Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról Bevezetés Sok évvel ezelőtt, amikor még nem volt internet, és a személyi számítógép is újdonság volt, sikerült néhány furcsa, a szakirodalomban nemigen szereplő összefüggést találnunk a merőleges axonometria témakörében is. Akkoriban a „papírmunka” sokkal nehézkesebb volt ( gépírás, rajzolás, stb. ), így a mintegy öncélú megörökítés technikailag sokkal nehe- zebben ment, mint manapság. Minthogy nem teljesen érdektelen dolgokról van szó, lega- lábbis a felfedező alkatú emberek számára, így célszerű ezt az adósságot is rendezni. Annakidején az egészet egy a témától nagyon távol állónak tűnő könyvben – [ 1 ] – közölt képletek indították el. A képletek igazolása, majd az eredmények továbbgondolása egy olyan dolgozat - folyamot indított el, melynek eredményei – vélhetően – ma is egy átfo- góbb megértést tesznek lehetővé a rajzi megjelenítés témakörében: a merőleges axono- metriában, a ferde axonometriában és a perspektívában. E dolgozatok közül ez az első. Furcsa a szerző helyzete: arról „panaszkodik”, hogy mi minden hiányzik a szakirodalom- ból, ugyanakkor e hiányok pótlása közben nagyon óvatosan kell eljárnia; ugyanis ~ a vájtfülűek számára ez az egész nyitott kapun való dörömbölésnek tűnhet, ráadásul még csak esztétikai örömet sem szerezve, hiszen helyenként meglehetősen letérünk a megszo- kott és elegánsan kikövezett útról; ~ a kezdők számára ez az egész valami öncélú magamutogatásnak tűnhet, hiszen egészen biztos, hogy valaki, valahol már rendbe rakta az itteni ismereteket, stb. Minthogy szinte minden szerzőre ez a Szkülla és Kharübdisz leselkedik, így sosem történne semmi, ha erre sokat adnánk. Így aztán vállaljuk a kritikát, és közzétesszük e kiadatlan, ill. csak szűk körben és részben ismertetett írásokat. A téma kifejtése során igyekszünk, hogy igazolás nélkül csak a szakirodalomban legin- kább hozzáférhető ismeretekre hivatkozzunk; az is megtörténhet, hogy az egyik dolgozat- ban levezetés nélkül közölt eredményt a másik dolgozatban részletesen levezetjük. Témánk kifejtése során a „szájbarágás” módszerétől sem riadunk vissza, mert – ahogy már célozgattunk rá – nem nagyon találni bevezető jellegű, ízlésünknek megfelelő magyar nyelvű szakirodalmat. Ennek megvan az az előnye, hogy később majd saját magunkra hi- vatkozhatunk. Az a vicces helyzet állt itt is elő, hogy a „komoly” szerzők szinte rangon alulinak tartják az ilyen ”nyilvánvaló” ismeretek közlését, mások pedig – talán éppen emiatt – még szégyellik is, vagy csak lusták. Akárhogy is van, ott tartunk, hogy egy átlagos kezdőnek sokszor érdemesebb a régebbi kiadású szakkönyvek felé fordulnia. Az elmondottakra jó példa a [ 2 ] mű, ahol szinte egyedülálló módon gondoskodik a szerző a megértés feltételeinek biztosításáról. Ez különösnek tűnhet, főként ha kiderítjük kiadásá- nak valószínű dátumát. E sorok írója azáltal is megköszöni az említett művek szerzőinek ezt a fajta ismeretterjesztő munkát, hogy alkalmazza a művükben foglaltakat, valamint ezeket mások figyelmébe is ajánlja. Így talán kevésbé lesznek szégyenlősek, ill. elszál- lottak azok, akiknek még hátravan egy - két tankönyv vagy szakkönyv megírása. Ugyanis nincs kétségünk afelől, hogy a jól átgondolt, alaposan megszerkesztett bevezető jellegű írásokra még sokáig lesz igény.
