1 BAB 1 PERUMUSAN MATEMATIKA DARI MASALAH-MASALAH FISIKA DAN KIMIA 1.1 Pendahuluan Dalam penyelesaian masalah-masalah fisika dan kimia sering dijumpai bahwa pendekatan secara matematis merupakan jalan terbaik untuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Salah satu keuntungan pendekatan matematis adalah diperolehnya gambaran yang bersifat kuantitatif. Gambaran kuantitatif ini dapat mempermudah pemahaman yang lebih mendalam terhadap masalah-masalah yang ditinjau dan juga mempermudah pencarian penyelesaian masalah yang dihadapi. Penyusunan masalah-masalah fisika dan kimia secara matematis melalui tiga tahapan dasar, yaitu: 1. Menjabarkan masalah-masalah (atau fenomena-fenomena) fisika dan kimia ke dalam bahasa matematika, sehingga diperoleh persamaan matematis yang dapat mendekati peristiwa yang ditinjau (model matematis). Tujuan instruksional khusus: Mengingatkan kembali tentang hukum-hukum kekekalan, per- pindahan, dan keseimbangan. Mengingatkan kembali tentang neraca massa dan energi Memperkenalkan langkah-langkah perumusan masalah dalam teknik kimia ke dalam bahasa matematik. Tujuan instruksional umum: Setelah mengikuti pokok bahasan (PB) ini mahasiswa dapat mengaplikasikan hukum-hukum kekekalan dalam membuat peru- musan matematik dari persoalan fisika dan kimia.
279
Embed
BAB 1 PERUMUSAN MATEMATIKA DARI MASALAH-MASALAH FISIKA …
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAB 1PERUMUSAN MATEMATIKADARI MASALAH-MASALAH FISIKA DAN KIMIA
1.1 PendahuluanDalam penyelesaian masalah-masalah fisika dan kimia seringdijumpai bahwa pendekatan secara matematis merupakan jalan terbaikuntuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Salah satu keuntunganpendekatan matematis adalah diperolehnya gambaran yang bersifatkuantitatif. Gambaran kuantitatif ini dapat mempermudah pemahamanyang lebih mendalam terhadap masalah-masalah yang ditinjau danjuga mempermudah pencarian penyelesaian masalah yang dihadapi.
Penyusunan masalah-masalah fisika dan kimia secara matematismelalui tiga tahapan dasar, yaitu:1. Menjabarkan masalah-masalah (atau fenomena-fenomena) fisika
dan kimia ke dalam bahasa matematika, sehingga diperolehpersamaan matematis yang dapat mendekati peristiwa yangditinjau (model matematis).
Tujuan instruksional khusus: Mengingatkan kembali tentang hukum-hukum kekekalan, per-
pindahan, dan keseimbangan. Mengingatkan kembali tentang neraca massa dan energi Memperkenalkan langkah-langkah perumusan masalah dalam
teknik kimia ke dalam bahasa matematik.
Tujuan instruksional umum:Setelah mengikuti pokok bahasan (PB) ini mahasiswa dapatmengaplikasikan hukum-hukum kekekalan dalam membuat peru-musan matematik dari persoalan fisika dan kimia.
2
2. Menyelesaikan persamaan matematis yang diperoleh.3. Menginterpretasikan hasil yang didapatkan.
Tipe persamaan matematis yang diperoleh (persamaan aljabar,persamaan diferensial, persamaan beda hingga, dll.) akan tergantungbaik pada sistem dari peristiwa yang ditinjau maupun pada detailmodelnya.
Penyusunan persamaan matematis memerlukan pemahamanteori-teori dasar dari peristiwa yang dihadapi, pemahaman konsep-konsep matematika, dan kemam-puan melakukan asumsi-asumsi.Asumsi-asumsi ini adalah untuk menentukan batasan-batasan modelyang harus selalu diingat saat mengevaluasi hasil yang diperoleh.Dalam menyusun model matematis dari suatu fenomena fisika dankimia digunakan hukum-hukum dasar fisika dan kimia, yaitu1) Hukum-hukum kekekalan: kekekalan massa
kekekalan energi kekekalan momentum
2) Hukum-hukum perpindahan (persamaan-persamaan kecepatan) Proses fisika: Perpindahan massa
Perpindahan panas Perpindahan momentum
Proses kimia: Kinetika kimia3) Hukum-hukum kesetimbangan: Kesetimbangan fase
Kesetimbangan kimia
1.2 Hukum-Hukum Kekekalan1.2.1 Neraca MassaNeraca massa total untuk suatu sistem dalam tiap satuan waktuadalah:
sistemdalamdimassaakumulasilaju
sistemdarikeluarmassalaju
sistemdalamkemasukmassalaju
(1.1)Satuan dari persamaan ini adalah massa per waktu. Jadi besarnya lajumassa masuk atau keluar sistem dapat didekati dengan persamaan:
3
Fm (1.2)
dimana m adalah laju alir massa, adalah densiti fluida dan Fadalah laju alir volumetris. Hanya ada satu persamaan neraca massatotal untuk satu sistem.
Bila massa terdiri dari banyak komponen (kimia, fase) dan tidakterjadi reaksi kimia, yaitu tidak terjadi perubahan suatu komponenmenjadi komponen lainnya, maka massa tiap-tiap komponen adalahtetap, sehingga neraca massa komponen dapat disusun seperti Pers.(1.1). Tetapi bila terjadi reaksi kimia di dalam sistem, massa dari tiap-tiap komponen akan bertambah jika komponen tersebut merupakanproduk reaksi atau berkurang jika komponen tersebut adalah reaktan.Oleh karena itu, neraca massa komponen i dapat ditulis sebagaiberikut:
kimiareaksikarenasistemdalamdi timbulyang
komponenmassalaju
sistemdarikeluarkomponenmassalaju
sistemdalamkemasukkomponenmassalaju
iii
sistemdalamdikomponenmassaakumulasilaju
kimiareaksikarenasistemdalamdi terpakaiyang
komponenmassalaju
i
i
(1.3)Satuan persamaan ini adalah massa komponen i per satuan waktu. Jadibesarnya laju massa komponen i masuk atau keluar sistem dapatdidekati dengan persamaan:
laju massa komponen i FCi (1.4)
dimana Ci adalah konsentrasi komponen i. Persamaan (1.3) dapat jugaditulis dalam bentuk singkat, yaitu:
asi L. akumulsi L. genera L. keluarL. masuk (1.5)Pada keadaan tunak, akumulasi adalah nol.
4
Aliran massa masuk dan keluar sistem bisa secara konveksi(karena badan aliran) dan secara molekular (karena difusi). Hanya adasatu persamaan neraca massa komponen untuk setiap komponendidalam sistem. Jika ada n komponen didalam suatu sistem, ada npersamaan neraca massa komponen untuk sistem tersebut. Namun,satu persamaan neraca massa total dan n persamaan neraca massakomponen tidak linearly independent, karena jumlah dari tiap-tiapmassa komponen sama dengan massa total. Oleh karena itu, untuksistem dengan n komponen hanya mempunyai n persamaan neracamassa yang linearly independent. Biasanya, digunakan satupersamaan neraca massa total dan 1n neraca massa komponen.Misal, untuk sistem biner (dua komponen), ada satu neraca massatotal dan satu neraca massa komponen.
1.2.2 Neraca EnergiNeraca energi untuk suatu sistem adalah:
lingkungandarisistemdalamkepanaspenambahanlajunet
sistemdarikeluarenergilaju
sistemdalamkemasukenergilaju
sistemdalamdi
energiakumulasilajulingkungan terhadapsistemoleh
dilakukanyangkerjalajunet (1.6)
Energi disini bisa dalam berbagai bentuk, beberapa diantaranya adalahenergi dalam, energi kinetik, energi potensial, energi mekanik, danpanas. Dalam bidang teknik kimia, bentuk persamaan neraca energiyang banyak dijumpai adalah persamaan energi panas.
Besarnya laju panas yang masuk atau keluar sistem secarakonveksi (aliran) dapat didekati dengan persamaan:
Catatan: bila suatu komponen terpakai di dalam sistem, “+generasi” diganti dengan “ deplesi” dalam Pers. (1.5).
5
TCmQ p (1.7)
dimana Q adalah laju perpindahan panas, Cp adalah kapasitas panasdan T adalah temperatur.
1.2.3 Neraca MomentumNeraca momentum untuk suatu sistem adalah:
sistempadabekerjayanggaya-gayajumlah
sistemdarikeluarmomentumlaju
sistemdalamkemasukmomentumlaju
sistemdalamdi
momentumakumulasilaju (1.8)
Gaya-gaya ini bisa berupa gaya tekanan dan gaya gravitasi.
Contoh 1.1.Suatu tangki yang mula-mula berisi cairan dengan tinggi 0hdikosongkan dengan mengalirkan cairan melalui orifice yangada di dasar tangki. Laju alir volumetris cairan keluar adalah
).( 21hkFF Tangki berbentuk silinder dengan diameterdalam 50 cm.a) Jabarkanlah model matematis yang menyatakan tinggi cairan
sebagai fungsi waktu.b) Bila det21,34 25cmk dan ,400 cmh berapa waktu
yang diperlukan agar tangki tersebut kosong?
Penyelesaian:
Anggap: A = konstan, = konstan
6
Gambar 1.1. Pengosongan tangki.
a) Neraca massa total:
asi L. akumul L. keluarL. masuk
dtVdF )(0
karena dan A konstan, persamaan di atas menjadi:
dtdhAhk 21
integrasikan persamaan di atas dari 0t hingga t dan dari0hh hingga h, menghasilkan
210
212 hhtAk
(1.9)
221
0 2
t
Akhh (1.10)
b) Dari Pers. (1.9) diperoleh
21210
2 hhkAt
h0
F
7
bila tangki kosong berarti ,0V atau ,0h sehinggadiperoleh
210
2 hkAt
222 cm5,1963)50(44
DA
menit1,12detik726)40(21,34
5,19632 21
t
Jadi waktu yang diperlukan untuk mengosongkan tangki adalah12,1 menit.
Contoh 1.2.Sebuah tangki silinder mula-mula berisi larutan garam denganvolume 400 liter yang konsentrasinya 50 gr/liter. Air dialirkanke dalam tangki dengan laju alir 5 liter/men dan campurantersebut diaduk dengan sempurna. Berapa konsentrasi garamkeluar tangki sebagai fungsi waktu, bilaa) Laju alir larutan keluar adalah 5 ltr/men?b) Laju alir larutan keluar adalah 4 ltr/men?
Penyelesaian:
Gambar 1.2. Tangki Pengenceran
Fi = 5 lt/menair
C = …?
F
8
Anggap: = konstan Pengadukannya cukup sempurna, sehingga konsentrasi
larutan keluar sama dengan konsentrasi larutan dalamtangki
a) Bila 5F ltr/men.Neraca massa total:
asi L. akumul L. keluarL. masuk
dtVdFFi
)(
dtVdFFi (1.11)
0dtdV (1.12)
400konstan V ltr (1.13)
Catatan: Dengan menganggap konstan pada Pers. (1.11), inimenyatakan bahwa net laju alir volumetris samadengan laju perubahan volume.
Neraca massa komponen garam:
asi L. akumul L. keluarL. masuk
dtCVdCFCF gi
)(
dtdCV
dtdVCC 5 (1.14)
9
substitusikan Pers. (1.12) dan (1.13) ke dalam Pers. (1.14),didapatkan:
180ln KtC (1.15)
Kondisi awal (K.A.): pada 50,0 Ct gr/ltr. Dari K.A. danPers. (1.15), diperoleh .50ln1 K Persamaan (1.15) menjadi
50ln80ln tC
8050 teC (1.16)
b) Bila 4F ltr/men.Neraca massa total:
asi L. akumul L. keluarL. masuk
dtdV
45
1dtdV (1.17)
2KtV (1.18)
K.A.: pada 400,0 Vt ltr. Dari K.A. dan Pers. (1.18)didapatkan 4002 K . Persamaan (1.18) menjadi
400 tV (1.19)
Neraca massa komponen garam:asi L. akumul L. keluarL. masuk
10
dtCVdC )()4()05(
dtdCV
dtdVCC 4 (1.20)
Substitusikan Pers. (1.17) dan (1.19) ke dalam Pers. (1.20)
dtdCtC )400(5
Integrasikan persamaan ini, didapatkan
CKt lnln)400ln(5 3 (1.21)
K.A.: pada 50,0 Ct gr/ltr. Dengan menggunakan K.A. inidiperoleh harga ).40050ln(ln 5
3 K Persamaan (1.21)menjadi
5
40040050
t
C
Contoh 1.3.Tinjau suatu tangki yang dilengkapi dengan heater sepertiditunjukkan pada Gambar 1.3. Cairan masuk ke dalam tangkidengan laju alir Fi (ft3/men) dan temperatur Ti (oC), dimanacairan tersebut dipanaskan dengan steam. Laju panas yangdiberikan oleh steam adalah Q. Laju alir cairan keluar tangkiadalah F (ft3/men). Pengadukan sempurna sehingga temperaturcairan di dalam tangki seragam dan temperatur cairan keluarsama dengan temperatur di dalam tangki. Turunkan persamaandiferensial yang menggambarkan temperatur cairan sebagaifungsi waktu.
11
Penyelesaian:
Gambar 1.3. Pemanasan cairan di dalam tangki.
Anggap: Temperatur steam konstan di dalam coil Luas permukaan tangki (A) konstan. Densiti () dan kapasitas panas (cp) cairan tidak banyak
berubah dengan perubahan temperatur.
Neraca massa total:L. masuk L. keluar = L. akumulasi
dthAdFFi
)( (1.22)
karena A dan konstan, Pers. (1.22) menjadi
dtdhAFFi (1.23)
Neraca panas total:
L. masuk L. keluar L. panas dari steam = L. akumulasi
dtTchAd
QTcFTcF ppipi
)(
Fi
Ti
F
12
dtThdA
cQTFTF
pii
)(
dtdhAT
dtdThA
cQTFTF
pii
(1.24)
Substitusikan Pers (1.23) ke dalam Pers. (1.24), menghasilkan
dtdThA
cQTTF
pii
)( (1.25)
atau dapat juga ditulis dalam bentuk
pi
ii
chAQT
hAFT
hAF
dtdT
(1.26)
1.3 Hukum-Hukum PerpindahanPersamaan-persamaan kecepatan mencakup dua bidang pokok, yaitu,fisis (peristiwa perpindahan) dan kimiawi (kinetika kimia). Peristiwaperpindahan terdiri dari perpindahan momentum, energi, dan massa.Mereka diperlukan untuk menggambarkan laju perpindahan antarasistem dan lingkungan. Kinetika kimia dibutuhkan untuk meng-gambarkan laju reaksi kimia yang berlangsung di dalam suatu sistem.
1.3.1 Perpindahan MomentumPerpindahan momentum dapat dibagi dalam dua mekanismeperpindahan, yaitu, perpindahan momentum secara molekular dansecara konveksi. Perpindahan momentum secara molekular dapatterjadi disebabkan oleh adanya gaya tarik menarik antar molekul yangmenimbulkan tegangan geser, dan dapat dinyatakan dengan hukumNewton untuk viskositas, yaitu,
13
dxdvz
zx (1.27)
dimana: zx = tegangan geser, yaitu gaya yang bekerja per satuanluas sejajar dengan arah z, atau
= fluksi perpindahan z-momentum ke arah x = viskositas fluida
zv = kecepatan fluida ke arah z
Persamaan (1.27) hanya berlaku untuk fluida Newtonian.Perpindahan momentum karena konveksi (aliran) dapat
dinyatakan dengan:
2zz vAvmP (1.28)
dimana: P = laju perpindahan momentumm = laju alir massaA = luas penampang yang tegak lurus dengan arah aliran
1.3.2 Perpindahan PanasDalam subbab ini dibahas dua mekanisme perpindahan panas, yaitu,konduksi dan konveksi (aliran dan antar fase). Perpindahan panaskonduksi (secara molekular) adalah perpindahan panas pada mediayang tidak bergerak dimana panas berpindah karena getaran molekuldari satu molekul ke molekul lainnya. Besarnya laju perpindahanpanas konduksi dapat dinyatakan dengan hukum Fourier:
dxdTk
AQq (1.29)
dengan: Q = jumlah panas yang dipindahkan per satuan waktuq = fluksi panas, yaitu, jumlah panas yang dipindahkan
14
per satuan waktu per satuan luas.A = luas permukaan perpindahan panask = koefisien konduksi panas/konduktivitas panasT = suhux = posisi/jarak.
Perpindahan panas antar fase misalnya terjadi antara per-mukaan padatan dengan fluida disekitarnya. Fluksi panasnya dapatdinyatakan dengan hukum pendinginan Newton:
)( sf TThAQq (1.30)
dimana: h = koefisien perpindahan panasfT = suhu fluida
sT = suhu permukaan padatan
Gambar 1.4. Perpindahan panas dari permukaan padatanke fluida )( fs TT .
Besarnya laju perpindahan panas konveksi (aliran) dapat didekatidengan Pers. (1.7) atau
TCvAQq p (1.31)
Jumlah panas yang dipasok oleh coil/jacket ke cairan di dalam tangki
Ts
fluida
Q
padatanTf
15
adalah:
)( TTAUQ c (1.32)dengan: U = koefisien perpindahan panas keseluruhan antara
coil/jacket dan cairanA = luas total permukaan perpindahan panasTc = temperatur coil/jacket
1.3.3 Perpindahan MassaPerpindahan massa yang dibahas dalam buku ini adalah perpindahanmassa secara difusi (molekular), perpindahan massa antar fase, danperpindahan massa karena konveksi. Perpindahan massa secara difusidisebabkan oleh adanya gradien konsentrasi. Besarnya lajuperpindahan massa difusi dapat dinyatakan dengan hukum FickPertama, yaitu:
dxdcDN A
A (1.33)
dimana: NA = laju perpindahan massa A tiap satuan luasD = koefisien difusicA = konsentrasi komponen A
x = jarak
Untuk perpindahan massa antara permukaan antar fase danfluida disekitarnya dapat didekati dengan persamaan:
)( fAsAAA cckN (1.34)
dimana: Ak = koefisien perpindahan massa
fAc = konsentrasi komponen A pada permukaan antar fase
sAc = konsentrasi komponen A pada bada fluida
16
Perpindahan massa karena konveksi dapat dinyatakan dengan
AzA cvN (1.35)
dimana: zv = kecepatan fluida dalam arah z.
1.3.4 Kinetika KimiaKinetika kimia merupakan studi mengenai laju dan mekanismedimana satu komponen kimia diubah menjadi komponen lainnya. Lajuadalah massa (dalam mol) dari suatu produk yang dihasilkan ataureaktan yang dipakai per satuan waktu. Dalam pemodelan seringkaliberhadapan dengan reaktor-reaktor kimia, karena itu kita harusfamiliar dengan hubungan-hubungan dasar dan terminologi yangdigunakan dalam menggambarkan kinetika (laju reaksi) dari reaksikimia.
1. Hukum Aksi MassaTinjau reaksi kimia homogen irreversibel umum berikut ini:
a A + b B c C + d D (1.36)
Bila A diambil sebagai basis perhitungan dan Pers. (1.36) dibagidengan koefisien stoikhiometri dari komponen A, diperoleh
DadC
acB
abA (1.37)
Dari Reaksi (1.37) terlihat bahwa untuk setiap mol A yang dikonsumsi,ac mol C yang terbentuk. Dengan kata lain:
laju pembentukan Cac
(laju pengurangan A)
17
dtdn
ac
dtdn AC
Dengan cara yang sama, hubungan antara laju pembentukan D danlaju pengurangan A adalah
dtdn
ad
dtdn AD
Hubungan ini secara umum dapat ditulis:
dtdn
ddtdn
cdtdn
bdtdn
aDCBA
1111 (1.38)
Laju reaksi keseluruhan r didefinisikan sebagai laju perubahanmol dari suatu reaktan atau produk akibat reaksi kimia per satuanvolum per koefisien stoikhiometri komponen:
dtdn
Vr j
j11 (1.39)
dimana: r = laju reaksi per satuan volumeV = volume dari campuran reaksi
j = koefisien stoikhiometri dari komponen j; ambil positifuntuk produk dan negatif untuk reaktan
jn = mol komponen jBila reaksi terjadi pada volume konstan dan karena ,jjj Vnc maka Pers. (1.39) menjadi:
dtdc
r j
j1 (1.40)
Hukum aksi massa mengatakan bahwa laju reaksi kimia rberubah dengan temperatur (karena k tergantung pada temperatur) dankonsentrasi reaktan pangkat bilangan tertentu. Kecepatan reaksi dari
18
Pers. (1.36) dapat dinyatakan dengan:
BAn cckr (1.41)
dimana: nk = ko nstanta kecepatan reaksi order n, tidak tergantungpada konsentrasi, tetapi tergantung pada temperatur
cA = konsentrasi komponen AcB = konsentrasi komponen B = order reaksi terhadap A = order reaksi terhadap B
n = = order reaksi keseluruhanPada umumnya, konstanta dan tidak sama dengan koefisien
stoikhiometri a dan b. Konstanta dan dapat berupa bilanganpecahan.
Satuan dari konstanta laju reaksi k tergantung pada order reaksi.Hal ini karena laju reaksi r selalu mempunyai satuan yang sama (molper satuan waktu per satuan volum).
2. Pengaruh Temperatur Persamaan ArrheniusPengaruh temperatur terhadap laju reaksi spesifik k biasanyamengikuti persamaan Arrhenius,
RTEeAk (1.42)
dimana: k = laju reaksi spesifikA = faktor preexponentialE = energi aktivasi; menunjukkan ketergantungan
temperatur terhadap laju reaksi, yaitu, makin besar E,makin cepat kenaikan k dengan naiknya temperatur
T = temperaturR = konstanta gas
Jika dalam suatu reaktor, reaksi dikendalikan oleh perpindahan massadan laju reaksi kimia, maka dalam model matematika kedua pengaruhtersebut harus dimasukkan.
19
Contoh 1.4.Sebuah sirip tembaga mempunyai panjang L penampangnyasegitiga (lihat Gambar 1.5). Pada bagian dasar tebalnya W dantemperaturnya dipertahankan konstan TB. Temperatur udara Ta
dan terjadi kehilangan panas dari sirip ke udara sekitarnyasecara konveksi. Koefisien perpindahan panas antara permukaansirip dan udara adalah h Btu/(jam ft2 oF). Bagaimanakahhubungan antara temperatur sirip, T, dan jarak dari dasar, L-x?
Penyelesaian:Anggap keadaan tunak, dan ambil elemen volum setebal x(lihat Gambar 1.6). Perpindahan panas terjadi secara konduksidan konveksi (antar fase).Neraca panas pada keadaan tunak:
0 si L. genera L. keluarL. masuk
002
AqAqAq cxxxkxxk (1.43)
Gambar 1.5. Sirip lurus dengan penampang tidak seragam.
SuhubadankonstanTB
W
L
Z
udara, Ta
20
Gambar 1.6. Elemen volum dan arah perpindahan panas padasirip.
Tanda negatif karena arah perpindahan panas dibalik dan notasi
xx artinya “dihitung pada xx .” Karena perpindahan
panas secara konveksi (antar fase) terjadi di dua tempat, yaitu,bagian atas sirip dan bagian bawah sirip, maka luasnya harusdikali dengan dua. Luas penampang yang tegak lurus arahperpindahan panas, xA , adalah:
zwAx 1 (1.44)
sedangkan:Lx
Ww1
xL
Ww 1 (1.45)
Jadi, Pers. (1.44) menjadi
xzL
WAx (1.46)
xkqxxkq
L
x
W
x x = 0
qc
qc
w1
21
Luas A pada konveksi (antar fase) adalah:
xsec
seczxzA (1.47)
Substitusikan Pers. (1.46) dan (1.47) ke Pers. (1.43), diperoleh
0sec2)( cxkxxk qzxqxz
LWqxxz
LW
Dengan membagikan persamaan ini dengan ,zx kemudianambil limit untuk x mendekati nol, didapatkan
0sec2)( cx qqxdxd
LW (1.48)
Menurut hukum Fourier,
dxdTkqk
tanda positif karena arah perpindahan panas dibalik, dan hukumpendinginan Newton, ),( ac TThq maka Pers. (1.48)menjadi:
0)(sec2
aTTh
dxdTxk
dxd
LW
bila konduktivitas panas k konstan, maka
x
22
0)(sec22
2
aTTWk
LhdxdT
dxTdx (1.49)
Persamaan (1.49) merupakan persamaan Bessel dan penyele-saiannya dibahas dalam Bab 3.
Contoh 1.5.Turunkan persamaan diferensial yang menggambarkan profilkomposisi di dalam packed bed tube reactor. Packed tube inimerupakan reaktor katalitik heterogen yang digunakan untukmereaksikan komponen A dengan reaksi
A Produk,
bedvolum-waktumol
AA ckr
menjadi produk pada kondisi isothermal. Difusi sepanjangsumbu dikendalikan oleh persamaan hukum Fick, dan paraleldengan perpindahan karena konveksi yang disebabkan olehkecepatan superficial .ovPenyelesaian:
zzAN
zAN
zzz
z
0z
23
Neraca massa pada keadaan tunak:
0... generasiLkeluarLmasukL 0
zArAcvANAcvAN AzzAozzAzAozA
Bagikan persamaan ini dengan volume dari elemen volum, ,zAdan ambil limit untuk z mendekati nol, menghasilkan
0 AA
oA ck
dzdcv
dzdN (1.50)
Menurut hukum Fick fluksi molar adalah
dzdcDN A
eA
Dengan menyisipkan AN ini ke Pers. (1.50), menghasilkan
02
2
Ae
A
e
oA cDk
dzdc
Dv
dzcd
(1.51)
Persamaan ini merupakan persamaan diferensial biasa linier order dua.
Contoh 1.6.Reaksi reversibel yang diberikan berikut ini
A B C
berjalan dalam suatu reaktor batch pada kondisi volume dansuhu konstan. Pada keadaan mula-mula hanya ada satu mol Adan setiap waktu t ada nA, nB, dan nC mol dari A, B, dan C.Tentukan perilaku )(tnA yang digambarkan oleh PDB orderdua.
k1
k2
k3
k4
24
Penyelesaian:
Net laju pengurangan A adalah:
BAA ckckr 21 (1.52)
Net laju pengurangan B adalah:
CBBAB ckckckckr 4321 (1.53)
Net laju pembentukan C adalah:
CBC ckckr 43 (1.54)
Neraca massa komponen:
akumulasiLgenerasiLkeluarLmasukL .... (1.55)
Untuk reaktor batch tidak ada aliran masuk dan keluar reaktor,sehingga Pers. (1.55) menjadi
generasiLakumulasiL .. (1.56)
Komponen A: Vrdt
VcdA
A )(
BAA nknk
dtdn
21 (1.57)
Komponen B: Vrdt
VcdB
B )(
CBBAB nknknknk
dtdn
4321 (1.58)
25
Komponen C: Vrdt
VcdC
C )(
CBA nknk
dtdn
43 (1.59)
Dari Pers. (1.58) didapatkan:
)()( 4321 CBBAB nknknknk
dtdn
(1.60)
Substitusikan Pers. (1.57) dan (1.59) ke dalam Pers. (1.60),menghasilkan
dtdn
dtdn
dtdn CAB
CAB dndndn bila diintegrasikan diperoleh
000 CBACBA nnnnnn (1.61)
Karena 10 An dan ,000 CB nn maka Pers. (1.61) menjadi
1 CBA nnn (1.62)
Diferensialkan Pers. (1.57) terhadap t,
dtdn
kdt
dnk
dtnd BAA
212
2
(1.63)
Substitusikan dtdnB dengan Pers. (1.58)
26
CBAAA nkknkkknkk
dtdnk
dtnd
423222112
2
)(
Dengan menggantikan Cn dengan Pers. (1.62) diperoleh
422432422112
2
)()( kknkkkknkkkkdt
dnkdt
ndBA
AA
Eliminasikan Bnk2 dalam persamaan ini dengan Pers. (1.57),menghasilkan
4242413143212
2
)()( kknkkkkkkdt
dnkkkkdt
ndA
AA
(1.64)
Ini merupakan persamaan diferensial linier order dua dengankoefisien konstan.
1.4 Hukum-Hukum KesetimbanganHukum thermodinamika kedua merupakan dasar untuk persamaan-persamaan yang menjelaskan kondisi-kondisi dari suatu sistem bilakondisi kesetimbangan berlaku.
1.4.1 Kesetimbangan KimiaKriteria kesetimbangan untuk reaksi kimia adalah
n
jjjv
10 (1.65)
dimana: jv = koefisien stoikhiometri dari komponen j, tanda negatif
27
untuk reaktan dan positif untuk produkj = potensial kimia dari komponen j.
Namun dalam aplikasinya, kesetimbangan suatu reaksi kimia biasanyadinyatakan dalam konstanta kesetimbangan. Misal, tinjau suatu reaksikimia fase-gas reversibel berikut ini
a A + b B c C + d D (1.66)
Pada keadaan kesetimbangan ada suatu persamaan matematis yangmenghubungkan konsentrasi satu komponen dengan komponenlainnya dalam satu fasa, yaitu
bB
aA
dD
cC
CCCCK
(1.67)
dimana K adalah konstanta kesetimbangan dan Ci adalah konsentrasikomponen i.
1.4.2 Kesetimbangan FasaKesetimbangan antara dua fasa terjadi bila potensial kimia dari tiap-tiap komponen adalah sama dalam kedua fasa:
IIj
Ij (1.68)
dimana: Ij = potensial kimia komponen j dalam fase IIIj = potensial kimia komponen j dalam fase II
Ada beberapa persamaan matematis yang menghubungkan komposisisuatu fase dengan fase lainnya dalam keadaan kesetimbangan.Diantaranya adalah:
Hukum Raoult. Cairan yang mengikuti hukum Raoult disebut cairanideal
k1
k2
28
PPx
ysjj
j (1.69)
dimana sjP adalah tekanan uap komponen murni j. Tekanan uap
hanya merupakan fungsi temperatur. Ketergantungan ini seringdigambarkan dengan persamaan Antoine
j
jj
sj CT
BAP
ln (1.70)
Relatif volatiliti. Relatif volatiliti komponen i terhadap komponen jdidefinisikan
jj
iiji xy
xy (1.71)
Untuk sistem biner, relative volatiliti BA adalah
)1()1( AA
AABA xy
xy
dengan menyusun kembali diperoleh
,)1(1 A
AA x
xy
BA (1.72)
Harga K. Rasio penguapan kesetimbangan atau harga K digunakansecara luas, terutama pada industri petroleum.
PP
xy
Ksj
j
jj (1.73)
Koefisien aktivitas. Untuk cairan non ideal, hukum Raoult mestidimodifikasi untuk memperhitungkan ketidakidealan dalam fase cair.
29
PPx
ysjjj
j
(1.74)
dimana j adalah koefisien aktivitas untuk komponen j. Koefisienaktivitas sama dengan satu bila komponen adalah ideal.
Untuk kesetimbangan cair-cair, hubungan antara kedua fasedapat dinyatakan dengan persamaan
IIi
Ii
iD xxK (1.75)
dimana: iDK = Koefisien distrbusi komponen iIix = fraksi mol komponen i dalam fase IIIix = fraksi mol komponen i dalam fase II
Contoh 1.7.Suatu alat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.7 digunakanuntuk ekstraksi kontinyu asam benzoat dari toluen meng-gunakan air sebagai pelarut (solvent). Kedua aliran diumpankanke dalam tangki pencampur dimana keduanya diaduk sempurna,dan kemudian dialirkan ke tangki pemisah dimana terjadipemisahan menjadi dua lapisan. Lapisan atas adalah lapisantoluen dan lapisan bawah adalah lapisan air. Kedua lapisandikeluarkan dari tangki pemisah sendiri-sendiri. Laju alircampuran toluen+asam benzoat masuk tangki pencampuranadalah R m3/det dengan konsentrasi C kg/m3 asam benzoat danlaju alir air masuk tangki pencampuran adalah S m3/det. Lajualir lapisan toluen dan air keluar tangki pemisah masing-masingR dan S m3/det. Konsentrasi asam benzoat dalam lapisan toluenadalah x kg/m3 dan dalam lapisan air adalah y kg/m3. Keduaaliran yang keluar dari tangki pemisah selalu dalamkesetimbangan satu dengan yang lainnya, dan dapat dinyatakansecara matematis dengan
30
xmy
dimana m adalah koefisien distribusi. Tentukan rumusan bagianasam benzoat yang terekstrak.
Penyelesaian:Persoalan ini dapat diilustrasikan seperti dalam Gambar 1.8,dimana dua buah tangki digabung menjadi satu tahap.
Gambar 1.7. Mixer settler satu tahap
Gambar 1.8. Ekstraksi satu tahap
Toluen+
asam benzoat
Toluen+
asam benzoat air+
asam benzoat
air
R m3/det toluen R m3/det toluen
S m3/det air S m3/det airy kg/m3 as. benzoatair
C kg/m3 as. benzoatair
x kg/m3 as.benzoatair
31
Anggap: semua laju alir adalah mantap; karena kedua aliran
masuk dan keluar tahap dengan laju yang sama. toluen dan air tidak saling campur (immiscible).
