Page 1
11
DR. DR. ANUAR ANUAR MOHD MOHD ISHAKISHAKNo. No. BilikBilik : : 21112111, , BangunanBangunan PPSMPPSM
No. TelNo. Tel : : 0303--8921892157565756
EE--melmel :: [email protected] @ukm.my
STQM1923STQM1923
TEKNIK MATEMATIK IITEKNIK MATEMATIK IIMATHEMATICAL TECHNIQUES IIMATHEMATICAL TECHNIQUES II
KULIAH (Set 2):
Isnin : 1:00 – 2:00 pm (1 jam) - DKG126G
Khamis: 5:00 – 7:00 pm (2 jam) - DKG126G
22
KKANDUNGANANDUNGAN KURSUSKURSUS
1).1). MMatriksatriks dandan SSistemistem PPersamaanersamaan LLinearinear
2). 2). VVektorektor
3). 3). NNilaiilai EEigenigen dandan VVektorektor EEigenigen
4). 4). PPenjelmaanenjelmaan LLinearinear
5). 5). PPenjelmaanenjelmaan LLaplaceaplace
6). 6). SSiriiri FFourierourier
7). 7). FFungsiungsi BBernilaiernilai VVektorektor
8). 8). KKamiranamiran GGarisaris dandan PPermukaanermukaan
33
PPENILAIANENILAIAN
KuizKuiz: 10%: 10%
TugasanTugasan: 10%: 10%
UjianUjian MidSemMidSem 30%30%
Pep. Pep. AkhirAkhir 50%50%
44
RUJUKAN
1. Stephenson, G. 1989. Kaedah Matematik Untuk Pelajar Sains. Terj.
Hafsah Abd. Majid & Muriati Mokhtar. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan
Pustaka
2. Weltner, K. et al. 1992. Matematik Untuk Jurutera dan Ahli Sains. Terj.
Abu Bakar Mohamad et al. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.
3. Peter, V. O. 2003. Advanced Engineering Mathematics 5th Ed. Thomson
Books/cole, UK.
4. Thomas, G. B. 1998. Calculus With Analytic Geometry, Ed. Ke-9. New
York. Addison Wesley.
**Sebarang buku Linear Algebra dan Asas Kalkulus yang terdapat dalam
pasaran masa kini adalah sesuai untuk dijadikan sebagai rujukan bagi
kursus ini .
55
TOPIK 1:TOPIK 1:
MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN
LINEARLINEAR(Matrices and Systems of Linear Equations)(Matrices and Systems of Linear Equations)
1.1 MATRIKS
1.2 OPERASI MATRIKS
1.3 MATRIKS TRANSPOSISI
1.4 PENENTU MATRIKS
1.5 MATRIKS SONGSANG
1.6 MINOR, KOFAKTOR, MATRIKS DAMPINGAN
1.7 PENYELESAIAN SIST. PERS. LINEAR
66
1.1 1.1 MATRIKS (MATRIKS (MatricesMatrices))
Matriks ialah satu set objek/unsur (elements) yg
disusun dlm baris(row) dan lajur(column) supaya
membentuk segiempat tepat.
1 1 1
1 22 23 2
1
1
2
1 2 3
n2 3 ×m
...
...A
...
n
n
nmm m m
a a a a
a a a a
a a a a
=
⋮
Bil. lajur = n
nm×i ja =
Bil. baris = m
Saiz matriks
baris X lajur
Page 2
77
Contoh 1.1.1:
Matriks nyata (Real Matrix)
2 3
1 0 3
2 0.3 4×
−
Contoh 1.1.2:
Matriks kompleks (Complex Matrix)
3 3
15 8 6 2
3 1 2 0
1 1 4
i i
i i
i i×
− − + − −
88
Matriks segi empat sama ⇒ unsur adalah
unsur pepenjuru utama (main diagonal entries).iia
4×4
2 5 0
3 4 1
5 1 3
0
1
0
32
2
4
−
−
−
−
unsur pepenjuru utam -1, -2,a ialah 0 dan 3
1−2−
0
3
Jika m = n maka matriks berbentuk segi empat sama
(square matrix)
Contoh 1.1.3
99
4 1
1
2
3
4×
Matriks yg mempunyai satu lajur (bersaiz m x 1)juga
disebut vektor lajur (column vector)
MMatriks yg mempunyai satu baris ( bersaiz 1 x n)
juga disebut vektor baris (row vector)
Contoh 1.1.4
[ -1 0 2 4 ]1x4
Contoh 1.1.5
1010
1.1.1 Matriks Identiti (Identity Matrix)
Simbol : :
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 0 ... 1n n
I
×
=
⋮
Matriks segi
empat sama dgn
unsur pepenjuru
utama ‘1’ dan
selainnya ‘0’.
