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AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA

ANÁLISE DA FADIGA DE ESTRUTURAS OFFSHORE

Lucas Simaan França

Rio de Janeiro

Março 2018

AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA

ANÁLISE DA FADIGA DE ESTRUTURAS OFFSHORE


Rio de Janeiro

Março 2018

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade

Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Gilberto Bruno Ellwanger

Orientador: Luis Volnei Sagrilo

AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA ANÁLISE DA FADIGA DE

ESTRUTURAS OFFSHORE


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

______________________________________

Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc. (Orientador)

_________________________________________

Prof. Luis Volnei Sagrilo, D.Sc. (Orientador)

_________________________________________

Prof. Silvia Corbani, D.Sc.

_________________________________________

Prof. Claudio Marcio Silva Dantas, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2018

IV

FRANÇA, Lucas Simaan

Avaliação de métodos probabilísticos para análise da fadiga de

Estruturas Offshore – Lucas Simaan França, - Rio de Janeiro: UFRJ

/ Escola Politécnica, 2018.

XIV, 54 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger e Luis Volnei Sagrilo

Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica / Curso de

Engenharia Civil, 2018.

Referências Bibliográficas: p. 53-54.

1. Introdução. 2. Metodologia 3. Análise de Fadiga no Domínio

da Frequência 4. Métodos Alternativos para Análise de Fadiga 5.

Estudos de Caso 6. Conclusões

I. Ellwanger, Gilberto Bruno e Sagrilo, Luis Volnei. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de

Engenharia Civil. III. Avaliação de métodos probabilísticos para

análise da fadiga de Estruturas Offshore

V

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus pais, Claudio Martinelli

França e Elen Simaan França.

VI

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço aos meus pais e meus irmãos, que não apenas me

transmitiram todos os valores que carrego comigo e levarei para toda a vida, mas

também forneceram apoio e incentivo incondicional durante toda essa trajetória. Deixo

meu muito obrigado também aos meus tios, primos, avós e demais membros da família.

Sem o amor e carinho de vocês eu jamais teria chegado até aqui.

Agradeço aos docentes e funcionários do curso de Engenharia Civil da instituição

UFRJ. Muito obrigado por todos os ensinamentos transmitidos, dentro e fora de sala de

aula. Agradeço ao professor Gilberto Ellwanger, meu orientador, pelo auxílio,

prestatividade e também pela confiança depositada não somente no projeto mas

também em minha pessoa. E gostaria de agradecer em especial ao professor Luis

Sagrilo, meu coorientador, que me acompanhou e me orientou ao longo de boa parte

dessa jornada. Muito obrigado pela paciência, pelos ensinamentos e pelos conselhos,

os quais tiveram influência direta no meu desenvolvimento acadêmico.

Por fim, gostaria de agradecer a todos os meus amigos pessoais que me

acompanharam durante esse ciclo. Aos amigos de Brasília, minha cidade natal, só

posso agradecer por terem estado ao meu lado apesar da distância. Mas gostaria de

agradecer principalmente aos grandes amigos que criei no Rio de Janeiro e que

pretendo levar para a vida. A decisão de sair de casa aos 18 anos partindo para uma

cidade até então desconhecida é extremamente complicada. Serei eternamente grato

pelas ótimas companhias, risadas, estudos em grupo e conversas que vocês me

proporcionaram, não permitindo em momento algum que eu me sentisse sozinho. Sendo

assim, deixo aqui o meu muito obrigado aos amigos do grupo Helia não anda do curso

de Engenharia Civil, aos meus amigos do time de futsal e futebol de campo da

engenharia UFRJ, e também aos amigos do time de futebol society River da Tijuca.

VII

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte

dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil.

AVALIAÇÃO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS PARA ANÁLISE DA FADIGA DE

ESTRUTURAS OFFSHORE


Março / 2018

Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger e Luis Volnei Sagrilo

Curso: Engenharia Civil

Fadiga é o nome dado ao processo de degradação de estruturas por

carregamento cíclico. Tal processo é capaz de gerar trincas irreversíveis, as quais

podem trazer consequências indesejáveis a estrutura, como por exemplo a fratura do

elemento estrutural ou o seu colapso por tensões excessivas na seção remanescente.

Sendo assim, a análise de fadiga torna-se um passo fundamental na análise de

estruturas oceânicas utilizadas para exploração de petróleo no mar. No entanto, os

complexos modelos numéricos usados para o cálculo da vida útil à fadiga demandam

altos custos computacionais e operacionais. Faz-se necessário tornar o cálculo de

fadiga mais simples e prático ao mesmo tempo em que é imprescindível que não se

perca a precisão do cálculo, sendo esse um dos principais desafios atuais da indústria

offshore. Dessa forma, foram recentemente propostos 2 procedimentos matemáticos

capazes de realizar a análise de fadiga de forma mais eficiente e sem perder a precisão.

São eles os métodos da Perturbação e da Redução de Dimensão para análise de fadiga

probabilística. O objetivo deste trabalho é analisar mais detalhadamente estes métodos,

sendo feito um estudo para verificar a eficiência e precisão dos mesmos quando

comparados a outros métodos convencionais de análise. Obtidos os resultados tanto

pelos métodos convencionais quanto pelos alternativos, será feita a comparação dos

resultados de forma a se determinar a precisão dos métodos alternativos e consequente

aplicabilidade dos mesmos para esse tipo de cálculo.

Palavras-chave: Fadiga, Estruturas Offshore, Método da Perturbação, Método da

Redução da Dimensão.

VIII

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requeriments for the degree of Civil Engineer.

EVALUATION OF STATISTIC METHODS FOR FATIGUE ANALYSIS IN OFFSHORE

STRUCTURES


March / 2018

Advisors: Gilberto Bruno Ellwanger and Luis Volnei Sagrilo

Course: Civil Engineering

Fatigue is the process of structural degradation caused by a cyclic loading. This

process can create irreversible cracks which may cause undesirable consequences to

the structure, such as the fracture of the structural element or its collapse resulted by

excessive stresses in the remaining section. Therefore, the fatigue process must be

considered as a fundamental step in the analysis of marine structures used mainly for oil

exploration. However, the large and complex numerical models used for this type of

analysis, which includes calculating the structure life considering fatigue damage, require

high computational and operational costs. It is necessary to make the analysis easier

and more practical, but at the same time it is essencial that the accuracy of the evaluation

is mantained. This is one of the main challenges of the offshore industry nowadays.

Thus, two mathematical procedures have been recently proposed, with the purpose of

performing fatigue analysis more efficiently and without losing accuracy in its results.

These methods are: Perturbation Method and Univariate Dimension-Reduction Method.

The main purpose of this research is to investigate the performance of these methods.

To this end, a study was made to check their efficiency and accuracy when compared to

other convencional methods for fatigue life assessment. At last, the results obtained by

convencional and alternative methods are compared in order to determine the precision

of the alternative methods and when they can be applied to fatigue analysis.

Key Words: Fatigue, Offshore Structures, Perurbation Method, Univariate Dimension-

Reduction Method.

IX

SUMÁRIO

1. Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------ 1

1.1. Motivação ------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.2. Objetivo ---------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.3. Estrutura do trabalho ---------------------------------------------------------------------- 2

2. Metodologia: Cálculo de Fadiga ------------------------------------------------------------- 4

3. Análise de Fadiga no Domínio da Frequência ------------------------------------------- 8

3.1. Fadiga de Longo Prazo ------------------------------------------------------------------- 8

3.2. Método de Rayleigh ------------------------------------------------------------------------ 9

3.3. Método da Correção de Wirshing --------------------------------------------------- 12

3.4. Método de Dirlik --------------------------------------------------------------------------- 13

4. Métodos Alternativos para a Análise de Fadiga -------------------------------------- 15

4.1. Método da Perturbação ----------------------------------------------------------------- 15

4.2. Método da Redução da Dimensão -------------------------------------------------- 17

4.2.1. Quadraturas Gaussianas --------------------------------------------------------- 20

4.2.1.1. Quadratura de Gauss-Legendre------------------------------------------------ 21

4.2.1.2. Quadratura de Gauss-Hermite -------------------------------------------------- 23

5. Estudos de Caso -------------------------------------------------------------------------------- 26

5.1. Distribuição Conjunta de Hs e Tz ---------------------------------------------------- 26

5.2. Modelo Teórico ---------------------------------------------------------------------------- 27

5.2.1. RAO de Tensões -------------------------------------------------------------------- 27

5.2.2. Verificação do número de pontos de integração necessários para a

aplicação das Quadraturas ------------------------------------------------------------------ 28

5.2.3. Análises com o Modelo Teórico------------------------------------------------ 33

5.3. Riser Metálico Suspenso e Ancorado por Amarras (RSAA) ---------------- 40

5.3.1. Resultados do Modelo do Riser Metálico (RSAA) ------------------------ 43

6. Conclusões --------------------------------------------------------------------------------------- 51

Referências Bibliográficas ------------------------------------------------------------------------ 53

LISTA DE FIGURAS

X

Figura 1: Exemplo de gráfico de amplitude de tensões S em um tempo t ..................... 5

Figura 2: Exemplo de Curva S-N obtida a partir de amplitudes de tensão S ................. 5

Figura 3: Histograma de ciclos de tensões ................................................................... 6

Figura 4: Cruzamento do espectro do mar com o RAO ................................................. 7

Figura 5: Exemplo de um diagrama de dispersão (scatter diagram) ............................. 8

Figura 6: Distribuição conjunta de probabilidades de Hs e Tz ....................................... 9

Figura 7: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-

Legendre) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura..................... 29

Figura 8: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão

(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ........ 29

Figura 9: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre)

vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ...................................... 30


Hermite) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ....................... 31


(Gauss-Hermite) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ........... 31

Figura 12: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Hermite)

vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura ...................................... 32

Figura 13: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Método da Perturbação vs. Integração

Direta .......................................................................................................................... 34


Legendre) vs. Integração Direta .................................................................................. 34

Figura 15: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Método da Perturbação

vs. Integração Direta ................................................................................................... 35


(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta ..................................................................... 36

Figura 17: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Método da Perturbação vs. Integração

Direta .......................................................................................................................... 37

Figura 18: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre)

vs. Integração Direta ................................................................................................... 37

Figura 19: Respresentação Esquemática do RSAA .................................................... 41

Figura 20: RAO de Heave do RSAA ........................................................................... 43

Figura 21: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-


Figura 22: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Perturbação vs. Integração

Direta .......................................................................................................................... 45

XI

Figura 23: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Redução de

Dimensão (Gauss-Legendre) vs. Integração Direta .................................................... 46

Figura 24: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Perturbação

(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta ..................................................................... 46

Figura 25: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-


Figura 26: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Perturbação vs. Integração Direta

................................................................................................................................... 48

XII

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 5, 7 e 9) ...... 22

Tabela 2: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 11, 13 e 15) 22

Tabela 3: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 5, 7 e 9) ........ 24

Tabela 4: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 11, 13 e 15) ... 24

Tabela 5: Parâmetros de integração direta da equação do dano ................................ 28

Tabela 6: Parâmetros de integração direta da equação do dano ................................ 33

Tabela 7: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Rayleigh

................................................................................................................................... 38

Tabela 8: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método da Correção

de Wirshing ................................................................................................................. 39

Tabela 9: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Dirlik .... 39

Tabela 10: Principais propriedades do Riser Vertical .................................................. 42

Tabela 11: Principais propriedades do Riser Flexível.................................................. 42