Neraca massa asam benzoat pada keadaan tunak:
0 L. keluarL. masuk
0)( ySxRCR (1.76)
Hubungan kesetimbangan antara x dan y adalah
xmy (1.77)
Eliminasikan y pada Pers. (1.76) dengan Pers. (1.77),menghasilkan
SmRCRx
(1.78)
dan sisipkan persamaan ini kedalam Pers. (1.77) diperoleh
SmRCRmy
(1.79)
Jadi, bagian asam benzoat yang terekstrak adalah
SmRSm
SmRCRCRmS
CRySE
)(
(1.80)
BilaSm
R (1.81)
Persamaan (1.80) menjadi
11
E (1.82)
32
yaitu bagian asam benzoat yang terekstrak dalam kelompoktanpa dimensi . Bila ,12RS ,81m dan ,1C maka
4,012)81(
1
RR
Rx
dan
05,012)81(1)81(
RR
Ry
dan bagian asam benzoat yang terekstrak adalah
%60%1001
)05,0)(12(
RR
CRySE
Contoh 1.8.Kerjakan kembali Contoh 1.7, namun sekarang jumlah tahapyang digunakan untuk ekstraksi asam benzoat dari toluen adalahdua tahap. Masing-masing tahap masih terdiri dari dua tangki,yaitu tangki pencampuran dan tangki pe-misah, dengan alirancounter-current. Sistem aliran ditunjukkan pada Gambar 1.9.
Gambar 1.9. Ekstraksi dua tahap
Penyelesaian:Anggapan yang dibuat sama dengan pada Contoh 1.7.Hubungan kesetimbangan antara x dan y, Pers. (1.82), masihberlaku untuk tiap-tiap tahap, yaitu
11 xmy dan 22 xmy (1.83)
Tahap 1 Tahap 2
R , x2R , x1
S, y2
R , C
Sy = 0
Sy1
33
Neraca massa asam benzoat pada keadaan tunak untuk tahap 1:
0 L. keluarL. masuk
0)()( 112 ySxRySCR (1.84)
Neraca massa asam benzoat pada keadaan tunak untuk tahap 2:
0 L. keluarL. masuk
0)()0( 221 ySxRxR (1.85)
Eliminasikan 1x dan 2y pada Pers. (1.84) dan (1.85)menggunakan Pers. (1.83), menghasilkan
m
SmRyxSmCR 12 (1.86)
dan
)(21 SmRxRmy (1.87)
Substitusikan Pers. (1.87) ke dalam Pers. (1.86), didapatkan
m
SmRSmRxRmxSmCR )(22
222
2
2 SmSmRRCRx
(1.88)
Dari Pers. (1.87) diperoleh
2221)(SmSmRR
SmRCRmy
(1.89)
34
Bagian asam benzoat yang terekstrak adalah:
2221 )(
SmSmRRSmRSm
CRySE
(1.90)
Bila pembilang dan penyebut pada ruas kanan Pers. (1.90)dibagi dengan 22 Sm , menghasilkan
1
1
22
2
SmR
SmR
SmR
E
11
11
2
E
11
3
2
E (1.91)
Dengan menggunakan harga numerik yang sama dengan Contoh1.7, yaitu, ,12RS ,81m dan 1C didapatkan 211,02 xdan ;066,01 y dan bagian asam benzoat yang terekstrakadalah
%2,79%1001
)066,0)(12(1
R
RCRyS
E
Jadi asam benzoat yang terekstrak dengan menggunakan duatahap lebih besar dibandingkan dengan menggunakan satu tahappada kondisi yang sama.
35
1-5 RangkumanFormulasi peristiwa fisika dan kimia kedalam bahasa matematisdilakukan dengan menggunakan hokum-hukum dasar fisika ataukimia. Hukum-hukum dasar tersebut adalah
1. Hukum-hukum kekekalan kekekalan massa kekekalan energi kekekalan momentum
2. Hukum-hukum perpindahan perpindahan massa perpindahan energi perpindahan momentum
3. Hukum-hukum kesetimbangan kesetimbangan fisika kesetimbangan kimia
Formulasi peristiwa-peristiwa fisika dan kimia secara matematisini melalui tiga tahapan dasar, yaitu:
1. Penjabaran permasalahan fisika dan kimia kedalam bahasamatematis, sehingga diperoleh persamaan matematis yangmendekati peristiwa yang ditinjau (model matematis).
2. Penyelesaian model matematis (persamaan aljabar,persamaan diferensial, persamaan beda hingga, dll). Analitis Numeris
3. Interpretasi hasil
1.6 Soal-soal1.1. Kerjakan kembali Contoh 1.7. Namun, jumlah tahap yang
digunakan untuk ekstraksi asam benzoat dari toluen adalah tigatahap. Masing-masing tahap masih terdiri dari dua tangki, yaitu
36
tangki pencampuran dan tangki pemisah, dengan aliran counter-current.
1.2. Tangki A mula-mula berisi 500 ltr air. Larutan garam yangkonsentrasinya 40 gr/ltr mengalir kedalam tangki A dengan laju10 ltr/men. Larutan garam yang keluar dari tangki A masuk ketangki B dengan laju 10 ltr/men. Ke dalam tangki B jugaditambahkan make up larutan garam yang konsentrasinya 40gr/ltr dengan laju 2 ltr/men. Laju alir larutan keluar tangki Badalah 12 ltr/men. Tangki B mula-mula diisi dengan larutangaram sebanyak 400 ltr dengan konsentrasi 5 gr/ltr. Anggapkedua tangki tersebut diaduk sempurna sehingga konsentrasigaram didalam tangki sama dengan konsentrasi keluar tangki.Tentukan(a) Konsentrasi garam keluar tangki B pada waktu 1 jam(b) Waktu yang diperlukan agar konsentrasi garam pada tangki
A sama dengan konsentrasi garam pada tangki B.
1.3 Suatu tangki berisi 100 ft3 air. 2 ft3 larutan garam dengankonsentrasi 1 lb/ft3 garam dialirkan ke tangki setiap menit dancampuran tersebut dijaga homogen dengan pengadukan. Alirankeluar tangki dengan kecepatan 1 ft3/menit. Berapakahkonsentrasi larutan garam keluar tangki pada saat volumelarutan garam dalam tangki 150 ft3.
1.4 Dua buah tangki berpengaduk dihubungkan secara seri se-pertiyang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:Kedua tangki tersebut digunakan untuk melarutkan bahan Bdengan pelarut air. Air masuk ke tangki dengan laju alir volume10 L/menit dan larutan yang keluar dari tangki pertama dantangki ke dua juga dengan laju alir volume yang sama, yaitu 10L/menit. Bila pada keadaan mula-mula tangki hanya berisi airsaja (anggap ukuran tangki pertama dan kedua sama dengankapasitas 100 L):
37
a) Hitung konsentrasi larutan B yang keluar dari tangki ke duasebagai fungsi waktu
b) Berapa waktu yang diperlukan agar konsentrasi B yang keluardari tangki ke dua sudah mencapai 0.3 kg/L.
c) Bila kondisi b) telah tercapai, berapa lama waktu yangdiperlukan untuk mencapai konsentrasi 0.2 kg/L, bila laju alirair dan larutan keluar tangki tetap 10 L/menit.
GlossariumHukum kekekalan massa dikenal juga sebagai hukum Lomonosov-Lavoisier adalah suatu hukum yang menyatakan massa dari suatusistem tertutup akan konstan meskipun terjadi berbagai macam prosesdi dalam sistem tersebut(dalam sistem tertutup Massa zat sebelum dan
Bahan B2 kg/menit Air
10 L/menit
Bahan B1kg/menit
10 L/menit
10 L/menit
38
sesudah reaksi adalah sama (tetap/konstan) ). Pernyataan yang umumdigunakan untuk menyatakan hukum kekekalan massa adalah massadapat berubah bentuk tetapi tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan.Hukum kekekalan energi adalah salah satu dari hukum-hukumkekekalan yang meliputi energi kinetik dan energi potensial. Hukumini adalah hukum pertama termodinamika. Hukum Kekekalan Energi(Hukum I Termodinamika) berbunyi: "Energi dapat berubah dari satubentuk ke bentuk yang lain tapi tidak bisa diciptakan ataupundimusnahkan".Momentum merupakan hasil kali antara massa benda dengankecepatan gerak benda tersebut. Jadi momentum suatu benda selaludihubungkan dengan massa dan kecepatan benda.Kinetika kimia atau kinetika reaksi mempelajari laju reaksi dalamsuatu reaksi kimia.Kesetimbangan kimia adalah keadaan di mana kegiatan kimia ataukonsentrasi reaktan dan produk tidak memiliki perubahan dari waktuke waktu.Hukum Raoult menyatakan bahwa tekanan uap dari suatu larutanideal tergantung tekanan uap dari setiap komponen kimia dan fraksimol komponen dalam larutan.
Daftar Pustaka
1. Mickley, H. S., T. S. Sherwood, and C. E. Reed, 1975, AppliedMathematics in Chemical Engineering, McGraw-Hill BookCompany, New York
2. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc., NewYork.
39
BAB 2REVIEWPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Dalam kalkulus telah dipelajari bagaimana mencari turunan dxdydari suatu fungsi ).(xfy Misalnya, jika axey , maka
axeadxdy . Dengan menggantikan axe dengan y, menghasilkan
yadxdy (2.1)
Tujuan instruksional umum: Mengingat kembali tentang persamaan diferensial biasa. Mengidentifikasi tipe, order, dan linierity persamaan diferensial
biasa. Mengindentifikasi cara penyelesaian persamaan diferensial biasa.
order satu dan dua linier
Tujuan instruksional khusus: Mahasiswa dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa
eksak Mahasiswa dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa
order satu linier. Mahasiswa dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa
order dua linier dengan koefisien konstan.
40
Permasalahannya sekarang adalah ”bukan bagaimana menentukanturunan dari fungsi )(xfy ?” Tetapi masalahnya adalah “jikadiberikan persamaan diferensial (PD) seperti Pers. (2.1), bagaimanacara menentukan fungsi )(xfy ?”
2.1 Definisi dan Klasifikasi Persamaan DiferensialSuatu persamaan yang mengandung turunan-turunan dari suatuvariabel terikat terhadap satu atau lebih variabel-variabel bebasdisebut persamaan diferensial. Persamaan diferensial dapatdiklasifikasikan berdasarkan tipe, order, dan linieriti.
Klasifikasi Berdasarkan Tipe: Jika suatu persamaan hanyamengandung turunan-turunan biasa dari suatu variabel terikat terhadapsatu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa (PDB).Contohnya:
2yydxdy
062
2
ydxdy
dxyd
Dalam contoh ini, y disebut variabel terikat dan x disebut variabelbebas.
Suatu persamaan yang mengandung turunan-turunan parsialdari suatu variabel terikat terhadap lebih dari satu variabel-variabelbebas disebut persamaan diferensial parsial (PDP). Contohnya:
2
2
xc
tc
02
2
2
2
yT
xT
41
Klasifikasi Berdasarkan Order: Order suatu PD, baik PDB maupunPDP, adalah order dari turunan tertinggi dalam persamaan tersebut.Sedangkan derajat suatu PD adalah pangkat tertinggi dari turunanorder tertinggi yang terdapat dalam PD setelah PD tersebutdirasionalkan dan dibulatkan. Contohnya:
05 ydxdy
(order satu, derajat pertama)
032
2
ydxdy
xdx
yd (order dua, derajat pertama)
xeydxdy
dxyd
453
2
2
(order dua, derajat pertama)
23
2
2
1
dxdy
dxyd
(order dua, derajat kedua)
Klasifikasi Berdasarkan Linieriti dan NonlinieritiPersamaan diferensial biasa order n adalah linier bila dapat ditulisdalam bentuk
,)()()()( 11
1
10 xgyadxdy
xadx
ydxa
dxyd
xa nnn
n
n
n
0)(0 xa (2.2)
Fungsi-fungsi )(,,)(,)( 10 xaxaxa n disebut koefisien-koefisienPD, dan )(xg disebut suku non homogen. Bila koefisien-koefisientersebut adalah fungsi-fungsi konstan, PD dinamakan mempunyaikoefisien-koefisien konstan. Persamaan disebut homogen bila
0)( xg dan non homogen bila .0)( xg Dari persamaan di atas
42
ter-lihat dua sifat karakteristik dari PD linier: Variabel terikat y dan semua turunan-turunannya adalah derajat
satu, yaitu, pangkat dari tiap-tiap suku yang melibatkan y adalah 1. Masing-masing koefisien hanya tergantung pada variabel bebas x.
Persamaan diferensial biasa yang tidak dapat ditulis dalambentuk umum di atas dinamakan PDB nonlinier. Misalnya:
022
2
ydxdy
xdx
yd(2.3a)
0sin2
2
ydx
yd(2.3b)
02
2
ydxdy
dxyd
y (2.3c)
Ketiga persamaan ini adalah PDB order dua nonlinier, karena padaPers. (2.3a) pangkat dari y bukan satu, pada Pers. (2.3b) terdapatfungsi nonlinier dari y; yaitu ysin , dan pada Pers. (2.3c) koefisientergantung pada variabel terikat y.
2.2 Persamaan Diferensial Biasa Order SatuBentuk umum persamaan diferensial (PD) order satu dan derajat satuadalah
0),(),( dyyxNdxyxM (2.4)
2.2.1 PD Dengan Variabel-Variabel TerpisahPada umumnya PD order satu dapat direduksi dengan manipulasialjabar menjadi bentuk:
0)()( dyygdxxf (2.5)
43
Persamaan ini dikatakan “terpisah” karena variabel x dan y terpisahsatu sama lainnya, sehingga x hanya ada pada koefisien dx dan yhanya ada pada koefisien dy. Penyelesaian umumnya adalah
Cdyygdxxf )()( (2.6)
dimana C adalah konstanta integrasi.
2.2.2 Reduksi Menjadi Variabel-Variabel TerpisahKadang-kadang pemisahan variabel tidak kelihatan dengan segera,tetapi dapat dilakukan berdasarkan pengalaman. Ada beberapa bentukPD yang dapat direduksi menjadi variabel-variabel terpisah,diantaranya adalah:
0)()()()( 1221 dyygxfdxygxf (2.7)dan
0)()( ygxfdxdy (2.8)
Penyelesaian umum Pers. (2.7) dapat diperoleh denganmengalikan persamaan tersebut dengan )()(1 22 ygxf untukmemisahkan variabel-variabel dan kemudian diintegrasikan:
Cdyygygdx
xfxf
)()(
)()(
2
1
2
1 (2.9)
Penyelesaian umum Pers. (2.8) dapat diperoleh denganmengalikan persamaan tersebut dengan )(ygdx kemudiandiintegrasikan:
Cyg
dydxxf )()( (2.10)
44
Jadi proses penyelesaian suatu persamaan yang dapatdipisahkan seringkali meliputi perkalian dengan faktor pengintegral,yaitu faktor pengali sehingga PD dapat dipisahkan.
Penyelesaian:PD di atas dapat direduksi menjadi PD variabel terpisah denganmengalikan dengan faktor pengintegral ,)1)(9(1 2 xy hasilnya adalah
091 2
y
dyyx
dxx
Dengan mengintegralkan persamaan ini menghasilkan
12 )9ln(
21)1ln( Cyxx
Ada berbagai bentuk ekivalen yang dapat ditulis untukpenyelesaian umum:
Cyxx ln)9ln()1ln(22 2 ,
dimana 12ln CC
xey
xC 22
2
9)1(
Contoh 2.2.Selesaikan PD berikut ini:
AA Ck
dtdC
1 (2.11)
45
Penyelesaian:Bila Pers. (2.11) dikalikan dengan faktor pengintegral ,ACdtdiperoleh
dtkCdC
A
A1
CtkCA lnln 1
)exp( 1 tkCCA
Kadang-kadang sangat dianjurkan menggunakan konstantaintegrasi dalam bentuk logaritma bila sebagian besar hasil integrasidalam bentuk logaritma.
2.2.3 Persamaan HomogenDefinisi umum dari suatu fungsi homogen x dan y derajat n adalah“gantikan x dengan tx dan y dengan ty, dan sederhanakan persamaantersebut. Jika hasilnya merupakan fungsi asli dikalikan dengan tn,maka fungsi tersebut adalah homogen derajat n.”
Dalam bentuk simbolis, fungsi ),( yxf disebut homogenderajat n jika ),( tytxf ),,( yxft n dimana t adalah sembarangbilangan selain nol.
Contoh 2.3.Apakah fungsi yxeyyyxxyxf lnln),( 22
homogen?
Penyelesaian:Untuk menjawab pertanyaan ini, gantikan x dengan tx dan ydengan ty, menghasilkan
46
ytxteytytytxtxttytxf lnln),( 2222
yxeytytyxtxt lnln 22
yxeyyyxxt lnln 22
),( yxft
Jadi fungsi tersebut adalah homogen derajat satu.Persamaan diferensial
0),(),( dyyxNdxyxM (2.12)
disebut homogen bila ),( yxM dan ),( yxN merupakan fungsi-fungsi homogen berderajat sama. Dengan menggunakan transformasi
vxy atau vyx , maka PD Homogen dapat direduksi menjadi PDdengan variabel terpisah.
Contoh 2.4.Selesaikan PD berikut:
0)( 22 dyyxdxyx (2.13)
Penyelesaian:Persamaan ini adalah homogen, karena seluruh suku-suku dalamkoefisien dari tiap-tiap diferensial adalah derajat dua. Karena itusubstitusikan
vxy , dvxdxvdy
dan Pers. (2.13) menjadi
47
0)()( 2222 dvxdxvxvdxxvx0)21( 2 dvxvdxv
Bila persamaan ini dikalikan dengan faktor pengintegral)21(1 2vx , meng-hasilkan
021 2
v
dvvx
dx
Dengan mengintegrasikan tiap-tiap suku persamaan di atas,diperoleh
12 )21(ln
41ln Cvx
Gantilah v dengan xy untuk mendapatkan kembali variabelsemula.
,ln2lnln 2
224 C
xyxx
dimana 14ln CC
Cyxx 224 2
2.2.4 Persamaan EksakBentuk umum PD order satu dan derajat satu adalah
0),(),( dyyxNdxyxM (2.14)
Umumnya suatu penyelesaian ada bila diferensial eksak
0),( yxd (2.15)
48
Integrasi persamaan ini menghasilkan1),( Cyx (2.16)
Jika fungsi tersebut ada, maka dengan menggunakan aturan rantaidiferensial total adalah
0
dy
ydx
xd (2.17)
Namun, bagaimana kita menggunakan informasi ini untuk menen-tukan y sebagai fungsi x? Sebenarnya, petunjuk dalam menemukanadanya penyelesaian eksak terletak pada sifat fungsi kontinyu, yaitu
yxxy (218)
Dengan membandingkan Pers. (2.14) dan Pers. (2.17), didapatkan
xyxM
),( (2.19)
dan
yyxN
),( (2.20)
Dengan menggunakan sifat fungsi kontinyu, Pers. (2.18), maka syaratperlu dan cukup agar ada adalah
xN
yM
(2.21)
Jadi, Pers. (2.14) dikatakan eksak bila memenuhi persamaan berikut.Langkah-langkah penyelesaian Persamaan Eksak adalah:
1. Integrasikan ),( yxM , Pers. (2.19), terhadap x dengan menjaga ykonstan. Hasilnya adalah
49
)(),( yFdxyxMy (2.22)
dengan )( yF adalah konstanta integrasi dari fungsi y saja.2. Tentukan )( yF dari Pers. (2.20), dengan menyisipkan Pers. (2.22)
kedalam Pers. (2.20),
),()(),( yxNdy
ydFdxyxMyy y
atau
y
dxyxMy
yxNdy
ydF
),(),()( (2.23)
1. Integrasikan Pers. (2.23), diperoleh
dydxyxMy
yxNyFy
),(),()( (2.24)
2. Jadi, penyelesaian umumnya diperoleh dengan menyisipkan Pers.(2.24) ke dalam Pers. (2.22).
Contoh 2.5.Buktikan bahwa
0)23()63( 22 dyyxdxxyx (2.25)
adalah eksak dan tentukan penyelesaian umumnya.
Penyelesaian:
xyxx
yxM 63),( 2 (2.26a)
50
)23(),( 2 yxy
yxN (2.26b)
Persamaan (2.25) adalah eksak, karena
xNx
yM
6
Integrasikan ),( yxM terhadap x dengan menjaga y konstan,diperoleh
)(3)63( 232 yFyxxdxxyxy
(2.27)
Sisipkan persamaan ini ke dalam Pers. (2.26b),
)23()](3[ 223 yxyFyxxyy
ydy
ydF 2)(
Dengan mengintegrasikan persamaan ini, didapatkan
22)( CyyF
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam Pers. (2.27),menghasilkan
2223 3 Cyyxx (2.28)
Persamaan (2.28) bukan merupakan bentuk penyelesaian umum.Karena juga sama dengan konstanta sembarang C1. Denganmenggabungkan konstanta-konstanta sembarang tersebutmenghasilkan penyelesaian umum, yaitu
51
Cyyxx 223 3 , dimana 21 CCC
2.2.5 Persamaan Linier Order SatuBentuk umum PD linier order satu adalah
)()( xQyxPdxdy
(2.29)
dimana P(x) dan Q(x) adalah konstanta-konstanta atau hanya fungsi x.Bila Pers. (2.29) dikali dengan faktor pengintegral, yaitu ),(xIdiperoleh
)()()()()( xQxIyxPxIdxdyxI (2.30)
Jika kita dapat mengetahui faktor pengintegral, ),(xI sehingga ruaskiri Pers. (2.30) merupakan turunan dari persamaan tertentu, makakita dapat langsung meng-integrasikan persamaan tersebut. Sekarangmarilah kita coba menentukan ).(xI Perhatikan diferensiasi berikutini
ydx
xdIdxdyxIyxI
dxd
)()()( (2.31)
Bandingkan hasil diferensiasi ini dengan ruas kiri Pers. (2.30). Kitalihat bahwa suku pertama sama dan agar suku kedua juga identik,maka
)()()( xPxIdx
xdI (2.32)
Bila persamaan ini diselesaikan diperoleh
dxxP
eCxI)(
)(
Karena kita tidak perlu faktor pengintegral yang lebih umum, maka
52
kita pilih C sama dengan satu sehingga faktor pengintegralnyamenjadi
dxxPxI )(exp)( (2.33)
Jadi, penyelesaian umum Pers. (2.29) adalah
)()()(
)(1
xICdxxQxI
xIy (2.34)
Contoh 2.6.Selesaikan PD linier berikut ini
xeydxdy 32
Penyelesaian:
2)( xP , )2(exp2exp xdxI
Jadi, penyelesaian umumnya adalah
xxx
x eCdxee
ey 2
22 31
xxx eCdxeey 22 3
xx eCey 23
Contoh 2.7.Selesaikan PD berikut
RAR cktkck
dtdc
2101 )exp(
53
Penyelesaian:Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk
)exp( 1012 tkckckdt
dcAR
R
2)( ktP , )exp(exp)( 22 tkdtkxI
Jadi penyelesaian umumnya adalah
)exp()exp()exp(
)exp(1
21012
2 tkCdttkcktk
tkc AR
)exp(])exp[()exp( 212201 tkCdttkktkck A
)exp(])exp[()exp( 212212
01 tkCtkktkkk
ck A
)exp()exp( 2112
01 tkCtkkk
ck A
2.2.6 Persamaan BernoulliBentuk umum Persamaan Bernoulli adalah
nyxQyxPdxdy )()( ; (2.35)
Bila Pers. (2.35) dibagi dengan ,ny diperoleh
)()( 1 xQyxPdxdyy nn (2.36)
54
Persamaan (2.36) dapat direduksi menjadi persamaan linier denganmensubstitusikan:
nyz 1 ,dxdyyn
dxdz n )1(
Dengan mensubstitusikan harga-harga ini ke dalam Pers. (2.36),menghasilkan
)()1()()1( xQnzxPndxdz
(2.37)
Persamaan (2.37) merupakan persamaan linier order satu danpenyelesaiannya sama dengan sub bab sebelumnya.
2.2.7 Persamaan RiccatiPersamaan Riccati adalah PD nonlinier. Bentuk umum persamaannya:
)()()( 2 xRyxQyxPdxdy
(2.38)
Bentuk khusus yang sering muncul adalah bila 1)( xP
)()(2 xRyxQydxdy
(2.39)
Transformasikan variabel y dengan
dxdu
uy
1 (2.40)
2
22
2 11
dxdu
udxud
udxdy (2.41)
55
Suku nonlinier pada Pers. (2.39) dapat dihilangkan denganmenyisipkan Pers. (2.40) dan Pers. (2.41) ke dalam Pers. (2.39),menghasilkan
0)()(2
2
uxRdxduxQ
dxud (2.42)
Ini merupakan persamaan diferensial linier order dua dengan koefisientidak konstan. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode deretFrobenius atau fungsi Bessel.
Contoh 2.8.Dalam suatu reaktor batch dengan volume konstan berlangsungreaksi seri berikut:
A B C
Konsentrasi A mula-mula adalah ,0AC sedangkan konsentrasiB dan C mula-mula adalah nol. Laju reaksi per satuan volumereaktor dinyatakan dengan
,1nAA Ckr m
BnAB CkCkr 21
Tentukan konsentrasi B sebagai fungsi waktu untuk kasusberikut ini:
a) ,1n 2mb) ,1n 1m
Penyelesaian:
a) Untuk 1n dan 2m . Dari neraca massa didapatkan:
AA Ck
dtdC
1 (2.43)
1k 2k
56
221 BA
B CkCkdt
dC (2.44)
Penyelesaian Pers. (2.43) adalah
)exp( 1 tkCCA (2.45)
Konstanta integrasi C ditentukan dari kondisi awal. Dari K.A.didapatkan .0ACC Persamaan (2.45) menjadi
)exp( 10 tkCC AA (2.46)
Substitusikan CA ini ke dalam Pers. (2.44)
22101 )exp( BA
B CktkCkdt
dC
Bila kedua ruas dibagi dengan k2 dan waktu diganti dengan,2 tk didapatkan
2
10
2
12 expkkC
kkC
ddC
ABB (2.47)
Persamaan ini identik dengan bentuk khusus dari persamaanRiccati. Bandingkan Pers. (2.47) dengan Pers. (2.39),didapatkan
,0)( Q
2
10
2
1 exp)(kkC
kkR A
Tansformasikan CB dengan
57
ddu
uCB
1 (2.48)
2
22
2 11
d
duud
udud
dCB (2.49)
Dengan mensubstitusikan Pers. (2.48) dan (2.49) ke dalam Pers.(2.47) diperoleh
0)(exp)(
2
10
2
12
2
u
kkC
kk
dud
A (2.50)
Ini adalah PD order dua linier.b) Untuk 1n dan 1m . Dari neraca massa didapatkan:
AA Ck
dtdC
1 , persamaan (2.43)
BAB CkCk
dtdC
21 (2.51)
Penyelesaian Pers. (2.43) adalah
)exp( 10 tkCC AA , persamaan (2.46)
Substitusikan persamaan ini ke dalam Pers. (2.51), kita dapatkan
)exp( 1012 tkCkCkdt
dCAB
B (2.52)
Ini adalah persamaan linier order satu. Coba anda selesaikansendiri, hasilnya adalah
58
)]exp()[exp( 2112
01 tktkkk
CkC A
B
(2.53)
Namun, seringkali diinginkan hubungan antara CA dan CB,sehingga kita dapat menggunakan pendekatan yang berbeda,yaitu dengan membagi Pers. (2.51) dengan (2.43)
A
B
A
B
CC
kk
dCdC
1
21 (2.54)
Ini merupakan persamaan homogen, substitusikan
AB CvC ,A
AA
B
dCdvCv
dCdC
Persamaan (2.54) menjadi
vkk
dCdvCv
AA
1
21
A
A
CdC
vkk
dv
11
1
2
CCvkk
A
kkk
12
1
111
2 (2.55)
K.A. pada ,0t 0AA CC dan 0BC , sehingga 0v .Dari K.A. dan Pers. (2.55) didapatkan .1 0ACC Persamaan(2.55) menjadi
1)12(
01
2 11
kk
A
A
CCv
kk
59
1)12(
01
2 11
kk
A
A
CCv
kk
Gantikan v dengan ,AB CC didapatkan
1)12(
012
1 1kk
A
A
A
B
CC
kkk
CC (2.56)
2.3 Persamaan Diferensial Linier Order DuaBentuk umum PD linier order dua adalah
)()()( 012
2
xfyxadxdyxa
dxyd
(2.57)
Persamaan (2.57) ini adalah persamaan nonhomogen. Bila 0)( xf ,Pers. (2.57) menjadi persamaan homogen.
Dalam bagian ini, kita hanya mempelajari kasus-kasus dengankoefisien konstan, yaitu a0 dan a1 adalah konstanta. Prosedur penye-lesain Pers. (2.57) adalah sebagai berikut:1. Pertama diset 0)( xf . Persamaannya tereduksi menjadi
persamaan homogen. Penyelesaiannya disebut penyelesaiankomplementer atau homogen, dinotasikan dengan )(xyc .
2. Selesaikan PD bila 0)( xf . Penyelesaiannya disebutpenyelesaian partikulir, dinotasikan dengan )(xy p .
3. Penyelesaian lengkap adalah: )()( xyxyy pc .Pertama kita membahas persamaan homogen. Untuk persamaan
linier homogen jelas terlihat bahwa gabungan dari tiap-tiappenyelesaian juga merupakan suatu penyelesaian, asalkan tiap-tiappenyelesaian adalah linearly independent dengan penyelesaian lainnya.Maksud linearly independent adalah suatu penyelesai-an tidak dapat
60
diperoleh dari penyelesaian lain dengan mengalikan penyelesaiantersebut dengan suatu konstanta. Misalnya, penyelesaian
)2exp(11 xCy adalah linearly independent dengan)3exp(22 xCy , karena kita tidak dapat mengalikan y2 dengan suatu
konstanta untuk mendapatkan y1. Namun, penyelesaian 23 6 xy
adalah tidak linearly independent dengan 24 2 xy , karena jelas
terlihat bahwa y3 dapat diperoleh dengan mengalikan y4 dengan 3.Jadi, untuk persamaan homogen order dua dan linier
penyelesaian umumnya adalah
)()( 2211 xyCxyCyc (2.58)
Penyelesaian partikulir (yp) juga harus linearly independentdengan tiap-tiap penyelesaian komplementer (yc), agar yp dapatdigabungkan dengan yc. Bila tidak, maka yp dapat menghasilkankembali salah satu dari penyelesaian komplementer, sehingga tidakada informasi baru yang ditambahkan ke hasil akhir.
2.3.1 Penyelesaian KomplementerBentuk PD linier order dua homogen dengan koefisien konstan
0012
2
yadxdya
dxyd (2.59)
Anggap penyelesaian komplementer dari Pers. (2.59) adalah
)exp(rxCyc (2.60)
dimana C adalah konstanta integrasi dan r adalah akar karakteristik(atau eigenvalue) dari persamaan. Diferensialkan Pers. (2.60) dua kaliterhadap x. Sisipkan yc tersebut dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(2.59), menghasilkan
61
0)exp()( 012 rxararC (2.61)
Bila 0C maka tidak ada penyelesaian dan )exp(rx tidak bolehnol. Jadi per-samaan ini dipenuhi bila
0012 arar (2.62)
Persamaan (2.62) disebut persamaan karakteristik untuk Pers. (2.59).Karena Pers. (2.62) adalah persamaan kuadrat, maka hanya ada duaakar. Ada tiga macam akar dari persamaan kuadrat:
1. Akar-akarnya real dan berbeda2. Akar-akarnya sama3. Akar-akarnya bilangan komplek dan berbeda.
Bila akar-akarnya real dan berbeda, katakanlah r1 dan r2, makapenyelesaian umum Pers. (2.59) adalah
)exp()exp( 2211 xrCxrCyc (2.63)
Untuk akar-akar yang agak rumit, katakanlah bar 1 danbar 2 , seringkali penyelesaiannya ditulis dengan menggunakan
fungsi hiperbolik, supaya lebih mudah dalam menentukan konstanta-konstanta integrasi dengan menggunakan kondisi batas.
2)exp()exp()(cosh bxbxbx
(2.64)
2)exp()exp()(sinh bxbxbx
(2.65)
Jadi, penyelesaian di atas dapat ditulis dalam bentuk
)exp()exp()exp( 21 bxCbxCaxyc
62
2
)exp()exp()(2
)exp()exp()()exp( 2121bxbxCCbxbxCCaxyc
)(sinh)(cosh)exp( 43 bxCbxCaxyc (2.66)
Bila akar-akarnya sama, katakanlah rrr 21 , makapenyelesaian umum Pers. (2.59) adalah
)exp()( 21 xrxCCyc (2.67)
Pada Pers. (2.67) penyelesaian kedua dikali dengan variabel bebas x,agar penyelesaiannya linearly independent.
