BLOQUE 2 ✓ Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. ✓ Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. Aprendizajes esperados 82
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Constantemente efectuamos cálculos matemáticas con números grandes,
pequeños, múltiplos, divisores, etcétera.
En este bloque comprobarás que para esos cálculos y algunos problemas son
necesarias las herramientas matemáticas, como la descomposición de números
en factores o el trazo de bisectrices.
Arte numérico
Observa el arreglo de botellas: hay 196 y están colocadas rectangularmente en 7 fi las y 28 co-lumnas. Tanto 7 como 28 son divisores de 196, ya que ambos lo dividen de manera exacta. Siempre que disponemos un conjunto de ele-mentos de manera rectangular, los números de fi las y columnas son divisores del número de elementos.La imagen está inspirada en una obra de Andy Warhol (1928-1987) de 1962, quien utilizó con frecuencia en sus trabajos objetos cotidianos, rostros de personajes famosos y objetos de difusión masiva.
2. ¿El número 7 tiene divisores? ¿Y el 28?¿Cómopuedescolocar7botellasenunarre-glorectangular?¿Y28botellas?
3. Reúnete con un compañero. Conviértanseen un Warhol poniendo en juego su crea-tividad. Dibujen un cuadro teniendo encuenta que el motivo que se repite debehacerlo60vecesendisposiciónrectangular(nopuedesobrarninguno).¿Cuántasfilasycolumnasdibujaron?Comparenelresultadocon los del grupo. ¿Todos tienen la mismadisposición?
Saber qué número divide a otro exactamente es útil para resolver algunos problemas, como verás enseguida. También sabrás cómo comprobar si un número puede dividirse entre 2, 3, 5 y 9 exactamente, sin hacer la división.
a) Con esa misma cantidad de mosaicos, ¿puede formarse un rectángulo que tenga ocho
en un lado? ¿Y uno que tenga doce? Explica cómo lo sabes
b) Encuentra los rectángulos que podrían formarse con 60 mosaicos. Puedes represen-tarlos con una multiplicación. Por ejemplo, si tiene diez en un lado y seis en el otro se representa 10 × 6.
m Compartelosdivisoresqueencontrastecontuscompañeros.Verifiquenquesean16.Comentensusprocedimientosparaasegurarquenofaltealguno.
3. Encuentratodoslosdivisoresdelosnúmeros.
Número Divisores Número Divisores Número Divisores
1 8 15
2 9 16
3 10 17
4 11 18
5 12 19
6 13 20
7 14 21
Los divisores de un números son los que lo dividen exactamente, es decir, con los que el cociente es entero y el residuo, 0.En el problema anterior, las cantidades de mosaicos que se pueden poner en los lados de los rectángulos son divisores de 60, puesto que lo dividen exactamente; por ejemplo, 10 y 6:
60 ÷ 10 = 6 con residuo 060 ÷ 6 = 10 con residuo 0
Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distingue entre números primos y compuestos.CO
NTEN
IDO
resolver
1 x 60, 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12, 6 x 10
R. P.
No. Sí. 12 x 5
1
1, 2
1, 3
1, 2 ,4
1, 5
1, 2, 3, 6
1, 7
1, 2, 4, 8
1, 3, 9
1, 2, 5, 10
1, 11
1, 2, 3, 4, 6, 12
1, 13
1, 2, 7, 14
1, 3, 5, 15
1, 2, 4, 8, 16
1, 17
1, 2, 3, 6, 9, 18
1, 19
1, 2, 4, 5, 10, 20
1, 3, 7, 21
Una pista
En toda multiplicación de números enteros, por ejemplo: 100 × 6 = 600,los factores son diviso-res del producto:• 100 es divisor de 600, puesto que 600 ÷ 100 = 6 con residuo 0.• 6 es divisor de 600, puesto que 600 ÷ 6 = 100 con residuo 0.Por tanto, se pueden conocer los divisores de un número buscando las multiplicaciones que lo arrojan como resultado.
Los números que tienen exactamente dos divisores, 1 y el mismo número, se llaman números pri-mos. Por ejemplo, 7 es primo pues sus únicos divisores son 1 y 7. El 8 no es primo pues, además de 1 y 8, tiene como divisores a 2 y a 4. Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.El número 1 solamente tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto.
Todo número es múltiplo de sus divisores y divisor de sus múltiplos.
a) Del número 2 al 21, hay ocho que tienen exactamente dos divisores. ¿Cuáles son?
b) ¿Qué número es divisor de todos los de la tabla anterior?
c) Un número siempre es divisor de sí mismo. Explica en tu cuaderno por qué.
m Verifica,contuscompañeros,siencontrastelosmismosnúmerosprimosentre1y21.
4. Identificalosnúmerosprimosentre1y100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
» En el cuadro, encierra el número 2, que es primo, y tacha aquellos de los que es divisor (todos los múltiplos de 2).
» Encierra el siguiente número no tachado y tacha sus múltiplos.
» Sigue hasta que todos los números estén tachados o encerrados.
» Conclusión: los números encerrados son los números primos entre 1 y 100.
m Verifica,engrupo,lalistadelosprimosmenoresa100.Debenser25(nosecuentael1).Comentenlasiguienteinformación.
técnicas
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
1
Ya sabemos...
Los números que se obtienen multiplican-do un número natural por otros números na-turales son múltiplos de ese número. Así, 2, 4, 6, 8… son múltiplos de 2. En cambio, 7 no lo es, pues no hay número natural que multiplicado por 2 dé 7.
Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de números primos.
En contexto
Eratóstenes de Cirene, un matemático griego del siglo III a. n. e., con-cibió un método similar, al que se le llamó criba de Eratóstenes.
a) Anoten cada número de la lista que aparece a continuación, en uno o en varios de los casilleros de la tabla de abajo, según si el número es divisible entre 2, 3, 4, 5 o 6. Un mismo número puede ir en dos o más columnas. Repártanse el trabajo. Pueden usar calculadora.
Divisibles entre 2 Divisibles entre 3 Divisibles entre 4 Divisibles entre 5 Divisibles entre 6
10, 12 12 12 10 12
Probablemente ya observaste que en todos los números divisibles entre 2 la cifra de las unidades es par: 0, 2, 4, 6 u 8.Esta característica es el criterio de divisibilidad entre 2 y permite saber si un número es divisible entre 2, sin tener que hacer la división. Por ejemplo, puede saberse que 421 no es divisible entre 2 pues la cifra de las unidades no es par.
Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distingue entre números primos y compuestos.CO
NTEN
IDO
b) Comparen los números que pusieron en cada columna con los de otros equipos.Corrijan si es necesario.
c) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 2. ¿Qué observan?
d) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 5. ¿Qué observan?
m Compartansusobservacionesconelgrupo.Revisensiloqueobservaronlespermitedeterminarsielnúmero236esdivisibleentre2ysiesdivisibleentre5,sinhacerlasdivisiones.
e) Completa el criterio de divisibilidad entre 5.
Un número es divisible entre 5 si
¿Cómo comprobarías que no existe un núme-ro divisible entre 2 cuya cifra de las unidades sea 3?
a) Se quieren empacar 1 028 galletas en bolsitas iguales, sin que sobre ninguna.
¿Es posible hacerlo de dos en dos? ¿De cinco en cinco?
¿Y de tres en tres?
b) En una tienda se venden paletas de tres pesos. En el registro de ventas del día aparecen las cantidades que se indican a continuación. Encierra las que podrían corresponder a la venta de distintas cantidades de paletas.
c) Con 180 losetas se puede formar un rectángulo de 45 × 4 losetas. ¿Qué otros rectángu-los se pueden formar? Encuentra todos los que puedas e indícalos en el cuaderno.
d) De una cartulina rectangular de 30 × 105 cm se quieren recortar cuadrados sin que sobre cartulina.
¿Los cuadrados podrían tener 2 cm de lado? ¿Y 3 cm?
¿Podrían tener 5 cm?
e) Los alumnos de primer grado fueron de excursión al campo. El guía los organizó en grupos pequeños. Si los agrupaba de cinco en cinco, no quedaba alguno fuera, si lo hacía de tres en tres, tampoco; pero si los agrupaba de dos en dos, uno quedaba fuera. A la excursión fueron entre 40 y 50 alumnos.
Determina cuántos asistieron.
m Comparatusresultadosconlosdetuscompañeros.Comentenquécriteriosdedivisibilidadusaron.
En los números divisibles entre 3, la suma de sus cifras es divisible entre 3. Si la suma no es divisible entre tres, el número tampoco lo es. Por ejemplo, la suma de las cifras del número 2 301 es 2 + 3 + 0 + 1 = 6, por tanto sí es divisible entre 3.
2Se quiere cuadricular una explanada de 20 m × 30 m de manera que todos los cuadrados queden completos. ¿Cuánto mide el lado del mayor cuadrado posible? En esta secuencia estudiarás situaciones como esta, en las que es necesario encontrar múltiplos o divisores compartidos por dos o más números.
1. Eljuegodelapulgaylastrampas.1
a) Reúnete con un compañero. Hagan una tira de papel de 2 m × 5 cm y escriban en ella los números de 1 a 50, dejando 4 cm entre cada uno.» Uno de ustedes ubica trampas (cualquier objeto) en cuatro números.» El otro determina la forma en que saltará su pulga (desde 2 en 2 hasta 9 en 9). Si escoge,
por ejemplo, saltos de 3 en 3, la pulga (un objeto distinto al de las trampas) pasará por los números 3, 6, 9…
BLOQUE
1JuegotomadodeFuenlabrada,I.et al.(1991).Juega y aprende matemáticas.LibrosdelRincón.México:sep,1991.
1 62Salida 73 84 95 10 11 12 47 48 49 50
» Si la pulga cae en una trampa, el que puso las trampas se anota un punto. Si la pulga completa la tira sin caer en las trampas, el punto es para su dueño.
» Jueguen cinco o seis veces alternando los papeles.
2. Contestalaspreguntasyhazloquesepide.
a) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 12?
b) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 17?
c) Como habrás observado, unos números solo atrapan a las pulgas de un tipo de salto, mientras que otros atrapan a las de distintos tipos. Escribe en tu cuaderno un ejemplo de cada caso.
d) Si tienes en cuenta todos los tipos de salto, ¿en qué número caen más pulgas?
¿Con qué tipos de salto?
e) ¿En qué números deben ir las trampas para que no pase ninguna pulga?
f ) ¿Es posible lograrlo solo con dos trampas?
m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.
Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.CO
NTEN
IDO
resolver
Convivimos
Para jugar es necesario respetar las reglas y el turno de los demás. También se pueden inventar nuevas reglas y ponerlas a consideración de otros.
