BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG Ch nhi m B …4TC).pdf · Bài giảng: 1 GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương I , mục: I.1, I.2, I.3.

BỘ MÔN DUYỆT

Chủ nhiệm Bộ môn

Tô Văn Ban

ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG

(4 TC: 75 tiết /5 tiết bài)

Học phần: GIẢI TÍCH 1 - Tiến

Tiến Việt Nga (Giảng dạy bằng

tiếng Nga)

Bộ môn: Toán

Khoa: CNTT

Thay mặt nhóm môn

học

Nguyễn Xuân Viên

Thông tin về giáo viên

TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị Đơn vị công tác (Bộ môn)

1. Nguyễn Xuân Viên PGS TS Bộ môn Toán

2. Vũ Thanh Hà GVC TS Bộ môn Toán

3. Đào Trọng Quyết Giảng viên ThS Bộ môn Toán

4. Bùi Văn Định Giảng viên ThS Bộ môn Toán

5. Nguyễn Văn Hồng Giảng viên ThS Bộ môn Toán

Thời gian, địa điểm làm việc:

Địa chỉ liên hệ: Bộ môn toán nhà A1, P408

Điện thoại 069515330, email: [email protected]

Các hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết số, Đại số; Giải tích; Phương pháp tính;

Xác suất thống kê.

Bài giảng: 1

GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ

Chương I , mục: I.1, I.2, I.3.

Tiết thứ: 1- 5 Tuần thứ: 1

Mục đích, yêu cầu: Nắm được số thực gồm có số hữu tỷ và số vô tỷ; tính đầy đủ

của tập số thực. Giới hạn dãy, tiêu chuẩn Cauchy về gh dãy, dãy đơn điệu, số e.

Các định lý về gh hàm số. VCB, VCL; so sánh các VCB.

Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận trên giảng đường.

Thời gian: Lý thuyết (LT): 3 tiết; Bài tập (BT): 2 tiết; Tự học: 10 tiếng

Địa điểm: P2 bố trí

Nội dung chính:

Лекция (5 часов)

Глава I. Предел и непрерывность функции

I.1. Действительные числа (Л. # 1-2ч.)

I.1.1. Действительные числа: рациональные и иррациональные числа

Обозначения:

- множество всех натуральных чисел, * +

- множество всех целых чисел

* +

- множество всех рациональных чисел

- множество всех действительных чисел

- множество всех иррациональных чисел

* + - множество чисел из без нуля;

I.1.2. Sup, inf, полнота множества действительных чисел

Верхняя грань: Число x называется верхней граню множества A если

( )

Нижняя грань: Число x называется нижней граню множества A если

( )

SupA: Наименьшая из всех верхних граней множества A называется

правильной верхней гранью и обозначется . Таким образом

( ( )) ( .( ) (( ) )/*

InfA: Наибольшая из всех нижних граней множества A называется

правильной нижней гранью и обозначется .

Таким образом

( ( )) ( .( ) ( ( ))/*

Теорема о полноте множества (Лемма Больцано)

Подмножество множества действительных чисел, которое органиченное

сверху имеет правильную верхнюю грань.

Подмножество множества действительных чисел, которое органиченное

снизу имеет правильную нижнюю грань.

I.1.3. Интервал, отрезок, абсолютная величина.

Интервалы: ( )- окрытый интервал; ( - , )- полуокрытые интервалы;

, -- замкнутый интервал или отрезок (или сегмент).

Абсолютная величина: | | 2

Свойства абсолютных величин:

| | | | | |

| | | || |

I.2. Предел последователности действительных чисел (Л. 3ч.#3-5)

I.2.1. Предел посл-сти действительных чисел

1. Определение: Отображение называется

последовательностью. Последовательность обозначается ( ).

2. Предел последователности:

(( ) (| | ))

3. Теоремы о пределе посл-сти действительных чисел

(необходмые условия сходимости последовательностей)

i) Последовательность имеет предел – органичена;

ii) Последовательность имеет предел то он один;

iii) Если и то ;

iv) Если и то

v) Арифметические свойства пределов

4. Теорема Больцано-Вейерштрасс:

Из всякой органиченной последовательности действительных чисел ( )

всегда можно выделить сходящую подпоследовательность ( )

Доказательство: Докажем теорему для органиченной cверху

последовательности. Так как множество * + органичено сверху,

согластно теореме о полноте множества действительных чисел существует

Взяв

cогластно определению

, такие что

Можно считать что разные так как, когда

то

Таким образом доказано

□

- Критерий Коши для cуществования предела последовательности:

Для того чтобы последовательность ( ) имела предел числом

необходимо и достаточно чтобы

(( ) ( ) (| | )) ( )

Пример: Доказать что последовательность ( )

не

имеет предела когда .

Из (1) легко видеть, что последовательность ( ) не имеет предела когда

тогда и только тогда, когда

(( ) ( ) (| | )) ( )

Взяв

будем иметь

| | |

|

ч.и.т.д. (2).

I.2.2. Предел монотонной последователности. Число е

1. Говорят что последователность ( ) не убывает если

последователность ( ) не возрастает если

( ) монотонная последователность если она не убывает или не

возрастает.

2. Критерий Коши для cуществования предела монотонных

последователностей: Для того чтобы неубывающая последовательность

( ) имела предел необходимо и достаточно чтобы множество * +

органичено сверху.

Для того чтобы невозрастающая последовательность ( ) имела предел

необходимо и достаточно чтобы множество * + органичено снизу.

3. Лемма Кантора о вложенных отрезках:

Пусть , - вложенные отрезки:

| | ( ) Тогда существует единственное

число, общее для всех

⋂ , причѐм .

Доказательство: Имеются cледующие очевидные неравенства для любых

натуральных :

Так что, последовательность ( ) не убывает и органичена cверху числом

поэтому существует предел причѐм

или Аналогично

Посколку ( ) то □

- Пределы

(

*

√

( )

- Собственные пределы

I.3. Предел функции (Л.# 3-5ч.) (ОЛ.1, 2. ДЛ.1)

I.3.1. Определения предела функции по - и по последовательности

Опр.1:

( ) (| | (| ( ) | ))

Опр.2:

( ) (( ) (| ( ) | ))

Доказательство их эквивалентности

Критерий Коши для cуществования предела функции:

Для того чтобы существовал ( ) необходимо и достаточно чтобы

.((| | ) (| | )) (| ( ) ( )|

)/(док-во Vien, BGGT1 tr.12)

I.3.2.Теоремы о пределе функции

(необходмые условия сходимости функций )

i) Функция, имеющая предел при - органичена в окрестности точке

;

ii) Функция имеет предел то он один;

iii) Если ( ) ( ) в окрестности точке и ( ) и

( ) то ;

iv) Если ( ) ( ) ( ) в окрестности точке и

( ) ( ) то ( ) ;

v) Арифметические свойства пределов функций.

I.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Когда ( ) то говорим, что ( ) - бесконечно малая (БМ) при

Когда ( ) то говорим, что ( ) - бесконечно

большая (ББ) при Очевидно что ( ) ( ( ) ) ББ тогда и толко тогда,

когда

( ) БМ.

Пусть ( ) ( ) БМ. Если ( )

( ) то говорим что ( ) БМ

высшего порядка по отношению к ( ) и пишем ( ) ( ( )) (читается

( ) есть малая от ( ) ). В этом смысле пишем ( ) ( ) если ( )

БМ ( ). Очевидно что, ( ) ( ( )) ( ) ( ) где

когда .

Если ( )

( ) то говорим что ( ) и ( ) БМ одного порядка

и пишем ( ) ( ( )) (читается ( ) есть большая от ( ) ). Когда

то говорят ( ) и ( ) есть эквивалентные БМ и пишем ( ) ( )

- Легко видеть ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )

- Когда ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

считая ( ) ( ) в некоторой окресности точке

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1,2; TK. 1 , thời gian tự học 10 tiếng.

Ghi chú:

Литература

Пн Наименнование

литер.

Автор Год

изд.

Изд-ство Гос-ство

1. Лекции по М.А.

(ОЛ.1)

Г.И. Архипов

В.А.Садовничий

В.Н.Чубариков

1999 МГУ Россия

2. Высшая

математика. Том I,

II. (ОЛ.2)

Бугров Я.С.

Никольский С.М.

2004 Дрофа -

Москва

Россия

3. Сборник задач по

М.А. 1. (ОЛ.3)

Вьен Н.С. 2005 Лекуйдон Вьетнам

4. Сборник задач по

курсу М.А.

(ОЛ.4)

Г.Н. Берман 1985 Наука –

Москва

Россия

5. Курс М.А.