Bila akar-akarnya bilangan kompleks, katakanlah ibar 1
dan ibar 2 , maka penyelesaian umum Pers. (2.59) adalah
)exp()exp()exp( 43 bxiCbxiCaxyc (2.68)
Bentuk penyelesaian ini sama sekali tidak efektif untuk tujuankomputasi, karena itu perlu dimasukkan bentuk yang lebih efektifdengan menggunakan formula Euler, yaitu
xixe xi sincos (2.69)
Dengan mensubstitusikan Pers. (2.69) ke dalam Pers. (2.68)menghasilkan
Penyelesaian:Persamaan karakteristik (PK) dapat diperoleh denganmenggantikan 22 dxyd dengan 2r dan dxdy dengan r,sehingga
062 rr
0)3)(2( rr
21 r dan 32 r
Karena akarnya real dan berbeda, maka penyelesaian umumnyaadalah
)3exp()2exp( 21 xCxCy
Contoh 2.10.Selesaikan persamaan order dua berikut ini
0962
2
ydxdy
dxyd
Penyelesaian:Persamaan karakteristiknya
0962 rr0)3( 2 r
32,1 r
64
Karena akarnya sama, maka penyelesaian umumnnya adalah
)3exp()( 21 xxCCyc
Contoh 2.11.Selesaikan PD berikut ini
0522
2
ydxdy
dxyd
Penyelesaian:Persamaan karakteristiknya
0522 rr
iiir 21;212
422
)54(422,1
Karena akarnya imajiner dan berbeda, maka penyelesaianumumnya adalah
xCxCxyc 2sin2cos)exp( 21
2.3.2 Penyelesaian PartikulirBentuk PD linier order dua dengan koefisien konstan adalah
)(012
2
xfyadxdya
dxyd
(2.71)
Penyelesaian umum dari Pers. (2.71) merupakan jumlah daripenyelesaian komplementer dan penyelesaian partikulir, yaitu
65
)()( xyxyy pc (2.72)
Penyelesaian komplementer, )(xyc , telah kita pelajari, sekarang kitaakan membahas metode umum untuk menentukan integral partikulir,
).(xy p
Ada tiga metode yang umum digunakan untuk menentukan)(xy p :
1. Metode Undetermined Coefficients.2. Metode Invers Operator.3. Metode Variasi Parameter.
Dua metode pertama hanya dapat digunakan untuk PD dengankoefisien konstan, sedangkan metode ketiga dapat digunakan baikuntuk koefisien konstan maupun koefisien tidak konstan.
1. Metode Undetermined CoefficientsMetode ini digunakan secara luas, juga mudah dikerjakan. Tahappertama adalah mengasumsi bentuk awal dari penyelesaian partikuliryp dengan koefisien-koefisiennya belum diketahui. Koefisien-koefisien yang belum diketahui ini ditentukan dengan menyisipkanbentuk awal penyelesaian partikulir yp dan turunan-turunannya kedalam persamaan diferensial. Untuk PD order dua diperlukan dua kalidiferensiasi, sedangkan untuk PD order n diperlukan n kalidiferensiasi (suatu kelemahan dari metode ini). Kemudian ditentukankoefisien-koefisiennya sehingga memenuhi persamaan diferensial.Jika berhasil, maka kita telah mendapatkan penyelesaian partikulir yp.Jika koefisien-koefisiennya tidak dapat ditentukan, ini artinya kitatidak mendapatkan penyelesaian dari bentuk yang diasumsikan tadi.Jadi kita perlu memodifikasi asumsinya dan kita coba lagi.
Sebagai pedoman dalam mengasumsi bentuk awal daripenyelesaian partikulir yp adalah dengan melihat fungsi )(xf danhasil diferensial berulang dari fungsi ).(xf Berdasarkan pengamatanpada fungsi )(xf dan turunan-turunannya, maka kita dapatmenyarankan bentuk integral partikulir dengan koefisien-koefisienyang belum diketahui.
66
Contoh 2.12.Tentukan penyelesaian umum dari PD linier order dua berikutini
xeydxdy
dxyd 22
2
332 (2.73)
Penyelesaian:Pertama adalah menentukan penyelesaian komplementer denganmenset 0)( xf . Persamaan karakteristik dari persamaanhomogen di atas adalah
0322 rr
0)1)(3( rr
31 r dan 12 r
Karena akarnya real dan berbeda, penyelesaian komple-menternya adalah
)exp()3exp( 21 xCxCyc (2.74)
Untuk membangun bentuk integral partikulir, kita harusberpedoman pada fungsi )(xf dan hasil diferensial berulangdari fungsi ).(xf Bila order dari PD adalah dua, maka kitaharus mendiferensialkan hingga dua kali fungsi )(xf tersebut.Dalam contoh ini ).2exp(3)( xxf Turunan pertama dankedua dari fungsi tersebut tetap fungsi eksponensial, yaitu
).2exp( x Oleh karena itu, bentuk integral partikulir yangdiusulkan adalah fungsi eksponensial itu sendiri dikali dengansuatu koefisien, yaitu
)2exp( xBy p (2.75)
67
dimana B adalah koefisien yang akan ditentukan. Caranyadengan mendiferen-sialkan yp ini dua kali terhadap x, kemudiansisipkan Pers. (2.75) dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(2.73), kita dapatkan
)2exp(3)2exp(3)2exp(4)2exp(4 xxBxBxB
1B
Penyelesaian partikulirnya adalah
)2exp( xy p (2.76)
Jadi penyelesaian lengkapnya adalah
)2exp()exp()3exp( 21 xxCxCy (2.77)
Contoh 2.13.Selesaikan PD linier order dua berikut ini
22
2
2 xydxdy
dxyd
(2.78)
Penyelesaian:Persamaan karakteristik dari persamaan homogen di atas adalah
022 rr
0)2)(1( rr11 r dan 22 r
Penyelesaian komplementernya adalah
)2exp()exp( 21 xCxCyc (2.79)
68
Perhatikan bahwa turunan pertama dan kedua dari 2)( xxf adalah x2 dan 2, sehingga kita dapat membentuk integralpartikulirnya berupa gabungan linier dari )(xf dan turunan-turunannya dikali dengan suatu koefisien, yaitu
012
2 AxAxAy p (2.80)
dimana koefisien-koefisien A2, A1, dan A0 akan ditentukan.Diferensialkan yp ini dua kali terhadap x. Kemudian sisipkan yp
dan turunan-turunannya ke dalam Pers. (2.78), menghasilkan
201
22122 )(2)2(2 xAxAxAAxAA
201212
22 )22()22(2 xAAAxAAxA (2.81)
Untuk memenuhi Pers. (2.81) kita harus menyamakan tiap-tiapkoefisien dari polinomial tersebut antara ruas kiri dan ruaskanan persamaan, sehingga didapatkan
koefisien 2x : 12 2 A 212 A
koefisien x : 022 12 AA 2121 AA
konstanta : 022 012 AAA
431
21
21)2(
21
210
AAA
Jadi penyelesaian partikulirnya adalah
43
21
21 2 xxy p (2.82)
69
Dan penyelesaian lengkapnya adalah
23
21)2exp()exp( 2
21 xxxCxCy (2.83)
Contoh 2.14.Tentukan penyelesaian umum dari PD linier order dua berikutini
xydxdy
dxyd 2cos322
2
(2.84)
Penyelesaian:Penyelesaian komplementer sama dengan contoh sebelumnya.Sekarang perhatikan turunan pertama dan kedua dari
xxf 2cos)( , yaitu x2sin dan .2cos x Karena dari fungsi)(xf dan hasil turunan berulang muncul suku cosinus dan
sinus, maka bentuk integral partikulir yang disarankan adalah
xBxAy p 2sin2cos (2.85)
dimana A dan B adalah koefisien-koefisien yang akan dicari.Diferensialkan yp ini dua kali terhadap x, diperoleh
xBxAdx
dy p 2cos22sin2 ,
xBxAdx
yd p 2sin42cos42
2
.
Kemudian sisipkan yp dan turunan-turunannya ini ke dalam Pers.(2.84), meng-hasilkan
xxBAxBA 2cos32sin)62(2cos)26( (2.86)Berikutnya samakan tiap-tiap koefisien dari x2sin dan x2cosantara kedua sisi Pers. (2.86).
70
koefisien x2cos : 326 BA (2.87a)koefisien x2sin : 062 BA (2.87b)
Dengan menyelesaikan secara simultan Pers. (2.87) diperoleh
209
A dan203
B
Sehingga penyelesaian partikulirnya adalah
)2cos32(sin203 xxy p (2.88)
Jadi penyelesaian lengkapnya adalah
)2cos32(sin203)2exp()exp( 21 xxxCxCy (2.89)
Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari contoh-contoh diatas mengenai bentuk standard integral partikulir dirangkum dalamTabel 2.1.
Tabel 2.1. Bentuk standard integral partikulir.
Bentuk )(xf Bentuk integral partikulirEksponensial xreA xreBPolinomial 01
11 AxAxAxA n
nn
n 01
11 BxBxBxB n
nn
n
(beberapa harga iAboleh sama dengan nol)
Trigonometri rxArxA cossin 21 rxBrxB cossin 21
(harga 1A atau 2Aboleh sama dengan nol)
Bila suku nonhomogen )(xf merupakan jumlah dari fungsi-fungsidi atas (fungsi eksponensial, polinomial, dan trigonometri), maka
71
bentuk integral partikulir juga merupakan jumlah dari bentuk standardmasing-masing integral partikulirnya. Bila )(xf merupakan hasilkali dari fungsi-fungsi di atas, maka bentuk integral partikulirnya jugamerupakan hasil kali dari masing-masing bentuk standard integralpartikulir tersebut.
Namun, bila salah satu suku pada penyelesaian komplementersama dengan salah satu suku pada fungsi ),(xf maka bentukstandard integral partikulir seperti pada Tabel 2.1 tidak dapatdigunakan langsung, karena nantinya penyelesaian partikulir tidaklinearly independent dengan penyelesaian komplementer. Oleh karenaitu, bentuk integral partikulirnya harus dimodifikasi. Caranya: Bentukstandard integral partikulir seperti pada Tabel 2.1 dikalikan denganvariabel bebas, bila hasilnya masih sama dengan salah satupenyelesaian komplementer, maka harus dikalikan lagi denganvariabel bebas, sehingga bentuk integral partikulirnya tidak sama lagidengan salah satu penyelesaian komplementer.
Kadangkala koefisien yang ingin dicari tidak dapat ditentukan.Bila hal ini terjadi maka kita harus mengalikan lagi bentuk integralpartikulirnya dengan variabel bebas, dan begitu seterusnya hinggakoefisien tersebut dapat ditentukan.
Contoh 2.15.Tentukan penyelesaian komplementer dan partikulir dari PDberikut ini
)2exp(652
2
xydxdy
dxyd
(2.90)
Penyelesaian:Pertama kita set ruas kanan Pers. (2.90) sama dengan nol,sehingga persamaan karakteristiknya adalah
0652 rr
0)2)(3( rr
72
31 r dan 22 r
Penyelesaian komplementernya adalah
)2exp()3exp( 21 xCxCyc (2.91)
Perhatikan salah satu suku pada penyelesaian komplementer inisama dengan fungsi ),(xf yaitu ).2exp( x Sehingga kita tidakboleh langsung mencoba bentuk standard integral partikulir,yaitu ),2exp( xBy p karena nantinya yp ini tidak linearlyindependent dengan salah satu suku penyelesaian komplementer.Oleh karena itu kita harus mencoba memodifikasi yaitu denganmengalikan yp standard dengan variabel bebas, sehinggamenjadi
)2exp( xxBy p (2.92)
Sekarang jelas terlihat bentuk integral partikulir ini sudahlinearly independent dengan penyelesaian komplementer.Diferensialkan Pers. (2.92) dua kali terhadap x, menghasilkan
)2exp(2)2exp( xxBxBy p
)2exp(4)2exp(4 xxBxBy p
Kemudian substitusikan yp dan turunan-turunannya ini ke dalamPers. (2.90), kita dapatkan
Sisipkan harga B ini ke dalam Pers. (2.92), diperoleh
73
)2exp( xxy p (2.93)
Penyelesaian lengkapnya adalah
)2exp()2exp()3exp( 21 xxxCxCyc (2.94)
2. Metode Invers OperatorMetode ini dibangun dari operator diferensial Heaviside, yangdidefinisikan dengan
dxdyy D (2.95)
dimana D adalah operasi elementer dxd . Operator ini mengikutihukum-hukum aljabar tertentu, dan letaknya harus selalu sebelumsuatu fungsi yang akan dioperasikan. Turunan kedua, ketiga, danseterusnya dari operator D ini dapat ditulis dengan
2
22D)D(D
dxydyy (2.96)
3
332 D)D(D
dxydyy (2.97)
n
nn
dxydy D (2.98)
Karena operator D merupakan operator linier, maka operator D dapatdijumlahkan dan difaktorkan, misalnya
0)3D(9D6D96 222
2
yyyyydxdy
dxyd
Hukum-hukum dasar yang berlaku untuk operator D adalah:
74
(a) Hukum Distributif.Hukum ini menyatakan bahwa
ACABCBA )( (2.99)
Operator D mengikuti hukum distributive
yyyy 6D5D)6D5D( 22 (2.100)
(b) Hukum KomutatifHukum ini menerangkan tentang aturan pertukaran operasi, yaitu
BAAB (2.101)
Pada umumnya operator D tidak mengikuti hukum ini, karena jelasbahwa
DD yy (2.102)
Namun, operator D dapat bertukar kedudukan sesamanya, karena)3D)(2D()2D)(3D( (2.103)
(c) Hukum AsosiatifHukum ini menjelaskan mengenai aturan urutan operasi, yaitu
CABBCA )()( (2.104)
Secara umum hukum ini tidak berlaku untuk operator D, karena
yxyx )D()(D (2.105)sebab kita tahu bahwa
.D)D()(D yxyxyx (2.106)
Namun, operator D berasosiatif sesama mereka sendiri
75
yy DD)()D(D (2.107)
Bila operator D digunakan dalam bentuk invers, maka ada duaaturan yang perlu diperhatikan.
Operasi terhadap eksponensial. Diferensial )exp(rx adalah
xrxr ere )(D (2.108)
xrxrxr eree 22 )D(D)(D (2.109)
xrxrxr eree 323 )D(D)(D
xrnxrnxrn eree )D(D)(D 1 (2.110)
Bila persamaan-persamaan ini dijumlahkan, menghasilkan
xr
rP
nxr
P
n errrre )()DDDD()(
32
)D(
32
atauxrxr erPeP )()D( (2.111)
dengan )D(P dan )(rP adalah persamaan polinomial dalam D danr. Persamaan ini merupakan Aturan 1.
Operasi terhadap hasil kali dengan eksponensial. Bentuk keduadalam mengunakan operator D adalah operasi terhadap hasil kalifungsi )(xf dengan eksponensial. Diferensial dari hasil kali )(xfdan )exp(rx adalah
)()D()()(D))((D xfreerxfxfeexf xrxrxrxr (2.112)
)]()(D[D))((D2 xfrxfeexf xrxr
76
)()()()()()( 22 xfrDexfrDerxfrDDe rxrxrx (2.113)
)()D()()D2(D))((D 3223 xfrexfrrDeexf xrxrxr
)()D())((D xfreexf nxrxrn
(2.114)Bila operator-operator D ini dijumlahkan, menghasilkan
)()D())(()D( xfrPeexfP xrxr (2.115)
Kita dapat menyimpulkan bahwa operasi polinomial D terhadap hasilkali xrexf )( akan menghasilkan pergeseran eksponensial ke bagiandepan dikali dengan operasi polinomial )D( r terhadap )(xf .Bentuk ini merupakan Aturan 2.
Jadi ada dua aturan penting dalam menggunakan operator D ini,yaitu:
Invers Operator.Kita tahu bahwa integrasi merupakan invers dari diferensiasi.
)()(D)( xfdxxfdxxfdxd
(2.116)
Hal ini menyatakan bahwa
)(D)(1)( 1 xfxfD
dxxf (2.117)
Jadi, operasi )(D 1 xf menyatakan integrasi terhadap x, sedangkan)(D xf menyatakan diferensiasi terhadap x. Integrator, 1D , dapat
77
diperlakukan seperti besaran aljabar lainnya, asalkan mengikutiaturan-aturan aljabar seperti yang disebutkan di atas.
Ada dua aturan yang berlaku untuk invers operator.
Aturan 1 Invers Operator:Pada umumnya polinomial D, P(D), yang terdapat dipenyebut dapatdioperasikan berdasarkan Aturan 1 [Pers. (2.111)].
xrxr erP
eP
)(
1)D(
1 (2.118)
Bila 0)( rP aturan ini tidak dapat digunakan. Keadaan ini terjadikarena salah satu fungsi )(xf sama dengan salah satu suku padapenyelesaian komplementer.
Aturan 2 Invers Operator:Kesulitan di atas dapat diatasi dengan menggunakan Aturan 2 [Pers.(2.115)]. Jika 0)( rP , jelas bahwa P(D) mengandung akar samadengan r; misal kita dapat memfaktorkan P(D) dengan
)D(1
)D(1
)D(1
grP
(2.119)
Untuk n akar yang sama, persamaan ini dapat ditulis
)D(1
)D(1
)D(1
grP n (2.120)
Dari Pers. (2.120) terlihat g(D) tidak mengandung akar r, jadi Aturan1 dapat digunakan. Namun, kita harus memodifikasi operasi
nr)D(1 bila dioperasikan terhadap exp(rx). Polinomial D, P(D),yang terdapat dalam penyebut dapat juga dioperasikan berdasarkanAturan 2 [Pers. (2.115)].
78
)()D(
1])([)D(
1 xfrP
eexfP
xrxr
(2.121)
Jika nrP )D()D( ,
)()D(
1])([)D(
1 xfeexfr n
xrxrn
(2.122)
)()1( xfD n artinya integrasi n kali terhadap )(xf .
Dengan menggunakan operator D dan memfaktorkannyadiperoleh
xpp eyDDyDD 22 3)3)(1()32(
xp e
DDy 23
)3)(1(1
Kita dapat menggunakan Aturan 1 secara langsung, karena2r , didapatkan
xxp eey 223
)32)(12(1
79
Bandingkan hasil ini dengan Pers. (2.76). Terlihat jelaskecepatan dan efisiensi dari metode ini dibandingkan denganmetode sebelumnya, yaitu metode undetermined coeffocients.
Contoh 2.17.Tentukan penyelesaian partikulir pada Contoh 2.15 denganmenggunakan metode invers operator.
Penyelesaian:Persamaan diferensialnya adalah
)2exp(652
2
xydxdy
dxyd
Dengan menggunakan operator D bentuk integral partikulirnyaadalah
xpp eyDDyDD 22 )3)(2()65(
xp e
DDy 2
)3)(2(1
Jika kita langsung menggunakan Aturan 1 diperoleh.0)1)(0()( rP Jadi dalam contoh ini kita harus hati-hati
karena tidak boleh langsung menggunakan Aturan 1. Untukmengatasi agar 0)( rP , pertama kita gunakan Aturan 1terhadap faktor yang tidak menghasilkan nol, yaitu ;)3D( kemudian kita gunakan Aturan 2 untuk operasi )2exp( xdengan ).2D( Tahap pertama adalah
11
)2(1 2
x
p eD
y
80
Kemudian kita gunakan Aturan 2 dengan 1)( xf ,
1)22(
12
D
ey xp
112 D
ey xp
xp exy 2
Bandingkan hasilnya dengan Pers. (2.93).
Invers operator terhadap fungsi trigonometriFungsi trigonometri seperti xsin dan xcos dapat didekati denganformula Euler,
xixe xi sincos (2.123)Dari Pers. (2.123) terlihat bahwa bagian Real dari xie adalah xcosdan bagian Imajiner adalah xsin
xe xi cos)(Re (2.124)
xe xi sin)(Im (2.125)
Jadi, bila xcos atau xsin muncul dalam fungsi ),(xf kita dapatmenggunakan metode invers operator untuk mendapatkan integralpartikulir.
Dengan menggunakan operator D bentuk integral partikulirnyaadalah
xyDD p 2cos3)2( 2
xi
p eDD
y 22 3
21Re
xi
p eii
y 22 22)2(
3Re
xip e
ii
iy 2
2626
263Re
xi
p eiy 2
40618Re
)2sin2(cos
2039Re xixiy p
xxixixy p 2sin
2032cos
2032sin
2092cos
209Re
Dengan mengambil bagian Realnya saja maka penyelesaianpartikulirnya adalah
)2cos32(sin203 xxy p
Bandingkan hasil ini dengan Pers. (2.88).
82
Pada umumnya metode invers operator ini tidak disarankanuntuk hasil kali fungsi seperti ,cos bxx ,cos)exp( xx dan lain-lain,karena sulit dalam mengekspansi operator dalam bentuk deret.
2.4 RangkumanPersamaan diferensial dapat juga diklasifikasi berdasarkan tipe, orde,dan linieriti. Klasifikasi berdasarkan tipe: persamaan diferensial dapatdibagi menjadi dua, yaitu:
Klasifikasi berdasarkan orde: persamaan diferensial terdiri-dariorde satu, dua, dan seterusnya sampai orde n. Orde dari persamaandiferensial ditentukan berdasarkan turunan tertinggi dalam persamaantersebut, sedangkan derajat dari suatu persamaan diferensialditentukan berdasarkan pangkat dari turunan tertinggi dalampersamaan tersebut.
Klasifikasi berdasarkan linieriti dan non-linieriti: persamaandiferensial biasa dapat dikatakan linier orde n bila dapat ditulis dalambentuk:
,)()()()( 11
1
10 xgyadxdy
xadx
ydxa
dxyd
xa nnn
n
n
n
0)(0 xa
Sedangkan persamaan diferensial biasa yang tidak dapat ditulis dalambentuk di atas dikatakan persamaan diferensial non-linier.
Persamaan diferensial biasa orde satu dapat diklasifikasikandalam bentuk:
1. Persamaan diferensial dengan variable-variabel terpisah.
2. Persamaan homogeny.
83
3. Persamaan eksak
4. Persamaan linier orde satu
5. Persamaan Bernoulli
6. Persamaan Riccati.
Persamaan diferensial linier orde dua mempunyai bentuk umumsebagai berikut:
)()()( 012
2
xfyxadxdyxa
dxyd
Persamaan ini adalah persamaan diferensial linier orde dua non-homogen. Bila f(x) = 0 persamaan di atas menjadi persamaanhomogen. Bila ao dan a1 adalah konstanta dan persamaan tersebutmenjadi persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisienkonstan yang penyelesaian umumnya adalah gabungan daripenyelesaian koomplementer dan penyelesaian partikulir. Persamaankarakteristik untuk persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalambentuk r (persamaan 2.62), maka hanya ada dua akar. Ada tiga macamakar dari persamaan kuadrat, yaitu:
1. Akar-akarnya real dan berbeda.2. Akar-akarnya sama.3. Akar-akarnya bilangan komplek dan berbeda.
Penyelesaian partikulir secara umum dapat diselesaikan dengantiga metode, yaitu:
1. Metode undetermined coefficient.2. Metode Invers Operator.3. Metode variasi parameter.
2.2. Tentukan penyelesaian persamaan homogen berikut ini
(a)yx
yxxydxdy 222
(b)yxyx
dxdy
23 22
2.3. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini
(a) 02 32 yyxdxdyx
(b) yedxdy x 32
2.4. Tinjau suatu reaksi kimia order dua dengan reaksi sebagaiberikut:
XQP Anggap konsentrasi mula-mula P dan Q masing-masing adalahp dan q, dan )(tx adalah konsentrasi X pada waktu t. Lajureaksinya adalah
))(( xqxpdtdx
dengan adalah suatu konstanta.(a) Jika ,0)0( x tentukan konsentrasi X pada waktu t.
85
(b) Bila qp dan ,0)0( x tentukan konsentrasi X padawaktu t.
2.5. A holding tank designed to accept the effluent from a smallchemical plant operates such that the flow from the tank, q, isproportional to ).( hbqh The feed to the tank is intermittent,but the flow rate is constant at 80 ft3/sec when liquid does enter.The cylindrical tank is 30 ft in diameter and 10 ft deep.(a) Derive the mathematical description for this situation and
express h as a function of the inlet flow qf, b, t, the tank areaA, and the initial height of liquid h0.
(b) b is found experimentally to be equal to 8 ft2/sec when thetank drain valve is fully open. If the tank is initially emptyand the drain valve open, how long can the feed stream flowinto the tank before it overflows?
(c) If the flow rate of the feed stream is doubled, how long willit take for an initially empty tank to overflow if the drainvalve is fully open?
(d) If the tank contains 8 ft of liquid when the drain valve isopened, how long will it take for the level to reach 4 ft withno liquid entering?
(Diambil dari “Introduction to ChemicalEngineering Analysis” by T. W. F. Russell and
M. M. Denn, John Wiley & sons, Inc., NewYork, 1972. Problem 4.4)
2.6. A tall, cylindrical tank is being filled, from an initially emptystate, by a constant inflow of q liters/sec of liquid. The flat tankbottom has corroded and sustains a leak through a small hole ofarea A0. If the cross-sectional area of the tank is denoted the byA, and time-varying height of liquid is ),(th then:(a) find the dynamic relationship describing tank height, if the
(b) determine the relationship to predict the final steady-stateliquid height in the tank.
(c) define ,xx separate variables and deduce the implicitsolution for h:
(d)
gh
AA
hgAqq
gAAqt
22
2ln
0020
(e) sketch the curve for h versus t, and compare with the casefor a nonleaking tank.
(Diambil dari “Applied Mathematics and Modelingfor Chemical Engineers” by R. G. Rice and D.
D. Do, John Wiley & sons, Inc., New York,1995. Problem 2.12)
2.7. A tank contains 100 gal of brine with 50 lbm of dissolved salt.Pure water runs into the tank at a rate of 2 gal/min, while theeffluent flows into a second tank which is initially empty at arate of 3 gal/min. The second tank is emptied at a constant rateof 2 gal/min. Develop the mathematical description that wouldenable you to compute the concentration of salt in the secondtank as a function of time. Solve the equation if you are familiarwith linear first-order differential equations.
(Diambil dari “Introduction to ChemicalEngineering Analysis” by T. W. F. Russell and
M. M. Denn, John Wiley & sons, Inc., NewYork, 1972. Problem 4.17)
2.8. The reversible set of reactions represented by
A B C
is carried out in a batch reactor under conditions of constant
k1
k2
k3
k4
87
volume and temperature. Only one mole of A is present initially,and any time t the moles are NA, NB, NC. The net rate ofdisappearance of A is given by
BAA CkCkr 21 and for B, it is
CBBAB CkCkCkCkr 4321
The net rate of production of C is given by
CBC CkCkr 43
(a) Show that the behavior of )(tN A is described by thesecond order ODE
4242413143212
2
)()( kkNkkkkkkdt
dNkkkkdt
NdA
AA
One initial condition for the second order equation in part (a) is1)0( AN ; what is the second necessary initial condition?
(b) Find the complete solution for )(tN A , using the conditionsin part (b) to evaluate the arbitrary constants of integration.
(Diambil dari “Applied Mathematics and Modelingfor Chemical Engineers” by R. G. Rice and D.
D. Do, John Wiley & sons, Inc., New York,1995. Problem 2.6*)
GlossariumPersamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang mengandungturunan-turunan dari suatu variabel terikat terhadap satu atau lebihvariabel-variabel bebas.Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan yang
88
mengandung turunan-turunan dari suatu variabel terikat terhadap satuvariabel bebas.Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yangmengandung turunan-turunan dari suatu variabel terikat terhadap lebihdari satu variabel bebas.Derajat dalam persamaan diferensial adalah pangkat dari turunantertinggi yang terdapat dalam PD setelah PD tersebut dirasionalkan.Orde dalam persamaan diferensial turunan tertinggi yang terdapatdalam PD setelah PD tersebut dirasionalkan.PDB linier adalah PDB yang memenuhi bentuk pada persamaan(2.2).PDB non-linier adalah PDB yang tidak memenuhi bentuk padapersamaan (2.2)Persamaan diferensial biasa homogen adalah PD yang mempunyaifungsi-fungsi M(x,y) dan N(x,y) homogen berderajat sama.Persamaan diferensial biasa eksak adalah PD yang memenuhipersyaratan pada persamaan (2.21).Persamaan diferensial linier order satu adalah PD yang mempunyaibentuk umum seperti pada persamaan (2.29).Persamaan diferensial Bernoulli adalah PD yang mempunyai bentukumum seperti pada persamaan (2.35).Persamaan diferensial linier order dua adalah PD yang mempunyaibentuk umum seperti pada persamaan (2.57).
Daftar Pustaka
1. Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, 2001, Elementary DifferentialEquations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons,Inc., New York.
2. Rice, B. J. and J. D. Strange, 1994, Ordinary DifferentialEquations with Applications, 3rd Ed., Brooks/Cole Publishing
89
Company, California.
3. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc., NewYork.
4. Russel, T.W.F. and Denn, M.M. 1972. Introduction to ChemicalEngineering Analysis” John Wiley & sons, Inc., New York, 1972.
90
BAB 3PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)BIASA DENGAN METODE DERET DANFUNGSI-FUNGSI KHUSUS
Pada Bab 2 kita telah mempelajari prosedur sistematik dalammembangun penyelesaian persamaan diferensial linier order duadengan koefisien konstan. Pada dasarnya, penyelesaian komplementerberbentuk fungsi eksponensial; yaitu exp(rx), dan fungsi inimerupakan representasi dari deret pangkat, yaitu
Tujuan instruksional umum: Mengingat kembali tentang deret pangkat. Memperkenalkan tentang titik biasa dan singular. Mengaplikasikan metode Frobenius dalam penyelesaian PD biasa Mengaplikasikan persamaan Bessel dalam penyelesaian PD biasa Mengaplikasikan fungsi-fungsi khusus untuk menyelesaikan PD
biasa.
Tujuan instruksional khusus: Mahasiswa dapat mengaplikasikan deret untuk menyelesaikan PD
biasa Mahasiswa dapat menerapkan Persamaan Bessel untuk
menyelesaikan PD biasa Mahasiswa dapat mengaplikasikan Persamaan Bessel yang dimo-
difikasi untuk menyelesaikan PD biasa Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat fungsi Bessel
91
0
3322
!!3!21)exp(
n
nn
nxrxrxrrxrx (3.1)
Oleh karena itu, dalam bab ini kita akan membahas penyelesaianpersamaan diferensial linier order dua dengan menggunakan deretpangkat. Penyelesaian dengan deret ini dapat juga digunakan untukpersamaan diferensial dengan koefisien tidak konstan (variabel). Idedasar dari metode ini sama dengan metode undetermined coefficients;yaitu dengan mengasumsikan bahwa penyelesaian persamaandiferensial tertentu mempunyai ekspansi deret pangkat, dan kemudiankita berusaha menentukan koefisien-koefisien agar memenuhipersamaan diferensial tersebut.
Tetapi, sebelum kita melihat bagaimana deret pangkat dapatdigunakan dalam menentukan penyelesaian persamaan diferensial,terlebih dahulu kita lihat secara ringkas beberapa sifat dasar dari deretpangkat.
3.1 Review Deret PangkatBentuk deret tak berhingga berikut ini
0
002
02010 )()()()(n
nn
nn xxaxxaxxaxxaa
(3.2)
disebut deret pangkat disekitar titik x0, dengan a0, a1, a2, , an, disebut koefisien-koefisien dari deret pangkat dan x0 adalah pusat darideret atau titik dimana deret akan diekspansi. Deret pangkat dalamPers.(3.2) dikatakan konvergen pada titik x bila
0
0 )(limn
nnn
xxa
itu ada (berhingga) pada x, kalau tidak ada disebut divergen. Deret
92
pangkat dalam Pers. (3.2) dikatakan konvergen absolut pada titik xjika deret
0
00
0 )(n
nn
n
nn xxaxxa
konvergen. Jadi, bila suatu deret konvergen absolut maka deret itupasti konvergen juga, namun tidak berlaku sebaliknya.
Untuk setiap deret pangkat ada suatu bilangan R yang harganyalebih besar atau sama dengan nol ( 0R ), yang disebut dengan jari-jari konvergensi, dengan sifat ini bahwa deret dalam Pers. (3.2)konvergen absolut bila ,0 Rxx dan divergen bila .0 Rxx Bila deret konvergen pada semua harga x, maka .R Namun,bila deret konvergen hanya pada x0, maka .0R Deret bisakonvergen atau bisa divergen bila ,0 Rxx lihat Gambar 3.1.
Jadi bila kita dapat menentukan harga R, maka rentangkonvergensi dari suatu deret dapat diketahui, yaitu
)()( 00 RxxRx (3.3)
Gambar 3.1. Interval konvergensi deret pangkat
Juga kita dapat menganalisa titik-titik ujung dari rentang konvergensisecara terpisah untuk mengetahui konvergensi dari deret dalam Pers.(3.2)
x0 R x0
Deretdivergen
Deretkonvergen absolut
Deretdivergen
x0 + R
Deret bisakonvergen atau divergen
93
Salah satu metode yang sangat berguna dalam mengujikonvergensi absolut dari suatu deret adalah test rasio. Test inididefinisikan dengan
nn
nn
nn
n
n xxaxxa
uu
)()(
limlim0
1011
01
01lim xxRa
axxn
n
n
(3.4)
dimana un dan un+1 berturut turut adalah suku ke-n dan ke-(n+1), dan
1
lim
n
n
n aaR (3.5)
Bila 1 deret adalah konvergen; bila 1 deret adalahdivergen; dan bila 1 maka test gagal, maksudnya perilaku derettidak dapat ditentukan dengan test ini dan harus dicari metodepengujian lainnya.
