengah (xi) Turus Frekuensi

(fi)119 – 127 123 III 3128 – 136 132 IIII I 6137 – 145 141 IIII IIII 10146 – 154 150 IIII IIII I 11155 – 163 159 IIII 5164 – 172 168 III 3173 - 181 177 II 2

4. Frekuensi Relatif dan Frekuensi Kumulatifa. Daftar Frekuensi relatif

Daftar frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang frekuensi relatif masing-masing kelasnya dapat diperoleh dengan menyatakan persentase frekuensi kelas tersebut terhadap jumlah seluruh frekuensi.Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan ukuran data atau nilai n= 40. Maka tabel distribusi relatifnya adalah sebagai berikut.

Tabel 1.7Hasil pengukuran

(mm) Frekuensi (fi)

Frekuensi relatif

119 – 127 3 340×100 %=7,5 %

128 – 136 6 640×100 %=15 %

137 – 145 10 1040×100 %=25 %


Bab 1 14

146 – 154 11 1140×100 %=27,5 %

155 – 163 5 540×100 %=12,5 %

164 – 172 3 340×100 %=7,5 %

173 - 181 2 240×100 %=5%

b. Daftar Frekuensi kumulatifDaftar distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari daftar distribusi berkelompok. Terdapat dua jenis tabel distribusi kumulatif, yaitu

Frekuensi kumulatif kurang dari (fk kurang dari) -> di definisikan sebagai jumlah frekuensi semua nilai amatan yang kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk≤.

Frekuensi kumulatif lebih dari (fk lebih dari) -> di definisikan sebagai jumlah frekuensi semua nilai amatan yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk ≥.

Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan mencantumkan batas atas dan batas bawah dari tiap kelas intervalnya sehingga diperoleh tabel frekuensi kumulatif sebagai berikut.

Tabel 1.8Hasil pengukuran

(mm) Frekuensi (fi)

Tepi bawah

Tepi atas Frekuensi Kumulatif

fk≤ta fk ≥tb

119 – 127 3 118,5 127,5 3 40128 – 136 6 127,5 136,5 9 37137 – 145 10 136,5 145,5 19 31146 – 154 11 145,5 154,5 30 21155 – 163 5 154,5 163,5 35 10164 – 172 3 163,5 172,5 38 5173 - 181 2 172,5 181,5 40 2

5. Histogram, Poligon, dan OgivePenyajian data yang dikelompokan menurut distribusi frekuensi dapat dinyatakan dengan grafik yang disebut histogram. Histogram adalah diagram batang yang menyajikan daftar distribusi berkelompok.Langkah-langkah untuk membuat histogram suatu data berkelompok adalah sebagai berikut.


Bab 1 Statistika

info

118,5 127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5 181,5

15

1. Menggambar sumbu horizontal (untuk nilai) dan sumbu vertikal (untuk frekuensi).2. Menggambar persegi panjang untuk setiap interval. Alas persegi panjang menunjukan

panjang kelas, yaitu dari tepi bawah kelas sampai tepi atas kelas, sedangkan tinggi persegi panjang menunjukan frekuensinya.

3. Di atas setiap persegi panjang dapat ditulis frekuensi masing-masing agar histogram mudah dibaca.Jika titik-titik tengah dari sisi atas tiap persegi panjang yang berdekatan pada histogram dihubungkan maka akan diperoleh grafik garis yang disebut poligon frekuensi.

Sebagai contoh, Histogram dan poligon frekuensi dari tabel daftar distribusi kumulatif (Tabel 1.8) disajikan pada gambar berikut.

0

2

4

6

8

10

12

3

6

10

11

5

3

2

histogram

poligon

Ogive (poligon distribusi frekuensi kumulatif) adalah bentuk kurva dri daftar distribusi frekuensi kumulatif. Ogive terdiri dari ogive positif (ogive kurang dari) dan ogive negatif (ogive lebih dari).

Kata Histogram berasal dari bahasa Yunani, yaitu histo yang berarti kertas dan gram yang berarti menulis atau menggambar

Gambar 1.4 histogram dan poligon frekuensi


Bab 1

127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5 181,5

118,5 127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5

16

Ogive positif dibentuk dengan menghubungkan titik-titik dengan tepi atas sebagai absis dan frekuensi kumulatif kurang dari sebagai ordinat.

Ogive negatif dibentuk dengan menghubungkan titik-titik dengan tepi bawah sebagai absis dan frekuensi kumulatif lebih sebagai ordinat.

Dengan kata lain ogive positif adalah poligon frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive negatif adalah poligon frekuensi kumulatif lebih dari.

Gambarlah ogive dari data pada Tabel 1.8!Jawab:a) Ogive positif

b) Ogive negatif

0

5

10

15

20

25

30

35

40

450

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1. Data berikut diperoleh dari pencatatan banyak hewan ternak yang dipelihara oleh 40 warga dalam sebuah desa (dalam satu desa diambil 40 sampel warga).

1 4 3 5 4 2 4 3 3 23 4 2 5 4 4 1 5 3 43 4 5 2 6 4 3 5 4 12 4 3 6 4 1 4 3 4 2

a) Buatlah tabel distribusi frekuensi tunggal untuk data tersebut!b) Berapa persen warga yang memiliki

LATIHAN 1

Gambar 1.5 ogive positif

Gambar 1.6 ogive negatif


Bab 1 Statistika

17

1. Data berikut diperoleh dari pencatatan banyak hewan ternak yang dipelihara oleh 40 warga dalam sebuah desa (dalam satu desa diambil 40 sampel warga).