Tabela 12: Principais propriedades da Amarra ........................................................... 42

Tabela 13: Propriedades equivalentes (Conjunto amarra + flexível) ........................... 42

Tabela 14: Parâmetros de integração direta da equação do dano .............................. 43

Tabela 15: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Rayleigh .......... 49

Tabela 16: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método da Correção de

Wirshing...................................................................................................................... 49

Tabela 17: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Dirlik ................ 50

XIII

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

𝐴 – Área da seção transversal do riser

c – Celeridade

𝐶𝑜𝑣( ) – Covariância

d ( ) – Dano por fadiga para um estado de mar

𝑑𝐷 ( ) − Dano por fadiga para um estado de mar (curto-prazo) pelo método de Dirlik

𝑑𝑅 ( ) − Dano por fadiga para um estado de mar (curto-prazo) pelo método de Rayleigh

𝑑𝑤 ( ) − Dano por fadiga para um estado de mar (curto-prazo) pelo método da Correção

de Wirshing

𝐷1−𝑦𝑟 – Dano total por fadiga em um intervalo de um ano

𝐷1−𝑦𝑟2𝑛𝑑 - Dano total por fadiga em um intervalo de um ano pelo método da Perturbação

de 2ª ordem

𝐷𝑒 – Diâmetro externo do riser

𝐷𝑖 – Diâmetro interno do riser

𝐸( ) – Esperança

Eriser – Módulo de elasticidade do riser

EA – Coefinciente de rigidez axial

EI – Coeficiente de rigidez à flexão

𝑓𝐻𝑠( ) - Função densidade de probabilidades marginal de Hs

𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧( ) – Função densidade de probabilidade conjunta

𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠( ) - Função densidade de probabilidades condicional de Tz dado um valor de Hs

GJ – Coeficiente de rigidez à torção

Hs – Altura significativa de onda

ℎ̅𝑠 – Valor médio da altura significativa de onda

K – Parâmetro da curva S-N

Kconjunto – Coeficiente de elasticidade do conjunto riser flexível + amarra

m – Parâmetro da curva S-N

XIV

𝑚𝑛 – Momentos espectrais

mriser – Massa por unidade de comprimento do riser

Mconjunto – Massa do conjunto riser flexível + amarra

𝑛𝑖,𝑗 – Número de ocorrências de um estado de mar

𝑁𝐻𝑠 – Número de intervalos de Hs para integração direta

𝑁𝑇𝑧 – Número de intervalos de Tz para integração direta

Tz – Período de cruzamento zero

𝑡�̅� – Valor médio do período de cruzamento zero

𝑅𝐴𝑂( ) – Operador de amplitude de resposta

𝑅𝐴𝑂𝐻𝑒𝑎𝑣𝑒( ) - Operador de amplitude de resposta do movimento de heave

RSAA – Riser Suspenso e Ancorado por Amarras

𝑆𝜂(𝜔) – Espectro de elevação do mar

𝑆𝑠( ) – Espectro de variação de tensões

𝑆𝜎( ) – Espectro axial de tensões

𝑣0 – Frequência de cruzamento zero

𝑉𝑎𝑟( ) – Variância

VU – Vida útil da estrutura

𝑣0 – Frequência de cruzamento zero

𝛼 – Parâmetro da lognormal utilizada para a distribuição conjunta

𝛾𝑎ç𝑜 – Peso específico do aço

𝛾𝑖,𝑗 – Frequência relativa de um estado de mar

𝜀 – Fator de largura de banda do espectro de tensões

𝜆 – Parâmetro da lognormal utilizada para a distribuição conjunta

𝜉 - Parâmetro da lognormal utilizada para a distribuição conjunta e cálculo do RAO

Φ ( ) - Função de distribuição acumulada de probabilidades

𝜔 – Frequência

𝜔𝑛 – Frequência natural

1

1. Introdução

Fadiga é o nome dado ao processo de degradação de estruturas por

carregamento cíclico. No caso do presente trabalho, as estruturas analisadas são

oceânicas e, portanto, um dos principais causadores do fenômeno de fadiga são as

ondas do mar. Tal processo é capaz de gerar trincas irreversíveis, as quais podem trazer

consequências indesejáveis, como por exemplo a fratura do elemento estrutural ou o

seu colapso por tensões excessivas na seção remanescente. Existem ainda falhas

funcionais, como vazamentos e perda da pressão interna, problemas esses que,

tratando-se de plataformas e dutos oceânicas, são capazes de afetar toda a

funcionalidade do sistema.

Sendo assim, a análise de fadiga torna-se um passo fundamental na análise de

estruturas oceânicas utilizadas para exploração de petróleo no mar.

1.1. Motivação

A indústria do petróleo é atualmente uma das maiores desenvolvedoras de

inovações tecnológicas na engenharia, isto porque a extração de petróleo do mar não é

uma tarefa fácil dadas as condições ambientais desfavoráveis do local onde a

plataforma será instalada, como ondas, vento, dentre outros aspectos. Sendo assim, os

complexos modelos numéricos usados para o cálculo da vida útil à fadiga demandam

altos custos computacionais e operacionais. Além disso, é importante ressaltar que nos

dias atuais essa indústria tem avançado a extração de óleo para águas cada vez mais

profundas. Consequentemente, os modelos numéricos tornam-se ainda mais extensos,

o que aumenta a complexidade e também os custos envolvidos na análise de fadiga.

Portanto, qualquer desenvolvimento que venha a facilitar a análise de fadiga

constitui-se numa ferramenta importante no projeto de estruturas oceânicas utilizadas

na exploração de petróleo no mar.

1.2. Objetivo

Atualmente, são amplamente discutidos os elevados custos computacionais

necessários para o cálculo de fadiga de alguns tipos específicos de estruturas oceânicas

e, consequentemente, a necessidade de uma economia com relação a esses custos

torna-se mais evidente. No entanto, é necessário tornar o cálculo de fadiga mais simples

2

e prático ao mesmo tempo em que é imprescindível que não se perca a precisão, sendo

esse um dos principais desafios atuais da indústria offshore.

Sendo assim, foram recentemente propostos dois procedimentos matemáticos

capazes de realizar a análise de fadiga de forma mais eficiente e sem perder a precisão.

São eles o Método da Perturbação e o Método da Redução de Dimensão (Giraldo, 2014)

para análise de fadiga probabilística no domínio da frequência. O objetivo deste projeto

é analisar mais detalhadamente estes métodos, em que será feito um estudo para

verificar a eficiência e precisão dos mesmos quando comparados a outros métodos de

análise.

1.3. Estrutura do trabalho

O capítulo I do presente trabalho é introdutório e visa expor os objetivos e

motivações do mesmo e explicar a importância do assunto estudado dentro do âmbito

da engenharia. Também explica o que é esperado ao fim de sua leitura, ou seja, a

conclusão quanto a aplicabilidade dos métodos alternativos propostos para a análise

probabilística de fadiga.

No segundo capítulo, o tema começa a ser abordado de forma mais

aprofundada, explicando-se alguns dos termos técnicos e parâmetros utilizados para

determinação do dano por fadiga em Estruturas Offshore.

Já no terceiro capítulo do estudo são explicados os métodos utilizados para

cálculo de fadiga de curto-prazo. São descritas todas as fórmulas necessárias para

aplicação dos métodos de Rayleigh, Dirlik e Correção de Wirshing a partir dos quais

torna-se possível a determinação do dano anual por fadiga e da vida útil da estrutura.

O capítulo IV trata do principal objeto de análise desse projeto, os métodos

alternativos para análise probabilística de fadiga. Sendo assim, são discriminados o

Método da Perturbação e o Método da Redução da Dimensão, os quais são explicados

conceitualmente e também explicados a partir das fórmulas matemáticas que os

compoem. Ao final do capítulo é feita um breve estudo acerca das Quadraturas

Gaussianas, utilizadas no Método da Redução da Dimensão, de forma a determinar o

número de pontos de integração necessários para garantir a precisão nesse tipo de

análise.

No capítulo V estão descritos todos os parâmetros utilizados e resultados obtidos

no projeto. Os métodos de cálculo são aplicados para um modelo teórico e para um

modelo real de um riser metálico, tornando a análise realizada ao longo do capítulo mais

3

completa. São apresentados gráficos e tabelas que permitem a comparação e

conclusão acerca dos resultados obtidos.

O último capítulo resume os principais pontos comentados ao longo do trabalho,

de modo a organizar as ideias e apresentar uma conclusão.

4

2. Metodologia: Cálculo de Fadiga

As ondas do mar num período de tempo mais longo não podem ser

representadas como um processo estacionário uma vez que seus parâmetros variam

com o tempo. No entanto, podemos considerá-los como uma sucessão de processos

pseudo-estacionários de curta duração (Short Term). Esse curto período, o qual em

ambiente marinho é normalmente representado por um intervalo da ordem de 3 horas,

é chamado de estado de mar. Para a análise de fadiga, faz-se necessária a

caracterização da variação dos parâmetros de curto prazo ao longo do tempo. Esse

período longo de tempo deve ser de 1 ano ou mais (Long Term). Sendo assim, para

cada estado de mar são considerados os seguintes parâmetros de curto-prazo:

Altura significativa de onda (Hs): altura média do terço superior das ondas

identificados na superfície oceânica.

Período de cruzamento zero (Tz): valor médio do período de todas as ondas.

Espectro de elevação do mar ou função de densidade espectral (S()):

representação da superfície oceânica no domínio da frequência através da

transformada de Fourier (Chakrabarti, 1987).

Direção de propagação (w): direção principal de propagação das ondas (para

onde vão).

Existem alguns modelos matemáticos de espectros para a representação dos

estados de mar baseados nos parâmetros Hs e Tz das ondas. No Brasil, os modelos

mais utilizados são Pierson-Moskowitz e Jonswap. Neste trabalho, o modelo utilizado

foi o de Pierson-Moskowitz (Chakrabarti, 1987) cuja expressão é dada a seguir:

𝑆𝜂(𝜔) =

4𝜋3𝐻𝑠2

𝜔5𝑇𝑧4 exp (−

16𝜋3

𝜔4𝑇𝑧4) (2.1)

onde 𝜔 é a frequência da onda.

O cálculo de fadiga é baseado na regra linear de acúmulo de danos ou Regra de

Miner. Este cálculo envolve a contagem de ciclos de tensões e a definição da curva S-

N relacionada ao ponto da estrutura cuja vida fadiga está sendo analisada. A curva S-N

é a equação que relaciona o número de ciclos necessários N de uma tensão harmônica

com altura S capaz de causar fadiga na estrutura, sendo estas curvas obtidas a partir

de testes experimentais (vide Figura 2). Matematicamente estas curvas são descritas

como:

5

𝑁(𝑆) = 𝐾𝑆−𝑚 (2.2)

em que:

N(S) → número de ciclos de tensão até a falha por fadiga;

S → altura ou amplitude da tensão (stress range)

K e m → parâmetros da curva obtidos através de experimento

Figura 1: Exemplo de gráfico de amplitude de tensões S em um tempo t

Figura 2: Exemplo de Curva S-N obtida a partir de amplitudes de tensão S

O cálculo da vida útil à fadiga é feito com auxílio da Regra de Miner. A partir

dessa regra é possível determinar-se o dano (D) causado por ‘’n’’ ciclos de tensão

atuantes durante um período de tempo ‘’T’’. Por exemplo, num período de tempo T,

detectaram-se n1 ciclos com altura (range) S1, n2 ciclos com altura S2, e assim por diante.