29
Embed
Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről orthogonalis axonometria... · 2009. 10. 9. · Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról Bevezetés Sok évvel ezelőtt, amikor még nem volt internet, és a személyi számítógép is újdonság volt, sikerült néhány furcsa, a szakirodalomban nemigen szereplő összefüggést találnunk a merőleges axonometria témakörében is. Akkoriban a „papírmunka” sokkal nehézkesebb volt ( gépírás, rajzolás, stb. ), így a mintegy öncélú megörökítés technikailag sokkal nehe-zebben ment, mint manapság. Minthogy nem teljesen érdektelen dolgokról van szó, lega-lábbis a felfedező alkatú emberek számára, így célszerű ezt az adósságot is rendezni. Annakidején az egészet egy a témától nagyon távol állónak tűnő könyvben – [ 1 ] – közölt képletek indították el. A képletek igazolása, majd az eredmények továbbgondolása egy olyan dolgozat - folyamot indított el, melynek eredményei – vélhetően – ma is egy átfo-góbb megértést tesznek lehetővé a rajzi megjelenítés témakörében: a merőleges axono-metriában, a ferde axonometriában és a perspektívában. E dolgozatok közül ez az első. Furcsa a szerző helyzete: arról „panaszkodik”, hogy mi minden hiányzik a szakirodalom-ból, ugyanakkor e hiányok pótlása közben nagyon óvatosan kell eljárnia; ugyanis ~ a vájtfülűek számára ez az egész nyitott kapun való dörömbölésnek tűnhet, ráadásul még csak esztétikai örömet sem szerezve, hiszen helyenként meglehetősen letérünk a megszo-kott és elegánsan kikövezett útról; ~ a kezdők számára ez az egész valami öncélú magamutogatásnak tűnhet, hiszen egészen biztos, hogy valaki, valahol már rendbe rakta az itteni ismereteket, stb. Minthogy szinte minden szerzőre ez a Szkülla és Kharübdisz leselkedik, így sosem történne semmi, ha erre sokat adnánk. Így aztán vállaljuk a kritikát, és közzétesszük e kiadatlan, ill. csak szűk körben és részben ismertetett írásokat. A téma kifejtése során igyekszünk, hogy igazolás nélkül csak a szakirodalomban legin-kább hozzáférhető ismeretekre hivatkozzunk; az is megtörténhet, hogy az egyik dolgozat-ban levezetés nélkül közölt eredményt a másik dolgozatban részletesen levezetjük. Témánk kifejtése során a „szájbarágás” módszerétől sem riadunk vissza, mert – ahogy már célozgattunk rá – nem nagyon találni bevezető jellegű, ízlésünknek megfelelő magyar nyelvű szakirodalmat. Ennek megvan az az előnye, hogy később majd saját magunkra hi-vatkozhatunk. Az a vicces helyzet állt itt is elő, hogy a „komoly” szerzők szinte rangon alulinak tartják az ilyen ”nyilvánvaló” ismeretek közlését, mások pedig – talán éppen emiatt – még szégyellik is, vagy csak lusták. Akárhogy is van, ott tartunk, hogy egy átlagos kezdőnek sokszor érdemesebb a régebbi kiadású szakkönyvek felé fordulnia. Az elmondottakra jó példa a [ 2 ] mű, ahol szinte egyedülálló módon gondoskodik a szerző a megértés feltételeinek biztosításáról. Ez különösnek tűnhet, főként ha kiderítjük kiadásá-nak valószínű dátumát. E sorok írója azáltal is megköszöni az említett művek szerzőinek ezt a fajta ismeretterjesztő munkát, hogy alkalmazza a művükben foglaltakat, valamint ezeket mások figyelmébe is ajánlja. Így talán kevésbé lesznek szégyenlősek, ill. elszál-lottak azok, akiknek még hátravan egy - két tankönyv vagy szakkönyv megírása. Ugyanis nincs kétségünk afelől, hogy a jól átgondolt, alaposan megszerkesztett bevezető jellegű írásokra még sokáig lesz igény.
2
Kifejtés A feladat ( v.ö.: [ 1 ]! ) Igazoljuk, hogy orthogonális / merőleges / axonometriában való ábrázoláskor érvényesek az alábbi összefüggések – ld. az 1. ábrát is!