i j m na
× = yg 1 utk
0 utk
i j
ij
a i j
a i j
= =
= ≠
1111
1.1.2 Matriks Sifar (Zero Matrix)
Simbol: 0
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0n n×
=
⋮
Matriks dgn semua unsur sifar, ‘0’
1212
i) Matriks Segi Tiga Atas (Upper Triangular Matrix)
4 4
1
2
3
4
0
0 0
0 0
3
3 4
0
2 4
4
×
. . dgn utk s0 emuaii jj a ii e a j = >
Matriks segi empat sama dgn unsur di bawah
pepenjuru utama adalah ‘0’
1.1.3 Matriks Segi Tiga (Triangular Matrices)
Contoh 1.1.6
Page 3
1313
4 4
1
2
3
4
1
1 2
1 2
0
0 0
3
0 0
0
×
. . dgn utk s0 emuaii jj a ii e a j = <
ii) Matriks Segi Tiga Bawah (Lower Triangular Matrix)
Matriks segi empat sama dgn unsur di atas
pepenjuru utama adalah ‘0’
Contoh 1.1.7
1414
1.2 OPERASI MATRIKS (Matrix Algebra)
1.2.1 Penambahan Matriks (Matrix Addition)
Jika danA Bij m n ij m na b
×× = = BA+
m niij jba×
⇒ = +
2 2 33
1 6 4
8 7 5
1 2 3
4 0 2××
− − − +
− 2 3×
=
Tambahkan unsur-unsur sepadan
0 8 1
4 7 3− −
Contoh 1.2.1
Operasi Penambahan matriks
berlaku utk matriks yg bersaiz sama
1515
Jika dan skalarA ij m na α
× =
Aij m naα α
× ⇒ =
2 2
2
2
1
s3
in
x
x x×
−
2
2
2 2
3 3
3 n3si
x
x x×
= −
1.2.2 Pendaraban Skalar
(Product of a Matrix and a Scalar)
Contoh 1.2.2
1616
BAm pijc ×
⇒ =
1
1 21 2yang ...j j nkik i i
n
nkj
k
iij a a abb abc b=
= = + + +∑
m × n pn×BA
sama
saiz AB
m×pAB=
1.2.3 Pendaraban Matriks (Multiplication of Matrices)
Jika danA Bij m n ij n pa b
×× = =
Operasi pendaraban berlaku/tertakrif jika bil.lajur
matriks pertama(A) adalah sama dgn bil. baris
matriks kedua (B).
1717
ContohContoh 1.2.31.2.3
11
11 33
2 2 15 4)
1 6
=
+ 7 4 15
12 7 26
=
1 1 3
2 12)
4
1 3
2 5
saiz saiz2 23 2× ×tak sama
1 3 3 12
2 10 2 5 6 20
+ +
+ + +
Operasi pendaraban tak memenuhi hukum kalis
tukar tertib (noncommutative ) iaituAB AB≠
Operasi pendaraban tidak tertakrif
(tak berlaku)
1818
Contoh 1.2.4
3 4 5
a) 1
1 0 2
3 0 0 1
3
9 6 9
25 14 20
56
1 2
92 1 20 5 2
=
15 29 24
10
1 0 2
3 1 2 5 22
6 11 10 5 2
3 4 5
b) 10 0 1
3 1 2 2
=
Page 4
1919
SimbolSimbol ( )( )TT
SalingSaling tukartukar barisbaris dengandengan lajurlajur
4 2
P
0 4
3 2
1
1
2
8
×
=
−
−
T
2 4
2 01
4
3
38 1P
×−
⇒ =
−
saiz
1.3 Matriks Transposisi (Transpose of Matrix)
Contoh 1.3.1
2020
T Ti) (A ) = A
T T Tii) (A+B) = A +B
T T Tiii) ( B) = BA A
T Tiv) ( A) = A ; α skalarα α
Sifat-sifat Matriks Transposisi
T T T( ) =AB BA
2121
Bagi suatu matriks Anxn
A AT =
Jika maka A adalah
matriks pencong (skew matrix).
