埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー(小西克享) フーリエ級数とフーリエ変換-1/12 テーマ B25: フーリエ級数とフーリエ変換 1.フーリエ級数 一般に物体の運動には周期運動と非周期運動があります.例えば,時計の長針は 60 分ご とに同じ位置に戻ってくることから,60 分を周期とする周期運動をしていると言えます. 周期運動の一例であるバネや糸の先につけた重りの運動は,特に振動と呼ばれます.一方, 自由落下運動のように,物体が繰り返し同じ位置を通過することのない運動は非周期運動 と呼ばれます. もっとも単純な振動の例であるバネの場合,バネの初期の伸びを A とすると,重りの変 位は t A y cos で表されます.これは振動が基本的に三角関数で表されることを示す良い 例ですが,実際の機械の振動はもっと複雑で,いくつもの sin 波や cos 波が合成されたもの となります.どのような振動波形でも表すことができる式として最も適しているのは,無 限級数の一種であるフーリエ級数なのです. 周期が 2π のとき,関数 x f のフーリエ級数は 1 0 sin cos 2 ~ n n n nx b nx a a x f (1) で表されます. n a , n b はフーリエ係数と呼ばれますが,ここで,興味深い点は n a , n b が x f 自身から求められることです.具体的には nxdx x f b nxdx x f a n n sin 1 cos 1 (2) となります.求めようとしている x f から係数を計算するのは矛盾しているように思えま すが,実は,(1)式は x f の近似式を与えるのであり,(2)式の x f として(1)式を代入する 訳ではありません. x の範囲で定義される周期 2π の関数が x f として具体的に 与えられたとき,(2)式からフーリエ係数 n a , n b を求め,それらを(1)式に代入することで, x の全領域で定義される近似式に拡張することができるのです.なお, x f が 2 0 x で 定義される場合は,積分範囲を 0 から 2πとして,次式を用いることもできます. 2 0 2 0 sin 1 cos 1 nxdx x f b nxdx x f a n n 周期が 2L のとき,関数 x f のフーリエ級数は 1 0 sin cos 2 ~ n n n x L n b x L n a a x f フーリエ係数は
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埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー(小西克享) フーリエ級数とフーリエ変換-1/12
テーマ B25: フーリエ級数とフーリエ変換
1.フーリエ級数
一般に物体の運動には周期運動と非周期運動があります.例えば,時計の長針は 60 分ご
とに同じ位置に戻ってくることから,60 分を周期とする周期運動をしていると言えます.
周期運動の一例であるバネや糸の先につけた重りの運動は,特に振動と呼ばれます.一方,
自由落下運動のように,物体が繰り返し同じ位置を通過することのない運動は非周期運動
と呼ばれます.
もっとも単純な振動の例であるバネの場合,バネの初期の伸びを Aとすると,重りの変
位は tAy cos で表されます.これは振動が基本的に三角関数で表されることを示す良い
例ですが,実際の機械の振動はもっと複雑で,いくつもの sin 波や cos 波が合成されたもの
となります.どのような振動波形でも表すことができる式として最も適しているのは,無
限級数の一種であるフーリエ級数なのです.
周期が 2πのとき,関数 xf のフーリエ級数は
1
0 sincos2
~n
nn nxbnxaa
xf (1)
で表されます. na , nb はフーリエ係数と呼ばれますが,ここで,興味深い点は na , nb が xf
自身から求められることです.具体的には
nxdxxfb
nxdxxfa
n
n
sin1
cos1
(2)
となります.求めようとしている xf から係数を計算するのは矛盾しているように思えま
すが,実は,(1)式は xf の近似式を与えるのであり,(2)式の xf として(1)式を代入する
訳ではありません. x の範囲で定義される周期 2π の関数が xf として具体的に
与えられたとき,(2)式からフーリエ係数 na , nb を求め,それらを(1)式に代入することで,
x の全領域で定義される近似式に拡張することができるのです.なお, xf が 20 x で
定義される場合は,積分範囲を 0 から 2πとして,次式を用いることもできます.
2
0
2
0
sin1
cos1
nxdxxfb
nxdxxfa
n
n
周期が 2Lのとき,関数 xf のフーリエ級数は
1
0 sincos2
~n
nn xL
nbx
L
na
axf
フーリエ係数は
埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー(小西克享) フーリエ級数とフーリエ変換-2/12
L
Ln
L
Ln
xdxL
nxf
Lb
xdxL
nxf
La
sin1
cos1
となります.では,具体的な例で示しましょう.代表的な振動波形にはサイン波,三角波,
矩形(くけい)波があります.
サイン波は xy sin で表され,三角関数ひとつで x の全て領域を表すことができますが,
三角波と矩形波はそうは行きません.簡単な関数では全領域を表すことができないのです.
例えば, x の範囲で矩形波は
01
01
xxf
xxf
(3)
と表すことができますが,x の全て領域を表すには,x の範囲ごとに定義を繰り返さなけれ
ばなりません.そこで,フーリエ級数を用いると,
anは
,3,2,1,0
00sinsinsin0sin1
sinsin1
10,10cos1cos11
00coscos1
cos1
0
0
0
0
0
0
n
nnn
nxnxn
xfxfnxdxnxdx
nxdxxfnxdxxf
nxdxxfan
でからでから
に積分区間を分離するからとから
また,bnは
-1
1
π -π
三角波
x 0
-1
1
π -π
0
-1
1
π -π 0
矩形波 サイン波
埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー(小西克享) フーリエ級数とフーリエ変換-3/12
):,8,6,4,2(0
):,7,5,3,1(4
coscos1
10,10sin1sin11
00sinsin1
sin1
0
0
0
0
0
0
偶数
奇数
でからでから
に積分区間を分離するからとから
n
nn
nxnxn
xfxfnxdxnxdx
nxdxxfnxdxxf
nxdxxfbn
ここで, 12 mn とすると,m(m=0,1,2,3,・・・)を用いて n の奇数のみを表すことができ