1. ábra
x y
x y z
2 2x
2 2y
2z
x ' X q cos Y q cos ,
y ' X q sin Y q sin Z q ,ahol
q A sin cos ;
q A cos sin ;
q 1 A ;
A tg tg ;
tgtg .tg
3
Megoldás Az 1. ábrán feltüntettük: ~ az ábrázolás síkjában – a képsíkon – felvett ( Oa x y z ) axon. tengelykeresztet; ~ egy P ( X, Y, Z ) térbeli pontnak / tárgypontnak az axon. tengelykeresztre vonatkoztatott ferdeszögű koordinátáival megadott K ( qx X, qy Y, qz Z ) képpontját; ~ a K képpontnak az ( Oa x’ y’ ) rajzi koordináta - rendszerben értelmezett K’ megfele-lőjét. A feladat kissé átfogalmazva: Adott: ( X, Y, Z ), ( α , β ). Keresett: ( x’, y’). Az állítás első és második sora:
x yx ' X q cos Y q cos , ( 1 )
x y zy ' X q sin Y q sin Z q , ( 2 ) azonnal adódik, az 1. ábra szerint is; ezért ha az állítás igaz, akkor a feladat valójában a további sorokban foglaltak szerint a
2 2xq A sin cos , ( 3 )
2 2yq A cos sin , ( 4 )
2zq 1 A , ( 5 )
valamint az A tg tg , ( 6 )
tgtgtg
( 7 )
képletekkel leírt
x x
y y
z z
q q ( , ) ,q q ( , ) ,q q ( , )
( 8 )
függvénykapcsolatok igazolása, ill. az állítás szerinti alakjának belátása. A feladat állítása szerint a K = K’ orth. axon. képpontot a térbeli P ( X, Y, Z ) pont, ill. az ábrázolás ( α, β ) szögparaméterei egyértelműen meghatározzák. Ezek szerint a fő feladat a ( 8 ) szerinti függvények, a qi ( i = x, y , z ) rövidülési együtthatók előállítása. Ezt pontokba foglalva, több, önállóan is tanulmányozható részben végezzük el.
4
1.) A térbeli vetítési összefüggések felírása − [ 3 ] Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra A 2. ábra a párhuzamos vetítés megformulázását segíti; itt: P: tárgypont; K: képpont; Π: képsík; ( O X Y Z ): térbeli koordináta - rendszer; ( O’ x’ y’ ): képsíkbeli koordináta - rendszer. A párhuzamos vetítés lényege: az ábrázolandó tárgy P pontján keresztül az u irány-vektorral párhuzamos vetítősugár halad át, mely a képsíkot a K képpontban döfi. A feladat: e döféspont x’, y’ koordinátáinak megkeresése. A vektoralgebrai megoldás az alábbi. Egyrészt:
z ' ; r' r u ( 1 – 1 ) másrészt:
x ' y ' ; 0 1 2r' r u u ( 1 – 2 ) most ( 1 – 1 ) és ( 1 – 2 ) - vel:
x ' y ' z ' . 0 1 2r r u u u ( 1 – 3 ) Most szorozzuk végig skalárisan ( 1 – 3 ) - at 1 2u ×u - vel! Ekkor:
5
x ' y ' z ' . 0 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2r r u ×u u u ×u u u ×u u u ×u ( 1 – 4 ) Figyelembe véve, hogy
0, 1 1 2 2 1 2u u ×u u u ×u ( 1 – 5 ) ( 1 – 4 ) és ( 1 – 5 ) - tel:
z ' .
0 1 2
1 2
r r u ×uu u ×u ( 1 – 6 )
Hasonló módon adódik, hogy
2x ' ,
0
1 2
r r u ×uu u ×u ( 1 – 7 )
továbbá
1
2 1
y ' .
0r r u ×uu u ×u ( 1 – 8 )
Az ( 1 – 6 ), ( 1 – 7 ), ( 1 – 8 ) képletek a ferde - párhuzamos vetítés, azaz a ferde
– más néven: klinogonális = ferdeszögű – axonometria általános képletei. Ezek közül leginkább csak az ( 1 – 7 ) és ( 1 – 8 ) képleteket használjuk, ahol ( x’ y’ ) a keresett ferde axonometrikus képpont képsíkbeli koordinátái. Megjegyezzük, hogy az előző számítás során felhasználtuk az
1 2
2 2 1
,
1 2
1
u u ×u u u ×u
u u ×u u u ×u ( 1 – 9 )
összefüggéseket is. A ferde axonometria igen fontos speciális esete a merőleges axonometria, amikor is a vetítősugarak merőlegesek a képsíkra, azaz:
. 1 2u u ×u ( 1 – 10 ) Ekkor, felhasználva az
a× b×c b a c c a b azonosságot, valamint az
, = 2 1a c u b u helyettesítéseket, az egységvektorokra vonatkozó ismert összefüggésekkel is kapjuk, hogy:
6
x ' , 0 1r r u ( 1 – 11 )
2y ' , 0r r u ( 1 – 12 )
z ' . 0r r u ( 1 – 13 ) Ezzel a merőleges - párhuzamos vetítési alapösszefüggéseket meghatároztuk. A későbbiekben használandó jelölésekkel újra felírjuk az orth. ax. képleteit; ld.: 3. ábra!