Estes dados podem ser representados por um histograma conforme ilustra a Figura 3.

A regra de Miner define o dano de fadiga como sendo o dano linear acumulado D por

cada ciclo de tensão através da seguinte expressão:

6

𝐷 =𝑛1

𝑁(𝑆1)+

𝑛2

𝑁(𝑆2)+. . . +

𝑛𝑘

𝑁(𝑆𝑘) (2.3)

Figura 3: Histograma de ciclos de tensões

A Regra de Miner estabelece que a falha por fadiga ocorre quando o dano total

acumulado é igual a 1. Assim, a vida útil à fadiga pode ser estimada por:

𝑉𝑈 =𝑇

𝐷 (2.4)

Deve-se ressaltar que, para a análise de fadiga em estruturas oceânicas, devem

ser levados em consideração todos os tipos de carregamentos que causam fadiga, tal

como vento, corrente, etc. No entanto, para o presente trabalho o estudo foi feito

unicamente com relação às ondas do mar.

O processo completo de análise de fadiga constitui-se da estimativa de todos os

danos associados a todos os estados de mar, com parâmetros 𝐻𝑠𝑖 e 𝑇𝑧𝑗. Em cada

estado de mar a variação de tensões é aleatória. No presente projeto assumiu-se que

as tensões são caracterizadas por um processo aleatório gaussiano e o cálculo será

estimado através do domínio da frequência. Neste contexto, caracteriza-se o espectro

de variações de tensões através da seguinte relação:

𝑆𝑠(𝜔) = 𝑅𝐴𝑂(𝜔)2𝑆𝜂(𝜔) (2.5)

em que 𝑅𝐴𝑂(𝜔) é o operador de amplitude de resposta (tensão) da estrutura, ou seja,

a capacitância do sistema estrutural, e 𝑆𝜂(𝜔) é o espectro da elevação do mar que por

7

sua vez depende dos parâmetros Hs e Tz. O 𝑅𝐴𝑂(𝜔) representa a amplitude da tensão

para uma onda regular de amplitude A unitária e frequência 𝜔, e depende unicamente

das propriedades da estrutura (que assume-se apresentar um comportamento linear).

O cruzamento do RAO com o espectro do mar é ilustrado na Figura 4.

Figura 4: Cruzamento do espectro do mar com o RAO

8

3. Análise de Fadiga no Domínio da Frequência

3.1. Fadiga de Longo Prazo

Para o cálculo do dano por fadiga causado a uma estrutura oceânica devem ser

considerados os estados de mar ao longo de um longo período, usualmente 1 ano.

Neste o processo a frequência de ocorrências dos estados de mar é baseada no

diagrama de dispersão (scatter diagram) da locação onde a estrutura irá operar. Neste

diagrama estão representadas as frequências relativas 𝛾𝑖,𝑗 dos estados de mar sendo

cada um desses representado por um par (Hs,Tz). Considerando que o período de curto

prazo de um estado de mar é de 3 horas, o dano total a fadiga em um ano é dado por:

𝐷1−𝑦𝑟 = ∑ ∑𝑛𝑖,𝑗𝑑𝑖,𝑗 = 2920∑ ∑𝑑𝑖,𝑗𝛾𝑖,𝑗

𝑁𝑇𝑧

𝑗=1

𝑁𝐻𝑠

𝑖=1

𝑁𝑇𝑧

𝑗=1

𝑁𝐻𝑠

𝑖=1

𝑛𝑖,𝑗 = (365x24/3)𝛾𝑖,𝑗 = 2920𝛾𝑖,𝑗

(3.1.1)

em que 𝑛𝑖,𝑗 é o número de estados de mar em um ano, 𝑁𝐻𝑠 e 𝑁𝑇𝑧 é o número de

discretizações para 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧, respectivamente, utilizados para representar o diagrama

de dispersão e 𝑑𝑖,𝑗 o dano causado por fadiga por um único estado de mar com 𝐻𝑠 = 𝐻𝑠𝑖

e 𝑇𝑧 = 𝑇𝑍𝑗.

Matematicamente é também possível representar a frequência relativa de

ocorrência dos estados de mar a partir da distribuição conjunta de probabilidade dos

parâmetros 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧, i.e., 𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧 (𝐻𝑠𝑖, 𝑇𝑍𝑗

), através da seguinte equação (vide também

Figura 4):

𝛾𝑖,𝑗 = 𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧(𝐻𝑠𝑖, 𝑇𝑧𝑗)∆𝐻𝑠∆𝑇𝑧 (3.1.2)

Figura 5: Exemplo de um diagrama de dispersão (scatter diagram)

9

Figura 6: Distribuição conjunta de probabilidades de Hs e Tz

Consequentemente, o dano anual pode ser representado por:

𝐷1−𝑦𝑟 = 2920∑ ∑𝑑𝑖,𝑗

𝑁𝑇𝑧

𝑗=1

𝑁𝐻𝑠

𝑖=1

𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧 (𝐻𝑠𝑖, 𝑇𝑍𝑗

)Δ𝐻𝑠Δ𝑇𝑧 (3.1.3)

que no limite para Δ𝐻𝑠 →0 e Δ𝑇𝑧 →0 conduz a

𝐷1−𝑦𝑟 = 2920∫ ∫ 𝑑(𝐻𝑠, 𝑇𝑧)𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧(𝐻𝑠, 𝑇𝑧)d𝐻𝑠d𝑇𝑧

∞

0

∞

0

(3.1.4)

onde 𝑑(𝐻𝑠, 𝑇𝑧) representa o dano causado por um único estado de mar representado

por um par genérico (𝐻𝑠, 𝑇𝑧). Os métodos descritos a seguir, os quais foram todos

utilizados no presente trabalho, permitem o cálculo desse dano, particularizados para

os casos de análise estrutural no domínio da frequência.

3.2. Método de Rayleigh

O primeiro método a ser descrito é aquele que assume que o processo aleatório

das tensões pode ser descrito por um processo Gaussiano e cujo espectro é de banda-

estreita. Um espectro é considerado de banda-estreita (narrow-banded) quando

abrange uma pequena faixa de frequências, ao passo que pode ser também classificado

como broad-banded quando representa uma extensa faixa de frequências. Tal

10

idealização é feita de forma a facilitar a identificação dos ciclos de tensão, uma vez que

em espectros de banda-estreita os picos estão bem definidos e são descritas por uma

distribuição de Rayleigh (Chakrabarti, 1987). Por estas razões este método também é

conhecido na literatura como Método de Rayleigh. A distribuição dos picos de tensão é

então definida por:

𝑓𝑠(𝑠) =𝑠

𝑚0𝑒𝑥𝑝 (−

1

2

𝑠2

𝑚0) (3.2.1)

onde 𝑚0 é o momento de ordem zero do espectro de tensão 𝑆𝑆(𝜔) obtido adotando-se

𝑛 = 0 na expressão dos momentos espectrais de ordem 𝑛 definida por:

𝑚𝑛 = ∫ 𝜔𝑛

∞

0

𝑆𝑆(𝜔)𝑑𝜔 (3.2.2)

Sabe-se que o número de ciclos de um processo gaussiano de banda-estreita

é dado por

𝑁𝑐 = 𝑣0𝑇 (3.2.3)

com 𝑇 igual ao período de um estado de mar (3h = 10800 segundos) e 𝑣0 sendo a

frequência de cruzamento zero do processo aleatório de tensões dado por

𝑣0 =1

2𝜋√

𝑚2

𝑚0 (3.2.4)

em que 𝑚2 é o momento de segunda ordem do espectro de tensão. Utilizando a curva

S-N e a regra de Miner, e assumindo-se que os ciclos de tensões tenham sido

representados por histograma tem-se que o dano acumulado por fadiga é dado por:

11

𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) = ∑ 𝑛𝑖

𝑁(𝑆�̅�)

𝑁𝑖

𝑖=1

(3.2.5)

na qual 𝑁𝑖 é igual ao número de sub-divisões do histograma, 𝑛𝑖 representa o número de

ciclos de tensão em cada intervalo do histograma, 𝑆𝑖 = 2𝑆𝑖 é a variação de tensão

associada ao pico de tensão 𝑆𝑖, (𝐻𝑆, 𝑇𝑍) são parâmetros que definem o estado de mar

e por fim 𝑁(𝑆𝑖) é o número de ciclos de tensões com variação 𝑆𝑖 até a falha por fadiga.

Este último parâmetro é definido pela curva S-N relacionada ao ponto de análise, i.e.,

𝑁(𝑆𝑖) = 𝐾(𝑆𝑖)−𝑚

(3.2.6)

em que 𝐾 e 𝑚 são parâmetros da curva S-N, definidos com base em experimentos.

Observa-se que o número de picos no i-ésimo intervalo do histograma pode ser

também descrito por

𝑛𝑖 = 𝑣0𝑇𝑓𝑠(𝑠𝑖)∆𝑠 (3.2.7)

onde ∆𝑠 é a largura dos intervalos do histograma. Inserindo as equações definidas

acima nas Eqs. (3.2.6) e (3.2.7) chega-se a

𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) = ∑ 𝑣0𝑇(2)𝑚(𝑠𝑖)

𝑚𝑓𝑠(𝑠𝑖)∆𝑠

𝐾

𝑁𝑖

𝑖=1

(3.2.8)

em que fazendo com que ∆𝑠 → 0, tem-se que a fórmula geral do dano a fadiga num

estado de mar pelo método de Rayleigh é igual a

𝑑𝑅(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑣0𝑇(2)𝑚

𝐾∫ 𝑠𝑚𝑓𝑆(𝑠)𝑑𝑠

∞

0

(3.2.9)

onde substituindo-se 𝑓𝑠(𝑠) pela distribuição de Rayleigh chega-se a equação final do

dano que é dada por:

12

𝑑𝑅(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑣0𝑇(2√2)

𝑚(𝑚0)

𝑚2

𝐾Γ(1 +

𝑚

2) (3.2.10)

sendo que a função gama Γ( ) é uma função tabelada em vários livros de matemática

e é representada por

Γ(z) = ∫ 𝑥𝑧−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

(3.2.11)

3.3. Método da Correção de Wirshing

O método de Rayleigh descrito acima conduz a uma equação relativamente

simples para o cálculo do dano por fadiga, porém, o mesmo se baseia na hipótese de

um processo Gaussiano e de banda-estreita para as tensões. No entanto, na prática a

grande maioria dos processos de tensões não satisfaz esta condição. Tentando

expandir o uso da metodologia anterior para processos Gaussianos e de banda

qualquer, Wirshing et all. (1987) estabeleceram um fator de correção semi-empírico,

através de várias simulações numéricas, para o cálculo de fadiga para processos

Gaussianos. O método da correção de Wirshing muito se assemelha ao método de

Rayleigh e é definido por:

𝑑𝑊(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) = 𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) 𝑓(𝑚, 𝜀) (3.3.1)

onde 𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) é o dano calculado pelo método de Rayleigh (hipótese de banda-estreita)

e 𝑓(𝑚, 𝜀) é um fator de correção definido por

𝑓(𝑚, 𝜀) = 𝑎(𝑚) + 1[1 − 𝑎(𝑚)](1 − 𝜀)𝑏(𝑚) (3.3.2)

sendo

𝑎(𝑚) = 0.926 − 0.33𝑚

𝑏(𝑚) = 1.587𝑚 − 2.323

13

e o fator 𝜀 de largura de banda do espectro de tensões dado por

𝜀 = √1 −𝑚2

2

𝑚0𝑚4 (3.3.3)

sendo 𝑚4 o momento de quarta ordem do espectro de tensões.