A AT = −
Jika maka A adalah matriks
simetri (symmetric matrix).
Contoh 1.3.2 ???
fikirkan
2222
Penentu matriks ialah suatu nilai nyata
Penentu wujud bagi matriks segi empat sama
Simbol: , pen ( ) atau det ( )
a bA
c d
=
pen(A)a b
c d⇒ =
7 2
3 1A
− =
26
3pen(A
7( ) 3
1) 7 1⇒ = = −− =
−
1.4 PENENTU MATRIKS (DETERMINANT)
1.4.1 Penentu matriks 2 x 2:
bad c= −
Contoh 1.4.1
2323
Teorem:
Andaikan matriks segi empat sama.
Penentu bagi A boleh didapati dgn mengambil
pengembangan Laplace pd baris ke – i atau lajur
ke -j
ij n×nA= a
Nota:tanda kedudukan (sign diagr
alternate sig
am)
...
...
...
+
n
+
+
− − − − − −
+
+ +
⋮
1.4.2 Matriks bersaiz besar ( ≥≥≥≥ 3 x 3)
2424
Contoh 1.4.2
Pen(P) Pen(P)
1 2 3
P 4 5 6
7 8 0
− = − −
4 5 6
7
1 3
8
2
0
= −
−
−
Pengembangan Laplace
pd baris pertama
Tanda kedudukan
+ - +
1 ( 2) 3−= + − +5 6
8 0
− 4 6
7 0−4 5
7 8
−
−
48 ( )2 3(34 2 3 )52= −− + + 27=
Page 5
2525
1 2 3
7 8 0
4P 5 6−
−
=
−
Pengembangan Laplace
pd baris ke-2
Tanda kedudukan (- + -)
4 ( 5) 6−= − + −2 3
8 0
− 1 3
7 0−
1 2
7 8
−
−
2 8 14( 24) (5 ( )1)4 6= − −− − −
atau
27=
2626
1 2
P 4
3
0
5
7 8
6
−
= −
−
3 6 0= − +
Pengembangan Laplace
pd lajur ke 3.
Tanda kedudukan (+ - +)
4 5
7 8
−
−1 2
7 8
−
−
(32 35) (83 )6 14−= − −
atau
27=
2727
Takrif:
Suatu matriks Anxn boleh songsang (tak singular)
jika wujud suatu matriks Bnxn sehinggakan
= = , matriks ideB B nA tA ti iI I
-1Aiaitu =B
=A B I⇒ B A= I
1.5 SONGSANGAN MATRIKS (INVERSE MATRIX)
Matriks B adalah songsangan matriks A
-1A-1A
Songsangan yang wujud adalah unik
2828
Aa
d
b
c
=
-1A1
songsanganA, A
i.e.d
a
b
c
=
−
−
Tukar kedudukan
Tukar
tanda
penentu2 1B
4 3
− =
-1
6 ( 4)
3
4
1 1B
2
−
⇒−
=−
3 1
4 21
1
0
=
−
1.5.1 Mendapatkan songsangan Matriks 2x2
Contoh 1.5.1
2929
1.5.2 Matriks yang bersaiz lebih besar (≥≥≥≥3x3)
Kaedah Penghapusan Gauss-Jordan
(Gauss(Gauss--Jordan elimination Method)Jordan elimination Method)
A I -1AI
OBP (ERO)
Matriks imbuhan
(Augmented Matrix)
A dan I, Identiti
Operasi Baris
Permulaan
Elementary Row
Operations
OBP:
ERO:
3030
-1
1 1 0
A 2 3 2 , dapatkan A .
2 0 1
− = − −
1 1 0
A 2 3
1 0 0
0 12
2
0
1
.
00 1 0
I
=
−
−
−
Matriks Imbuhan (Augmented Matrix)
Lakukan
proses
OBP !!