3. ábra Előtte értelmezzük a 3. ábra főbb jelöléseit:
aOO ,d a képsíkra merőleges vektor, a vetítés irányvektora; OP,p a P tárgypont helyvektora;
x ' y ', e e : az x’, y’ képsíkbeli tengelyek menti egységvektorok.
7
Most az ( 1 – 11 ), ( 1 – 12 ) képleteket az új jelölésekkel átírva: x'x ' , p d e ( 1 – 14 )
y'y ' . p d e ( 1 – 15 ) Most vegyük figyelembe, hogy d , így fennállnak az alábbiak:
x '
y '
0,0.
d ed e ( 1 – 16 )
Majd ( 1 – 14 ), ( 1 – 15 ), ( 1 – 16 ) - tal:
x 'x ' , p e ( 1 – 17 )
y 'y ' . p e ( 1 – 18 ) Az ( 1 – 17 ) és ( 1 – 18 ) egyenletek a képsíkra merőleges párhuzamos vetítés alap-egyenletei, az általunk használt jelölésekkel. 2.) A képsíkbeli egységvektorok kifejezése a képsík paramétereivel Ehhez tekintsük a 4. ábrát!
4. ábra
8
A részfeladat: Adott: u, v, w > 0.
Keresett: x ' y ', .e e Az azonnal látszik, hogy az ( u, v, w ) tengelymetszetek megadásával adott a képsík normálvektora, egyben a vetítés irányvektora is. A vetítés irányvektora:
X Y Z
X Y Z
d d d d cos d cos d cos ;
X Y Zd d d d i j k
i j k ( 2 – 1 )
a 4. ábra szerint:
X
Y
Z
dcos ,udcos ,vdcos .w
( 2 – 2 )
Most ( 2 – 1 ) és ( 2 – 2 ) - vel: 2 2 2d d d .
u v w d i j k ( 2 – 3 )
Definíció szerint a képsík normális egységvektora:
,d
0 0 dn d ( 2 – 4 )
majd ( 2 – 3 ) és ( 2 – 4 ) - gyel: d d d .u v w
0n i j k ( 2 – 5 )
Minthogy 1, 0 0n n ( 2 – 6 )
ezért ( 2 – 5 ) és ( 2 – 6 ) - tal: 2 2 2d d d 1,
u v w azaz:
22 2 2
1 1 1d 1,u v w
innen:
2 2 2 2
1 1 1 1 ,u v w d
( 2 – 7 )
9
illetve:
2 2 2
1d .1 1 1u v w
( 2 – 8 )
Majd ( 2 – 5 ) és ( 2 – 8 ) - cal:
2 2 2
1 1 1u v w .
1 1 1u v w
0i j k
n ( 2 – 9 )
Megjegyezzük, hogy a 4. ábra szerint használható az
0 a×bna×b ( 2 – 4 / 1 )
összefüggés is. Az egységvektorokra térünk rá. A 4. ábrán is látszik, hogy
x ' 2 2.
c u v
0 c c ce c
c ( 2 – 10 )
Ismét az ábráról: u v , i c j innen:
u v ; c i j ( 2 – 11 ) majd ( 2 – 10 ) és ( 2 – 11 ) - gyel:
x ' 2 2 2 2
u v .u v u v
e i j ( 2 – 12 )
A jobbsodrású koordináta - rendszerben:
y' . 0x'e n ×e ( 2 – 13 )
Most ( 2 – 5 ), ( 2 – 12 ), ( 2 – 13 ) - mal:
10
y' 2 2 2 2
2 2
2 2
d d d u vu v w u v u v
d v u u v u v w wu v
d v u u v ,w w v uu v
e i j k × i j
k j i
i j k
tehát
y' 2 2
d v u u v .w w v uu v
e i j k ( 2 – 14 )
3.) Az ábrázolás egyenleteinek kifejtése Tudjuk, hogy
X Y Z . p i j k ( 3 – 1 ) Most ( 1 – 17 ), ( 2 – 12 ) és ( 3 – 1 ) - gyel:
x ' 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
u vx ' X Y Zu v u v
u v 1 1 X Y X Y,u v u v v u1 1
u v
p e i j k i j
tehát:
2 2
1 1x ' X Y.v u1 1u v
( 3 – 2 )
Majd ( 1 – 18 ), ( 2 – 14 ) és ( 3 – 1 ) - gyel:
11
y ' 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
d v u u vy ' X Y Zw w v uu v
d v u u v X Y Zw w v uu v
d v d u d u v X Y Zw w v uu v u v u v
p e i j k i j k
,
tehát:
2 2 2 2 2 2
d v d u d u vy ' X Y Z .w w v uu v u v u v
( 3 – 3 )
4.) A rövidülési együtthatók számítása Ehhez tekintsük a 4. ábra mellékábráit is! Definíció szerint:
~ az x tengely menti rövidülési tényező: x 1Uq cos ;u
( 4 – 1 )
~ az y tengely menti rövidülési tényező: y 2Vq cos ;v
( 4 – 2 )
~ a z tengely menti rövidülési tényező: z 3Wq cos .w
( 4 – 3 )
Most nézzük az 5. ábrát is! Itt a térbeli és a képsíkbeli paraméterek kapcsolatát vizsgáljuk meg; ezen mindhárom alkalmazott koordináta - rendszer látható. Pitagorász tételével:
2 2
2 2
2 2
a u w ;
b v w ;
c u v .