Una pista
Observa que 36 es un múltiplo común de 2, 3, 4, 6 y 9, entre otros. Es, por tanto, un buen número para poner una trampa.
a) ¿Cuánto mide de lado el cuadrado de menor tamaño que se puede hacer con losetas de 20 cm × 30 cm?
b) María toma tres medicinas: la A cada 2 horas, la B cada 6 horas, y la C cada 8 horas. A las 12 p. m. tomó las tres. ¿A qué hora las volverá a tomar juntas?
c) ¿Cuál es el menor denominador común con el que se puede sumar 1 __ 12 + 1 __ 16 + 1 __ 20 ?
m Comparatusrespuestasdelasactividades3,4y5conlasdetuscompañeros.
Sigue jugando la pulga y las trampas en…
www.e-sm.com.mx/SCM1-089
Si un número es múlti-plo de 2 y de 3, ¿puede no serlo de 6?
Múltiplosde3
Al número más pequeño que es múltiplo de dos números a y b se le llama mínimo común múlti-plo de a y b, y se representa como mcm (a, b); por ejemplo:
mcm (4, 6) = 12Este número es útil para resolver algunos problemas.
Se van a preparar bolsas con golosinas para los invitados de una fiesta. Se tienen 24 choco-latines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas. Se quiere que las bolsas sean iguales entre sí, es decir, que no haya una, por ejemplo, con más chocolates que otra. También se desea que no sobren golosinas.
a) ¿Pueden hacerse 8 bolsas? Si tu respuesta es sí, indica cuántas golosinas de cada tipo llevaría una bolsa y demuestra que no sobrarían golosinas. Si tu respuesta es no, explica por qué.
b) ¿Pueden hacerse tres bolsas? Explica por qué.
c) Responde las preguntas.
» ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se pueden hacer?
» ¿Cuántas golosinas de cada tipo se pueden poner por bolsa?
chocolatines, bastones de caramelo y paletas.
Verifica que al multiplicar el contenido de cada bolsa por el número de bolsas obten-gas 24 chocolatines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas.
m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.Leanlasiguienteinformación.
BLOQUE
Para que un número de bolsas sea una solución al problema anterior, debe dividir exactamente a
cada cantidad de golosinas, es decir, debe ser un divisor común de 24, 36 y 60.
El mayor número de bolsas posible es el máximo común divisor de los tres números y se abrevia
MCD (24, 36 y 60).
Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.CO
NTEN
IDO
resolver
No, porque 60 y 36 no es divisible entre 8.
Sí, porque 24
___
3 = 8,
12
2 3 5
36
___
3 = 12, y
60
___
3 = 20.
Practica tus habilidades para encontrar múlti-plos y divisores en…
Una manera de encontrar los divisores de 60 es dividir 60 entre los números del 1 en adelante e identificar los casos en los que el residuo es 0. Cuando se repite un par de divisores se han encontrado todas las opciones.
División Residuo Divisores
60 ÷ 1 = 60 = 0 1 y 60
60 ÷ 2 = 30 = 0 2 y 30
60 ÷ 3 = 20 = 0 3 y 20
60 ÷ 4 = 15 = 0 4 y 15
60 ÷ 5 = 12 = 0 5 y 12
60 ÷ 6 = 10 = 0 6 y 10
60 ÷ 7 = ≠ 0 ---
60 ÷ 8 = ≠ 0 ---
60 ÷ 9 = ≠ 0 ---
60 ÷ 10 = = 0 10 y 6
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60
a) En el problema de las bolsas con tres tipos de golosinas, ¿cuál sería el mayor número de bol-sas que podría hacerse si hubiera 105 chocolatines, 120 bastones de caramelo y 165 paletas?
b) Un engranaje está formado por ruedas dentadas: A, de 12 dientes; B, de 24; y C, de 36. Al girar, las marcas rojas coinciden como se ve en el dibujo. ¿Cuántas vueltas dará C hasta que las marcas vuelvan a coincidir?
c) En un laboratorio hay 1 044 ejemplares de un tipo de insecto, 504 machos y 540 hem-bras. Quieren distribuirlos de manera que se tengan grupos mixtos del mismo tamaño, lo más pequeños posible. ¿Cuántos insectos de cada tipo deben poner por grupo? ¿Cuántos grupos se forman?
m Verifica,contuscompañeros,queenelproblemac),almultiplicarelnúmerodeinsectosdecadagrupoporelnúmerodegrupos,seobtieneeltotaldeinsectos.
Todo número natural se puede descomponer en un producto de factores primos. Cuando los nú-meros se expresan de esta manera es fácil encontrar sus divisores y múltiplos comunes, como lo comprobarán enseguida.
En una multiplicación, cada factor es divisor del producto. Por ejemplo, 84 es igual a 2 × 2 × 3 × 7, por tanto 3, 2 y 7 son divisores de 84. También los productos que se obtienen con los factores primos son divisores del número, por ejemplo: 3 × 2 × 2 = 12; entonces 12 es divisor de 84. Verifíquenlo haciendo las divisiones y comprobando que el residuo sea 0.
Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.CO
NTEN
IDO
1. Haz,conuncompañero,losiguiente.» Uno de ustedes expresa, en la segunda fila de la derecha, el
número 180 como producto de dos factores.» El otro lo hace como producto de tres factores en la tercera fila.» Continúan aumentando el número de factores de esta forma.
Si uno ya no puede descomponer más en su turno, el otro lo intenta. El que haga la última descomposición gana (los productos por 1 no valen).
» Repitan la actividad en su cuaderno con los siguientes números y anoten aquí el producto final.