3.4. Método de Dirlik

Dirlik (1985) apresentou uma outra forma para determinar-se o dano causado

por fadiga para um processo aleatório de tensões Gaussiano e de banda qualquer. Dirlik

simulou numericamente vários espectros de tensões variando o fator de largura de

banda, e a partir destas simulações estabeleceu a distribuição de probabilidades para

as variações de tensões em função apenas de parâmetros do espectro de tensões.

A distribuição é composta por uma combinação de três distribuições, uma função

exponencial, uma função de Rayleigh e uma função de Weibull, e é dada por:

𝑓(𝑠) =

𝐷1𝑄 exp (−

𝑧(𝑠)𝑄 ) + (

𝐷2(𝑠)𝑒𝑥𝑝 (−𝑧(𝑠)2

2𝑅2 )

𝑅2 ) + 𝐷3𝑧(𝑠)𝑒𝑥𝑝 (−𝑧(𝑠)2

2 )

2√𝑚0

(3.4.1)

em que,

𝐷1 =2(𝑋−𝛽2)

1+𝛽2 𝐷2 =

(1−𝛽−𝐷1+𝐷12)

1−𝑅 𝐷3 = 1 − 𝐷1 − 𝐷2

𝑧(𝑠) =𝑠

2√𝑚0

𝑅 =𝛽 − 𝑋 − 𝐷1

2

1 − 𝛽 − 𝐷1 + 𝐷12 𝑄 =

1.25(𝛽 − 𝐷3 − 𝐷2𝑅)

𝐷1

𝛽 = √𝑚2

2

𝑚0𝑚4 𝑋 =

𝑚1

𝑚0√

𝑚2

𝑚4

sendo que 𝑚𝑖 representa o m-ésimo momento do espectro de tensão. Utilizando a

curva S-N e a regra de Miner, tem-se que o dano por estado de mar pode escrito

como:

14

𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑁

𝐾∫ 𝑠𝑚𝑓𝑠

∞

0

(𝑠)𝑑𝑠 (3.4.2)

substituindo a 𝑓𝑆(𝑠) de Dirlik na equação acima, tem-se portanto que o dano total que

é dado por

𝑑𝐷(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) =𝑁

𝐾(

1

2√𝑚0

) [𝐴 + 𝐵 + 𝐶] (3.4.3)

em que

𝑁 =𝑇

2𝜋√

𝑚2

𝑚4

𝐴 =𝐷1 Γ(m+1)

𝑄(1

2√𝑚0𝑄)𝑚+1 𝐵 =

𝐷2Γ(m+2

2)

4𝑅2√𝑚0(1

8𝑚0𝑅2)

𝑚+22

𝐶 =𝐷3Γ(

m+2

2)

4√𝑚0(1

8𝑚0)

𝑚+22

15

4. Métodos Alternativos para a Análise de Fadiga

A análise de fadiga de longo-prazo em estruturas oceânicas é resolvida

numericamente discretizando o domínio de integração da Eq. (3.1.4) num extenso

número de pontos de integração, i.e., vários estados de mar. Como a análise de cada

estado de mar pode demandar tempo e trabalho, essa análise implica em elevados

custos computacionais devido a grande quantidade de estados de mar, principalmente

quando a análise de tensões é feita no domínio do tempo.

Sendo assim, recentemente métodos alternativos e mais eficientes vêm sendo

propostos a fim de tentar contornar este problema (Giraldo, 2104). Esses métodos

propõem minimizar o número de pontos de integração, i.e., reduzir o número de análises

estruturais para o cálculo da integral, simplificando o processo sem que haja perda de

precisão. Neste trabalho foram estudados 2 métodos distintos: o Método da Perturbação

e o Método da Redução de Dimensão.

4.1. Método da Perturbação

No Método da Perturbação de segunda ordem (Low & Cheung, 2012) a ideia

básica é representar o dano por fadiga 𝑑(𝐻𝑆, 𝑇𝑍) através da expansão numa série de

Taylor em torno do ponto médio (𝐻𝑆 = ℎ𝑆, 𝑇𝑍 = 𝑡𝑧) até os termos de segunda ordem,

i.e.,

𝑑(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = 𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�) + (ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)𝜕𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕ℎ𝑠+ (𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)

𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕𝑡𝑧

+1

2![(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)

2∂

2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

∂ℎ𝑠2 + 2(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)(𝑡𝑧

− 𝑡�̅�)𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕ℎ𝑠𝜕𝑡𝑧+ (𝑡𝑠 − 𝑡�̅�)

𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕2𝑡𝑧]

(4.1.1)

Esse dano representa o dano causado em um único estado de mar. Substituindo-

se esta expressão anterior na Eq. (3.1.4) tem-se:

16

𝐷1−𝑦𝑟2𝑛𝑑 = 2920 [𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)∫ ∫ 𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧

(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑧

∞

0

∞

0

+𝜕𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕ℎ𝑠∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)

∞

0

𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧

∞

0

+𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕𝑡𝑧∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)

∞

0


∞

0

+1

2

∂2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

∂ℎ𝑠2 ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)

2

∞

0


∞

0

+1

2

𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕2𝑡𝑧∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)

2

∞

0


∞

0

+𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕ℎ𝑠𝜕𝑡𝑧∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)

∞

0

∞

0

𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)𝑑ℎ𝑠𝑑𝑡𝑧]

(4.1.2)

Na expressão acima é possível identificar alguns termos dentro da equação que

podem ser substituídos por parâmetros estatísticos conhecidos, como esperança,

variância e covariância dos parâmetros de onda. As equações que representam cada

um desses parâmetros estão descritas a seguir:

𝐸(𝐻𝑠 − ℎ̅𝑠) = ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)

∞

0


∞

0

= 0

𝐸(𝑇𝑧 − 𝑡�̅�) = ∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)

∞

0


∞

0

= 0

𝑉𝑎𝑟(𝐻𝑠) = ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)2

∞

0


∞

0

𝑉𝑎𝑟(𝑇𝑧) = ∫ ∫(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)2

∞

0


∞

0

𝐶𝑜𝑣(𝐻𝑠, 𝑇𝑧) = ∫ ∫(ℎ𝑠 − ℎ̅𝑠)(𝑡𝑧 − 𝑡�̅�)

∞

0


∞

0

(4.1.3)

Esses parâmetros estatísticos dependem unicamente da distribuição de

probabilidades conjunta de 𝐻𝑆 e 𝑇𝑍. Substituindo-se os parâmetros estatísticos descritos

acima na equação geral do dano, tem-se que o dano anual por fadiga pelo Método da

Perturbação (de segunda ordem) é igual a

17

𝐷1−𝑦𝑟2𝑛𝑑 = 2920

[ 𝑑(ℎ̅𝑠 , 𝑡�̅�) +

1

2

∂2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

∂ℎ𝑠2 𝑉𝑎𝑟(𝐻𝑠)

+1

2

𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕2𝑡𝑧𝑉𝑎𝑟(𝑇𝑧) +

𝜕2𝑑(ℎ̅𝑠, 𝑡�̅�)

𝜕ℎ𝑠𝜕𝑡𝑧𝐶𝑜𝑣(𝐻𝑠, 𝑇𝑧)]

(4.1.4)

A expansão da série de Taylor poderia também ter sido feita incluindo termos de

terceira ordem ou superiores. A algebrização é bastante similar, no entanto surgem

alguns termos que dependem dos parâmetros estatísticos de ordem superior da

distribuição conjunta (Giraldo, 2014).

Pela expressão (Eq. 4.1.4) observa-se que é necessário calcular as derivadas

de segunda ordem do dano de curto-prazo no ponto médio dos parâmetros 𝐻𝑆 e 𝑇𝑍 dos

estados de mar. Isto pode ser feito através de diferenças finitas (Low & Cheung, 2012).

Assim, para se resolver a integral dupla baseado na expansão de segunda ordem, a

qual será utilizada ao longo do projeto, estudos indicam que são necessários apenas 9

estados de mar (nove análises de curto-prazo). Esses números são muito pequenos em

comparação aos necessários nos métodos convencionais, o que implica na redução dos

custos computacionais já citados anteriormente. No entanto, um ponto importante do

Método da Perturbação deve ser ressaltado: uma vez que a expansão da série de Taylor

é feita em torno dos valores centrais dos parâmetros da onda (𝐻𝑆 = ℎ𝑆, 𝑇𝑍 = 𝑡𝑧), quando

trata-se da análise de fadiga para vários pontos de uma mesma estrutura, a análise de

fadiga pode ser feita para todos os pontos da estrutura com as mesmas análises

estruturais de curto-prazo.

4.2. Método da Redução da Dimensão

O Método da Redução da Dimensão (Giraldo, 2014) é aplicável para uma

integral dupla de uma função 𝑔(𝑥, 𝑦) cujo domínio de integração é simétrico e igual

(por exemplo, o domínio é [−𝑎,+𝑎] para ambas as variáveis x e y). O método propõe

uma aproximação da função 𝑔(𝑥, 𝑦) a partir de uma decomposição aditiva em torno do

ponto 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0. Neste caso:

𝑔(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 0) + 𝑔(0, 𝑦) − 𝑔(0,0) (4.2.1)

Tendo em conta a simetria dos domínios de integração e comparando o

resultado das integrações tanto para a expansão completa da série de Taylor quanto

18

para a decomposição aditiva, percebe-se que a diferença entre eles é um termo de

quarta ordem (Rahman and Xu, 2004) , i.e.,

𝐼[𝑔(𝑥, 𝑦)] − 𝐼[𝑔(𝑥, 𝑦)] =1

4![𝜕4𝑔(0,0)

𝜕𝑥2𝜕𝑦2∫ ∫ 𝑥2𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦

+𝑎

−𝑎

+𝑎

−𝑎

+ ⋯] (4.2.2)

Isto mostra que a decomposição aditiva pode ser uma boa aproximação para a

função original. No caso de uma integral dupla envolvendo uma função densidade de

probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias estatisticamente independentes,

𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦), tem-se

𝐼 = ∫ ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

+∞

−∞

(4.2.3)

ou

𝐼 = ∫ ∫ [𝑔(𝑥, 0) + 𝑔(0, 𝑦) − 𝑔(0,0)]𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

+∞

−∞

+∞

−∞

ou

𝐼 = ∫ 𝑔(𝑥, 0)

+∞

−∞

𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(0, 𝑦)𝑓𝑌(𝑦)𝑑𝑦 − 𝑔(0,0)+∞

−∞

Portanto, utilizando a decomposição aditiva e considerando as variáveis

estatisticamente independentes, a solução seria simplesmente a resolução de duas

integrais simples (unidimensionais). No entanto, isso não pode ser diretamente aplicado

para o cálculo de fadiga uma vez que os parâmetros 𝐻𝑆 e 𝑇𝑍 são usualmente

estatisticamente dependentes, e seus domínios de integração são assimétricos. No

entanto, como será visto a seguir, o dano por fadiga pode ser calculado com o auxílio

de algumas transformações probabilísticas.