( 4 – 4 )
Az 5. ábrán bevezettük a D1D2D3 nyomháromszög megfelelő oldalai által bezárt ( λ, μ, ν ) szögeket is, valamint feltüntettük az ábrázolás ( α , β ) alapadatait is. Az 5. ábra alapján készítettük el a 6. ábrát, amelyen már csak a képsíkbeli mennyiségeket ábrázoltuk. Közvetlen célunk a rövidülési együtthatók és az ( α , β ) szög - paraméterek kapcsolatának tisztázása.
12
5. ábra
6. ábra
13
A 6. ábra készítésénél felhasználtuk, hogy – ld.: [ 4 ]! –: ~ a nyomháromszög : hegyesszögű háromszög; ~ az orth. ax. tengelykereszt egyenesei a nyomháromszög magasságvonalai. Ezek alapján felírhatók a következő szög - összefüggések:
90 ; ( 4 – 5 ) 90 ; ( 4 – 6 )
. ( 4 – 7 ) Most sin - tétellel:
sinU c ,
sin
( 4 – 8 )
sinV c .
sin
( 4 – 9 )
Ezután ( 4 – 1 ), ( 4 – 4 ), ( 4 – 8 ) - cal:
22 2
xU c sin u v sin v sinq 1 ,u u sin u sin u sin
tehát:
2
xv sinq 1 .u sin
( 4 – 10 )
Hasonlóan ( 4 – 2 ), ( 4 – 4 ), ( 4 – 9 ) - cel:
22 2
yV c sin u v sin u sinq 1 ,v v sin v sin v sin
tehát:
2
yu sinq 1 .v sin
( 4 – 11 )
Most a 6. ábra alapján: W a sin U sin ; ( 4 – 12 ) majd ( 4 – 5 ) és ( 4 – 12 ) - vel: W a cos U sin . ( 4 – 13 ) Ezután ( 4 – 3 ), ( 4 – 4 ), ( 4 – 8 ), ( 4 – 13 ) - mal:
14
2 2 2 2
z
2 2 2
W a U u w u v sin sinq cos sin cosw w w w w sin
u u v sin sin 1 cos ,w w w sin
tehát:
2 2 2
zu u v sin sinq 1 cos .w w w sin
( 4 – 14 )
Most a 6. ábra alapján cos - tétellel:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
b a c 2 a c cos ;a b c 2 b c cos ;c a b 2 a b cos .
( 4 – 15 )
Majd ( 4 – 4 ) és ( 4 – 15 ) - tel:
2 2 2 2 2 2v w u w u v 2 a c cos , innen: 2u a c cos .
Hasonlóképpen végigszámolva:
2
2
2
u a c cos ;v b c cos ;w a b cos .