270 = 240 = 1 080 =
m Comparenlasdescomposicionesqueobtuvieronconlasdesuscompañeros.Observenquealfinalseobtienenproductosdenúmerosprimos.Comentenlasiguienteinformación.
El máximo común divisor de dos números se puede formar con todos los factores primos comu-nes de esos números. Por ejemplo, el MCD de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 7, es decir, 14.
El mínimo común múltiplo de dos números se forma con la menor multiplicación posible que con-tenga a todos los factores primos de cada número. Por tanto, el mcm de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 2 × 3 × 5 × 7, es decir, 420.
d) ¿Cuál es el máximo común divisor de 84 y 70? Identifíquenlo a partir de los productos
de factores primos.
e) Utilicen las descomposiciones en factores primos de la actividad 1 para encontrar lo siguiente.
c) Resuelve las multiplicaciones y verifica tus respuestas de los incisos a) y b).
d) Considera las descomposiciones en factores primos de 84 y de 70 para formar la des-composición en factores primos del mínimo común múltiplo de 84 y de 70.
mcm (84, 70) = =
e) Calcula lo que se indica utilizando las descomposiciones en factores primos de la activi-dad 1.
2 La migración indocumentada en Estados Unidos de América
1. Leeeltextoyhazloqueseindica.
a) Subraya la respuesta correcta: 35.7 millones de personas significa…» 35 millones de personas más otras siete personas.» 35 millones de personas más siete décimos de una persona.» 35 millones de personas más siete décimos de un millón de personas.
b) ¿A cuántas personas equivale un décimo de un millón?
c) ¿A cuántas personas equivalen siete décimos de un millón?
d) ¿Cuánto le falta a 35.7 millones para 36 millones?
mm Comenta,engrupoyconayudadelprofesor,tusrespuestas.
¿Qué tan familiarizado estás con los números fraccionarios y la notación decimal? ¿Puedes calcular mentalmente sumas y restas? En esta secuencia consolidarás estas operaciones.
La población migrante total (nacida fuera de Estados Unidos de América) ascendió, en marzo de 2004, a 35.7 millones de personas. De ellas, 21.7 millones (61%) son residentes con permanencia legal, 1.2 millones (3%) tienen permiso de residencia temporal, 2.5 millones (7%) son refugia-dos llegados después de los ochenta y 10.3 millones (29%) son migrantes indocumentados. (La Jornada, 25 de abril de 2005.)
Escritura simplificada (millones)
Escritura normal Porcentaje
Población migrante total
35.7
Residentes legales 21.7
Residentes con permiso temporal
1.2
Refugiados llegados después de los años ochenta
2.5
Migrantes indocumentados
10.3 10 300 000
Tabla 1
Resuelve problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
Del total de migrantes indocumentados en EUA, 5.9 millones (57%) provienen de México; 2.5 millones (24%), del resto de América Latina; 1 millón (9%), de Asia; 600 000 (6%), de Europa y Canadá; y 400 000 (4%), de África y otros lugares. (La Jornada, 25 de abril de 2005.)
3. Leelainformaciónyhazloqueseindica.
a) Organiza en la tabla las cantidades del texto anterior.
a) ¿Cuál es la suma de la segunda columna de la tabla 2?
b) ¿Cuál es la diferencia entre esta suma y 10.3 millones?
c) ¿A cuántas personas equivale la diferencia?
d) ¿Es mucha esta diferencia?
mm Comenta,conayudadelprofesor,tusresultadosdelasactividades2,3y4.Sicometistealgúnerror,descríbelo.
5. Interpretalascantidadesyanotaloquesepide.
a) 2.3 km es igual a km con m.
b) 3.8 h es igual a h con min.
c) 5.6 kg es igual a kg más g.
Como puedes notar, el signifi cado de los números decimales es muy importante para interpretar cantidades. Así, por ejemplo, 3.2 millones de personas no signifi ca 3 millones más dos personas, sino 3 millones más 2 décimos de millón, es decir, 3 200 000 (tres millones doscientas mil personas), puesto que la décima parte de un millón es 100 000.
Origen de los migrantes indocumentados
Escritura simplifi cada (millones) Escritura normal Porcentaje
México 5 900 000
Resto de América Latina
Asia
Europa y Canadá
África y otros lugares 0.4
Tabla 2
Del total de migrantes indocumentados en EUA, 5.9 millones (57%) provienen de México; 2.5 millones (24%), del resto de América Latina; 1 millón (9%), de Asia; 600 000 (6%), de Europa y
b) ¿A quién le dio más estampas: a Martha o a Hilda?
c) Si Pilar se quedó con 64 estampas, ¿cuántas le regaló a Martha y cuántas a Hilda?
mm Revisa,conayudadelprofesor,tusresultadosdeestaactividad.Situvistealgunadificultad, explicaenquéconsistió.Analizalasiguienteinformación.
Cuando se suman dos o más fracciones con distinto denominador, por ejemplo, 2 __ 3 + 3 __ 4 + 5 __ 6 , es útil encontrar un número que sea múltiplo común de los denominadores, de preferencia el mínimo co-mún múltiplo; en este ejemplo es 12. Las tres fracciones se convierten en doceavos y se suman.
23
= 812
34
= 912
56
= 1012
23
+ 34
+ 56
= 812
+ 912
+ 1012
= 2712
= 94
técnicas
R. P.
A Martha.
10:00
56 a Martha y 48 a Hilda.
