AUTOMATSKO UPRAVLJANJE Naser M. Prljača Univerzitet u Tuzli, Oktobar, 2005
Oct 30, 2014
AUTOMATSKO UPRAVLJANJE
Naser M. Prljača
Univerzitet u Tuzli, Oktobar, 2005
Uvod
Definicija:
Teorija automatskog upravljanja se bavi analizom i sintezom sistema upravljanja u cilju
postizanja ţeljenog dinamičkog ponašanja fizičkog sistema. Potrebe za automatskim
upravljanjem su prisutne u svim sferama ljudske djelatnosti od regulacije temperature u sobi
do upravljanja letom svemirskih letjelica.
Teorija automatskog upravljanja se bazira na:
- Teoriji signala i sistema
- Komunikacionoj teoriji
- Tehnikama vještačke inteligencije
- Tehnikama softverskog i hardverskog inţenjeringa
U opštem slučaju problem automatskog upravljanja se moţe predstaviti kao na slici
Slika 1.
i formulisati:
naći ulaz u(t) takav da izlaz iz procesa y(t) bude što je moguće "bliţi" ili jednak ţeljenom
izlazu yd(t).
Na slici 2 su prikazani y(t) i yd(t)
Izlaz je neka fizička veličina. Kada u(t) narinemo na sistem, izlaz sistema treba da bude što
bliţe ţeljenom izlazu yd(t).
Slika 2.
U opštem slučaju proces koji se upravlja je opisan diferencijalnom jednačinom kretanja.
Slika 3.
Diferencijalne jednačine koje predstavljaju modele nekog stvarnog procesa se dijele na:
- Obične diferencijalne jednačine
- Parcijalne diferencijalne jednačine
U opštem slučaju problem automatskog upravljanja moţe biti riješen na jedan od dva načina
(ako je rješenje uopšte moguće):
1. upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi (Open Loop Control)
2. upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi (Closed Loop Control)
Upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi
Problem upravljanja u otvorenoj povratnoj sprezi se svodi na nalaţenje upravljačkog
signala u = u (t) u funkciji vremena i samo u funkciji vremena koji osigurava da izlazni signal
y(t) prati što je moguće bolje ţeljeno yd(t).
Primjer:
Potrebno je izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze
projektile iz skladišta do aviona lovca.
Slika 4.
Pri rješavanju ovog problema treba slijediti slijedeće korake:
1. definisati matematički model sistema (jednačina kretanja kolica u zavisnosti od sile)
2. postavljanje specifikacija (zahtjeva) na ţeljeno ponašanje sistema (kako hoćemo da
kolica odu do aviona.
Konkretno za ovaj primjer potrebno je zadovoljiti slijedeće početne uslove:
0)0( x pozicija
0)0( dt
dx brzina
i krajnje uslove:
LTx )( pozicija
0)( Tdt
dx brzina
Postoji neograničen broj načina da se ovi uslovi zadovolje kao npr na slici 5.
Slika 5.
Izaberimo rješenje koje za najmanje vrijeme preĎe udaljenost L. To rješenje implicira da će
kolica u prvoj polovini puta maksimalno ubrzavati, a u drugoj maksimalno usporavati.
Slika 6. ubrzanje
Slika 7. brzina
Slika 8. pozicija
tt
AtAdtdttatvdt
tdx
00
)()()(
za 2/0 Tt
AtATAdtAdttv
t
T
T
2/
2/
0
)( za TtT 2/
2)()(
2Atdttvtx za 2/0 Tt
2/
0 2/
)()()(
T t
T
dttvdttvtx za TtT 2/
224)(
222 AtATt
ATATtx
za 4
)()(2AT
txLTxTt
Jednačina kretanja sistema je:
)(2
2
0 tFdt
xdm ;
TtTAm
TtAmtF
2/,
2/0,)(
0
0
Da bi odredili F moramo znati 0m i A.
Masa se kreće u odreĎenim granicama pa se moţe pisati: mmm 0 gdje je Mm ||
Parametre sistema ne moţemo tačno znati. Ubrzanje A se uzima iz kataloga (ubrzanje motora)
i nije 100% tačno.
Prema tome diferencijalna jednačina realnog sistema je:
)()(2
2
0 tFdt
xdmm
gdje je sa m označeno odstupanje u masi i moţe biti pozitivno ili negativno.
Prema tome, unutar vremena 2/0 Tt , sistem se moţe opisati slijedećom diferencijalnom
jednačinom:
Amm
m
dt
xd
0
0
2
2
Odstupanje m unosi odstupanja u konačnoj poziciji kolica za neko L kao na slijedećoj slici
Slika 9. odstupanja pozicije od ţeljene
Pored razmatranih promjena parametara sistema, na sistem uvijke djeluju slučajne vanjske
smetnje (npr. u ovom slučaju vjetar).
Jednačina koja bi opisala ovakav sistem je slijedeća:
)()()(2
2
0 ttFdt
xdmm
gdje je sa )(t označena slučajna vremenska smetnja.
Očigledno je da ovakav način upravljanja u otvorenoj sprezi upravlja pozicijom kolica samo u
idealnom slučaju tj. kada nema promjena parametara sistema i kada na sistem ne djeluju
vanjske smetnje. Nalaţenje upravljačkog signla )(tF je bilo bazirano na poznavanju modela
sistema i njegovih početnih uslova. Prema daljoj analizi se moglo zaključiti da je svaki model
sistema bolja ili lošija aproksimacija stvarnog ponašanja. Na prethodnom slučaju to je
dokazano na primjeru promjene ili nepoznavanja apsolutne mase kolica. Pored toga, na sistem
uvijek djeluju i vanjske smetnje, pa se moţe zaključiti da su sistemi sa upravljanjem u
otvorenoj sprezi ograničene tačnosti.
Upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi
Za razliku od upravljanja sa otvorenom povratnom spregom, upravljanje sa
zatvorenom povratnom spregom zahtijeva nalaţenje upravljanja u(t) koje je funkcija i
stvarnog izlaza iz sistema y(t).
Slika 10. sistem sa zatvorenom pov. spregom
U najčešćem broju slučajeva signal povratne sprege y(t) se koristi za nalaţenje razlike izmeĎu
ţeljenog i stvarnog stanja (izlaza) sistema. Razlika izmeĎu ţeljenogi i stvarnog stanja se
naziva greška odstupanja.
Slika 11. greška odstupanja
Kao što se moţe vidjeti sa slike 11 upravljanje u(t) je funkcija greške. Ţelimo postići što
manje e(t) tj. omogućiti da 0)( te .
Primjer:
Potrebno je izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze
projektile iz skladišta do aviona lovca korištenjem upravljanja u zatvorenoj sprezi.
Najprije se razvije odgovarajući matematički model sistema tj. postave se diferencijalne
jednačine koje opisuju ponašanje sistema.
)(2
2
0 tFdt
xdm
Izlaz sistema predstavlja poziciju kolica.
Krajnji uslovi:
LTx )(
0)( Tdt
dx
neka je upravljačka sila F(t) generisana na slijedeći način:
dt
dxKtxLKtF dp ))(()(
Dakle, upravljačka sila F(t) je funkcija pozicije i brzine gdje su pK i dK konstante.
Prema tome, dobija se slijedeća diferencijalna jednačina:
LKtxKdt
dxK
dt
xdm ppd )(
2
2
0
odnosno
Ltxdt
dx
K
K
dt
xd
K
m
p
d
p
)(2
2
0
Rješavanjem prethodne jednačine dobijamo poziciju kolica. Stacionarno stanje (svi izvodi su
nule) daje LTx )( . Prema tome na ovaj način je osigurano da kolica u trenutku T signu u
poziciju L.
Iz prethodnog primjera uočavaju se najvaţnije prednosti povratne sprege (feedback):
- promjena mase ne utiče na stacionaro stanje
- stacionarno stanje ne zavisi od početnih uslova
- sistem je manje osjetljiv
- vanjska smetnja )(t se smanjuje u ovisnosti o parametru pK
Prema tome, sistem sa povratnom spregom se vrlo efikasno nosi sa poremećajima tipa:
- početnih uslova
- promjenama parametara sistema
- djelovanjem vanjskih slučajnih smetnji
Slika 12.
Historija automatskog upravljanja
1. Sistem sa centrifugalnim regulatorom vrtnje parne mašine
Slika 13. Wattov sistem aut. upravljanja
2. Elektronsko pojačalo
Slika 14. el. pojačalo
Ulaz i izlaz su povezani jednačinom:
ulizl Auu
ako nema povratne sprege pojačanje A se mijenja. Bode je 1927. uveo koncept povratne
sprege. U slučaju upotrebe povratne sprege, pojačanje A je u širokom opsegu konstantno.
