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INDUCCION ELECTROMAGNETICA En 1831, luego de una larga serie de
experimentos, Michael Faraday encontr una relacin nueva entre
efectos elctricos y magnticos. Se sabia, luego de los trabajos de
Oersted y Ampere, entre otros, que una corriente elctrica (un campo
elctrico) crea efectos magnticos. Faraday estaba convencido de la
simetra en las leyes de la naturaleza, y de la observacin de la
induccin electrosttica y la induccin de efectos magnticos por
corrientes elctricas crea que un campo magntico deba creas efectos
elctricos. Sin embargo, la relacin era ms sutil: son las
variaciones en el tiempo del campo magntico las que crean un campo
elctrico. A continuacin se citan las propias palabras de Faraday,
en su presentacin ante la Royal Institution de Londres: El poder
que posee la tensin elctrica de producir un estado elctrico opuesto
en sus proximidades se ha expresado por el trmino general de
induccin, el cual tal como ha sido recibido en el lenguaje
cientfico puede ser tambin utilizado adecuadamente, con el mismo
sentido general, para expresar el poder que pueden poseer las
corrientes elctricas de inducir algn estado peculiar sobre la
materia en su inmediata proximidad, que de otra manera permanecera
indiferente. Es con este significado que propongo usarlo en este
trabajo.
Ciertos efectos de induccin de las corrientes elctricas han sido
ya reconocidos y descriptos, como los de magnetizacin; los
experimentos de Ampere de la atraccin de un disco de cobre por una
espiral plana; su repeticin con electroimanes de los
extraordinarios experimentos de Arago y tal vez algunos otros. Sin
embargo, parece improbable que stos puedan ser todos los efectos
que produce la induccin por corrientes; especialmente dado que, si
se prescinde del hierro, casi todos ellos desaparecen, mientras que
todava una infinidad de cuerpos que muestran fenmenos definidos de
induccin con electricidad de tensin, resultan adems influidos por
la induccin de la electricidad en movimiento.
Ms an, ya sea se adopte la hermosa teora de Ampere o alguna
otra, o cualquiera sea la reserva mental que se haga, sigue
resultando extraordinario que, como toda corriente elctrica est
acompaada por una correspondiente intensidad de accin magntica en
ngulo recto con la corriente, buenos conductores de electricidad
colocados dentro de la esfera de esta accin, no tengan alguna
corriente inducida a travs de ellos ni se produzca algn efecto
sensible equivalente, en fuerza, a tal corriente.
Estas consideraciones, con su consecuencia, la esperanza de
obtener electricidad a partir del magnetismo ordinario, me
estimularon en varias oportunidades a investigar experimentalmente
el efecto de induccin de las corrientes elctricas. ltimamente llegu
a resultados positivos y no solo he satisfecho mis esperanzas, sino
que obtuve una clave que a mi parecer ofrece una explicacin
completa de los fenmenos magnticos de Arago y tambin el
descubrimiento de un nuevo estado que probablemente puede tener
gran influencia en algunos de los ms importantes efectos de las
corrientes elctricas.
Me propongo describir estos resultados, no como fueron
obtenidos, sino en forma tal de dar la ms concisa visin del
conjunto.
Se arrollaron aproximadamente veintisis pies de alambre de cobre
de un vigsimo de pulgada de dimetro alrededor de un cilindro de
madera, formando una hlice, intercalando un delgado hilo para
impedir que las diferentes espiras se tocaran. Se cubri esta hlice
con tela de algodn y luego se aplic un segundo alambre de la misma
manera. En esta forma se superpusieron doce hlices conteniendo cada
una, una longitud promedio de
alambre de veintisis pies y todas en el mismo sentido. La
primera, tercera, quinta, sptima y undcima de estas hlices se
unieron por sus terminaciones, extremo con extremo, de manera de
formar una nica hlice. Las otras se conectaron en forma anloga y as
se obtuvieron dos hlices, estrechamente intercaladas, que tenan el
mismo sentido, que no se tocaban en ninguna parte y que contenan
cada una ciento cincuenta y cinco pies de longitud de alambre.
Una de estas hlices se conect con un galvanmetro. La otra con
una batera voltaica de diez pares de placas de cuatro pulgadas
cuadradas, con chapas dobles y bien cargadas; sin embargo, no pudo
observarse la ms ligera desviacin de la aguja del galvanmetro.
Al establecer el contacto se produjo un repentino y ligero
efecto en el galvanmetro y tambin se produjo un ligero efecto
similar cuando se interrumpi el contacto con la batera. Pero
mientras la corriente voltaica continuaba pasando a travs de una de
las hlices, no pudo percibirse ninguna desviacin galvanomtrica ni
ningn otro efecto semejante a la induccin sobre la otra hlice,
aunque se prob que el poder activo de la batera era grande por el
calentamiento de la totalidad de su propia hlice y por el brillo de
la descarga cuando se haca a travs de carbn.
El resto de la presentacin describe experimentos realizados para
corroborar estas observaciones iniciales y analizar la dependencia
de los resultados al tomar diferentes circuitos, materiales y
disposiciones geomtricas. Entre otras cosas, Faraday describe el
primer transformador y el primer generador/motor elctrico. Las
experiencias de Faraday se pueden esquematizar considerando dos
espiras conductoras cercanas. Por una de ellas puede circular una
corriente controlada por un interruptor. La segunda es una espira
cerrada con un galvanmetro conectado. Mientras circula corriente
estacionaria (continua) por la primera espira el galvanmetro de la
segunda no registra corriente alguna. Sin embargo al abrir o cerrar
el interruptor se produce una corriente transitoria en la segunda
espira como puede verse en las grficas de la derecha. El sentido de
circulacin de esta corriente inducida es tal que el campo magntico
creado por ella se opone al campo magntico creado por la corriente
en la primera espira. Podemos interpretar este resultado admitiendo
que se produce una fem (inducida) sobre un circuito cerrado que
concatena o encierra un flujo magntico variable en el tiempo.
FEM INDUCIDA Un motor elctrico es una maquina que transforma
energa elctrica en mecnica. Un generador es una maquina que
transforma energa mecnica en elctrica. El funcionamiento de un
motor depende del hecho de que un conductor que transporta una
corriente en un campo magntico experimenta una fuerza que tiende a
moverlo. El funcionamiento del generador es inverso; el movimiento
de un conductor en un campo magntico origina una fuerza
electromotriz (fem) que tiende a originar una corriente (si el
circuito del conductor se encuentra cerrado). El hecho de que una
fem se origine en
CAMPOS MAGNTICOS DINAMICOS
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un conductor que se mueve en un campo magntico fue descubierto
en 1831 independientemente por Faraday en Londres y por Henry en
Estados Unidos. La aparicin de una fem en un conductor que se mueve
en un campo magntico constituye el ejemplo ms sencillo de un
fenmeno mucho ms general denominado induccin electromagntica.