( 4 – 16 )
Ezután ( 4 – 16 ) - ból:
2
2
2
u a cos ;v b cos
u c cos ;w b cos
v c cos .w a cos
( 4 – 17 )
Ismét a 6. ábrával, sin - tétellel:
15
a sin ;b sinc sin ;b sinc sin .a sin
( 4 – 18 )
Most ( 4 – 17 ) és ( 4 – 18 ) - cal:
2
2
2
u tg ;v tg
u tg ;w tg
v tg .w tg
( 4 – 19 )
Majd ( 4 – 19 ) és ( 4 – 5, 6, 7 ) - tel:
2
2
2
tg 90u tg ctg tg ;v tg ctg tgtg 90
tg tgu tg tg tg ;w tg ctgtg 90
tg tgv tg tg tg .w tg ctgtg 90
( 4 – 20 )
Most ( 4 – 10 ) és ( 4 – 20 ) - szal:
2
xv sin tg sinq 1 1 ;u sin tg sin
( 4 – 21 )
trigonometriai átalakítással:
sin sin cos cos sin sin cos ,sin sin tg
tehát
16
sin tg 1 1cos 1 sin .sin tg tg tg
( 4 – 22 )
Ezután ( 4 – 21 ) és ( 4 – 22 ) - vel:
2
x1 tgtg 1 1 1q 1 ,
tg costg tg tgcos 1 1 1tg tg tg
tehát például:
x1 1q ,
cos tg1tg
( 4 – 22 / 1 )
illetve
2
x1 tgq .tg1
tg
( 4 – 22 / 2 )
Majd ( 4 – 11 ) és ( 4 – 20 ) - szal:
2
yu sin tg sinq 1 1 ;v sin tg sin
( 4 – 23 )
trigonometriai átalakítással: sin sin cos cos sin sincos ,sin sin tg
tehát: sin tg 1 1cos 1 sin .sin tg tg tg
( 4 – 24 )
Ezután ( 4 – 23 ) és ( 4 – 24 ) - gyel: 2
y1 tgtg 1 1 1q 1 ,
tg costg tg tgcos 1 1 1tg tg tg
tehát például:
17
y1 1q ,
cos tg1tg
( 4 – 25 / 1 )
illetve
2
y1 tgq .tg1
tg
( 4 – 25 / 2 )
Most a ( 4 – 14 ) és ( 4 – 20 ) képletekkel:
2 2 2
zu u v sin sinq 1 cosw w w sin
sin sin 1 tg tg cos tg tg tg tg .sin
( 4 – 26 ) Azonos átalakításokkal:
2 2
tg tg1 tg tg cos 1 tg cos1 tg tg
1 tg tg tg tg tg 1 tgcos cos1 tg tg 1 tg tg
1 ;1 tg tg
( 4 – 27 )
sin sin sin sintg tg tg tg tg tg tgsin sin
tg tg sin sin tg tg sin sintg tg ;1 tg tg sin sin1 tg tg
( 4 – 28 )
sin sin cos cos sin 1 1 tg tg ,sin sin sin sin tg tg tg tg
18
illetve:
sin sin tg tg ;sin tg tg
( 4 – 29 )
most ( 4 – 28 ) és ( 4 – 29 ) - cel:
sin sin tg tg tg tgtg tg tg tgsin tg tg1 tg tg
tg tg ,1 tg tg
( 4 – 30 )
így ( 4 – 26 ), ( 4 – 27 ), ( 4 – 30 ) - cal:
z1 tg tg 1 tg tgq 1 tg tg ,
1 tg tg 1 tg tg 1 tg tg
tehát:
zq 1 tg tg . ( 4 – 31 ) 5.) Az ( 1 ), ( 2 ) és a megfelelő ( 3 – 2 ), ( 3 – 3 ) képletek egyezésének vizsgálata Írjuk át egy kicsit az ( 1 ) és ( 2 ) képleteket!
x yx ' X q cos Y q cos , ( 5 – 1 )
x y zy ' X q sin Y q sin Z q . ( 5 – 2 ) Most ideírjuk a ( 3 – 2 ) és a ( 3 – 3 ) képleteket, összehasonlítás végett:
2 2
1 1x ' X Y,v u1 1u v
( 5 – 3 )
2 2 2 2 2 2
d v d u d u vy ' X Y Z .w w v uu v u v u v
( 5 – 4 )
Az ( 1 ) és ( 2 ) képletek jóságát az mutathatja, ha az x’ - re és y’ - re vonatkozó egyenletpárokban a koordináták együtthatói megegyeznek. Most ezt vizsgáljuk meg.
19
a.) x 2
1q cos ?v1u
A kérdés bal oldala ( 4 – 22 / 1 ) - ből:
x1B(a) q cos ;
tg1tg
( 5 – 5 )
a kérdés jobb oldala ( 4 – 20 ) - szal is:
2
1 1J(a) ;tgv 11 tgu
( 5 – 6 )
most ( 5 – 5 ) és ( 5 – 6 ) szerint: B(a) J(a), tehát ( a ) teljesül. ☻
b.) y 2
1q cos ?u1v
A kérdés bal oldala ( 4 – 25 / 1 ) - ből:
y1B(b) q cos ;
tg1tg
( 5 – 7 )
a kérdés jobb oldala ( 4 – 20 ) - szal is:
2
1 1J(b) ;tgu 11 tgv
( 5 – 8 )
most ( 5 – 7 ) és ( 5 – 8 ) szerint: B(b) J(b), tehát ( b ) teljesül. ☻ Az a.) és b.) pontok szerint az ( 5 – 1 ) és ( 5 – 3 ) egyenletek azonosak egymással. Ez azt jelenti, hogy az orth. ax. ábrázolás első kép - koordinátájának helyességét igazoltuk.