Contoh 1.5.2
Page 6
3131
1 1 0
A 2 3
1 0 0
2 0 1 0
0 0 12 0 1
I
=
−
−
−
1 1 0 1 0 0 −
2 2 1B :B -2B
0 5 2 2 1 0− −3 3 1B :B +2B
0 2 1 2 0 1−
1 1 0 1 0 0
0 5 2 2 1 0
− − −
00 1 6 2 5
3 2 2B :5B +2B
0 0 1 6 2 5
0
0
1 1 1 0 0−2 2 3
B :B +2B
0 5 10 5 10
5 0 0 15 5
0 5 0 10 5 10
0 0 1 6 2 5
10
1 1 2B :5B +B31 10 0 2
20 1 0
0
1 2
6 2 50 1
151B ( )
152B ( )
1AI− ≅ 3232
sonsangan A ialah -1
3 1 2
2 1 2
6 2 5
A
=
semak:
-1
1 1 0
A 2 3 2
2 0 1
A
− = − −
3 1 2
2 1 2
6 2 5
1 0 0
0 1 0 I
0 0 1
= =
3333
Andaikan A matriks segi empat sama, Minor,
ialah penentu matriks A dgn mengabaikan baris
ke i dan lajur ke j
ijM
ijij
i+j =(-1 M)C
11 12 1
21 22 21
1 2
C ...
..=
.
...
n
n n nn
C C
C C C
C C C
M
1.6 MINOR, KOFAKTOR, MATRIKS DAMPINGAN
(Minor, Cofactor, Adjoin Matrix)
Matriks Kofaktor:
Simbol: C(A)
Manakala Kofaktor:
3434
11 12 1
21 22 21
T
1 2
C ...
...
.
..
=
n
n n nn
C C
C C C
C C C
M
Matriks Dampingan (Adjoin Matrix)
Simbol: Damp(A) = Adj (A)
3535
Peny:
1 4 5
P 8 7 3
4 9 6
=
11
7 3
9 6M = 7(6) 3 15(9)= − =
12
8 3
4 6M = 8(6) 3 36(4)= − =
13
8 7
4 9
8
4
72 2
4
M =
= −
=
Contoh 1.6.1
Cari Minor, kofaktor dan matriks dampingan bagi
1 4 5
P 8 7 3
4 9 6
=
3636
33
1 4
827
7M = = −
32
1 5
837
3M = = −
31
4 5
723
3M = = −
23
1 47
4 9M = = −
22
1 5
414
6M = = −
21
4 524 45
9 621M = = − =
ijM(P)= M
15 36 44
21 14 7
23 37 27
= − − − − − −
Matriks Minor
Page 7
3737
2
11 11C =(-1) M 15=3
12 12C =(-1) M 36=−4
13 13C =(-1) M 44=
3
21 21C =(-1) M 21=4
22 22C =(-1) M 14=−
5
23 23C =(-1) M 7=4
31 31C =(-1) M 23=−
5
32 32C =(-1) M 37=
6
33 33C =(-1) M 27=−
ijij
i+j =(-1 M)CKofaktor:
ijC(P)= C
15 36 44
21 14 7
23 37 27
−
= − − − −
Matriks Kofaktor
3838
ij
T
damp(P) = C
Matriks Dampingan
15 21 23
36 14 37
44 7 25
− = − − −
15 36 44
21 14 7
23 37 27
T−
= − − − −
3939
SongsanganSongsangan matriksmatriks jugajuga bolehboleh diperolehdiperoleh dgndgn
menggunakanmenggunakan rumusrumus berikutberikut::
[ ]-1 damA
1A = p(A)
1.6.1 Menentukan songsangan menggunakan
matriks dampingan
4040
15 21 23
36 14 37
44 7
damp(P)=
25
− − − −
⇒
1 4 5
P 8 7 3
4 9 6
=
Contoh 1.6.2:
1 4 5
P 8 7 3 91
4 9 6
= =
Dari Contoh 1.6.1
Cuba
sendiri
4141
Maka songsangan P ialah
[ ]-1 damP
1P = p(P)
15 21 23
36 14 37
44 7 2
1
915
− − − −
=
Semak:
-1
1 4 5
8 7 3
69
1
1PP
4 9
=
15 21 23
36 14 37
44 7 25
− − − −
1 0 0
0 1 0 I
0 0 1
= =
4242
1.7 SISTEM PERSAMAAN LINEAR(SPL)
(System of Linear Equations)
Bentuk am SPL dgn n pemboleh ubah adalah
1
2
1 1 2
1
1 12 1
21 22 22
21 1 2
...