Siempre que se produzca una variacin en el flujo magntico que
abraza un circuito, se induce una fem en el circuito. Se efecta
trabajo sobre las elctricas del conductor, por lo tanto, estas
cargas experimentan fuerzas. Estas fuerzas tienen que ser
elctricas. Las cargas estn accionadas por un campo elctrico. OTRAS
EXPERIENCIAS DE FARADAY Sea una espira unida a un galvanmetro. Como
el circuito carece de batera, no circula corriente por el
galvanmetro. Michael Faraday realiz experiencias moviendo un imn
con relacin a la espira y obtuvo las siguientes conclusiones:
a) Solamente aparece corriente en el galvanmetro mientras haya
movimiento relativo entre espira e imn
b) La corriente es producida por una fem que recibe el nombre de
fem inducida c) La fem inducida aparece en la espira cuando cambia
la intensidad del campo magntico en la
regin de la espira d) La fem inducida cambia de polaridad cuando
se invierte el sentido del movimiento relativo
imn-espira Llamamos inducido al circuito donde aparece la
corriente: la espira Llamamos inductor al agente que produce el
fenmeno: el imn. La fem inducida es proporcional al nmero de
espiras de la bobina
EXPERIENCIAS DE HENRY Casi en forma simultanea y de manera
independiente, Henry descubra que si un conductor de
longitud l se mueve en una regin donde existe un campo magntico,
de forma tal que el conductor corte las lneas de campo al moverse,
se origina una diferencia de potencial en los extremos del
conductor. Esta diferencia de potencial origina una corriente
elctrica si se cierra el circuito uniendo los extremos del
conductor. Si se invierte el sentido del movimiento del conductor,
se observa un cambio en el sentido de la fem inducida y si el
circuito se encuentra cerrado, una consecuente inversin en el
sentido de la corriente elctrica. Para explicar este fenmeno,
recordemos que cuando una carga elctrica se mueve dentro de un
campo magntico, experimenta una fuerza BvqF = donde v es la
velocidad de la carga y B la induccin magntica del campo. Las
cargas libres que existen en un conductor (metal), se mueven en el
mismo sentido bajo la accin de esa fuerza y el flujo de cargas
mviles (electrones) a travs del conductor es la corriente elctrica.
Otra forma de verlo es considerar que el motivo de la induccin de
la fem es la variacin del flujo magntico. Recordamos que el flujo
(nmero de lneas de campo) que atraviesa una superficie depende del
valor del campo, del rea de la superficie y de la orientacin de sta
con respecto al campo:
cos= SB
[ ] [ ] [ ]2mTWb =
As, el flujo magntico depende de tres valore y basta con que
cambie uno slo de ellos para que cambie el valor del flujo. Cuando,
en la experiencia de Faraday aproximamos el imn a la bobina, un
nmero mayor de lneas de campo magntico atraviesa la superficie del
bobinado y por lo tanto aumenta el flujo. Escribimos esa variacin
del flujo magntico como
if =
Tambin el galvanmetro acusar el paso de una corriente si dejamos
fijo el imn y deformamos la bobina de forma tal que vare su
superficie. Fjense que es exactamente lo mismo dejar fija la bobina
y acercarle el imn que dejar fijo el imn y acercarle la bobina.
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Si acercamos el polo norte del imn vemos que la corriente
circula como se ve en el siguiente dibujo:
Si ahora alejamos el polo norte de la bobina, vemos que el
sentido de la corriente se invierte:
Por otra parte se observa que el sentido de la corriente es el
mismo cuando acercamos un polo norte que cuando alejamos un polo
sur. De forma anloga, produce el mismo efecto acercar un polo sur
que alejar un polo norte. Una forma de inducir una fem en la bobina
es a travs de un solenoide o electroimn, como se ve en la figura
que sigue.
En este caso auque el electroimn no se mueve con respecto a la
bobina, si hacemos variar la corriente que circula por el
solenoide, va a variar el campo magntico generado dentro del
solenoide y al mismo tiempo el flujo que atraviesa la bobina, en la
que al mismo tiempo va a engendrarse una fem.
MOVIMIENTO DE UN CONDUTOR EN UN CAMPO MAGNETICO
Consideremos un conductor del cual una longitud l se encuentra
en un campo magntico B y se mueve con una velocidad v . El
conductor, campo y velocidad son simultneamente perpendiculares.
Aunque el conductor como un todo es elctricamente neutro, cada una
de las cargas que lo
constituyen (electrones y protones) est sometida a una fuerzaF
cuya magnitud, como ya vimos, es:
BvqF =
A diferencia de los ncleos positivos, algunos de los electrones
pueden moverse libremente y se movern hacia la izquierda. Si los
extremos del conductor son abiertos, el movimiento de los
electrones dar origen a que el extremo izquierdo del conductor se
cargue negativamente y el extremo derecho positivamente. El
movimiento de los electrones contina hasta que los extremos del
conductor alcancen una diferencia de potencial tal que la
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fuerza ejercida por el campo elctrico resultante sobre los
electrones equilibre exactamente la
fuerza F que acta sobre los mismos debido al movimiento del
conductor. Puesto que la fuerza sobre una carga Q en un campo
elctrico E es EQF = , esto requiere que se origine un campo
elctrico de magnitud vBE = , en la parte del conductor situada en
el campo magntico. El campo elctrico tiene que estar dirigido de
derecha a izquierda para equilibrar las fuerzas
magnticas. Un campo elctrico E que acta sobre la longitud l
corresponde a una diferencia de potencial:
ll == vBEV Si ahora cerramos el circuito del conductor mediante
una resistencia externa, va a circular una
corriente I por el circuito, de magnitud
RvB
RI l==
Ya que la fem engendrada en el conductor acta como la batera del
circuito.
En la resistencia se va a disipar por unidad de tiempo una
cantidad de energa RIPR2
= por
efecto Joule, a la que denominamos potencia disipada. Esta
energa se disipa en forma de calor. Esta energa debe provenir de la
energa mecnica consumida en empujar el conductor. La necesidad de
consumir energa es clara ya que por el conductor circula corriente
y, como vimos, cuando un conductor que transporta corriente se
encuentra dentro de un campo magntico, aparece sobre el conductor
una fuerza
BIF = l
Vemos en el dibujo la direccin y sentido de la fuerza (comprobar
mediante la regla del producto vectorial). Pero esta fuerza es
opuesta al movimiento del conductor y tiende a frenarlo. Si
queremos que el conductor siga movindose a velocidad constante,
debemos aplicar una fuerza igual y opuesta. Esta fuerza externa que
aplicamos mueve al conductor,
supongamos, una distancia d , as que en ese intervalo, estamos
haciendo sobre el sistema un trabajo
dBIdFW == l
La potencia mecnica es el trabajo realizado
por unidad de tiempo, as que en este caso la potencia es
tdBI
tWPC == l
Y el cociente td / no es otra cosa que la velocidad con que se
mueve el conductor:
vBIPC = l
Como consecuencia de la conservacin de la energa, la potencia
desarrollada por la fuerza externa que mueve al conductor ha de ser
igual a la potencia disipada en la resistencia.
RC PP =
RIvBI = 2l
RIvB =l
Recordando que la fem en el conductor es ll == vBEV la ecuacin
anterior nos da la ley de Ohm para el circuito analizado lo cual
confirma que la potencia mecnica desarrollada es la misma que se
disipa en la resistencia. Es interesante notar el carcter
autorregulador del sistema. Si intentamos aumentar la velocidad con
la que se mueve el conductor, aumentar la fem engendrada en el
conductor, y
consecuentemente la corriente del circuito. Esto implica que
aumentara la fuerza BIF = l que se opone al movimiento lo cual es
una muestra de la tendencia del sistema a conservar su estado. Por
otro lado podemos concluir que la corriente inducida lo es en un
sentido tal, que produce una fuerza magntica que se opone a la
fuerza que motiva el movimiento.
LEY DE LENZ
De acuerdo con todo lo anterior podemos decir:
Toda variacin de flujo que atraviesa un conductor produce en ste
una fem inducida. Si el conductor es parte de un circuito cerrado,
aparece entonces una corriente inducida.