19

Tem-se que a função densidade de probabilidades conjunta é usualmente dada

por

𝑓𝐻𝑠,𝑇𝑧(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = 𝑓𝐻𝑠

(ℎ𝑠)𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) (4.2.4)

em que 𝑓𝐻𝑠(ℎ𝑠) é a função densidade de probabilidades marginal de 𝐻𝑆 e 𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠

(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) é

a função densidade de probabilidades condicional de 𝑇𝑍 dado um valor de 𝐻𝑆. Aplicando-

se agora a chamada Transformada de Rosemblatt, é possível obter duas variáveis

normais padrão 𝑈1 e 𝑈2 equivalentes através das seguintes equações (Giraldo, 2014):

𝑢1(ℎ𝑠) = Φ−1[𝐹𝐻𝑠(ℎ𝑠)]

𝑢2(ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = Φ−1[𝐹𝑇𝑧|𝐻𝑠(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)]

(4.2.5)

em que Φ−1( ) é a inversa de uma função de distribuição acumulada de probabilidades

dada uma variável aleatória gaussiana (média igual a 0 e desvio padrão igual a 1). A

distribuição de probabilidade conjunta de 𝑈1 e 𝑈2 é uma distribuição simétrica em torno

da origem e é dada por

𝑓𝑈1,𝑈2(𝑢1, 𝑢2) = 𝜙(𝑢1)𝜙(𝑢2) (4.2.6)

sendo

𝜙(𝑢) =1

√2𝜋𝑒𝑥𝑝 (−

𝑢2

2) (4.2.7)

Assim sendo, com as transformações acima é possível escrever a integral

dupla para estimativa do dano de longo-prazo no espaço das variáveis 𝑈1 e 𝑈2, i.e.,

𝐷1−𝑦𝑟 = 2920∫ ∫ 𝑑(ℎ𝑠, 𝑡𝑧)+∞

−∞

+∞

−∞


= ∫ ∫ 𝑑′(𝑢1

+∞

−∞

, 𝑢2)𝜙(𝑢1)𝜙(𝑢2)𝑑𝑢1

+∞

−∞

𝑑𝑢2

(4.2.8)

20

sendo

𝑑′(𝑢1, 𝑢2) = 𝑑[ℎ𝑠(𝑢1), 𝑡𝑧(𝑢1, 𝑢2)] (4.2.9)

Aplicando-se o conceito de decomposição aditiva tem-se, enfim, que o dano

anual por fadiga pelo Método da Redução da Dimensão é dado por

𝐷1−𝑦𝑟 = 2920 [∫ 𝑑′(𝑢1

+∞

−∞

, 0)𝜙(𝑢1)𝑑𝑢1 + ∫ 𝑑′(0+∞

−∞

, 𝑢2)𝜙(𝑢2)𝑑𝑢2

− 𝑑′(0,0)]

(4.2.10)

Percebe-se que, como foi explicado interiormente, este método faz com que seja

necessária apenas a resolução de duas integrais unidimensionais. Neste trabalho,

foram usados dois métodos de Quadratura Gaussiana distintos para resolver

numericamente essas integrais, a Quadratura de Gauss-Legendre e a Quadratura de

Gauss-Hermite. Os mesmos serão descritos mais adiante.

Assim como no Método da Perturbação, a grande vantagem do Método da

Redução da Dimensão é a necessidade de análise de poucos estados de mar em

comparação à integração direta, o que implica na redução dos custos computacionais,

uma das motivações para a utilização desses métodos como já foi citado em outras

oportunidades. As análises estruturais são, assim como no Método da Perturbação,

válidas para vários pontos de uma mesma estrutura.

4.2.1. Quadraturas Gaussianas

Como visto anteriormente, a parte final do Método da Redução da Dimensão

para o cálculo de fadiga probabilística se dá pelo cálculo de duas integrais simples que

podem ser feitas numericamente a partir do Método da Quadratura Gaussiana.

A ideia básica de uma Quadratura baseia-se, inicialmente, na estratégia de

aproximar a função 𝑓(𝑥) a ser integrada no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 por uma outra função

𝑃(𝑥), em geral um polinômio ortogonal. A partir disso, a fórmula de uma quadratura pode

ser definida como um somatório da multiplicação dos valores encontrados para a função

aplicada em cada ponto de integração, contidos no domínio 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, por pesos 𝜔𝑖 que

são obtidos por resultados relacionados aos polinômios, simplificando assim o cálculo.

A fórmula geral está exposta a seguir:

21

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

∑𝜔𝑖𝑓(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

(4.2.11)

Detalhes mais específicos sobre o método da quadratura Gaussiana podem ser

obtidos em (Vaz, 2011). Como na avaliação das integrais da Eq. (4.2.10) cada ponto de

integração significa uma análise estrutural, um ponto importante investigado é com

relação a quantidade mínima de pontos de integração necessários para a garantia da

precisão dos resultados em comparação a integração direta.

Existem vários modelos de Quadratura, e para cada um deles um polinômio

específico com sua própria fórmula de recorrência que pode vir a ser mais eficaz em

cada tipo de situação. A Quadratura mais comum e amplamente utilizada é a quadratura

de Gauss-Legendre, a qual utiliza o polinômio de Legendre. No entanto, recentemente

vem sendo utilizadas de maneira cada vez mais recorrente outras Quadraturas, como

por exemplo a de Gauss-Hermite, capazes de garantir a mesma precisão utilizando um

menor número de pontos de integração. Neste tarbalho estes dois métodos foram

investigados visando identificar a precisão em cada uma delas e, consequentemente,

em função do número de pontos de integração utilizados.

4.2.1.1. Quadratura de Gauss-Legendre

Conforme citado anteriormente, a resolução de uma integral através de uma

Quadratura-Gaussiana se dá pela aproximação da função por um polinômio ortogonal.

Uma sequência de polinômios ortogonais é definida com uma função peso 𝑤(𝑥) sobre

um intervalo real [𝑎, 𝑏], em que 𝑤(𝑥) ≥ 0 é contínua no intervalo nesse intervalo. Os

diversos modelos de Quadraturas de Gauss estão relacionados aos polinômios

utilizados em cada uma, sendo as principais diferenças entre essas os intervalos de

integração e a função peso de cada uma. Em uma Quadratura de Gauss-Legendre, o

intervalo de integração é [−1, 1] enquanto a função peso é igual a 𝑤(𝑥) = 1. Sendo

assim, a quadratura de Gauss-Legendre é representada por:

∫ 𝑓(𝑥)𝑤(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1

−1


𝑛

𝑖=1

(4.2.12)

em que 𝜔𝑖 , 𝑥𝑖 e 𝑓(𝑥𝑖) são, respectivamente, os pesos, os pontos de integração da

quadratura de Gauss-Legendre e os valores da função em cada um dos pontos de

22

integração. Os pesos e pontos de integração desta quadratura são definidos em (VAZ,

2011). Neste trabalho, foram testados n = 5, 7, 9, 11, 13 e 15 pontos de integração de

forma a se identificar quantos seriam necessários para garantir a precisão desta técnica

de integração. As Tabelas 1 e 2 abaixo apresentam os correspondentes pontos de

integração e seus pesos.

n = 5 n = 7 n = 9

𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖

-0.90618 0.23693 -0.94911 0.12948 -0.96816 0.08127

-0.53847 0.47863 -0.74153 0.27971 -0.83603 0.18065

0.00000 0.56889 -0.40585 0.38183 -0.61337 0.26061

0.53847 0.47863 0.00000 0.41796 -0.32425 0.31235

0.90618 0.23693 0.40585 0.38183 0.00000 0.33024

0.74153 0.27971 0.32425 0.31235

0.94911 0.12948 0.61337 0.26061

0.83603 0.18065

0.96816 0.08127

Tabela 1: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 5, 7 e 9)

n = 11 n = 13 n = 15


-0.97823 0.05567 -0.98418 0.04048 -0.98799 0.03075

-0.88706 0.12558 -0.91760 0.09212 -0.93727 0.07037

-0.73015 0.18629 -0.80158 0.13887 -0.84821 0.10716

-0.51910 0.23319 -0.64235 0.17815 -0.72442 0.13957

-0.26954 0.26280 -0.44849 0.20782 -0.57097 0.16627

0.00000 0.27293 -0.23046 0.22628 -0.39415 0.18616

0.26954 0.26280 0.00000 0.23255 -0.20119 0.19843

0.51910 0.23319 0.23046 0.22628 0.00000 0.20258

0.73015 0.18629 0.44849 0.20782 0.20119 0.19843

0.88706 0.12558 0.64235 0.17815 0.39415 0.18616

0.97823 0.05567 0.80158 0.13887 0.57097 0.16627

0.91760 0.09212 0.72442 0.13957

0.98418 0.04048 0.84821 0.10716

0.93727 0.07037

0.98799 0.03075

Tabela 2: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Legendre (n = 11, 13 e 15)

É interessante observar que a (Eq. 4.2.10) está definida no intervalo de

[−∞,+∞]. Como a aplicação da quadratura de Gauss-Legendre está limitada ao

intervalo [−1,1], faz-se necessária uma tranformação de variáveis para um domínio

[𝑎, 𝑏] genérico. Supondo, genericamente, que a variável u esteja definida no intervalo

de integração [𝑎, 𝑏], tem-se as seguintes relações entre os termos u e x:

23

𝑢(𝑥) =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑥𝐿) (4.2.13)

𝑥(𝑢) =2𝑢 − 𝑎 − 𝑏

𝐿 (4.2.14)

onde 𝐿 = 𝑏 − 𝑎. Desta forma a integral

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑏

𝑎

(4.2.15)

pode ser expressa por

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑏

𝑎

≈ ∑𝜔𝑖𝑓(𝑢(𝑥𝑖)) 𝐿

2

𝑛

𝑖=1

(4.2.16)

Adicionalmente, é interessante observar que apesar de a (Eq. 4.2.10) estar

definida no intervalo de [−∞,+∞], a distribuição normal padrão assume valores muito

pequenos para valores da ordem de 5 a 6 vezes o desvio padrão. Assim, no presente

projeto, o domínio [−∞,+∞] foi substituído por [−5, 5].

4.2.1.2. Quadratura de Gauss-Hermite

Como explicado anteriormente, as diferenças entre as Quadraturas existentes

estão no intervalo de integração e na função peso utilizados por cada uma delas.