1 4 3 5 4 2 4 3 3 23 4 2 5 4 4 1 5 3 43 4 5 2 6 4 3 5 4 12 4 3 6 4 1 4 3 4 2

a) Buatlah tabel distribusi frekuensi tunggal untuk data tersebut!b) Berapa persen warga yang memiliki

Waktu (menit) Frekuensi40-44 445-49 650-54 1355-59 2260-64 3065-69 1870-74 7

a) Gambarlah histogram dan poligon frekuensinya!b) Gambarlah ogive kurang dari berdasarkan data tersebut!c) Gambarlah ogive lebih dari berdasarkan data tersebut!

Berpikir Kontras

4. tentukan tabel distribusi data kelompok, lengkap dengan frekuensi kumulatifnya berdasarkan histogram dan poligon frekuensi berikut!

5. Tentukan tabel distribusi frekuensi data kelompok lengkap dengan frekuensi kumulatifnya berdasarkan kurva ogive berikut!


Bab 1 18


Bab 1 Statistika

19

C. PENGOLAHAN DATA

1. Ukuran Pemusatan Data

Nilai statistika yang dapat menggambarkan keadaan suatu data antara lain adalah mean (rataan hitung), modus, dan median dengan menyatakan ukuran pemusatan data.

1) Rataan Hitung (Mean)a. Rataan hitung (Mean) pada data tunggal

Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan x1 , x2 , x3 ,…., xn (terdapat n buah datum) dengan setiap datum mempunyai frekuensi f 1, f , f 3 ,…. , f n. Maka rataan hitung (x ¿ditentukan oleh rumus berikut.

x=f 1 x1+ f 2 x2+ f 3 x3+….+ f n xn

f 1+ f 2+ f 3+…+ f n=¿

Jika data pertama dengan jumlah n1 mempunyai rata-rata x1 , data kedua dengan jumlah n2 mempunyai rata-rata x2 , dan seterusnya, maka rata-rata gabungan dari data tersebut adalah

b. Rataan hitung (Mean) pada data kelompokUntuk data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, maka rataan hitungnya dapat ditentukan dengan rumus:

Definisi

Rataan hitung (x ¿ dari data tunggal x1 , x2 , x3 ,…., xn adalah:

x=x1+x2+x3+….+xn

n=¿

xgab=n1 x1+n2 x2+n3 x3+…n1+n2+n3+…

x=¿

1. Tentukan rataan hitung dari data: 4, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 5.

Jawab:

x=4+3+2+5+6+7+8+58

=¿

Jadi, rataan hitungnya adalah x=5.

Contoh 1.6


Bab 1 20

dengan: x i= titik tengah kelas interval

f i= frekuensi dari x i

k= banyaknya kelas interval

Selain menggunakan cara di atas, kita dapat menentukan rataan dari sekumpulan data dengan terlebih dahulu menentukan rataan sementaranya. Rataan sementara biasanya diambil dari nilai tengah yang mempunyai frekuensi terbesar. Terdapat dua cara dalam menghitung rataan setelah rata-rata sementara ditentukan, yaitu cara simpangan rataan dan cara pengkodean (coding).

1) Cara Simpangan RataanRataan Hitung dengan cara simpangan rataan dapat ditentukan dengan

rumus sebagai berikut.

denganxs= ratan sementara

d i=simpangan x i terhadap xs

d i=x i−x s

2) Cara Pengkodean (Coding) Rataan Hitung dengan cara pengkodean dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

x=xs+¿

x=xs+()c Cara coding dimaksudkan untuk menghindari perkalian

yang besar (f i⋅x i

atau f i⋅d i )

Catatan

denganc= panjang kelas interval

ui=x i−xsc

ui= kode

1. Tentukan rataan hitung dari data: 4, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 5.

Jawab:

x=4+3+2+5+6+7+8+58

=¿

Jadi, rataan hitungnya adalah x=5.


Bab 1 Statistika

21

2) Modusa. Modus pada data tunggal

b. Modus pada data kelompokModus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut:

Definisi

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang

mempunyai frekuensi terbesar.

M o=t b+( d1

d1+d2)⋅c


Bab 1

info

22

dengan: t b=¿tepi bawah kelas modus

d1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c= panjang kelas

1. Data: 4, 7, 7, 7, 5, 4, 9 mempunyai modus 7

2. Data: 2, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 17 tidak mempunyai modus

3. Tentukan modus dari tabel di sampaing ini.

Jawab

Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65-69, dan

tepi bawah frekuensi modus (t b¿=64,5

d1= 18 – 6 = 12

d2= 18 – 9 = 9

c= 69,5 – 64,5 = 5

M o=t b+( d1

d1+d2)⋅c

¿64,5+( 1212+9 )⋅5

¿64,5+ 1221⋅5

¿64,5+2,86=67,36

3) Median

Definisi

Median adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama

banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Kontribusi Pierre Simon Laplace dalam perkembangan ilmu matematika adalah integral, kalkulus, peluang, dan statistik inferensia

Contoh 1.7

Nilai Frekuensi50-5455-5960-6465-6970-7475-7980-84

246189156


Bab 1 Statistika

23

a. Median pada data tunggalMisalnya terdapat data x1 , x2 , x3 ,…., xn dengan x1< x2<x3….<xn .