Contoh 3.1.
Tentukanlah jari-jari konvergensi dari deret berikut
0 1n
n
nx (3.6)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan test rasio didapatkan
xnnx
xn
nx
nn
n
n
21lim1
2lim
1
Jadi deret dalam Pers. (3.6) konvergen absolut bila .1x Ini
94
menandakan jari-jari konvergensi .1R Oleh karena itu, dapatdisimpulkan bahwa deret tersebut konvergen absolut jika
,11 x dan divergen bila ;1x atau jika 1x dan.1xKita dapat menguji titik-titik ujung dari rentang
konvergensi secara terpisah, yaitu pada 1x dan .1xPertama kita amati pada 1x deret menjadi
41
31
211
11
0n n
Ini merupakan deret harmoni positif dan suku ke-n tidakmendekati nol dengan n , jadi deret tersebut adalahdivergen. Dan pada titik ujung yang lain, yaitu pada 1xderet menjadi
41
31
211
1)1(
0n
n
n(3.7)
Deret ini berkurang suku demi sukunya dan suku ke-n mendekati noldengan n , jadi deret tersebut adalah konvergen, tetapi tidakkonvergen absolut. Deret dalam Pers. (3.7) dikatakan konvergenbersyarat pada .1x Jadi deret pangkat dalam Pers. (3.6) adalahkonvergen untuk .11 x
Perlu diingat bahwa dalam interval konvergensi, deret pangkatdapat diperlakukan seperti fungsi kontinyu lainnya, misal dapatdidiferensialkan atau diintegralkan suku demi suku dari deret tersebut.Deret hasil diferensiasi atau integrasi dijamin konvergen danmempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret pangkat asli.
Bila )(xf dan )(xg masing-masing merupakan deretpangkat, maka dalam interval konvergensi deret-deret tersebut dapatditambahkan atau dikurangkan suku demi suku, yaitu
95
0
0 ))(()()(n
nnn xxbaxgxf (3.8)
Deret-deret pangkat tersebut juga dapat dikalikan, yaitu
00
00
00 )()()()()(
n
nn
n
nn
n
nn xxcxxbxxaxgxf (3.9)
dimana .022110 babababac nnnnn Selanjutnya, bila,0)( 0 xg deret pangkat dapat dibagi, yaitu
0
0 )()()(
n
nn xxd
xgxf (3.10)
Koefisien dn dapat diperoleh dengan menyamakan koefisien-koefisiendalam hubungan yang ekuivalen,
00
00
00 )()()(
n
nn
n
nn
n
nn xxbxxdxxa
n
n
n
kknk xxbd )( 0
0 0
(3.11)
Bila deret
0
00
0 )()(n
nn
n
nn xxbxxa (3.12)
untuk setiap x. Maka nn ba untuk setiap n. Bila ruas kanan Pers.(3.12) sama dengan nol maka 0na untuk semua n.
3.2 Titik Biasa dan SingularBentuk umum persamaan diferensial linier homogen order dua adalah
96
0)()()( 012
2
2 yxAdxdyxA
dxydxA (3.13)
dengan ),(0 xA ),(1 xA dan )(2 xA adalah koefisien-koefisien daripersamaan diferensial. Misal koefisien-koefisien A0, A1, dan A2
semuanya polinomial yang tidak mempunyai faktor umum, maka titikx0 dikatakan titik biasa (ordinary) dari Pers. (3.13) bila .0)( 02 xANamun, jika ,0)( 02 xA maka x0 dikatakan titik singular. Titiksingular bisa bilangan kompleks.
Bila koefisien-koefisien dari persamaan diferensial bukan dalambentuk polinomial, maka kita perlu memodifikasi definisi titik biasadan singular. Untuk tujuan ini bagikan Pers. (3.13) dengan )(2 xAsehingga persamaan diferensial menjadi dalam bentuk normal, yaitu
0)()(2
2
yxqdxdyxp
dxyd (3.14)
dimana )()()( 21 xAxAxp dan .)()()( 20 xAxAxq Titik x0 dikatakan titik biasa bila kedua fungsi )(xp dan )(xq
adalah analitik, artinya bahwa mereka kedua-duanya dapat diekspansidalam deret pangkat dan konvergen disekitar titik x0. Jika satu ataukedua fungsi tersebut tidak dapat diekspansi dalam deret pangkatdisekitar titik x0, maka x0 dikatakan titik singular.
3.3 Penyelesaian Deret Disekitar Titik BiasaJika x0 merupakan titik biasa dari persamaan diferensial
)()()()( 012
2
2 xfyxAdxdyxA
dxydxA (3.15)
maka penyelesaiannya dapat dinyatakan dalam
97
0
0 )(n
nn xxay (3.16)
Untuk menyelesaikan Pers. (3.15), kita sisipkan Pers. (3.16) danturunan-turunannya ke dalam Pers. (3.15), dan fungsi )(xfdiekspansi ke dalam deret Maclaurin (atau deret Taylor). Kemudianharga an ditentukan dengan menyamakan koefisien-koefisien daripangkat x yang sama. Untuk persamaan diferensial order dua, a0 dana1 adalah konstanta-konstanta sembarang, dan an ditentukan untuk
.2n
Contoh 3.2.
Selesaikan persamaan diferensial berikut
042
2
ydx
yd (3.17)
dengan menggunakan deret pangkat disekitar .0x
Penyelesaian:
Bandingkan persamaan ini dengan Pers. (3.13), diperoleh,1)(2 xA ,0)(1 xA dan ;4)(0 xA dengan demikian setiap
titik adalah titik biasa. Anggap x terletak dalam jari-jarikonvergensi dari deret pangkat dan penyelesaiannya berbentuk
0n
nn xay (3.18)
dengan a0 dan a1 adalah konstanta-konstanta sembarang, yangakan konvergen untuk semua harga x. Diferensialkan Pers.(3.18) dua kali terhadap x, didapatkan
98
0
1
n
nn xan
dxdy
Kita lihat suku pertama dari deret tersebut adalah nol, jadiindeks n harus mulai dari 1.
1
1
n
nn xan
dxdy (3.19)
dan
2
22
2
)1(n
nn xann
dxyd (3.20)
Karena suku pertama adalah nol, maka indeks n mulai dari 2.Dengan mensubstitusikan y dan y dalam Pers. (3.17) denganPers. (3.18) dan (3.20), diperoleh
04)1(02
2
n
nn
n
nn xaxann
Untuk menggabungkan kedua deret tersebut, kita perlu menulisulang deret pertama sehingga indeks dari pangkat x sama. Jadidalam deret pertama, kita merubah indeks penjumlahan ndengan 2n dan n mulai dari nol. Kita dapatkan
04)2)(1(00
2
n
nn
n
nn xaxann
atau
0]4)2)(1[(0
2
n
nnn xaann (3.21)
Indeks penjumlahan n adalah dummy variable, seperti variabeldalam suatu integrasi, sehingga kita dapat merubahnya tanpa
99
mempengaruhi harga penjumlahan. Persamaan (3.21) dipenuhiuntuk semua harga x, jadi koefisien dari xn harus sama dengannol,
04)2)(1( 2 nn aann
)2)(1(4
2 nn
aa nn , n 0, 1, 2, . (3.22)
Persamaan ini disebut hubungan rekursi. Pada Pers. (3.22),setiap persamaan dihubungkan dengan dua persamaansebelumnya. Karena Pers. (3.17) adalah persamaan diferensialorder dua maka ada dua konstanta sembarang, yaitu a0 dan a1.Jadi bila a0 diketahui maka an dapat ditentukan untuk semua xgenap, dan bila a1 diketahui maka an juga dapat ditentukanuntuk semua x ganjil. Pertama kita lihat untuk koefisien-koefisien genap,
!22
24 0
20
2aaa ,
!42
!22
434
434 0
40
22
4aaaa
,
!62
!42
654
654 0
60
44
6aaaa
,
Untuk koefisien-koefisien ganjil,
!32
324 1
21
3aaa
,
!52
!32
544
544 1
40
23
5aaaa
,
100
!72
!52
764
764 1
60
45
7aaaa
,
Sisipkan koefisien-koefisien ini ke dalam Pers. (3.18),menghasilkan
514
404
312
202
10 !52
!42
!32
!22 xaxaxaxaxaay
716
606
!72
!62 xaxa
Dengan mengelompokkan deret-deret yang melibatkan a0 dan a1,diperoleh
!6)2(
!4)2(
!2)2(1
642
0xxxay
!72
!52
!32 765432
1xxxxa
Deret-deret tersebut dapat ditulis dalam bentuk kompak sebagaiberikut
0
12
00
2
0 !)12()2()1(
!)2()2()1(
n
nn
n
nn
nxb
nxay (3.23)
dengan .210 ab Ini adalah penyelesaian Pers. (3.17) dalambentuk deret pangkat yang linearly independent. Deret pangkattersebut dapat diuji konvergensinya dengan rasio test. Kita dapatmengenal bahwa deret pertama dan kedua dalam Pers. (3.23)masing-masing adalah sebagai x2cos dan ,2sin x sehinggaPers. (3.23) dapat ditulis dengan
101
xbxay 2sin2cos 00 (3.24)
Contoh 3.3.
Gunakan deret pangkat untuk menyelesaikan persamaandiferensial berikut ini
xeydx
yd 2
2
(3.25)
dengan kondisi awal: 1)0( y dan 0)0( y .
Penyelesaian:
Persamaan ini mempunyai titik biasa disemua titik, dan anggappenyelesaiannya berbentuk
0n
nn xay (3.26)
Turunan pertama dan kedua dari Pers. (3.26) adalah
1
1
n
nn xan
dxdy (3.27)
dan
2
22
2
)1(n
nn xann
dxyd (3.28)
Persamaan (3.27) mulai dari 1n , karena suku pertama darideret tersebut adalah nol. Dan Pers. (3.28) mulai dari ,2nkarena suku pertama dan kedua dari deret tersebut adalah nol.Deret Maclaurin dari )exp( x adalah
102
0 !)1(
n
nnx
nxe (3.29)
Dengan menyisipkan Pers. (3.26), (3.28) dan (3.29) ke dalamPers. (3.25), diperoleh
002
2
!)1()1(
n
nn
n
nn
n
nn n
xxaxann
Agar deret-deret ini dapat digabungkan, maka deret pertamaperlu ditulis ulang untuk menyamakan indeks dari pangkat x.Gantikan indeks penjumlahan n dengan 2n , didapatkan
0!)1()2)(1(
02
n
nn
nn xn
aann
Persamaan ini dipenuhi bila
0!)1()2)(1( 2
naann
n
nn
atau
)1)(2(!)2()1(
2
nna
na n
n
n , n 0, 1, 2, (3.30)
Dengan menset n 0, 1, 2, 3, dalam hubungan rekursi di atasdiperoleh
!2!21 0
2aa
!3!31
23!31 11
3aaa
103
!4!2!21
341
!41
34!41 002
4aaaa
!5!3!31
451
!51
45!51 113
5aaaa
!6!61
!4561
!61
56!61 004
6aaaa
!7!71
!5671
!71
67!71 115
7aaaa
Dengan demikian, penyelesaian umumnya adalah
5140312010 !5!4!3!3
1!2!2
1 xaxaxaxaxaay
7160
!7!71
!6!61 xaxa
Dengan mengelompokkan deret-deret tersebut dalam suku a0, a1,dan lainnya, didapatkan
53
1642
0 !51
!31
!61
!41
!211 xxxaxxxay
76327
!71
!61
!31
!21
!71 xxxxx
atau
104
642
0 !61
!41
!211 xxxby
753
1 !71
!51
!31 xxxxb
5432
!51
!41
!31
!211
21 xxxxx (3.31)
dengan )21(00 ab dan ).21(11 ab Sebelummemasuk-kan kondisi awal ke Pers. (3.31), kita lihat bahwadiferensial terhadap x adalah
!77
!55
!331
!66
!44
!22 642
1
53
0xxxbxxxby
!55
!44
!33
!221
21 432 xxxx (3.32)
Dengan memasukkan kondisi awal, yaitu 1)0( y dan0)0( y , ke dalam Pers. (3.31) dan (3.32), diperoleh
21
0 b
21
1 b
Oleh karena itu, Pers. (3.31) menjadi
642
!61
!41
!211
21 xxxy
753
!71
!51
!31
21 xxxx
105
5432
!51
!41
!31
!211
21 xxxxx
Deret-deret ini dapat ditulis dalam bentuk kompak sebagaiberikut
00
12
0
2
!)1(
21
!)12()1(
21
!)2()1(
21
n
nn
n
nn
n
nn
nx
nx
nxy
yang dikenal dengan
)sin(cos21 xexxy
Contoh 3.4.
Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan menggunakanderet pangkat
053)1( 2
22 y
dxdyx
dxydx (3.33)
Kondisi awalnya adalah 0)0( y dan 1)0( y .
Penyelesaian:
Koefisien dari Pers. (3.33) adalah polinomial maka singularitasterjadi bila ,01 2 x atau .1x Oleh karena itu, 0xmerupakan titik biasa. Anggap bentuk penyelesaiannya adalah
0n
nn xay (3.34)
Turunan pertama dan kedua dari Pers. (3.34) adalah
106
1
1
n
nn xan
dxdy (3.35)
2
22
2
)1(n
nn xann
dxyd (3.36)
Dengan menyisipkan y dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(3.33), menghasilkan
053)1()1(01
1
2
22
n
nn
n
nn
n
nn xaxanxxannx
atau
22
2 )1()1(n
nn
n
nn xannxann
05301
n
nn
n
nn xaxan
Indeks penjumlahan dari deret kedua dan ketiga dapat dirubahagar mulai dari 0n , karena deret kedua adalah nol untuk
0n dan 1n sedangkan deret ketiga nol untuk .0nKemudian tiga deret terakhir dapat digabungkan menjadi
0]53)1([)1(02
2
n
nn
n
nn xannnxann
atau
0)54()1(0
2
2
2
n
nn
n
nn xannxann
Agar deret-deret ini dapat digabungkan, maka indeks dalamderet pertama harus digeser untuk menyamakan indeks dari
107
pangkat x. Gantikan indeks penjumlahan n dengan 2n ,didapatkan
0])54()2)(1[(0
22
n
nnn xannann
Persamaan ini dipenuhi bila
0)54()2)(1( 22 nn annann
atau
nn anna
25
2 , n 0, 1, 2, . (3.37)
Dengan mengiterasi Pers. (3.37) untuk n 0, 1, 2, 3, , diper-oleh
25 0
2aa
34 1
3aa
815
25
43
43 002
4aaaa
158
34
52
52 113
5aaaa
Penyelesaian umumnya adalah
5140312010 15
88
153
42
5 xaxaxaxaxaay
Dengan mengelompokkan deret-deret tersebut dalam suku a0
108
dan a1, didapatkan
53
142
0 158
34
815
251 xxxaxxay
(3.38)Dengan memasukkan kondisi awal 0)0( y ke dalam Pers.(3.38), menghasilkan
00 a
Sehingga Pers. (3.38) menjadi
53
1 158
34 xxxay (3.39)
Bila Pers. (3.39) didiferensialkan terhadap x, diperoleh
42
1 3841 xxay (3.40)
Dengan memasukkan kondisi awal 1)0( y ke dalam Pers.(3.40), menghasilkan
11 a
Jadi penyelesaian umumnya adalah
53
158
34 xxxy
3.4 Metode FrobeniusKita tidak dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan deretpangkat disekitar titik singuler. Namun, modifikasi deret pangkatdapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan disekitar titik
109
singuler tertentu. Tinjau bentuk umum persamaan diferensial linierhomogen order dua berikut ini
0)()()( 012
2
2 yxAdxdyxA
dxydxA (3.41)
Dengan membagi persamaan tersebut dengan )(2 xA , diperolehpersamaan dalam bentuk normal
0)()(2
2
yxqdxdyxp
dxyd (3.42)
dimana )()()( 21 xAxAxp dan .)()()( 20 xAxAxq
Persamaan (3.42) dikatakan singuler pada titik x0 jika baik(atau kedua-duanya)
)(lim0
xpxx
atau
)(lim0
xqxx
. (3.43)
Dengan kata lain, suatu titik x0 dikatakan singuler jika fungsi )(xpatau )(xq atau kedua fungsi tersebut tidak dapat diekspansi dalamderet pangkat disekitar titik x0.
Titik singuler dapat dikelompokkan dalam titik singuler regulerdan titik singuler irreguler. Titik singuler x0 dikatakan reguler jikakedua
)()(lim 00xpxx
xx
dan )()(lim 2
00xqxx
xx
(3.44)
ada (berhingga) pada .0xx Sebaliknya, titik x0 dikatakanirregular. Dengan kata lain, titik singuler x0 dikatakan reguler jikakedua fungsi
)()( 0 xpxx dan )()( 20 xqxx (3.45)
dapat diekspansi dalam deret pangkat disekitar titik x0. Jika tidakdapat diekspansi titik tersebut dikatakan irregular.
110
Jika x0 merupakan titik singuler reguler dari Pers. (3.41), makapenyelesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk
0
00
00 )()()(n
rnn
n
nn
r xxaxxaxxy , 00 a (3.46)
Deret ini disebut deret Frobenius dengan indeks r. Indeks r ini tidakmesti suatu bilangan bulat. Adapun prosedur penyelesaian Pers. (3.41)adalah sebagai berikut:
1. Anggap penyelesaiannya dalam bentuk deret Frobenius, Pers.(3.46).
2. Sisipkan deret Frobenius dan turunan-turunanya ke dalampersamaan diferensial dan sederhanakan.
3. Set koefisien dari pangkat )( 0xx terkecil sama dengannol. Persamaan yang diperoleh disebut persamaan indicial,dan tentukan harga-harga r. Pada umumnya persamaanindicial berupa persamaan kuadrat. Jadi ada dua akar daripersamaan indicial, yaitu r1 dan r2, yang dikenal denganpangkat singulariti.
4. Untuk setiap harga r, tentukan koefisien-koefisien an denganmenggunakan hubungan rekursi.
Dengan menggunakan deret Frobenius dalam menyelesaikanPers. (3.41), maka dapat dipastikan bahwa penyelesaian pertamaselalu ada, umumnya untuk akar persamaan indicial yang lebih besar.Namun, dalam mendapatkan penyelesaian kedua yang linearlyindependent akan tergantung pada sifat dari akar-akar persamaanindicial, yaitu r1 dan r2. Ada tiga kasus yang terjadi dalampermasalahan ini:
Kasus I. Harga r berbeda dan selisihnya bukan bilangan bulat(do not differ by an integer)
Kasus II. Harga r sama
111
Kasus III. Harga r berbeda dan selisihnya bilangan bulat(differ by an integer); ada dua keadaan dalam kasusini, yang ditunjukkan dalam Kasus IIIa dan IIIb.
3.4.1 Kasus I: Akar-akarnya berbeda dan selisihnya bukanbilangan bulat
Bila ,21 Nrr dengan N adalah bilangat bulat (yaitu,2,1,0 N ), selalu akan menghasilkan dua penyelesaian yang
linearly independent dalam bentuk
0
11 )()( 1
n
nn
r xraxxy (3.47)
0
22 )()( 2
n
nn
r xraxxy (3.48)
Koefisien-koefisien )( 1ran dan )( 2ran masing-masing dihitungpada harga akar r1 dan r2. Karena y1 dan y2 adalah linearly independent,maka penyelesaian umumnya adalah
)()( 21 xyxyy (3.49)
Contoh 3.5.
Tentukan penyelesaian umum dengan deret disekitar 0x daripersamaan diferensial berikut ini
02)1(2 2
2
ydxdyx
dxydx (3.50)
Penyelesaian:
Bila persamaan ini dirubah dalam bentuk normal seperti Pers.(3.42), didapatkan
112
xxxp
21)( dan
xxq 1)(
Jelas terlihat bahwa pada 0x adalah titik singuler, karena
xxxp
xx 21lim)(lim
00, dan
xxq
xx
1lim)(lim00
.
Juga dapat dibuktikan bahwa titik 0x adalah titik singularreguler, karena
21
21lim)(lim
00
xxxxpx
xx, dan
01lim)(lim 2
0
2
0
xxxqx
xx.
Anggap penyelesaian deretnya berbentuk
0n
rnn xay (3.51)
Diferensialkan Pers. (3.51) dua kali terhadap x, didapatkan
0
1)(n
rnn xarn
dxdy (3.52)
0
22
2
)1)((n
rnn xarnrn
dxyd (3.53)
Dengan menyisipkan y dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(3.50), diperoleh
113
0
1
0
1 )()1)((2n
rnn
n
rnn xarnxarnrn
02)(00
n
rnn
n
rnn xaxarn
Dengan menggeser indeks dalam deret ketiga dan keempat darin menjadi 1n , kemudian menggabungkannya dengan duaderet pertama menghasilkan
0)3()122)((1
11
0
1
n
rnn
n
rnn xarnxarnrn
Jika satu suku pertama dikeluarkan dari deret pertama dankemudian deret-deretnya digabungkan, didapatkan
1
10 )122)([()12(
nn
r arnrnxarr
0])3( 11
rnn xarn (3.54)
Dengan menyamakan koefisien dari pangkat x terkecil, 1rx ,sama dengan nol menghasilkan persamaan indicial
0)12( 0 arr (3.55)
karena 00 a , maka
0)12( rr
01 r dan 212 r
Karena akar-akarnya berbeda dan 21 rr bukan bilangan bulat,kita dapat memperoleh dua penyelesaian yang linearly
114
independent dari Pers. (3.50) dalam bentuk deret Frobenius,seperti Pers. (3.47) dan (3.48).
Substitusikan suku pertama dalam Pers. (3.54) denganPers. (3.55), diperoleh
0])3()122)([(1
11
n
rnnn xarnarnrn
Persamaan ini dipenuhi bila
0)3()122)(( 1 nn arnarnrn
)122)(()3( 1
rnrnarna n
n , n 1, 2, 3, . (3.56)
Persamaan ini merupakan hubungan rekursi. Bila ,01 rrmenghasilkan
)12()3( 1
nnana n
n (3.57)
Iterasi dari formula an diperoleh
1n , 01 2 aa
2n ,332
012
aaa
3n , 03 a
Karena ,03 a maka 0na untuk .3n Jadi penyelesaianpertama adalah
33
22101 )( xaxaxaaxy
115
03
2 2000 xaxaa
321
2
0xxa (3.58)
Untuk penyelesaian kedua yang linearly independent ambil212 rr , menghasilkan hubungan rekursi, dari Pers. (3.56)
12
112
5
)12(2)25(
2)()(
nn
n bnn
nnn
bnb (3.59)
Disini digunakan nb (pengganti na ) untuk membedakanpenyelesaian kedua dengan penyelesaian pertama.
Untuk 1n ,232
3 001
bbb
2n ,4054
1 012
bbb
3n ,168076
1 023
bbb
Jadi penyelesaian kedua adalah
)()( 2210
212 xbxbbxxy
30200
021
1680402xbxbxbbx
3221
0 16801
401
211 xxxxb
Akhirnya, penyelesaian umum dari Pers. (3.47) adalah
116
3221
0
2
0 16801
401
211
321 xxxxbxxay
3.4.2 Kasus II: Akar-akarnya samaBila akar-akar persamaan indicial sama, ,21 rr jelas bahwaprosedur yang digunakan di atas hanya akan menghasilkan satupenyelesaian dalam bentuk deret Frobenius, yaitu penyelesaianpertama. Penyelesaian kedua dapat diperoleh dengan menganggapbahwa dua akar tersebut berbeda dan mengambil limit untuk akarkedua mendekati akar pertama melalui variabel r. Penyelesaianlengkap untuk akar-akar berbeda dapat ditulis
),(),( 2010 rxubrxuay (3.60)
),(),(),()( 120100 rxurxubrxuba
12
12120100
),(),()(),()(
rrrxurxurrbrxuba (3.61)
Dengan menganggap konstanta-konstanta
Aba 00 dan Brrb )( 120
Persamaan (3.61) menjadi
12
12
121),(),(
lim),(rr
rxurxuBrxuAyrr
11),(
rrruBrxuAy
(3.62)
Persamaan (3.62) merupakan penyelesaian lengkap untuk kasus akar-akar persamaan indicial sama.
117
Metode lain dalam mendapatkan penyelesaian kedua, ),(2 xydalam kasus akar-akar persamaan indicial sama adalah denganpersamaan
dx
xy
dxxpxyxy 2
112 )]([
)(exp)()( (3.63)
Contoh 3.6.
Selesaikan persamaan diferensial berikut
022
2
ydxdy
dxydx (3.64)
dengan metode Frobenius disekitar titik .0x
Penyelesaian:
Dengan memasukkan deret Frobenius
0n
rnn xay (3.65)
dan turunan-turunannya, Pers. (3.52) dan Pers. (3.53), ke dalamPers. (3.64), didapatkan
0
1
0
1 )()1)((n
rnn
n
rnn xarnxarnrn
020
n
rnn xa
Dengan menggeser indeks dalam deret ketiga dari n menjadi1n , diperoleh
118
02)(1
11
0
12
n
rnn
n
rnn xaxarn
Jika satu suku pertama dikeluarkan dari deret pertama, persamaannyamenjadi
0]2)[(1
11
2120
n
rnnn
r xaarnxra (3.66)
Dengan menset koefisien 1rx sama dengan nol, menghasilkanpersamaan indicial
020 ra
karena 00 a , maka ,02 r sehingga .021 rr Bila koefisien1rnx dalam Pers. (3.66) diset sama dengan nol menghasilkan
hubungan rekursi
02)( 12 nn aarn
21
)(2
rnaa n
n , n 1, 2, 3, (3.67)
Karena pada penyelesaian kedua menurut Pers. (3.62) memerlukanturunan terhadap r, sekarang kita tidak akan menggantikan harga
0r ke dalam formula rekursi (3.67). Bila ,1n Pers. (3.67)menjadi
20
1 )1(2
raa
Untuk mendapatkan hubungan umum antara an dan a0, dapat ditulisdalam bentuk perkalian berikut ini
119
0
1
3
2
2
1
10 aa
aa
aa
aa
aa
n
n
n
n
n
nn
2222 )1(2
)2(2
)1(2
)(2
rrnrnrn
2222 )1()2()1()(2)1(
rrnrnrn
nn
(3.68)
Fungsi ),( rxu dapat diperoleh dengan memasukkan Pers. (3.68)kedalam deret umum (3.65), diperoleh
022220 )1()2()1()(
2)1(),(n
rnnn
rrnrnrnxarxu
(3.69)
Bila 0r , )0,(xu merupakan penyelesaian pertama dari Pers.(3.64), yaitu
0222201 1)2()1(
2)1()0,(n
nnn
nnnxaxuy
020 )!(
2)1(n
nnn
nxa (3.70)
Penyelesaian kedua dapat diperoleh dari Pers. (3.62), yaitu
12
rrruy
0022220 )1()2()1()(
2)1(
rn
rnnn
rrnrnrnx
rb
(3.71)
Disini digunakan b0 untuk membedakan dari penyelesaian pertama.Diferensial Pers. (3.71) dapat diselesaikan dengan menggunakan dua
120
hubungan:
(i) xrnx rn ln)(exp (3.72)
(ii) )()()()()()( 1321 rfrfrfrfrfrg kk (3.73)
Untuk mendiferensialkan hasil kali fungsi seperti pada Pers. (3.73)dapat menggunakan properti logaritma, yaitu
1321 lnlnlnlnlnln kk fffffg (3.74)
Persamaan ini dapat didiferensialkan satu per satu
1321 lnlnlnlnln)(ln kk fffffdrdg
drd
(3.75)
dimana
drdg
gg
drd
1)(ln
dan
1
11
11
1)(lnff
drdf
ff
drd
,
2
22
22
1)(lnff
drdf
ff
drd
, dst.
sehingga Pers. (3.75) dapat ditulis menjadi
1
1
2
2
1
1)(k
k
k
k
ff
ff
ff
ffrg
drdg
(3.76)
Anggap
121
2222 )1()2()1()()(
rrnrnrnxrg
rn
121 nn ffff (3.77)
dan bandingkan Pers. (3.77) dengan Pers. (3.73), didapatkan (mulaidari fungsi yang terkecil)
21 )1(1)(r
rf
,rf
f
12
1
1
22 )2(1)(
rrf
,
rff
22
2
2
23 )3(1)(r
rf
,rf
f
32
3
3
2)(1)(
rnrf n ,
rnff
n
n
2
xrnxrf rnn ln)(exp)(1 , x
ff
n
n ln1
1
Sisipkan persamaan-persamaan ini kedalam Pers. (3.71),menghasilkan
0222202 )1()2()1()(
2)1(n
rnnn
rrnrnrnxby
0
ln23
22
21
2
r
xrnrrr
122
0222202 1)2()1(
2)1(n
nnn
nnnxby
x
nln2
32
222
0202 )!(
2)1(lnn
nnn
nxxby
02
11
01
31
211
)!(2)1(
n
nnn
nnxb (3.78)
Fungsi penjumlahan parsial, fungsi di dalam kurung pada deret keduaPers. (3.78), dikenal dengan deret Harmoni
nn 1
31
211)( (3.79)
Dengan menganggap
,0)0( ,1)1( ,211)2( ,
31
211)3( dst., (3.80)
maka untuk menjadikan deret kedua Pers. (3.78) tetap mulai dari0n , gantikan n dengan 1n . Sehingga penyelesaian kedua
menjadi
0202 )!(
2)1(lnn
nnn
nxxby
0
2
122
0 11
31
211
]!)1[(2)1(
n
nnn
nnxb
123
Untuk memudahkan pemahaman deret Harmoni dalam persamaan diatas ditulis dengan
0
1
12
122
00
2021
]!)1[(2)1(
)!(2)1(ln
n
n
k
nnn
n
nnn
knxb
nxxby (3.81)
atau
0202 )!(
2)1(lnn
nnn
nxxby
31
211
)!3(16
211
)!2(84 2
3
2
2
0xxxb
320
020 27
2234)!(2)1(ln xxxb
nxxb
n
nnn
(3.82)
Penyelesaian lengkap dari Pers. (3.64) adalah
020
020 )!(
2)1(ln)!(2)1(
n
nnn
n
nnn
nxxb
nxay
32
0 272234 xxxb
320
0200 27
2234)!(2)1()ln( xxxb
nxxbay
n
nnn
Penyelesaian kedua juga dapat ditentukan dengan menggunakanPers. (3.63). Namun, sebelumnya persamaan diferensial (3.64)dirubah dulu ke dalam bentuk normal (standard), menjadi
124
0212
2
yxdx
dyxdx
yd (3.83)
Persamaan (3.63) adalah
dx
xy
dxxpxyxy 2
112 )]([
)(exp)()(
Dengan membandingkan Pers. (3.83) dengan persamaan diferensialnormal diperoleh
xxp 1)( , xdx
xdxxp ln1)(
x
xdxxp 1)lnexp()(exp
Jadi,
21
12 )]([)()(
xyxdxxyxy (3.84)
Dengan menguraikan y1 tanpa menggunakan konstanta integrasi,didapatkan
321 9
221 xxxy
Bila dikuadratkan menghasilkan
3221 9
40641 xxxy
dan bila hasil ini dibagi oleh satu
125
322
1
940641
1)(
1
xxxy
Jika ruas kanan persamaan ini dibagi, didapatkan
322
1 91841041
)(1 xxx
y
Dengan menyisipkan persamaan ini ke dalam Pers. (3.84), diperoleh
dxxx
xyy 2
12 91841041
32
1 2718454ln xxxxy
3232
01 2718454
9221ln xxxxxxbxy
32
01 272234ln xxxbxy
Bandingkan hasil ini dengan metode sebelumnya, Pers. (3.82).
3.4.3 Kasus III: Akar-akarnya berbeda dan selisihnyabilangan bulat
Anggap bahwa 21 rr dan ,21 Nrr dimana N adalah bilanganbulat positif (yaitu N 1, 2, 3, ). Dalam kasus ini kita selalumendapatkan satu penyelesaian dalam deret Frobenius, yaitupenyelesaian pertama, dengan menggunakan akar r1 yang lebih besar.Sedangkan penyelesaian kedua dapat diperoleh baik denganmenggunakan Pers. (3.63) ataupun prosedur yang sama dengan KasusII, yaitu
126
221 ),()(),( rrrxurrr
BrxuAy
(3.85)
Namun, dalam Kasus III ini ada dua masalah yang timbul padahubungan rekursi untuk koefisien .Na Pertama, ketika harga akar rterkecil dimasukkan ke dalam formula rekursi akan menghasilkankoefisien Na tak berhingga. Untuk hal ini penyelesaian kedua dapatdiperoleh dari Pers. (3.85). Kedua, bila indeks harga r terkecildimasukkan ke dalam hubungan rekursi, maka koefisien Na tidakdapat ditentukan. Dalam hal ini koefisien Na diperlakukan sebagaisuatu konstanta integrasi sebagaimana yang dilakukan untuk a0, danpenyelesaian lengkap baik y1 dan y2 dapat diperoleh denganmenggunakan harga akar terkecil r2, dengan mengambil a0 dan Nasebagai dua konstanta integrasi sembarang.