La corriente inducida slo dura mientras dura la variacin del
flujo. La fem inducida es un efecto que no puede existir sin una
causa. La relacin entre la corriente inducida y la causa que la
genera fue estudiada por Lenz en 1834, quien formul la ley que
lleva su nombre
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Cuando el polo norte del imn de la figura de abajo se acerca a
la bobina induce una corriente en ella. Esta corriente genera un
campo magntico opuesto al del imn. El sentido de la corriente
inducida debe ser tal que aparezca un polo norte frente al polo
norte del imn. Si ahora intentamos alejar el imn, debe inducirse en
la bobina una corriente tal se oponga a este cambio. El cambio esta
representado por el alejamiento del imn. La oposicin de la
corriente a este cambio implica que el campo magntico producido por
la corriente en la bobina debe atraer al imn impidiendo que se
aleje. Esto significa que el campo en la bobina ahora tendr su polo
sur enfrentado al imn. Recuerden que los polos de nombre diferente
se atraen. La corriente ahora va a circular en el sentido opuesto
al anterior.
LEY DE FARADAY De acuerdo con las experiencias realizadas por
Faraday podemos decir:
Un campo magntico esttico no produce efectos elctricos Un campo
magntico cambiante induce una fem en un conductor o bobina La fem
inducida es el resultado del cambio del flujo magntico
La fem inducida acta oponindose al cambio de flujo que la crea.
El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variacin
del flujo inductor.
La magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la
rapidez con la que cambia el flujo magntico a travs del
circuito.
t
=
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Si el circuito es una bobina de N espiras de superficie S que se
encuentran en una regin donde existe un campo magntico es B ,
entonces la fem inducida en la bobina es
( )t
BSNt
N
=
= cos
El signo menos indica la polaridad de la fem inducida y se
refiere a la ley de Lenz, que indica que la corriente inducida crea
un campo que se opone a la variacin en el tiempo del campo
original. Por ejemplo, la espira de la figura de abajo a la
izquierda se halla en una regin del espacio donde existe
un campo magntico variable en el tiempo. La derivada de
B respecto del tiempo tiene la direccin indicada. Entonces la
corriente inducida sobre la espira tiene el sentido indicado en
la
figura, que crea el campo inducido iB que se opone a los cambios
en el campo original (el campo original en si puede apuntar en
cualquier direccin). No es necesario sin embargo que el campo
magntico sea variable. Si un circuito o parte de l se mueve o se
modifica su superficie en una regin del espacio donde exista un
campo magntico (por ejemplo estacionario y uniforme), se inducirn
corrientes que tienden a mantener constante el flujo magntico que
encierra el circuito. En el primer caso hablamos de
efecto de induccin electromagntica (circuito fijo y campo
variable) mientras que en el segundo caso (campo estacionario,
circuito mvil o variable en su geometra) se habla de fem de
movimiento. Si no hay variacin del flujo en el tiempo 00 ==
En el caso del conductor que se mueve dentro de un campo
magntico, al avanzar una distancia x el conductor de longitud l
(longitud del conductor inmersa en el campo) barre una
superficie
xS = l . Si el campo magntico es uniforme y de magnitud B , la
fem inducida en el conductor es
( )t
SBt
SBt
=
=
=
cos
Ya que 1cos0 == . Entonces
vBt
xB =
= ll
Siendo v la rapidez con la que se mueve el conductor dentro del
campo. Compare esta ultima expresin con la que aparece al final de
la pagina 84.
Si, al moverse, el vector velocidad v del conductor forma un
ngulo con el vector de campo magnticoB , entonces la fem inducida
vale
senvB = l Al hacer el anlisis de la fem que se induce en un
conductor que se mueve en una regin donde existe un campo magntico
consideramos que el conductor se encontraba en movimiento respecto
de un sistema de referencia fijo al campo, el cual consideramos en
reposo. Es interesante averiguar si se llega al mismo resultado si
consideramos un sistema de referencia fijo al conductor y si
ponemos que lo que se mueve es el campo magntico. Recordemos que
decimos que un sistema de referencia es inercial cuando en l son
vlidas las leyes de Newton de la mecnica clsica. Si sabemos que un
determinado sistema de referencia es inercial, cualquier otro
sistema que se encuentre en reposo respecto de aqul o bien que se
mueve respecto de l con movimiento rectilneo y uniforme, ser tambin
un sistema de referencia inercial. Por otra parte, no ser inercial
un sistema de referencia que se encuentre acelerado respecto de
nuestro original sistema de referencia inercial. Si se aplican las
leyes de Newton a sistemas de referencia no inerciales aparecen
fuerzas que no corresponden a interacciones y por lo tanto no son
fuerzas desde un punto de vista estricto. En los casos que estamos
analizando, ya sea que se mueva el conductor o el campo, mientras
la velocidad del movimiento sea constante, se obtienen los mismos
resultados para la fem inducida sin importar donde coloquemos el
sistema de referencia (siempre inercial). Cuando colocamos el
sistema de referencia fijo al campo magntico, un observador observa
cargas en movimiento (las cargas que forman los tomos de la barra
conductora que se mueve) y entonces sobre estas cargas debe
aparecer una fuerza de origen magntico (fuerza de Lorentz), fuerza
que desplaza las cargas a extremos opuestos de la barra y determina
la aparicin de una diferencia de potencial entre extremos. Cuando
colocamos el sistema de referencia fijo en la barra ya no hay
cargas en movimiento y por lo tanto un observador no detecta
ninguna fuerza de origen magntico, pero observa ahora lneas de
campo magntico que se desplazan y que dan lugar a la aparicin de un
campo elctrico. Es este campo elctrico el que produce la fem sobre
la barra. Las dos descripciones son equivalentes en cuanto al valor
de la fem observada, pero existe una diferencia en cuanto a la
causa que genera dichas fuerzas electromotrices.
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Esta asimetra en la descripcin de los fenmenos supuestamente
responsables de un determinado efecto a partir de observaciones en
sistemas de referencia inerciales en movimiento relativo es citada
por Einstein en la introduccin a su trabajo de 1905 donde establece
la teora especial de la relatividad. En palabras del propio
Einstein: Es conocido que la electrodinmica de Maxwell como se la
entiende habitualmente en el presente cuando se aplica a cuerpos en
movimiento, lleva a asimetras que no parecen ser inherentes a los
fenmenos. Tmese, por ejemplo, la accin electrodinmica recproca
entre un imn y un conductor. El fenmeno observable aqu depende
solamente del movimiento relativo entre el conductor y el imn,
mientras que la visin usual traza una clara distincin entre los dos
casos en que uno u otro de estos cuerpos est en movimiento. Porque
si el imn est en movimiento y el conductor en reposo, surge en la
vecindad del imn un campo elctrico con una cierta energa definida,
que produce una corriente en los lugares donde estn situadas partes
del conductor. Pero si el imn est estacionario y el conductor en
movimiento, no surge campo elctrico alguno en la vecindad del imn.
Sin embargo en el conductor encontramos una fuerza electromotriz,
para la cual en s no hay una energa correspondiente, pero que da
lugar asumiendo igualdad en el movimiento relativo en los dos casos
discutidos a corrientes elctricas del mismo camino e intensidad que
las producidas por las fuerzas elctricas en el primer caso.
Ejemplos de este tipo, junto con los fallidos intentos de descubrir
algn movimiento de la Tierra relativo al medio luminoso, sugieren
que los fenmenos de la electrodinmica as como los de la mecnica no
poseen propiedades correspondientes a la idea del reposo absoluto.
