Automi suoggettiinfiniti

Automata on infinite objects

Amedeo Leo1 Simone Romano1

1Università degli Studi di Salerno

Seminario Automi Linguaggi e Complessità - 2014/2015

Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 1 / 40

1 Introduzione

2 Automi su parole infinite

3 Automi ad albero

4 Conclusioni


Outline

1 Introduzione


3 Automi ad albero

4 Conclusioni


Perchè studiare la teoria degli automi?

È alla base di vari rami dell’informaticaOrigine della scienza dell’informazione

I Turing machine

Teoria dei compilatoriModel checking

I Büchi automata, Rabin tree automata

Elaborazione dei dati sul Web (XML document)Nota: Sebbene più astratta rispetto ai linguaggi di programmazione, la teoriadegli automi riflette l’essenza della computazione


Contesto storico

1930s: Turing machines (A. Turing)

1940s-1950s: Automi a stati finiti (W. McCulloch,W. Pitts, S. Kleene, etc.), Chomsky

hierarchy (N. Chomsky)

1960s-1970s: Pushdown automata (A.G. Oettinger, M.P. Schutzenberger), Büchi

automata over ω-words (J. R. Büchi ), Rabin tree automata over ω-trees (M. O. Rabin),

Tree automata (J. E. Doner, J. W. Thatcher, J. B. Wright, etc.)

1980s-1990s: ω-automata applied to formal verification (M. Vardi, P. Wolper, O.

Kupferman, etc.)

2000s-2010s: Automata over unranked trees applied to XML (A. Bruggemann-Klein,

M. Murata, D. Wood, F. Neven, etc.), Visibly pushdown automata (R. Alur, P. Madhusudan)


Notazioni

A, A*, Aω: alfabeto finito, insieme di parole finite, insieme diω-sequenze su Aω-word: α(0)α(1)... con α(i) ∈ Asottostringa finita di ω: α(m,n) := α(m)...α(n − 1) for m ≤ nsottostringa infinita di ω: α(m, ω) := α(m)α(m + 1)...

Wω = α ∈ Aω | α = w0w1... con wi ∈W per i ≥ 0−→W = α ∈ Aω | ∃ωn α(0,n) ∈W In(σ) = s ∈ S | ∃ωn α(0,n) ∈ S


Outline

1 Introduzione

2 Automi su parole infiniteAutomi di BüchiAltri modelli di automiCalcolo delle sequenzeContext-free ω-languages

3 Automi ad albero

4 Conclusioni


Definizione

Un automa di Büchi sull’alfabeto A è della forma:

A = (Q, q0, ∆, F )

Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Q∆ ⊆ QxAxQF ⊆ Q: insieme di stati finali


Definizione - 2

RunData una ω-word α(0)α(1)... sul Aω, una run di A è così definita:

sequenza di stati σ = σ(0)σ(1)... tale cheI σ(0) = q0I (σ(i), α(i), σ(i + 1)) ∈ ∆ for i ≥ 0

Successful runData una ω-word una successful run di A è così definita:

In(σ) ∩ F 6= ∅ - ’Qualche stato di F occorre infinite volte’


ω-linguaggio - Büchi riconoscibile

ω-linguaggio di AA accetta α se esiste una successful run di A su αL(A) = α ∈ Aω | A accetta α

Nota: Un ω-linguaggio regolare contiene una ω-word finale periodica

Büchi riconoscibileSe L = L(A) per qualche automa di Büchi A allora L è Büchi -riconoscibile


Esempio

Dato l’alfabeto A = a,b,c ed L1 ⊆ Aω:α ∈ L1 ⇔ dopo ogni occorrenza di a c’è qualche occorrenza di bAω − L1 è riconosciuto dall’automa in figura 2


Büchi riconoscibile - 2

Dato un automa di Büchi AData una parola finita w = a0...an−1

Se esiste una sequenza di stati s0, ..., sn tale ches0 = s(si ,ai , si+1) ∈ ∆ per i < nsn = s′

Allora scriviamo:

s −→w

s′

Definiamo:

Wss′= w ∈ A∗ | s −→w

s′

Wss′ è regolare.