Contoh 3.7.
Gunakan metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaandiferensial berikut disekitar titik .0x
02
2
ydx
ydx (3.86)
Penyelesaian:
Anggap penyelesaiannya berbentuk
0n
rnn xay (3.87)
Dengan menyisipkan Pers. (3.87) dan turunan-turunannya, Pers.(3.52) dan (3.53), ke dalam Pers. (3.86) menghasilkan
127
0)1)((00
1
n
rnn
n
rnn xaxarnrn
Dengan menggeser indeks dalam deret kedua dari n menjadi1n , diperoleh
0)1)((1
11
0
1
n
rnn
n
rnn xaxarnrn
dan bila satu suku pertama dari deret pertama dikeluarkan,kedua deret tersebut akan mulai dari n yang sama, yaitu ,1nkemudian dapat digabungkan menjadi
0])1)([()1(1
11
10
n
rnnn
r xaarnrnxarr (3.88)
Persamaan indicial diperoleh dengan menyamakan koefisien1rx sama dengan nol,
0)1( 0 arr
Persamaan ini dipenuhi bila
0)1( rr
sehingga akar-akarnya adalah 11 r dan .02 r Dan bilakoefisien 1rnx dalam Pers. (3.88) juga diset sama dengan nol,diperoleh hubungan rekursi
0)1)(( 1 nn aarnrn
atau
)1)((1
rnrnaa n
n , n 1, 2, 3, (3.89)
128
Akar-akar persamaan indicial di atas adalah berbeda danselisihnya 121 Nrr , yaitu bilangan bulat positif. Dengandemikian bila harga akar terkecil, yaitu ,02 r dimasukkan kedalam Pers. (3.89), ada dua kemungkinan yang terjadi untukkoefisien .1aaN Untuk 1n dan ,0r hubungan rekursi(3.89) menjadi
0)101)(01(
001
aaa
Namun, untuk harga akar yang lebih besar, yaitu ,11 rhubungan rekursi (3.89) tetap berlaku.Bila ,1n hubungan rekursi (3.89) menjadi
rraa
)1(0
1
Hubungan antara an dan a0 adalah
0
1
3
2
2
1
10 aa
aa
aa
aa
aa
n
n
n
n
n
nn
)2)(1(1
)1)((1
rnrnrnrn
rrrnrn )1(1
)3)(2(1
rrrnrnrnrn
n
2222 )1()3()2()1)(()1(
(3.90)
Bila ,1r Pers. (3.90) menjadi
)1()2()2()1())(1()1(
22220
nnnnaa n
n
129
!!)1()1(
nn
n
(3.91)
Jadi penyelesaian pertamanya adalah
0
10
1 !!)1()1(
n
nn
nnxay
)!3)(!4()!2)(!3()!1)(!2(
432
0xxxxa
432
0 1441
121
21 xxxxa
Fungsi ),( rxu dapat diperoleh dengan memasukkan Pers. (3.90)kedalam deret umum (3.87), diperoleh
1
22220
)1()3()2()1)(()1(
),(n
rnn
rrrnrnrnrnxbrxu
(3.92)
Disini digunakan b0 untuk membedakan dengan penyelesaianpertama. Penyelesaian kedua ditentukan dengan menggunakanPers. (3.85)
222 ),()( rrrxurrr
y
0),(
rrxurr
(3.93)
Substitusikan ),( rxu dalam Pers. (3.93) dengan Pers. (3.92),didapatkan
130
012222
02 )1()3()2()1)((
)1(
rn
rnn
rrnrnrnrnxb
ry
(3.94)
Misal,
2222 )1()3()2()1)(()(
rrnrnrnrnxrg
rn
(3.95)
Diferensiasi persamaan ini terhadap r dilakukan seperti padacontoh sebelumnya, yaitu
1
1
2
2
1
1)(n
n
n
n
ff
ff
ff
ffrg
drdg
dimana:
21 )1(1)(r
rf
,rf
f
12
1
1
22 )2(1)(
rrf
,
rff
22
2
2
23 )3(1)(r
rf
,rf
f
32
3
3
)(1)(
rnrf n ,
rnff
n
n
1
xrnxrf rnn ln)(exp)(1 , x
ff
n
n ln1
1
Sisipkan persamaan-persamaan ini ke dalam Pers. (3.94),
131
menghasilkan
1222202 )1()3()2()1)((
)1(n
rnn
rrnrnrnrnxby
0
ln13
22
21
2
r
xrnrrr
122220 )1()3()2()1(
)1(n
nn
nnnnxb
x
nln1
32
222
nnnxb
nnxxb
n
nn
n
nn
21
31
211
!)1(!2)1(
!)1(!)1(ln
10
10
(3.96)
Agar deret-deret ini mulai dari ,0n gantikan n dengan 1n
0
11
02 !!)1()1(ln
n
nn
nnxxby
)1(21
31
211
!!)1(2)1(
0
11
0 nnnxb
n
nn
0
11
02 !!)1()1(ln
n
nn
nnxxby
)1(211
!!)1(2)1(
10
11
0 nknnxb
n
kn
nn
(3.97)
132
0
11
02 !!)1()1(ln
n
nn
nnxxby
61
211
!2!32
411
!22
21
!12 32
0xxxb
320
0
11
0 185
45
!!)1()1(ln xxxb
nnxxb
n
nn
Penyelesaian lengkapnya adalah
0
11
00
10
!!)1()1(ln
!!)1()1(
n
nn
n
nn
nnxxb
nnxay
32
0 185
45 xxxb
Contoh 3.8.
Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan metodeFrobenius disekitar titik .0x
02)3(2
2
ydxdyx
dxydx (3.98)
Penyelesaian:Anggap penyelesaiannya berbentuk
0n
rnn xay (3.99)
Dengan mendiferensialkan deret ini dua kali terhadap x,kemudian menyisipkan y dan turunan-turunannya tersebut kedalam Pers. (3.98), diperoleh
133
0
1
0
1 )()3()1)((n
rnn
n
rnn xarnxxarnrn
020
n
rnn xa
0)2()4)((00
1
n
rnn
n
rnn xarnxarnrn
Dengan menggeser indeks dalam deret kedua dari n menjadi1n , didapatkan
0)3()4)((1
11
0
1
n
rnn
n
rnn xarnxarnrn
dan dengan mengeluarkan satu suku pertama dari deret pertama,persamaannya menjadi
0)3()4)(()4(1
11
10
n
rnnn
r xarnarnrnxarr
(3.100)Bila koefisien 1rx diset sama dengan nol, diperoleh
0)4( 0 arr
karena ,00 a maka didapatkan akar-akarnya adalah 41 rdan .02 r Bila koefisien 1rnx dalam Pers. (3.100) jugadiset sama dengan nol menghasilkan hubungan rekursi
0)3()4)(( 1 nn arnarnrn
atau
1)4)((3
nn arnrn
rna , n 1, 2, 3, (3.101)
134
Bila ,0r
0)4(3 a
nnnan
(3.102)
Untuk ,1n
001 32
)3()1(2 aaa
2n : 012 61
)2()2(1 aaa
3n : 0)1()3(
023
aa
4n :00
)0()4(1
34 aa
Karena selisih akar-akar persamaan indicial adalah,421 Nrr yaitu bilangan bulat positif, dan 4aaN
tidak dapat didefinisikan, maka a4 dianggap sebagai suatukonstanta integrasi. Penyelesaian lengkap untuk kasus ini dapatdiperoleh dengan hanya menggunakan akar persamaan indicialyang terkecil, yaitu .0r
Iterasi hubungan rekursi (3.102) untuk 5n :
Untuk :5n 445 52
)1()5(2 aaa
6n : 456 101
)2()6(3 aaa
7n : 467 1052
)3()7(4 aaa
Penyelesaian lengkapnya adalah
135
)( 77
66
55
44
33
2210 xaxaxaxaxaxaxaaxy r
Karena a4 dianggap sebagai suatu konstanta integrasi, makamulai dari 4n konstanta integrasi ditulis dalam term a4. Jadi,penyelesaiannya adalah
7654
42
0 1052
101
52
61
321 xxxxaxxay
3.5 Fungsi-Fungsi KhususAda beberapa bentuk khusus dan nama tertentu dari persamaandiferensial biasa dengan koefisien variabel dimana penyelesaiannyasering ditabulasi di dalam handbook matematika. Beberapa bentukdiantaranya adalah
0)( 222
22 ypx
dxdyx
dxydx (3.103)
0)(])1([)1( 2
2
ynbndxdyxba
dxydxx (3.104)
0)1(2)1( 2
22 ynn
dxdyx
dxydx (3.105)
Persamaan ini berturut-turut disebut persamaan Bessel order p,polinomial Jacobi order n, dan persamaan Legendre order n. Karenapersamaan Bessel seringkali ditemui dalam bidang Teknik Kimia,maka untuk selanjutnya kita hanya akan mempelajari persamaanBessel dan penyelesaiannya.
3.5.1 Persamaan BesselPersamaan diferensial (3.103) dikenal sebagai persamaan Bessel order
136
p, dimana p adalah konstanta positif atau nol )0( p . Penyelesaiandari persamaan Bessel order p dinamakan fungsi Bessel order p.
Karena 0x merupakan titik singuler reguler dari persamaanBessel, kita tahu bahwa sekurang-kurangnya ada satu penyelesaiandalam bentuk deret Frobenius
0n
rnn xay . (3.106)
Dengan mendiferensialkan persamaan ini dua kali terhadap x,kemudian memasukkan y dan turunan-turunanya ke dalam Pers.(3.103), diperoleh
0
2
00)()1)((
n
rnn
n
rnn
n
rnn xaxarnxarnrn
00
2
n
rnn xap
Dengan menggeser indeks dalam deret ketiga dari n menjadi 2n ,didapatkan
0]))([(2
20
2
n
rnn
n
rnn xaxaprnrn
dan bila dua suku pertama dikeluarkan dari deret pertama, kedua derettersebut akan mulai dari n yang sama, yaitu ,2n kemudian keduaderet tersebut dapat digabungkan
rr xaprxapr 11
220
22 ])1[()(
0])[(2
222
n
rnnn xaaprn (3.107)
Dengan menyamakan koefisien dari pangkat x terkecil, rx , samadengan nol menghasilkan persamaan indicial
137
0)( 022 apr
karena 00 a , maka
022 pr pr 1 dan pr 2 (3.108)
Selisih antara dua akar persamaan indicial, 21 rr , adalah p2 danjenis penyelesaiannya akan tergantung pada sifat harga p.
Harga 1a diperoleh dengan menyamakan koefisien rx 1
sama dengan nol.
0])1[( 122 apr
0)1)(1( 0 aprpr (3.109)
Karena pr dan 0p , maka ,01 pr namun untuk kasuskhusus bila 2
1p dan 21r , .01 pr Oleh karena itu,
untuk memenuhi Pers. (3.109)
01 a (3.110)
Dan bila koefisien rnx dalam Pers. (3.107) juga diset sama dengannol, diperoleh hubungan rekursi
0])[( 222 nn aaprn
atau
))((2
prnprnaa n
n
, n 2, 3, 4, (3.111)
Dari Pers. (3.111) terlihat bahwa bila ,01 a maka.0753 aaa Jadi semua koefisien ganjil sama dengan nol,
sehingga kedua penyelesaian Pers. (3.103) hanya terdiri dari fungsigenap. Dengan demikian, n diganti dengan m2 dan hubunganrekursinya menjadi
138
)2)(2(22
2 prmprmaa m
m
, m 1, 2, 3, (3.112)
Penyelesaian pertama untuk ,pr dan karena m adalahbilangan bulat positif, penyebut dari persamaan diatas tidak akanmenjadi nol untuk setiap harga m. Jadi hubungan rekursi untuk pr adalah
)(2)22(2 22222
2 pmma
pmmaa mm
m
(3.113)
Untuk 1m ,
)1(220
2 paa
Hubungan antara ma2 dan 0a adalah
0
2
42
22
22
2
0
2
aa
aa
aa
aa
m
m
m
mm
)1(21
)1(221
)1)(1(21
)(21
2222 pppmmpmm
)1(21
)1)(1(21
)(21
222 ppmmpmm
)1)(2()1()1)(2()1(
pppp
!)(!2!)1(
2 pmmp
m
m
atau dapat juga ditulis
139
)1(!2)1()1(
20
2
pmm
paa m
m
m (3.114)
dimana )1( p adalah fungsi Gamma (akan dibahas dalam Bab 4).Penyelesaian pertama persamaan Bessel adalah
0
22
01 )1(!2
)1()1(m
pmm
m
xpmm
pay
pm
m
mp x
pmmpay
2
001 2)1(!
)1()1(2
pm
m
m xpmm
Cy
2
011 2)1(!
)1( (3.115)
Fungsi Bessel jenis pertama order p didefinisikan dengan
pm
m
m
px
pmmxJ
2
0 2)1(!)1()( (3.116)
Jadi penyelesaian pertama Pers. (3.103) adalah
)()( 11 xJCxy p (3.117)
Bentuk penyelesaian kedua, untuk ,pr tergantung apakahharga p bilangan bulat atau bukan, dan ada tiga kemungkinanpenyelesaiannya, yang sesuai dengan kasus pada metode Frobenius.
1. Kasus I (2p bukan bilangan bulat maupun nol)Dalam hal ini penyelesaian kedua diperoleh dari penyelesaian pertamadengan menggantikan p pada Pers. (3.117) dengan .p
)()( 22 xJCxy p (3.118)
140
dimanapm
m
m
px
pmmxJ
2
0 2)1(!)1()( (3.119)
Jadi, penyelesaian lengkap persamaan Bessel (3.103) adalah
)()( 21 xJCxJCy pp (3.120)
2. Kasus II (p 0)Persamaan (3.103) menjadi
022
22 yx
dxdyx
dxydx (3.121)
Persamaan ini disebut persamaan Bessel order nol. Penyelesaianpersamaan ini kembali ke Pers. (3.108) dan ambil harga ,0pdiperoleh
02 r
yang mana mempunyai akar-akar sama, yaitu, .021 rrDengan memasukkan 0p ke dalam Pers. (3.116),
didapatkan
m
m
m xm
xJ2
020 2)!(
)1()(
(3.122)
Persamaan (3.122) merupakan fungsi Bessel jenis pertama order nol.Penyelesaian pertama persamaan Bessel order nol adalah
)()( 011 xJCxy (3.123)
Hubungan rekursi untuk 0p diperoleh dari Pers. (3.112), yaitu
141
222
2 )2( rmaa m
m
(3.124)
Bila ,1m
20
2 )2(
r
aa
Sehingga hubungan antara ma2 dan 0a adalah
2220
2
)2()22()2()1(
rrmrma
a mm
(3.125)
Dengan menggunakan metode Frobenius untuk kasus akar-akar rsama, dalam hal ini ,021 rr penyelesaian kedua didapatkan dari
02
),(
rrrxuy
dimana
0
222
20
)2()22()2()1(
),(m
rmm
rrmrmxbrxu
(3.126)
dan hasilnya adalah
0
2
20021
31
211
2)!()1(ln)(
m
mm
mx
mxxJby
(3.127)
dimana seperti sebelumnya
m
k kmm
1
1131
211)( (3.128)
142
harga untuk 0m dianggap .0)0( Karena itu agar deret keduadari Pers. (3.127) dapat mulai dari 0m , gantikan m dengan 1m ,menghasilkan
0
1
1
22
2
1
0021
2!)1()1(ln)(
m
m
k
mm
kx
mxxJby (3.128)
Pernyataan dalam kurung kurawal Pers. (3.128) merupakan bentukNeumann dari penyelesaian kedua, tetapi bentuk yang seringdigunakan dan ditabulasikan adalah bentuk Weber. Bentuk Weberdidapatkan dengan jalan menambahkan )()2ln( 0 xJ kedalambentuk Neumann dan hasilnya dikalikan dengan 2 .
)1(
2!)1()1(2)(
2ln2)(
22
02
1
00
mxm
xJxxYm
m
m
(3.129)
dimana: )(0 xY bentuk Weber dari fungsi Bessel jenis kedua ordernol konstanta Euler, yang didefinisikan
665215577,0ln131
211lim
m
mm (3.130)
1
1
11
131
211)1(
m
k kmm (3.131)
Penyelesaian kedua adalah
)(022 xYCy (3.132)
dan penyelesaian lengkap Pers. (3.121):
)()( 0201 xYCxJCy (3.133)
143
3. Kasus III (p bilangan bulat)Bila 1m , hubungan rekursi (3.112) menjadi
)2)(2(0
2 prpraa
sehingga hubungan antara ma2 dan 0a adalah
)22)(22)(2)(2()1(
0
2
prmprmprmprma
a mm
)2)(2(1
prpr
(3.134)
Bila pr disubstitusikan ke dalam hubungan rekursi(3.112) didapatkan
)22(222
2 pmmaa m
m
Untuk ,1m .2 a Oleh karena itu penyelesaian kedua Pers.(3.103) diperoleh dengan menggunakan metode Frobenius untukKasus III. Hasilnya adalah
)(22 xYCy p (3.135)
dengan
pmp
mpp
xmmpxJxxY
21
0 2!!)1(1)(
2ln2)(
)()(2!)(!
)1(12
0pmmx
pmm
pm
m
m
(3.136)
dimana seperti sebelumnya
144
mm 1
31
211)(
harga untuk 0m dianggap ,0)0( dan
pmpm
131
211)( (3.137)
)(xYp adalah bentuk Weber dari fungsi Bessel jenis kedua order p.Bila ,0p jumlah dari suku kedua Pers. (3.136) dianggap samadengan nol, dan Pers. (3.136) tereduksi menjadi Pers. (3.129).
Penyelesaian lengkap Pers. (3.103) adalah
)()( 21 xYCxJCy pp (3.138)
3.5.2 Persamaan Bessel Yang DimodifikasiBentuk lain dari persamaan diferensial yang dapat diselesaikandengan bantuan fungsi Bessel adalah
0)( 222
22 ypx
dxdyx
dxydx (3.139)
Persamaan ini diperoleh dari persamaan Bessel (3.103) denganmenggantikan x dengan ix, dimana 12 i . Penyelesaian Pers.(3.139) dapat ditulis sebagai berikut:
Bila p bukan bilangan bulat maupun nol, maka
)()( 21 ixJCixJCy pp (3.140)
Bila 0p atau bilangan bulat, maka
)()( 21 ixYCixJCy pp (3.141)
145
Pada persamaan diferensial order dua dengan koefisien konstanapabila persamaan pembantu mempunyai akar-akar kompleks, makapenyelesaian komple-menternya lebih baik dinyatakan dalam fungsi-fungsi trigonometri yang riil daripada dinyatakan dalam fungsi-fungsieksponensial yang kompleks. Misal, akar-akar persamaankarakteristik: biam 1 dan biam 2 . Fungsi komplementer-nya adalah
xbiaxbiac eCeCy )(
2)(
1
2)(
2)( 2121
ibxibxibxibxax eeCCeeCCe
bxCbxCe ax sincos 43
Dalam masalah ini daripada menggunakan fungsi-fungsi Besseldengan variabel kompleks, lebih baik mendefinisikan fungsi Besselyang dimodifikasi dengan variabel riil, sehingga Pers. (3.140) dan(3.141) dapat dinyatakan dalam bentuk riil.
Fungsi Bessel yang dimodifiksi jenis pertama order pdidefinisikan sebagai ,)(xI p yaitu
0
2
!)1(!2)()(
m
pm
pp
p pmmxixJixI (3.142)
Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua order pdidefinisikan sebagai ,)(xK p yaitu
)()(2
)( 1 ixYiixJixK ppP
p (3.143)
pmp
m
m
pp
px
mmpxIxxK
21
0
1
2!!)1()1(
21)(
2ln)1()(
146
)()(!)(!
2)1(21
0
2
pmmpmm
xm
pmm
(3.144)
Bila ,0p jumlah dari suku kedua Pers. (3.144) dianggap samadengan nol.
Jadi, penyelesaian umum Pers. (3.139) adalah Bila p bukan bilangan bulat maupun nol, maka
)()( 21 xICxICy pp (3.145)
Bila 0p atau bilangan bulat, maka
)()( 21 xKCxICy pp (3.146)
3.5.3 Bentuk Umum Persamaan BesselBentuk umum persamaan Bessel dapat ditulis
0)1()2( 2222
22 yxbxrabdxc
dxdybxax
dxydx rrsr
(3.147)
Persamaan ini dapat direduksi menjadi persamaan Bessel (3.103)dengan jalan mentransformasikan variabel-variabelnya.Dengan meng-gambarkan )(xZ p sebagai salah satu dari fungsi Bessel, makapenyelesaian umumnya dapat ditulis
sp
sp
rxba
xsd
ZCxsd
ZCexy
r
212
1
(3.148)
dimana
147
cas
p
2
211 (3.149)
Jenis fungsi-fungsi Bessel yang timbul tergantung pada karaktersd 21)( dan harga-harga p.
1. Jika sd adalah riil dan
0p atau bukan bilangan bulat, maka pp JZ dan
pp JZ .
0p atau bilangan bulat, maka pp JZ dan pp YZ .
2. Jika sd adalah imajiner dan
0p atau bukan bilangan bulat, maka pp IZ dan
pp IZ .
0p atau bilangan bulat, maka pp IZ dan pp KZ .
Contoh 3.8.
Selesaikan persamaan berikut ini
0)21( 222
22 yx
dxdyx
dxydx (3.150)
Penyelesaian:
Dengan menyamakan persamaan ini dengan bentuk umumpersamaan Bessel, Pers. (3.147), diperoleh
koefisien dxdy : rbxa 221 ; 21,0 ab
148
koefisien y: rrs xbxrabdxcx 22222 )1( ;
dipenuhi bila: sdc ,,0 2 . Dari Pers. (3.149) dida-patkan
102
)21(11 2
p (bilangan bulat)
12
sd
(bilangan riil)
sehingga pp JZ , dan pp YZ . Jadi, penyelesaian Pers.(3.150) adalah
)()( 12112
)21(1
xYCxJCxy
)()( 1211 xYCxJCxy
3.5.4 Sifat-Sifat Fungsi BesselSebagaimana fungsi-fungsi trigonometri, fungsi Bessel juga mem-punyai sifat-sifat dan hubungan-hubungan, meskipun tidak banyakyang diketahui. Dalam sub bab ini hanya beberapa sifat penting sajayang dibahas, yaitu, perilaku fungsi Bessel, sifat-sifat diferensial, dansifat-sifat integral.
Perilaku Fungsi Bessel
Bila harga x kecil ,)0( x fungsi Bessel cenderung sama denganlimit suku pertama saja. Penyelesaian pendekatannya adalah
149
)1(21)(
pxxJ
p
pp ;)1(
2)(p
xxJpp
p
(3.151)
dan untuk order bilangan bulat dan nol,
pp
p xpxY
!)1(2)( )0( p (3.152)
xxY ln2)(0 (3.153)
Tabel 3.1. Harga-harga numerik dari fungsi Bessel order nol
Fungsi-fungsi Bessel yang dimodifikasi untuk harga x kecil adalah
)1(21)(
pxxI
p
pp ;
)1(2)(
pxxI
pp
p
(3.154)
ppp xpxK !)1(2)( 1 )0( p (3.155)
xxK ln)(0 (3.156)
Oleh karena itu,
bila 0p , 1)0()0( 00 IJ (3.157)
bila 0p dan bilangan bulat,
0)0()0( pp IJ (3.158)
bila 0p dan bukan bilangan bulat, )0()0( pp IJ (3.159)
Fungsi Bessel )(xYp dan )(xK p untuk harga x kecil )0( x akanmenjadi tak berhingga pada titik asal untuk semua harga p. Jika
,0p tak berhingga disebabkan pangkat x negatif; jika ,0p takberhingga disebabkan suku .ln x Jadi untuk setiap harga p
)0()0( pp KY (3.160)
Untuk harga x besar, fungsi Bessel yang dimodifikasiberperilaku dengan tipe eksponensial dan tidak tergantung pada order(p dapat bilangan bulat atau nol).
xexI
x
p 2)( (3.161)
151
xexK x
p 2)(
(3.162)
Namun, untuk harga x besar, fungsi Bessel )(xJ p dan )(xYp
beroskilasi dengan periode 2 .
Tabel 3.2. Harga-harga numerik dari fungsi Bessel order satu
dimana p dapat sembarang harga riil termasuk bilangan bulat maupunnol. Perilaku oskilasi ini menyebabkan )(xJ p dan )(xYp melewatinol (disebut penol )(xJ p ) dan ini dipisahkan oleh untuk x besar.Harga beberapa fungsi Bessel order nol dan satu ditabulasi dalamTabel 3.1 dan Tabel 3.2. Beberapa penol )(xJ p dan )(xYp
ditabulasi dalam Tabel 3.3 dan Tabel 3.4.
Tabel 3.3. Penol untuk ;)(xJ n Harga-harga x yang menghasilkan0)( xJ n
n = 0 n = 12,4048 3,83175,5201 7,01568,6537 10,1735
Dengan mendiferensialkan deret-deret (3.116), (3.136), (3.142),dan (3.144) suku demi suku, dapat dibuktikan bahwa
KZxZx
IYJZxZxxZx
dxd
pp
pp
pp
,)(
,,,)()(
1
1
(3.169)
IZxZx
KYJZxZxxZx
dxd
pp
pp
pp
,)(
,,,)()(
1
1
(3.170)
154
KZxZxpxZ
IYJZxZxpxZ
xZdxd
pp
pp
p
,)()(
,,,)()()(
1
1
(3.171)
Dengan menggunakan hubungan recurrence , Pers. (3.171) dapat jugaditulis dalam bentuk
IZxZxpxZ
KYJZxZxpxZ
xZdxd
pp
pp
p,)()(
,,,)()()(
1
1
(3.172)
Sifat-Sifat Integral
Dengan mengintegrasikan deret-deret (3.116), (3.136), (3.142), dan(3.144) suku demi suku, dapat dibuktikan bahwa
CxZxdxxZx pp
pp )(1)(1
, IYJZ ,, (3.173)
CxKxdxxKx pp
pp )(1)(1
(3.175)
CxIxdxxIx pp
pp
)(1)(1
(3.176)
Properti orthogonaliti sangat diperlukan dalam penyelesaianpersamaan diferensial parsial dengan metode pemisahan variabel.Karena harga )(xJ p dan )(xI p berhingga pada titik asal (origin),integral orthogonaliti fungsi Bessel hanya ada untuk dua fungsitersebut.
x
pp dttZtZt0
)()(
155
)()()()( 1122 xZxZxZxZxpppp
, IJZ ,
(3.177)
dan jika , menghasilkan
x
pppp xZxZxZxdttZt0 11
22
2 )()()(2
)( , IJZ ,
(3.178)Fungsi Bessel Order Negatif
Tabel fungsi Bessel hanya diberikan untuk order nol dan order positif,fungsi Bessel order negatif dapat dihitung dari hubungan rekursi(3.179) hingga (3.181). Dengan menyisipkan Pers. (3.172) kedalamPers. (3.171) didapatkan
)()(2)( 11 xZxZxpxZ ppp
, YJZ , (3.179)
)()(2)( 11 xIxIxpxI ppp
, (3.180)
)()(2)( 11 xKxKxpxK ppp
, (3.181)
Jika p bilangan bulat atau nol, substitusikan ke dalam Pers.(3.116) dan dengan menggunakan sifat-sifat fungsi gamma diperoleh
)()1()( xJxJ pp
p (3.182)
Dengan cara yang sama didapatkan
)()1()( xYxY pp
p (3.183)
)()( xIxI pp (3.184)
156
)()( xKxK pp (3.185)
Contoh 3.9.
Pada Contoh 1.4 persamaan diferensial yang dihasilkan darianalisis aliran panas melalui dan dari sirip telah diturunkan.Persamaannya adalah:
0sec22
2
yWk
Lhdxdy
dxydx (3.186)
dimana: x = jarak dari ujung sirip, fty = aTT T = temperatur lokal sirip pada x
Ta = temperatur udara sekitarnya, 100oFh = koefisien perpindahan panas dari permukaan luar
sirip ke udara sekitarnya, 2 BTU/jam ft2 oFk = konduktivitas thermal sirip, 220 BTU/jam ft oFL= panjang total sirip, 1 ft
W = tebal sirip pada sirip, 121 ft = sudut setengah dari ujung siirip, sec = 1
Bila temperatur pada Lx adalah 200oF, tentukan
a) Temperatur sirip sepanjang x.
b) Laju perpindahan panas dari sirip ke udara sekitarnya.
Penyelesaian:
a) Dengan mengalikan Pers. (3.186) dengan x diperoleh
02
22 yx
dxdyx
dxydx (3.187)
dengan
WkLh sec2
(3.188)
157
Bila Pers. (3.187) dibandingkan dengan Pers. (3.147) didapatkan
koefisien dxdy : rxba 21 0;1 ba
koefisien y: rrs xbxrabxdcx 222 )1(
21;0 sc d
Dari Pers. (3.149) diperoleh:
00202
211
22
ca
sp
dan
isd
2221
(imajiner)
Sehingga pp IZ dan pp KZ . Jadi penyelesaian Pers.(3.187) adalah
xKCxICTTy a 22 0201 (3.189)
Konstanta-konstanta integrasi C1 dan C2 diperoleh dari kondisibatas.
K.B. 1: pada ,0x T berhingga
K.B. 2: pada ,1 Lx T 200oF
Dari Pers. (3.189) dan K.B. 1 didapatkan
berhingga )0()0( 0201 KCIC
karena ~)0(0 K dan 1)0(0 I , maka agar jawabannyaberhingga C2 harus sama dengan nol )0( 2 C . Persamaan
158
(3.189) tereduksi menjadi
xICTT a 201 (3.190)
Dari Pers. (3.188) diperoleh
218,01220
121122
sehingga Pers. (3.190) berubah menjadi
xICTT a 934,001 (3.191)
Dengan memasukkan K.B. 2 ke dalam Pers. (3.191) didapatkan
)934,0(100200 01 IC
)230,1(100 1C
2,811 C
Persamaan (3.191) menjadi
xIT 934,02,81100 0 (3.192)
Temperatur sirip sepanjang x ditabelkan pada tabel berikut ini:
b) Panas yang dipindahkan dari sirip ke udara sekelilingnyadapat ditentukan dengan dua cara. Pertama, dengan
159
pendekatan langsung, yaitu dengan mengintegrasipersamaan laju perpindahan panas lokal
A
a
A
a xzdTThdATThQ00
)sec2()()(
L
a dxTTzh0
)(sec2 (3.193)
Eliminasi (T Ta) dalam Pers. (3.193) dengan Pers. (3.190),menghasilkan
L
dxxIzhCQ0 01 )2(sec2 (3.194)
Integral dalam Pers. (3.194) ditentukan dengan menggunakanPers. (3.173) dan dengan mentransformasikan x 2 .
L L
dIdxxI0
2
0 00 )(21)2(
LI
2
01 )(21
)2(1 LIL
L
(3.195)
Jadi, laju perpindahan panas dari sirip ke udara adalah:
)2(sec2
11 LI
LzLhCQ
(3.196)
Cara kedua adalah dengan menggunakan fakta bahwa padakeadaan mantap panas yang berpindah ke sirip secara konduksipada Lx sama dengan panas yang berpindah dari sirip keudara.
160
LxdxdTzWkQ
(3.197)
Diferensialkan Pers. (3.190) terhadap x, menghasilkan
)2(01 xIdxdC
dxdT
)(2
01
I
ddC (3.198)
Diferensial pada ruas kanan Pers. (3.198) ditentukan denganmenggunakan Pers. (3.169) dan dengan mentransformasikan
x 2 .
)2()(2
11
11 xI
xCIC
dxdT
)2(11 LI
LC
dxdT
Lx
Substitusikan persamaan ini ke dalam Pers. (3.197)
)2(11 LI
LCzWkQ (3.199)
Eliminasikan kW dalam Pers. (3.199) dengan Pers. (3.188),menghasilkan
)2(sec2
11 LI
LzLhCQ
161
3.6 RangkumanPenyelesaian persamaan diferensial biasa dapat juga diselesaikandengan menggunakan metode deret dan fungsi-fungsi khusus. Deretpangkat adalah salah satu metode penyelesaian persamaan diferensiallinier orde dua dengan koefisien konstan atau koefisien tidak konstan.