Ms bien sugieren que, como ya se ha demostrado a primer orden de
pequeas cantidades, las mismas leyes de la electrodinmica y la
ptica sern vlidas para todos los sistemas de referencia para los
cuales las ecuaciones de la mecnica se cumplen. Elevaremos esta
conjetura (cuyo sentido se llamar desde ahora Principio de
Relatividad) al status de un postulado, y tambin introduciremos
otro postulado, que slo aparentemente es irreconciliable con el
anterior, que la luz siempre se propaga en el espacio vaco con una
velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento
del cuerpo emisor. Estos dos postulados son suficientes para la
obtencin de una teora simple y consistente de la electrodinmica de
cuerpos en movimiento basada en la teora de Maxwell para cuerpos
estacionarios. La introduccin de un ter luminfero se revelar
superflua ya que la visin a desarrollar aqu no requiere un espacio
absolutamente estacionario provisto con propiedades especiales, ni
asignar un vector velocidad a puntos del espacio vaco donde tienen
lugar los procesos electromagnticos. La teora a ser desarrollada se
basa como toda electrodinmica en la cinemtica del cuerpo rgido,
dado que las afirmaciones de cualquier teora tienen que ver con las
relaciones entre cuerpos rgidos (sistemas de coordenadas), relojes
y procesos electromagnticos. Una consideracin insuficiente de esta
circunstancia yace en la raz de las dificultades que encuentra al
presente la electrodinmica de cuerpos en movimiento. Aunque el
elemento disparador de la teora especial de la relatividad parece
ser la necesidad de hallar una descripcin adecuada de la forma de
las ecuaciones de Maxwell cuando se analizan los fenmenos desde
sistemas de referencia en movimiento relativo, la parte cinemtica
es totalmente general y crea una mecnica nueva, contradiciendo los
postulados bsicos de Newton acerca del espacio y el tiempo
absolutos. Trabajos posteriores de Einstein y otros, complementaron
esta mecnica y arrojaron nuevos resultados sobre los fenmenos
electromagnticos. Adems del descubrimiento de la induccin
electromagntica, Michael Faraday aport muchas importantes
contribuciones a la teora electromagntica. Una de las ms fructferas
fue la nocin de lneas de campo. Muchos haban observado antes la
peculiar distribucin de limaduras de hierro en presencia de un imn,
pero fue Faraday quien primero pens que esta distribucin en lneas
de fuerza reflejaba una caracterstica profunda de la interaccin
magntica.
Sin embargo, en esa poca la lnea principal de desarrollo de la
teora de la electricidad y el magnetismo se basaba en el modelo de
accin a distancia. Luego de los experimentos de Coulomb en 1788 y
la asimilacin de los fenmenos elctricos al mismo modelo de la teora
gravitatoria de Newton, ampliamente respetada y considerada la
forma paradigmtica de las acciones fsicas, diversos investigadores
como Laplace, Poisson, Lagrange, Green y Gauss, desarrollaron la
teora matemtica del potencial. Tambin la teora magntica de Ampere
se basaba en la idea de accin a distancia. Faraday no contaba con
una formacin matemtica adecuada y segua con dificultad estos
desarrollos, pero en su pensamiento ntimo crea que deban
encontrarse bases fsicas de estas teoras matemticas. Crey encontrar
estas bases en la nocin de lneas de fuerza. En Experimental
Researches in Electricity, Vol III, Serie XXVIII (1852), Faraday
escribe: A partir de mis primeros experimentos sobre la relacin de
la electricidad y el magnetismo, he tratado de pensar y hablar de
la lneas de fuerza magntica como representaciones de la potencia
magntica, no meramente en cuestiones de calidad y direccin, sino
tambin en cantidad. La necesidad en que me hall de un uso ms
frecuente del trmino de algunas investigaciones recientes me ha
conducido a creer que ha llegado el momento en que la idea que
imparte la frase debe ser enunciada muy claramente, y tambin debe
ser examinada cuidadosamente, de manera que pueda averiguarse cuan
lejos puede aplicarse en verdad en la representacin de las
condiciones y fenmenos magnticos y cuan til puede ser en su
dilucidacin, y tambin cunto puede ayudar en dirigir correctamente
la mente a nuevas concepciones de la naturaleza fsica de la fuerza
y el reconocimiento de los posibles efectos, sea nuevos o
conocidos, que pueden producirse por esta representacin. Ahora me
parece que estas lneas pueden emplearse con grandes ventajas para
representar la naturaleza, condicin, direccin y cantidad
comparativa de las fuerzas magnticas, y que en muchos casos tienen,
al menos al razonador fsico, una superioridad sobre los mtodos que
representan las fuerzas como concentradas en centros de accin,
tales como los polos de imanes y agujas, u otros mtodos como, por
ejemplo, el que considera los magnetismos norte y sur como fluidos
que se difunden desde los extremos o entre las partculas de una
barra. Cmo la fuerza magntica se transfiere a travs de cuerpos o a
travs del espacio no lo sabemos. Si el resultado es meramente accin
a distancia, como en el caso de la gravedad, o por algn agente
intermedio, como en los casos de la luz, el calor, la corriente
elctrica y (como yo lo creo) la accin elctrica esttica. La idea de
los fluidos magnticos, aplicada por algunos, o la de los centros
magnticos de accin, no incluye la nocin del ltimo tipo de
transmisin, pero la idea de las lneas de fuerza si lo hace. Por mi
propia parte, considerando la relacin del vaco a la fuerza magntica
y el carcter general de los fenmenos magnticos externos al imn,
estoy ms inclinado a la nocin que en la transmisin de la fuerza
existe una accin, externa al imn, que a la idea de que los efectos
son meramente de atraccin y repulsin a distancia. Tal accin puede
ser una funcin del ter, porque no es nada improbable que, si existe
un ter, debera tener otros usos que la simple transmisin de la
radiacin. Las ideas de Faraday, al no tener un soporte matemtico
que permitiera predecir efectos, tuvieron poco eco. En 1842 William
Thomson (despus Lord Kelvin) public el trabajo On the uniform
motion of heat in homogeneous solid bodies, and its connection with
the mathematical theory of electricity, donde demostraba que la
nocin de lneas de fuerza poda ser interpretada matemticamente de
manera que llevaba a ecuaciones similares a las ya entonces
conocidas de teoras de la transmisin del calor y la mecnica. En
1847 Thomson extendi estas ideas a una representacin mecnica de las
interacciones elctricas y magnticas en On a mechanical
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representation of electric, magnetic, and galvanic forces. Estos
trabajos de Thomson pueden considerarse como la base de la que se
desarroll la teora de los campos electromagnticos. En su Treatise
on electricity and magnetism, de 1873, James Clerk Maxwell plantea
su deuda con Faraday y Thomson en el desarrollo de sus propias
ideas sobre la teora electromagntica, as como su deseo de fundir
las nociones empricas de Faraday con las nociones matemticas de la
lnea continental: La apariencia general del tratado difiere
considerablemente de la de varios trabajos elctricos excelentes,
publicados en su mayora en Alemania, y puede parecer que se hace
escasa justicia a las especulaciones de varios eminentes elctricos
y matemticos. Una razn de esto es que antes de comenzar el estudio
de la electricidad resolv no leer ninguna obra matemtica sobre el
tema antes de haber ledo por completo Experimental Researches on
electricity de Faraday. Yo era consciente de que se supona que haba
diferencias entre la forma de concebir los fenmenos de Faraday y la
de los matemticos, de modo que ni el ni ellos estaban satisfechos
con el lenguaje del otro. Tenia tambin la conviccin de que esta
discrepancia no surga de que alguna de las partes estuviera
equivocada. Fui convencido de esto primero por Sir William Thomson,
a cuyo consejo y asistencia, as como a sus obras publicadas, debo
la mayora de lo que he aprendido sobre este tema. A medida de que
avanzaba en el estudio de Faraday, perciba que su mtodo de concebir
los fenmenos era tambin un mtodo matemtico, aunque no exhibido en
la forma convencional de smbolos matemticos. Tambin encontr que
estos mtodos eran capaces de ser expresados en formas matemticas
ordinarias, para as ser comparadas con las de los matemticos. Por
ejemplo, Faraday, en su mente, vea lneas de fuerza atravesando todo
el espacio donde los matemticos vean centros de fuerzas que se
atraen a la distancia. Faraday vea un medio donde ellos no vean
nada salvo distancia. Faraday busc el asiento de los fenmenos en
acciones reales que tenan lugar en el medio. Ellos estaban
satisfechos de haberlo hallado en una potencia de accin a distancia
expresada sobre los fluidos elctricos. Cuando haba traducido lo que
consideraba eran las ideas de Faraday a una forma matemtica,
encontr que en general los resultados de los dos mtodos coincidan,
de modo que los mismos fenmenos eran descriptos y las mismas leyes
de accin se deducan mediante ambos mtodos, pero los mtodos de
Faraday recordaban aquellos en los que comenzamos con el todo y
llegamos a las partes por anlisis, mientras que los mtodos
matemticos ordinarios se fundamentaban en el principio de comenzar
por las partes y construir el todo mediante sntesis.