Pojačanje B u direktnoj grani se moţe mijenjati ali je pojačanje A konstantno.
3. Protivavionski top
Upravljačka šema rada protivavionskog topa je data na slici 15.
Slika 15. Protivavionski top
Radar mjeri poziciju aviona i šalje poziciju topu na dati ugao elevacije. Potenciometar u
povratnoj sprezi mjeri ugao elevacije cijevi topa.
Primjeri modernih sistema automatskog upravljanja
1. Sistem upravljanja automobilom
Slika 16.
2. Robotski manipulator
Slika 17.
3. Upravljanje proizvodnjom električne energije
Slika 18. multivarijabilni sistem
4. Ekonomski sistem – model sistema nacionalnog dohotka
Sistemom upravljanja u zatvorenoj sprezi se mogu modelirati i socijalni, ekonomski i politički
sistemi. Jedan takav primjer je model upravljanja nacionalnim dohotkom predstavljenim na
slici 19.
Slika 19. Model sistema nacionalnog dohotka
Dizajn upravljačkog sistema
Na slici 20. je prikazan tipičan primjer sistema sa zatvorenom povratnom spregom.
Slika 20.
Inţenjerski dizajn je centralni zadatak svakog inţenjeringa. Dizajniranje je kompleksan proces
u kojem analiza i kreativnost igraju centralnu ulogu. Proces dizajniranja se u opštem slučaju
moţe predstaviti pomoću dijagrama toka kao na slici 21.
Svakako najveći izazov koji se postavlja pred dizajnera je pisanje specifikacija za tehnički
proizvod. Specifikacije definišu svrhu i način rada sistema. Obično proces dizajniranja
pretpostavlja izbor kompromisa izmjeĎu različitih konfliktnih kriterija postavljenih na sistem.
Problem dizajniranja sistema upravljanja se moţe formulisati i na slijedeći način:
Dat je model sistema, senzora, aktuatora i skupa ciljeva sistema. Problem se svodi na
nalaţenje odgovarajućeg kontrolera koji postiţe ciljeve sistema ili utvrdi da to nije moguće.
Slika 21. Procedura dizajniranja sistema upravljanja
Primjeri dizajna sistema upravljanja
Dizajn sistema za pokretanje magnetnog diska u otvorenoj sprezi
Slika 22. upravljanje brzinom diska
U ovom primjeru upravljanja u otvorenoj sprezi DC pojačavač ima ulogu regulatora.
DC motor ima ulogu aktuatora, a sam proces je disk koji se vrti odreĎenom ugaonom
brzinom. Naponski izvor obezbjeĎuje napon proporcionalan ţeljenoj brzini obrtanja diska.
Ovaj napon se dalje pojačava i vodi istosmjernom (DC) motoru koji okreće disk. Ovaj sistem
se moţe predstaviti blok dijagramom kao na slici 23.
Slika 23. blok dijagram sistema upravljanja diskom
Ovakav sistem ne moţe garantovati da će se disk okretati ţeljenom brzinom (promjena
parametara sistema, vanjska smetnja) te ovakvo rješenje ne moţe zadovoljiti ako se traţi
velika tačnost u brzini obrtanja diska.
Dizajn sistema upravljanja brzinom magnetnog diska u zatvorenoj povratnoj sprezi
Ovo rješenje koristi povratu informaciju o stvarnoj brzini obrtanja diska, te
omogućava precizniju kontrolu brzine.
Slika 24. upravljanje brzinom diska u zatvorenoj sprezi
U ovom slučaju koristimo tahogenerator koji na svom izlazu daje napon proporcionalan
stvarnoj brzini obrtanja diska, pa se na taj način dobija povratna informacija o stvarnoj brzini
diska. Izlaz iz tahogeneratora se vodi na komparator gdje se vrši oduzimanje signala ţeljene i
stvarne vrijednosti i na taj način formira signal greške koje se dalje vodi na pojačavač. Ovaj
sistem se moţe predstaviti blok dijagramom kao na slici 25.
Slika 25. blok dijagram sistema upravljanja diskom u zatvorenoj sprezi
Matematičko modeliranje fizičkih sistema
Da bi razumjeli i upravljali sloţenim sistemima, prvo moramo doći do kvantitativnih
matematičkih modela sistema.Oni nam sluţe da bi analizirali relacije (veze) izmeĎu
relevantnih varijabli u sistemu. Kako su sistemi koje razmatramo dinamički, njihovi modeli su
u formi diferencijalnih jednačina. Rješavanjem dobijenih diferencijalnih jednačina dobijaju
se veze izmeĎu varijabli sistema.
Matematičko modeliranje sloţenih sistema se bazira na primjeni relevantnih fizičkih
zakona na dati sistem. Ova primjena vodi diferencijalnim jednačinama kretanja datog sistema.
U opštem slučaju jednačine kojima opisujemo sisteme mogu biti u slijedećoj formi:
1. algebarske ili statičke 0),( yxf
2. obične diferencijalne jednačine. U ovom slučaju imamo izvode po jednoj
promjenljivoj 0))(),(,...,,( )1()( tutxxxf nn . Ovakve jednačine opisuju sisteme sa
koncentrisanim parametrima. Varijable su funkcije vremena i nema prostornih
koordinata. Obične diferencijalne jednačine se mogu podijeliti na linearne i
nelinearne. Linearne diferencijalne jednačine se predstavljaju u formi:
)()(... 01
)1(
1
)(
tutxadt
xda
dt
xdn
n
nn
n
U opštem slučaju rješenje diferencijalne jednačine se sastoji iz homogenog dijela i
partikularnog dijela. Homogeni dio rješenja je posljedica početnih uslova (početno
energetsko stanje). Linearne diferencijalne jednačine mogu biti sa konstantnim ili sa
promjenljivim koeficijentima ( koeficijenti su funkcije vremena a = a(t)). Sistemi
opisani linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima se
nazivaju linearni vremenski invarijantni sistemi (tzv. LTI sistemi).
3. parcijalne difrencijalne jednačine npr. 02
t
u
yx
u, gdje je ),,,( tzyxuu . Sistemi
sa distribuiranim parametrima se opisuju parcijalnim diferencijalnim jednačinam.
Parametri su pored vremena ovisni i o prostornim koordinatama.
Slika 26.
Pored izgradnje matematičkog modela pomoću diferencijalnih jednačina, model sistema se
moţe dobiti i tzv. eksperimentalnom identifikacijom podesnom za kompleksne sisteme. Za
dati ulaz se vrši snimanje vrijednosti izlaza te na osnovu odgovarajućeg postupka formira se
model sistema.
Primjer:
Naći diferencijalnu jednačinu kretanja sistema na slici 27.
Slika 27.
Postavljanjem strujnih i napomskih jednačina dobijamo:
)()( 111 teiR
dt
diLte oi
)()()( 321 tititi
dt
tdeC
R
teti oo )()()(
2
1
LC
tete
LCR
RR
dt
tde
LCR
CRRL
dt
ted i
o
oo )()(
)()(
2
21
2
21
2
2
zamjenama:
LCR
RRao
2
21 i LCR
CRRLa
2
211
prethodna jednačina prelazi u slijedeći oblik:
LC
tetea
dt
tdea
dt
ted ioo
oo )()(
)()(12
2
S obzirom da su koeficijenti u ovoj diferencijalnoj jednačini konstantni, moţe se zaključiti da
se radi o linearnom vremenski invarijantnom sistemu.
Primjer:
Potrebno je naći matematički model mehaničkog sistema predstavljenog na slici 28.
Sa oznakom B je označen tzv. prigušivač. Ovaj parametar modeluje viskozno trenje koje
postoji u većini mehaničkih sistema. Ovaj koeficijent predstavlja odnos izmeĎu sile viskoznog
trenja i brzine kretanja: .
xBF
Sa oznakom k je obiljeţena konstanta opruge. Ovaj parametar modeluje elastična svojstva
sistema. Parametar k se moţe posmatrati i kao odnos izmeĎu djelujuće sile i relativnog
istezanja opruge:
kxF
Slika 28.
Sistem na slici 28 se moţe opisati slijedećim diferencijalnim jednačinama:
)()()( 1211
.
2
.
112
1
2
1 tFxxKxxBdt
xdm
)()()( 2222
221121
12
2
2
2 tFxKdt
dxBxxK
dt
dx
dt
dxB
dt
xdm
Prema tome, sistem sa slike 28 se moţe predstaviti sistemom linearnih diferencijalnih
jednačina sa konstantnim koeficijentima.