(ДЛ.1)

Л.Д. Кудрявцев 1981 Высшая

школа

Россия

6. Задачи и

упражнения по

М.А. – для втузов

(ДЛ.2)

Под ред.

Б.П.Демидовича

1978 Наука –

Москва

Россия

Bài giảng: 2

HÀM LIÊN TỤC

Chương I, mục: I.4.

Tiết thứ: 6 - 10 Tuần thứ: 2

Mục đích, yêu cầu: Nắm được các khái niệm: liên tục một phía, liên tục của hs.

Liên tục của hàm hợp, hàm ngược. Các giới hạn quan trọng. Giải được các bài tập

cơ bản các mục I.1, I.2. I.3.


Thời gian: LT: 3 tiết; BT: 2 tiết; Tự học: 7 tiếng


Nội dung chính:

Лек. 2 ч. + Пр.3 ч.

I.4. Непрерывность функции (Л. # 6-7 ч.) (ОЛ.1, 2. ДЛ.1)

I.4.1. Односторонная непрерывность

Определение: Функция ( ), определѐнная в окрестности точки

называется непрерывной в если

( ) ( )

Функция ( ) называется непрерывной в слева если она определена в

и слева от такая что

( ) ( )

т.е. (( ) | ( ) ( )| )

Функция ( ) называется непрерывной в справа если она определена в

и справа от такая что

( ) ( )

т.е. (( ) | ( ) ( )| )

Очевидно что функция ( ) является непрерывной в тогда и только тогда,

когда она одновренменно непрерывна слева и справа в

Примеры: ( ) ( ) - непрерывные функции на

Арифметические свойства непрерывноcти функций

Клаccификация точек разрыва: точки разрыва первого и второго рода.

I.4.2. Непрерывность композиции функций

Если ( ) непрерывная функция в ( ) непрерывная функция в , такая

что ( ) тогда cложная функция ( ( )) будет непрерывной в

I.4.3. Непрерывность функции на отрезке

Теорема 1. Непрерывная функция на отрезке , - ограничена на этом

отрезке.

Теорема 2 (Вейерштрасса) (с док-ом) Если ( ) непрерывная функция на

отрезке , - то она принимает максимальное и минимальное значения на

, - т. е. существуют , - , - такие чтобы

( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( )

Теорема 3 (Об обращении в нуль непрерывной функции ) (с док-ом)

Если ( ) непрерывная функция на отрезке , - такая что ( ) ( )

тогда существует ( ) что ( ) .

Следствие: Если ( ) непрерывная функция на отрезке , - такая что

( ) ( ) ( ) а C произвольное число: Тогда существует

( ) такое что ( ) .

Это следствие можно формировать так: Непрерывная функция на отрезке

принимает все промежуточные значения между значениями на концах.

Понятие равномерной непрерывности

Функция ( ) определена на множестве E называеся равномерно

непрерывной на E если

((| | ) | ( ) ( )| )

Теорема 4 (О равномерной непретывности).

Непрерывная функция на отрезке будет равномерно непретывной на этом

отрезке. (с док-ом)

I.4.4. Непрерывность обратных функций

Теорема: Если ( ) функция строго монотоно возрастает и непрерывна

на отрезке , -, ( ) ( ) то существует обратная функция

( ) , - , -, которая имеет одинаковое свойство монотоности

как ( ) и также является непрерывной функцией на , -

Аналонично для строго монотоно убывающей непрерывной функции на

, -

Cправедливы также аналоничные теоремы на интервалах

( ) ( - , ) (ОЛ.2, с.102-103)

I.4.5. Элементарные функции

Функции ( )

называются осноными элементарными функцями. Функции, полученные из

осноных элементарных функций применением конечного числа

арифметических операций или композиций функций называются

элементарными функциями. Все функции, с которыми имеем дело –

элементарные.

I.4.6. Замечательные пределы

i)

ii) ( )

iii)

iv) ( )

.

Практика (3 часа: # 8-10 ч.)

I.1. Действительные числа ()

ОЛ.3,4, ДЛ.2

1.3; 1.5; 1.6; 1.11; 1.13

I.2. Предел последователности действительных чисел (Пр.1 ч.)

2.2a, b; 2.4; 2.9; 2.15; 2.28; 2.33; 2.34.

I.3. Предел функции (Пр.1 ч., остаѐтся 1 ч.)

3.17; 3.18; 3.21; 3.24; 3.26; 3.27;

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, 2; TK. 1. thời gian tự học 7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 3

BÀI TẬP

Chương I, mục: I.3, I.4.

Tiết thứ: 11-15 Tuần thứ: 3

Mục đích, yêu cầu: Giải được các bài tập cho trước về phần giới hạn hàm số và

hàm liên tục. Ôn tập, kiểm tra chương I.

Hình thức tổ chức dạy học: Bài tập, thảo luận trên giảng đường.

Thời gian: BT: 4 tiết; KT: 1 tiết; Tự học: 10 tiếng


Nội dung chính:

Практические занятия 3 ч. (ОЛ.3,4. ДЛ.2) + Контр. 2 ч.

Практика (3часа: # 11-13 ч.)

I.3. Предел функции (1 ч.#11)

3.28; 3.29; 3.35; 3.48; 3.49;

I.4. Непрерывность функции (2 ч. #12-13)

3.55; 3.56; 3.61; 3.63; 3.64; 3.72; 3.74

Контрольная работа (2 ч. # 14-15)

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1 (tr.72-78 ), 2 (tr. 27-29), thời gian tự học

10 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 4

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Chương II, mục: II.1.

Tiết thứ:16-20 Tuần thứ: 4

Mục đích, yêu cầu: Nắm được các khái niệm về đạo hàm, đạo hàm một phía của

hs, đạo hàm cấp cao, đạo hàm hàm hợp, hàm ngược. Vi phân, tính bất biên của VP

cấp một và biến dạng của VP cấp cao. Giải được các bài tập cho sẵn của mục này.




Nội dung chính:

Лек. 2 ч. + Пр.3 ч.

Глава II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

II.1. Производная и дифференциал (Л. # 16-17 ч.)

II.1.1. Производная и производная высших порядков

Определение производной функции : Пусть ( ) функция, определена в

окрестности точки Зададим некоторое приращение тогда получит

новое значение , а ( ) ( ) называется

приращение функции ( ) в точке . Если существует конечный предел

( ) ( )

( ) ( )

( ) называется производной функции ( ) в точке

Разные обозначения производной функции ( ) в точке

( ) ( )

|

( )|

Определяется понятия правой и левой производной в точке

( )

( )

Очевидно что функция ( ) имеет производную в точке тогда и только

тогда, когда существуют правая и левая производные в точке и они

равны.

Из (1) получаем ( ) ( ) ( ) ( ) поэтому если

функция имеет производную в точке то она непрерывна в

Геометрический смысл производной: ( ) равна тангенс угла наклона

(коэффициент угла) касательной к кривой , задаваемой уравнением ( )

в точке ( ( ))

Механическая интерпритация производной ( )

Если ( ) дифференцируема на ( ) то ( ) определена на ( ). Если

функция ( ) снова дифференцируема на ( )то еѐ производная называеся

второй производной функции ( ) и обозначается ( ) Вообще

производная n-ого порядка определяется

( )( ) . ( )( )/ ( )

Формула Лейбница

( ) ∑

( ) ( ) ( )

Производная сложных функций:

Если ( ) ( ) функции, такие что ( ) дифференцируема в

( ) дифференцируема в точке ( ) Тогда сложная

функция ( ) ( ( )) дифференцируема в причѐм имеется место

следующей формулы

( ) ( ) ( ) ( )

Или символически ( ) ( ) ( )

Производная обратных функций: (ОЛ.1, с.105; ОЛ.2, с.143)

Если ( ) функция строго монотоно возрастает (убывает) и

непрерывна на отрезке ( ), существует ( ) в точке ( ) Тогда

обратная функция ( ) также имеет производную ( )

( ) которая вычисляется по следующей формуле

( )

( ) ( )

Или символически

( )

( )

Производные основных элементарных функций

II.1.2. Дифференциал

Определение дифференциала: Если существует постоянная A,

независящая от такая что

( ) ( ) ( ) ( )

то функция ( ) назывется дифференцируемой в точке функцией а

линейное слагаемое в (2) называется дифференциалом функции ( ) в точке

и обозначается ( )|

Теорема: Для того чтобы функция ( ) была дифференцируемой в точке

необходимо и достаточно чтобы ( ) имела конечную производную в

точке Тогда ( ) и ( )| ( ) или вообще

( ) ( ) ( )

Геометрический смысл дифференциала.