Büchi riconoscibile - 2

AccettazioneL’ω-linguaggio riconosciuto da un automa di Büchi A è della forma:

L(A) =⋃

s∈F Wq0s · (Wss)ω

TeoremaUn ω linguaggio L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile⇔ L è un’unione finita diinsiemi U · Vω, dove U,V ⊆ A∗ sono insiemi regolari di parole finite.

LemmaSe V ⊆ A∗ è regolare allora Vω è Büchi riconoscibileSe U ⊆ A∗ è regolare ed L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile allora U · L èBüchi riconoscibileSe L1,L2 ⊆ Aω sono Büchi riconoscibili allora L1

⋃L2 ed L1

⋂L2 sono

Büchi riconoscibili


ω - regular expression

Dato un ω-linguaggio L, la sua rappresentazione nella forma:

L =⋃n

i=1 Ui · Vωi

dove Ui e Vi sono definiti da espressioni regolari, è definitaespressione ω-regolare

È quindi possibile definire un automa di Büchi a partire da unaespressione ω-regolare e viceversaLinguaggio ω-regolare: ω-linguaggio riconosciuto da un automa diBüchi


Complemento

Problema del vuoto è decidibileIl complemento è un problema non banale

I Se L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile, allora lo è anche Aω-L. A partireda L si può costruire un automa di Büchi che riconosce Aω − L

(Caso non deterministico!)


Complemento - dim

La relazione

u ∼A v ⇔ ∀s, s′ ∈ Q(s −→u

s′ ⇔ s −→v

s′ e s F−→u

s′ ⇔ s F−→v

s′)

ci consente di riscrivere L ed Aω-L con la stessa notazione.Nota: ∼ è di indice finito data la finitezza di Q.

∀ coppia di classi ∼A U,V: se U · Vω⋂

L(A) 6= ∅, alloraU · Vω ⊆ L(A)

I Vale anche per il complemento

Data ∼A, ∀ω-word α esistono delle ∼ classi U,V tali che α ∈ U ·Vω


Complemento - dim - 2

Una congruenza ∼ su A∗ satura L ⊆ Aω seU · Vω

⋂L 6= ∅ ⇒ U · Vω ⊆ L ∀ coppia di ∼ classi U,V

Se ∼ satura L ed è di indice finito, alloraL =

⋃U · Vω | U,V sono ∼-classi, U · Vω

⋂L 6= ∅

L’inclusione ⊇ deriva dalla notazione di saturazione, mentre la ⊆deriva dal punto 2 del teorema precedente.

Note:∼ ha indice finito; ∼ classi regolari la cui unione è finita⇒ L èregolarePoichè la congruenza satura il complemento, anche ilcomplemento è regolare.


Automi di Büchi deterministici

ComplementoGli automi di Büchi deterministici non sono chiusi rispetto alcomplemento.

Dato il linguaggio W ⊆ A∗ riconosciuto da un automadeterministico, definiamo

I−→W = α ∈ Aω | ∃ωn α(0,n) ∈W

è riconosciuto da un automa di Büchi

Nota: Un ω-linguaggio L ⊆ Aω è riconosciuto da un automa diBüchi deterministico⇔ L =

−→W per un insieme regolare W ⊆ A∗

Non essendo tutti di questa forma la chiusura del complementofallisce.


Automa di Muller

Un automa di Muller sull’alfabeto A è della forma

A = (Q,q0, δ,F )

Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Qδ : QxA→ QF ⊆ 2Q: insieme di stati finali

Successful run: un sottoinsieme di stati in F occorre infinitevolteAccettazione di α: la run dell’automa su α è successfulMuller-riconoscibile: ω-word accettate da un automa di Muller

Teorema di McNaughton’s: Un ω-lingugaggio è regolare (Büchiriconoscibile)⇔ è Muller riconoscibile.