17
12
8
21
Una pista
Los tercios y séptimos se pueden convertir en veintiunavos.
Fuente: Instituto Nacional de Estadística y Geografía. Resumen de los Resultados de los Censos Económicos. 2009.
a) ¿Cuál es el salario promedio anual, en pesos, de una persona que vive en el Distrito
Federal?
b) ¿Cuál es la diferencia entre el salario promedio anual más alto y el más bajo?
En miles de pesos: En pesos:
c) En el número 8 de la tabla se puede ver el salario promedio anual a nivel nacional. ¿Cuál es la diferencia entre este salario y el de Nayarit, que es el más bajo?
Remuneraciones promedio por persona según entidad federativa en 2008 (miles de pesos anuales)
Resuelve problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
CONT
ENID
O
resolver
135.9
79.2 79 200
37.2
Ya sabemos…
Por ejemplo, 141.1 mi-les de pesos significa 141 mil, más un dé-cimo de mil, que son 100 pesos, es decir, 141 100 pesos.
d) Si se divide el salario promedio anual de Yucatán, que es $64 600.00, entre los 365 días del año, se obtiene lo que gana una persona en promedio por día: $176.98. A continua-ción aparecen los precios de varios productos de consumo básico. Enlista los que se pueden comprar con $176.98.
» kg de huevo: $17.00 » kg de tortilla: $10.00 » kg de carne: $80.00» pieza de pan: $1.50 » l de aceite: $24.00 » kg de jitomate: $10.00» kg de frijol: $25.00 » kg de arroz: $20.00 » kg de chile: $20.00» l de leche: $14.00 » kg de azúcar: $15.00 » kg de manzana: $25.00» kg de cebolla: $10.00 » garrafón de agua sin el envase: $31.00
e) Para la comida del día, Josefina quiere comprar 1 12
kg de carne, 34
kg de jitomate, 14
kg de chile, 1
2 kg de cebolla y 1 kg de tortilla.
» ¿Cuánto gastará?
» ¿Cuánto pesará la bolsa en la que meta sus compras?
mm Revisa,conayudadelprofesor,tusresultadosycorrigeloqueseanecesario.
mm Comparatuscuadradosconlosdeotroscompañerosyverificaquesecumplalacondicióndeloscuadradosmágicos.
Suma: 154
Suma: 32
Suma: 2.1
Suma: 2.5
En contexto
Este tipo de cuadrados se llaman mágicos porque en su origen se les atribuyeron, erró-neamente, propiedades astrológicas y adivina-torias. En un cuadrado mágico al sumar tres números (de una co-lumna, fila o diagonal) siempre se obtiene el mismo resultado.
$142.50
4 kg
2
4
5
4
3
0.5
1
7
6
1.51
3
0.1
3
4
0.3 0.7
2
50.9
9
4
1
2
1
40.4
1.1
0.5
3
2
00
00
0.9
0.4
Practica la suma y resta de fracciones con distinto denominador en…
2Multiplicar una cantidad por un número natural equivale a sumar esa cantidad varias veces, por ejemplo, 2 × 3
4 km es lo mismo que 34 km + 3
4 km. Pero, ¿qué significa multi-plicar una cantidad por un número fraccionario, por ejemplo, 2
5 × 34 km ? ¿El resultado
también es mayor que 34 km?
En esta secuencia estudiarás la multiplicación y la división con fracciones y comprobarás que con ellas pasan cosas inesperadas, distintas a las que suceden con números naturales.
1. Resuelvelosproblemasusandofracciones.
a) Varios jóvenes improvisaron una banca uniendo extremo con extremo cinco tablas de
3 __ 4 m de largo. ¿Cuál es, en metros, la longitud de la banca?
b) En un puesto del mercado se vende queso en trozos de 1 __ 4 kg. Si una persona lleva diez
trozos, ¿cuántos kilogramos compró?
c) Luis utiliza aproximadamente 1 __ 10 de tanque de gasolina en su viaje de ida y vuelta al trabajo. Si va al trabajo 20 veces al mes, durante diez meses al año, ¿cuántos tanques de
gasolina consume anualmente?
2. Verificasiloquehicisteenelejercicioanteriorcoincideconlasiguientetécnica.Encasodenoserasí,buscaelerror.Para multiplicar una fracción por un número entero, basta con multiplicar el numerador de la fracción por el entero. Por ejemplo: 3 __ 4 m × 5 = 15
__ 4 m = 3 3 __ 4 m.
Si una cuerda de 34 m
se corta a la mitad,
¿qué fracción de metro
medirá cada parte?
a) 3 × 1 _ 3
=
d) 5 × 4 _ 15
=
g) 4 × 1 1 _ 4
=
b) 2 × 3 1 _ 4
=
e) × 3 _ 10
= 9 _ 10
h) × 2 _ 7
= 1 1 _ 7
c) × 1 _ 6
= 1 _ 3
f ) × 1 _ 6
= 1 _ 2
m Comparenlatécnicaquecadaunodescribióenlaactividad2ysusresultadosdelasmulti-plicacionesdelaactividad3.Verifiquenquehayanaplicadolasiguienteregla.
BLOQUE
Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
Para multiplicar un entero con una medida fraccionaria, por ejemplo, 5 × 3 __ 4 m, se multiplica el numerador de la fracción por el entero: 5 × 3 __ 4 m = 5 × 3
La mitad de un cuarto II21. Unartesano,quenecesitatrozosdemadera
pequeños,cortatirasenpartesiguales.
a) Anota en la tabla la medida de cada trozo.
b) Verifica tus resultados. Si multiplicas la medida de cada trozo (columna 3) por el número de trozos (columna 2), obten-drás la medida de la tira (columna 1).
c) Anota en la última columna las divisiones correspondientes.