Аналонично определяется дифференциал n-ого порядка

( ) ( ( )) ( )

Инвариатная форма первого дифференциала:

Первый дифференциал не изменяет форму (3) когда независимая или

зависимая. Однако дифференциалы высших порядков имееют разные формы

в случаях, когда независимая и зависимая.

Производная функции, заданной в параметрической форме:

По свойству инварианости первого дифференциала имеем

( )

( )

( ) ( ) где функция ( ) задаѐся в в

параметрической форме: { ( ) ( )

Правила дифференцирования.

Практика 3 часа (# 18-20)

II.1. Производная и дифференциал (# 18-20) (ОЛ.3,4, ДЛ.2)

4.13; 4.18; 4.20; 4.21; 4.26; 4.31; 4.34; 4.38; 4.41; 4.43; 4.45; 4.47; 4.53; 4.54;

4.59; 4.60; 4.64; 4.68; 4.69.

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, 2, TK. 1, thời gian tự học 7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 5

CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI. CÔNG THỨ TAYLOR

Chương II , mục: II.2, II.3.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được ý nghĩa các định lý về hàm khả vi. Áp dụng được

công thức Taylor của mấy hàm số thường gặp, giải các bài tập tương ứng.




Nội dung chính:

Лек. 3ч.+Пр.2 ч.

II.2. Теоремы о промежуточных значениях (Лек. 2ч. # 22-23 ч.)

Понятие локального эстремума: Пусть функция ( ) определена в

окрестности точки . Говорят, что ( ) достигает локального максимума в

(или ещѐ говорят, что точка локального максимума функции ( ) )

если

.( | | ) ( ( ) ( ))/

( ) достигает локального минимума в (или ещѐ говорят, что

точка локального минимума функции ( ) ) если

.( | | ) ( ( ) ( ))/

Точки локального максимума и локального минимума функции ( )

называются точками локального эстремума функции ( )

Если в высших определениях берѐтся ( ) ( ) или ( ) ( ) то

получим понятия локального максимума или локального минимума функции

( ) в широком смысле cоответственно (сюда относится и функция,

постояна на (a,b)). Если нет необходимости различит точки локального

эстремума и локального эстремума в широком смысле то мы скажем

просто о точках эстремума.

Теорема Ферма: Если функция ( ) имеет производную в точке с и в

этой точке достигает эстремума то ( ) (с док-ом)

Теорема Ролля: Если функция ( ) непрерывна на , -,

диффеценцируема в ( ) и ( ) ( ) то существует ( ), такая,

что ( ) (с док-ом)

Геометрический смысл теоремы Ролля.

Теорема Коши: Если функции ( ) ( ) непрерывны на , -,

диффеценцируемы в ( ) и ( ) ( ) то существует ( ),

такая, что

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Как следствие из теоремы Коши, в случай ( ) мы получим

cледующую теорему о среднем Лагранжа

Теорема Лагранжа: Если функция ( ) непрерывна на , -,

диффеценцируема в ( ) то существует ( ), такая, что

( ) ( ) ( )( ) ( )

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

II.3. Формула Тейлора (Л. 1ч. # 23 ч.)

Теорема: Пусть функция ( ) определена на , - имеет непрерывные

( )( ) на , - существуют ( )( ) ( ) ( ) ( ) Тогда

существует ( ), такая, что

( ) ∑ ( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

(c док-ом)

(3) Формула Тейлора c остаточным членом Лагранжа.

Доказано, что если функция ( ) дифференцируема (n-1) раз в

окрестности точки и имеет производную ( )( ) то имеется место

cледующая формула Тейлора c остаточным членом Пеано

( ) ∑ ( )( )

( )

(( ) ) ( )

Формула Тейлора функции ( ) в окрестности точки называеся

формулой Маслорена

Формулы Маслорена некоторых элементарных функций:

i) ∑

( ) ( ) (остаточный член Лагранжа

( ) )

ii) ∑ ( )

( )

( ) ( )

(остаточный член Лагранжа

( ) 0 ( )

1 )

iii) ∑ ( )

( )

( ) ( )

(остаточный член Лагранжа

( ) 0 ( )

1 )

iv) ( ) ∑ ( )

( ) ( )

(остаточный член Лагранжа ( )

( )( ) )

v) ( ) ∑ ( ) ( )

( ) ( )

(остаточный член Лагранжа ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )

Практика 2 часа

II.2. Основные теоремы дифференциального исчисления (Пр. 1ч. # 24)

(ОЛ.3,4; ДЛ.2)

4.80; -82; -83; -86; -94; -96

II.3. (Пр. 1ч. # 25): 5.1; 5.2; 5.3.


Ghi chú:

Bài giảng: 6

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

Chương II , mục: II.4.


Mục đích, yêu cầu:




Nội dung chính:

Лек. 3 ч.+ пр.2 ч.

II.4. Применение дифф. Исчисления (3 ч.: # 31-33)

II.4.1. Формулы Лопиталля

Теорема 1: (неопределѐнность вида

):

Если ( ) ( ) функции, определѐнные и дифференцируемые и

окрестности точки а, за исключения, быть может, самой точки а ,

( ) ( ) ( ) ( ) в окрестности точки а и

существует конечный или бесконечный предел ( )

( ) Тогда

( )

( ) .

Теорема 2: (неопределѐнность вида

): Если ( ) ( ) функции,

определѐнные и дифференцируемые и окрестности точки а, за исключения,

быть может, самой точки а , ( ) ( )

( ) ( ) в окрестности точки а и существует конечный или

бесконечный предел ( )

( ) Тогда

( )

( ) . (Без док-ва)

Замечание:

1. Условие можно заменить условием ( )

2. Существование предела ( )

( ) в теоремах 1 и 2 есть

достаточное условие существования предела ( )

( ) но не

необходимое. Например

Но предел

.

/

( )

не существует, так как

существует предела

.

3. Можно многократно применить правил Лопиталля:

Пример:

для всех если к раз применять

правило Лопиталля 1.

4. Неопределѐнности видов легко привести к

высшим видам. Действительно символически имеем следующие правила:

II.4.2. Применение производной для исследования функции

a) Условия возрастания и убывания функции

Понятие точки возрастания и убывания функции:

Пусть функция ( ) определена в окрестности точки Говорим, что

( ) возрастает в точки если ( )

( ) ( )

для всех x из

некоторой проколотой окрестности точки и ( ) убывает в точки если ( )

для всех x из некоторой проколотой окрестности точки .

Лемма (Достаточное условие возрастания и убывания функции в точке ):

Если ( ) дифференцируема в точки и ( ) то ( )

возрастает в точки а ( ) то то ( ) убывает в точки .

Доказательство:

Пусть ( ) тогда

( ) ( )

поэтому существует

некоторая октестность точки что ( ) ( )

- означает ( ) возрастает

в точки

Пример функции, которая возрастает в точке но не возрастает в

окрестности (ОЛ2. с.161):

( ) {

Действительно ( ) ( ) ( )

.

/

– ( )

возрастает в точки 0, тогда как при ( )

для

( ) ( )

( )

поэтому функция меняет

свойство монотонности в любой окрестности точки 0.

Функция ( ) называется возраcтающей на , - если , - из

следует ( ) ( ); называется убывающей на , - если

, - из следует ( ) ( ) называется неубывающей

на , - если , - из следует ( ) ( ); называется

невозраcтающей на , - если , - из следует ( )

( ).

Теорема1: Пусть функция ( ) непрерывна , -, дифференцируема на

( ). Для того чтобы ( )была неубывающей [невозраcтающей] на , -

необходимо и достаточно чтобы и ( ) ( ) [ ( )

( )]. (ОЛ1. с.144) (без док-ва)

Теорема2: Пусть функция ( ) непрерывна , -, дифференцируема на

( ). Для того чтобы ( )была возраcтающей [убывающей] на , -

необходимо и достаточно чтобы и ( ) ( ) [ ( )

( )] и кроме того ( ) не равна нулю тождественно ни на каком

интервале ( ) , -. (без док-ва) ( ср. с ОЛ.1- с.123, 144).

Следствие (Vien): Пусть функция ( ) непрерывна , -,

дифференцируема на ( ) такая что уравнение ( ) имеет только

конечные числа решений в ( ). Тогда для того чтобы ( ) была

возраcтающей [убывающей] на , - необходимо и достаточно чтобы и

( ) ( ) [ ( ) ( )].

b) Локальные эстремумы. Наибольшие и наименьшие значения.