Primjer:
Naći jednačine kretanja sistema datih na slikama 29 i 30.
Slika 29. Slika 30.
Brzinu kretanja će se označiti sa v (.
xv ), pa se mehanički sistem na slici 29. moţe opisati
slijedećom jednačinom:
)(2
2
tFKxdt
dxB
dt
xdm
odnosno
)(tFvdtKBvdt
dvm
t
S druge strane, električni sistem sa slike 30. se moţe predstaviti slijedećom jednačinom:
321 iiii
odnosno
)(1
tiudtLR
u
dt
duC
t
gdje je sa u označen napon na krajevima elemenata.
PoreĎenjem dobijenih diferencijalnih jednačina mehaničkog i električnog sistema moţe se
zaključiti da izmeĎu njih postoji analogija.
Zaista, slijedećim zamjenama:
)()( titF , Cm , R
B1
, uv i L
K1
jednačina kretanja mehaničkog sistema postaje jednačina kretanja električnog sistema.
Prema tome, moţe se zapaziti da se svi dinamički sistemi sastoje od 3 tipa elemenata:
1. disipativni elementi, tj. elementi na kojima se bespovratno gubi energija u vidu
toplote.
2. elementi koji predstavljaju gomilišta kinetičke energije
3. elementi koji predstavljaju gomilišta potencijalne energije
Analogija izmeĎu veličina omogućava generalisanje, odnosno izvoĎenja diferencijalnih
jednačina primjenjivih na mehaničke, električne, termičke, hidrauličke i druge sisteme.
Analogija izmeĎu mehaničkih i električnih sistema je predstavljena u tabeli na slici 31.
R
u
R
VVi
12
BR
1
vu
Fi
BvvvBF )( 12
12 VVu
dt
diLu
Fi
vu
KL
1
12 vvv
dt
dF
Kv
1
12 VVu
dt
duCi
mC
Fi
vu
dt
dvmF
Slika 31. Analogija mehaničkih i električnih sistema
Rješavanje matematičkih modela dinamičkih sistema
Linearni vremensko invarijantni sistemi se opisuju linearnim diferencijalnim
jednačinama sa konstantnim koeficijentima tj.
)(...)(
)(...)()(
001
1
1 tubdt
tudbtya
dt
tyda
dt
tydm
m
mn
n
nn
n
Gdje su:
01021 ,...,,,,...,, bbbaaa mmnn
konstantni koeficijenti.
Ulaz u sistem se obiljeţava sa u(t), izlaz sa y(t), n predstavlja red sistema i za svaki fizički
sistem vrijedi mn .
Svaki realni dinamički sistem se ponaša kao niskopropusni (NF) filter.
Za sistem n-tog reda imamo ukupno n početnih uslova:
0)0( yy , 0)0( yy ,..., )1(
0
)1( )0(
nn yy
Rješavanje linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima
Linearne diferencijalne jednačine se mogu rješavati na više načina:
- Metoda varijacije konstanti
- Laplace-ova transformacija
Da bi se na fukciju f(t) moga primijeniti Laplace-ova transformacija moraju biti ispunjeni
slijedeći uslovi:
0),(
0,0)(
ttf
ttf
i integral
0
|)(| dtetf t mora konvergirati za neko realno pozitivno .
Prema tome, za funkciju f(t) koja zadovoljava navedene uslove Laplace-ova transformacija se
definiše kao:
dtetfsF st
0
)()( L{f(t)}
Inverzna Laplace-ova transformacija se definiše kao:
L-1
{F(s)}=
j
j
stdsesFj
)(2
1
Osnovne osobine Laplace-ove transformacije:
L )()()}()({ 2121 sGasFatgatfa
L )0()(})(
{ fssFdt
tdf
L )0(...)0()(})(
{ )1(1 nnn
n
n
ffssFsdt
tfd
L )()}({ sFetf s
Ls
sFdf
t)(
})({0
L )(*)(})()({0
sGsFdgtf
t
)(lim)(lim0
ssFtfst
)(lim)(lim0
ssFtfst
L )()}({ asFtfe at
Ln
nnn
ds
sFdtft
)()1()}({
Laplace-ove transformacije osnovnih funkcija
U slijedećoj tabeli su date Laplace-ove transformacije često upotrebljavanih funkcija
Original Laplace-ova slika
Dirac-ov impuls: )(t
0,
0,0)(
t
tt , 1)(
dtt 1
Step funkcija: )(tu
0,1
0,0)(
t
ttu s
1
ate as
1
atnet 1)(
! nas
n
tcos 22 s
s
tsin 22
s
te at cos 22)(
as
as
te at sin 22)(
as
tt cos 222
22
)(
s
s
tt sin 222 )(
2
s
s
tte at cos ))((
)(22
22
as
as
Ukoliko je Laplace-ova slika )(sG racionalna funkcija kompleksne promjenljive u obliku:
0
1
1
0
1
1
...
...)(
asas
bsbsbsG
n
n
n
m
m
m
m
odnosno
))...((
...)(
1
0
n
m
m
ssss
bsbsG
tada je za nalaţenje inverzne Laplace-ove transformacije potrebno sliku G(s) rastaviti u
parcijalne razlomke (Hevisajdov razvoj) i na taj način svesti funkciju na sumu tabličnih
Laplace-ovih transformacija. Pri ovom postupku mogu se javiti slijedeći karakteristični
slučajevi:
- Svi polovi sistema (nule imenioca) su realni i jednostruki. Tada se funkcija G(s) moţe
prikazati u obliku:))...((
)(
)(
)()(
1 nssss
sQ
sP
sQsG
, pri čemu je: nsss ...21 .
Razvojem ove funkcije u parcijalne razlomke dobija se slijedeći izraz:
n
k k
k
n
n
n ss
k
ss
k
ss
k
ssss
sQsG
11
1
1
...))...((
)()(
gdje su kk , nk ...1 konstante koje se odreĎuju na slijedeći način:
n
n
kk
k
nk
kk kss
sskk
ss
ss
ssssss
sQsssGss
......
)()()(
)()()()( 1
11
odavde slijedi:
)())(()(
)(
)(
)()(lim
111 nkkkk
kk
ssk
ssssssss
sQ
sP
sQssk
k
Prema tome, vrijedi:
L-1
n
k
ts
k
n
k k
k kekss
k
11
}{
- Svi polovi sistema su jednostruki, ali postoji i konjugovano kompleksni polovi. Neka
vrijedi, radi jednostavnosti, *
12 ss , dok su ostali polovi prosti. Tada se funkcija G(s)
moţe predstaviti u obliku:
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
ss
k
sP
sQsG
...
)(
)()(
3
3
*
1
*
1
1
1
Neka je js 1 , jss *
12 , jbak 1 i jbak *
1 , tada se dobija:
n
k k
k
ss
k
js
jba
js
jbasG
3)()()(
SreĎivanjem prethodnog izraza dobija se:
n
k k
k
ss
k
s
b
s
sasG
32222 )(
2
)(
)(2)(
Prva dva člana prethodne sume se mogu pronaći u tabeli Laplace-ovih transformacija,
a treći član se svodi na prethodni slučaj, pa konačno, za inverznu Laplace-ovu
transformaciju se dobija:
g(t)= L-1
n
k
ts
k
tt kektbetaesG3
sin2cos2)}({
- Pored jednostrukih polova sistema, postoje i višestruki polovi sistema. Neka je pol 1s
višestrukosti 3, dok su ostali polovi jednostruki. Tada se funkcija G(s) moţe prikazati u
obliku:
n
k k
k
nss
k
ss
k
ss
k
ss
k
ssssss
sQ
sP
sQsG
41
13
2
1
12
3
1
11
4
3
1)()()()()()(
)(
)(
)()(
Konstante 1211,kk i 13k se mogu odrediti na slijedeći način:
n
k k
k
ss
kssssksskksGss
4
3
1
2
11311211
3
1 )()()()()(
Odavde slijedi:
)()(lim 3
1111
sGsskss
)()(lim 3
1121
sGssds
dk
ss
)()(lim2
1 3
12
2
131
sGssds
dk
ss
Inverzna Laplace-ova transformacija se dobija na slijedeći način:
)(tg L-1
n
k
ts
k
tststs kekekteketk
sG4
1312
211 111
2)}({
Primjena Laplace-ove transformacije na rješavanje linearnih diferencijalnih jednačina
Laplace-ova transformacija pruţa elegantan način rješavanja linearnih diferencijalnih
jednačina sa konstantnim koeficijentima. Ona prevodi problem iz vremenskog domena u
kompleksni domen, tj. diferencijalne jednačine prevodi u algebarske.