En 1854, despus de su graduacin, Maxwell ley las Experimental
Researches de Faraday. En 1855 a los 25 aos, Maxwell public su
primer trabajo sobre electricidad, titulado On Faradays lines of
force, donde establece analogas entre el comportamiento
electroesttico y el movimiento de los fluidos incompresibles, y
entre las lneas de fuerza magntica y torbellinos en un fluido.
Suponiendo a las cargas positivas y negativas como fuentes y
sumideros de un fluido, Maxwell encuentra que el flujo se realizara
siguiendo las lneas de fuerza de Faraday. En 1861-62 Maxwell
publica una serie de trabajos, On physical lines of force, donde, a
partir de sus resultados previos, desarrolla un modelo mecnico de
las fuerzas electromagntica. En este modelo la accin a distancia se
reemplaza por una descripcin de campos en un medio especial, el
ter, donde los campos producen tensiones asociadas con las lneas de
fuerza de Faraday. Este ter, como soporte material de la propagacin
de las radiaciones, es una estructura comn a todos los modelos
mecanicistas de mediados del siglo XIX y slo desaparecer con la
teora de la relatividad. El modelo de Maxwell era notablemente
complejo. Se basaba en una estructura de vrtices, unos elctricos y
otros magnticos, cuyos ejes coincidan con las lneas de fuerza de
Faraday. En palabras del propio Maxwell:
Creo que tenemos buena evidencia para la opinin de que algn
fenmeno de rotacin tiene lugar en el campo magntico; que esta
rotacin se realiza por un gran nmero de porciones muy pequeas de
materia, cada una rotando sobre su propio eje, siendo este eje
paralelo a la direccin de la fuerza magntica, y que las rotaciones
de estos diferentes vrtices dependen unas de las otras mediante
algn tipo de mecanismo que las conectan. El intento que hice para
imaginar un modelo que funcione de este mecanismo no debe tomarse
de mayor valor que lo que realmente es, una demostracin de que es
posible imaginar un mecanismo capaz de producir una conexin
mecnicamente equivalente a la real conexin de las partes del campo
electromagntico. El problema de determinar el mecanismo requerido
para establecer una especie dada de conexin entre los movimientos
de las partes de un sistema siempre admite un nmero infinito de
soluciones. De stas algunas pueden ser ms toscas o ms complejas que
otras, pero todas deben satisfacer las condiciones generales del
mecanismo. Los siguientes resultados de la teora, sin embargo, son
de mayor valor: 1) La fuerza magntica es el resultado de la fuerza
centrfuga de los vrtices. 2) La induccin electromagntica de
corrientes es el efecto de las fuerzas puestas en juego cuando la
velocidad de los vrtices est cambiando.
3) La fuerza electromotriz surge de las tensiones (mecnicas)
sobre el mecanismo de conexin. 4) El desplazamiento elctrico surge
de la respuesta elstica del mecanismo de conexin. Esta ltima frase
describe una novedad introducida por Maxwell. As como un campo
magntico variable en el tiempo daba lugar a un campo elctrico, de
acuerdo a los descubrimientos experimentales de Faraday, un campo
elctrico variable en el tiempo dara lugar a un campo magntico. Esta
caracterstica nueva, la corriente de desplazamiento, que
reemplazaba a la corriente real en la produccin de un campo
magntico en un medio dielctrico, permite llegar a la prediccin de
la existencia de ondas electromagnticas. Maxwell encuentra que la
velocidad de propagacin de estas ondas coincide numricamente con el
valor de la velocidad de la luz en el vaco: la velocidad de
propagacin de vibraciones transversales a travs del medio elstico
del cual las celdas estn compuestascoincide tan exactamente con la
velocidad de la luzque apenas podemos evitar la inferencia que la
luz consiste en las vibraciones transversales del mismo medio que
es la causa de los fenmenos elctricos y magnticos. El nfasis es
original de Maxwell, que se daba cuenta de lo revolucionario de sus
conclusiones. En una larga carta a Faraday en 1861, Maxwell afirma:
Pienso que ahora tenemos fuertes razones para creer, ya sea que mi
teora sea un hecho o no, que el medio luminfero y el medio
electromagntico son uno solo. En 1864 Maxwell publica un tercer
trabajo, titulado A dynamical theory of the electromagnetic field,
donde abandona la interpretacin mecanicista de sus trabajos previos
y otorga una realidad a las cantidades vectoriales que definen el
campo. En particular, introduce la corriente de desplazamiento
mediante argumentos puramente elctricos, mientras que en su modelo
previo surga de consideraciones sobre la elasticidad del medio: En
un dielctrico bajo la accin de fuerza electromotriz, podemos
concebir que la electricidad en cada molcula est tan desplazada que
un lado resulta elctricamente positivo y el otro negativo, pero que
la electricidad
-
Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
97
permanece enteramente conectada con la molcula, y no pasa de una
molcula a otra. El efecto de esta accin sobre la masa dielctrica
total es producir un desplazamiento general de la electricidad en
una cierta direccin. Este desplazamiento no constituye una
corriente, porque cuando ha llegado a un cierto valor permanece
constante, pero es el comienzo de una corriente, y sus variaciones
(en el tiempo) constituyen corrientes en la direccin positiva o
negativa de acuerdo a que el desplazamiento est aumentando o
disminuyendo. Maxwell afirma que los fenmenos magnticos se deben a
la corriente total, que es la suma de las
corrientes de conduccin ( J ) y la corriente de desplazamiento (
dtDd / , en rigor tD / ). En este trabajo Maxwell va ms all de su
afirmacin de que la luz y las ondas electromagnticas se propagan
por el mismo medio. Y dice: La luz misma (incluyendo el calor
radiante y otras radiaciones) es una perturbacin electromagntica en
la forma de ondas que se propagan a travs del campo
electromagntico. El trabajo de 1864 no difiere conceptualmente del
Treatise de 1873, donde Maxwell realiza una presentacin
enciclopdica del electromagnetismo que se conoca en la poca, a la
luz de su propia teora. Esta obra, por su pretensin de abarcar
todos los fenmenos electromagnticos entonces conocidos desde el
modelo de campo, y utilizando la nomenclatura matemtica del clculo
vectorial pero sin la ayuda de la terminologa simblica introducida
por Heaviside, Hertz y otros, es notablemente difcil y, de igual
forma que los trabajos previos de Maxwell, no caus mucho impacto.