Понятие локальных эстремумов были введены из лекции 7.

Точки x, для которых ( ) называются стационарными точками.

Теорема3: (Первое достаточное условие эстремума):

Если функция ( ) непрерывна на , - дифференцируема в

проколотой окрестности точки и если

( ) , ( ) - на ( ),

( ) , ( ) - на ( )

То есть точка локального максимума [локального минимума]

функции ( ) Если ( ) не меняет знака через то ( ) не имеет

локального экстремума в


( ) по теореме Лагранжа

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Таким образом ( ) ( ) для всех из проколотой

окрестности точки , что означает есть точка локального максимума

функции ( ) Аналогичко для локального минимума.

Если ( ) не меняет знака через , например ( ) тогда по

теореме Лагранжа

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .

Аналогичко

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Так что ( ) ( ) ( ) когда функция ( ) не

имеет локального экстремума в

Теорема4: ( Второе достаточное условие эстремума):

Пусть ( ) и существует ( ). Тогда:

1) если ( ) то точка локального максимума;

2) если ( ) то точка локального минимума.


1) Так как ( ) то ( ) возрастает в т.е. ( ) меняет

знак – на + через Поэтому по теореме 3, точка локального максимума.

2) Аналогично.

Теорема5: (Третье достаточное условие эстремума):

Пусть

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

Тогда:

1) если ( )( ) то точка локального максимума;

2) если ( )( ) то точка локального минимума.

Доказательство: Пользоваться формулой Тейлора (ОЛ.1- с. 146).

c) Выпуклость и точки перегиба: ((ОЛ1. с. 151; (ОЛ.2 - с. 187)))

Функция ( ) называется выпуклой вверх на интервале ( ), если

график функции лежит под касательной для любой точки этого интервала.

Функция ( ) называется выпуклой вниз на интервале ( ), если

график функции лежит над касательной для любой точки этого интервала.

Точка ( ) называется точкой перегиба графика функции ( )

если существует проколотая окрестность точки такая, что в разных

полуокрестностях точки график функции имеет разные направления

выпуклости.

С некоторыми измененями определить понятия выпуклости фукции на

сегменте , -

Теорема 6: (необходимое условие перегиба )

Если функция ( ) имеет ( ) и точка перегиба то ( )

Теорема7: (достаточное условие перегиба)

Если функция ( ) дважды дифференцируема в окрестности точки ,

такая , что ( ) и ( ) меняет знак через то точка

перегиба

Асимптоты: понятие вертикальной асимптоты, наклонной асимптоты (как

в школьном курсе математики)

Обшая схема исследования графика функции.

Примеры исследования графика функции, заданной в явном виде, в

параметрической форме, в полярой форме (GTV tr.39)

Пример 1.

√

Область определения: ,

Асимптоты: две горизонтальные асимптоты

( )( )

точка максимума .

√ /

( )( ) √

Точки перегиба ( √

√

√

)

Особые точки: .

√ / ( )

Пример 2. ,

Область определения: | |

Асимптоты: Наклонная асимптота ( ),

при нет асимптоты.

( )

( )

( )( )

точка перегиба

.

/

( )

касательная в точке U имеет коэффициент

При .

/

( ) касательная в параллельна оси Oy.

При .

/

( )

касательная в имеет коэффициент

Пример 3.

( )

,

Асимптоты: горизонтальная асимптота так как ( )

( )

касательные параллельны оси Ox.

|

| ;

|

II.4.3. Приближенное решение уравнения ( ) методом деления

отрезка пополам. Метод хорди касательных. Итерационные методы решения

уравнения ( )

(Этот вопрос будет изучен в “Методы вычисления")

II.4.4. Применения в дифференциальной

геометрии

(ОЛ.2- с. 285)

Практические занятия 2ч. (ОЛ.3,4; ДЛ.2)

II.3. Формула Тейлора (Пр. 2ч.: # 35-36 ч.)

II.4. Применение дифф. Исчисления (Пр. 1ч.)

II.3 (2); II.4 (1)5.4; 5.5; -10; -13; -15; -20;


Ghi chú:

Bài giảng: 7

BÀI TẬP, ÔN TẬP, KIỂM TRA

Chương II , mục: II.4.


Mục đích, yêu cầu: Giải được các bài tập ks hàm số cho dưới dạng pt hiện vô tỷ,

siêu việt, pt tham số, pt tọa độ cực.




Nội dung chính:

Практические занятия 3 ч. (ОЛ.3,4; ДЛ.2) + Кон.2ч.

Практика 3 часа (# 31-33 ч.)

II.4. Применение дифф. Исчисления (Прод. II.4)

5.21; -22; -26; -27; -29; -30; -87; -89; -94; -101.

Контрольная работа Гл.2 (120’# 34-35)

Yêu cầu SV chuẩn bị:

Đọc các GTr.1, 2, 3; TK. 1. Thời gian tự học 10 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 8

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chương III , mục: III.1, III.2.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được các khái niệm TPBĐ, TPXĐ. Các điều kiên tồn tại

TPXĐ. TPXĐ như hàm cận trên, công thức Newton-Leibniz.




Nội dung chính:

Л. 4 ч.+пр.1ч.

Глава III. Интегральное исчисление функции одной переменой

III.1. Неопределѐнный интеграл (Л. 2 ч.# 36-37 ч.)

III.1.1. Первообразная и НИ

Понятие первообразной: Дифференцируемая на ( ) функция ( )

называется первообразной для функции ( ) на ( ) если ( ) ( ) для

всех ( ) Аналогично можно определить понятие первообразной для

функции ( ) на , - при этом в точках надо рассматривать

односторонные производные.

Совокувность всех первообразных * ( ) + для функции ( ) на ( )

называется неопределѐнным интегралом функции ( ) и обозначается

∫ ( )

где C – произвольное постоянное число.

Таким образом

∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Операция нахождения неопределѐнного интеграла (первообразной) для

функции ( ) будем называть интегрированием функции ( )

Потом мы увидим что, если функция ( ) непрерывная на ( ) то для

неѐ существует первообразная на ( )

Свойства неопределѐнных интегралов.

Таблица интегралов основных элементарных функций.

Следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях:

∫ – интеграл Пауссона,

∫ ∫ – интегралы Френеля,

∫

– интегральный логарифм,

∫

– интегральный косинус,

∫

– интегральный синус.

III.1.2. Методы вычисления НИ

Метод замены переменных.

Если ( ) непрерывнодифференцируемая функция на некотором

интервале изменения а ( ) непрерывная функция на cоотвествующем

интервале изменения Тогда

∫ ( ) ∫ ( ( )) ( ) ( )

Пример: Мы получим следующую формулу:

∫√

√

( ) .

Действительно заменой √

получим

∫( )

И после поставления

√

мы получим нужную формулу.

Метод интегрирования по частям

Если ( ) ( ) непрерывнодифференцируемые функции то

∫ ∫ ( )

Пример: Доказать, что

∫ √

Методом интегрирования по частям, положив

получим

∫ ∫

√

∫

√

√

√

Неопределѐнные интегралы некоторых элементарных функций:

(самочтение ОЛ3, с. 59-66)

- Интегрирование рациональных функций

- Интегрирование иррациональных функций

- Интегрирование трансцендентных функций

III.2. Определѐнный интеграл (ОИ) (Л. 2 ч. # 38-39)

III.2.1. Определение ОИ

- Задача нахождения площади криволинейной трапеции

- Понятие определѐнного интеграла функции ( ) на , -

- Необходимое условие интегрируемости: Если функция интегрируема

на , - то она органиченна.

- Пример

III.2.2. Условия существования ОИ

- Сумма Дарбу и условие существования ОИ (без док-ва)

- Классы интегрируемых функций: (ОЛ.1, с. 209; ОЛ.2, с. 259; ДЛ.1, с.

341)

i. Непрерывная функция на отрезке , - интегрируема на этом отрезке.

(без док-ва)

ii. Органиченная на отрезке , - функция, имеющая лишь конечное

число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке. (без док-ва)

iii. Монотонная функция на отрезке , - интегрируема на этом отрезке.

iv. Пусть функция ( ) интегрируема на отрезке , - , - ( )

, - ( ) Пусть далее ( ) непрерывна на отрезке , -

Тогда сложная функция , ( )- интегрируема на отрезке , - (ДЛ.1,

с.345).