Vueltas alrededor de un circuito I21. Untrendavueltasenuncircuitode60km.
a) ¿Cuántos kilómetros recorrerá después de 2 34
vueltas?
b) ¿Cuántos kilómeteos recorrerá luego de 0.25 vueltas?
2. Calculalosdatosquefaltanycontestalapregunta.
Vueltas 0.25 25
0.5 1 78
2 23_4
3 3.5 5 51_4
km 60
La operación que permite obtener los kilómetros recorridos en cinco vueltas es 5 × 60 km = 300 km. ¿Cuál es la operación para obtener los kilómetros que se recorren en 2
5
de vuelta?
m Compara,engrupo,losdatosdelatabla.Comentenquésignificamultiplicarunacantidadporunafracción,porejemplo,
34 ×100g.
3. Enelrecuadroaparecenvariasmultiplicaciones.
a) Subraya cada operación con el color que se indica.
si el resultado es menor que 60.
si el resultado es mayor que 60 pero menor que 120.
si el resultado es mayor que 120.
23 × 60
0.4 × 60
1 12 × 60
34 × 60
1.5 × 60
52 × 60
25 × 60
0.75 × 60
2 13 × 60
73 × 60
2.1 × 60
2 34 × 60
BLOQUE
Así como a cinco vueltas le corresponde cinco veces 60 km (5 × 60 km),
a 25 de vuelta le corresponden 2
5 de 60 km ( 25 × 60 km).
La acción de obtener 25 de una cantidad también se llama multiplicar por 2
5 .
Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
Multiplicar 60 × 5 equivale a sumar cinco veces 60.
Multiplicar 60 × 34 equivale a obtener 3
4 de 60.
Multiplicar 60 × 0.75 equivale a obtener 75100 de 60.
b) Una manera de calcular 23 × 60 es calcular primero 1
3 de 60, dividiendo 60 entre 3, y luego multiplicar el resultado por 2.
¿Se obtiene el mismo resultado si se invierte el orden de esas operaciones, es decir, si primero se multiplica 60 por 2 y luego se divide entre 3? Haz la prueba y anota los resultados en el esquema.
a) Un robot avanza una vara en 5 pasos. ¿Qué fracción avanza en cada paso?
b) Calcula y anota en la tabla el tamaño de los pasos de otros robots. Verifica los resultados multiplicándolos por 5 y comparando la distancia que cada robot recorrió en 5 pasos.
Robot Distancia que avanza en 5 pasos Tamaño de un paso Verificación
RA 1vara 5× =
RB 2 varas 5 × =
RC 5 varas 5 × =
RD 14 varas 5 × =
RE 15 varas 5 × =
c) De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el resultado de dividir 7 varas entre 5?
d) La siguiente es una forma de dividir 7 varas entre 5.
3. Encuentraloscocientesusandofracciones.
a) 3 varas entre 4 = b) 6 varas entre 4 = c) 5 varas entre 6 =
d) 5 varas entre 3= e) 10 varas entre 8 = f ) 30 varas entre 8 =
El resultado de dividir una vara entre 5 es 15 de vara.
Si en vez de dividir una vara entre 5, se dividen siete varas entre 5, el resultado será siete veces ma-
yor, es decir, siete veces 15 de vara.
Por tanto, el resultado de dividir siete varas entre 5 es igual a 75 de vara o 1 2
5 .
Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
Se decidió construir una estación de tren a la misma distancia de dos pueblos. ¿Cómo localizarías ese lugar?Al estudiar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo podrás resolver problemas como este.
a) Traza una recta que pase por los cinco puntos. Si no puedes trazarla, rectifícalos.
b) Traza el segmento que une los puntos negros. Este es el segmento FL. La recta que trazaste en el inciso a) corta al segmento FL en un punto. Llámale P.
c) Mide los segmentos. FP = LP =
d) ¿Cuánto miden los ángulos que forman el segmento FL y la recta que trazaste?
e) Por formar esos ángulos, ¿cómo son entre sí el segmento y la recta?
La recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él se llama
mediatriz del segmento.
Ya sabemos…
Como divide al segmento FL en dos partes iguales, P es su punto medio.
Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
a) ¿Estos puntos están a la misma distancia de F y de L?
b) Verifica tu respuesta.
c) La recta azul es la mediatriz de AB.» Marca cinco puntos sobre la recta.» Mide su distancia a los extremos del
segmento. » Verifica que estas distancias sean iguales.
A
B
Practica cómo se traza la mediatriz de un seg-mento en…
www.e-sm.com.mx/SCM1-111
Este procedimiento también es útil para tra-zar figuras geométricas. ¿Cómo lo usarías para trazar un triángulo con dos lados iguales y uno diferente? ¿Y para uno con tres lados iguales?
a) Abre el compás a una medida arbitraria y, con el centro en el vértice (V), traza dos arcos que corten los lados del ángulo. Los puntos de corte son M y N.
c) Con la misma abertura, y apoyando el compás en N, traza otro arco que corte al anterior. El punto de corte es P.
b) Apoya el compás en M y traza un arco hacia el lado opuesto a V.
d) Une V y P. Esa línea es la bisectriz.