20
c.) x 2 2
d vq sin ?wu v
A kérdés bal oldalához ( 4 – 21 ) és ( 4 – 22 ) - vel:
Megállapítjuk, hogy ( 6 – 7 ) megegyezik ( 4 – 25 / 2 ) - vel. ☻ Végül:
2 2zq 1 A 1 tg tg , innen:
zq 1 tg tg . ( 6 – 8 ) Megállapítjuk, hogy ( 6 – 8 ) megegyezik ( 4 – 31 ) - gyel. ☻ Ezzel a rövidülési együtthatóknak a feladat állításában szereplő alakja helyességét is beláttuk. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk.
25
Megjegyzések: M1. A ( 6 – 1 ), ( 6 – 2 ) és ( 6 – 3 ) négyzetre emelésével és összeadásával:
2 22 2 2 2 2 2x y z
2 2 2 2 2 2
2 2
q q q A sin cos A cos sin 1 A
A sin cos sin cos 1 A
A 1 1 A 2,
tehát
2 2 2x y zq q q 2 ( 6 – 9 )
fontos és ismert összefüggés adódik az orth. ax. rövidülési együtthatóira – v.ö.:[ 4 ]! M2. Nem érdektelen, hogy mivel egy összeget vizsgáltunk, ezért a ( 6 – 9 ) képlet előtti számítás önmagában még nem bizonyító erejű; a bizonyítás azzal ment végbe, hogy a ( 6 – 4 ) és ( 6 – 5 ) képletekkel együtt egyenként beláttuk az állítás képleteinek helyességét. Alkalmazások Gyakorlati alkalmazásokban felvetődik a következő kérdés: előírt qx, qy, qz rövidülési együtthatókkal ténylegesen megvalósítható - e egy merőleges axonometrikus ábrázolás; ha igen, akkor milyen feltételek mellett és hogyan történhet ez? A probléma megoldásához először gondoljuk végig az alábbiakat – ld.: [ 2 ], [ 5 ]! a.) A qi ( i = x, y, z ) rövidülési együtthatóknak ki kell elégítenie ( 6 – 9 ) - et. b.) A 4. ábra és ( 4 – 1 ), ( 4 – 2 ), ( 4 – 3 ) szerint is:
x 1 y 2 z 3q cos , q cos , q cos . ( ▲ )
Minthogy a 1 2 3, , szögek hegyesszögek – ld.: 4. ábra! – , fennállnak a
1 2 30 cos 1, 0 cos 1, 0 cos 1 ( ▲▲ ) relációk. Ebből következően az is igaz, hogy
2 2 21 2 30 cos 1, 0 cos 1, 0 cos 1 . ( ▲▲▲ )
Továbbá ( 6 – 9 ) - ből: 2 2 2x y z
2 2 2x z y
2 2 2y z x
q q 2 q ,
q q 2 q ,
q q 2 q .
( ■ )
26
A ( ■ ) képletsorba téve a ( ▲ ) szerintieket: 2 2 2
1 2 3
2 2 21 3 2
2 2 22 3 1
cos cos 2 cos ,
cos cos 2 cos ,cos cos 2 cos .
( ■■ )
A ( ■■ ) képletek jobb oldalán érvényesítve a ( ▲▲▲ ) relációkat: 2 2 2
1 2 32 2 2
1 3 22 2 2
2 3 1
cos cos 1 cos ,
cos cos 1 cos ,
cos cos 1 cos .
( ■■■ )
A ( ■■■ ) relációkat ( ▲ ) szerint visszaírva: 2 2 2x y z
2 2 2x z y
2 2 2y z x
q q q ,
q q q ,
q q q .