III.2.3. Свойства ОИ

1. Свойства линейности: Если функции ( ) ( ) интегрируемы на

отрезке , - то для любых функция , ( ) ( )- так же

интегрируема на отрезке , - причѐм

∫, ( ) ( )-

∫ ( )

∫ ( )

2. Свойства аддитивности:

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

3. Свойства определѐнности:

Если функция ( ) интегрируема на отрезке , - а функция ( )

получается из ( ) видоизменением в конечном числе точек то

функция ( ) так же интегрируема на отрезке , - причѐм

∫ ( )

∫ ( )

4. Свойства неравенств:

- Если ( ) ( ) интегрируемы на , - и ( ) ( ) то

∫ ( )

∫ ( )

- Если ( ) интегрируема на , - то | ( )| также интегрируема и

|∫ ( )

| ∫| ( )|

5. Теорема о среднем значении: Если ( ) непрерывна на , - то

существует , - что

( ) ∫ ( )

Тогда ( ) называется средним значением функции ( ) на , -

6. Если ( ) ( ) интегрируемы на , - тогда ( ) ( ) также

интегрируема (ДЛ.1, с.348)

III.2.4. Определѐный интеграл с переменным пределом. Формула

Нютона-Лейбница

Пусть ( ) интегрируема на , - , - Обозначим

( ) ∫ ( )

И назовѐм ( ) определѐнным интегралом с переменным пределом

Теорема: 1. Если ( ) интегрируема на , - то ( ) непрерывна на , -

2. Если ( ) непрерывна в , - то ( ) имеет производную

в точке x и ( ) ( ) для всех , - (с док-вом)

Следствия: Если ( ) непрерывна на , - то для неѐ существует

первообразная ( ) ∫ ( )

. Аналогично если ( ) непрерывна на ( )

то для неѐ существует первообразная ( ) ∫ ( )

где ( )

некоторая фиксированная точка.

Основная формула интегрального исчисления (формула Нютона -

Лейбница): Пусть ( ) непрерывная функция на , - ( ) некоторая

первообразная для ( ) Тогда

∫ ( )

( ) ( ) ( )

Или в форме так называемой подстаноки Нютона

( )| ( ) ( )

∫ ( )

( )|

III.2.5. Методы вычисления определѐнного интеграла

Метод замены переменных (с док-вом):

Если ( ) непрерывная функция на , -

( ) непрерывнодифференцируема на , - где ( ) ( ) Тогда

∫ ( )

∫ ( ( )) ( )

( )

Метод интегрирования по частям (с док-вом):

Если ( ) ( ) непрерывно дифференцируемые функции на

, - то

∫

| ∫

( )

III.2.6. Приближѐнное вычисление ОИ

Этот вопрос подробно изложен в курсе “Методы вычисления”

Практика III.1(1 ч. # 40, ост. 1 ч.)

ОЛ. 3: 6.103; -104; -109; -116;

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, 2, 3; TK. 1. thời gian tự học 9 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 9

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Chương III, mục: III.3.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được các định nghĩa TPSR cận vô hạn, cận hữu hạn, các

định lý hội tụ TPSR các hàm dương. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ.




Nội dung chính:

Л. 2 ч.+пр.3ч.

III.3. Несобственный интеграл (Л. 2 ч.: # 41-42)

III.3.1. Определение несобственного интеграла

Определения несобственного интеграла первого и второго рода:

Несобственный интеграл первого рода:

Пусть ( ) функция, определена на , ) интегрируема на , - для

любого Если существует предел

∫ ( )

то он называется несобственным интегралом (первого рода) функции ( )

на , ) и обозначается

∫ ( )

и говорят тогда, что несобственный интеграл ∫ ( )

сходится. В

противном случае ∫ ( )

расходится.

Пример 1: интеграл

∫

∫

|

cходится при , расходится при

Несобственный интеграл второго рода (от неорганиченной функции):

Пусть ( ) функция, интегрируема на , - для любого , ) и

( ) неорганиченная функция в левой окрестности точки Если

существует предел

∫ ( )

то он называется несобственным интегралом (второго рода) функции ( ) на

на , ) и обозначается

∫ ( )

и говорят тогда, что несобственный интеграл ∫ ( )

сходится. В

противном случае ∫ ( )


Пример 2: интеграл (a >0)

∫

∫

|

cходится при , расходится при

Для кратности изложения два типа интегралов мы условимcя считать что,

функция ( ) определена на , ) и имеет единственную особенность в

точке b причѐм если то ( ) интегрируема на , - где B- любое

число Если b- конечное то ( ) интегрируема на , - где B- любое

число , ) и кроме того ( ) не ограничена в любой левой окрестности

точки b.Тогда по определению

∫ ( )

∫ ( )

( )

есть один из несобственных интегралов первого или второго рода если

существует предел в правой части (1).

Признак Коши: Несобственный интеграл ∫ ( )

сходится тогда

и только тогда, когда

, ) (( ) (|∫ ( )

| )) ( )

Замечание:

- Аналогично (3), определяется несобственного интеграла ∫ ( )

на

( - в случаях или a- единственная особенность функции

( ) на ( -

- Если функция ( ) имеет много точек особенности то надо

рассмотреть несобственный интеграл на интервалы, в каждом из

которых функция имеет только единственную особенность.

III.3.2. Признаки сходимости несобственного интеграла от

положительной функции

Признак сравнения неравенства:

Пусть ( ) ( ), b- единственная особенность функций ( ) ( )

на , ) Тогда если интеграл ∫ ( )

сходится то интеграл ∫ ( )

тоже сходится. (или эквивалентно интеграл ∫ ( )

расходится то

интеграл ∫ ( )

тоже расходится)

Пример 3: Интеграл ∫

√

cходится (cм.пр. 2) , поскольку

√

√

Признак сравнения предела:

Пусть

i) ( ) ( ) на , ) b- единственная особенность функций

( ) ( ) на , )

ii) Существует

( )

( )

Тогда оба интегралы ∫ ( )

и ∫ ( )

имееют одинаковые

свойства сходимости.

Пример 4: Интеграл ∫ ( )

√

cходится (cм.пр. 1), поскольку

( )

√

√ .

III.3.3. Абсолютная и условная сходимость

Понятие абсолютной и условной сходимости:

- Говорят, что несобственный интеграл ∫ ( )

cходится абсолютно

если cходится несобственный интеграл ∫ | ( )|

- Говорят, что несобственный интеграл ∫ ( )

cходится условно если

cходится интегра ∫ ( )

а интеграл ∫ | ( )|


Из критерия Коши легко получить, что несобственный интеграл cходится

абсолютно то cходится но не наоборот.

Признак Дирихле (ОЛ.1, с.250) :

Рассмотрим несобственный интеграл ∫ ( ) ( )

. Если

i) Функция ( ) имеет ограниченную первообразную ( ) ∫ ( )

на , )

ii) ( ) , не возрастает и стремится к нулю когда То

интеграл ∫ ( ) ( )

сходится.

Пример 5: Интегралы ∫

( ) ∫

( ) cходятся

так как и имееют ограниченную первообразную а

( )

Практические занятия 3ч.

III.1. Неопределѐнный интеграл (Пр. 1ч. # 34)

III.2. Определѐнный интеграл (ОИ) (Пр. 2 ч. # 35-36 ч., ост. 1 ч.)

III.1: 6.130; -138; -144; -153; -157.

III.2: 7.3; -4; -5; -16; -19; -31; -34; -38; -39; 7.47; -53; -54; -55; -61; -72; -82;

Yêu cầu SV chuẩn bị:Đọc các GTr. 1, 2 ,3; TK.1. Thời gian tự học 7 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 10

CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Chương III, mục: III.4.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được cách tính diện tích hình thang cong, quạt cong, độ

dài cung; thể tích vật tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay. Khái niệm độ cong của

đường cong. Tự đọc về túc bế, thân khai.




Nội dung chính:

Л.3 ч. + Пр.2ч.

III.4. Приложения определѐнного интеграла (Л. 3 ч. # 37-39 ч.)

III.4.1. Вычисление длины линии (ОЛ2, с. 279)

Понятие гладкой и кусочно гладкой кривой: кривая называется гладкой

если в каждой еѐ точке cуществует касательная причѐм эти касательные

непрерывно переходят друг к другу. Иными словами, если кривая, задаваемая

параметрическим уравнением ( ) ( ) ( ) то

функции ( ) ( ) ( ) являются непрерывно дифференцируемыми

функциями на , - такие что , ( )- , ( )- , ( )- на , - .

Кривая называется кусочно гладкой если она имеет конечное число гладких

кусков.