Los fsicos britnicos, liderados por Lord Kelvin, mantenan su
inclinacin hacia una interpretacin mecnica de los fenmenos fsicos y
los fsicos continentales, con pocas excepciones, adheran a las
teoras matemticas basadas en la accin a distancia. Maxwell entiende
claramente que estas dos descripciones son complementarias, y
aunque usa profusamente en el Treatise las herramientas matemticas
y los desarrollos previos de los matemticos continentales, siempre
se apoya en la intuicin fsica de Faraday de las lneas de fuerza que
ahora constituyen lneas de campo. El rol del trmino de
desplazamiento como fuente de campo magntico es subrayado: Tenemos
muy poca evidencia experimental relacionada a la accin
electromagntica directa de corrientes debidas a la variacin
(temporal) del desplazamiento elctrico en dielctricos, pero la
extrema dificultad de reconciliar las leyes del electromagnetismo
con la existencia de corrientes elctricas que no son cerradas es
una razn entre muchas por la cual debemos admitir la existencia de
corrientes transitorias debidas a la variacin del desplazamiento.
Su importancia se ver cuando lleguemos a la teora electromagntica
de la luz. Una de las principales peculiaridades de este tratado es
la doctrina que afirma que la verdadera corriente elctrica, de la
que dependen los fenmenos electromagnticos, no es igual a la
corriente de conduccin, sino que debe tenerse en cuenta adems la
variacin temporal del desplazamiento elctrico para estimar el
movimiento total de electricidad. Maxwell es consciente de la
consecuencia de admitir la existencia del trmino de desplazamiento.
Este trmino, agregado en la ley de Ampere, lleva a predecir que la
luz es un fenmeno electromagntico, de forma que el captulo XX de su
Treatise se titula Teora electromagntica de la luz. Sin embargo, el
desplazamiento sigue siendo introducido a partir de un medio fsico
formado por molculas polarizables, un dielctrico. Maxwell encuentra
que la velocidad de propagacin de
ondulaciones electromagnticas en el aire o en los espacios
planetarios coincide con los valores medidos por fsicos como Fizeau
y Foucault. Maxwell muri en 1879. Aunque su trabajo en la fsica era
ampliamente reconocido, su teora electromagntica tuvo poca
repercusin, quizs por la dificultad matemtica de su tratamiento, el
enciclopedismo apabullante del Tratase y la poca fe de los fsicos
de su poca en un modelo no mecanicista. Algunos pocos autores como
Lodge, Fitzgerald, Heaviside y Helmholtz trabajaron siguiendo las
lneas del Treatise. En 1887-1888, Heinrich Hertz, alumno de
Helmholtz, public trabajos donde describe la produccin y deteccin
de ondas electromagnticas y la medicin de su velocidad de
propagacin que coincide con la prediccin de Maxwell. Estos
descubrimientos, junto con la simplificacin de la teora debido a la
notacin operacional vectorial introducida por Hertz y Heaviside,
llevaron a la aceptacin universal de la teora de Maxwell. Los
trabajos de Maxwell han ejercido una inmensa influencia en el
desarrollo de la fsica y en la invencin de aparatos que han forjado
la industria moderna.
FEM INDUCIDA Y CAMPO ELECTRICO Vimos que un flujo magntico
variable induce una fem y una corriente en un circuito cerrado.
Cuando pensamos en corriente elctrica pensamos en un campo elctrico
que determina una fuerza elctrica en partculas cargadas, ponindolas
en movimiento. En el caso del circuito cerrado antes mencionado
podemos inferir que el flujo magntico variable induce un campo
elctrico, ltimo responsable de la aparicin de la corriente. Si bien
las cargas se ponen en movimiento por la aparicin del campo
elctrico, ste es independiente de la existencia de las cargas. Esto
sugiere que, aunque no existiese el circuito cerrado, la variacin
del flujo magntico en determinada regin del espacio dara lugar a la
aparicin de un campo elctrico. Y esto es realmente as. Este campo
elctrico inducido no es conservativo, a diferencia del campo
elctrico producido por una distribucin de carga estacionaria.
Podemos visualizar esto prestando atencin a la figura de la
derecha. En ella vemos un anillo conductor situado en un campo
magntico uniforme. Si ahora el campo magntico se vuelve variable en
el tiempo, de acuerdo con la ley de Faraday se induce en el anillo
una fem:
dtd B
=
-
Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
98
La aparicin de una corriente inducida en el anillo implica la
existencia de un campo elctrico
inducido E como ya vimos. Este campo, en cada punto del anillo,
debe ser tangente al conductor ya que, en cada punto, esa es la
direccin en la que se mueven las cargas, respondiendo a la fuerza
elctrica. El trabajo que efecta el campo elctrico para mover una
carga q una vez alrededor del anillo es q . La fuerza que pone en
movimiento la carga es qE y entonces podemos escribir, para el
trabajo, rqE pi2 . Donde rpi2 es la distancia que recorre la carga
en una vuelta alrededor del anillo. Igualando ambas expresiones
para el trabajo:
rqEq pi 2=
rE
pi
2
=
Siendo 2rBBAB pi== entonces:
dtdBr
dtd
rrE B
221
2=
==
pipi
La fem para cualquier trayecto cerrado se puede expresar
como:
= sdE
Teniendo en cuenta que el campo puede no ser uniforme y el
trayecto puede tener forma arbitraria, podemos escribir la ley de
Faraday en la forma general:
=
dtd
sdE B El campo elctrico que aparece en esta expresin es no
conservativo y es creado por un campo magntico variable. Es por lo
tanto un campo elctrico pero no electroesttico. Si el campo
fuese
electroesttico seria conservativo y se cumplira 0= sdE La
distincin entre la fem y la diferencia de potencial se hace
tangible en sus propiedades matemticas.
La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera est
definida por la integral del campo electroesttico (conservativo) a
lo largo de cualquier trayectoria entre ellos:
==B
AAB ldEVVV
Si la integral se evala siguiendo una trayectoria cerrada que
comience y termine en el mismo punto, por ejemplo el punto A, la
diferencia de potencial es cero:
0=== A
AAA ldEVVV
Esta no es ni ms ni menos que una de las leyes de Kirchhoff. En
contraste, la ley de Faraday nos dice que la fem alrededor de una
trayectoria cerrada no es siempre cero. La fem describe fuentes de
energa y es el resultado de efectos magnticos y de campos elctricos
inducidos. La fuerza electromagntica total que acta sobre una
carga, o fuerza de Lorentz, era: ( )BvEqF +=
La fem inducida que acta alrededor de una trayectoria cerrada es
el trabajo efectuado por unidad de carga, al mover la carga por la
trayectoria.
( ) +== ldBvEqW Aunque en esta ltima expresin aparece el campo
electroesttico slo el campo elctrico inducido contribuye a la fem,
porque la integral del campo electroesttico alrededor de una
trayectoria cerrada es cero. ( ) ( ) ( ) ( ) =+=+=+=
ldBvldBvldBvldEldBvE 0 Por otro lado, se define al potencial
nicamente mediante el campo electroesttico. En este caso el campo
inducido no contribuye.
-
Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
99
FEM Y SISTEMAS DE REFERENCIA Si empujamos un imn hacia una
espira de alambre, a una rapidez v , el campo magntico cambiante
induce un campo elctrico en la espira, y por ella circula una
corriente. Si en lugar de hacer esto dejamos quieto al imn y
movemos la espira hacia el imn con la misma rapidez v , las fuerzas
magnticas producen una fem de movimiento que impulsa corriente por
la espira. En ambos casos la corriente es igual. Einstein, en su
artculo sobre relatividad, observ que esos dos experimentos deben
dar el mismo resultado porque en realidad son el mismo experimento.
El campo elctrico inducido y la fem de movimiento no son efectos
fsicos aislados, sino dos modos de describir el mismo efecto en
distintos marcos de referencia. Existe una correspondencia
semejante entre los mismos campos elctrico y magntico. La
cantidad ( )BvE + que expresa la contribucin a la fem en
determinado elemento ld de un circuito en movimiento, es el campo
elctrico E medido en el marco de referencia que se mueve con ese
elemento.