Automa di Rabin

Un automa di Rabin sull’alfabeto A è della forma

A = (Q,q0, δ,Ω)

(Q,q0, δ) come MullerΩ = (L1,U1), · · · , (Ln,Un) è una collezione di coppie accettanti

Successful run: In(σ)⋂

Li = ∅ e In(σ)⋂

Ui 6= ∅Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful


Introduzione al calcolo delle sequenze

L’automa di Büchi può essere utilizzato per risolvere problemilegati al calcolo delle sequenzeBüchi ha mostrato che ogni condizione su una sequenza puòessere riformulata come un problema di accettazione di unasequenza da un automa


S1S

A: alfabeto finito di simboliS1SA:

I primo termine = 0I successori costruiti dalle variabili x, y,... applicando la funzione +1I funzioni atomiche: t1 = t2, t1 < t2, t1 ∈ X , t1 ∈ Qa

F t1, t2 sono terminiF X è una variabile al secondo ordineF Qa è un simbolo di predicato unario (uno per ogni a ∈ A)

I le formule di S1SA si ottengono dalle formule atomiche applicandogli operatori ¬,∧,∨ ed i quantificatori ∀,∃


Relazione Büchi - S1S

Possiamo rappresentare ogni ω-word α ∈ Aω come

α = ω,0,+1, <, Qaa∈A

doveω: insieme dei naturali0: naturale 0+1: funzione di successione<: relazione di ordinamentoQa = i ∈ ω | α(i) = a ∀a ∈ ALa verità di una formula S1S è decidibile.

Teorema di Büchiun ω-linguaggio è definibile in S1S sse è regolare.


Context-free ω-languages

Grammatiche per ω-wordsUna grammatica context-free sull’alfabeto A con variabili (non terminali)x1, · · · , xn è data da una n-upla (G1, · · · ,Gn) di insiemi finitiGi ⊆ (A

⋃x1, · · · , xn)∗, dove w ∈ Gi se xi → w è una produzione di G.

EsempioG0 : x1 → x2x1, x2 → ax2b | ab.

Esempi di derivazioni:

x1 → x2x1 → abx1 → abx2x1 → ababx1 → ababx2x1 → · · ·

genera l’ ω-word (ab)ω.

x1 → x2x1 → abx1 → abx2x1 → abax2bx1 → abaax2bbx1 →abaaax2bbbx1 → · · · genera l’ ω-word abaω.


A∞

Se la produzione x1 contiene variabili terminali:la grammatica può generare anche parole di lunghezza finita

Parliamo di A∞ quando, data una grammatica G, consideriamo le soleω-word generabili

scartiamo quelle di lunghezza finita (se generabili)


Algebrico

Definizioni(a) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è algebrico se contiene tutte le

parole infinite generabili da una cfg G.(b) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è context-free se esiste una cfg G e

un insieme di variabili F di G tali che L consiste di tutte le paroleinfinite generate da x1 con una leftmost dove le variabili usateinfinitamente spesso formano un insieme in F.


Outline

1 Introduzione


3 Automi ad alberoIntroduzioneEsempi

4 Conclusioni


Tree automata - 1

A = f, g, c

A-valued treemap t : dom(t) → A

chiuso sotto la notazione di prefisso

soddisfa l’implicazione

wj ∈ dom(t), i < j ⇒ wi ∈ dom(t)

frontiera di t: fr(t) = w ∈ dom(t) | ¬∃i wi ∈ dom(t)frontiera esterna: fr+(t) = wi /∈ dom(t) | w ∈ dom(t) ed i < k (k = numero di figli)


Tree automata - 2

Informalmente:prende un A-valued binary treeinizia la computazione alla radice partendo dallo stato inizialevisita parallelamente i vari cammini dell’albero percorrendo coppiedi statiun automa ad albero accetta un albero t se c’è una runsuccessfuluna run è successful se tutti i cammini dell’albero rispettano lacondizione di accettazione dell’automa