Jika n ganjil, maka M e=x n+12

Jika n genap, maka M e=12 (x n2+ xn2 +1)

b. Median pada data kelompokJika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

dengan: t b=¿tepi bawah kelas median

n= banyaknya data

f k= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f=frekuensi kelas median

c= panjang kelas

1. Tentukan median dari bilangan-bilangan berikut.

a) 2, 4, 3, 4, 6, 5, 8, 8, 9

b) 27, 28, 26, 21, 29, 29

Definisi

Median adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama

banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Jawab:

a) n=9 (ganjil)Data yang telah diurutkan: 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9.

M e=x 9+12

=x5=5

M e=t b+( 12n−f k

f )⋅c

Contoh 1.8 Kelas median adalah kelas dengan frekuensi

kumulatif mencapai 12

atau lebih, bukan kelas yang terletak di tengah.

Catatan

Dalam menentukan median, data harus diurutkan dari yang terkecil.

Ingat!


Bab 1 24

.

Jawab:

a) n=9 (ganjil)Data yang telah diurutkan: 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9.

M e=x 9+12

=x5=5

Tugas Kelompok

Kerjakan bersama teman sebangkumu. Carilah informasi tentang cara menghitung ukuran pemusatan untuk data tunggal dengan menggunakan kalkulator. Kemukakan informasi yang kamu peroleh tersebut di depan kelas.Demonstrasikan pula cara menggunakan kalkulator untuk menghitung mean,median, dan modus pada contoh-contoh soal pada bab ini di depan kelas!


Bab 1 Statistika

25

1. Tentukan mean, median, modus dari data berikut !a. 4, 3, 1, 5, 3, 2, 3b. 62, 52, 61, 44, 54, 70, 46, 46, 48, 53, 57, 50c.

2. Perhatikan tabel berikut!

Dalam tabel diatas, nilai rata-rata matematika adalah 7. Tentukan niai a, kemudian tentukan modus dan mediannya!

3. Nilai rata-rata ujian matematika dari 39 orang siswa adalah 45. Jika nilai seorang siswa lainnya, yaitu Angga, digabungkan dengan kelompok tersebut, nilai rata-rat ke-40 orang siswa menjadi 46. Tentukan nilai ujian Angga!

4. Tentukan mean, median, dan modus dari data berikut!

Nilai 40-46 47-53 54-60 61-67 68-74 75-81 82-88

Frekuensi 7 16 30 35 30 20 12

Berapa siswa yang memperoleh ilai diatas rata-rata?

5. Diketahui data dari distribusi frekuensi berikut.

LATIHAN 2

Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 2 5 12 10 4 1

Nilai Matematika 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 2 5 12 10 a 1


Bab 1

34

6

12

8

5

2

26

Nilai Frekuensi

10-1920-2930-3940-4950-59

34x21

Jika modus dari data diatas adalah 33,5, tentukana. Nilai xb. Meanc. Median

6. Tentukan mean, median, dan modus dari data yang disajikan oleh histogram berikut.

2. Ukuran Letak Data

Selain ukuran pemusatan data, ukuran letak data dapat juga digunakan utuk mendapatkan gambaran tentang data. Jika kita ingin membagi kelompok data menjadi empat bagian yang sama, maka dapat digunakan nilai kuartil. Tetapi jika ingin membagi kelompok data menjadi sepuluh bagian yang sama, maka dapat digunakan nilai desil, sedangkan untuk membagi menjadiseratus bagian sama dapat digunakan niali persentil.

1. Kuartila. Kuartil data tunggal

64,559,554,549,544,539,534,529,5 Berat (kg)

Frekuensi Kumulatif

Tentukan Q1 ,Q2 ,Q3 untuk data-data berikut.

a. 4, 8, 3, 1, 6, 9, 5, 1b. 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12

Jawab:

a. Data yang telah diurutkan:

1, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 Jadi, Q1=12

(1+3 )=2

Q2=12

( 4+5 )=4,5

Q3=12

(6+8 )=7

b. Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Letak Q1=1(14+1)

4=15

4=3

34

sehingga:

Q1=x3+34

(x4−x3 )=4+ 34

(4−4 )=4

Letak Q2=2(14+1)

4=15

2=7

12

sehingga:

Q2=x7+12

(x7−x6 )=7+ 12

(7−7 )=7

Letak Q3=3(14+1)

4=45

4=11

14

sehingga:

Q3=x11+14

(x12−x11)=8+ 14

(9−8 )=814=8,25


Bab 1 Statistika

27

Terdapat 3 buah kuartil, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3). Kuartil-kuartil suatu data dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

1) Mengurutkan data dari nilai yang terkecil hingga yang terbesar2) Menentukan median atau kuartil kedua (Q2)3) Menentukan Q1 (median dari semua data yang kurang dari Q2) dan Q3 (median dari

semua data yang lebih dari Q2)

Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut

Dengan Qi= kuartil ke-i dann= banyak data

DefinisiKuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Letak Qi=i(n+1)

4

Contoh 1.9

Tentukan nilai kuartil bawah Q1, tengah Q2, dan atas Q3 data kelompok pada tabel berikut.