Opšta forma linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima je:
)(...)(
)(...)()(
001
1
1 tubdt
tudbtya
dt
tyda
dt
tydm
m
mn
n
nn
n
gdje su: 001 ,...,,...,, bbaa mn konstantni koeficijenti i vrijedi mn .
Neka su zadati početni uslovi:
)1(
01
1
00
)0(...,,
)0(,)0(
n
n
n
ydt
ydy
dt
dyyy
S obzirom da je:
L)1(
0
1 ...)0()(}{
nnn
n
n
yyssYsdt
yd
Primjenjujući Laplace-ovu transformaciju na cijelu jednačinu dobija se:
0
)1(
01
2
1
1
00
1
1 ...)(.........)( bsbsUyasasyasassY m
m
nn
n
nn
n
n
Dalje se moţe pisati:
0
1
1
)1(
0
0
1
1
0
......
1...
......
...)()(
asasy
asas
bsbsUsY
n
n
n
n
n
n
n
m
m
Ako prvi sabirak sa desne strane znaka jednakosti obiljeţimo sa IY , a ostale sa IIY , tada se
prethodna jednačine moţe kraće napisati u obliku:
III YYsY )(
IY predstavlja faktor djelovanja ulaza, a IIY je faktor djelovanja početnih usolva (akumulirane
energije u početnom trenutku).
Prenosne (transfer) funkcije linearnih sistema
Prenosna funkcija linearnog stacionarnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom
(tzv. SISO – Single Input Single Output) se definiše kao odnos Laplace-ovih funkcija izlaza i
ulaza sistema sa nultim početnim uslovima.
To znači da prenosna funkcija opisuje dinamiku sistema koji se posmatra tj. predstavlja
njegovu ulazno-izlaznu deskripciju (opis).
Linearni vremensko invarijantni sistem je opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom:
)(...)(
)(...)()(
001
1
1 tubdt
tudbtya
dt
tyda
dt
tydm
m
mn
n
nn
n
Primjenom Laplace-ove transformacije na prethodnu jednačinu uz nulte početne uslove dobija
se slijedeće:
0
1
10
1
1 ...)(...)( bsbsbsUasassY m
m
m
m
n
n
n
Odavde slijedi:
0
1
1
0
1
1
...
...
)(
)(
asas
bsbsb
sU
sYn
n
n
m
m
m
m
Odnos )(
)(
sU
sY se obiljeţava sa )(sG i naziva prenosna funkcija sistema.
Ako je poznata prenosna funkcija sistema i Laplace-ova transformacija ulaza tada se Laplace-
ova transformacija izlaza moţe dobiti na slijedeći način:
)()()( sUsGsY
Prenosna funkcija je racionalna funkcija promjenljive s i daje se u vidu količnika dva
polinoma:
)(
)()(
sP
sQsG
Polinom P(s) se naziva karakteristični polinom sistema, a jednačina 0)( sP se naziva
karakteristična jednačina sistema. Korijeni karakteristične jednačine se nazivaju polovi
sistema.
Korijeni jednačine 0)( sQ se nazivaju nule sistema.
Prenosna funkcija )(sG se često piše i u tzv. pol-nula formi:
)()(
)()()(
1
1
n
n
ssss
zszsKsG
Prenosna funkcija sistema G(s) moţe se pisati i u tzv. vremenska konstanta formi:
)1()1(
)1()1()(
1
1
ss
ssKsG
ana
bmb
Vaţno je napomenuti da prenosna funkcija sistema nosi kompletnu informaciju o sistemu,
odnosno o njegovom impulsnom odzivu. To znači da ako se sistem pobudi ulaznim Dirac-
ovim impulsom tada vrijedi:
)()( sGsY
jer je Laplace-ova transformacija Dirac-ovog impulsa 1. Ako se u ovom slučaju potraţi
inverzna Laplace-ova transformacija dobija se:
L-1
)}({ sY L-1
)()}({ thsG
i naziva se impulsni odziv sistema.
Proizvod Laplace-ovih transformacija u kompleksnom domenu je ekvivalentan konvoluciji
funkcija u vremenskom domenu. Prema tome,
)(*)()()()()( tutgtysUsGsY
dalje vrijedi:
tt
dutgdtugty00
)()()()()(
Prenosne funkcije nekih elementarnih sistema
U narednim primjerima biće izvedene prenosne funkcije nekih karakterističnih sistema
Slika 32. realni integrator
RCsRCssU
sU 1
1
1
)(
)(
1
2
)1( RC
Slika 33. realni diferencijator
RCsRCs
RCs
sU
sU
1)(
)(
1
2 )1( RC
Slika 34. Invertujuće pojačalo
2
1
1
2
)(
)(
R
R
sU
sU
Slika 35. Integrator sa operacionim pojačalom
RCssU
sU 1
)(
)(
1
2
Slika 36. Diferencijator sa operacionim pojačalom
RCssU
sU
)(
)(
1
2
Prenosne funkcije multivarijabilnih sistema
Prenosna funkcija multivarijabilnih sistema (MIMO – Multi Input Multi Output) dovodi u
vezu Lašlace-ovu transformaciju vektora ulaza i vektora izlaza sistema uz pretpostavku svih
nultih početnih uslova.
Slika 37. Multivarijabilni sistem
U ovom slučaju vrijedi:
)()()( sUsGsY
gdje je sa )(sY obiljeţena Laplace-ova transformacija vektora izlaza dimenzija (px1), sa
)(sU je obiljeţena Laplace-ova transformacija vektora ulaza dimenzija (rx1), a sa )(sG je
označena matrica dimenzija (pxr) i predstavlja prenosnu funkciju multivarijabilnog sistema.
prp
r
GG
GG
sG
1
111
)(
Koeficijent )(sGij u matrici )(sG predstavlja prenosnu funkciju izmeĎu j-tog ulaza i i-tog
izlaza kada su svi ostali ulazi nula.
Dijagram blokova
Grafički opis je vrlo pogodan način prezentacije dinamičkih sistema. Grafički opis daje jasnu
sliku svih komponenata u dinamičkom sistemu, te toka signala u sistemu. Takva prezentacija
sistema se naziva dijagram blokova. On moţe biti iskorišten za nalaţenje relacija izmeĎu
ulazno-izlaznih varijabli, odnosno prenosnih funkcija. Najjednostavniji mogući dijagram
blokova je primjer SISO sistema dat na slici 38.
Slika 38. dijagram blokova SISO sistema
Strelice u dijagramu blokova se koriste za označavanje toka signala.
Vidljivo je i osnovno pravilo dijagrama blokova: )()()( sUsGsY , tj. izlazni signal )(sY je
proizvod prenosne funkcije )(sG i ulaznog signala )(sU .
Osnovna struktura sistema sa povratnom spregom
Slika 39. Osnovna struktura sistema sa pov. vezom
Prenosna funkcija sistema na slici 39. se moţe odrediti na slijedeći način:
)()()()()()()( sGsYsHsUsGsEsY
dalje slijedi:
)()()(1
)(
)(
)()()()()(1)( sM
sHsG
sG
sU
sYsUsGsHsGsY
Prema tome prenosna funkcija sistema ima oblik:)()(1
)()(
sHsG
sGsM
Opšta struktura sistema sa povratnom spregom
Na slici 40. je predstavljena opšta struktura sistema upravljanja sa zatvorenom povratnom
spregom.
Slika 40.