1. Длины гладкой (или кусочно гладкой) пространственной кривой: (Vien,

BG GT1, tr.52 )

∫√, ( )- , ( )- , ( )-

( )

2. Длины гладкой (или кусочно гладкой) плоской кривой, задаваемая

параметрическим уравнением ( ) ( ) , -:

∫√, ( )- , ( )-

( )


явным уравнением ( )

∫√ , ( )-

( )


уравнением в полярных координатах ( )

∫√, ( )- , ( )-

( )

Пример: Найти длину Астроида ( ) в первой

четверти.

Параметрическое уравнение Астроида:

Согласно (2),

∫

III.4.2. Вычисление площади плоской области

Площадь в Декартовых координатах:

1. Криволинейной трапеции * ( ) ( )+ имеет

площадь

∫, ( ) ( )-

( )

2. Криволинейной трапеции * ( ) ( )+ имеет

площадь

∫, ( ) ( )-

( )

3. Площадь в полярных координатах:

Криволинейный сектор * ( ) ( ) + имеет

площадь

∫, ( ) ( ) -

( )

где ( ) ( ) уравнения в полярных координатах краев

сектора

4. Криволинейной трапеции

* ( ) ( ) ( ) ( ) + имеет площадь

∫ ( ) ( )

( )

Пример: Найти площадь плоской фигуры, ограниченной длину Астроида

( )


Всилу симетричности Астроида

относительно осей координат, нужно считать только площадь для

тогда Согласно (8) ∫ ( ) ( )

а также

∫ ( ) ( )

поэтому

∫ ( ( ) ( ) ( ) ( ))

∫ ( )

∫

□

II.4.3. Вычисление объема тела и площади поверхности вращения

1. “ Брус” G c * +, ортогональная усечѐнная площадь которой в

точке с абсицой есть ( ) имеет объѐм

∫ ( )

( )

2. Плоская трапеция D = * ( )+ вращается вокруг оси

Ох образует тело вращения, которое имеет обьѐм

∫ ( )

( )

3. Плоская трапеция G = * ( )+ вращается вокруг оси

Оy образует тело вращения, которое имеет обьѐм

∫ ( )

( )

4. Криволинейная трапеция

* ( ) ( ) ( ) ( ) + вращается вокруг

оси Ох образует тело вращения, которое имеет обьѐм

∫ ( ) ( )

( )

Пример. Найти обьѐм тела вращения, полученного вращением пдоской

фигуры, ограниченной Астроида ( ) вокруг оси

Ох.


Применив ( ) подучим

∫ ( ) ( )

∫

* +

∫ ( )

5. Плоская глядкая кривая Г: ( ) ( ) вращается вокруг

оси Ох образует поверхность вращения, которое имеет площадь

∫| ( )|√ , ( )-

( )

6. Плоская глядкая кривая C: ( ) ( ) вращается вокруг

оси Оy образует поверхность вращения, которое имеет площадь

∫| ( )|√ , ( )-

( )

7. Плоская глядкая кривая Г, задаваемая параметрическим уравнением

( ) ( ) вращается вокруг оси Ох образует

поверхность вращения, которое имеет площадь

∫| ( )|√, ( )- , ( )-

( )

Замечание: Формула (13) получается из формулы вычисления суммы

площадей боковых поверхностей усечѐнных конусов, ОЛ.2, c. 291)

Пример: Найти площадь поверхности вращения, полученной из эллипса

вращением вокруг оси Ox.

Дуга эллипса

√ вращается вокруг оси Ox даѐт

нужную поверхность. Так как эта функция не имеет производную в

поэтому непосредственно нельзя применить формулу (13). Применим

формулу (15). Параметрическое уравнение эллипса

Формула (15) даѐт нам

∫ √

после замены

√ мы получим

√ ∫

√ ( √ )

II.4.4. Кривизна плоской и пространственной кривой

1. Векторная функция с скалярным арнументом и еѐ голограф.

2. Предел и производная векторной функции и их свойства

3. Формула вычисления кривизны пространственной кривой

4. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента плоской кривой

(ДЛ.1: §15, §17; ОЛ.2: §7.4)

Самочтение

1. Векторная функция с скалярным аргументом и еѐ голограф.

Векторная функция со скалярным аргументом это

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) , - ( )

где ( ) ( ) ( ) непрерывно дифференцируемы на , - такие что

, ( )- , ( )- , ( )- на , -

Кривая { ( ( ) ( ) ( ))} , определѐнная из (1) называется голографом

векторной функции ( ) Направление возрастания параметра t cчитается за

положительным направлением. Голограф векторной функции ( ) есть

гладкая кривая и поэтому имеет длину s, вычисленную по формуле

∫√, ( )- , ( )- , ( )-

( )

поэтому имеет дифференциал длины дуги

√, ( )- , ( )- , ( )- ( )

где ∫ √, ( )- , ( )- , ( )-

длина дуги кривой от точки с

параметром до точке с параметром

2. Предел и производная векторной функции и их свойства.

Пусть ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

Имеем следующие определения:

( ) ( )

| ( ) ( )| ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Легко видеть, что ( ) ( ( ) ( ) ( )) есть вектор касательной к Г

в точке ( ) ( ( ) ( ) ( )) и ( ) ( ( ) ( ) ( ))

Единичый вектор

( ) ( )

| ( )| ( )

называется единичым вектором положительной касательной в точке

( ( ) ( ) ( )) Формула (3) даѐт нам

| ( )| ( )

Если взять длину дуги s за параметром ( тогда s называется натуральным

параметром) то вместо ( ) пишут .

Производная векторной функции имеет следующие свойства

i. ( ( ) ( ))

( )

( )

ii. ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( )

iii. Производная cкалярного произведения

. ( ) ( )/

( )

( ) ( )

( )

iv. ( ( ))

( )

( )

v. Производная векторного произведения

[ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( ) отсюда получим формулу

производной смешанного произведения

. ( ) ( ) ( )/

( ( ) ( ) ( )* . ( ) ( ) ( )/ . ( ) ( ) ( )/

vi. Если векторная функция ( ) имеет постоянную длину: | ( )|

то ( ) ( ) (например )

vii. Если векторная функция ( ) имеет постоянное нарпавление:

( ) ( ) , где не зависит от t, то ( ) ( ) // ( )

3. Формула вычисления кривизны пространственной кривой

Определение: Пусть угол между единичными векторами

положительной касательной ( ) и ( )

| | | ( ) ( )| длина дуги от точки ( ) до ( )

Тогда

| | ( )

называется кривизной Г в точке ( ) а величина называется

радиусом кривизны в точке ( ) Имеем

| |

| |

| ( ) ( )|

| ( )|| ( )|| |

| ( ) ( ) ( )

|

| ( )|| ( )| |

|

| ( ) ( ) |

| ( )|| ( )| |

|

| ( ) ( )|

| ( )| ( )

Так как

( )

( )

| ( )| | ( )|

( )

( )

и cогласно (6)

| ( )| Вспомним в (7) формулу в

аналитической геометрии

( ) ( ) *

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

| ( )| √, ( )- , ( )- , ( )-

Замечание: Из (7), в случае натуральный параметр кривой

получим

| | | | ( )

так как тогда | | | | (cледует из (5)), (свойство vi)

поэтому | ( ) ( )| | | Из (9) можно определить: Кривизна

кривой Г в точке это абсолютная величина угловой скорости

единичного вектора положительной касательной в точке Ясно, что

Вектор

| |

| | ( )

называется единичным вектором главной нормали. Не трудно видеть что,

в случае плоской кривой вектор главной нормали в точке

удовлерворяет условию и направляется в направление вогнутости Г

4. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Общая формула (7) в конкретных случаях на плоскости даѐт следущие

формулы

4.1. Кривизны плоской кривой

i. | ( )|

. ( )/ ( ) когда Г имеет явное уравнение ( )

ii. | |

(

) ( ) когда Г имеет параметрическое уравнение

( ) ( )

iii. | |

. / ( ) когда Г имеет уравнение в полярных

координатах ( )

4.2. Эволюта и эвольвента плоской кривой

В каждой точке взять вектор главной нормали на котором, в

направление вогнутости кривой положить точку ( ) так что

( )

где . Точка ( ) называется центром кривизны в точке

M.

Геометрическое место точек центров кривизны кривой Г называется

эволютой Г а сама кривая Г называется эвольвентой. (14) – есть

уравнение эволютой в векторной форме.