CORRIENTES DE EDDY Como ya vimos, una fem y una corriente se
inducen en un circuito cuando se presenta un flujo magntico
variable. De igual forma, existen corrientes llamadas corrientes de
eddy que se inducen en un material conductor cuando ste se somete a
un flujo magntico variable. Para demostrarlo se puede utilizar el
dispositivo pendular que se ve en la figura derecha. El extremo del
pndulo est formado por una placa delgada de aluminio. Al oscilar,
la placa atraviesa una regin donde existe un campo magntico
uniforme. Pero si prestamos atencin a la placa, mientras sta se
mueve por dicha
regin, el flujo magntico en la placa cambia, desde su ingreso
hasta su completo egreso de la regin comprendida entre los dos
polos del imn. Los electrones libres de los tomos en la placa se
encuentran, al variar el flujo, sometidos a una fem inducida que
los pone en movimiento dentro de la placa. Estos electrones mviles
determinan las llamadas corrientes de eddy, corriente cuya
trayectoria, como es de esperar ser una circunferencia. De acuerdo
a la ley de Lenz, el sentido
de la corriente ser tal que crear un campo que se opondr a la
causa que genera las corrientes. El efecto de estas corrientes ser
el de frenar el movimiento de la placa.
Como se ve en la figura, cuando la placa ingresa al sector entre
ambos polos, pasa de una regin sin campo magntico a otra en donde s
hay campo. Por lo tanto, en el ingreso el flujo magntico que
atraviesa la placa se encuentra en aumento. Al seguir la placa su
movimiento y comenzar a salir de la regin entre los polos, la placa
pasa a una regin sin campo y entonces, ahora el flujo magntico que
atraviesa la placa se encuentra decreciendo. Como resultado de dos
condiciones de variacin de flujo opuestas, los sentidos de las
corrientes inducidas son opuestos en ambos casos. Como se ve en la
figura de la izquierda, si la placa tiene una geometra entrecortada
(tipo tenedor) se verifica que los efectos de las corrientes de
eddy disminuyen. El motivo es que la nueva configuracin impide que
se formen grandes trayectos de corriente. En su lugar aparecern
pequeas corrientes en cada uno de los sectores de la placa. Las
corrientes de eddy, tambin conocidas como corrientes parsitas,
convierten la energa en su forma trmica por calentamiento joule.
Esta disipacin explica la energa cintica que pierde el pndulo de
nuestro ejemplo. Tambin explica por que los ncleos magnticos de
transformadores y otras mquinas elctricas se realizan por
apilamiento de delgadas lminas de hierro, aisladas elctricamente.
Esto disminuye la magnitud de las corrientes parsitas y en
consecuencia el calentamiento del ncleo y la energa trmica
disipada, lo cual favorece, en principio, al rendimiento del
dispositivo. Los sistemas de frenado de muchos subtes usan la
induccin electromagntica y las corrientes de eddy. Un electrizan se
encuentra en el tren y posicionado de modo que se encuentre muy
cerca de los rieles metlicos. Cuando se desea frenar, se hace
circular una gran corriente por los electroimanes. El movimiento
relativo entre el tren y los rieles induce en stos corrientes de
eddy. Estas corrientes generan su propio campo magntico y sobre el
tren aparece entonces una fuerza que se opone a su moviendo. Cuando
un conductor se mueve a travs de un campo magntico, la ley de Lenz
predice una fuerza que se opone al movimiento relativo. En cada
caso, la fuerza se debe a que la corriente, impulsada por una fem
inducida, interacta con el campo magntico. Un dispositivo ingenioso
puede aprovechar tales fuerzas para impulsar motores, o para formar
un sistema de propulsin. La figura de abajo muestra una placa
metlica entre dos conjuntos de bobinas magnticas. Si en cada par de
bobinas enfrentadas se estable y luego se quita una corriente,
avanzando de izquierda a derecha, las bobinas simulan un imn que se
mueve hacia la
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Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
100
derecha de la placa. De acuerdo con la ley de Lenz, las fuerzas
resultantes aceleran la placa para mantener el paso con el imn en
movimiento. Este es el principio del motor de induccin lineal y de
los impulsores de masa previstos como el principal medio para
lanzar naves de carga en las colinas espaciales del futuro. Existen
vehculos experimentales (trenes) que emplean un efecto parecido y
flotan sobre un colchn magntico que usa motores lineales en un
sistema de electrodinmico de levitacin.
LAS ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell son tan
fundamentales para el electromagnetismo, como las leyes de Newton
lo son para la mecnica clsica. Las ecuaciones de Maxwell probaron
estar en concordancia con la teora especial de la relatividad de
Einstein, y predicen la existencia de las ondas electromagnticas
que se propagan con una rapidez
smc /103/1 800 == o sea, la velocidad de la luz. Ms aun, la
teora de Maxwell muestra que estas ondas son radiadas por cargas
elctricas aceleradas. Por simplicidad, a continuacin se presentan
las cuatro ecuaciones de Maxwell aplicadas al espacio libre, o sea,
sin la presencia de materiales dielctricos o magnticos.
0
qAdES
= de Gauss para la electrosttica
0=S
AdB Ley de Gauss para el magnetismo
dtd
sdE B= Ley de Faraday-Lenz
dtdIsdB E+= 000 Ley de Ampere-Maxwell
AUTOINDUCCION
Como vimos, existen dos clases de fuerzas elctricas que pueden
poner en movimiento cargas en un circuito elctrico. Por un lado
podamos tener la fuerza electromotriz de una batera. En este caso
tenemos energa acumulada en su forma qumica la cual se transforma
en energa elctrica e impulsa las cargas en un circuito. Pero por
otro lado, ya sabemos que si un circuito elctrico cerrado se
encuentra en movimiento relativo con un campo de induccin magntica,
de forma tal que el flujo magntico que atraviesa el circuito es
variable en el tiempo, se induce en el circuito una fuerza
electromotriz. Esta fuerza electromotriz inducida tambin acta sobre
las cargas elctricas ponindolas en movimiento. Vamos a aprovechar
estos conocimientos para analizar la siguiente situacin. Supongamos
que tenemos un circuito elctrico que consiste en una batera, una
resistencia y un interruptor como se ve en la figura. Cuando se
cierra el interruptor la fem de la batera pone en movimiento las
cargas elctricas del circuito conductor (se establece un campo
elctrico). Las cargas circulan por el circuito y a esta circulacin,
que implica un intervalo de tiempo, la llamamos corriente elctrica
de conduccin. Ahora bien, sabemos que la corriente elctrica del
circuito tendr un valor determinado en funcin de la fem de la
batera y de la resistencia del circuito. Pero este valor estable de
corriente no es inmediato. Veamos por qu. Al comenzar a circular
las cargas a travs del circuito, esta corriente elctrica, de
acuerdo a lo visto determina la aparicin de un campo magntico en
las inmediaciones de los conductores que transportan la corriente.
Como antes de cerrar el interruptor ninguna corriente estaba
presente en el circuito, el campo magntico tambin era nulo. Al
establecerse la corriente se genera un campo magntico cuya magnitud
va en aumento, en forma proporcional a la corriente. Estamos
entonces, en presencia de un campo magntico variable y esto
determina la aparicin de una fem inducida en el circuito. Como ya
sabemos, la fem inducida induce a su vez una corriente (porque el
circuito es cerrado) y de acuerdo a la ley de Lenz esta corriente
genera un campo magntico que se opone a la variacin del campo que
genera la fem inducida. Por lo tanto, tanto la fem inducida como la
corriente inducida se oponen (son de sentido opuesto) a la fem de
la batera y a la corriente que sta impulsa. Como resultado, se
requiere determinado intervalo de tiempo hasta que la fem de la
batera y la fem inducida (ambas en oposicin) alcanzan un valor de
equilibrio y como consecuencia un intervalo de tiempo hasta que se
alcanza un valor estable de la corriente del circuito.
