Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretosreinaldo/adsd_files/PROBABILIDADE.pdf · independentes no sistema e suas interações

Probabilidade

Professor: Reinaldo Gomes

[email protected]

Avaliação de Desempenho de

Sistemas Discretos

Planejamento Experimental

Planejamento de Experimento: selecionar fatores manipuláveis x1, ... ,xp e

determinar formas de utilizá-los em experimentos, de modo que sejam obtidas

informações suficientes sobre o processo com pequeno número de ensaios

Otimizar o processo: dado um critério quantitativo, encontrar a combinação

dos níveis dos fatores controláveis que levam à melhor resposta

2

Processo

entradas saídas

y

x1 x2 xp

fatores manipuláveis

...z1 z2 zq

fatores não manipuláveis

...

Seleção das Variáveis

Variáveis Independentes

Fatores a serem estudados ou avaliados num processo

(que podem ser controladas)

Ex.: Formulação, temperatura, pH, agitação, aeração, tempo

de residência, vazão, pressão, etc...

Variáveis Dependentes

Respostas desejadas (determinadas experimentalmente)

Ex.: Rendimento, produtividade, atributos sensoriais, fator

de pureza, atividade enzimática, etc...

3

Design de Experimentos

Conceitos importantes:

Níveis: valores que podem ser assumidos por cada fator manipulável

Tratamentos: uma particular combinação de níveis dos fatores incluídos no estudo experimental.

Replicações: repetições de um ensaio em cada condição tratamento para avaliar erros experimentais

Aleatorização: forma de realizar os ensaios em que a seqüência é aleatória, evitando vieses

Blocagem: organização das unidades experimentais em subgrupos mais homogêneos

4

Design de Experimentos

Escolha de tratamentos

Como projetar um experimento para uma avaliação de

um sistema?

Quais tratamentos (combinações de níveis de fatores)

devem ser usados?

Minimizar custo, tempo

Maximizar a representatividade e precisão

Usar todas as combinações de níveis pode gerar uma

explosão de ensaios

5

Tipos de Design de Experimentos

Fator simples

Estuda a influência de uma variável independente

Conclusões erradas se houver interação entre fatores

Múltiplos Fatores

Estuda a influência de múltiplas variáveis

independentes no sistema e suas interações

Pode ter diversos níveis

Design Fatorial Completo

Design Fatorial Parcial

6


Experimento com um fator

Deseja-se comparar 3 tipos de redes de computadores, C1,

C2 e C3, em termos do tempo médio de transmissão entre

duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8

replicações com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem

dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais fatores

manipuláveis

Deseja-se testar as hipóteses:

H0: os tempos de transmissão são iguais para os três tipos de rede

H1: os tempos de transmissão não são todos iguais (depende do

tipo de rede)

7

Tipos de Design de Experimentos8

Processo

entradas saídas

y = tempo médio de transmissão

fatores x assumindo valores C1, C2 e C3

...z1 z2 zq

fatores não manipuláveis

Experimento com um fator


Experimento com um fator - Resultados

9

Tipo de rede

Replicação C1 C2 C3

1 7,2 7,8 6,3

2 9,3 8,2 6,0

3 8,7 7,1 5,3

4 8,9 8,6 5,1

5 7,6 8,7 6,2

6 7,2 8,2 5,2

7 8,8 7,1 7,2

8 8,0 7,8 6,8

Média 8,21 7,94 6,01


Experimento com múltiplos fatores

10

Processo

entradas saídas

y

A B

Fator A

a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

a2b4a2b3a2b2a2b1

b1b2 b3 b4

a1

a2

Fator B

Fator A

a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

a2b4a2b3a2b2a2b1

a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

a2b4a2b3a2b2a2b1

b1b2 b3 b4

a1

a2

Fator B

Todas as

combinações

de ai e bj



Projeto fatorial 2k

Efeito de k fatores usando apenas 2 níveis para cada fator

Pode estimar interações entre fatores

Determinar quais fatores mais afetam os efeitos

Não pode estimar erros (não há replicação)

Projeto fatorial 2kr com replicação

Como 2k mas com r repetições, permitindo estimar erros e,

portanto, intervalos de confiança

11



Deseja-se estudar os efeitos da quantidade de memória

principal (fator A) e de memória cache (fator B) no

desempenho de um servidor de banco de dados. O

fator A foi foram considerados os níveis 16 e 32

Gbytes e o fator B nos níveis 4 e 8 Mbytes.