Skor Frekuensi (f i) Frekuensi Kumulatif (f k)40-4950-5960-6970-7980-8990-99

148

14103

15

13273740

Jawab

n =40, 14n=1

440=10 ,

12n=1

240=20 ,

34n=3

440=30

c= 10

Kelas Q1adalah 60-69, kelas Q2 adalah 70-79, kelas Q3 adalah 80-89

Jadi, Q1=t b+( 1

4n−f k

f )⋅ c=59,5+( 10−58 )⋅10=65,75

Q2=t b+( 12n−f k

f )⋅ c=69,5+(20−1314 )⋅10=74,5

Q3=t b+( 34n−f k

f )⋅ c=79,5+( 30−2710 )⋅10=82,5 Matematika SMA Kelas

XI IPA

Bab 1 28

b. Kuartil data kelompokMenetukan letak kuartil untuk data kelompok, caranya sama dengan data tunggal. Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Dengan: Qi= kuartil ke- it b= tepi bawah kelas kuartiln =banyaknya dataf k= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartilf=¿ frekuensi kelas kuartilc= panjang kelasi= 1, 2, 3

Qi=t b+( i4 n−f kf )⋅ c

Contoh 1.10


Bab 1 Statistika

29

2. Desil

Untuk data yang tidak dikelompokkan, letak desil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

Sedangkan nilai desil untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.

Dengan: Di= desil ke- it b= tepi bawah kelas Di

n =ukuran dataf k= frekuensi kumulatif sebelum kelas Di

f=¿ frekuensi kelas yang memuat Di

c= panjang kelasi=1, 2, 3, ..., 9

1. Data; 7 5 8 7 9 6 6 6 8 5 9 8 6 7 9

Tentukan a. D3 dan b. D6

jawab:

Data yang telah diurutkan: 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9Banyak data, n=15

Definisi

Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang

sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang

terbesar.

Di terletak padanilai ke−i (n+1 )

10

Di=t b+( i10n− f k

f )⋅c

Contoh 1.11


Bab 1 30

a. Desil ke-3 terletak pada nilai ke- 3 (15+1 )

10=4,8

Jadi, D3=x4+0,8 (x5−x4 )=6+0,8 (6−6 )=6

b. Desil ke-6 terletak pada nilai ke- 6 (15+1 )

10=9,6

Jadi, D6=x9+0,6 ( x10−x9 )=7+0,6 ( 8−7 )=7,6

2. Tentukan desil ke-6 data berkelompok pada tabel berikut.

Skor Frekuensi (f i) Frekuensi Kumulatif (f k)40-4950-5960-6970-7980-8990-99

148

14103

15

13273740

Jawab

D6 terletak pada nilai ke- i (n+1 )

10=

6 (40+1 )10

=24,6 sehingga kelas D6 adalah 70-79.

jadi, D6= tb+( 610n− f k

f )⋅c=69,5+( 610

40−13

14 )⋅10=77,36

3. Persentil

Definisi

Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian

yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga

yang terbesar.


Bab 1 Statistika

31

Untuk data yang tidak dikelompokkan, letak persentil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

Sedangkan nilai persentil untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.

Dengan: Pi= Persentil ke- it b= tepi bawah kelas Pin =ukuran dataf k= frekuensi kumulatif sebelum kelas Pif=¿ frekuensi kelas yang memuat Pic= panjang kelasi=1, 2, 3, ..., 99

1. Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75

Jawab

Data diurutkan:4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

Letak persentil ke-30 diurutan data ke-i (n+1 )

100=

30 (10+1 )100

=330100

=3,3

P30=x3+0,3 (x4−x3 )=5+0,3 (6−5 )=5,3

Jadi, P30=5,3.

Letak persentil ke-75 diurutan data ke-i (n+1 )

100=

75 (10+1 )100

=8,25

P75=x8+0,25 (x9−x8 )=9+0,25 (10−9 )=9,25

Jadi, P75=9,25.

Pi terletak padanilai ke−i (n+1 )

100

Pi=t b+( i100

n−f k

f )⋅c

Contoh 1.12


Bab 1 32

2. Diketahui data pada tabel kelompok berikut.

x f f k41-4546-5051-5556-6061-65

361687

39253340

Dari data tersebut tentukan:a. Persentil ke-25b. Persentil ke-60

Jawab

a. Letak P25=25100

⋅ 40=10 yaitu pada data ke-10 dan kelas P25=51−55 sehingga diperoleh:

P25=50,5+( 25100

⋅ 40−9

16 )⋅5=50,5+( 10−916 )5=50,5+0,31=50,81

b. Letak P60=60100

⋅ 40=24 yaitu pada data ke-24 dan kelas P60=56−60 sehingga diperoleh:

P60=55,5+( 60100

⋅40−25

8 )⋅5=55,5+( 24−258 )5=55,5−0,625=¿

2. Ukuran Penyebaran Data

Nilai mean atau median hanya menitikberatkan pada pusat data, tetapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut. Untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai adalah salah satu alasan kita mempelajari ukuran penyebaran data. Ukuran penyebaran data yang akan dipelajari di antaranya: jangkauan, hamparan, jangkauan semi antarkuartil, simpangan rata-rata, varians dan simpangan baku.