Ada beberapa bentuk khusus dari persamaan diferensial biasa dengankoefisien variabel. Beberapa bentuk khusus diantaranya adalahpersamaan Bessel orde p, polynomial Jacobi orde n, dan persamaanLegendre orde n. Bentuk khusus dari masing-masing persamaantersebut adalah sebagai berikut:
0)( 222
22 ypx
dxdyx
dxydx
0)(])1([)1( 2
2
ynbndxdyxba
dxydxx
0)1(2)1( 2
22 ynn
dxdyx
dxydx
3.7 Soal-Soal
3.1. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini
22
2
xydx
yd , 00 x
3.2. Buktikan bahwa 0x adalah titik singuler reguler daripersamaan
0)1(23
2
22 yx
dxdyx
dxydx
162
dan buktikan bahwa penyelesaian umumnya adalah
0
22
0 !)32(2)1()1(6)(
n
nnn
nxnxaxy
2
221
0 !)32)(1(2)1(
4121
n
nnn
nnnxxxb
GlossariumDeret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.Titik biasa adalah apabila koefisien dari PD pada persamaan (3.13)A2(xo) ≠ 0Titik singular adalah apabila koefisien dari PD pada persamaan(3.13) A2(xo) = 0Ferdinand Georg Frobenius (26 Oktober 1849 – 3 Agustus 1917)adalah seorang ahli matematika berkebangsaan Jerman, kontribusinyayang sangat terkenal adalah teori dari persamaan diferensial dan grouptheory.Friedrich Wilhelm Bessel (22 Juli 1784 – 17 Maret 1846) adalahseorang ahli matematika dan astronomi berkebangsaan Jerman, dansystematizer of the Bessel functions (which were discovered by DanielBernoulli).Fungsi Bessel, dalam matematika, pertama sekali didefinisikan olehahli matematika Daniel Bernoulli dan digeneralisasi oleh FriedrichBessel, adalah canonical solutions y(x) of Bessel's differentialequation
163
Daftar Pustaka
1. Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, 2001, Elementary DifferentialEquations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons,Inc., New York.
2. Rice, B. J. and J. D. Strange, 1994, Ordinary DifferentialEquations with Applications, 3rd Ed., Brooks/Cole PublishingCompany, California.
3. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc., NewYork.
164
BAB 4FUNGSI-FUNGSI INTEGRAL
Integrasi suatu persamaan diferensial (PD) biasanya menghasil-kanfungsi-fungsi elementer, seperti: eksponensial, trigonometri,hiperbolik, polinomial, dan logaritmik yang menunjukkan hubunganantara variabel terikat (y) dan variabel bebas (x). Namun, sering jugaterjadi bahwa hasil integrasi dari suatu PD dalam bentuk integral,dimana integral ini tidak dapat diperoleh dalam bentuk tertutup(closed). Biasanya, bentuk integral ini dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi baru, misalnya, fungsi kesalahan (error), fungsi gamma, dll.,dan hasilnya dapat ditentukan dari tabel.
4.1 Fungsi Kesalahan (Error Function)Fungsi ini sering dijumpai dalam teori probabilitas, distribusi waktutinggal, konduksi panas, dan perpindahan massa secara difusi, yangdidefinisikan dengan integral
Tujuan instruksional umum:Memperkenalkan fungsi-fungsi integral. Seperti Error Function,Fungsi Gamma, dan Fungsi Beta
Tujuan instruksional khusus: Mahasiswa dapat mengaplikasikan Error Function. Mahasiswa dapat mengaplikasikan Fungsi Gamma Mahasiswa dapat mengaplikasikan Fungsi Beta
165
x
dzzxerf0
2 )exp(2)(
(4.1)
Pada Pers. (4.1) z merupakan dummy variable. Dummy variabledalam integrand digunakan untuk mencegah kemungkinan kesalahandalam mendiferensialkan ).(xerf Faktor 2 dimasuk-kansehingga diperoleh
1)( erf (4.2)
4.1.1 Sifat-sifat fungsi kesalahan:1. Bila didiferensialkan:
xk
ddxdkxerf
dxd
0
2 )exp(2)(
(4.3)
Untuk mendiferensialkan integral menggunakan formulaLeibnitz, yaitu
dxt
txfdt
datafdt
datafdxtxfdtd ta
ta
ta
ta
)(
)(1
12
2
)(
)(
2
1
2
1
),(),(),(),(
(4.4)
Dengan membandingkan ruas kanan Pers. (4.3) dengan Pers.(4.4) diperoleh
,0)(1 ta ,)(2 kxta
xt , x , )exp(),( 2txf
Jadi, Pers. (4.3) menjadi
166
xk
dx
kkxkxerfdxd
0
22 )][exp(0])(exp[2)(
])(exp[2 2kxk
(4.5)
2. Bila diintegralkan
Integral )( xkerf dapat dilakukan dengan integral parsial.
?)( dxkxerf
misal: )( xkerfu dxdv
dxxkkdu ])(exp[2 2
xv
dxxkxkxkerfxdxxkerf ])(exp[2)()( 2
22 )(])(exp[1)( kxdxkk
xkerfx
Cxkk
xkerfx ])(exp[1)( 2
Jadi,
Cxkk
xkerfxdxxkerf ])(exp[1)()( 2
(4.6)
dimana C adalah konstanta integrasi.Persamaan (4.6) kadang-kadang ditabelkan dalam simbol
“ )(xerfi ”, dimana i adalah integral, dengan ,1 C sehinggadiperoleh
0)0( erfi (4.7)
167
Fungsi lain yang berhubungan dengan fungsi kesalahan yangkadang-kadang ditabelkan adalah “fungsi kesalahan komplementer”(complementary error function) yang didefinisikan dengan:
x
dzzxerfxerfc )exp(2)(1)( 2
(4.8)
Tabel 4.1 menyajikan beberapa definisi dan harga dari fungsikesalahan.
Tabel 4.1. Fungsi kesalahan
1.
x
xdzzdzzxerf )exp(21)exp(2)( 2
0
2
2. )()( xerfxerf
3. 0)0( erf
4. 1)( erf
5. 1,)exp(2)(0
2 idzzixierfx
6.
x
dzzxerfxerfc )exp(2)(1)( 2
Untuk tujuan komputasi pendekatan berikut ini dapat digunakanuntuk menghitung )(xerf (Zhang dan Jin, 1996):
konvergen bila .0n x adalah dummy variable karena harga integraltertentu tersebut bebas terhadap x. Variabel x digunakan hanya untukmenyatakan fungsi yang akan diintegrasi. Sebagai contoh, ambil kasuskhusus untuk .1n Jadi,
1)1(0)1(00
0 xx edxex (4.11)
yang mana bebas terhadap x.Sifat-sifat fungsi gamma dapat diturunkan dengan menginte-
gralkan Pers. (4.10) secara parsial.
0
1)( dxexn xn
misal: 1 nxu dxedv x
dxxndu n 2)1( xev
0
2
0
1 )1()( dxexnexn xnxn
0
1)1()1()100( dxexn xn
)1()1( nn
Jadi,
)1()1()( nnn , 1n (4.12)
Persamaan (4.12) dapat dikembangkan untuk harga n bilangan bulatpositif.
170
)1()1()( nnn
)2()2)(1( nnn
)3()3)(2)(1( nnnn
)1()1)(2()3)(2)(1( nnn
!)1( n
Jadi,
!)1()( nn (4.13)
Persamaan (4.10) dapat juga dikembangkan menjadi:
00
1)1()1( dxexdxexn xnxn
misal: nxu dxedv x
dxxndu n 1 xev
0
1
0)1( dxexnexn xnxn
0
1)100( dxexn xn
)(nn
Jadi,
)()1( nnn (4.14)
atau
nnn )1()(
(4.15)
Sebenarnya harga fungsi gamma yang ditabelkan biasanya
171
terletak dalam kisaran ,21 n lihat Tabel 4.3.
Catatan:1. Untuk n bilangan bulat positif dapat menggunakan Pers. (4.13).2. Untuk n bilangan pecahan positif dapat menggunakan Pers. (4.12)
atau Pers. (4.15).
Integral yang didefinisikan pada Pers. (4.10) tidak berlakuuntuk harga n negatif, tetapi fungsi gamma dari harga negatif dapatdiperoleh dengan mengembangkan Pers. (4.12), yaitu:
)1()1(
)1()()1(
nnn
nnn (4.16)
proses ini diulangi hingga fungsi gamma pada sisi ruas kanan mempu-
nyai argumen yang terletak dalam kisaran 1 hingga 2. Namun, bila
172
0n atau bilangan bulat negatif, fungsi gamma adalah tak berhingga.Contoh, bila ,1n dari Pers. (4.16) diperoleh:
01
0)1()0(
Gamma setengah )( 21 dapat juga dihitung secara analitik
dengan menggunakan Pers. (4.10).
0 0
211)21(2
1 )( dxexdxex xx (4.17)
Akar kuadrat negatif dari ruas kanan Pers. (4.17) dapat dihilangkandengan substitusi:
2zx 0,0 zx
dzzdx 2 zx ,
Pers. (4.17) menjadi:
0
22
1 )exp(2)( dzz (4.18)
Karena sisi ruas kanan merupakan bentuk dari fungsi kesalahan, makaPers. (4.18) dapat ditulis
)()exp(2)(0
22
1 erfdzz (4.19)
Contoh 4.1.
Hitunglah .)29(
Penyelesaian:
Persamaan (4.12):
173
)1()1()( nnn
)27(27)29(
)25(25
27
)21(21
23
25
27
421357
atau dapat juga ditulis:
421
21357)4(
Jadi, untuk n bilangan bulat positif dapat ditulis:
n
nnnn2
)1)(3()52)(32)(12()( 21
(4.20)
Contoh 4.2.
Hitunglah
a) )6( c) )8,3(
b) )25,0( d) )7,0(
Penyelesaian:
a) Dari Pers. (4.13):
!)1()( nn
12012345!5)6(
174
b) Dari Pers. (4.15) dan Tabel 4.3:
nnn )1()(
62560992,325,0
90640248,025,0
)25,1()25,0(
c) Dari Pers. (4.12) dan Tabel 4.3:
)1()1()( nnn
)8,1()8,1)(8,2()8,3(
)93138377,0)(8,1)(8,2(
694174,4
d) Dari Pers. (4.16) dan Tabel 4.3:
)1()1(
)1()()1(
nnn
nnn
27367,421,0
89747070,0)13,0)(3,0(
)13,0()13,0(
4.3 Fungsi Beta
Fungsi beta mengandung dua argumen, dan didefinisikandengan
1
0
11 )1(),( dxxxnmB nm , 0,0 nm (4.21)
Substitusikan: yx 1 dydx
175
limit-limit integrasi: 1,0 yx 0,1 yx
sehingga Pers. (4.21): menjadi:
0
1
11 )()1(),( dyyynmB nm
1
0
11 )1( dyyy mn
),( mnB (4.22)
dimana y dalam Pers. (4.22) adalah dummy variable. Jadi,
),(),( mnBnmB (4.23)
Bentuk-bentuk lain fungsi beta:
Substitusi: ddxx cossin2sin 2
2
0
1212 cossin2),(
dnmB nm (4.24)
Substitusi: ayx
a nmnm dyyay
anmB
0
111 )(1),( (4.25)
Substitusi:y
yx
1
0
1
)1(),( dy
yynmB nm
m
(4.26)
Hubungan fungsi beta dan gamma adalah:
176
)()()(),(
nmnmnmB
(4.27)
Contoh 4.3.
Hitunglah
a) 1
0
23 )1( dxxx c) 2
0
65 cossin
dxxx
b)
5
2 )5)(2( xxdx
Penyelesaian:
a) Dengan membandingkan dengan Pers. (4.21), diperoleh4m dan .3n Jadi,
601
!6!2!3
)7()3()4()3,4()1(
1
0
23
Bdxxx
b) Misalkan: 2 xy (atau xy 5 )
2 yx dydx
Batas integrasi: 2x , 0y
5x , 3y
3
0
21213
0
5
2)3(
)3()5)(2(dyyy
yydy
xxdx
(4.28)Dengan membandingkan Pers. (4.25) dan (4.28), didapatkan
,21,3 ma dan .21n Jadi,
)1()()(),(3)3( 2
12
13
0 21
2112121 2
12
1Bdyyy
177
c) Dengan membandingkan dengan Pers. (4.24), diperoleh3m dan .27n Jadi
2
7,321cossin
2
0
65 Bdxxx
)]27(3[)27()3(
21
)()(!2
21
21
21
23
25
27
29
211
21
21
23
25
6938
4.4 RangkumanIntegral suatu persamaan diferensial dapat menghasilkan integraldalam bentuk tidak tertutup. Bentuk integral seperti ini biasadinyatakan dalam bentuk fungsi-fungsi baru, seperti error function,Gamma function, dan Beta function. Bentuk integral dari fungsi-fungsi diatas masing-masing adalah sebagai berikut:
x
dzzxerf0
2 )exp(2)(
0
1)( dxexn xn
1
0
11 )1(),( dxxxnmB nm
178
4.5 Soal-soal:
4.1 The complementary error function can be expressed as
x
dzzxerfxerfc )exp(2)(1)( 2
We wish to develop an asymptotic expression for erfc (x), valid forlarge arguments.
a. Use integration by parts to show
x
x
xdzz
zxedzz )exp(
21
2)exp( 2
22
2
b. Repeat this process again on the new integral to get
x
x
xdzz
zxedzz
z)exp(1
43
4)exp(
21 2
432
2
2
4.2. The Beta function can be expressed in alternative form bysubstituting
22 cos1;sin tt
a. Show that 2/
0
12112 cossin2),(
dyyxB ynx
b. Now, use the substitution 2cost , repeat the in (a) and therebyprove
),(),( xyByxB
4.3. Evaluate the derivative of Gamma function and see
179
0
1 )(ln)()( dtettdx
xdx tx
and then show that at x = 1
)1(
where = 0.5772 is Euler’s constant
)ln(1...41
31
211lim n
nn
(Problem taken from “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995.Problem 4.3, 4.4, and 4.6)
GlossariumIn mathematics, the error function (also called the Gauss errorfunction or probability integral) is a special function (non-elementary) of sigmoid shape which occurs in probability, statisticsand partial differential equations. It is defined as:
x
dzzxerf0
2 )exp(2)(
In mathematics, the beta function, also called the Euler integral of thefirst kind, is a special function defined by
180
In mathematics, the Gamma function (represented by the capitalGreek letter Γ) is an extension of the factorial function, with itsargument shifted down by 1, to real and complex numbers. It isdefined as:
0
1)( dxexn xn
Daftar Pustaka
1. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc.,New York.
2. Zhang, S. and J. Jin, 1996, “Computation of Special Functions”,John Wiley and Sons, New York.
1
0
11 )1(),( dxxxnmB nm
181
BAB 5PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
5.1 PendahuluanPersamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial(PD) yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas. Order suatu PDPadalah order turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan itu.Contohnya
yxyx
u
2
2
(5.1)
dimana u adalah variabel terikat; x dan y adalah variable bebas.Persamaan (5.1) adalah PDP order dua.
Pada umumnya, bila u merupakan fungsi dari beberapa
Tujuan intruksional umum: Mahasiswa dapat membedakan antara persamaan diferensial
parsial (PDP) dan persamaan diferensial biasa. Mahasiswa dapat membedakan antara kondisi awal dan batas. Mahasiswa dapat menjelaskan metode penyelesaian PDP secara
analitik.
Tujuan intruksional umum: Mahasiswa dapat menggunakan teknik-teknik penyelesaian PDP
secara analitik. Mahasiswa dapat menentukan kondisi awal dan kondisi batas. Mahasiswa dapat menggunakan kondisi awal dan kondisi batas
182
variabel nxxx ,,, 21 yang dapat ditulis dalam bentuk
),,,( 21 nxxxfu
maka dengan menggunakan aturan rantai diferensial total u adalah
nn
dxxfdx
xfdx
xfdu
22
11
Perlu diperhatikan bahwa saat mengintegralkan turunan-turunanparsial, misalnya )( 1xf seluruh variabel bebas lainnya,
nxxx ,,, 32 harus dijaga konstan.Kita ketahui bahwa untuk turunan biasa, integral 0)( dxdy
menghasilkan )(xy konstan. Namun, untuk turunan-turunan parsialharus diperhitungkan properti-properti yang tersirat.
0
txy
)(tgy
subscript t menunjukkan bahwa variabel bebas t konstan selamadiferensial terhadap x. Jadi, dalam hal ini pengganti menambahkansuatu konstanta sembarang harus ditambahkan suatu fungsi sembarangdari variabel bebas yang dipertahankan konstan selama integrasi.
Klasifikasi dan Karakteristik Persamaan LinierPersamaan diferensial parsial linier order dua umum dapat dinyatakan
Sy
zRyxzQ
xzP
2
22
2
2
(5.2)
dimana P, Q, R hanya tergantung pada x dan y, sedangkan Stergantung pada x, y, z, xz , .yz Suku-suku yang meliputiturunan kedua merupakan salah satu hal penting, karena suku-sukutersebut memberikan dasar untuk mengklasifikasikan tipe PDP.
183
Dengan menganalogikan dengan tatanama yang digunakan untukmenggam-barkan bagian konis, Pers. (6.2) dapat ditulis sebagaiberikut:
dcybxyax 22 2 (5.3)
Persamaan (5.3) dapat diklasifikasikan untuk koefisien-koefisienkonstan bila P, Q, dan R masing-masing berharga a, b, dan c.Diskriminan untuk koefisien-koefisien a, b, dan c konstan adalah
acb 42 (5.4)Bila,
0 :persamaan eliptik (5.5)
0 :persamaan parabolik (5.6)
0 :persamaan hiperbolik (5.7)
Contoh-contoh tipikal yang sering terjadi dalam Teknik Kimia adalah:hukum kedua Fick untuk difusi
2
2
xcD
tc
termasuk dalam persamaan parabolik, karena ,0dan,0, cbDasehingga .0 Hukum Newton untuk gerakan gelombang
2
2
2
2
yu
tu
termasuk dalam persamaan hiperbolik, karena ,0,1 ba dan,c sehingga .0 Persamaan Laplace untuk konduksi panas
02
2
2
2
yT
xT
184
termasuk dalam persamaan eliptik, karena ,1dan,0,1 cbasehingga 0 .
Persamaan diferensial parsial linier homogen order dua seringkali terjadi. Bila ,0S Pers. (5.2) dikatakan PDP homogen.
5.2 Kondisi-Kondisi Batas dan AwalHasil integrasi dari PDP akan mengandung beberapa konstantaintegrasi, dimana jumlah konstanta-konstanta ini sama dengan orderdari PDP tersebut. Konstanta-konstanta integrasi dapat ditentukan dari“kondisi batas,” yaitu, pernyataan dari fenomena-fenomena fisik padaharga-harga yang ditentukan dari variabel bebas. Ada tiga tipe kondisibatas dan awal yang sering timbul di dalam setiap permasalahan.
1. Fungsi yang ditetapkan pada harga batasPada tipe ini, harga variabel terikat ditetapkan disepanjang titik-titikpada batasan tertentu. Misalnya, untuk ),( xtT
(i) pada ,0t )(xfT (5.8)
(ii) pada ,0x )(xgT (5.9)
Persamaan (5.8) termasuk kondisi awal, yang dapat ditulis untuk),( xtT
)(),0( xfxT (5.10)
Ini berarti pada waktu sama dengan nol, temperatur T sepanjang xterdistribusi menurut fungsi ).(xf Adakalanya, variasi waktu jugadapat terjadi pada harga batas, seperti
)()0,( tgtT (5.11)
Kondisi batas pada kedua contoh ini merupakan kondisi batas non-homogen. Namun, jika harga batasnya adalah suatu konstanta, misal
185
0)0,( TtT (5.12)
maka kondisi batas tersebut dapat diubah menjadi homogen denganmendefinisikan suatu variabel baru ,0TT sehingga menghasil-kan
0)0,( t (5.13)
2. Turunan fungsi yang ditetapkan pada harga batasPada umumnya, yang termasuk dalam tipe kedua ini adalah bila fluksipanas (misalnya) diketahui namun temperatur permukaan tidakdiketahui, maka fluksi panas dapat dihubungkan dengan gradientemperatur. Misalnya,
pada ,0r 0
rT (5.14)
pada ,Rr QrTk
(5.15)
Persamaan (5.14) adalah kondisi simetris yang hampir selalu munculdalam sistem koordinat silinder dan bola. Tipe kedua ini dapat jugaterjadi pada pemanasan atau pendinginan suatu permukaan, atau padapermukaan dinding yang diisolasi. Persamaan (5.15) terjadi padakondisi dimana dinding pipa dipanaskan secara elektrik, panas yangmasuk merata dan konstan. Untuk dinding pipa yang diisolasi, fluksipanas cenderung nol, sehingga kondisi batasnya dapat ditulis
pada ,Rr 0
rTk
0
rT (5.16)
Persamaan (5.14) dan (5.16) merupakan kondisi batas homogen,sedangkan Pers. (5.15) merupakan kondisi batas non-homogen. Tidak
186
mungkin mengubah kondisi batas (5.15) menjadi kondisi homogenuntuk T.
3. Fungsi campuran pada harga batasTipe ketiga ini terjadi pada interface padat-fluida, dimana fluksi panasdapat dihubungkan dengan selisih antara temperatur pada interfacedan fluida. Misalnya,
pada ,Rr )( fTThdrdTk (5.17)
Sisi ruas kanan Pers. (5.17) merupakan hukum pendinginan Newton.Persamaan (5.17) merupakan kondisi batas homogen. Denganmendefinisikan fTT ( fT harganya ditetapkan dan konstan),menghasilkan
pada ,Rr hr
k
(5.18)
Persamaan (5.18) merupakan kondisi batas homogen juga.Kadang-kadang kondisi campuran ini timbul dari neraca
integro-differential. Kondisi ini paling sering muncul dalam studiperpindahan massa saat material melewati suatu permukaan batas baikmemasuki permukaan tersebut maupun keluar. Andaikan suatu reaktorbatch digunakan untuk mengektraks minyak dari biji-bijian berporidengan suatu pelarut tertentu. Anggap biji-bijian tersebut berbentukbola dengan jari-jari R. Laju perpindahan massa dari padatan kepermukaan bola berpori dapat ditentukan dari hukum Fick.
RrA r
trxDAmN
),(
rtRxDRmN A
),()4( 2 (5.19)
dimana D adalah difusivitas efektif, x adalah konsentrasi solut dalam
187
biji-bijian, m adalah jumlah biji-bijian. Dari neraca massa minyak didalam fase solven didapatkan
rtRxDRm
dtdcV
),()4( 2 (5.20)
dimana V adalah volume solven, dan c adalah konsentrasi solut dalambadan cair (solven). Jika solven mula-mula tidak mengandung minyak,maka integrasi Pers. (5.20) menghasilkan
dtr
tRxV
DRmtct
0
2 ),()4()( (5.21)
pada ., cxRr
Untuk PDB, jumlah kondisi batas dan awal yang diperlukansama dengan jumlah konstanta integrasi yang dihasilkan. Sedangkanjumlah konstanta-konstanta integrasi dari suatu penyelesaian PD samadengan order PD. Namun, aturan ini tidak sesuai untuk PDP. Tinjausuatu PDP berikut ini:
rcr
rrD
zcv A
AA 1
0
rc
rrcD
zcv AA
AA 1
2
2
0 (5.22)
Jumlah kondisi batas yang diperlukan untuk Pers. (5.22) adalah duauntuk r (katakanlah, pada 0r dan Rr ) dan satu untuk z(misalnya, pada 0z ). Dari Pers. (5.22) terlihat bahwa banyaknyakondisi batas yang diperlukan adalah jumlah order dari tiap-tiapturunan parsial. Tetapi aturan ini tidak berlaku, misalnya, jikapenyelesaian yang dicari dalam time-periodic, yaitu kondisi awal tidakdiperlukan, yang diperlukan adalah kondisi-kondisi pada batasan-batasannya (katakanlah pada 0r dan Rr ).
Kisaran variabel-variabel bebas dapat terbuka (tak berhingga)
188
ataupun tertutup (berhingga). Bila kisaran untuk setiap variabel-variabel bebas tertutup, maka persamaan tersebut digolongkan dalam“masalah harga batas”. Jika kisaran dari sembarang variabel bebasterbuka, persamaan tersebut digolongkan dalam “masalah hargaawal”. Klasifikasi ini mempengaruhi pemilihan metode penyelesaian.
5.3 Penyelesaian Khusus Persamaan Diferensial Parsial
Umumnya tidak ada metode analitis yang khusus untukpenyelesaian PDP. Penyelesaian PDP pada dasarnya merupakan suatucara coba-coba, yaitu menerka bentuk dari penyelesaian khusussehingga PDP akan tereduksi menjadi satu atau lebih persamaandiferensial biasa (PDB). Kemudian penyelesaian PDB tersebutdigabungkan dimana harus memenuhi kondisi-kondisi batas dan PDPasal. Jika ini ternyata tidak mungkin, berarti terkaannya salah danharus dicoba lagi.
Ada beberapa metode penyelesaian PDP, diantaranya adalahmetode penyatuan variabel, metode pemisahan variabel, dantransformasi Laplace.
5.3.1 Metode Penyatuan VariabelMetode penyatuan variabel kadang-kadang dinamakan dengantransformasi similaritas. Tatanama ini timbul dari cara memilihvariabel penyatu. Tujuan dari metode ini adalah ingin menyatukanvariabel-variabel bebas ke dalam variabel tunggal baru, sehingga PDPtereduksi menjadi PDB. Teknik ini hanya dapat digunakan untukkasus-kasus dengan variabel bebasnya tak berhingga, misalnya,
,0 t ,0 x dan hanya cocok untuk satu tipe kondisi batasatau awal sehingga menghasilkan satu penyelesaian khusus.
189
Contoh 5.1.
Selesaikan persamaan konduksi panas satu dimensi berikut ini:
tT
xT
2
2
(5.23)
Penyelesaian:
Bentuk variabel penyatu (variabel yang menyatukan variabel-variabel bebas) yang disarankan adalah:
)(tx
(5.24)
dimana )(t adalah jarak penetrasi, yaitu yang menggambar-kan jarak dari permukaan saat perubahan temperatur terjadi.Anggap penyelesaian Pers. (5.23) adalah:
)(),( ftxT (5.25)
Bila Pers. (5.25) didiferensialkan secara parsial terhadap x dan t,diperoleh
ddf
txddf
xT
)(1
)(1
2
2
tddf
xxT
xxT
xdtd
dfd
)(
1
2
2
2 )(1
dfd
t (5.26)
190
dan
dttd
tx
ddf
tddf
tT )(
)(2
(5.27)
Eliminasi x dari Pers. (5.27) dengan Pers. (5.24), didapatkan
dttd
tddf
tT )(
)(
(5.28)
Substitusikan Pers. (5.26) dan (5.28) ke Pers. (5.23), menghasil-kan
dttdt
ddf
dfd )()(2
2
(5.29)
Kedua sisi Pers. (5.29) harus merupakan fungsi saja. Olehkarena itu, variabel t harus dihilangkan. Agar variabel t hilang,maka harus diset
2)()(
dttdt
(5.30)
Konstanta 2 dipilih adalah untuk menyederhanakan PDB yangterbentuk. Integrasikan Pers. (5.30)
)(
0 02)()(
t tdttdt
tt 4)( (5.31)
Persamaan (5.24), variabel baru sebenarnya, menjadi
tx
4
(5.32)
191
Substitusikan Pers. (5.30) ke dalam Pers. (5.29)
022
2
d
dfd
fd (5.33)
Persamaan (5.33) dapat diintegrasikan dua kali, pertama denganmengambil
ddfp , 2
2
dfd
ddp
Persamaan (5.13) tereduksi menjadi
02 pddp
Integrasikan persamaan ini, menghasilkan
)exp( 21
C
ddfp (5.34)
Jadi sekarang jelas terlihat alasan pemilihan konstanta 2 padaPers. (5.30). Integrasikan sekali lagi Pers. (5.34),
0 2
21 )exp()( CdCf (5.35)
Dalam Bab 4 telah dijelaskan tentang definite integral, yaitu,fungsi kesalahan yang bentuknya serupa dengan integral di atas
0
2 )exp(2)( dzzerf (5.36)
Jadi, )(f dapat ditulis dalam bentuk
23 )()( CerfCf (5.37)
192
atau
23 4),( C
txerfCtxT
(5.38)
Dimana C3 dan C2 adalah konstanta-konstanta sebarang, yangdapat ditentukan dengan memasukkan kondisi batas ke Pers.(5.38).
Contoh 5.2.
Sebuah plat datar yang lebarnya tak terhingga dipertahankanpada temperatur konstan .oT Plat pada ujung tak terhinggadicelupkan dalam fluida mengalir dengan densiti konstan padatemperatur 1T . Koordinat diambil pada tepi plat. Distribusikecepatannya: yv x ( = konstanta) dan .0 zy vvPerpindahan panas secara molekular hanya ke arah-y.Konduktivitas thermal, k, dan kapasitas panas, pC , fluidadianggap konstan. Tentukan distribusi temperatur dalam fluidadan koefisien perpindahan panas antara fluida dan plat. Anggapkeadaan tunak.
Penyelesaian:
Neraca panas pada keadaan tunak:
0).().( keluarpanasLmasukpanasL
0
konduksikonveksikarenakarena
konduksikonveksikarenakarena
0 yyyxxpyyxp QTCmQTCm
193
y
xpx yTzxkTzyCv
0
yy
xxpx yTzxkTzyCv
0
yyy
xxxpx yT
yTzxkTTzyCv
Bila, kedua ruas persamaan di atas dibagi dengan ,zyxkemudian diambil limit untuk 0x dan 0y , diperoleh
yT
yk
xTCv px
2
2
yT
yCk
xT
p
(5.39)
atau
2
2
yT
yA
xT
(5.40)
dimana:
pCkA (5.41)
Kondisi batasnya:
pada ,0,0 yx 1TT (5.42)
pada ,, xxy 1TT (5.43)
pada ,,0 xxy 0TT (5.44)
194
Untuk menyederhanakan kondisi batas temperatur diubah dalambesaran tak berdimensi , yaitu:
maksimumtemperaturselisihposisisuatuadamperatur pselisih te
10
1
TTTT
(5.45)
)( 10 TTT (5.46)
2102 )( TTT
Persamaan (5.40) menjadi
xyyA
2
2
(5.47)
dengan kondisi batasnya:
pada ,0,0 yx 0 (5.48)pada ,, xxy 0 (5.49)
pada ,,0 xxy 1 (5.50)
Anggap penyelesaian Pers. (5.47) adalah:
)(),( fyx (5.51)
variabel penyatu yang disarankan sama seperti sebelumnya,yaitu
)(xy
(5.52)
Dengan cara yang sama seperti pada Contoh 5.1 didapat,)9()( 31xAx sehingga Pers. (5.52) menjadi
195
31)9( xAy
(5.53)
Diferensiasikan Pers. (5.51) secara parsial terhadap y dan x:
31)9(1xAd
dfyd
dfy
(5.54)
yxAddf
dd
yyy
312
2
)9(1
2
2
32)9(1
dfd
xA (5.55)
dan
32
32
)9(9)9()31(
xAyAxA
ddf
xddf
x
ddf
xxAy
1
)9(31
31
Eliminasi y dari persamaan di atas dengan Pers. (5.53),diperoleh
ddf
xx
3(5.56)
Dengan menyisipkan Pers. (5.55) dan (5.56) ke dalam Pers.(5.47), menghasilkan
ddf
xdfd
xAxAA
3)9(
1)9( 2
2
3231
196
03 22
2
d
dfd
fd (5.57)
Persamaan (5.57) dapat diintegrasikan dengan mengambil
ddfp , 2
2
dfd
ddp
sehingga Pers. (5.57) tereduksi menjadi
03 2 pddp
Integrasikan persamaan ini, menghasilkan
dp
dp 23
)exp( 31
C
ddfp (5.58)
Integrasikan sekali lagi Pers. (5.58) menghasilkan
0 2
31 )exp(),()( CdCyxf (5.59)
Kondisi batasnya:
pada ,0,0 yx , 0 (5.60)
pada ,, xxy , 0 (5.61)
pada ,,0 xxy 0 , 1 (5.62)
Tidak ada suatu metode khusus untuk memasukkan kondisibatas, tergantung dari persamaannya sehingga didapatkanpersamaan yang sederhana, dan kondisi batas yang dimasukkantidak mesti berurutan.
197
Dari Kondisi Batas (5.62) dan Pers. (5.59) didapatkan:
0
0 23
1 )exp(1 CdC 12 C
Persamaan (5.59) menjadi
0
31 1)exp(),( dCyx (5.63)
Dari kondisi batas (5.60) dan Pers. (5.63), diperoleh
0
31 1)exp(0 dC
0
31
)exp(
1
dC (5.64)
Persamaan (5.63) menjadi
1)exp(
)exp(),(
0
3
0
3
d
dyx
0
3
0 0
33
)exp(
)exp()exp(
d
dd
0
3
3
10
1
)exp(
)exp(),(
d
d
TTTTyx (5.65)
Integral pada penyebut ruas kanan Pers. (5.65) dapat diperolehdalam suku fungsi gamma, sebagaimana yang telah dibahaspada Bab 4.