INDUCTANCIA
-
Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
101
El mismo efecto se puede observar cuando se hace circular una
corriente elctrica por un electroimn. Supongamos que la corriente a
travs del elemento se encuentra aumentando. Entonces, el flujo
magntico en el electroimn es variable y como consecuencia de la ley
de Lenz, se induce en el electroimn una fem que determina a su vez
una corriente inducida la cual genera un campo magntico tal que se
opone a las variaciones del campo inicial. Como el campo inicial
iba en aumento (porque la corriente iba en aumento) entonces el
campo inducido tiene sentido opuesto al primero.
La ley de Faraday-Lenz nos daba una idea cuantitativa de las
fuerzas electromotrices inducidas. Esta ley estableca que:
dtd B
=
Pero como vimos en los ejemplos anteriores, la variacin del
flujo magntico dependa de las variaciones en la corriente elctrica.
Esta relacin de proporcionalidad la podemos expresar como:
dtdI
dtd B
Entonces podemos asegurar que:
dtdI
Si queremos cambiar el factor de proporcionalidad por una
relacin de igualdad debemos introducir
una constante. En este caso dicha constante lleva el smbolo L y
entonces:
dtdIL=
La constante L se llama inductancia y depende de la geometra del
circuito o del elemento y de otras caractersticas fsicas. La unidad
para medir la inductancia, de acuerdo con la expresin anterior, es
el volt-segundo/amper el cual abreviamos con el nombre henry.
Entonces:
AsVH = 11
INDUCTANCIA DE UN SOLENOIDE Como ya sabemos, el campo en el
interior del solenoide ideal es
INnIBl
00 ==
Donde N es el nmero de espiras y l la longitud del solenoide. El
flujo magntico es el mismo a travs de cualquier espira y vale:
INABABl
0==
Donde A es la seccin recta transversal del solenoide (interior).
Ahora bien, sabemos que:
dtdIL
dtdN B ==
Y entonces:
LIN B =
Reemplazando el valor para el flujo y despejando L llegamos
a:
INAIN
INL B
l0==
Y entonces la inductancia del solenoide es:
l
ANL2
0=
-
Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
102
INDUCTANCIA DE UN TOROIDE Veamos que ocurre en un toroide de
seccin transversal rectangular. Como vimos, la induccin magntica en
un toroide es:
r
NIB
pi
2
0=
Siendo N es el nmero de espiras arrolladas uniformemente sobre
el ncleo toroidal. El flujo resulta:
====b
a
b
a
b
a
Br
drNIhhdrr
NIhdrBAdBpi
pi
2200
[ ] [ ]a
bNIhabNIhrNIh baB ln2
lnln2
ln2
000
pi
pi
pi
===
Usando nuevamente la relacin
BINL =
Que derivamos de la ley de Faraday obtenemos:
a
bhNL ln2
20
pi
=
INDUCTORES CON MATERIALES MAGNTICOS Si el espacio interior de un
inductor, por ejemplo el solenoide o el toroide vistos
anteriormente, se llena con un material magntico cuya constante de
permeabilidad magntica es entonces la inductancia aumenta en un
factor . Si es 0L la inductancia en vaco entonces la inductancia
con material magntico es:
0LL =
ENERGA EN UN CAMPO MAGNTICO
Volvamos a nuestro circuito RL. Ya vimos que la presencia del
inductor impeda que la batera conectada al circuito estableciera
una corriente elctrica instantnea de valor estable. Esto implica
que la batera suministre ms energa que si el inductor no se
encontrara presente en el circuito. Esto se debe a que parte de la
energa entregada por la batera aparece como energa interna en la
resistencia, mientras que la energa restante se almacena en el
campo magntico del inductor. Podemos escribir una ecuacin energtica
para el circuito RL de la siguiente forma:
dtdILIRII += 2
En esta expresin I es la energa entregada por la batera, RI 2 es
la energa que se disipa en el resistor y entonces
dtdILI es la energa almacenada en el inductor. Si llamamos LU a
la energa
almacenada en el inductor en cualquier instante, entonces
podemos escribir:
dtdILI
dtdU L
=
Si queremos calcular la energa total almacenada en el inductor
debemos efectuar la integral:
===II
IdILLIdIdUU00
2
21 LIU =
-
Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
103
En cualquier regin del espacio en donde exista un campo
magntico, se define la energa por unidad de volumen o densidad de
energa magntica como:
0
2
2B
uB =
INDUCTANCIA MUTUA
En muchos casos, el flujo magntico que atraviesa un circuito
elctrico vara en el tiempo debido a la variacin de corrientes
elctricas en circuitos vecinos. Esta variacin induce una fem y el
fenmeno se denomina, en este caso, induccin mutua, ya que depende
de la interaccin de dos circuitos. La figura de la derecha muestra
dos bobinas cercanas. La
corriente 1I en la bobina 1, formada por 1N espiras, crea un
campo magntico. Se puede apreciar como algunas de las lneas de este
campo magntico atraviesan la
bobina 2, formada por 2N espiras. Llamemos 12 al flujo creado
por la bobina 1 que atraviesa la bobina 2.
Definimos la inductancia mutua 12M de la bobina 2 con respecto a
la bobina 1 como:
1
12212 I
NM
=
La inductancia mutua depende de la geometra de los circuitos que
interactan y de su orientacin espacial relativa. A medida que la
separacin entre los circuitos aumenta, la inductancia mutua
disminuye debido a la disminucin del flujo magntico que comparten
los circuitos.
Si la corriente 1I vara con el tiempo la fem inducida en la
bobina 2 es:
dtdI
MN
IMdtdN
dtdN 112
2
1122
1222 =
=
=
Anlogamente, una corriente variable en la bobina 2 inducir en la
bobina 1 una fem:
dtdIM 2211 =
Se puede demostrar que los coeficientes de induccin mutua de
ambas bobinas son iguales y podemos escribir:
2112 MMM ==
De modo que:
dtdIM 21 = y dt
dIM 12 =
Vemos la analoga entre estas expresiones y la ecuacin dtdIL=
para el caso de la
autoinduccin. Como se puede ver, la unidad de la inductancia
mutua es el henry.
COEFICIENTE DE ACOPLAMIENTO
Cuando dos bobinas se acoplan inductivamente colocndolas una
cerca de la otra, la relacin entre
sus inductancias mutuasM y sus inductancias individuales 1L y 2L
es:
21LLkM =
Donde k es el coeficiente de acoplamiento y su valor responde al
rango 10 k . Se cumple 1=k cuando todo el flujo magntico producido
por una de las bobinas es concatenado por las espiras de la otra.
BOBINAS EN SERIE Si dos bobinas acopladas mutuamente se conectan en
serie con sus campos en adicin la inductancia total es:
MLLLA 221 ++=
-
Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica
104
Si se invierten las conexiones de una de las bobinas entonces
siguen conectadas en serie pero ahora sus campos se encuentran en
oposicin. En esta nueva condicin, la inductancia total de la serie
es:
MLLLS 221 +=
En funcin de las dos expresiones anteriores, se puede determinar
la inductancia mutua conectando primero las bobinas en serie
aditiva y luego en serie sustractiva. Operando las expresiones
anteriores se obtiene:
4BA LLM =
BOBINAS EN PARALELO Cuando se conectan las bobinas en paralelo,
las inductancias individuales y la inductancia mutua de las
bobinas, se relacionan para dar lugar a la inductancia total de la
siguiente manera:
MLMLLA ++
+=
21
111
Campos en adicin
MLMLLS +
=
21
111
Campos en sustraccin