V
V
V
V
M
M
M
M
N
N
N
N
P
P
Los puntos que pertenecen a la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de sus lados.
técnicas
Este procedimiento también es útil para tra-zar figuras geométricas. ¿Cómo lo usarías para trazar un rombo de 8 cm de lado y cuyo ángulo agudo mida 60°?
Ante una tarea matemática piensa que eres libre de probar diferentes maneras de resolverla. Por lo general no hay una sola que lleve a la respuesta correcta.
Una pista
Recuerda las caracterís-ticas de la mediatriz y la bisectriz.
¿Te has preguntado de dónde salen las fórmulas para calcular perímetros y áreas? ¿Por qué una fórmula puede servir para diferentes figuras? En esta secuencia estudiarás estos aspectos y verás por qué sabiendo una puedes conocer otras.
c) Tanto la base del rectángulo como la del romboide miden b, y las alturas, h. ¿Cuánto miden la base y la altura de los triángulos que se formaron?
d) Considerando que las áreas del rectángulo y del romboide se calculan multiplicando base por altura (A = bh), ¿cómo se determina el área de un triángulo?
¿Por qué?
m Analiza,engrupoyconayudadelprofesor,tusrespuestas.
Triángulosenelrectángulo
Base = Altura =
Triángulosenelromboide
Base = Altura =
Justifica las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.CO
NTEN
IDO
R. T. Las dos figuras tienen áreas iguales, y también base y altura iguales.
Triángulos.
La mitad.
Porque es la mitad de un cuadrilátero.
b
b
h
h
bh
_
2
Ya sabemos…
Una figura se puede transformar en otra, conservando su su-perficie.
a) Divide cada polígono en triángulos iguales. El centro del polígono debe ser el vértice común de los triángulos, y estos deben ser tantos como los lados del polígono.
b) Si el área de un triángulo se calcula multiplicando base por altura y dividiendo el resul-tado entre 2 (A = bh
__ 2 ), ¿cómo se determina el área de un hexágono regular?
c) ¿Cómo se calcula el área de un octágono regular?
d) ¿Cómo se obtiene el área de un polígono regular de 25 lados?
e) ¿Cómo se calcula el área de un polígono regular de n lados?
La fórmula para calcular el área de un polígono regular es área igual a perímetro por apotema entre dos, (A = Pa
__ 2 ). La apote-ma tiene la misma medida que la altura de uno de los triángu-los en que se divide el polígono. apotema
» Base mayor del trapecio » Altura del romboide » Base menor del trapecio » Área del romboide » Altura del trapecio » Área del trapecio » Base del romboide
m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.Sinocoinciden,verifiquenquiénes tienenrazón.Comentenlasiguienteinformación.
La fórmula para calcular el área de un trapecio es
a) ¿Cuánto miden las diagonales del rombo A? d = D =
b) Al multiplicar D por d se obtiene el área de un rectángulo cuyo largo es D y su ancho, d. ¿Qué relación hay entre el área del rectángulo y el área del rombo?
c) ¿Cómo se calcula el área de un rombo con base en sus diagonales?
3. Observalafigurayrespondelaspreguntas.
B
resolver
Lado por lado.
16 cuadritos.
32 cuadritos.
4 6
El área del rombo es la mitad de la del rectángulo.
D x d
_
2
(Diagonal x Diagonal)
__
2
Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de área de polígonos.
a) En la tabla de la derecha hay un procedi-miento para calcular la medida de c en la copia 5. Encuentra lo que falta y compara el resultado con el que habías obtenido.
a) ¿En qué copia los lados miden el doble que los de la bandera original?
¿Cuál es su factor de escala?
b) ¿En qué copia los lados miden el triple que los de la original?
¿Cuál es su factor de escala?
c) ¿Qué copia está entre las dos anteriores? Es decir, ¿cuál es mayor que unapero menor que la otra?
d) Los lados de esta última copia miden más del doble que los de la original, pero menos del triple. Por tanto, el factor de escala agranda más del doble pero menos del triple.
¿Cuál es ese factor?
En la copia 2, a cada unidad del dibujo original le corresponden 2 1 __ 2 unidades: 1➝ 2 1 __ 2 .
Entonces, el factor de escala de la copia es 2 1 __ 2 o 2.5.
Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.Expliquensusrazonesencadacaso.Noesnecesarioquelleguenaacuerdos.Másadelantepodránverificar.
2. Efectúaloquesepide.
a) Calcula las medidas de la copia 1 y anótalas con lápiz en la tabla.
b) A continuación se indican tres relaciones que cumplen las medidas del dibujo original. Anota “sí” o “no” para indicar si en las medidas que calculaste para la copia 1 se verifican esas relaciones. Si no se verifica alguna, hay un error.
» ¿El lado a mide lo doble que el lado d?
» ¿El lado c mide lo triple que el lado d?
» ¿El lado b mide lo doble que el lado e?
Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
c) El lado a mide 4 unidades en el dibujo original y 3 en la copia 1. Si el lado b mide 10 unidades en el original, ¿cuánto mide en la copia 1? Responde en tu cuaderno.
» Completa los datos que faltan en la tabla y compara el resultado con la medida del lado b que encontraste.
3. Efectúalosiguienteconayudadetuprofesor.
a) Compara las medidas y factores que anotaste en la tabla con los de tus compañeros.
b) Verifica si acertaste en cuál iba a ser la copia menor y cuál la copia mayor.
c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles son?
d) Calcula los datos que faltan.
e
a
bc
d
d) Dado que a cada unidad del original le corresponden en la copia 3 __ 4 de unidad, el factor de escala es 3 __ 4 . Anótalo en la primera fila de la tabla, en la columna que corresponde a la copia 1.