...
...
n
n
m m m
n
m
n
nn
a a a
a
x x x
x x x
x
a a
a a a
b
x
b
x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
M
Page 8
4343
SPL ditulis dlm bentuk matriks sebagai
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
...
...
...
n
n
m m mn n m
b
b
a a a
a a a
a a a
x
x
x b
=
MM M
A X = B
Jika B = 0
sistem
homogen
Matriks Pekali
(coefficient Matrix)
Jika B ≠ 0 sistem tak
homogen
4444
1.7.1 Matriks Imbuhan ( Augmented Matrix)
Iaitu :
11 12 1
21 22
2
1
2
1
2
...
...
...
n
n
m mn mm
a a a
a a a
a a a
b
b
b
MM
matriks pekali
14243
Dipisah oleh
garis
4545
1.7.2 Bilangan Penyelesaian Bagi SPL
a)a) HanyaHanya satusatu penyelesaianpenyelesaian ((unikunik), SPL ), SPL
dikatakandikatakan konsistenkonsisten ((consistent systemconsistent system).).
b)b) BanyakBanyak penyelesaianpenyelesaian ((taktak terhinggaterhingga), SPL ), SPL
dikatakandikatakan konsistenkonsisten ((consistent systemconsistent system))
c)c) TiadaTiada penyelesaianpenyelesaian, SPL , SPL dikatakandikatakan taktak
konsistenkonsisten ((inconsistent systeminconsistent system))
4646
1.7.3 Teknik-teknik Penyelesaian SPL
a)a) KaedahKaedah matriksmatriks songsangsongsang ( Using the inverse ( Using the inverse
matrix method)matrix method)
b)b) KaedahKaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss (Gaussian (Gaussian
elimination method)elimination method)
c)c) KaedahKaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss--Jordan (GaussJordan (Gauss--
Jordan elimination method)Jordan elimination method)
d)d) PetuaPetua CramerCramer (Cramer(Cramer’’s Rule)s Rule)
4747
SPL : A X = B-1 -1A =A AX B
-1BX = AI
Darabkan A-1
di sebelah kiri
A-1A = I
-1
1
2
maka penyelesaian diberi oleh
=X BA
n
x
x
x
=
M
Syarat:
songsangan
bagi A wujud
a) Kaedah Matriks Songsang (Inverse Matrix Method)
-1X = A B
X =??
4848
b) Kaedah Penghapusan Gauss
(Gaussian Elimination Method)
Tuliskan bentuk matriks imbuhan dari SPL
Gunakan Operasi baris Permulaan(OBP) utk
menjelmakan SPL dlm bentuk eselon baris
/matriks segitiga atas.
*B A *A BOBP →
Penyelesaian diperoleh dgn kaedah
penggantian dari belakang
Page 9
4949
c) Kaedah penghapusan Gauss-Jordan
(Gauss-Jordan Elimination Method)
LanjutanLanjutan daridari kaedahkaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss
TeruskanTeruskan prosesproses OBP OBP sehinggasehingga mendapatmendapat
matriksmatriks identitiidentiti
BA B I 'OBP →
PenyelesaianPenyelesaian diberikandiberikan oleholeh BB’’
5050
d) Kaedah Petua Cramer (Cramer’s Rule)
Bagi SPL AX = B dgn A matriks pekali
Jika penentu A tidak sifar ( pen(A) ≠ 0 )
maka penyelesaian SPL diberi oleh rumus
kk Apen(A )
pen (A) Akx = =
Dgn Ak , k = 1,2,3… ialah matriks yg diperoleh
drpd matriks pekali dgn lajur ke- k diganti dgn
matriks B
5151
Contoh 1.7.1
Selesaikan sistem persamaan linear di bawah
MenggunakanMenggunakan
a)a) MatriksMatriks songsangsongsang
b)b) KaedahKaedah GaussGauss
c)c) KaedahKaedah GaussGauss--JordanJordan
d)d) PetuaPetua CramerCramer
2 3 9
3 4
2 5 5 17
x y z
x y
x y z
− + =
− + =−
− + =
5252
2 3 9
3 4
2 5 5 17
x y z
x y
x y z
− + =
− + =−
− + =
1 2 3
1 3 0
2 5
9
4
145
x
y
z
− −
⇒ −
= −
A X = B
1
AX = B
X BA−⇒ =A-1=??