U blok dijagramu na slici 40. upotrijebljene su slijedeće oznake:
)(sGr -prenosna funkcija regulatora (kontrolera) sistema
)(sGp -prenosna funkcija objekta upravljanja (opisuje dinamiku sistema)
)(sU -referentna (zadana) vrijednost
)(sY -izlaz sistema (upravljana varijabla)
)(sd -vanjska smetnja (slučajna i nemjerljiva)
Prenosna funkcija objekta upravljanja se obično sastoji od:
)(sGa - prenosna funkcija aktuatora
)(0 sG -prenosna funkcija procesa (dinamika sistema)
)(sGs -prenosna funkcija senzora
Sada se mogu formulisati osnovne uloge koje kontroler treba ostvariti:
1. Stabilizacija sistema. Sistem je stabilan ako ograničen ulaz uzrokuje ograničen izlaz
2. Poboljšanje tranzijentnog odziva sistema (ubrzavanje reakcije sistema)
3. Redukcija (ili eliminacija) greške u stacionarnom stanju
4. Redukcija (ili potpuna eliminacija) dejstva vanjske slučajne smetnje
Očito da sistem dat na slici 40. ima dva ulaza: )(sU i )(sd . Za izlaz sistema se moţe pisati:
)()()()( sLsUsMsY
prenosne funkcije )(sM i )(sL se mogu odrediti na slijedeći način:
- Neka je 0)( sd (SISO sistem) tada vrijedi:
)()()( sYsUsE
)()()()( sGsGsEsY pr
Eliminacijom )(sE iz prethodne dvije jednačine dobija se:
)()()(1
)()(
)(
)(sM
sGsG
sGsG
sU
sY
pr
pr
- Neka je sada 0)( sU , tada se )(sL moţe odrediti na slijedeći način:
)()()()( sYsGsdsF r
)()()( sFsGsY p
Eliminacijom )(sF iz prethodne dvije jednačine dobija se:
)()()(1
)(
)(
)(sL
sGsG
sG
sd
sY
pr
p
Sada na osnovu )()()()( sLsUsMsY vrijedi:
)()()(1
)()(
)()(1
)()()( sd
sGsG
sGsU
sGsG
sGsGsY
pr
p
pr
pr
Prenosna funkcija objekta upravljanja je fiksna i ne moţe se mijenjati. Mijenjati se moţe
transfer funkcija kontrolera )(sGr . Poţeljno je da 1)( sM što znači da će izlaz bolje pratiti
ulaz kad )(sM teţi 1 a to je slučaj ako je |)(| sGr 1, meĎutim povećavanjem pojačanja
kontrolera sistem se moţe dovesti u nestabilnost.
S druge strane analizirajući uticaj smetnje moţe se zaključiti da 0|)(| sL kad |)(| sGr .
Naravno, pojačanje kontrolera se ne moţe birati proizvoljno veliko. Nameću se slijedeća
ograničenja:
- Ekonomska isplativost
- Fizikalno je teško napraviti kontroler sa vrlo velikim pojačanjem
- Velika potrošnja energije
Veliko pojačanje kontrolera datog prenosnom funkcijom )(sGr znači i da se greška e brţe
povećava (upravljački signal veliki) pa sistem brţe reaguje.
Algebra dijagrama blokova
Algebra dijagrama blokova je skup pravila koja omogućavaju modifikacije i simplifikacije
dijagrama blokova. To su jednostavna pravila bazirana na principima algebre:
- Kaskadna (serijska) veza blokova
Slika 41. kaskadna veza blokova
Prenosna funkcija ovog sistema je data slijedećim izrazom:
n
i
in GGGGsU
sYsG
1
21)(
)()(
- Paralelna veza blokova
Slika 42. paralelna veza blokova
Prenosna funkcija sistema sa slike 42. je data slijedećim izrazom:
n
i
iGsU
sYsG
1)(
)()(
- Struktura sa povratnom vezom
Slika 43. struktura sa jediničnom povratnom spregom
Prenosna funkcija ovog sistema se moţe odrediti prema slijedećem izrazu:
)(1
)()(
sG
sGsGe
Ako su u povratnoj grani nalazi prenosna funkcija )(sH onda se ekvivalentna
prenosna funkcija računa prema slijedećem izrazu:
)()(1
)()(
sHsG
sGsGe
Pored algerbarskih pravila, algebra dijagrama blokova je komplementirana sa nekoliko
"geometrijskih" pravila:
Slika 44.
Slika 45.
Kao primjer primjene algebre blokova, potrebno je odrediti prenosnu funkciju )(
)()(
sU
sYsG
sistema predstavljenog dijagramom blokova kao na slici 46.
Slika 46.
Primjenom pravila algebre blokova dobija se slijedeće pojednostavljenje:
Slika 47.
Sada se dva sumatora mogu zamijeniti pa se dobija slijedeći dijagram blokova:
Slika 48.
Sada se moţe uočiti kaskadna veza )(1 sG i )(2 sG zajedno sa povratnom vezom preko )(1 sH
i paralelna veza 1
3
G
G sa jediničnom prenosnom funkcijom. Prema tome sada se dijagram
blokova znatno pojednostavljuje i dobija se:
Slike 49.
Konačno se dobija:
Slika 50.
Dakle, ekvivalentna prenosna funkcija sistema sa slike 46 je 121
21
1
3
11)(
HGG
GG
G
GsG
Graf toka signala
Pored algebre blokova, za nalaţenje ekvivalentne prenosne funkcije sistema u upotrebi je i
tzv. graf toka signala ili Mason-ovo pravilo. Postoji čista analogija izmeĎu dijagrama blokova
i grafa toka signala.
Glavni elementi grafa toka signala su čvorovi i grane. Grane povezuju čvorove grafa. Grana je
ekvivalentna bloku u dijagramu blokova i predstavlja prenosnu funkciju. Ona se sastoji od
ulaznog, izlaznog čvora i strelice koja pokazuje tok signala. Sa ovakvom granom je asocirana
prenosna funkcija. Čvor u grafu predstavlja signal. Osnovno pravilo za čvor je da je signal u
čvoru jednak sumi signala koji dolaze u taj čvor iz vanjskih grana (vaţno je znati da se
računaju samo signali koji dolaze u čvor, ali ne i oni koji iz njega odlaze). Signal koji ulazi u
čvor A neke grane je jednak ulaznom signalu te grane pomnoţenom sa prenosnom funkcijom
te grane.
Na primjer, ekvivalentni graf toka signala sistema sa slike 51. je predstavljen na slici 52.
Slika 51. dijagram blokova sistema sa povratnom spregom
Slika 52. graf toka signala sistema sa slike 51
Potrebno je uvesti još neke termine vezane za graf toka signala:
1. čvor izvor (source node) je čvor u grafu toka signala iz kojeg signali samo izviru
(ulazni signali su predstavljeni čvorovima)
2. čvor ponor je čvor u grafu u kojeg signali samo poniru (izlazni signali)
3. put je serija grana u grafu od čvora izvora do čvora ponora koje imaju strelice u istom
smjeru, a koje ne prolaze niti jedan čvor više od jednom.
4. petlja je zatvoren put grana sa strelicama u istom smjeru u kome se ni jedan čvor ne
pojavljuje više od jednom. Čvor izvor i čvor ponor ne mogu biti dio petlje. Pojačanje
petlje je proizvod svih prenosnih funkcija u petlji.
5. Nedodirujuće petlje su dvije petlje koje nemaju zajednički čvor.
Primjer:
Slika 53.
1. U je čvor izvor
2. Y je čvor ponor
3. Postoje dva puta:
P1: 154321 11 PGGGGG
P2: 215461 11 PGGGGG
4. Postoje četiri petlje:
111 HGL
2432 HGGL
3543213 HGGGGGL
354614 HGGGGL
5. Postoje dvije nedodirujuće petlje:
111 HGL
2432 HGGL
Mason je otkrio elegantnu formulu za nalaţenje prenosne funkcije izmeĎu ulaznih i izlaznih
čvorova za sisteme date grafom toka signala:
N
k
kkP
sG 1)(
gdje su:
- kP - pojačanja puteva koji vode od ulaza do izlaza
- N - broj puteva izmeĎu ulaznog i izlaznog čvora
- - determinanta grafa toka signala
- k - kofaktor puta k
Determinanta grafa toka signala se računa na slijedeći način:
...1 32 sss PPP
gdje je:
- sP je proizvod svih pojačanja petlji
- 2sP je proizvod pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih petlji koje se
uzimaju po dvije
- 3sP je proizvod pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih petlji koje se
uzimaju po tri
Kofaktor puta k k je jednak za graf toka signala koji se dobije od originalnog grafa kad se
iz njega izdvoji dati put.
Primjer:
Odrediti prenosnu funkciju sistema predstavljenog dijagramom blokova na slici 54.
Slika 54.
Ekvivalentna prenosna funkcija sistema biće izračunata korištenjem Mason-ovog pravila tj.
prevoĎenjem dijagrama blokova u ekvivalentni graf toka signala.
Slika 55. graf toka signala sistema sa slike 54.