198
misal: 3t
ddt 23 ,
dttdtd 322
31
31
0 0
323
31)exp( dtted t
0
131
31 dtte t
34
31
31 (5.66)
Dengan menyisipkan Pers. (5.66) ke dalam Pers. (5.65),diperoleh
)34(
)exp( 3
10
1
d
TTTT (5.67)
Koefisien perpindahan panas antara fluida dan plat didefinisikandengan hubungan
konveksikonduksi qq
)( 010
TThyTk
y
(5.68)
Dari Pers. (5.46):
)( 10 TTT
yTT
yT
)( 10 (5.69)
199
Substitusikan Pers. (5.54) ke dalam Pers. (5.69):
f
xATT
yT
3110 )9(1)( (5.70)
Dengan menyisipkan Pers. (5.58) dan (5.64) ke Pers. (5.70),menghasilkan
0
3
3
3110)exp(
)exp()9(
1)(
dxATT
yT (5.71)
Eliminasikan integral pada Pers. (5.71) dengan Pers. (5.66)
)34()exp(
)9(1)(
3
3110
xATT
yT
(5.72)
Dari kondisi batas (5.62) dan Pers. (5.72):
)34(1
)9( 3110
0
xATT
yT
y
Substitusikan persamaan ini ke Pers. (5.68)
)()34(
1)9(
)(1031
10 TThxA
TTk
31)9(1
)34( xAkh
31
9)34(
xkCkh p
(5.73)
200
5.3.2 Fungsi-Fungsi Orthogonal dan Persamaan Sturm-LiouvilleSebelum membahas metode pemisahan variabel untuk penyelesaianPDP terlebih dahulu diperkenalkan dengan fungsi-fungsi orthogonal.Metode pemisahan variabel biasanya menghasilkan penyelesaianberupa penjumlahan tak berhingga dari sekumpulan fungsi-fungsiyang berhubungan. Sifat orthogonal ini sangat bermanfaat dalammenentukan konstanta-konstanta dari sekumpulan fungsi-fungsitersebut.
Dua fungsi )(xm dan )(xn dikatakan orthogonal terhadapfungsi pembobot (weighting function) )(xr pada kisaran dari ahingga b jika
b
a nm dxxxxr 0)()()( , (untuk nm ) (5.74)
dimana m dan n bilangan bulat positif. Bila nm maka integraldalam Pers. (5.74) tidak akan sama dengan nol.
Contoh 5.3.
Buktikan bahwa fungsi xmsin dan xnsin adalah orthogonalterhadap satu (unity) dalam kisaran x0 , untuk m dan nbilangan bulat.
Penyelesaian:
Dari identitas trigonometri
xnmxnmxnxm )cos()cos(sinsin2 (5.75)
dan integrasi dalam kisaran yang diberikan untuk 1)( xr ,didapatkan
201
00 0)cos()cos(sinsin2 dxxnmdxxnmdxxnxm
(5.76)
00)sin(1)sin(1 xnm
nmxnm
nm
0
jika nm , dari Pers. (5.76) diperoleh
0 0 0
2 2cos)(sin2 dxxmdxdxxm
002sin
21 xmm
x
Jadi,
nm
nmdxxnxm
bila
bilasinsin
0
20
(5.77)
dan
nm
nmdxxnxm
bila
bilacoscos
0
20
(5.78)
Sifat orthogonaliti ini sangat berguna, namun ini hanya adapada PDB tertentu, yang disebut persamaan Sturm-Liouville. Denganmembandingkan persamaan tertentu dengan persamaan umum Sturm-Liouville akan diperoleh fungsi pembobot )(xr .
202
Persamaan Sturm-LiouvilleSetiap persamaan diferensial biasa linier order dua yang dapat ditulisdalam bentuk umum
0)()()(
yxrxq
dxdyxp
dxd (5.79)
dimana adalah suatu konstanta dan p, q, r adalah fungsi x,dikelompokkan dalam tipe Sturm-Liouville.
Untuk setiap fungsi-fungsi p, q, dan r, penyelesaian Pers.(5.79) untuk y akan tergantung pada . Oleh karena itu, bila diambilsekumpulan harga-harga discrete ,n maka penyelesaian-penyelesaian yang berhubungan )(xy n akan didapat. Andai untukdua harga berbeda, katakanlah m dan n , penyelesaiannya adalah
)(xy m dan .)(xy n Masing-masing harga ini harus memenuhiPers. (5.79), sehingga
0)()()(
nnn xrxq
dxdxp
dxd
(5.80)
0)()()(
mmm xrxq
dxdxp
dxd
(5.81)
Tujuan utama adalah untuk menurunkan kondisi orthogonaliti Pers.(5.74) dan kondisi batas yang sesuai. Untuk melakukannya, kalikanPers. (5.80) dengan m , dan Pers. (5.81) dengan n , dan kurangkankedua persamaan tersebut menghasilkan
0)()()(
mnmnm
nn
m xrdx
dxpdxd
dxdxp
dxd
Integrasikan persamaan ini terhadap x dari a hingga b, menghasilkan
203
dxdx
xdxpdxddxxr mb
a
b
a nmnmn
)()()()(
dxdx
xdxp
dxd nb
a m
)(
)(
(5.82)
Jelas terlihat bahwa ruas kiri hampir sama dengan Pers. (5.74).Dengan menghitung masing-masing integral pada ruas kanan secaraparsial, diperoleh
dxdx
ddx
dxpdx
dxpdxxrb
a
b
anm
b
a
mnmnmn
)()()()(
dxdx
ddx
dxpdx
dxp mb
an
b
a
nm
)()(
b
a
nm
mn dx
ddx
dxp
)( (5.83)
Jadi fungsi-fungsi )(xn dan )(xm , yang berhubungan dengan duaharga berbeda ( n dan m ), akan menjadi orthogonaliti jika sisi ruaskanan Pers. (5.83) adalah nol. Sisi ruas kanan akan sama dengan noljika sembarang dua dari tiga kondisi batas homogen dimasukkan.
i. ax atau b, 0y 0 mn
ii. ax atau b, 0dxdy 0
dxd
dxd mn
iii. ax atau b, yNdxdy m
mn
n Ndx
dNdx
d
, .
204
5.3.3 Metode Pemisahan VariabelMetode pemisahan variabel merupakan suatu metode yang paling luaspenggunaannya dalam matematika terapan. Strategi dari metode iniadalah memecahkan variabel terikat sebanyak variabel bebas, dimanamasing-masing variabel terikat hanya mengandung satu variabel bebassaja; akibatnya, akan menghasilkan sekumpulan PDB. Karena hanyapersamaan-persamaan linier yang sesuai dengan metode ini, makadengan jelas prinsip-prinsip superposisi dapat dipakai. Ini berartibahwa sederetan penyelesaian PDB dapat dijumlahkan untukmenghasilkan penyelesaian lengkap. Kumpulan persamaan-persamaanini akan menimbulkan konstanta-konstanta integrasi dengan jumlahtak berhingga. Permasalahan yang timbul sekarang adalah bagaimanamenentukan konstanta-konstanta integrasi yang jumlahnya takberhingga. Masalah ini dapat diselesaikan, untuk kondisi-kondisi batashomogen, dengan menggunakan suatu kondisi yang disebutorthogonaliti. Sifat-sifat fungsi orthogonal akan dapat menghitungkonstanta-konstanta integrasi satu per satu.
Berikut ini akan didemonstrasikan pemakaian metode inidengan contoh praktis.
Contoh 5.4.
Suatu slab mempunyai panjang dan lebar (arah y dan z) takterhingga. Temperatur mula-mula adalah 1T , kedua permukaanslab tersebut didinginkan tiba-tiba menjadi temperatur 0T . Tebalslab 2R. Bagaimana hubungan antara temperatur terhadap waktudan posisi dalam slab sesudah proses pendinginan? Ambilsistem koordinat pada salah satu permukaan slab.Penyelesaian:
Neraca panas pada elemen volum:
).().().( akumulasiLkeluarLmasukL
205
Anggap: k, , pC = konstan.
Gambar 5.1. Slab tak terhingga.
TCxAdtdAqAq pxxxxx
Bila kedua ruas dibagi dengan xA , kemudian diambil limitx menuju nol, menghasilkan
tTCq
x px
)(
Dengan menggunakan hukum Fourier, ,xTkqx didapatkan
tT
xT
2
2
(5.84)
dimana
pCk
(5.85)
Kondisi batas untuk sistem ini adalah:
2 R
xdx
zx
206
K.A.: Temperatur disemua tempat pada keadaan awal adalah1T
1)0,( TxT (5.86)
K.B.1: Temperatur pada 0x setiap saat dijaga konstan 0T
0),0( TtT (5.87a)
K.B.2: Temperatur pada Rx 2 setiap saat dijaga konstan 0T
0),2( TtRT (5.87b)
K.B.3: Temperatur disemua tempat pada t adalah 0T
0),( TxT (5.87c)
Dari Pers. (5.87) terlihat bahwa kondisi batas adalah non-homogen. Jadi, untuk menghomogenkan kondisi batastemperatur T diubah menjadi besaran tak berdimensi , yaitu
01
0
TTTT
(5.88)
)( 01 TTT
2012 )( TTT
Persamaan ini disubstitusikan ke dalam Pers. (5.84),menghasilkan
tx
2
2
(5.89)
Kondisi batasnya menjadi
K.A.: 1)0,( x (5.90)
207
K.B.1: 0),0( t (5.91a)
K.B.2: 0),2( tR (5.91b)K.B.3: 0),( x (5.91c)
Sekarang terlihat kondisi batasnya sudah homogen. Strategiyang digunakan dalam metode pemisahan variabel adalahmereduksi PDP menjadi PDB. Metode ini memerlukan duafungsi, karena dalam contoh ini mengandung dua variabel bebas,yang menggambarkan penyelesaian )(xf dan )(tg . Variabel
)(xf hanya tergantung pada posisi x, dan )(tg hanyatergantung pada waktu t. Ada beberapa kemungkinanpenggabungan variabel-variabel ini untuk membangun .),( txBiasanya menggunakan hasil kali fungsi-fungsi, yaitu
)()(),( tgxftx (5.92)
Persamaan ini harus memenuhi Pers. (5.89) dan kondisibatas/awal, yaitu Pers. (5.90) dan (5.91). Diferensialkan Pers.(5.92) secara parsial terhadap x dan t,
)(tgdxdf
x
gdx
fdtgdxdf
dxd
xxx
2
2
2
2
)( (5.93)
dan
dtdgxf
t
)( (5.94)
Substitusikan Pers. (5.93) dan (5.94) dalam Pers. (5.89)
tddgf
dxfdg 2
2
(5.95)
208
Variabel-variabel terikat dapat dipisahkan dengan membagi Pers.(5.95) dengan gf , menghasilkan
tddg
gdxfd
f
11
2
2
(5.96)
Walaupun sekarang variabel bebas sudah terpisah, tetapipersamaan tersebut belum dipisahkan satu sama lainnya agarmereka dapat diselesaikan secara terpisah. Ruas kiri Pers. (5.96)tidak tergantung pada t dan harganya konstan pada setiap saat,sedangkan ruas kanan Pers. (5.96) tidak tergantung pada x danharganya juga konstan pada setiap posisi. Dengan demikian,jelas kedua sisi Pers. (5.96) harus sama dengan suatu konstantayang sama, katakanlah 2 . Konstanta 2 ini dapat berupabilangan riil, positif atau negatif, nol atau imajiner. SehinggaPers. (5.96) menjadi
22
2 11
td
dggdx
fdf
(5.97)
Dari Pers. (5.97) diperoleh dua PDB, yaitu
022
2
fdx
fd (5.98)
dan
02 gtd
dg (5.99)
Persamaan (5.98) dan (5.99) merupakan PDB linier dengankoefisien konstan dan penyelesaiannya:
a) Untuk 02 Dari Pers. (5.98):
209
022
2
fdx
fd
Persamaan karakteristiknya:
022 m im 2,1
Jadi penyelesaian Pers. (5.98) adalah
xCxCxf sincos)( 21 (5.100)
Dari Pers. (5.99):
02 gtd
dg
Persamaan karakteristiknya:
02 m 2m
Jadi penyelesaian Pers. (5.99) adalah
)exp()( 23 tCtg (5.101)
Penyelesaian umum untuk 02 adalah
)()(),( tgxftx
)exp()sincos( 2321 tCxCxC
)exp()sincos( 254 txCxC (5.102)
b) Untuk 02 Persamaan (5.98) menjadi
02
2
dx
fd
210
integrasikan dua kali terhadap x, diperoleh
76)( CxCxf (5.103)
dan Pers. (5.99) menjadi
0td
dg
8)( Ctg (5.104)
Penyelesaian umum untuk 02 adalah:
)()(),( tgxftx
876 )( CCxC
109 CxC (5.105)
Karena Pers. (5.98) dan (5.99) adalah persamaan-persamaanlinier, maka dengan jelas prinsip superposisi dapat dipakai,sehingga penyelesaian lengkap dari Pers. (5.89) adalah
1092
54 )exp()sincos(),( CxCtxCxCtx
(5.106)
Dari K.B.3 dan Pers. (5.106), diperoleh
10954 )exp()sincos(0 CxCxCxC
10900 CxC
persamaan ini dipenuhi bila 09 C dan 010 C . Persamaan(5.106) menjadi
)exp()sincos(),( 254 txCxCtx (5.107)
Dari K.B.1 dan Pers. (5.107), didapatkan
211
)exp()0sin0cos(0 254 tCC 04 C
Persamaan (5.107) tereduksi lagi menjadi
)exp(sin),( 25 txCtx (5.108)
Dari K.B.2 dan Pers. (5.108):
)exp()2sin(0 25 tRC
5C tidak boleh sama dengan nol, karena bila 05 C tidak adajawabannya. Jadi persamaan diatas dipenuhi bila
02sin R
,2 nR ,2,1,0n
Rn2 , ,2,1,0n (5.109)
Persamaan (5.108) menjadi
t
Rn
RxnCtx 2
22
5 4exp
2sin),( (5.110)
Dari K.A. dan Pers. (5.110),
RxnC
2sin1 5
Ini menunjukkan bahwa harga 5C tidak hanya satu untukmemenuhi kon-disi awal tersebut. Jadi jawaban paling umumdari tipe ini dapat diperoleh dengan superposisi penyelesaianpartikulir Pers. (5.110).
212
tR
nR
xnAtxn
n 2
22
1 4exp
2sin),( 5.111)
Kemudian K.A. digunakan kembali, yaitu
RxnA
nn 2
sin11
(5.112)
Permasalahan sekarang adalah menentukan berapaharga An. Harga An yang memenuhi Pers. (5.112) dapatditentukan dengan menggunakan properti-properti fungsiorthogonal. Dengan membandingkan Pers. (5.98) denganpersamaan umum Sturm-Liouville (5.79) didapatkan
1)()( xrxp , 0)( xq , dan ,2 maka Pers. (5.98)adalah tipe Sturm-Liouville. Kondisi batas (5.91a) dan (5.91b)adalah bentuk yang sesuai dengan (i) dan dengan demikianfungsi )2sin( Rxn adalah orthogonal terhadap 1)( xrdalam kisaran 0 hingga 2R. Properti orthogonal inidimanfaatkan dengan mengalikan kedua sisi Pers. (5.112)dengan fungsi )2sin( Rxm , dan hasilnya diintegrasikan dari0 hingga 2R. Jadi,
dxRxnA
Rxmdx
Rxm
nn
RR
1
2
0
2
0 2sin
2sin
2sin
(5.113)
Integral jumlah sama dengan jumlah dari integral, maka Pers.(5.113) menjadi
dxRxn
RxmAdx
Rxm R
nn
R
2sin
2sin
2sin
2
01
2
0
(5.114)
213
Dari properti orthogonal diperoleh bahwa integral pada ruaskanan Pers. (5.114) adalah nol, kecuali untuk kasus nm . Bila
nm , maka
dxRxnAdx
Rxn R
nn
R
2
0
2
1
2
0 2sin
2sin (5.115)
Hasil integrasi ruas kanan Pers. (5.115) adalah R (dari Pers.(5.77)). Persamaan (5.115) menjadi
RAdxRxn
n
R
2
0 2sin
R
xndRxn
nA
n
n 22sin2
0
,)1(12 nn n
A
,3,2,1n (5.116)
Substitusikan Pers. (5.116) kedalam Pers. (5.111), menghasilkan
2
22
1 4exp
2sin)1(12),(
Rtn
Rxn
ntx
n
n
atau
2
22
101
0
4exp
2sin)1(12
Rtn
Rxn
nTTTT
n
n
(5.117)
214
5.4 RangkumanPersamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yangmempunyai lebih dari satu variabel bebas. Secara analitik persamaandiferensial parsial dapat diselesaikan dengan menggunakan metodepenyatuan variabel, metode pemisahan variabel, dan transformasiLaplace. Hasil dari penyelesaian persamaan diferensial parsial sangatditentukan oleh kondisi awal dan kondisi batas. Kondisi awal dankondisi batas merupakan pernyataan dari fenomena fisik pada harga-harga yang ditentukan dari variabel bebas. Ada tiga tipe kondisi awaldan kondisi batas yang biasanya muncul dalam suatu permasalahan,yaitu:
1. Fungsi yang ditetapkan pada harga batas.2. Turunan fungsi yang ditetapkan pada harga batas.3. Fungsi campuran pada harga batas.
5.5 Soal-Soal
5.1. Penyelesaian Pers. (5.89) dalam Contoh 5.4 dengan metodepemisahan variabel adalah
1092
54 )exp()sincos(),( CxCtxCxCtx
Tentukan konstanta-konstanta integrasi (C4, C5, C9, dan C10)dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas berikut ini:
K.A.: pada ,0t ,xx 1
K.B.1: pada ,0x ,tt 0
K.B.2: pada ,2Rx ,tt 0
5.2. We have seen in Example 10.2 (CVD Reactor) that conditions ofshort contact time (or short penetration) can lead to considerablesimplifications, to produce practical results. Consider the case ofheat transfer for laminar tube flow, under conditions of short
215
contact time. Ignoring axial conduction, the steady-state heatbalance was shown for parabolic velocity profile
rTr
rrzT
Rrv 112
2
0
where thermal diffusivity is .pCk For short penetrationfrom a wall of temperature TW, we introduce the wall coordinate
,rRy so that the conduction term close to the wall isapproximately
2
21yT
rTr
rr
And the velocity close to the wall is
Ryvvz 04
(a) By analogy with the CVD-reactor problem (Example 10.2),use the combined variable
31
049
vzR
y
)()( fTT W
and show that, for a liquid entering at T0
0
3
0
)exp()34(
1 dTTTT
W
W
(b) By defining the flux at the wall as
216
00
yy
Tkq
we can define a local heat transfer coefficient based on theinlet temperature difference, so let
)()( 000 WTTzhq
hence, show that
3120
31
0
34)94()(
zR
kCvzh p
(c) Define the average heat transfer coefficient using
L
dzzhL
h0 00 )(1
and thus show the dimensionless result
31
PrRe62.1Nu
LD ;
34985.1
62.1
31
where
,Nu 0
kDh
,Re 0
Dv
,PrkC p
RD 2
This result, after leveque (1928), compares reasonably wellwith experiments. The multiplicative constant has beenadjusted based on experimental data to give a value 1.86.
217
(Problem taken from “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995. Problem 10.23)
5.3. As a design engineer, you are asked by your boss to design awetted wall tower to reduce a toxic gas in an air stream down tosome acceptable level. At your disposal are two solvents, whichyou can use in the tower; one is nonreactive with the toxic gasbut is cheap, whereas the other is reactive and quite expensive.In order to choose which solvent to use, you will need toanalyze a model to describe the absorption of the toxic gas intothe flowing solvent (see Fig. 5.1).
(a) For the nonreactive solvent, derive from first principles themass balance equation for the absorbed toxic gas into thesolvent and show
2
22
1xC
zCxvmaks
D
(b) What are the boundary conditions for the mass balanceequation obtained in part (a).
(c) For the reactive solvent, derive from the first principles themass balance for the absorbed toxic species and the solventfollows first order kinetics.
CkxC
zCxvmaks
2
22
1 D
(d) Assuming that you have obtained the solution for thedistribution of absorbed concentration of the toxic species,obtain a formula to calculate the mass flux (mole/area-time)into the falling film as a function of z.
218
0
)(
xx
CzN D
Next, for a falling film of length L and width W, obtain aformula the mass transfer (moles/time) into the film.
Mass flux
L
x
Ldz
xCWdzzNW
00
0)( D
(e) For a given length and width and a given flow rate of liquid,which solvent do you expect to give higher absorption rateand why?
(Problem taken from “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995. Problem 10.12*)
5.4. Metode tabung kapiler untuk menentukan difusivitas cairanbiner telah dilaporkan dalam Mickley dkk. (1957). Tabungkapiler panjangnya L, salah satu ujungnya tertutup, ujung yanglainnya terbuka, mula-mula berisi larutan A dengan konsentrasiC0. Kapiler tersebut diletakkan dalam posisi tegak dengan ujungterbuka menghadap ke atas. Kemudian solven murni (B)dialirkan secara perlahan dan kontinyu melewati ujung kapilerterbuka. Setelah waktu tertentu, , kapiler tersebut dikeluarkandan larutan A sisa dianalisa komposisinya, untuk menentukanberapa banyak solut A yang telah terekstrak. Percobaan inidilakukan beberapa kali pada harga berbeda. Konsentrasi Apada ujung kapiler terbuka dianggap selalu nol.
Anggap difusivitas tidak terlalu banyak berubah terhadapkomposisi (sebe-narnya difusivitas rata-rata dihitung sesuaidengan komposisi rata-rata antara keadaan awal dan akhir).
Kondisi awal dan batas adalah:
pada ,0t 0CC A
219
pada ,0z 0zAN
pada ,Lz 0AC
dimana NAz adalah fluksi difusi A yang dinyatakan denganhukum Fick I, yaitu:
dzdCN A
ABzA D
waktuluasmol
dengan DAB adalah difusivitas biner untuk sistem A-B.
(a) Buat neraca massa transient dari A dan buktikan bahwa
2
2
zdC
tC A
ABA
D
(b) Selesaikan persamaan dalam bagian (a) denganmenggunakan metode pemisahan variabel, dan buktikanbahwa
Lzn
nCtzC
n
n
A 2)12(cos
)12()1(4
),(1
10
2
22
4)12(exp
Ltn ABD
(c) Fraksi solut A yang sisa (setelah percobaan) dihitung denganpersamaan
dzC
tzCL
RL A
00
),(1
buktikan bahwa R adalah
220
2
22
122 4
)12(exp)12(
18L
tnn
R AB
n
D
(Soal ini disadur dari “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995. Problem 10.193)
GlossariumPersamaan Diferensial Parsial adalah persaman diferensial yangmengandung lebih dari satu variable bebas.Persamaan Diferensial Parsial linier orde dua adalah persamaandiferensial parsial yang mempunyai bentuk seperti pada persamaan(5.2)Kondisi Awal adalah kondisi pada waktu mula-mula 0tt padasuatu peristiwa fisika atau kimia dari kondisi tersebut diperoleh satuset persamaan matematika.Kondisi Batas adalah ilustrasi dari peristiwa-peristiwa fisika ataukimia pada harga-harga yang ditentukan dari variable bebas. Kondisibatas diperlukan untuk menetukan konstanta-konstanta integrasi.
Daftar Pustaka
1. Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, 2001, Elementary DifferentialEquations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons,Inc., New York.
2. Jenson, V. G. and G. V. Jeffreys, 1977, Mathematical Methods inChemical Engineering, 2nd ed., Academic Press., London.
3. Mickley, H. S., T. S. Sherwood, and C. E. Reed, 1975, Applied
221
Mathematics in Chemical Engineering, McGraw-Hill BookCompany, New York.
4. Rice, B. J. and J. D. Strange, 1994, Ordinary DifferentialEquations with Applications, 3rd Ed., Brooks/Cole PublishingCompany, California.
5. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc., NewYork.
6. Sediawan, W. B. dan A. Prasetya, 1997, Pemodelan Matematisdan Penyelesaian Numerik dalam Teknik Kimia, Penerbit ANDI,Yogyakarta.
7. Zhang, S. and J. Jin, 1996, “Computation of Special Functions”,John Wiley and Sons, New York.
222
BAB 6TRANSFORMASI LAPLACE
6.1 PendahuluanIde dari suatu transformasi merupakan suatu gagasan yang sangatpenting di dalam matematika dan di dalam memecahkan masalah padaumumnya. Bila kita berhadapan dengan suatu masalah yang sulit,seringkali ide-ide baik yang digunakan adalah dengan merubahmasalah tersebut dengan berbagai cara menjadi suatu masalah yanglebih mudah, setelah itu masalah yang telah ditransformasikantersebut diselesaikan, dan kemudian penyelesaian yang didapatkan
Tujuan Intruksional Umum:Setelah mengikuti pokok bahasan (PB) dari mata kuliah inimahasiswa dapat mengaplikasikan dasar-dasar TransformasiLaplace dan Transformasi Laplace Invers.
Tujuan Intruksional Khusus:1. Setelah mengikuti PB ini mahasiswa dapat
menggunakan Transformasi Laplace dari fungsisederhana dan sifat-sifat Transformasi Laplace.
2. Setelah mengikuti PB ini mahasiswa dapat meng-gunakan Transformasi Laplace Invers.
3. Setelah mengikuti PB ini mahasiswa dapat meng-aplikasikan Transformasi Laplace dalam menyelesaikanpersamaan deferensial biasa.
.
223
dikembalikan ke masalah orisinal. Salah satu contoh dari proses iniadalah ide tentang logaritma. Ide ini digunakan untuk membantuperhitungan. Misal, masalah perkalian yang rumit, denganmenggunakan ide ini kita dapat mentransformasikannya ke dalammasalah penjumlahan, kemudian dilakukan penjumlahan, dan setelahitu jawaban tersebut ditransformasikan kembali ke dalam masalahaslinya. Proses yang bergerak dari hasil transformasi kembali ke hasilaslinya disebut transformasi invers. Misalnya, kita tahu bahwa inversdari transformasi logaritma adalah transformasi eksponensial.
y = loga x
Di dalam kalkulus dasar juga kita telah mempelajari bagaimana suatuintegral tertentu dapat dengan mudah diselesaikan dengan merubahvariabel-variabelnya, yaitu dengan mentransformasikan, katakanlah,suatu integral dalam bentuk x menjadi dalam bentuk integral yanglebih sederhana dalam variabel lainnya, katakanlah u. Kemudianbentuk integral yang lebih sederhana dalam variabel u diselesaikan,dan hasilnya dikembalikan lagi dalam variabel x. Jadi, filosofi dalammelakukan transformasi untuk menyelesaikan suatu masalah dapatdinyatakan secara sederhana: 1. Transformasi; 2. Selesaikan; dan 3.Invers.
Dalam bab ini kita akan mempelajari suatu tipe khusus daritransformasi integral yang disebut transformasi Laplace. Transformasiini akan berguna bagi kita karena dapat menghilangkan turunan-turunan dari persamaan diferensial dan menggantikannya denganpersamaan aljabar.
fx
xy aaa log
xy alogf-1
224
6.2 Definisi Transformasi Laplace
Misalkan )(tf merupakan suatu fungsi kontinyu dari variabel bebas tuntuk 0t , maka transformasi Laplace dari )(tf didefinisikandengan:
0)()()]([ dttfesFtf tsL (6.1)
Simbol L disebut operator transformasi Laplace. Transformasi
Laplace dari )(tf dikatakan ada apabila integral (5.1) konvergenuntuk beberapa harga s, bila tidak konvergen maka transformasiLaplacenya tidak ada. Perhatikan bahwa setelah kita mengintegrasikanterhadap t, hasilnya akan mempunyai parameter s didalamnya—yaitu,integral tersebut merupakan suatu fungsi parameter s, sehingga kitadapat menulis ).()]([ sFtf L
6.2.1 Transformasi Laplace dari Beberapa Fungsi Sederhana
1. Bila konstanta)( Ctf
)10()(][00
s
CesCdtCesFC tstsL
sC (6.2)
2. Bila ttf )(
0)(][ dttesFt tsL
misal: tu dtedv ts
225
dtdu tses
v 1
0200
1)00(111][ tststs ess
dtes
ets
tL
)10(12
s
2
1s (6.3)
3. Bila nttf )(
0)(][ dttesFt ntsnL
Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan memisalkan:
tsu ; dtsdu
sehingga
0 01
11][ duues
duss
uet nun
nunL
)1(11
ns n
1
!
nsn
(n = bil. bulat positif) (6.4)
4. Bila taetf )(
0
)(
0)(][ dtedteesFe tastatstaL
226
0
)(1 taseas
)10(1
as
as
1 (6.5)
Dengan cara yang sama diperoleh untuk
ase ta
1][L (6.6)
5. Bila tatf cos)(
0cos)(][cos dttaesFta tsL
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan integral parsial.
misal: tau cos dtedv ts
dttaadu sin tses
v 1
sehingga
00sincos1][cos dttae
satae
sta tstsL
0sin)10(1 dttae
sa
sts
Untuk menyelesaikan integral tersebut, kita dapat menggunakanintegral parsial lagi
misal: tau sin dtedv ts
227
dttaadu cos tses
v 1
00cossin
11][cos dttae
satae
ssa
sta tstsL
][cos)00(1
2
2
2 atsa
sa
sL
sat
sa 1][cos1 2
2
L
2222
21][cosas
sas
ss
ta
L (6.7)
Metode lain:
Formula Euler: taitae tai sincos
00Recos][cos dteedttaeta taitstsL
0
)(1Re taiseais
)10(1Reais
aisais
ais1Re
222Reais
ais
22 ass
228
Hasilnya sama dengan Pers. (6.7). Dengan cara yang sama diperolehuntuk
22][sinas
ata
L (6.8)
Transformasi Laplace dari beberapa fungsi sederhana diberikan dalamTabel 6.1.
Tabel 6.1. Transformasi Laplace dari beberapa fungsi sederhana
No. )(tf )(sF
1. C 0ssC
2. t 012 s
s
3.nt 0)1(
1 s
sn
n
positifbulatbil.!1 n
snn
4. tae asas
1
5. 1!0,!
net tan
asas n 1)(
1
6. tacos 022
sas
s
7. tasin 022
sas
a
8. tacosh asas
s
22
9. tasinh asas
a
22
229
6.2.2 Beberapa Sifat Penting Transformasi Laplace
1. Sifat Linier
Jika C1 dan C2 adalah konstanta-konstanta sembarang, sedangkan)(1 tf dan )(2 tf adalah fungsi-fungsi dengan transformasi
Laplacenya masing-masing )(1 sF dan )(2 sF , maka
)]([)]([)]()([ 22112211 tfCtfCtfCtfC LLL
)()( 2211 sFCsFC (6.9)
Hasil ini dapat diperluas untuk lebih dari dua fungsi.
2. Sifat Pengubahan Skala
Jika )()]([ sFtf L , maka
asF
ataf 1)]([L (6.10)
Bukti:
0)()]([ dtatfeatf tsL
Untuk menyelesaikan integral ini, kita misalkan:
atu ; dtadu
sehingga
0
)( )(1
)]([ duufea
atf uasL
asF
a1
230
Contoh 6.1.
Carilah ].[cos taL
Penyelesaian:
Misalkan: ttf cos)(
)(1
][cos 2 sFs
st
L
maka
2222
2
22
11)(
1][cosas
sas
asaas
asa
ta
L
3. Transformasi Laplace dari Turunan
Transformasi Laplace dari turunan pertama didefinisikan:
L
00
)()()(tdfedt
dttdfe
dttdf tsts
Integral tersebut diselesaikan dengan integral parsial,
misal: tseu )(tdfdv
dtesdu ts )(tfv
sehingga
L
00)()(
)( dttfesetfdt
tdf tsts
)]([)}0(0{ tfsf L
)0()( fsFs (6.11)
231
Transformasi Laplace dari turunan kedua didefinisikan:
L
dttdf
dedtdt
tfde
dttfd tsts )()()(
02
2
02
2
dapat digunakan integral parsial untuk menyelesaikan integral ini
misal: tseu
dttdfddv )(
dtesdu tsdt
tdfv )(
L dtdt
tdfesedt
tdfdt
tfd tsts
)()()(
002
2
sdt
df
)0(0 L
dt
tdf )(
dtdffsFss )0(
)]0()([
)0()0()(2 ffssFs (6.12)
dimana )0(f dan )0(f adalah harga fungsi dan turunannya padavariabel bebas sama dengan nol.
Prosedur ini dapat dikembangkan hingga turunan ke-n, yangmemerlukan )1( n kondisi awal.
L )0()0()0()()( 121
nnnnn
n
ffsfssFsdt
tfd (6.13)
Seperti kita ketahui, transformasi Laplace dari turunan
232
membutuhkan kondisi-kondisi awal dari fungsi dan turunan-turunansuksesifnya. Ini berarti bahwa hanya masalah-masalah kondisi awaldapat diselesaikan dengan transformasi Laplace. Secara implisit jugamenyatakan bahwa turunan fungsi-fungsi yang ditinjau hanya berlakuuntuk fungsi kontinyu. Jika tidak kontinyu, maka transformasiLaplace dari turunan harus dimodifikasi untuk memperhitungkanketidak-kontinyuannya.