В координатах имеется место cледующих формул

{

( )

( )

( )

если Г имеет явное уравнение ( )

{

( )

( )( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

если Г имеет параметрическое равнение ( ) ( )

Пример. Найти эволюту эллипса ( )

Применив (10) получим

{

Дополнение: Вектор

, - ( )

называется вектором бинормали. Тройка ( ) называется подвижным

триэдром Френера.

| | | | ( )

называется кручением кривой Г в точке M(t). Из (18) можно определить:

Кручением кривой Г в точке это абсолютная величина угловой

скорости вектора бинормали в точке Имеется место следующие

формулы Френера

{

( )

где

( )

| | ( )

когда кривая задаѐтся в натуральном параметре,

. /

| | ( )

когда кривая задаѐтся в произвольном параметре t.

Из аналитической геометрии мы имели формулу смешанного

произведения

. / |

| ( )

Практические занятия 2ч. (# 49-50) (ОЛ.3,4; ДЛ.2)

III.2. Определѐнный интеграл (ОИ (Прод. , Пр. 1 ч.)

III.3. Несобственный интеграл (Пр.1 ч.)

Bài tập: III.2 (1); III.3 (1) ОЛ.3:

7.83; -97; -98; -104; -108.

8.5; -8; -38; -43; -55;

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 1, 2, 3; TK.1. Thời gian tự học 8 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 11

BÀI TẬP, ÔN TẬP, KIỂM TRA

Chương III, mục: III.3, III.4.


Mục đích, yêu cầu: Giải được các bài tập cho về ứng dụng của TPXĐ, TPSR. Ôn

tâp toàn bộ chương III.




Nội dung chính:

Пр.3 ч. + Ктр. 2 ч.

Практическое занятие: (ОЛ.3,4; ДЛ.2)

III.3. Несобственный интеграл (Пр.1 ч. # 51 ч.)

8.85; -88; -101; -104; -108.

III.4. Приложения определѐнного интеграла (Пр. 2 ч. # 52-53 ч.)

ОЛ.4; ДЛ.2

ОЛ.3: 7.115; -122; -131; -140; -148; -154; -165; -179; -208; -220; -235; -255; -262

-Задачи о кривизне линии (для самостоятельной работы): ОЛ.4: 1529,1544.

ОЛ.2: §7.4 примеры 1, 2.

ОЛ.3.1: 28.1; -2; -3; -4; -29.1; -2

Контрольная работа 2 часа ( Гл. 3: # 54-55 ч.)

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr. 3, 4, TK.2, thời gian tự học 10 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 12

CHUỖI SỐ. CHUỖI HÀM

Chương IV, mục: IV.1, IV.2.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được các dấu hiêu hội tụ chuỗi số dương. Điều kiện khả

vi, khả tích của chuỗi hàm.




Nội dung chính:

Л.4 ч. + Пр. 1 ч.

Гл IV. Ряды

IV.1. Численные ряды (Л. # 56-57 ч.)

IV.1.1. Обшие понятия

Выражение

или

∑

( )

где называется рядом.

Конечные суммы ( ) называются частичными

суммами.

Если существует конечный предел

то говорят, что ряд (1) сходится и имеет сумму В противном случае

говорят, что ряд (1) расходится.

Очевидно что, свойство: ряд сходится или расходится не зависит от

конечного числа первоначальных членов.

Пример 1. ∑

( ) так как

( )

Обозначим и назовѐм это n – тым остатком ряда

(1). Очевидно что, для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно чтобы

IV.1.2. Необходимое условие сходимости и критерий Коши

1. Если ряд (1) сходится то

2. Из критерий Коши для сходимости последовательности чисел мы

получим cледующий критерий Коши для сходимости рядов:

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для всякого

cуществует натуральное N, что для любых натуральных m, n как только

, то | | | |

или на языке предикатов

(( ) ( ) (| | ))

3. Если ряды ∑ и ∑

сходятся то для любых , ряд

∑ ( ) также сходится и ∑ ( )

∑

∑

4. Если ∑ то произвольно группируемый ряд ( )

( ) также сходится и имеет cумму

Пример 2. Показать, гармонический ряд ∑


Действительно, согласно критерию Коши, выберѐм

тогда

| | | |

что доказана расходимость ряда ∑

.

IV.1.3. Признаки сходимости положительных рядов

В этом пункте мы зассмотрим только положительные ряды, т.е. ряд

∑

Ясно что, положительные ряды сходятся тогда и только тогда, когда их

частичные суммы органичены.

1. Признак сравнения неравенств: Если существует что для всех

имеются неравенства то из сходимости ряда ∑

следует сходимости ряда ∑ или что тоже самое, из расходимости

ряда ∑ следует расходимости ряда ∑

Пример 3. Ряд ∑

сходится следует из примера 1 и неравенств

2. Признак сравнения пределов: Если и существует

то ряды ∑

и ∑

имееют одинаковый характер

сходимости.

Пример 4. Ряд ∑ .

/

расходится следует из примера 2 и

.

/

3. Признак Даламбера: Если и существует

то

когда ряд ∑ сходится а когда ряд ∑


Пример 5. Ряд ∑

( ) сходится, так как

.

4. Признак Коши: Если и существует √ то когда

ряд ∑ сходится а когда ряд ∑


Пример 6. Ряд ∑ √ ( ) сходится если расходится

если .

5. Интегральный признак: Если для всех функция ( )

монотонно убывает к нулю. То ряд ∑ ( ) и несобственный интеграл

∫ ( )

имееют одинаковый характер сходимости.

Пример 7.

∑

cходится если расходится если

IV.1.4. Абсолютная сходимость и условная сходимость рядов

1. Признак Лейбниц: Ряд ∑ ( ) , где монотонно

убывает и стремится к нулю, сходится.

2. Если сходится ряд ∑ | | то говорят что ряд ∑

сходится

абсолютно. Если сходится ряд ∑ а ∑ | |

расходится то говорят что

ряд ∑ условно сходится.

Очевидно, что абсолютно сходящийся ряд сходится но не наоборот

(например ряд ∑( )

)

3. Если ряд сходится абсолютно то произвольно переставить члены этого

ряда мы получим новый сходящий ряд, который имеет ту же сумму как и

прежний ряд.

4. Если ряд сходится условно то для произвольного числа S, найдѐтся

такая перестанока членов этого ряда что новый полученный ряд имеет

сумму S (Теорема Римана, [1], c.374)

5. Признак Дирихле: ряд ∑ сходится если частичные суммы ряда

∑ органичены а последовательность ( ) моннотонно убывает к нулю.

([3], c.139)

6. Признак Абеля: ряд ∑ сходится если ряд ∑

сходится

последовательность ( ) моннотонна и органичена ([3], c.139)

IV.2. Последовательность функций и функциональный ряд (Л.: # 58-59)

IV.2.1. Равномерная сходимость последовательности функций и

функционального ряда

1. Определение. Последовательность функций * ( )+

называется равномерносходящейся к функции ( ) на множестве E если

(( ) (| ( ) ( )| ))

2. Критерий Коши для равномерно сходимости последовательности

функций. Для того чтобы, последовательность функций * ( )+

равномерно сходилась на множестве E необходимо и достаточно чтобы

(( ) ( ) (| ( ) ( )| ))

3. Рассмотрим последовательность функций * ( )+ , где

функции ( ) определены в некотором открытом интервале (возможно и

бесконечном). Для функционального ряда

∑ ( )

( )

рассмотрим частичные суммы ( ) ∑ ( ) . Если для всех

имеем

( ) ∑ ( )

( )

то функция ( ) называется cуммой функционального ряда ∑ ( ) на

множестве

Если сходимость в (2) равномерно то говорят что, функциональный ряд

∑ ( ) равномерно сходится к функции ( ) на множестве

Множество X всех для которых сходится ряд ∑ ( )

называется областью сходимости этого функционального ряда.

4. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости.

Пусть для всех n = 0, 1, 2, ..cуществуют числа такие что для

всех имеются места неравенств | ( )| . Тогда, если числовой

ряд ∑ cходится то функциональный ряд ∑ ( )

сходится

равномерно на множестве

7. Признак Дирихле: Ряд ∑ ( ) ( ) сходится равномерно на

множестве если частичные суммы ряда ∑ ( ) органичены а

последовательность функций ( ( )) моннотонно убывает к нулю для всех

. ([3], c.155).

IV.2.2. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость

функционального ряда

1. Теорема 1. Если ( ) ∑ ( ) равномерно на множестве и для

всех n = 0, 1, 2, .. ( ) нерерывны в точке то ( ) нерерывна в .