1. Jangkauana. Jangkauan data tunggal

Definisi

Jangkauan data atau rentang data atau range data, J adalah selisih antara data

terbesar, xmaks dengan data terkecil, xmin.

J=xmaks−xmin


Bab 1 Statistika

33

b. Jangkauan data kelompokSedangkan untuk jangkauan data berkelompok langkah-langkah yang

ditempuh untuk mendapatkannya adalah Mencari nilai tengah dari frekuensi . Mencari nilai tengah dari frekuensi terbesar. Jangkauan data kelompok adalah selisih dari nilai tengah frekuensi terbesar

dengan nilai tengah frekuensi terkecil.

1. Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai yang berbeda untuk diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam mg) adalah193 282 243 243 282 214 185 128 243 159 218 161 112 131 201 132 194 221 141 136. Dari data tersebut tentukan jangkauannya!Jawab

Data setelah diurutkan:112 128 131 132 136 141 159 161 185 193194 201 214 218 221 243 243 243 282 282Data terkecil(x¿¿min)¿ = 112Data terbesar (xmaks ¿ = 282Jangkauan(J ) = xmaks−xmin= 282 – 112= 170.

2. Hasil ulangan matematik kelas XII SMK sebagai berikut:

Nilai Frekuensi1-10 0

11-20 421-30 731-40 341-50 151-60 961-70 471-80 3

Contoh 1.13

Definisi

Hamparan atau jangkauan antarkuartil atau rentang antarkuartil, H adalah selisih antara

kuartil ketiga dengan kuartil pertama.

H=Q 3−Q1


Bab 1 34

81-90 591-100 4

Carilah jangkauan dari data tabel di atas!

Jawab

Nilai tengah kelas terendah = 1+10

2=5,5

Nilai tengah kelas tertinggi = 91+100

2=95,5

Jangkauan(J ) = 95,5 - 5,5 = 90.

Jadijangkauan nilai ulangan matematika di atas adalah 90.

2. Hamparan

Untuk mencari hamparan data tunggal dan data kelompok, rumus yang digunkan adalah seperti diatas, yaitu H=Q 3−Q1

1. Tentukannilaijangkauanantarkuartilnya4, 4, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 9

Jawab

UntukmenentukanQ1, Q2, Q3data-datanyakitaurutkanterlebihdahulu

3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10

Q1=12

( 4+4 )=4 ,Q2=7 ,Q3=12

(9+9 )=9

Contoh 1.14


Bab 1 Statistika

35

3. JangkauanSemiAntarkuartil

Untuk mencari nilai jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil pada data tunggal dan data kelompok, rumusnya adalah sebagai berikut:

Dengan Qd= Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartilQ1= kuartil bawahQ3= kuartil atas

1. Tentukannilaijangkauanantarkuartilnya4, 4, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 9

Jawab


3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10

Q1=12

( 4+4 )=4 ,Q2=7 ,Q3=12

(9+9 )=9

Definisi

Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah kali

panjang hamparan.

Qd=12(Q3−Q1)

Tentukannilaijangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil

4, 4, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 9

Jawab


3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10

Q1=12

( 4+4 )=4 ,Q2=7 ,Q3=12

(9+9 )=9

Qd=12

(Q3−Q1 )=12

(9−4 )=52=2,5

Jadi nilaijangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah 2,5

�ଵ �ଷ �ଶ

Contoh 1.15


Bab 1

Bentuk dubaca “ harga mutlak dari ” yang selalu menghasilkan nilai positif.

Catatan

36

4. SimpanganRata-rata

a. Simpangan rata-rata data tunggalNilai simpangan rata-rata (SR) untuk data tunggal dapat ditenukan dengan rumus:

Dengan n= banyaknya datax i= nilai data ke-ix= rataan hitung

b. Simpangan rata-rata data kelompokUntuk data berkelompok, nilai simpangan rata-rata ditentukan dengan

rumus:

Dengan k= banyaknya datax i= titik tengah kelas ke-i

n= ∑i=1

k

f i

Definisi

Simpangan rata-rata menyatakan jarak rata-rata suatu daat terhadap

rataannya.

SR=1n∑i=1

n

|x i−x|

SR=1n∑i=1

k

f i|x i−x|

1. Hitunglah simpangan rata-rata dari data nilai 6 siswa dalam kuis matematika berikut ini:

9, 8, 5, 4, 6, 7

Jawab

Rataan hitung data di atas adalah x=9+8+5+4+6+7

6=6,5

SR=1n∑i=1

n

|x i−x|

Contoh 1.16


Bab 1 Statistika

37

2. Hitunglah simpangan rata-rata data pada tabel berikut ini.

Interval Frekuensi

21-25 2

26-30 8

31-35 9

36-40 6

41-45 3

46-50 2

Jawab

Untuk menghitung simpangan rata-rata, data diwakili oleh titik tengah dari interval data. Sebelum menghitung simpangan rata-rata kita harus mencari rataan hitungnya terlebih dahulu. Perhatikan cara menghitungnya seperti dalam tabel di bawah ini.

Interval Nilai Tengah (xi)

Frekuensi(fi)

fi xi |x i−x| fi|x i−x|

21-25 23 2 46 11 2226-30 28 8 224 6 4831-35 33 9 297 1 936-40 38 6 228 4 2441-45 43 3 129 9 2746-50 48 2 96 14 28

Jumlah 30 1020 158

Rataan hitung : x=¿

Simpangan rata-rata SR=1n∑i=1

k

f i|x i−x|=15830

=5,27.