Diferentemente da Quadratura de Gauss-Legendre, na Quadratura de Gauss-Hermite o

intervalo de integração é [−∞,+∞], enquanto a função peso utilizada é igual a 𝑤(𝑥) =

𝑒−𝑥2. Portanto, chega-se a seguinte expressão:

∫ 𝑓(𝑥)𝑤(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

∫ 𝑒−𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∞

−∞


𝑛

𝑖=1

(4.2.17)

Em relação ao método anterior, o que varia são os pesos e as coordenadas dos

pontos de integração. Os pesos e pontos de integração desta quadratura são definidos

em (VAZ, 2011). As Tabelas 3 e 4 apresentam os pesos e as coordenadas dos pontos

24

de integração da Quadratura de Gauss-Hermite para os mesmos números de pontos

definidos para a Quadratura anterior.

n = 5 n = 7 n = 9


-2.02018 1.18149 -2.65196 1.10133 -3.19099 1.04700

-0.95857 0.98658 -1.67355 0.89718 -2.26658 0.84175

0.00000 0.94531 -0.81629 0.82869 -1.46855 0.76461

0.95857 0.98658 0.00000 0.81026 -0.72355 0.73030

2.02018 1.18149 0.81629 0.82869 0.00000 0.72024

1.67355 0.89718 0.72355 0.73030

2.65196 1.10133 1.46855 0.76461

2.26658 0.84175

3.19099 1.04700

Tabela 3: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 5, 7 e 9)

n = 11 n = 13 n = 15

𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 𝑥𝑖 𝜔𝑖 -3.66847 1.00653 -4.10134 0.97458 -4.49999 0.94837

-2.78329 0.80252 -3.24661 0.77258 -3.66995 0.74861

-2.02595 0.72195 -2.51974 0.69062 -2.96717 0.66617

-1.32656 0.68121 -1.85311 0.64676 -2.32573 0.62066

-0.65681 0.66096 -1.22006 0.62172 -1.71999 0.59303

0.00000 0.65476 -0.60576 0.60853 -1.13612 0.57619

0.65681 0.66096 0.00000 0.60439 -0.56507 0.56702

1.32656 0.68121 0.60576 0.60853 0.00000 0.56410

2.02595 0.72195 1.22006 0.62172 0.56507 0.56702

2.78329 0.80252 1.85311 0.64676 1.13612 0.57619

3.66847 1.00653 2.51974 0.69062 1.71999 0.59303

3.24661 0.77258 2.32573 0.62066

4.10134 0.97458 2.96717 0.66617

3.66995 0.74861

4.49999 0.94837

Tabela 4: Coordenadas e pesos para Quadratura Gauss-Hermite (n = 11, 13 e 15)

Deve-se ressaltar que no cálculo da integral do dano os limites de integração são

justamente −∞ e +∞, os mesmos do intervalo da Quadratura de Gauss-Hermite. Dessa

forma não faz-se necessária uma mudança de variáveis, tornando portanto ainda mais

relevante a aplicação desse modelo de Quadratura.

25

Durante o cálculo dos somatórios do dano através da Quadratura de Gauss-

Hermite, repetiu-se a quantidade de pontos de integração já testados na Quadratura de

Gauss-Legendre de forma a permitir a comparação entre os resultados obtidos.

Ao longo deste trabalho, serão utilizadas ambas as Quadraturas para

determinação do dano por fadiga pelo Método da Redução da Dimensão. Ao final, será

feita uma análise quanto a quantidade de pontos de integração necessários para obter-

se uma boa precisão em comparação aos resultados obtidos por integração direta.

26

5. Estudos de Caso

Os métodos para análise eficiente de fadiga descritos anteriormente foram

utilizados no estudos de 2 exemplos distintos: um caso para um RAO de tensões

acadêmico e o outro para um riser metálico do tipo RSAA (Risers Suspended and

Anchored by Moorings). Para cálculo da fadiga foram considerados os métodos de

Rayleigh, Wirshing e Dirlik descritos na Seção 3. Todos as análises foram realizadas

com o auxilio da ferramenta computacional Mathcad.

Nos dois exemplos foi utilizada a mesma distribuição conjunta dos parâmetros

ambientais Hs e Tz, descrita na próxima seção, e o espectro do mar foi sempre

modelado pelo espectro de Pierson-Moskovitz (veja Eq. (2.1)). A metodologia e

parâmetros utilizados nos estudos de caso realizados serão detalhados a seguir.

5.1. Distribuição Conjunta de Hs e Tz

Como mostrado na seção 3.1, o cálculo do dano anual por fadiga depende da

distribuição conjunta de probabilidade dos parâmetros 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧. Para os dois exemplos

analisados neste trabalho, essa distribuição conjunta, 𝑓𝐻𝑠𝑇𝑧(ℎ, 𝑡) = 𝑓𝐻𝑠(ℎ)𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠(𝑡, ℎ), foi

assumida como sendo representada por uma distribuição lognormal para 𝐻𝑠 e uma

lognormal para 𝑇𝑧 condicionada a valores de 𝐻𝑠 conforme descritas a seguir:

Hs – Lognormal

𝜆 = 1,5 𝛼 = 2,7

𝑓𝐻𝑠(ℎ) =𝜆

𝛼(ℎ

𝛼)

𝜆−1𝑒𝑥𝑝 [− (

ℎ

𝛼)

𝜆] 𝐹𝐻𝑠(ℎ) = 1 − 𝑒𝑥𝑝 [−(

ℎ

𝛼)

𝜆]

(5.1.1)

27

Tz – Lognormal condicionada à Hs

𝑓𝑇𝑧|𝐻𝑠(𝑡, ℎ) =1

𝑡 𝜉𝑇𝑧(ℎ)√2𝜋𝑒𝑥𝑝 [

−1

2(ln(𝑡) − 𝜆𝑇𝑧(ℎ)

𝜉𝑇𝑧(ℎ))

2

]

𝐹𝑇𝑧𝐻𝑠(𝑡, ℎ) = Φ(ln(𝑡) − 𝜆𝑇𝑧(ℎ)

𝜉𝑇𝑧(ℎ))

(5.1.2)

em que

𝜆𝑇𝑧(ℎ) = 𝑎1 + 𝑎2. ℎ𝑎3 𝜉𝑇𝑧(ℎ) = 𝑏1 + 𝑏2. exp (−𝑏3. ℎ)

a1 = 0,97 a2 = 0,90 a3 = 0,25 b1 = 0,005 b2 = 0,120 b3 = 0,05

5.2. Modelo Teórico

Neste primeiro exemplo foi assumido um modelo teórico para o RAO de tensões

que será descrito mais adiante. Por ser um modelo bastante simples, porém guardando

alguma semelhança com estrututas reais, ele foi utilizado com intuito de fazer os testes

inicias e também algumas variações de parâmetros e modelos de Quadraturas

Gaussianas para verificar a versatilidade da técnica de Redução de Dimensão.

5.2.1. RAO de Tensões

O RAO de tensões utilizado neste primeiro exemplo, o qual é utilizado

juntamente ao espectro de elevação do mar conforme a Eq. (2.5) para obter-se o

espectro de tensões 𝑆𝑠(𝜔), foi definido matematicamente através da seguinte

expressão:

𝑅𝐴𝑂(𝜔) =1

√[1 − (𝜔𝜔𝑛

)2]2

+ (2𝜉𝜔𝜔𝑛

)

(5.1.3)

onde 𝜉 = 0,052 e 𝜔𝑛 é a frequência natural de uma estrutura hipotética que será variada

nas análises numéricas. Para os cálculos foram utilizados os parâmetros experimentais

𝑚 = 3,3 e 𝐾 = 15𝑥1010 para a curva S-N.

28

5.2.2. Verificação do número de pontos de integração

necessários para a aplicação das Quadraturas

Antes de verificar os resultados e a aplicabilidade dos métodos, foi necessário

determinar o número de pontos de integração a serem utilizados para cada uma das

quadraturas descritas na seção 4.2.1 para a resolução das integrais pelo Método da

Redução da Dimensão (seção 4.2) de forma a garantir sua precisão.

Para tal, estipulou-se que a frequência natural para este teste seria igual a 𝜔𝑛 =

1,2 para todos os casos cujos resultados estão expressos a seguir. Além disso, foram

utilizados os parâmetros de integração apresentados na Tabela 5 para os cálculos por

integração direta da equação do dano.

Parâmetro de Integração

𝐻𝑠𝑚𝑖𝑛 (m) 0.2

𝐻𝑠𝑚𝑎𝑥 (m) 22

𝑇𝑧𝑚𝑖𝑛 (s) 0.4

𝑇𝑧𝑚𝑎𝑥 (s) 25

𝑁ℎ𝑠 151

𝑁𝑡𝑧 151

Tabela 5: Parâmetros de integração direta da equação do dano

As Figuras 7 a 9 ilustram os resultados obtidos utilizando a Quadratura de

Gauss-Legendre. Foram testados de 5 a 15 pontos de integração para a determinação

da discrepância entre o dano total por fadiga pelo Método da Redução da Dimensão e

por Integração Direta. Assim, tornou-se possível determinar a precisão do método

alternativo em função do número de pontos utilizados.

29

Figura 7: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.

Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura

Figura 8: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão (Gauss-

Legendre) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

5 7 9 11 13 15

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Número de Pontos de Integração da Quadratura

Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Legendre x Integração Direta

(Dano Total pelo Método de Rayleigh)

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

5 7 9 11 13 15

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)



(Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)

30

Figura 9: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.


Segundo os resultados expostos nestas figuras (fig. 7, 8 e 9), detectou-se que o

o resultado tornou-se constante a partir de 11 pontos de integração, para qualquer um

dos 3 métodos de cálculo de vida a fadiga (Rayleigh, Correção de Wirshing e Dirlik).

Sendo assim, conclui-se que a utilização do Método da Redução da Dimensão resolvido

com auxílio da Quadratura de Gauss-Legendre implica na necessidade de utilização de

no mínimo 11 pontos de integração para que a precisão do método esteja garantida.

Nas Figuras 10 a 12, apresentam-se os resultados obtidos quando utilizada a

quadratura de Gauss-Hermite comparando-os aos danos calculados por integração

direta. Para tal, foram realizados os mesmos cálculos e com os mesmos números de

pontos que na Quadratura de Gauss-Legendre (5 a 15 pontos de integração), porém,

com os respectivos valores para pesos e pontos de integração da quadratura de Gauss-

Hermite.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

5 7 9 11 13 15

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)



(Dano Total pelo Método de Dirlik)

31

Figura 10: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-Hermite) vs.



Hermite) vs. Integração Direta – Pontos de Integração da Quadratura

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

5 7 9 11 13 15

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)


Redução da Dimensão com Quadratura de Gauss-Hermite x Integração Direta

(Dano Total pelo Método de Rayleigh)

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

5 7 9 11 13 15

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)



(Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)

32

Figura 12: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Hermite) vs.


Pelos resultados obtidos quando utilizada a Quadratura de Gauss-Hermite, nota-

se que as discrepâncias entre os danos calculados pelo Método da Redução da

Dimensão e por Integração Direta tornam-se constantes a partir de 7 pontos de

integração utilizados. Sendo assim, pode-se concluir que a precisão do Método da

Redução da Dimensão está garantida com esse número de pontos de integração

quando calculada com auxílio de uma Quadradura de Gauss-Hermite.

Comparativamente a Quadratura de Gauss-Legendre, fez-se necessária a

utilização de 11 pontos de integração a menos para atingir a precisão, o que resulta em

um cálculo mais eficaz e rápido e fornece a economia computacional desejada.

Levando-se em conta que o cálculo se baseia na resolução de duas integrais

unidimensionais com um ponto de integração em comum, são necessárias 21 e 13

análises estruturais (estados de mar), respectivamente, para a Quadratura de Gauss-

Legendre e para a Quadratura de Gauss-Hermite.

Dessa forma, é justificado porque recentemente vem sendo cada vez mais

utilizada a Quadratura de Gauss-Hermite para resolver numericamente as integrais

necessárias no Método da Redução da Dimensão.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

5 7 9 11 13 15

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)



(Dano Total pelo Método de Dirlik)

33

5.2.3. Análises com o Modelo Teórico

Uma vez determinados os números de pontos de integração que garantem a

precisão do Método da Redução da Dimensão, pôde-se enfim realizar os cálculos para

analisar a eficiência tanto desse método quanto o da Perturbação. Para os cálculos

cujos resultados serão expostos a seguir, foi utilizada a quadratura de Gauss-Legendre

(com 11 pontos de integração) para o Método da Redução da Dimensão.