Transformasi dari turunan dapat digunakan untuk mendapatkantransformasi Laplace dari suatu fungsi tanpa menggunakan prosedurintegrasi.
Contoh 6.2.
Carilah ].[ taeL
Penyelesaian:
Misalkan: ,)( taetf 1)0( f
taeatf )(
)0()()]([ fsFstf L
1)]([][ tfsea ta LL
1][)( taeas L
ase ta
1][L
Bandingkan hasil ini dengan Pers. (6.5).
233
Contoh 6.3.
Hitunglah ].[cos taL
Penyelesaian:
Misalkan: ,cos)( tatf 1)0( ftaatf sin)( , 0)0( f
taatf cos)( 2
)0()0()()]([ 2 ffssFstf L
0)1(][cos]cos[ 22 satstaa LL
satas ][cos)( 22 L
22][cosas
sta
L
Hasil yang diperoleh sama dengan cara integrasi, Pers. (6.7).
4. Sifat Perkalian Dengan t
Kadang-kadang berguna untuk mendiferensialkan transformasiLaplace terhadap variabel kontinyu s. Jika,
0)()()]([ dttfesFtf tsL
maka diferensial )(sF terhadap s adalah
0)(
)( dttfedsd
dssdF ts (6.14)
234
Diferensial pada ruas kanan Pers. (6.14) dapat dilakukan denganmenggunakan formula Leibnitz, diferensial dibawah tanda integral,yaitu
dxa
axfdadu
aufdadu
aufdxaxfdad au
au
au
au
)(
)(
11
22
)(
)(
2
1
2
1
),(),(),(),(
(6.15)
Bandingkan ruas kanan Pers. (6.14) dan Pers. (6.15), didapatkan
)(),(0)(1 tfeaxfausa ts
)(2 audtdx
Sehingga, Pers. (6.14) menjadi
dts
tfeds
sdF ts
0
)]([00
)(
dttfte ts
0)(
)]([ tftL
Jadi
dssdFtft )(
)]([ L (6.16)
Prosedur ini dapat dikembangkan hingga turunan ke n dari)(sF terhadap s, menghasilkan
n
nnn
dssFdtft )(
)1()]([ L (6.17)
Persamaan (6.17) merupakan sifat perkalian dengan nt .
235
Contoh 6.4.
Hitunglah ].sin[ tatL
Penyelesaian:
Misalkan: tatf sin)(
)(][sin 22 sFas
aat
L
berdasarkan Pers. (6.16), diperoleh
22222 )(2]sin[
assa
asa
dsdatt
L
Proses diferensiasi terhadap s memberikan suatu teknikpenyelesaian untuk Persamaan Diferensial Biasa dengan koefisien-koefisien berubah. Dari Pers. (6.17) diketahui bahwa
n
nnntsn
dssFddttftetft )(
)1()()]([0
L
karena itu, transformasi Laplace dari hasil kali turunan dapat ditulis
n
n
m
mm
n
nm
dttfd
dsd
dttfdt )()1()( LL (6.18)
Bila 1m dan ,1n maka
dttdf
dsd
dttdft )()1()( LL
)0()( fsFsdsd
236
0)()( sF
dssdFs
Jadi,
)()()( sFds
sdFsdt
tdft
L (6.19)
Proses ini dapat diselesaikan lebih lanjut seperti yang ditabulasikandalam tabel berikut ini:
Tabel 6.2. Transformasi Laplace dari hasil kali diferensial
)(tf )()]([ sFtf L
dttdft )(
)()(
sFds
sdFs
dttdft )(2
dssdF
dssFds )()(
2
2
2
2 )(dt
tfdt )0()(2)(2 fsFs
dssdFs
2
22 )(
dttfdt )(2
)(4
)(2
22 sF
dssdF
sds
sFds
5. Transformasi Laplace dari Integral
Transformasi Laplace dari suatu fungsi integeral didefinisikan:
dtdzzfedttfttst
000)()(L (6.20)
dimana telah digunakan dummy variable untuk integral dalam kurungsiku. Ini dapat diintegrasikan secara parsial:
237
misalkan: t
dzzfu0
)(
t
dzzfdtd
dtdu
0)(
menurut formula Leibnitz diperoleh:
,)( dttfdu
dtedv ts tses
v 1
sehingga
00
00)(1)(1)( dttfe
sdzzfe
sdttf tsttst
L
)]([100 tfsL
ssF )(
Jadi, bila ),()]([ sFtf L maka
ssFdzzf
t )()(
0
L (6.21)
Contoh 6.5.
Carilah
tdzza
0cosL
238
Penyelesaian:
Misal: ,cos)( tatf
)(][cos 22 sFas
sat
L
maka,
22220
11cosasas
ss
dzzat
L
6. Pembagian Oleh t
Jika ),()]([ sFtf L maka
sduuF
ttf
)()(L (6.22)
Bukti:
Misalkan:ttftg )(
)(
)()( tgttf , )]([)]([ tgttf LL
Dari Pers. (6.16) didapatkan transformasi Laplace dari ruas kananpersamaan di atas.
dssdGsF )(
)(
ssduuFsdG )()(
s
duuFGsG )()()(
239
karena ,0)(lim
sGs
maka
s
duuFsG )()(
Jadi,
sduuF
ttf
)()(L (6.23)
asalkan ttft
)(lim0
ada.
Contoh 6.6.
Hitunglah
ttsinL .
Penyelesaian:
Misalkan: ttf sin)( , )(1
1][sin 2 sFs
t
L
1
1cos
limsin
limsin
lim)(
lim0000
t
tdtd
tdtd
tt
ttf
tttt ada
maka
sdu
utt
ttf
11sin)(
2LL
s
utg )(1
240
)()( 11 stgtg
)(2
1 stg
stg 11
7. Teorema Shifting
Teorema ini sangat berguna dalam menentukan transformasi dari suatutipe fungsi eksponensial dan juga dalam melakukan transformasiinvers. Teorema shifting dapat dinyatakan sebagai berikut:
“Jika transformasi Laplace )(tf adalah ),(sF maka
transformasi Laplace dari )(tfe ta adalah ),( asF
dimana a adalah konstanta berhingga. Yakni, perkalian)(tf dengan tae mempengaruhi pergeseran asal
(origin) s menjadi )( as .”
Teorema ini dapat ditulis secara matematis sebagai berikut:
Jika ),()]([ sFtf L maka
)()]([ asFtfe ta L (6.24)
Bukti:
0)()]([ dttfeetfe tatstaL
0
)( )( dttfe tas
)( asF
241
Contoh 6.7.
Tentukan ].cos[ tbe taL
Penyelesaian:
Misalkan: tbtf cos)(
)(][cos 22 sFbs
stb
L
Karena itu, dengan teorema shifting diperoleh
22)(]cos[
basastbe ta
L
Hasil ini dapat dibuktikan dengan cara integrasi, yaitu
0cos]cos[ dttbeetbe tatstaL
0
)(Re dte tbias
0
)(
Rebias
e tbias
bias
10Re
biasbias
bias1Re
222)(Re
biasbias
22)( basas
242
6.3 Transformasi Laplace Invers
Definisi:
Jika transformasi Laplace suatu fungsi )(tf adalah )(sF , yaitu jika),()]([ sFtf L maka )(tf disebut transformasi Laplace invers dari
)(sF dan secara simbolis dapat ditulis:
)]([)( 1 sFtf L (6.25)
dimana 1L disebut operator transformasi Laplace invers.
6.3.1 Beberapa Sifat Penting Transformasi Laplace Invers
1. Sifat Linier
Teorema 1: Jika C1 dan C2 adalah konstanta-konstanta sembarang,sedangkan )(1 sF dan )(2 sF adalah transformasi
Laplace dari )(1 tf dan )(2 tf , maka
)]([)]([)]()([ 21
211
122111 sFCsFCsFCsFC LLL (6.26)
)()( 2211 tfCtfC
2. Teorema Shifting
Teorema 2: Jika )()]([1 tfsF L , maka
)()]([1 tfeasF taL (6.27)
243
Contoh 6.8.
Tentukan
20446
21
sssL .
Penyelesaian:
16)2(8)2(6
20446
21
21
ss
sss LL
III
sss
16)2(42
16)2(26 2
12
1 LL (6.28)
16)2(2
21
ssI L
16)2(2)( 2
s
ssF ,16
)2( 2
sssF
)()]2([ 21 tfesF t L
)(16
22
1 tfes
s t
L
tetf t 4cos)( 2
16)2(4
21
sII L
16)2(4)( 2
s
sF ,16
4)2( 2
ssF
244
)()]2([ 21 tfesF t L
)(16
4 22
1 tfes
t
L
tetf t 4sin)( 2
Jadi,
teess
s tt 4sin247cos6204
46 222
1
L
)4sin4cos3(2 2 tte t
3. Sifat Pengubahan Skala
Teorema 3: Jika )()]([1 tfsF L , maka
ktf
kskF 1)]([1L (6.29)
Contoh 6.9.
Tentukan
3696
21
sL .
Penyelesaian:
Misal:36
6)( 2
ssF
366)]([ 2
11
ssF LL
ttf 6sin)(
245
3696)3( 2
s
sF
331)]3([1 tfsFL
36
sin31
3696
21 t
sL
t2sin31
4. Transformasi Laplace Invers dari Turunan
Teorema 4: Jika )()]([1 tfsF L , maka
)()1()()]([ 1)(1 tftds
sFdsF nnn
nn
LL (6.30)
Contoh 6.10.
Carilah
222
1
)( assL .
Penyelesaian:
Misal: 22
1)(as
sF
22
11 1)]([as
sF LL
ata
tf sin1)(
246
22222 )(21)(ass
asdsd
dssdF
Jadi,
)()(1 tftds
sdF
L
atat
ass sin
)(2
2221
L
atat
ass sin
2)( 2221
L
5. Sifat Perkalian Dengan s
Teorema 5: Jika )()]([1 tfsF L dan 0)0( f , maka
)()]([1 tfsFs L (6.31)
Contoh 6.11.
Carilah
22
1
assL .
Penyelesaian:
Misal: 22
1)(as
sF
22
11 1)]([as
sF LL
247
ata
tf sin1)(
0)0( f
22)(as
ssFs
dttdfsFs )()]([1 L
atatdtd
aass cos)(sin1
221
L
Perluasan ke dalam bentuk )]([1 sFs nL , dengan n = 2, 3, ,dapat juga dilakukan.
6. Sifat Pembagian Dengan s
Teorema 6: Jika )()]([1 tfsF L , maka
t
dhhfssF
0
1 )()(L (6.32)
Contoh 6.12.
Carilah
3
1
)1(1
ssL .
Penyelesaian:
Misal: 3)1(1)(
s
sF
248
3
11
)1(1)]([
ssF LL
tettf 2
21)(
3)1(1)(
sss
sF
t h dheh
ssF
0
21
21)(L
t hth dhehehss 00
23
1 221
)1(1L
t htht dheehet
00
2 2021
thtt eetet0
2 20221
22221 2 ttt eetet
)1(1 221 tte t
Perluasan ke dalam bentuk ])([1 nssFL , ,,3,2 n dapat jugadilakukan.
Contoh 6.13.
Carilah
)4(1
21
ssL .
249
Penyelesaian:
Misal:4
1)( 2
ssF
41)]([ 2
11
ssF LL
ttf 2sin21)(
)4(1)(
2
ssssF
t
dhhssF
0
1 2sin21)(L
thss 02
1 2cos41
)4(1
L
)2cos1(41 t
6.4 Metode-Metode Untuk Menentukan Transformasi LaplaceInvers
Ada beberapa cara untuk menentukan transformasi Laplace invers,diantaranya adalah:
1. Penggunaan tabel2. Metode-metode yang menggunakan teorema di atas3. Metode pecahan parsial4. Metode konvolusi5. Metode deret
250
6. Metode residu; teori ini merupakan suatu metode yang sangatampuh dalam menentukan transformasi Laplace invers secaralangsung.
6.4.1 Metode Pecahan Parsial
Seringkali transformasi Laplace invers muncul dalam bentuk faktor.Misalnya:
)()()(
sQsPsF (6.33)
dimana )(sP dan )(sQ adalah polinomial, dengan derajat polinomial)(sP lebih kecil dari derajat polinomial ).(sQ
Misal polinomial )(sQ berbentuk:
a. )())(()( 21 nbsbsbssQ
dengan nbbb ,,, 21 adalah akar-akar dari polinomial ).(sQPersamaan (5.33) menjadi:
)())(()()(
21 nbsbsbssPsF
n
n
bsA
bsA
bsA
2
2
1
1 (6.34)
Ada tiga kemungkinan untuk menentukan nAAA ,,, 21 .
1. Faktor tunggal )( bs
2. Faktor ganda nbs )( 3. Faktor kompleks
251
1. Faktor Tunggal )( bs
bsAsF
)( (6.35)
Konstanta A dapat diperoleh dengan
)}()({lim bssFAbs
(6.36)
2. Faktor Ganda nbs )(
11
11
)()()()(
bsA
bsA
bsA
sF nn
nn
(6.37)
Konstanta-konstanta 11 ,,, AAA nn dapat diperoleh dengan
})()({lim n
bsn bssFA
(5.38)
nk
k
bskn bssFdsd
kA )()(lim
!1
, 1,,2,1 nk (6.39)
Tetapi bila faktor gandanya berbentuk ,)( nbsa makakonstanta-konstan-ta 11 ,,, AAA nn diperoleh dengan
})()({lim)(
n
absn bsasFA
(6.40)
nk
k
abskkn bsasFdsd
kaA )()(lim
!1
)(
, 1..,,2,1 nk (6.41)
Konstanta-konstanta 11 ,,, AAA nn juga dapat diperoleh dengan
menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan koefisien daripangkat-pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh.
252
b. ncsbsasQ )()( 2
Persamaan (6.33) menjadi:
ncsbsasPsF
)()()( 2
)()()( 211
1211
2 csbsaBsA
csbsaBsA
csbsaBsA
nnn
nnn
(6.42)
Konstanta-konstanta 11 ,,, AAA nn dan 11 ,,, BBB nn
diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan tersebut danmenyamakan koefisien-koefisien dari pangkat yang sama dari keduaruas persamaan yang diperoleh.
Contoh 6.14.
Tentukan
6163
21
sssL .
Penyelesaian:
6163)( 2
ss
ssF
236163
2
sB
sA
sss
(6.43)
Metode 1:
Dengan mengalikan kedua ruas Pers. (6.43) dengan,)2)(3( ss didapatkan
253
)3()2(163 sBsAs (6.44)
BAsBA 32)(
Koefisien s: BA3
AB 3
Konstanta: BA 3216
)3(3216 AA
A525 5A dan 2B
Jadi,
212
315
6163 11
21
sssss LLL
tt ee 23 25
Metode 2:
Menggunakan rumus (6.36),
52163
lim)3()2)(3(
163lim
33
sss
sssA
ss
2)2()2)(3(
163lim
2
s
sssB
s
Dengan menggunakan harga-harga ini didapatkan hasil yangsama dengan Metode 1.
254
Metode 3:
Sedikit modifikasi dari Metode 2, gunakan Pers. (6.44). Untukmenentukan A set 3s dan untuk menentukan B set .2s
3s : )0()5(169 BA
5A
2s : )5()0(166 BA
2B
Contoh 6.15.
Carilah
)1()1(32
2
21
ssssL .
Penyelesaian:
1)1(1)1()1(32 3
221
2
2
sA
sA
sA
ssss
(6.45)
11
32lim)1()1()1(
32lim2
1
22
2
12
s
sssssssA
ss
22
2
11 )1()1()1(
32lim!1
1 sssss
dsdA
s
1
32lim
2
1 sss
dsd
s
2
2
1 )1()32()1)(22(
lims
sssss
255
21
23)1(
)1()1(32lim 2
2
13
sssssA
s
Jadi,
11
23
)1(1
11
21
)1()1(32 1
211
2
21
sssssss LLLL
ttt eete 23
21
Metode 2:
Dengan mengalikan kedua ruas Pers. (6.45) dengan,)1()1( 2 ss didapatkan
2321
2 )1()1()1)(1(32 sAsAssAss
Untuk menentukan A2 set 1s dan untuk menentukan A3 set.1s
1s : )0()2()0(2 321 AAA
12 A
1s : )4()2()0(6 321 AAA
233 A
Metode ini gagal untuk menentukan A1. Untuk menentukan A1
dipilih satu harga sembarang yang tidak membuat semua harga
256
sama dengan nol, tetapi dipilih yang menghasilkan harga-hargatersebut kecil.Misal 0s :
)1()1()1(3 321 AAA
2313 1 A
21
1 A
Dengan menggunakan harga-harga ini didapatkan hasil yangsama dengan Metode 1.
Contoh 6.16.
Carilah
)22)(3(1
21
ssssL .
Penyelesaian:
223)22)(3(1
22
ssCsB
sA
ssss (6.46)
Dengan mengalikan kedua ruas dengan ,)22)(3( 2 sssdidapatkan
)3)(()22(1 2 sCsBssAs (6.47)
)32()32()( 2 CAsCBAsBA
Koefisien 2s : BA0
AB (6.48)
257
Koefisien s: CBA 321 (6.49)
Konstanta: CA 321
321 AC
(6.50)
Substitusikan Pers. (6.48) dan (6.50) ke dalam Pers. (6.49),menghasilkan
AAA32
31321
54A
Dari Pers. (6.48) diperoleh
54B
Dari Pers. (6.50) diperoleh
51C
Jadi,
2214
51
31
54
)22)(3(1
211
21
sss
sssss LLL
1)1(1
53
1)1()1(
54
31
54
21
211
sss
sLLL
tetee ttt sin53cos
54
54 3
258
)sin3cos4(51
54 3 ttee tt
6.4.2 Metode Konvolusi
Dalam menyelesaikan masalah-masalah dengan transformasi Laplaceseringkali terjadi bahwa transformasi akhir dari persamaan merupakanhasil kali dua transformasi yang dapat diidentifikasi dengan mudah,namun ini sukar diselesaikan dalam bentuk penjumlahan. Bila initerjadi, transformasi Laplace invers dapat dilakukan dengan metodekonvolusi.
Jika )()()( sHsGsF dan invers dari masing-masingdiketahui, yaitu )(tg dan ,)(th maka invers dari hasil kali diberikandengan integral konvolusi. Secara matematis dapat ditulis dengan
)]()([)( 1 sHsGtf L
uu
duuhutgduuthug00
)()()()( (6.51)
Kedua bentuk ini menunjukkan bahwa integral konvolusi adalahsimetris.
Contoh 6.17.
Carilah
22
21
)1(ssL .
259
Penyelesaian:
Misal:1
)( 2
sssG dan
1)( 2
sssH
ts
ssGtg cos1
)]([)( 211
LL
ts
ssHth cos1
)]([)( 211
LL
t
duututf0
)(coscos)(
t
dutut0
)2(coscos21
t
tutu0
)2(sin21cos
21
ttt sincos21
6.5 Aplikasi Transformasi Laplace Pada Persamaan DiferensialBiasa
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikanpersamaan diferensial biasa (PDB). Karena transformasi Laplacemerupakan operator linier, maka transformasi ini tidak sesuai untukmasalah-masalah non-linier. Selain itu metode ini hanya sesuai untukmasalah harga awal. Dalam sub bab ini akan dibahas penggunaantransformasi Laplace untuk menyelesaikan PDB.
260
Contoh 6.18.
Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan masalahharga awal berikut ini
teydtdy 2 , 2)0( y
Penyelesaian:
Pertama kita melakukan transformasi Laplace pada kedua sisidari persamaan diferensial di atas:
][ 2teydtdy
LL
dengan menggunakan sifat linier dari transformasi Laplace, ruaskiri persamaan di atas dapat ditulis dengan
][][ 2teydtdy
LLL
Kita telah menghitung transformasi Laplace dari turunan pertamadan fungsi eksponensial. Dengan menggunakan Pers. (6.5) dan(6.11) menghasilkan
21)()}0()({
s
sYysYs
Kemudian, dengan memasukkan kondisi awal dan denganmengumpulkan suku-suku yang sejenis didapatkan
2522
21)()1(
ss
ssYs
)2)(1(52)(
ss
ssY (6.52)
261
Dengan menggunakan fraksi pecahan kita dapat menulis Y(s)dalam bentuk
21)2)(1(52)(
s
Bs
Ass
ssY
dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan),2)(1( ss didapatkan
)1()2(52 sBsAs
Dengan menset ,1s didapatkan
)0()1(3 BA
3A
Set :2s )1()0(1 BA
1B
Persamaan (6.52) menjadi
21
13)(
sssY
Dengan menggunakan transformasi Laplace invers, menghasilkan
21
13)( 11
ssty LL
tt ee 23
Persamaan ini merupakan penyelesaian dari masalah harga awaldi atas.
262
Contoh 6.19.
Selesaikan persamaan diferensial order dua berikut ini
tydtdy
dtyd sin522
2
, .1)0(,1)0( yy
Penyelesaian:
Seperti pada contoh sebelumnya, pertama kita melakukantransformasi Laplace pada kedua sisi persamaan diferensial,
][sin5][22
2
tydtdy
dtyd LLLL
15)(2)}0()({)}0()0()({ 2
2
ssYysYsyyssYs
Kemudian, masukkan harga-harga kondisi awal dan kumpilkansuku-suku yang sejenis, menghasilkan
152)()2( 2
2
sssYss
)1)(2(32)( 22
23
sssssssY (6.53)
Ruas kanan Pers. (6.53) dapat ditulis dalam bentuk fraksi pecahanberikut ini
121)1)(2(32
222
23
sDCs
sB
sA
ssssss
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan ini dengan),1)(2)(1( 2 sss didapatkan
263
)1)(1()1)(2(32 2223 ssBssAsss
)2)(1)(( ssDCs
Untuk menentukan A set 1s dan untuk menentukan B set.2s
1s : )0)(()0()2)(3(1 DCsBA
61A
2s : )0)(()5)(3()0(5 DCsBA
31B
Untuk menentukan harga C dan D masing-masing dipilih satuharga sembarang yang tidak membuat semua harga sama dengannol, tetapi dipilih yang menghasilkan harga-harga tersebut kecil.Misal set 0s untuk menentukan harga D dan set 1s untukmenentukan harga C.
0s : )2)(1()1)(1()1)(2(3 DBA
D2)1(31)2(
613
23
D
1s : )1)(2)(()2)(2()2)(1(3 DCBA
DCBA 22423
23)2(2
31)4(
61)2(3 C
264
21C
Persamaan (6.53) menjadi
11
23
121
231
161)( 22
ss
sss
sY
Jadi penyelesaian persamaan diferensial order dua di atas adalah
11
23
121
21
31
11
61)( 2
12
111
sss
ssty LLLL
ttee tt sin23cos
21
31
61 2
Dari contoh-contoh ini kita dapat melihat bahwa transformasiLaplace dapat digunakan dalam menyelesaiakan persamaandiferensial linier tunggal dengan kondisi awal. Transformasi Laplacejuga dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaandiferensial dengan koefisien konstan. Pertama kita harusmentransformasikan sistem persamaan diferensial menjadi sistempersamaan aljabar. Kemudian, kita selesaikan sistem persamaanaljabar tersebut. Akhirnya, dengan menggunakan transformasi Laplaceinvers terhadap fungsi-fungsi penyelesaian akan menghasilkanpenyelesaian dari sistem persamaan diferensial.
Contoh 6.20.
Selesaiakan sistem persamaan diferensial order satu berikut
yxdtdx 5 (6.54a)
265
yxdtdy 54 (6.54b)
dengan kondisi awalnya adalah 1)0( x dan .2)0( y
Penyelesaian:
Dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua sisi darikedua persamaan di atas, Pers. (6.54), menghasilkan
)(5)()0()( sYsXxsXs
)(5)(4)0()( sYsXysYs
Sekarang, masukkan kondisi awal dan sederhanakan persamaanyang dihasilkan, didapatkan
1)(5)()1( sYsXs (6.55a)
2)()5()(4 sYssX (6.55b)
Kedua persamaan ini, Pers. (6.55), dapat diselesaikan secarasimultan. Misalnya, kita dapat mengeliminasi variabel )(sYdengan mengalikan Pers. (6.55a) dengan )5( s dan Pers.(6.55b) dengan 5, kemudian kedua hasil persamaan tersebutdijumlahkan,
)5()()5(5)()5)(1( ssYssXss
10)()5(5)(20 sYssX
)5(10)(20)5)(1( ssXss
20)5)(1(5)(
ss
ssX
266
2565)( 2
ssssX (6.56)
2222 4)3(3
4)3(8)(
s
ss
sX (6.57)
Dengan menggunakan transformasi Laplace invers, didapatkan
22
122
11
4)3(3
4)3(42)]([
ss
ssX LLL
tetetx tt 4cos4sin2)( 33 (6.58)
Dengan menyisipkan )(sX dari Pers. (6.56) ke dalam Pers.(6.55b), menghasilkan
256
542)()5( 2 ssssYs
)256)(5(204
52)( 2
ssss
ssY (6.59)
Karena penyebut pada suku kedua dari ruas kanan Pers. (6.59)mengandung term kuadratik yang tidak dapat difaktorkanmenjadi faktor linier, maka suku kedua tersebut harusdidekomposisi secara fraksi parsial, yaitu
2565)256)(5(204
22
ss
CsBs
Asss
s
Bila kedua ruas dari persamaan ini dikali dengan),256)(5( 2 sss didapatkan
)5)(()256(204 2 sCsBssAs
267
set 5s : )0)(()253025(40 CsBA
2A
0s : )5)(()25(20 CA
)25)(2(205 C
6C
1s : )4)(()20(24 CBA
24)4)(6()20)(2(4 B
2B
Jadi, Pers. (6.59) menjadi
25662
52
52)( 2
sss
sssY
22 4)3()3(2
s
s
Transformasi Laplace invers dari persamaan ini, menghasilkan
22
11
4)3(32)]([
sssY LL
tety t 4cos2)( 3
Jadi, penyelesaian dari Pers. (6.54) adalah
tetetx tt 4cos4sin2)( 33
tety t 4cos2)( 3
268
Cara lain: )(ty dapat juga diperoleh dengan menyisipkanpenyelesaian ),(tx Pers. (6.58), ke dalam persamaan pertamadari sistem persamaan diferensial orisinal, Pers. (6.54a):
xdtdxty )(5
tetetetedtd tttt 4cos4sin24cos4sin2 3333
tetetete tttt 4sin44cos34cos84sin6 3333
tete tt 4cos4sin2 33
tety t 4cos10)(5 3
tety t 4cos2)( 3
Contoh 6.21.
Selesaikan sistem persamaan diferensial order dua berikut
0332
2
ydtdy
dtxd (6.60a)
tetydt
xd 32
2
(6.60b)
dengan kondisi awalnya adalah ,0)0( x ,2)0( x dan .0)0( y
Penyelesaian:
Dalam masalah ini, kita tidak perlu merubah sistem persamaan diatas menjadi suatu sistem dari empat persamaan diferensial orderpertama. Karena metode transformasi Laplace dapat digunakanlangsung terhadap turunan-turunan dengan order lebih tinggi
269
melalui Pers. (6.13), dalam masalah ini dengan Pers. (6.12).Dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua sisi darikedua persamaan di atas, Pers. (6.60), menghasilkan
0)(3)0()(3)0()0()(2 sYysYsxxssXs
22
)1(1)(3)0()0()(
s
sYxxssXs
Dengan menyisipkan kondisi awal dan menyederhanakanpersamaan yang dihasilkan, didapatkan
2)()1(3)(2 sYssXs (6.61a)
22
)1(12)(3)(
s
sYsXs (6.61b)
Bila persamaan pertama kurang persamaan kedua akanmenghasilkan
2)1(1)(3
s
sYs
2)1(31)(
ss
sY (6.62)
22 )1(1)1(31
sC
sB
sA
ss
Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan ,)1( 2ssdidapatkan
sCssBsA )1()1(31 2
set 0s : )0()0()1(31 CBA
270
31A1s : )1()0()0(31 CBA
31C
1s : )1()2()4(31 CBA
)31(2)34(31 B
31B
Jadi, Pers. (6.62) dapat ditulis menjadi
2)1(31
13131)(
ssssY (6.63)
Transformasi Laplace invers dari persamaan ini adalah
2
11
)1(1
111
31)]([
ssssY LL
tt etety 131)( (6.64)
Kemudian, sisipkan Pers. (6.63) ke dalam Pers. (6.61a) untukmendapatkan ),(sX
2
2
)1(31
13131)1(32)(
sssssXs
1112
ss
)1(112)( 232
ssss
sX (6.65)
271
1)1(1
22
sF
sE
sD
ss
Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan ),1(2 ssdidapatkan
2)1()1(1 sFssEsD
set 1s : )1()0()0(1 FED
1F
0s : )0()0()1(1 FED
1D
1s : )1()2()2(1 FED
1221 E
1E
Persamaan (6.65) menjadi
111112)( 232 sssss
sX
11111)( 23
ssss
sX
Transformasi Laplace inversnya adalah
11111)]([ 23
11
sssssX LL
tetttx 121)( 2
272
Jadi, penyelesaian dari Pers. (5.40) adalah
tetttx 121)( 2
tt etety 131)(
6.6 RangkumanTransformasi Laplace adalah tipe khusus dari transformasi integral.Transformasi ini sangat berguna karena dapat menghilangkan tuturan-turunan dari persamaan diferensial dan menggantikannya denganpersamaan aljabar. Transformasi Laplace dapat didefinikan sebagaiberikut:
Sifat-sifat penting Transformasi Laplace adalah sebagai berikut:1. Sifat linier.2. Sifat pengubah skala.3. Transformasi Laplace dari turunan.4. Sifat perkalian dengan t.5. Transformasi Laplace dari integral6. Teorema shifting.
Transformasi Laplace Invers adalah Transformasi Laplace suatufungsi f(t) yang menghasilkan F(s), secara matematis dapat ditulisseperti berikut: f(t) disebut Transformasi LaplaceInvers dar F(s) dan dapat ditulis sebagai berikut:
0)()()]([ dttfesFtf tsL
).()]([ sFtf L
)()]([1 tfsF L
273
Ada beberapa cara menentukan Transformasi Laplace Invers, di-antaranya adalah
1. Penggunaan tabel.2. Metode-metode yang menggunakan teorema.3. Metode pecahan parsial.4. Metode konvolusi.5. Metode deret.6. Metode residu.
6.7 Soal-soal
6.1 Tentukan fungsi )(tf dari transformasi Laplace
a. 3)1(1ss
b.)4)(1( 22 ss
s
6.2 Buktikan bahwa transformasi Laplace dari complementaryerror function adalah sebagai berikut
L setaerfc sa /)4/(
6.3 A cascade of equivolume CSTRs are connected in series andunder linier kinetics to deplete species A in
productsADenoting )(tCn as the composision of A leaving the nth reactor,the material balance is
k
274
nnnn kVCqCqC
dtdCV 1
a. Introduce pertubation variables of the type
)(ˆ)( tCCtC nnn
and show that
1ˆˆ
ˆ nn
n CCdtCd
where
qkVq
;qkV
V
b. Take Laplace transforms and show that
c. Solve the linear of the finite difference equation byassuming a solution of the form
nn rAsC )()(ˆ
and show that
n
n ssCsC
1
)(ˆ)(ˆ0
1)(ˆ
)(ˆ 1
ssC
sC nn
275
where )(ˆ0 sC denotes the transform of the composition
perturbation entering the first reactor.
d. For the case of two reactors, show that the exitperturbation is
)/exp()/exp(1)(ˆ
02
2
tttCtC
where
10
GlossariumTransformasi Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakanpermasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dankeluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domainpengamatan ke domain pengamatan yang lain. Dalam matematikajenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagaibagian dari analisa fungsional, yang dapat membantu dalammelakukan analisa sistem invarian-waktu linier. Transformasi Laplacedari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:
0)()()]([ dttfesFtf tsL
Dalam matematika, the inverse Laplace transform dari F(s) adalahfungsi f(t) yang didefinisikan sebagai
)()]([1 tfsF LIn mathematics, the (exponential) shift theorem is a theorem aboutpolynomial differential operators (D-operators) and exponentialfunctions. It permits one to eliminate, in certain cases, the exponentialfrom under the D-operators. The theorem states that, if P(D) is apolynomial D-operator, then, for any sufficiently differentiable
276
function y (baca di Bab 2),
There is a similar version of the shift theorem for Laplace transforms(t < a):
)()]([ asFtfe ta L
Daftar Pustaka
1. Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, 2001, Elementary DifferentialEquations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc.,New York.
2. Kresyszig, E., 1993, Advanced Engineering Mathematics, 7th Ed.,John Wiley & sons, Inc., New York.
3. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc., NewYork.
4. Ricardo, H.J., 2009, A Modern introduction to DifferentialEquations, 2nd Ed., Elsevier Academic Press, Canada.
5. Zill, D.G., 2005, First Course in Differential equations withModeling Applications, 8th Ed., Brooks/Cole-Thompson LerningInc. Canada.