1. Hitunglah simpangan rata-rata dari data nilai 6 siswa dalam kuis matematika berikut ini:

9, 8, 5, 4, 6, 7

Jawab

Rataan hitung data di atas adalah x=9+8+5+4+6+7

6=6,5

SR=1n∑i=1

n

|x i−x|


Bab 1 38

5. Varians

Misalnya data x1 , x2 , x3 ,…,xn mempunyai rataan x, maka ragam atau varians (S2 ¿ dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan: n= banyaknya datax i= nilai data ke-ix= rataan hitung

Untuk data berkelompok, nilai varians dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan: f i= frekuensi kelas ke-ix i= titik tengah kelas ke-ik= banyaknya kelasx= rataan hitung

n= ∑i=1

k

f i

Rumus ragam untuk data berkelompok yang lain adalah

2. Hitunglah simpangan rata-rata data pada tabel berikut ini.

Interval Frekuensi

21-25 2

26-30 8

31-35 9

36-40 6

41-45 3

46-50 2

Jawab

Untuk menghitung simpangan rata-rata, data diwakili oleh titik tengah dari interval data. Sebelum menghitung simpangan rata-rata kita harus mencari rataan hitungnya terlebih dahulu. Perhatikan cara menghitungnya seperti dalam tabel di bawah ini.

Interval Nilai Tengah (xi)

Frekuensi(fi)

fi xi |x i−x| fi|x i−x|

21-25 23 2 46 11 2226-30 28 8 224 6 4831-35 33 9 297 1 936-40 38 6 228 4 2441-45 43 3 129 9 2746-50 48 2 96 14 28

Jumlah 30 1020 158

Rataan hitung : x=¿

Simpangan rata-rata SR=1n∑i=1

k

f i|x i−x|=15830

=5,27.

Definisi

Varians atau ragam menyatakan rata-rata kuadrat jarak suatu data terhadap

rataannya.

S2=1n∑i=1

n

(x i−x )2

S2=1n∑i=1

k

f i (x i−x )2

S2=1n∑i=1

k

f i x i2−( 1

n∑i=1

k

f i x i)2

1. Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13.

Jawab

n= 8, x=7

∑i=1

8

( xi−x )2=(1−7 )2+(3−7 )2+( 4−7 )2+(5−7 )2+ (8−7 )2+ (10−7 )2+(12−7 )2+(13−7 )2

= 36 + 16 + 9 + 4+ 1+ 9+ 25 + 36


Bab 1 Statistika

info

39

Rumus diatas dapat diubah dengan menggunakan simpangan rataan atau pengkodean (coding).

1) Cara Simpangan

Dengan d i=x i−x s

2) Cara Pengkodean (Coding)

Dengan ui=x i−x s6. Simpangan Baku

Simpangan baku atau standar deviasi (S) dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan: : n= banyaknya datax i= nilai data ke-ix= rataan hitung

Atau dapat disimpulakan bahwa simpangan baku (S) merupakan akar dari ragam. Oleh karena itu, simpangan baku dirumuskan dengan S=√S2.

S2=1n∑i=1

k

f id i2−( 1

n∑i=1

k

f id i)2

S2={1n∑i=1

k

f iu i2−( 1

n∑i=1

k

f iui)2}⋅c2

S=√S2=√ 1n∑i=1

n

(x i−x )2

Carl Friedrich Gauss menemukan istilah “standar deviasi“ untuk mengestimasi akurasi pengukuran data.

Contoh 1.17

1. Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13.

Jawab

n= 8, x=7

∑i=1

8

( xi−x )2=(1−7 )2+(3−7 )2+( 4−7 )2+(5−7 )2+ (8−7 )2+ (10−7 )2+(12−7 )2+(13−7 )2

= 36 + 16 + 9 + 4+ 1+ 9+ 25 + 36


Bab 1 40

2. Tentukan ragam dan simpangan baku dari data pada tabel berikut

Skor Frekuensi (f i)

Frekuensi Kumulatif (f k)

40-4950-5960-6970-7980-8990-99

148

14103

15

13273740

Jawab

Telah dihitung sebelumnya rataan x=73 ,75 dan tabel tersebut dapat dilengkapi menjadi tabel berikut:


x i (x i−x )2 f i (x i−x )2

40-4950-5960-6970-7980-8990-99

148

14103

44,554,564,574,584,594,5

855,56370,5685,560,56

115,56430,56

855,561482,25684,48

7,881155,631291,69

Jumlah 40 5.477,49

S2=1n∑i=1

6

f i (x i−x )2= 140

(5.477,49 )=136,94


Bab 1 Statistika

41

1. Tentukan jangkauan, hamparan, dan simpangan kuartil untuk setiap data berikut!

a. 5 9 4 8 6 4 5 8 7

2. Tentukan ragam dan simpangan baku dari data pada tabel berikut


Frekuensi Kumulatif (f k)

40-4950-5960-6970-7980-8990-99

148

14103

15

13273740

Jawab

Telah dihitung sebelumnya rataan x=73 ,75 dan tabel tersebut dapat dilengkapi menjadi tabel berikut:


x i (x i−x )2 f i (x i−x )2

40-4950-5960-6970-7980-8990-99

148

14103

44,554,564,574,584,594,5

855,56370,5685,560,56

115,56430,56

855,561482,25684,48

7,881155,631291,69

Jumlah 40 5.477,49

S2=1n∑i=1

6

f i (x i−x )2= 140

(5.477,49 )=136,94

Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok untuk mengerjakan tugas berikut.