Analizom grafa toka signala sa slike 55. dobija se slijedeće:
- Putevi: 43211 GGGGP
43512 GGGGP
- Petlje:
1211 HGGL
2322 HGGL
1223513 HGHGGGL
343514 HGGGGL
343515 HGGGGL
343215 HGGGGL
- Nedodirujućih petlji nema
Prema tome vrijedi:
)(1 54321 LLLLL
11 , 12
Za prenosnu funkciju )(sG čitavog sistema dobijamo:
)(1)(
54321
21
LLLLL
PPsG
odnosno
)()1(1
)()(
25343111232221
52431
GGHGGGHGHGGHGG
GGGGGsG
Linearizacija modela dinamičkih sistema
Kao što je poznato postoji samo opšta teorija analize i sinteze linearnih dinamičkih
sistema. Nekada je moguće izvršiti dobru aproksimaciju nelinearnih sistema odgovarajućim
linearnim modelom tj. moguće je izvršiti linearizaciju nelinearnih sistema oko nominalnih
radnih trajektorija (radnih tačaka), te ih je moguće analizirati kao linearne sisteme.
Linearizacija nelinearnog sistema I reda
U opštem slučaju sistem je opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom:
))(),(()(
tutxfdt
tdx , 0)0( xx
Neka sistem funkcionira oko nominalne trajektorije )(txn pogonjen ulazom )(tun . Tada se
sistem opisuje jednačinom:
))(),(()( tutxftx nn
Neka se sistem kreće oko nominalne trajektorije kao na slici 56.
Slika 56.
Neka je stvarno kretanje sistema označeno sa )(tx . Tada se moţe pisati:
)()()( txtxtx n
dakle, stvarno kretanje se moţe prikazati kao suma nominalnog stanja i odstupanja označenog
sa )(tx .
Analogno se moţe predstaviti upravljački signal )(tu :
)()()( tututu n
Sada se jednačina kretanja sistema moţe pisati u obliku:
))()(),()(()()())(),(()( tututxtxftxtxtutxftx nnn
Razvojem funkcije ))()(),()(( tututxtxf nn u Taylor-ov red uz zanemarivanje članove
višeg reda dobija se:
uu
fx
x
fuxftxtx nnn
),()()(
odnosno
uu
fx
x
ftx
nn uuxx
||)(
Dobijena linearna diferencijalna jednačina opisuje odstupanja od nominalnih radnih tačaka.
Moţe zapisati u obliku:
ubtxatx )()(
u opštem slučaju koeficijenti a i b su funkcije vremena tj. )(taa i )(tbb . Ako sistem
radi u okoline nominalnih radnih tačaka koeficijenti a i b su pribliţno konstantni.
Linearizacija sistema II reda
Sistem II reda je u opštem slučaju dat slijedećom diferencijalnom jednačinom:
))(),(),(),(()( tututxtxftx , 00 )0(,)0( xxxx
Nominalna trajektorija sistema se kao u prethodnom slučaju obiljeţava sa )(txn a nominalni
upravljački signal sa )(tun .
Kao u prethodnom slučaju sistema I reda moţe se pisati:
)()()( txtxtx n
)()()( tututu n
gdje su sa )(tx i )(tu obiljeţene stvarne trajektorije sistema i upravljačkog signala
respektivno.
Sada se diferencijalna jednačina sistema II reda moţe napisati u obliku:
),,,()()( uuuuxxxxftxtx nnnnnn
Razvojem funkcije ),,,( uuuuxxxxf nnnnn u Taylor-ov red, zanemarivanjem
članova višeg reda i sreĎivanjem dobija se slijedeći izraz:
uu
fu
u
fx
x
fx
x
ftx
)(
pri čemu su parcijalni izvodi računati u radnoj tački ),,,( nnnn uxux .
ububxaxax 1021
Dobijena jednačina opisuje odstupanje trajektorije sistema od nominalne.
Ista tehnika se jednostavno proširuje na sisteme višeg reda.
104
Specifikacija performansi sistema automatskog upravljanja
Tranzijentni i ustaljeni odziv
U analizi i sintezi sistema upravljanja vrlo je vaţno naći metod specifikacije
performansi sistema automatskog upravljanja. Takva specifikacija se prirodno daje u
vremenskom domenu. U opštem slučaju specifikacije sistema se odnose na specifikacije
tranzijentnog i ustaljenog ponašanja sistema.
Odziv svakog linearnog sistema je u opštem slučaju sastavljen iz dvije komponente:
)()()( tytyty sstr
gdje je:
- )(tytr - tranzijentni odziv sistema
- )(tyss - ustaljeni odziv sistema
Pri čemu za stabilne sisteme vrijedi: 0)(lim
tytrt
.
Nakon uspostavljanja specifikacija ponašanja sistema u vremenskom domenu, biće odreĎene
relacije izmeĎu parametara u vremenskom domenu i pozicija nula i polova u domenu
kompleksne promjenljive s.
Tranzijentni odziv sistema II reda
Sistem drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom je prikazan na slici 57.
Slika 57. sistem II reda
Ekvivalentna prenosna funkcija je odreĎena izrazom:
22
2
2 2)(
)()(
nn
n
ss
T
K
T
ss
T
K
sU
sYsG
pri čemu je:
- T
Kn prirodna učestanost sistema
- Tn
2
1 faktor prigušenja sistema
Svaki sistem II reda se moţe svesti na ovu formu.
Kao testni ulaz se najčešće koristi odskočna (step) funkcija. Za ovakav tesni signal se
jednostavno mogu porediti različiti sistemi odnosno njihovi odzivi.
Karakteristična jednačina ovog sistema je: 02 22 nnss . Rješavanjem karakteristične
jednačine dobiju se polovi sistema:
dnnn jjs 2
2/1 1
gdje je sa 21 nd označena prigušena učestanost
105
Poloţaj polova sistema u kompleksnoj ravni je prikazan na sklici 58.
Slika 58. polovi sistema II reda u kompleksnoj ravni
Promjenom i n mijenja se poloţaj polova u kompleksnoj ravni i u zavisnosti od toga,
odziv sistema. U zavisnosti od vrijednosti parametra mogu se pojaviti tri karakteristična
slučaja:
- 1 tzv. kritično prigušen sistem
- 1 tzv. nadkritično prigušen sistem
- 1 tzv. podkritično prigušen sistem
U slučaju kritično prigušenog sistema vrijedi:
2
2
22
2
)()2()(
n
n
nn
n
ssssssY
)(ty L-1
)}({ sY = L-1 }
)(
11{
2
n
n
n sss
Nalaţenjem inverzne Laplace-ove transformacije dobija se odziv sistema u vremenskom
domenu:
)()(1)( tytyteety trss
t
n
t nn
odziv u ustaljenom stanju je: 1)( tyss , a tranzijentni dio odziva je t
n
t
trnn teety
)(
Moţe se zaključiti da tranzijentni odziv iščezne tokom vremena.
U slučaju nadkritično prigušenog sistema )1( vrijedi:
)2()(
22
2
nn
n
ssssY
106
U ovom slučaju sistem ima dva realna pola:
dnnns 12
2/1
Rastavljanjem )(sY na parcijalne razlomke dobija se:
dndn s
K
s
K
ssY
211
)(
Za vremenski odziv se dobija: tt dndn eKeKty
)(
2
)(
11)(
Tranzijentni dio odziva tt
trdndn eKeKty
)(
2
)(
1)(
iščezava sa vremenom brzinom
koju odreĎuje najsporiji pol sistema.
Povećavanjem prirodne učestanosti n sistem se ubrzava..
U slučaju podkritično prigušenog sistema )1( vrijedi:
)2()(
22
2
nn
n
ssssY
U ovom slučaju polovi sistema su konjugovano kompleksni: 2
2/1 1 nn js
Vremenski odziv se dobija inverznom Laplace-ovom transformacijom i iznosi:
)1sin(1
1)( 2
2
te
ty n
tn
Sada se u odzivu javljaju oscilacije.
Na slici 59 su prikazani odzivi sistema za različite vrijednosti parametra prigušenja .
Slika 59. odziv sistema u ovisnosti o prigušenju
107
Standardne performanse sistema se obično definišu u odnosu na dziv sistema na odskočnu
(step) funkciju kao što je to prikazano na slici 60.
Slika 60. parametri odziva sistema
Slijedeći parametri definišu odziv sistema:
- rT - vrijeme porasta (rise time) je vrijeme za koje odziv sistema proĎe vrijednosti od 0
do 100 % vrijednosti u stacionarnom stanju. Ovakva definicija vremena porasta se
upotrebljava u podkritično prigušenim sistemima
- 1rT - vrijeme porasta je vrijeme za koje odziv sistema proĎe vrijednosti od 10% do
90% vrijednosti u ustaljenom stanju. Ovakva definicija se koristi za nadkritično
prigušene sisteme )1(
- pT - vrijeme preskoka (peak time) je vrijeme za koje se desi maksimalni preskok
stacionarne vrijednosti.