A distribuição conjunta de 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧 e o RAO de tensões utilizados estão descritos

nas seções 5.1.1 e 5.2.2. No entanto, enquanto que na verificação da quantidade de

pontos de integração necessários (seção 5.1.3) manteve-se a frequência natural

constante em 𝜔𝑛 = 1.2, para a determinação da eficiência dos métodos da Perturbação

e Redução da Dimensão a mesma foi variada em 𝜔𝑛 = 0.5, 0.75, 1.00, 1.25, 1.50, 1.75,

2.00 e de forma a verificar os resultados dos vários métodos investigados para várias

situações de comportamento dinâmico estrutural. Os parâmetros de integração a serem

utilizados na integração direta (força bruta) da equação do dano estão descritos na

Tabela 6.






𝑁ℎ𝑠 151

𝑁𝑡𝑧 151


As Figuras 13 e 14 mostram as diferenças percentuais relativas encontradas

para o dano anual de fadiga calculado pelo Método de Rayleigh em comparação a

integração direta com os métodos da Perturbação e da Redução de Dimensão,

respectivamente. As Figuras 15 e 16 ilustram os correspondentes resultados para o

método de Wirshing e as Figuras 17 e 18 para o método de Dirlik. Os resultados estão

apresentados em função das diferentes frequências naturais 𝜔𝑛, conforme descrito a

seguir:

34

Figura 13: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Método da Perturbação vs. Integração Direta

Figura 14: Exemplo teórico: Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.

Integração Direta

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (

%)

Frequência (ωn)

Perturbação x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Rayleigh)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Frequência (ωn)

Redução da Dimensão x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Rayleigh)

35

Nas Figuras 13 e 14, pode-se visualizar os resultados comparativos com a

integração direta feita pelo método de Rayleigh. É perceptível que as discrepâncias não

são muito significativas entre os resultados obtidos pela técnica de Redução de

Dimensão e da Perturbação, com ambos os métodos produzindo resultados próximos

ao da integração direta. Apenas para a frequência natural igual a 0,5 que se obteve um

resultado superior a 10% de diferença entre os danos de obtidos por integração direta

e aquele calculado pelo método da Perturbação.

Figura 15: Exemplo teórico: Método da Correção de Wirshing. Método da Perturbação vs.

Integração Direta

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Frequência (ωn)

Perturbação x Integração Direta (Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)

36


Legendre) vs. Integração Direta

Nas Figuras 15 e 16, que indicam os resultados aplicando-se o método da

Correção de Wirshing para o cálculo do dano, é possível perceber que para a técnica

de Redução de Dimensão as discrepâncias foram muito pequenas, uma vez que seus

valores em grande parte se mantiveram abaixo da casa dos 5%.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Frequência (ωn)

Redução da Dimensão x Integração Direta (Dano Total pelo Método da Correção de Wirshing)

37

Figura 17: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Método da Perturbação vs. Integração Direta

Figura 18: Exemplo teórico: Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre) vs.

Integração Direta

Os resultados apresentados nas Figuras 17 e 18, que comparam os resultados

para o Método de Dirlik, mostram mais uma vez que tanto método da Perturbação

quanto a técnica de Redução de Dimensão apresentam resultados razoáveis com muito

menos análises de estados de mar individuais. Analisando os gráficos, percebe-se que

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Frequência (ωn)

Perturbação x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Dirlik)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 ∞

(Mét

od

o -

Int.

Dir

eta)

/ In

t. D

iret

a (%

)

Frequência (ωn)

Redução da Dimensão x Integração Direta (Dano Total pelo Método de Dirlik)

38

a precisão de cada um dos métodos variou em função da frequência natural 𝜔𝑛 aplicada.

Em geral, enquanto pelo Método da Perturbação obteve-se resultados menos

discrepantes para as frequências intermediárias (𝜔𝑛 = 0,75 𝑎 2,5), o Método da

Redução da Dimensão foi quem apresentou resultados mais precisos para as

frequências extremas (𝜔𝑛 = 0,50 𝑒 ). No entanto, os resultados obtidos para ambos os

métodos foram satisfatórios, visto que a discrepância ficou abaixo dos 5% na maior parte

dos casos apesar de ter atingido cerca de 10% em alguns deles.

Os quadros expostos nas tabelas de 7 a 9 apresentam os danos totais

determinados por Integração Direta a partir dos Métodos de Rayleigh, Correção de

Wirshing e Dirlik, respectivamente, e a discrepância quando comparados com os

Métodos Alternativos. Nos quadros estão resumidos os resultados obtidos e o número

de análises estruturais necessárias para cada caso:

Métodos de Análise de

Fadiga

Danos e discrepâncias dadas as frequências

(𝝎𝒏) utilizadas

Número de análises

estruturais necessárias 0,5

Disc. (%)

1,25 Disc. (%)

Disc. (%)

Integração direta (força

bruta)

0,0525 0,00 0,0058 0,00 0,0006 0,00 22801

Perturbação 0,0577 9,84 0,0059 2,11 0,0056 -6,74 9

Redução da dimensão

0,0566 7,84 0,0056 -3,93 0,0062 3,37 21

Tabela 7: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Rayleigh

39


Fadiga





Disc. (%)

1,25 Disc. (%)

Disc. (%)


bruta)

0,0479 0,00 0,0049 0,00 0,00050 0,00 22801

Perturbação 0,0529 10,48 0,0050 2,47 0,00046 -7,74 9


0,0508 5,99 0,0047 -3,61 0,00051 2,20 21

Tabela 8: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método da Correção de

Wirshing


Fadiga





Disc. (%)

1,25 Disc. (%)

Disc. (%)


bruta)

0,0519 0,00 0,0053 0,00 0,00060 0,00 22801

Perturbação 0,0572 10,15 0,0051 -4,53 0,00055 -8,17 9


0,0550 6,03 0,0054 2,08 0,00061 1,97 21

Tabela 9: Quadro resumo dos resultados do modelo teórico pelo Método de Dirlik

Como ilustrado na tabela 6 adotou-se para esse modelo 𝑁ℎ𝑠 = 𝑁𝑡𝑧 = 151,

sendo assim necessários 151 𝑥 151 = 22.801 pontos de análise para o cálculo de

Fadiga por Integração Direta. Enquanto isso, conforme já indicado nas seções 4.2 e

5.2.2, os Métodos da Perturbação e Redução da Dimensão resolvido a partir da

Quadratura de Gauss-Legendre demandam, respectivamente, 9 e 21 análises

estruturais para atingirem uma precisão satisfatória. Neste primeiro exemplo constata-

se, portanto, que o métodos alternativos (Perturbação e Redução de Dimensão) são

alternativas interessantes a serem utilizadas na análise de fadiga. Esses métodos

apresentam resultados com uma precisão razoável e demandam a análise de um

40

número muito menor de estados de mar, implicando consequentemente na redução dos

custos computacionais em comparação aos métodos tradicionais e atingindo aquele que

é um dos objetivos iniciais do projeto.

5.3. Riser Metálico Suspenso e Ancorado por

Amarras (RSAA)

Chama-se de riser o trecho suspenso do duto que conecta a unidade de

exploração e produção a um equipamento no fundo do leito marinho. O riser

desempenha um papel fundamental dentro do sistema de exploração e produção,

devendo-se garantir sua integridade e confiabilidade em suas diferentes aplicações

(SILVA, 2011).

Os risers são tidos como um dos componentes mais críticos no desenvolvimento

de uma Estrutura Offshore, tendo em vista as cargas dinâmicas e ambientais às quais

estão submetidos. Sendo assim, a análise do modelo real será feita sobre um Riser

Suspenso e Ancorado por Amarras, ou RSAA, que é um riser composto por um trecho

vertical metálico conectado ao fundo do mar por um riser flexível, como ilustra a Figura

19. O comportamento estrutural do trecho metálico pode ser obtido por uma metodologia

analítica descrita em PEREIRA (2011). Nesta referência é apresentada a formulação

que permite obter diretamente o espectro de tensões em qualquer ponto 𝑥 ao longo do

tubo metálico, sendo este cálculo dado por

𝑆𝜎(𝑥, 𝜔, ℎ𝑠, 𝑡𝑧) = (

𝑚𝑐𝜔

𝐴)2

{[𝐵1(𝜔)𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑥

𝑐) − 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔𝑥

𝑐)]

2

− [𝐵2(𝜔)𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑥

𝑐)]

2

} [𝑅𝐴𝑂𝐻𝑒𝑎𝑣𝑒(𝜔)]2𝑆𝜂(𝜔, ℎ𝑠, 𝑡𝑧) (5.1.3)

em que a celeridade c é definida por

𝑐 = √𝐸𝐴

𝑚 (5.1.4)

41

com a área A sendo igual a área da seção transversal do riser, dada por

𝐴 = 𝜋

4(𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑖2) (5.1.5)

sendo 𝐷𝑒 e 𝐷𝑖 os diâmetros externo e interno do tubo, respectivamente. Os termos

𝑅𝐴𝑂𝐻𝑒𝑎𝑣𝑒(𝜔) e 𝑆𝜂(𝜔, ℎ𝑠, 𝑡𝑧) correspondem ao RAO do movimento de heave da

embarcação no ponto de conexão do riser e o espectro das elevações do mar,

respectivamente. Os demais termos da equação acima, tais como os parâmetros B1 e

B2, os quais dependem das propriedades equivalentes do riser flexível e da amarra

(Tabelas 10 a 13), podem ser vistos em GIRALDO (2014).

Para o presente caso de estudo foram adotadas as propriedades físicas e

geométricas descritas nas Tabelas 10 a 13 para os diversos componentes do RSAA. O

RAO de heave da embarcação no ponto de conexão é ilustrado na Figura 20.

O dano por fadiga foi calculado para 30 pontos equidistantes ao longo do tubo

metálico, sendo que o primeiro ponto (1) corresponde ao topo do riser e o último (30) ao

ponto de conexão com o riser flexível (vide Figura 19).

ORIGINAL EQUIVALENTE

Figura 19: Respresentação Esquemática do RSAA

42

Comprimento (L) 2028m

Diâmetros (De e Di) 219mm e 161,8mm

CM, CD 3, 2

Módulo de Elasticidade (Eriser) 207 Gpa

Peso Específico (𝛾𝑎ç𝑜) 77 kN/m3

Massa por Unidade de Comprimento (mriser)

146,85 kg/m

Celeridade (c) 4910,6 m/s

Tabela 10: Principais propriedades do Riser Vertical

Comprimento (L) 346 m

Diâmetros (De e Di) 280mm e 203,2mm

CM, CD 2, 1.2

Pesos 1,049kN/m (vazio seco) e 0,439kN/m (vazio na água)

EA, EI, GJ 360000kN, 30,65kN.m2, 3200kN.m2/rad

Ângulo de Topo 7°

Azimute 90°

Tabela 11: Principais propriedades do Riser Flexível

Comprimento (L) 330

CM, CD 2, 1,2

Pesos 1,51kN/m (vazio seco) e 1,32kN/m (vazio na água)

EA 621000kN

Ângulo de Topo 3°

Azimute 270°

Tabela 12: Principais propriedades da Amarra

Mconjunto 32218,3 kg

Kconjunto 3,384 kN/m

λb(aço) 1044,1 kg/s (5%)

Tabela 13: Propriedades equivalentes (Conjunto amarra + flexível)

43

Figura 20: RAO de Heave do RSAA

5.3.1. Resultados do Modelo do Riser Metálico (RSAA)

Os métodos alternativos descritos no capítulo 4 foram utilizados para obter o

dano total por fadiga e a vida útil da estrutura, sendo esses também determinados

atrabés da integração direta de forma a permitir a comparação entre os resultados

obtidos. Deve-se ressaltar que a distribuição conjunta de 𝐻𝑠 e 𝑇𝑧 utilizada para o modelo

do RSAA foi a mesma aplicada no exemplo teórico, a qual está descrita na seção 5.1.1.