Tentukan ragam dari data:

a. 6, 3, 2, 11, 8, 13, 5b. Dari tabel berikut

Nilai Frekuensi40-4849-5758-6667-7576-8485-93

41210842

TUGAS KELOMPOK

LATIHAN 2


Bab 1 42

b. 23 20 18 22 20 26 24 18

2. Diberikan daftar distribusi frekuensi seperti pada tabel

disamping. Tentukan nilai hamparan dan simpangan kuartil!

3. Tentukan simpangan rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk data berikut!

a. 50, 40, 30, 60, 70

b. 7, 5, 5, 6, 6, 8, 7, 5, 8, 7, 4, 7, 4, 5, 6

4.

Data umur dari 30 orang disajikan pada tabel di atas.

Tentukan:

a. Simpangan bakub. Varians

Rangkuman materi

Interval Frekuensi

21-30

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

6

8

15

7

9

5

Umur Frekuensi

1-5

6-10

11-15

16-20

21-25

2

7

5

9

6


Bab 1 Statistika

43

STATISTIKA

Statistika merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari: Cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dengan sistematis, agar

data-data itu dapat dipahami dengan jelas (Statistika deskriptif) Menganalisis dan menafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan

keputusan, perencanaan, dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sirat data tersebut (Statistika inferensial)

A. PENGUMPULAN DATACara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

B. PENYAJIAN DATAAda 2 jenis cara dalam penyajian data dalam stastistika, yaitu1. Tabel2. Diagram atau Grafik, yaitu

a. Diagram batangb. Diagram garisc. Diagram lingkaran

Penyajian data dalam bentuk tabel mengalami pengembangan terkait dengan ukuran dari data amatan yang cukup besar, yaitu daftar distribusi frekuensi.

Daftar Distribusi frekuensi terdiri dari1. Daftar Distribusi frekuensi tunggal2. Daftar distribusi frekuensi berkelompok, berkembang menjadi

a. Tabel distribusi frekuensi relatifb. Tabel distribusi frekuensi kumulatif, terdiri dari

1. Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari -> ogive positif2. Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari -> ogive negatif

C. PENGOLAHAN DATA1. Ukuran Pemusatan


Bab 1 44

a) Mean

Data tunggal=

x=¿∑i=1

n

x i

n

Data kelompok= x=¿b) Modus

Data tunggal= nilai yang sering muncul

Data kelompok= M o=t b+( d1

d1+d2)⋅c

c) Median

Data tunggal= M e=x n+12

(ganijl), M e=12 (x n2+ xn2 +1) (genap)

Data kelompok= M e=t b+( 12n−f k

f )⋅c2. Ukuran Letak

a) Kuartil

Data tunggal= Qi=i(n+1)

4

Data kelompok= Qi=t b+( i4 n−f kf )⋅ cb) Desil

Data tunggal= Di=i (n+1 )

10

Data kelompok= Di=t b+( i10n− f k

f )⋅cc) Persentil

Data tunggal= Pi=i (n+1 )

100

Data kelompok= Pi=t b+( i100

n−f k

f )⋅c3. Ukuran Penyebaran

a) Jangkauan Data tunggal= J=xmaks−xmin Data kelompok= nilai tengah frekuensi terbesar – nilai tengah frekuensi

terkecil


Bab 1 Statistika

45

b) Hamparan=H=Q 3−Q1

c) Simpangan kuartil=Qd=12(Q3−Q1)

d) Simpangan rat-rata

Data tunggal= SR=1n∑i=1

n

|x i−x|

Data kelompok= SR=1n∑i=1

k

f i|x i−x|

e) Varians

Data tunggal= S2=1n∑i=1

n

(x i−x )2

Data kelompok= S2=1n∑i=1

k

f i (x i−x )2

f) Simpangan baku=S=√S2=√ 1n∑i=1

n

(x i−x )2

KeteranganMean:x i= titik tengah kelas intervalf i= frekuensi dari x i

k= banyaknya kelas interval

Modus:

t b=¿tepi bawah kelas modus

d1= selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sebelumnya

d2= selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sesudahnya

c = panjang kelas

Median:

t b=¿tepi bawah kelas median

n= banyaknya data

f k= frekuensi kumulatif sebelum kelas

median

f =frekuensi kelas median

c= panjang kelas

i=1, 2, 3, ..., 9

Persentil:

Pi= Persentil ke- i

t b= tepi bawah kelas Pi

n =ukuran data

f k= frekuensi kumulatif sebelum kelas Pi

f=¿ frekuensi kelas yang memuat Pi

c= panjang kelas

i=1, 2, 3, ..., 99

Simpangan rata-rata:

n= banyaknya data

x i= nilai data ke-i

x= rataan hitung

k= banyaknya data

x i= titik tengah kelas ke-i


Bab 1

12

3 4

46

c= panjang kelas

Kuartil:

Qi= kuartil ke-i

n= banyak data

Qi= kuartil ke- i

t b= tepi bawah kelas kuartil

f k= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

f=¿ frekuensi kelas kuartil

c= panjang kelas

Desil:

Di= desil ke- i

t b= tepi bawah kelas Di

n =ukuran data

f k= frekuensi kumulatif sebelum kelas Di

f=¿ frekuensi kelas yang memuat Di

n= ∑i=1

k

f i

Varians:n= banyaknya data


x= rataan hitung

f i= frekuensi kelas ke-i

x i= titik tengah kelas ke-i

k= banyaknya kelas

n= ∑i=1

k

f i

Simpangan baku:

n= banyaknya data


x= rataan hitung

Uji Kompetensi Bab Statistika

A. Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal berikut!1. Dari 400 siswa diperoleh data tentang pekerjaan orang tua/wali. Daa tersebut jika

disajikan dalam diagramlingkaran sebagai berikut.Keterangan:1= Wiraswasta (90°)2= PNS (108 °¿3= TNI/Polri (27 °)4= Pedagang (135 °)

Berdasar data di atas, pernyatan yang benar adalah ...a. Jumlah PNS 12 orang d. Jumlah TNI/Polri 27 orangb. Jumlah wiraswasta 90 orang e. Jumlah TNI 15 orangc. Jumlah pedagang 135 orang

2.


Bab 1 Statistika

47

Didaerah manakah korban meninggal dunia yang paling banyak?a. Sleman d. Magelangb. Klaten e. Boyolali dan Magelangc. Boyolali

3. Dari rataan, median, modus, dan kuartil yang merupakan ukuran pemusatan adalah ...a. Rataan, median, dan modus d. Median, modus, dan kuartilb. Rataan, median, dan kuartil e. Rataan median, modus, dan kuartilc. Rataan, modus, dan kuartil

4. Seorang ayah berumur x tahun dan istrinya berumur 5 tahun lebh muda. Umur anak

yang pertama ( 12x−3) tahun dan umur anak yang kedua ( 1

4x+2) tahun. Jika umur rata-

rata mereka adalah 26 tahun, maka umur anak yang kedua adalah ...a. 11 tahun d. 14 tahunb. 12 tahun e. 15 tahunc. 13 tahun

5.

Median dari data tersebut adalah ...

a. 6116

d. 6212

b. 6112

e. 6223

Nilai Frekuensi44-4849-5354-5859-6364-6869-7374-78

89

113028122


Bab 1 48

c. 6216

6. Diketahui data: x, 2, 4, 3, 2, 5, 9, 7, 6. Nilai x bila diketahui jangkauan sama dengan 8 adalah ...

a. 1 d. 1 atau 10b. 2 e. 2 atau 5c. 10

7. Pada suatu ulangan yang diketahui oleh 50 siswa diperoleh nilai rata-rata adalah 36 dengan simpangan baku 15. Karena nilai rata-rata masih rendah, maka nilai tiap siswa dikalikan 2 kemudian dikurangi 10. Simpangan baku yang baru adalah ...

a.12

d. 20

b. 10 e. 30c. 15

8. Pada suatu data diketahui: ∑i=1

5

f i ⋅ xi=15 ,∑i=1

5

f i ⋅ xi2=1200 , dan ∑

i=1

5

f i=30. Nilai ragam

adalah ...a. 38 d. 40, 25b. 39,5 e. 42c. 39,75

9.

Kuartil atas dari data di atas adalah ...

a. 28,16 d. 29,16b. 88,2 e. 29,36c. 28,5

Nilai Frekuensi 11-15 316-20 1121-25 1526-30 1631-35 336-40 2

Jumlah 50


Bab 1 Statistika

49

10. Berat badan rata-rata dua kelompok anak yang masing-masing terdiri dari 5 anak adalah 40 kg dan 44 kg. Bila seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, maka berat badan rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih berat badan anak yang ditukar adalah ...

a. 5 kg d. 13 kgb. 10 kg e. 15 kgc. 12 kg

B. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan benar!1. Tentukanrataan(mean), median, modus untuktiapkumpulan data di bawahini!

a. 10, 11, 14, 18, 18, 20, 21 d. 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 11b. 8, 9, 13, 13, 17, 18, 20 e. 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 9, 12, 13c. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 17

Nilai 52-56 57-61 62-66 67-71 72-76 77-81Frekuensi 4 6 10 12 8 8

2.

Berdasar data di atas, buatlah:a. Poligon frekuensib. Ogive positif

3.

Tentukan:a. Rataan hitung

b. Ragamc. Simpangan bakud. Desil ke-3e. Desil ke-5

Hasil Pengukuran 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44Frekuensi 6 8 16 20 22 18 10


Bab 1 50

DAFTAR PUSTAKA

Suprijanto, H. Sigit, dkk. 2009. Matematika SMA Kelas XI Program IPA.Yudhistira:Jakarta.

Soedyarto, Nugroho,dkk.2008.Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional.

Djumanta, Wahyudin. 2008.Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas /Madrasah Aliyah . Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional.

Sutrima.2009.Wahana Matematika 2 : untuk SMA / MA Kelas XI Program IlmuPengetahuan Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Noormandiri,B.K..2007. Matematika Jilid 2A Untuk SMA Kelas XI IPA.Jakarta:Erlangga.


Bab 1 Statistika

51

Bab 1 Statistika

Documents