2. Теорема 2. (Правило интегрирования через знак суммы) Если для всех n

= 0, 1, 2, .. ( ) нерерывны на , -, ( ) ∑ ( ) равномерно на

, - то для всякого , - имеется место cоотношения

∫ ( )

∑ ∫ (

)

( )

Кроме того, полученный ряд в правой части (3) также раномерно сходится

на , -

3. Теорема 3. (Правило дифференцирования через знак суммы)

Пусть

i. ( ) ∑ ( ) для , -

ii. Функции ( ) (непрерывно) дифференцируемы на , - ([1],

c.404);

iii. ( ) ∑ ( )

сходится равномерно на , -

Тогда

i. ( ) ∑ ( ) равномерно на , -

ii. ( ) ∑ ( )

Прак.зан. 1ч. (# 60)

IV.1. Численные ряды (Пр. 1 ч., ост. 2ч.)

ОЛ. 3: 9.8; -10; -17; -53; -61.1; -61.3

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, 2, 3; TK. 2. Thời gian tự học 9 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 13

CHUỖI LŨY THỪA. CHUỖI FOURIE

Chương IV , mục: IV.3, IV.4.


Mục đích, yêu cầu: Nắm được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa; Điều kiện liên tục,

khả tích, khả vi của chuỗi lũy thừa trong miền mở hội tụ. Các chuỗi lũ thừa của

một số hàm quan trọng.




Nội dung chính:

Л. 4 ч.+ Пр. 1 ч.

IV.3. Степенной ряд (Л. 2 ч. # 61-62 ч.)

IV.3.1. Радиус и область сходимости степенного ряда

1. Ряд

∑

( )

и ряд

∑ ( )

( )

называются cтепенными рядами; где ( ) cтепенной ряд в окрестности

точки 0, а ( ) cтепенной ряд в окрестности точки

2. Основная теорема о радиусе сходимости степенного ряда:

Для cтепенного ряда (1 )существует действительное число R (

), которое обладает следующими свойствами:

i. Ряд сходится и притом абсолютно в открытом интервале | | и

расходится для всех | |

ii. Число определяется по формулой

√| |

где предпологается, что предел в знаменателе существует при уговоре что

Вообщем случае

√| |

где в знаменателе стоит верхний предел.

3. Теорема Абеля 1. Если ряд (1) сходится в точке то он сходится

абсолютно и равномерно на [– ] где | |. Если ряд (1)

расходится в точке то он также расходится для всех | | | |. ([3],

c.160)

IV.3.2. Условия непрерывноси, дифференцируемости и интегрируемости

степенного ряда

1. Теорема: Если - радиус сходимости ряда (1) и ( ) ∑

то

i. ( ) непрерывна для всех ( )

ii. ( ) дифференцируема для всех ( ); притом ряд, полученный

после дифференцирования через знак суммы имеет тотже радиус сходимости

как ряд (1);

iii. ( ) интегрируема на , - для любого ( ) фиксированного

( ); притом ряд, полученный после интегрирования через знак

суммы ∫ ( )

∑ ∫

имеет тотже радиус сходимости как ряд

(1);

2. Теорема Абеля 2. Если - радиус сходимости ряда (1), ( ) и

ряд ∑

сходится то (1) сходится равномерно на , - к непрерывной

функции. ([3], c.160)

IV.3.3. Ряд Тейлора и условие разложения функции в степенной ряд

Если функция

( ) ∑

( )

для всех ( ) то говорят что функция ( ) разлагается в степенной

ряд (3) на ( ).

Функция ( ) разлагается в степенной ряд (3) на ( ) тогда и только

тогда, когда

( ) ∑ ( )( )

( )

Ряд (4) называется рядом Тейлора в окрестности точки 0 (или ещѐ

называется рядом Маслорана ).

Аналогично рассмотреть ряд Тейлора в окрестности точки :

( ) ∑ ( )( )

( )

( )

IV.4. Ряд Фурье (Л. 2 ч. # 63-64 ч.)

IV.4.1. Тригонометрический ряд и ряд Фурье

1. Пусть ( )- периодическая функция с периодом Тогда ряд

( )

∑

( )

называется тригонометрическим рядом функции ( )

Тригонометрический ряд (1) функции ( )

где

{

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

( )

называется рядом Фурье функции ( )

2. Для ( ) - периодическая функция с периодом всегда можно

составить его ряд Фурье (1), (2) ; Однако этот ряд Фурье может не сходится а

в случае ряд Фурье фукции ( ) сходится то не обязательно к ( ) Если

( )

∑

( )

то говорят ( ) разлагается в ряд Фурье.

3. Лемма. Если ( ) - периодическая функция с периодом разлагается

в равномерносходящийся тригонометрический ряд (1) то этот ряд

обязательно ряд Фурье (1), (2).

IV.4.2. Условие разложения функции в ряд Фурье: теорема Дирихле и

теорема Дини

1. Теорема 1. (Дирихле): Если ( ) периодическая функция с периодом

кусочно монотоно и органиченно в каждом периоде и в разнывных

точках удовлетворяет условию

( ) ( ) ( )

то ( ) разлагается в ряд Фурье (1), (2) для всех .

(ОЛ1,с.250; ОЛ2,c.271, [3], c. 175)

2. Теорема 2. (Дини): Если ( ) периодическая функция с периодом

непрерывна на всей оси и имеет кусочно непрерывную производную в каждом

периоде то ( ) разлагается в ряд Фурье (1), (2) равномерно на ([3], c.

176)

IV.4.3. Разложение периодической функции с периодом 2l и функции

определѐнной на [a; b] в ряд Фурье

1. Пусть ( )- периодическая функция с периодом и удовлетворяет

условиям Дирихле то

( )

∑

( )

где

{

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

( )

Ряд (4) с условями (5) называется рядом Фурье функции ( )

Замечание: после замены переменных

получим ( ) .

/

( ) периодическая функция с периодом Применив (1), (2) для ( )

потом вернуться к переменной мы получим нужные (4), (5).

Если ( ) определено на , - и удовлетворяет условиям Дирихле для

то имеется также разложение (4), (5) на , -

2. Если ( ) чѐтная функция то

( )

∑

( )

где

{

∫ ( )

∫ ( )

( )

3. Если ( ) нечѐтная функция то

( ) ∑

( )

{

∫ ( )

( )

Пример. Найти ряд Фурье функции

( ) 2

и периодически распространить на всей оси.

( ) {

есть нечѐтная функция. (BG Vien tr.65)

( ) ∑

( )

Давать

из (10) получим

∑( )

Прак. Зан. 1 ч. (# 65 ч.)

IV.1. Численные ряды (Пр. 1 ч. ост. 1 ч.)

ОЛ. 3: 9.77; -82; -84; -93; -95; -96

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, 2, 3; TK.2. Thời gian tự học 9 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 14

BÀI TẬP CHƢƠNG IV

Chương IV, mục: IV.1, IV.2, IV.3.


Mục đích, yêu cầu: Giải được các bài tập về chuỗi số, hội tụ đều của chuỗi hàm,

chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourie. Ứng dụng tính tổng chuỗi lũy thừa, chuỗi số.


Thời gian: BT: 5 tiết; Tự học: 5 tiếng


Nội dung chính: Практика 5 часов

ОЛ. 3:

IV.1. Численные ряды (Пр. 1 ч. # 66 ч.)

9.93; -95; -96.

IV.2. Последовательность функций и функциональный ряд (2 ч. # 67-68 ч.)

10.21; -22; -23; -35; -37; -66; -68; -71;- 73; -74; -76; -77.

IV.3. Степенной ряд (2 ч. # 69-70 ч., ост. 1 ч.)

10.66; -68; -71; -72; -73; -74; -76; -77; -85; -86; -93; -103; -115; - 117; - 118; -

119; -123.

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, 2, 3; TK. 2. Thời gian tự học 5 tiếng.

Ghi chú:

Bài giảng: 15

BÀI TẬP. ÔN TẬP CHƢƠNG. KIỂM TRA

Chương IV


Mục đích, yêu cầu: Giải các bài tập về tính tổng chuỗi lũy thừa, chuỗi số. Chuỗi

Fourie.


Thời gian: BT: 4 tiết; KT: 1 tiêt; Tự học: 10 tiếng


Nội dung chính:

Пр. 3 ч.+ Ктр. 2 ч.

Практика 3 часа

IV.3. Степенной ряд (Пр. 1ч. # 71 ч.)

10.125; -126; -127; -131.

IV.4. Ряд Фурьѐ (Пр. 2ч. # 72-73 ч.) 11.4; -11a,b,c; -14

Контрольная работа (2 ч.) (# 74-75 ч.)

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc các GTr.1, 2, 3, 4, TK.2, thời gian tự học 10 tiếng.

Ghi chú:

BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG Ch nhi m B …4TC).pdf · Bài giảng: 1 GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương I , mục: I.1, I.2, I.3.

Documents