12



13

A

B

+

+

y(A+,B–) = a y(A+,B+) = ab

y(A–,B+) = by(A–,B–) = (1)



Deseja-se estudar os fatores que mais influenciam na

taxa de falhas de transmissão de uma rede de

computadores

Taxa máxima de transmissão (10 / 100 Mbps)

Quantidade de informação (10000 / 100000 bytes)

Comprimento do cabo ( 20 / 100 m)

14



15

A

B

C(1) b

a ab

bc

abcac

c

+

+

+

ensaio

12345678

trata-mento

(1)ababcacbcabc

A B C AB AC BC ABC

+ + + + + + + + ++ + + + + ++ + + + + + + + + + + + +



16



Projeto fatorial 2k

Determina efeito de k fatores mas usam-se apenas 2 níveis

para cada fator

Pode estimar interações entre fatores

Determinar quais fatores mais afetam os efeitos

Não pode estimar erros (não há replicação)

Projeto fatorial 2kr com replicação

Como 2k mas com r repetições, permitindo estimar erros e,

portanto, intervalos de confiança

17



Projeto fatorial fracionário 2k-p

Útil quando há muito fatores (k grande)

k fatores de 2 níveis mas com menos tratamentos

Haverá fatores confundidos (misturados)

confounding factors

Deve escolher quais fatores serão confundidos (os menos

importantes) para maximizar obtenção de informação dos

fatores importantes

18



19

Exemplo 23 -1:

A

B

C(1) b

a ab

bc

abcac

c

+

+

+

––

–

Distribuições Comuns

Uniforme

Normal

Poisson

Hipergeométrica

Binomial

Student's

Geométrica

Lognormal

Exponencial

Beta

Gamma

Qui-Quadrado

Weibull

Pareto

Erlang

Pascal

20

Distribuição de Poisson

Parâmetro: λ (média)

Utilização: Número de pessoas que chegam em um lugar por hora Número de chamadas telefônicas em uma central Número de conexões TCP recebidas em um servidor por hora Número de vezes que um servidor Web é acessado por minuto Número de carros que passam na rua em um período Número de navios que chegam no porto por dia Em geral: Processos de nascimento

21

Distribuição de Poisson22

Distribuição Uniforme - Contínua

Parâmetros: a e b (limite inferior e superior)

Utilização:

Quando a probabilidade de eventos é a mesma

O número observado no lançamento de um dado

Direção do movimento de um usuário em um rede celular

Dia do mês do aniversário de uma pessoa

23

Distribuição Uniforme - Contínua24

Distribuição Uniforme - Discreta25

Distribuição Exponencial

Parâmetro: λ (média)

Utilização:

Tempo entre eventos sucessivos

O tempo entre acidentes de carro

Tempo entre chamadas telefônicas

Tempo entre requisições a um servidor de BD

Tempo entre falhas de um equipamento

26

Distribuição Exponencial27

Distribuição Normal (Gaussiana)

Parâmetros: µ, σ² (média e variância)

Utilização:

Aleatoriedade causada por várias fontes independentes agindo em conjunto

Erros em medições

Dados “relativamente padronizados”

28

Distribuição Normal (Gaussiana)29

Distribuição Normal

Aplicações da Distribuição Normal Normal (m, v)

Altura das mulheres entre 18 e 24 é uma Normal( 164, 6²) cm

68% têm entre 158 e 170 (média ± 1 Desvio Padrão)

95% têm entre 154 e 176 (média ± 2 Desvios Padrão)

Média

Variância

30


Aplicações da Distribuição Normal

A probabilidade de uma variável aleatória X ter um valor

dentro do intervalo [a,b] é a área sob a curva no intervalo

entre x=a e x=b

31


Se a média é µ=100 e o desvio padrão é σ =10,

qual a probabilidade de uma ocorrência entre A e B

Assuma um coeficiente

k que determina os

pontos A e B em função

do desvio padrão.

A=µ - kσ, B= µ + kσ

k=0.1

A=99

B=101

P[A ≤ x ≤ B]=7.96%

32





k=0.5

A=95

B=105

P[A ≤ x ≤ B]=38.29%

33





k=1

A=90

B=110

P[A ≤ x ≤ B]=68.27%

34





k=2

A=80

B=120

P[A ≤ x ≤ B]=95.45%

35





k=3

A=70

B=130

P[A ≤ x ≤ B]=99.73%

36





k=4

A=60

B=140

P[A ≤ x ≤ B]=99.99%

37





k=5

A=50

B=150

P[A ≤ x ≤ B]=99.9999%

38


Caracteristicas

A função densidade é simétrica em torno da média

A média é também a moda e a mediana

68.26894921371% da área sob a curva está a 1 desvio padrão (DP) da média

95.44997361036% da área sob a curva está a 2 DP da média






39

• Amostragem e estimação de parâmetros

• Intervalo de confiança para média

Probabilidade e Estatística40

População, Amostra e Estimador

Amostra é um subconjunto de uma população

Exemplo:

População: Todas as mulheres do Brasil

Amostra: 1000 mulheres de 5 cidades diferentes

Qual a altura média da mulher brasileira?

Usamos a média da amostra para estimar a média da população

Média da amostra = 168cm, desvio padrão = 4cm

µ é a média da população (parâmetro estimado)

χ é a média amostral (da amostra) e o estimador de µ

41

População, Amostra e Estimador

Qual a certeza de que a média da amostra estima bem a média da população?