( ▼ )
A ( ▼ ) egyenlőtlenségek azt fejezik ki, hogy a három rövidülési együttható közül kettő négyzetének összege mindig nagyobb kell, hogy legyen, mint a harmadik négyzete, merőleges axonometriában. Ezek előrebocsátása után a probléma megoldása a következő. c.) Legyen a rövidülések aránya az alábbi:
x y z x y zq : q : q m : m : m , azaz
x x y y z zq k m , q k m , q k m , ( ! ) ahol mx, my, mz : megadott pozitív számok, k pedig egy arányossági tényező! k - t úgy kell megválasztani, hogy teljesüljön ( 6 – 9 ), tehát
2 2 2 2x y z 2 2 2
x y z
2k m m m 2 k ;m m m
( !! )
majd ( ! ) és ( !! ) segítségével 22 2yx z
x y z2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z x y z x y z
2 m2 m 2 mq , q , q .m m m m m m m m m
( !!! )
A ( ▼ ) és az ( ! ) összefüggések szerint csak az 2 2 2x y z
A mondottak bemutatására nézzünk két példát! 1. Példa: Legyen mx : my : mz = 3 : 4 : 5! Minthogy utóbbiak pitagorászi számhármast képeznek, így ezekkel ( ♦ ) első sora nem teljesül. Más szavakkal: a rövidülési együtthatók ilyen viszonyai mellett nem valósítható meg egy merőleges axonometrikus ábrázolás. 2. Példa: Legyen qx : qy : qz = mx : my : mz = 4 : 5 : 6! Ekkor 2 2 2
x y zm 16, m 25, m 36. 2 2x y
2 2x z2 2y z
m m 41 36,
m m 52 25,
m m 61 16,
tehát utóbbi választással létrejöhet a merőleges axonometrikus ábrázolás. Továbbá ( !! ) - ből:
2k 0,16116 ,16 25 36
azután ( ! ) képlettel: x x
y y
z z
q k m 0,16116 4 0,6446;q k m 0,16116 5 0,8058;
q k m 0,16116 6 0,9670.
A rövidülések négyzetei: 2 2 2x y zq 0,416; q 0,649; q 0,935 ,
vagyis bármelyik rövidülési együttható négyzete tényleg kisebb, mint a másik két rövidülési együttható négyzetének összege. Most számítsuk ki, hogy milyen ( α , β ) szögparaméterek tartoznak e példabeli rövidülési együtthatókhoz! Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy
2 2 2 2x z x z
1 1 1 1sin 1 1 arcsin 1 1 ;q q q q ( ● )
2 2 2 2y z y z
1 1 1 1sin 1 1 arcsin 1 1 .q q q q
( ●● )
28
Számszerűen:
1 1 arcsin 1 1 0,3177 rad 18, 2 ,
0, 416 0,935
tehát
18, 2 .
Hasonlóan:
1 1arcsin 1 1 0,1951 rad 11, 2 ,0,649 0,935
tehát
11,2 .
A tárgyalt problémára visszatekintve látható, hogy a rövidülési együtthatók megválasz-tásakor a ( ♦ ) képletsor szerinti próbálgatásra vagyunk utalva. A fordított utat követve megszabadulunk e kényelmetlenségtől: csak az ( α , β ) szögparamétereket kell megadni, és az ábrázolás azonnal elvégezhető, az ( 1 ) és ( 2 ) képletek „receptje” szerint. Záró megjegyzések Már az ( 1 ) és ( 2 ) képleteknek is sajátja egyfajta szimmetria; ez még inkább kidom-borodik, ha behelyettesítjük ( 1 ) és ( 2 ) - be az ( 5 – 5 ), ( 5 – 7 ), ( 5 – 9 ), ( 5 – 13 ), ( 5 – 16 ) kifejezéseket. Ekkor kapjuk, hogy:
1 1x ' X Y,tg tg1 1tg tg
tg tgy ' X Y 1 tg tg Z.tg tg1 1tg tg
( S )
A kapott képletek számítógéppel könnyen kezelhetők. Az ábrázolás elvégzése előtt érdemes egy L léptéktényezővel megoldani a rajzi méretarány megválasztását:
rajzi
rajzi
x ' L x ';
y ' L y '.
( R )
29
Irodalom: [ 1 ] – Sors László: Műanyagalakító szerszámok tervezése Zsebszámológép programok Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. [ 2 ] – Romsauer Lajos: Ábrázoló geometria, I. kötet Franklin Társulat, Budapest, 1929. [ 3 ] – I. D. Faux ~ M. J. Pratt: Computational Geometry for Design and Manufacture Ellis Horwood Ltd., 1987. [ 4 ] – Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. [ 5 ] – Hajdu Endre: Ábrázoló geometria I. Kézirat, Sopron, EFE, 1983. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. augusztus 28.