- sT - vrijeme smirenja (settling time) je vrijeme za koje odziv sistema dostigne i ostane
u intervalu od -5% do 5% stacionarne vrijednosti.
- Preskok u oznaci OS (overshoot) se definiše kao razlika )()( max trty gdje je )(tr
jedinična step funkcija
Obično se za definisanje odziva koriste vrijeme smirenja i veličina preskoka.
Da bi odredili vrijeme preskoka pT i veličinu preskoka potrebno je odrediti 0)(
dt
tdy gdje je
odziv sistema dat sa:
)1sin(1
1)( 2
2
te
ty n
tn
gdje je: )arccos( i 10 .
Nakon sreĎivanja dobija se:
108
21
n
pT
}1
exp{1)(2
1 2
eTyOS p
Preskok se često daje u procentima:
%100}1
exp{2
MPOS
gdje je sa MPOS (Maximum Percent OverShoot) označen maksimalni preskok u procentima.
Iz posljednjeg izaraza se moţe zaključiti da je preskok samo funkcija prigušenja. Iz izraza za
odziv sistema u vremenskom domenu se vidi da tranzijentni dio nestaje sa vremenskom
konstantom 1)( n . Obično se uzima da je svaki prelazni proces završen za 53 pa
sa vrijeme smirenja često definiše kao:
n
sT
3
Dakle, za zadato vrijeme smirenja i maksimalni prekok, koeficijent prigušenja i prirodna
učestanost se moţe dobiti iz izraza za preskok i vrijeme smirenja.
Na ovaj način je uspostavljena veza izmeĎu parametara koji karakterišu vremenski odziv
sistema i lokacija polova u kompleksnom domenu.
Tranzijentni odziv sistema višeg reda
U prethodnom izlaganju je izvršena karakterizacija odziva sistema II reda. U opštem slučaju
nije moguće izvesti analitičke izraze za karakterizaciju tranzijentnog odziva sistema višeg
reda. Ipak, često je moguće aproksimativno odrediti parametre tranzijentnog odziva sistema
višeg reda pomoću parametara odziva sistema II reda.
Sistem upravljanja sa jediničnom povratnom vezom se moţe predstaviti u slijedećem obliku:
)())(2(
)(
)(
)(
)(1
)()(
21
22
nnn pspsss
sQ
sP
sQ
sG
sGsM
Dinamiku sistema praktično odreĎuju tzv. "spori" polovi tj. polovi najbliţi imaginarnoj osi.
Oni dalji brţe iščeznu u vremenu.
Slika 61. dominantni polovi sistema višeg reda
109
Sistem višeg reda se moţe dobro aproksimirati sistemom II reda ukoliko ima par konjugovano
kompleksnih polova koji su mnogo bliţe imaginarnoj osi od svih ostalih polova. Ovi polovi se
nazivaju dominanti polovi i predstavljeni su na slici 61.
Greške ustaljenog stanja
Na slici 62. data je opšta struktura sistema upravljanja sa jediničnom povratnom vezom.
Slika 62.
Najprije će se izvršiti analiza odziva sistema i grešaka ustaljenog stanja po pretpostavkom da
nema djelovanja smetnje d.
Kao što je ranije pokazano, vremenski odziv sistema se moţe predstaviti u vidu sume
tranzijentnog i stacionarnog dijela:
)()()( tytyty trss
pri čemu za stabilan sistem vrijedi:
)(lim)( tytyt
ss
0lim
trt
y
Na ulaz se dovodi referentni signal )(tr koji predstavlja ţeljeni izlaz sistema. Formira se
razlika izmeĎu referentnog ulaza i stvarnog izlaza i dobija signal greške )()()( tytrte .
Ovaj signal zajedno sa kontrolerom )(sGr pogoni sistem u cilju redukcije greške )(te . Na
osnovu strukture sistema moţe se pisati:
)()()()()( sGsGsEsRsE or
ako se označi )()()( sGsGsG or dobija se:
)(1
)()(
sG
sRsE
Sada se greška stacionarnog stanja moţe dobiti na slijedeći način:
)(1
)(lim)(lim)(lim)(
00 sG
sRsssEtete
sstss
Prema tome vidi se da greška zavisi od sistema, regulatora i od ulaza.
Najčešće se kao referentni ulazi koriste slijedeći signali:
- step funkcija definisana kao:
0,1
0,0)(
t
ttr
- rampa funkcija definisana kao:
0,
0,0)(
tt
ttr
- parabola funkcija definisana kao:
0,
0,0)(
2 tt
ttr
110
Tip sistema upravljanja sa povratnom spregom definiše broj polova sistema u koordinatnom
početku prenosne funkcije otvorenog sistema (direktne grane).
Prema tome, za sistem se kaţe da je tipa j ako se prenosna funkcija dir. Grane moţe
predstaviti u obliku: 0,)(
)()(
i
i
j
ip
pss
zssG
Ako je na ulaz sistema sa slike 62. doveden step referentni ulaz 0),1)(( ttr tada
vrijedi:
)(lim1
1
)(1
1
lim)(1
)(lim)(
0
00 sGsG
ss
sG
sRste
s
ssss
Neka je )(lim0
sGKs
p
, tada se za grešku stacionarnog stanja dobija: p
ssK
te
1
1)(
Da bi greška stacionarnog stanja u potpunosti bila eliminisana potrebno je da pK , a to
će biti zadovoljeno u slijedećem slučaju:
1)(
)(lim
0
jza
pss
zsKK
i
j
i
sp
Prema tome da bi greška stacionarnog stanja odziva sistema na step ulaz bila svedena na nulu
potrebno je da postoji bar jedan pol u )()()( sGsGsG or bilo u kontroleru ili u objektu
upravljanja.
Ako je na ulaz sistema sa slike 62. rampa funkcija ttr )( , tada je 2
1)(
ssR , pa se
greška stacionarnog stanja moţe računati potpuno analogno prethodnom slučaju.
vs
sssss
KssGsGssG
sRssEe
1
)(lim
1
))(1(
1lim
)(1
)(lim)(lim
0
000
gdje je: )(lim0
ssGKs
v
. Da bi se greška potpuno eliminisala potrebno je da vK , a to će
biti zadovoljeno u slijedećem slučaju:
2)(
)(lim
0
jza
pss
zsKsK
i
j
i
sv
Prema tome, u direktnoj grani mora postojati dvostruki integrator (bilo u kontroleru ili objektu
upravljanja).
U slučaju da je na ulaz sistema doveden parabola ulaz, analogno se moţe zaključiti da
je potreban trostruki integrator u direktnoj grani odnosno pol 0s višestrukosti 3.
Osnove funkcije regulatora (kontrolera) su stabilizacija sistema, popravka dinamičkih
karakteristika i redukcija vanjske smetnje. Vanjska smetnja je u opštem slučaju stohastička
veličina i ne moţe se analitički opisati, mada je često moguće aproksimirati smetnju sa nekim
poznatim funkcijama npr. step amplitudno skaliranim step funkcijama. Zbog toga je potrebno
ispitati kako se sistem nosi sa djelovanjem konstantne smetnje .)( consttd S tim ciljem
neka je sada 0)( tr , tj. nema ulaznog signala jer se analizira odziv sistema samo u odnosu
na djelovanje smetnje. Sada se moţe pisati:
111
)()( sYsE i )()(1
)()()(
sGsG
sGsdsE
or
o
uz pretpostavku da vrijedi: s
sdtd1
)(1)( , dobija se:
)(lim
1)(lim
1
)()(1
)(lim
)()(1
)()()(lim)(lim
0
0
00
sGsG
sGsG
sG
sGsG
sGsdsssEte
os
rs
ro
o
sor
o
st
Iz prethodnog izraza se vidi da će greška zbog djelovanja smetnje biti eliminisana ako
)(lim0
sGrs
tj. ako kontroler ima bar jedan pol u nuli, odnosno integrator.
Slika 63. Eliminacija step smetnje.
112
Prema tome, da bi sistem pratio referentni step ulaz potrebno je da postoji bar jedan integrator
ili u kontroleru ili u objektu upravljanja. Da bi se uz to izvršila i eliminacija step smetnje
potrebno je da kontroler sadrţi integrator. Dakle, kontroler sa integratorom omogućava
eliminaciju greške stacionarnog stanja i eliminaciju djelovanja step smetnje.
Na slici 63. je dat uporedan prikaz odziva sistema (sa integratorom u kontroleru) bez
djelovanja step smetnje, vremenski izgled smetnje i odziva sistema sa djelovanjem smetnje.
Vidi se da sistem potpuno potiskuje smetnju.