Não é possível ter um estimador perfeito a partir de uma amostra de tamanho finito

O melhor que podemos fazer é obter limites probabilísticos,

Ou seja, ao invés de dizermos:

“a média de altura da mulher brasileira é 168cm” …

Dizemos:

“a média da mulher brasileira é algum valor entre 168-c e 168+c, com probabilidade p”

Quanto mais próximo de 1 for p, mais “certeza” haverá

E c depende:

De p: maior p → maior c

Do tamanho da amostra: poucas amostras → maior c

Da variabilidade observada na amostra: muita variabilidade → maior c

42

Média Amostral

Seja xi uma V.A. obtida de uma população que tem

distribuição de probabilidade estacionária com

média finita e variância 2

Seja xm a média amostral quando n observações

independentes são feitas para xi (observe que xi

também é uma V.R.), onde:

i = 1

n

xm = 1/n xi

Intervalo de confiança

Intervalo de confiança é um intervalo que contém o parâmetro estimado com uma certa probabilidade

Determina os limites probabilísticos:

Probabilidade{ c1 ≤ µ ≤ c2 } = 1 – α

c1 = x – c e c2 = x + c

O intervalo (c1,c2) é o intervalo de confiança

α é o nível de significância (menor é melhor)

100(1-α) é o nível de confiança (ex: 90%, 95%, 99%)

p=(1-α) é a probabilidade de acerto do estimador

Como calcular c?

44

Intervalo de Confiança

Deseja-se encontrar um intervalo em torno de xm onde se pode afirmar que a média verdadeira se localiza com

probabilidade 1- (chamada nível de confiança)

Do Teorema do Limite Central, a distribuição de xm tende a uma distribuição normal com média e variância 2

(2 é a verdadeira variância da medida)

Para se usar tabelas estatísticas padrões, considera-se a V.R.

que aproximadamente tem distribuição normal com média 0 e variância 1 (distribuição normal padrão)

Z = (xm - ) / ( / n)

Sem Intervalo de Confiança46

Com Intervalo de Confiança47

Distribuição t-student

Na prática, 2 não é conhecida, sendo substituída por

Agora, a variável z não pode mais ser aproximada pela

distribuição normal e sim pela distribuição t-student

ou, simplesmente distribuição t, com (n-1) graus de

liberdade

i=1

n

s2 = 1/(n-1) (xi - xm )2

Nível de confiança

Resumindo: para encontrar um intervalo em torno de

xm (xm - w ; xm + w) onde se pode afirmar que a

média verdadeira se localiza com probabilidade

1- (Nível de Confiança - NC) temos:

W = t ( /2, n-1) * √ s2 / n

Onde:

NC = (1- )%

t ( /2, n-1) = valor da distribuição t (t-distribution), para NC (100- )%, com n-1 graus de liberdade


Que nível de confiança usar?

Quanta perda você pode suportar caso o parâmetro da população esteja fora do seu intervalo? Quanto ganho você teria se o parâmetro estivesse dentro do intervalo?

Precisão: repetibilidade dos valores obtidos através das medições feitas – Se medir várias vezes o mesmo fenômeno, quão dispersos são os resultados?

Acurácia: é a diferença entre o valor medido e um valor de referência – Quão perto do “correto” está a medição?

Menor α => Maior IC => Maior confiança

IC maior => Menor a precisão – Existe mais incerteza sobre quem de fato é a “média


Calculando o Intervalo de Confiança

Amostras=1000

Média=168

Desvio=4

Nível de confiança=95%

α = 0.05

P=1- α = 0.95

Probabilidade{ 167.75 ≤ µ ≤ 168.25 } = 0.95

Ou “a mulher brasileira tem entre 167.75 e 168.25 de

altura com probabilidade de 95%”

52


Exemplo

Um modelo de um canal de comunicação de uma RC foi simulado para se obter o tempo médio de transmissão de pacotes (microsegundos). Os valores encontrados em 10 simulações realizadas foram:

9,252; 9,273; 9,413; 9,198; 9,532

9,355; 9,155; 9,558; 9,310; 9,269

Deseja-se encontrar o tempo médio de transmissão dos pacotes e o intervalo de confiança para um nível de confiança igual a 95%.

Exemplo

Temos:

n = 10

NC = 95% = (100- )% => =0.05

Da distribuição t, para /2=0,025, com 9 graus de liberdade

t ( /2, n-1) = t (0,025, 9) = 2,26

=> xm =9,331

=> s2 = 0,018

Então:

xm ± w = 9.331 ± 0.096

i = 1

nxm = 1/n xi

i=1

ns2 = 1/(n-1) (xi - xm )2

9,235 9,331 9,427

xm

<= =>

Calculando o Intervalo de Confiança

é um valor tabelado, baseado na distribuição Normal Reduzida N(0,1)

s é o desvio padrão da amostra

n é o tamanho da amostra

57


Tamanho da Amostra59

Quantas observações são necessárias para obtermos

uma precisão de r% com um nível de confiança de

100(1- α)%?

O intervalo de confiança deve ficar entre

Quantidade de repetições:

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