Tree automata - def. formale - 1

Un automa ad albero (non deterministico, top-down) su A è nellaforma:

A = (Q, q0, ∆, F )

Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Q∆ ⊆ QxAxQxQF ⊆ Q: insieme di stati finali


Tree automata - def. formale - 2

Run di A su un albero binario finito t :albero r :dom+(t)→ Q dove

I r(ε) ∈ Q0I (r(w), t(w), r(w0), r(w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ dom(t)

Una run è successful se:r(w) ∈ F ∀w ∈ fr+(t)

Il linguaggio dell’albero T(A) riconosciuto da A:insieme di alberi t che portano A a percorrere una successful run

T riconoscibile:T = T(A) per qualche A


Automi su alberi infiniti

Due esempi di Tree automata infiniti sono rappresentati da:Büchi Tree automataRabin Tree automata


Büchi tree automaton

Un automa di Büchi ad albero su A è nella forma:

A = (Q, q0, ∆, F )

Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ Q∆ ⊆ QxAxQxQF ⊆ Q: insieme di stati finali

Run di A su un albero t ∈ TωA :

mappa r :0,1∗ → Q doveI r(ε) ∈ q0I (r(w), t(w), r(w0), r(w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ 0,1∗

Una run è successful se:∀ path π, In(r |π)

⋂F 6= ∅


Rabin tree automaton

Un automa di Rabin ad albero su A è nella forma:

A = (Q, q0, ∆, Ω)

Q = insieme di statiq0 = stato iniziale ∈ QF ⊆ Q: insieme di stati finaliΩ(L1,U1), · · · , (Ln,Un) è un insieme di coppie accettanti

Una run è successful se:∀ path π ∃i ∈ 1, · · · ,n con

I In(r |π)⋂

Li = ∅ e In(r |π)⋂

Ui 6= ∅


Accettazione

Un albero t ∈ TωA :

accettato da Büchi : "run successful" secondo Büchiaccettato da Rabin: "run successful" secondo Rabin

Un insieme T ⊆ TωA è:

Büchi riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa diBüchiRabin riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa diRabin

Nota:Automa di Büchi ⊆ Automa di Rabin (Ω = (∅,F ))⇒ Ogni Tω

A Büchi riconoscibile è anche Rabin riconoscibile.


Varianti di Rabin

MullerΩ rimpiazzato dall’insieme di stati Faccettazione: ∃ una run r t.c. ∀π, In(r |π) ∈ F

Streett∀ path π ∃i ∈ 1, · · · ,n con

In(r |π)⋂

Ui 6= ∅ ⇒ In(r |π)⋂

Li 6= ∅


Outline

1 Introduzione


3 Automi ad albero

4 Conclusioni


Riepilogo

Argomenti trattati:ω-wordAutomi di Büchi

I ω-linguaggioI Espressioni ω-regolariI Problema del vuotoI Complemento

Automi di Muller - Rabinω-linguaggi Context-FreeAutomi ad albero


Argomenti non trattati

Condizioni di accettazione e gerarchia di BorelComplemento e determinazione dei giochiModelli di automi per sistemi temporizzati

I Timed automata

Automi su alfabeti infiniti


Riferimenti

Automata on Infinite Objects - http://ki-www.inferenzsysteme.informatik.tu-darmstadt.de/fgdi3/2007/Material/Paper/Thomas_Automata.pdf

Automata theory and its applications -http://lcs.ios.ac.cn/~wuzl/pub/lecture-01.pdf

Linguaggi formali, automi e logiche - https://users.dimi.uniud.it/~angelo.montanari/automi.pdf


http://ki-www.inferenzsysteme.informatik.tu-darmstadt.de/fgdi3/2007/Material/Paper/Thomas_Automata.pdf



http://lcs.ios.ac.cn/~wuzl/pub/lecture-01.pdf

https://users.dimi.uniud.it/~angelo.montanari/automi.pdf

https://users.dimi.uniud.it/~angelo.montanari/automi.pdf

Automi suoggettiinfiniti

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