Já os parâmetros de integração utilizados na integração direta (força bruta) da equação

do dano estão descritos na Tabela 14 a seguir:






𝑁ℎ𝑠 50

𝑁𝑡𝑧 35


Além disso, assim como foi feito no exemplo teórico, as integrais simples cujo

cálculo é necessário para a determinação do dano pelo Método da Redução da

Dimensão foram calculadas através da quadratura de Gauss-Legendre, para a qual fez-

44

se necessária a utilização de 11 pontos de integração de forma a se garantir a precisão,

conforme explicado no item 5.1.3.

Sendo assim, após a realização dos cálculos com auxílio da ferramenta

Mathcad aplicada para todos os métodos descritos ao longo do presente trabalho,

foram obtidos os resultados que estão representados nas figuras 21 a 26. Nesses

gráficos está representada a diferença relativa entre o dano e a vida útil calculada por

Integração Direta e pelos Métodos Alternativos em função dos 30 pontos equidistantes

analisados no riser metálico, como pode ser visto a seguir:

Figura 21: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Redução de Dimensão (Gauss-


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo Método de Rayleigh

(Redução da Dimensão x Integração Direta)Dano Total

Vida Útil

45

Figura 22: Riser Metálico (RSAA): Método de Rayleigh. Perturbação vs. Integração Direta

As figuras 21 e 22 ilustram os resultados obtidos considerando o cálcluo de

fadiga pelo método de Rayleigh. Nestes gráficos percebe-se que o método da

Perturbação foi quem apresentou resultados mais precisos. Pode-se observar também

que as discrepâncias tiveram valores próximos ao longo de todos os pontos do riser. No

entanto, a principal conclusão foi a de que as diferenças percentuais encontradas foram

pequenas, não chegando em 8% em nenhum dos casos, o que representa um resultado

bastante satisfatório.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo

Método de Rayleigh (Perturbação x Integração Direta)

Dano Total

Vida Útil

46

Figura 23: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Redução de Dimensão

(Gauss-Legendre) vs. Integração Direta

Figura 24: Riser Metálico (RSAA): Método da Correção de Wirshing. Perturbação (Gauss-


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%


Método da Correção de Wirshing (Redução da Dimensão x Integração Direta) Dano Total

Vida Útil

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo Método da Correção de Wirshing (Perturbação x Integração Direta)

Dano Total

Vida Útil

47

Nas Figuras 23 e 24 são apresentados os correspondentes resultados quando é

utilizado o Método da Correção de Wirshing para cálculo de fadiga. Observa-se que os

resultados obtidos foram muito similares aos obtidos pelo Método de Rayleigh.

Consequentemente, as observações feitas acima são também aplicáveis a este caso.

Figura 25: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Redução de Dimensão (Gauss-Legendre)

vs. Integração Direta

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%

)

Comparação entre valores para danos e vidas úteis pelo Método de Dirlik

(Redução da Dimensão x Integração Direta)Dano Total

Vida Útil

48

Figura 26: Riser Metálico (RSAA): Método de Dirlik. Perturbação vs. Integração Direta

As figuras 25 e 26 apresentam os resultados obtidos quando aplicado o Método

de Dirlik no cálculo de fadiga. Observa-se mais uma vez um comportamento muito

similar ao dos casos descritos anteriormente.

Feita a análise de todos os gráficos, foram elaborados os quadros expostos nas

tabelas de 15 a 17 a seguir, que contém os danos totais para o RSAA determinados por

Integração Direta a partir dos Métodos de Rayleigh, Correção de Wirshing e Dirlik,

respectivamente, e a discrepância quando comparados com os Métodos Alternativos.

Os quadros resumem os resultados obtidos e o número de análises estruturais

necessárias para cada caso:

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dif

eren

ça R

elat

iva

entr

e o

s M

éto

do

s (%


Método de Dirlik(Perturbação x Integração Direta)

Dano Total

Vida Útil

49


Fadiga

Danos e discrepâncias dados os pontos do Riser Número de análises

estruturais necessárias

Ponto superior

(i = 1)

Disc. (%)

Ponto central (i = 15)

Disc. (%)

Ponto inferior (i = 30)

Disc. (%)


bruta)

0,00690 0,00 0,00142 0,00 4,7x10-6 0,00 1750

Perturbação 0,00704 2,05 0,00145 1,95 4,8x10-6 2,34 9


0,00736 6,63 0,00152 6,81 5,1x10-6 7,37 21

Tabela 15: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Rayleigh


Fadiga



Ponto superior

(i = 1)

Disc. (%)


Disc. (%)


Disc. (%)


bruta)

0,00576 0,00 0,00119 0,00 4,0x10-6 0,00 1750

Perturbação 0,00588 2,04 0,00121 1,94 4,1x10-6 2,32 9


0,00614 6,61 0,00127 6,79 4,3x10-6 7,32 21

Tabela 16: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método da Correção de Wirshing

50


Fadiga



Ponto superior

(i = 1)

Disc. (%)


Disc. (%)


Disc. (%)


bruta)

0,00653 0,00 0,00125 0,00 3,8x10-6 0,00 1750

Perturbação 0,00669 2,44 0,00128 2,16 3,9x10-6 2,83 9


0,00696 6,63 0,00133 6,71 4,1x10-6 7,48 21

Tabela 17: Quadro resumo dos resultados do RSAA pelo Método de Dirlik

Como ilustrado na tabela 14 adotou-se para esse modelo 𝑁ℎ𝑠 = 35 e 𝑁𝑡𝑧 = 50,

sendo assim necessária a análise de 35 𝑥 50 = 1.750 estados de mar (análise de curto-

prazo) para o cálculo de fadiga por Integração Direta. Enquanto isso, conforme já

indicado nas seções 4.2 e 5.2.2, os Métodos da Perturbação e Redução da Dimensão

resolvido a partir da Quadratura de Gauss-Legendre demandam, respectivamente, 9 e

21 análises estruturais para atingirem uma precisão satisfatória.

Conclui-se que, pela análise e resultados obtidos deste RSAA utilizando todos o

métodos de cáculo de fadiga investigados ao longo do projeto (Rayleigh, Correção de

Wirshing e Dirlik), foi possível identificar um padrão entre os resultados obtidos uma vez

que todos apresentaram comportamento muito similar. Entre os métodos alternativos

eficientes para integração do dano de fadiga, o Método da Perturbação apresentou

menores discrepâncias com relação a integração direta quando comparadas com as

obtidas pelo Método da Redução da Dimensão. A maior discrepância para o método da

Perturbação foi de aproximadamente 3%, enquanto para a técnica de Redução de

Dimensão a diferença não ultrapassou 8%.

No entanto, mais uma vez a principal questão a ser ressaltada é a diferença no

número de análises estruturais necessárias. Assim como nos resultados do modelo

teórico apresentados na seção 5.2, os métodos alternativos foram capazes de atingir

valores de dano total por fadiga e vida útil da estrutura próximos aos obtidos a partir da

Integração Direta realizando um número muito menor de análises estruturais.

51

6. Conclusões

O avanço acelerado da indústria de extração de petóleo do mar para águas cada

vez mais profundas faz com que os modelos numéricos para cálculo de fadiga em

Estruturas Offshore tornem-se ainda mais complexos. Dito isso e sabendo das

consequências catastróficas que o fenômeno de fadiga pode trazer ao sistema

estrutural, é possível entender o desafio atual da redução dos custos computacionais e

operacionais desse tipo de análise.

No entanto, ao mesmo tempo em que deve-se tornar o cálculo mais simples e

prático, faz-se necessário que a precisão dos resultados seja garantida. O estudo

realizado ao longo deste projeto se deve ao fato de a proposta dos Métodos Alternativos

é justamente minimizar o número de pontos de integração, ou seja, reduzir o número de

análises estruturais para o cálculo do dano, simplificando o processo sem que haja

perda de precisão. Através dos exemplos analisados neste trabalho, percebe-se que os

os métodos para análise de fadiga probabilística investigados (Perturbação e Redução

de Dimensão) podem ser uma alternativa interessante para uma avaliação de fadiga de

uma estrututura marítima a um baixo custo computacional.

Como pode-se perceber a partir dos gráficos apresentados contendo os dados

das comparações feitas, a diferença relativa entre os valores obtidos pela Integração

Direta a partir dos métodos descritos (Rayleigh, Correção de Wirshing e Dirlik) e pelos

métodos eficientes foi baixa na grande maioria dos casos. No primeiro estudo de caso

realizado, no qual utilizou-se um RAO de tensões acadêmico, a discrepância ficou

próxima a 5% em quase todas as frequências investigadas. Apesar dessa diferença ter

se aproximado a 10% em alguns poucos casos, em outros a mesma ficou muito próxima

de zero. Já no exemplo do modelo real do RSAA, as discrepâncias mais elevadas

detectadas ficaram na casa dos 7% em todos os pontos do riser, ao passo que os

melhores resultados indicaram diferenças relativas de aproximadamente 2%. Para os

dois exemplos estudados, o Método da Perturbação apresentou resultados um pouco

mais precisos. No entanto, os resultados obtidos pelo Método da Redução da Dimensão

também foram satisfatórios.

Além disso, especificamente para o Método da Redução da Dimensão, fez-se a

análise de dois distintos modelos de Quadratura Gaussiana para o cálculo das integrais

simples do dano total propostas pelo método: a Quadratura de Gauss-Legendre e a

Quadratura de Gauss-Hermite. Observou-se que para a técnica de Gauss-Legendre são

necessários 11 pontos de integração e pela técnica de Gauss-Hermite é necessária a

utilização de 7 pontos. Levando-se em conta que se trata de duas integrais

52

unidimensionais com um ponto de integração em comum, são necessárias 21 e 13

análises estruturais (estados de mar), respectivamente, para a Quadratura de Gauss-

Legendre e para a Quadratura de Gauss-Hermite. Sendo assim verificou-se a

aplicabilidade da Quadratura de Gauss-Hermite, uma vez que sua utilização no Método

da Redução da Dimensão, o qual já buscava a redução dos custos computacionais,

torna o mesmo ainda mais eficaz.

Como já foi exposto, é de vital importância para qualquer estrutura oceânica a

análise do dano por fadiga, e para uma plataforma responsável pela extração de

petróleo essa análise é ainda mais essencial, uma vez que problemas nesse tipo de

estrutura podem não apenas serem prejudiciais à população da região, mas representar

uma catástrofe ambiental. Uma vez que não se perdeu precisão e os cálculos do dano

anual por fadiga e da vida útil da estrutura foram feitos de maneiras rápidas e eficazes

em comparação ao cálculo por integração direta, pode-se afirmar que a utilização dos

métodos eficientes propostos é uma alternativa importante para uso em aplicações

práticas. Estas técnicas podem ser utilizadas por exemplo como uma forma de se ter

uma estimativa rápida e com baixo custo computacional da vida útil da estrutura em uma

fase de pré-projeto. Conclui-se portanto que a viabilidade de uso dos Métodos Eficientes

representa uma excelente opção para as Estruturas Offshore, contribuindo para a

eficácia do projeto a ser desenvolvido pela indústria do petróleo.

53

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