» Verifica las medidas de los demás lados y corrígelas si es necesario.
» Verifica que se cumplan las relaciones del inciso b).
e) Calcula las medidas de las demás copias y anótalas en la tabla. Verifica que se cumplan las relaciones del inciso b). Anota también los factores de escala que corresponden a cada copia.
Dibujo original Copia 1
-10
1
3
—
—
4
×10
÷4
×10
÷4
Practica la proporciona-lidad en los dibujos a escala en…
Desde la Antigüedad, los matemáticos han estudiado los números primos y han logrado de-mostrar algunas de sus propiedades. Sin embargo, aún hay muchas preguntas sin respuesta. Aquí te presentamos algunas de ellas.
En la antigua Grecia, el matemático Euclides demostró que “hay una cantidad infinita de nú-meros primos” o, dicho en otras palabras, “no hay un número primo que sea el más grande de todos”. Todavía no se ha descubierto un método para encontrar fácilmente números pri-mos muy grandes.
Escribe en cada inciso un número primo más grande que el que está escrito.
a) > 5 b) > 13 c) > 53 d) > 31 e) > 41
Los números primos, son, en cierta forma, los “ladrillos” o “componentes más básicos” de los números, pues cualquier número natural puede escribirse como una multiplicación de nú-meros primos, por ejemplo:
Escribe los siguientes números como multiplicación de números primos.
a) 32 = b) 78 = c) 192 = d) 18 = e) 69 =
Los matemáticos también se han preguntado, al respecto de los números primos, qué tan cerca pueden estar dos de ellos y cuántos hay a la misma distancia.
Los primos 2 y 3 distan una unidad, es decir, están lo más cerca posible.
Los primos 3 y 5 distan dos unidades; son llamados primos gemelos; 11 y 13 también son pri-mos gemelos.
¿Hay otros dos números primos que disten una unidad? Explica tu respuesta.
Escribe cinco parejas de primos gemelos.
Se considera que hay una cantidad infinita de primos gemelos; sin embargo, hasta ahora no se ha demostrado que así sea.
Muchos números pares mayores que 2 se pueden escribir como suma de dos números pri-mos, por ejemplo:
8 = 5 + 3 24 = 13 + 11 48 = 31 + 17 100 = 83 + 17
Escribe los siguientes números como suma de dos números primos.
a) 18 = b) 28 = c) 30 = d) 90 = e) 56 =
Muchos matemáticos han tratado de demostrar que “cualquier número par mayor que 2 pue-de escribirse como suma de dos primos”, pero nadie ha podido.
Durante mucho tiempo algunas personas creyeron que encontrar primos cada vez más gran-des era una mera “ociosidad de los matemáticos”, pero en el siglo xx se descubrió que los nú-meros primos grandes resultan muy útiles para enviar mensajes secretos.
La idea se basa en que con dos números primos grandes es fácil crear un número compuesto grande (basta con multiplicarlos).
Multiplica estos números primos.
5 × 11 = 13 × 17 = 11 × 7 = 23 × 7 = 19 × 29 =
Pero el camino de regreso es diferente: es muy difícil escribir un número compuesto muy grande como multiplicación de números primos.
Encuentra los dos números primos que, multiplicados, dan como resultado los nú-meros que se indican.
× = 341 × = 91 × = 217 × = 85 × = 899
Multiplica dos números primos menores que 20 y di a tus compañeros el resultado. Ahora pregúntales qué primos multiplicaste.
¿Cuánto tiempo tardaron en responder?
Actualmente, la seguridad de muchos datos bancarios depende de los números primos. Hay compañías que ofrecen un premio a las personas que encuentren nú-meros primos cada vez más grandes.
Quizás en el futuro comprobar si cualquier número par mayor que 2 puede escri-birse como suma de dos números primos, o saber cuántos primos gemelos hay, resulte ser más que una simple “ociosidad matemática”.
Geometría e ilusiones ópticasLaimagenesunfragmentodelaobraBitlinko,deVíctorVasarely,unartistadecomienzosdelsigloxxaquienseleconsideraelpadredelOp-Art,unacorrienteabstractaqueutilizafenómenosópticosparaengañaralojohumanoydarsensacióndemovimientoorelieve.Alcontrariodeotrastendencias,elOp-Artsebasaenprincipioscientíficosrigurosos.
Pregunta 1. En la obra mencionada el artista ha incluido tres tipos de polígonos. ¿Cuáles son y cuántos hay de cada tipo?
Pregunta 2. Si se sabe que el lado de cada cuadrado mide 2 cm, se observa la relación entre las dimensiones de los tres tipos de polígonos y se mide lo necesario, ¿cuál es el área total de la superfi cie pintada de negro?
Pregunta 3. Si miras fi jamente la imagen notarás puntos grises en la intersección de los polígonos. Estos no son reales, sino una ilusión óptica. ¿A qué se debe?
Pregunta 4. Muchas personas opinan que estas obras geométricas no pueden considerarse arte. ¿Qué opinas tú? Escribe tus argumentos y pre-séntaselos a tus compañeros.
Pregunta 5. Elabora una composición geométrica con polígonos al estilo de Vasarely. ¿Qué polígonos utilizaste? Calcula el área de tu composición.