a) Menggunakan Matriks Songsang
SPL tak homogen
5353
1 1 3,peny: danx y z= =− =
1
1
3
−
=
15 5 92 2 2
5 312 2 2
1 12 2
9
1
4
17
x
y
z
− −
−−
−
−
=
Rujuk 1.5.2 dan 1.6.1 utk mendapat songsangan A
15 5 92 2 2
1 5 312 2 2
1 12 2 1
A
− −
− −−
−
⇒ = 1maka X A B−=
Penyelesaian
unik
5454
b) Penyelesaian menggunakan Kaedah Gauss
( )9
B 4
1 2 3
A 1 3
1
0
2 75 5
− = −
−
−
91 2 3 −
2 2 1B :B +B→ 0 1 3 53 3 1B :B -2B
0 1 1 1− − −
1 2 3
0 1
9
3 5
−
3 3 2B :B +B
0 0 2 4
2 4 2z z= ⇒ =3 5
5 1(2)3
y
y
z+ =
⇒ = − −=
1
2 3 9
9 2 6
x y z
x
− + =
⇒ = − − =
Page 10
5555
c) Kaedah Penghapusan Gauss-Jordan
( )9
B 4
1 2 3
A 1 3
1
0
2 75 5
−= − −
−
1 2 3
0 1
9
3 5
−
dr Gauss
0 0 2 4
teruskan proses OBP sehingga mendapat identiti
2 4 0
0
6
2 4
2 0 2
0 0
→
−
−
1 1 3B :2B -3B
2 2 3B :2B -3B 0
2 0 0 2
2 0 2
0 0 2 4
→ −
1 1 3B :B +2B
5656
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
1
2
−
11 2
12 2
13 3
B ( )
B ( )
B ( )
*I B≈
1, -1 maka penyelesaian 2danx y z= = =
5757
d) Petua Cramer1 2 3
matriks pekali, A 1 3 0
2 5 5
− = − −
penentu A3 0 1 0 1 3
( 2) 35 5 2 5 2 5
15 0 3
A
1
2
− −= − − +− −
= − −
=
5858
9
4
17
2 3
A 3 0
5 5
x
− = −
−
Lajur pertama matriks A
diganti dgn matriks B
Amaka
A
xx =
2 3
Oleh itu A 3 0 2
5
9
4
517
x −
−
= =
−
12
2= =
Kira sendiri
5959
SambSamb::
9
4
1
1 3
A 1 0
2 57
y
− = −
2yA⇒ = −
Am ka
21
A
2a
yy = = = −
−
1 2
A 1 3
2 5
9
4
17
z
− = −
−
zA 4⇒ =4
maka 2A
2A
zz = = =
Lajur ke-2 matriks A
diganti dgn matriks B
Lajur ke-3 matriks A diganti dgn matriks B
6060
Contoh 1.7.2
Selesaikan SPL berikut:
2 5 0
4 0
8 0
y z w
x y w
y z w
+ + =
+ − =
− − =Peny:
0 2 1 5 0
1 1 0 4 0
0 1 1 8 0
x
y
z
w
− = − −
Sistem
homogen
Page 11
6161
0 2 1 5 0
1 1 0 4 0
0 1 1 8 0
− − −
1 1 0 4 0
0 2 1 5 0
0 1 1 8 0
− → − −
1 2B B⇔
1 1 0 4 0
0 2 1 5 0
0 0 3 21 0
− → − −
3 3 2B : 2B B−
3 21 0
7
z w
z w
− − =
⇒ = −
2 5 0y z w+ + =7w−
y w⇒ =
4 0x y w+ − =
3x w⇒ =
6262
Peny: 3x w= y w= 7z w= −
Set penyelesaian yg tak terhingga
Misalkan 1 3, 1, 7w x y z= ⇒ = = = −
Misalkan 3 9, 3, 21w x y z= ⇒ = = = −
6363
2y Ax Bx C⇒ = + +
ContohContoh 1.7.3 (1.7.3 (AplikasiAplikasi)) ::
DapatkanDapatkan persamaanpersamaan parabolaparabola ygyg bersimetribersimetri paksipaksi
tegaktegak dandan melaluimelalui titiktitik--titiktitik ((--1,7) , (1,1,7) , (1,--1) 1) dandan (2,(2,--2).2).
PenyPeny::
Persamaan parabola
( ) ( ) ( )( )( )
2, : 7
, : 1
, :
7
4 2 2
1
2
1 71
2
11
A B C A B C
A B C
A B C
+ + =− − → − + =
+ + = −
+
−
+
−
= −− Gantikan setiap
titik ke dlm pers.
parabola
6464
SPL : 7
1
4 2 2
A B C
A B C
A B C
− + =
+ + = −
+ + = −
3 3
2 2 1
1: 4
:0 2
1 1 1 7 1 1
0 6 3 30
0
1 7
1 1 1 1
4 2 1 2
8B
B B
B B
B−−
− − − → − −
−
−
PenyelesaianPenyelesaian dgndgn KaedahKaedah PenghapusanPenghapusan GaussGauss
2 2
1:2
1 1 1 7
0 6
0 1 0 4
3 30
B B
− →
− −
−
6565
3 3 2: 6
1 1 1 7 1 1 1 7
0 1 0 4 0
0 0 3 6
1 0 4
0 6 3 30
B B B−
− − − → − − − − −
2 4 2y x x= − +
DgnDgn menggunakanmenggunakan penggantianpenggantian keke belakangbelakang, ,
PenyelesaianPenyelesaian ( ( 11, , --44, 2, 2) ) diperolehdiperoleh ((PenyelesaianPenyelesaian unikunik).).
MakaMaka, , persamaanpersamaan parabola parabola adalahadalah
Dengan itu :
4
3
1 7 1
6
4
2
1B
A
B
C C
B AC
− = − → =
= − → =
− + = → =
−
6666
V= IR ∑ ∑
Contoh 1.7.4
Perhatikan litar elektrik berikut, gunakan hukum
Kirchoff utk menentukan arus I1, I2 dan I3 yg
mengalir pada litar tersebut
Hukum Kirchoff
1)Jumlah arus yg memasuki satu simpang (node)
= jumlah arus yang keluar dari simpang itu.
2)Dlm litar tertutup, jumlah DGE (Voltage) = jumlah
arus didarab rintangan.
Page 12
6767
a
b
6V
5Ω
10Ω 3Ω
1I 2I
3I
1 2 3di node :a I I I= +1 2 3 0 ....(1)I I I− − =⇒
L1
1 1 2 2Loop 1: V I R I R= +
1 25 36 I I= + 1 25 3 6 ....(2)I I+ =⇒
L2
1 35Lo : 6 1op 2 0I I= + 1 35 10 6 ....(3)I I+ =⇒
Sistem persamaan Linear
6868
1
2
1
2
1 3
3
0SP
5 3
:
1
L
5 0 6
6I I
I
I I
I
I
+
+
=
− =
=
−1
2
3
1 1 1
5 3 0
5 0 10
0
6
6
I
I
I
=
− − ⇒
Menggunakan Petua Cramer
1 -1 -1
A= 5 3 0
5 0 10
95A⇒ =
1
-1 -1
A = 3 0
0
0
6
6 10
1 78A⇒ =
2
1 -1
A = 5 0
5 1
0
6
6 0
2 60A⇒ =
33
1 -1
A = 5 3 6
5 0 6
18
0
A
⇒
=
6969
1
1
Peny:
780.82
95AA
AI = = ≈
2
2
60 120.63
95 19I
AA
A= = = ≈
3
3
180.19
95
AI A
A= = ≈
7070
TERIMA KASIH
(Nota asal disediakan oleh Pn. Alawiah Ibrahim)