Analogno sa prethodnim izlaganjem moţe se zaključiti da će sistem potisnuti smetnju u vidu
rampa vremenske funkcije ako kontroler sadrţi dvostruki pol u nuli, odnosno dvostruki
integrator.
Stabilnost dinamičkih sistema
Za sistem se kaţe da je stabilan ako za svaki ograničen ulaz sistem reaguje oraničenim
izlazom. Ovo je tzv. BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilnost. To se matemaički
moţe zapisati u obliku:
NtyMtr )()(
Ako sistem daje neograničen izlaz, tada u samom sistemu postoje izvori energije (npr.
nuklearna reakcija).
Prenosna funkcija sistema, kao što je poznato, se moţe zapisati u obliku:
)(
)()(
sP
sQsG
Ako se sitem pobudi Dirac-ovim impulsom tada vrijedi:
)()( ttu L )()()()()(1)( sGsYsUsGsYtg
Prema tome moţe se pisati:
)(
)()(
sP
sQsY
vremenski odziv se dobija nalaţenjem inverzne Laplace-ove transformacije:
)(ty L-1
})(
)({
sP
sQ
i mogući su slijedeći slučajevi:
1. 0)(lim
tyt
. Za ovakav sistem se kaţe da je asimptotski stabilan
2.
Mtyt
)(lim . Ovakav sistem konzervira ubačenu energiju. Kao primjer moţe
posluţiti oscilatorno LC kolo bez gubitaka (bez R), tada postoji oscilovanje energije
konstantnim amplitudama.
3.
)(lim tyt
. Za ovakav sistem se kaţe da je nestabilan. U sistemu se proizvodi
energija i sistem se ne vraća u stacionarno stanje. Fizikalno, amplituda odziva ne moţe
rasti proizvoljno, već ide u zasićenje.
Stabilnost sistema direktno zavisi od lokacije polova u kompleksnoj ravni. Prenosna funkcija
sistema se moţe napisati u slijedećem obliku:
)(*)()()(
)(
)(
)()(
2
2
2
21 i
q pspspsps
sQ
sP
sQsG
gdje je:
113
- 11 p realni pol sistema višestrukosti q
- jp 22 kompleksni pol višestrukosti 2
- jp 22 konjugovano kompleksni pol višestrukosti 2
- iip realni pol sistema višestrukosti 1
Pod pretpostavkom da je sistem pobuĎen Dirac-ovim impulsom vrijedi:
)(ty L-1
)}({ sG L-1
)}({ sY
)(ty L-1 }
*)()(*)()()({
2
2
24
2
2
23
2
22
2
21
1 1
1
i i
iq
ii
i
ps
K
ps
K
ps
K
ps
K
ps
K
ps
K
Odnosno, u vremenskom domenu:
i
tp
i
t
q
q
i
t
q
tpi
iieKtteCteCetCty )sin()sin()( 22
1
11
1 221
Prema tome da bi sistem bio stabilan odnosno 0)(lim
tyt
, mora biti ispunjen slijedeći uslov:
izapR ie ,0
što znači da je oblast stabilnosti lijeva poluravan kompleksne ravni.
Ako postoji jednostuki pol u nuli tada vrijedi:
Mtyt
)(lim
pa je sistem marginalno stabilan. Ako su polovi konjugovano kompleksni i nalaze se na
imaginarnoj osi tada su na izlazu sinusne oscilacije konstantne amplitude.
Sistem je nestabilan ako:
1. postoji barem jedan pol za koji vrijedi: 0}Re{ ip
2. na imaginarnoj osi postoje višestruki polovi.
Algebarski kriterijumi stabilnosti
Za davanje odgovora na pitanje da li je sistem stabilan ili ne, nije neophodno naći
polove sistema. Dovoljno je odrediti da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni. Algebarski
kriterijumi stabilnosti daju odgovor na pitanje da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni,
ali ne i na pitanje koje su vrijednosti polova.
Karakteristična jednačina sistema se moţe predstaviti u obliku:
0... 0
1
1
asas n
n
n
Rješavanjem prethodne jednačine dobiju se polovi nppp ,, 21 . Ako su svi polovi negativni
tada se karakteristični polinom sistema moţe napisati u obliku:
0
1
111 ...)()()()( asassspsps n
n
n
nn
gdje je ii p . Tada svi koeficijenti karakterističnog polinoma: 110 ,, naaa moraju biti
pozitivni. Obrnuto ne vaţi.
Teorema:
Ako je bilo koji od koeficijenata karakterističnog polinoma nula ili manji od nule,
onda dati sistem ne moţe biti asimptotski stabilan.
Prethodna teorema daje dovoljne uslove za nestabilnost sistema i u isto vrijeme daje potrebne
uslove za stabilnost sistema.
Ako vrijedi 0 ia , tada je potrebno dalje ispitivanje.
114
U upotrebi su najčešće dva kriterijuma stabilnosti:
- Routh-ov
- Hourwitz-ov
Routh-ov kriterij
Za karakterističnu jednačinu sistema: 0... 0
1
1
asas n
n
n, Routh-ov kriterij se
svodi na formiranje slijedeće tabele: ns na 2na 4na ...
1ns 1na 3na 5na ...
2ns 1A 2A 3A ...
3ns 1B 2B 3B ...
4ns 1C 2C 3C ...
... 0s 1H
Koeficijenti iii CBA ,, - se računaju na slijedeći način:
1
321
1
n
nnnn
a
aaaaA
1
541
2
n
nnnn
a
aaaaA
1
2131
1A
AaaAB nn
1
3151
2A
AaaAB nn
1
21211
B
BAABC
1
3131
2B
BAABC
Da bi karakteristična funkcija imala sve polove u lijevoj s-poluravni (asimptotski stabilan
sistem) potrebno je i dovoljno da su svi koeficijenti u prvoj koloni koeficijenata Routhove
tablice pozitivni.
Primjer:
Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedećom prenosnom funkcijom:
412136
1)(
234
sssssG
Odgovarajuća Routh-ova tablica je:
Prema tome, sistem je asimptotski stabilan.
Primjer:
Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedećom prenosnom funkcijom:
1223
12)(
23456
ssssss
ssG
4s 1 13 4 3s 6 12 0 2s 11 4 1s 9.8 0 0s 4
115
Odgovarajuća Routh-ova tablica je:
Prema tome, moţe se zaključiti da je sistem nestabilan.
Teorema:
Broj promjena znaka u prvoj koloni koeficijenata Routh-ove tablice odreĎuje broj nestabilnih
polova.
Prednost kriterija stabilnosti je, u opštem slučaju, mogućnost analize stabilnosti sistema u
funkciji nepoznatog parametra.
Primjer:
Odrediti parametar K tako da sistem dat prenosnom funkcijom:
32
1)(
234
sKsss
ssG
bude asimptotski stabilan.
Za dati sistem se formira slijedeća Routh-ova tablica:
Da bi sistem bio stabilan potrebno je da budu ispunjeni slijedeći uslovi:
02
12
K i 0
12
132
K
K
Odavde slijedi 5.6K . Prema tome sistem je stabilan za vrijednosti parametra 5.6K .
Prilikom primjene Roth-ovog kriterija je moguća pojava nultih elemenata u prvoj koloni
koeficijenata. Pored ovoga, moguće je da se pojavi i kompletan nulti red. U oba slučaja sistem
nije asimptotski stabilan, ali je interesantno razmatrati ove slučajeve u cilju otkrivanja da li je
sistem moţda marginalno stabilan ili nestabilan.
U slučaju da se pojavi nulti element u prvoj koloni koeficijenata, tada se umjesto nula
zamijeni sa nekim malim pozitivnim brojem i procedura se dalje nastavi. Na kraju se
potraţi 0
lim
i izvrši klasična naliza prve kolone koeficijenata.
Primjer
6s 1 3 1 1 5s 1 2 2 0 4s 1 -1 1 3s 3 1 0 2s -1.33 1 1s 3.25 0 0s 1
4s 1 K 4 3s 2 1 0
2s 2
12 K 3
1s 12
132
K
K 0
0s 3
116
Ispitati stabilnost sistema datog slijedećom prenosnom funkcijom:
65432
16)(
2345
sssss
ssG
Za dati sistem formira se Routh-ova tabela:
U trećem redu Routh-ove kolone se pojavila nula koja se zamjenjuje sa (gdje je 0 ).
Routh-ova tablica kada se pusti 0
lim
dobija slijedeći oblik:
Prema tome, uočavaju se dvije promjene predznaka pa se moţe zaključiti da je sistem
nestabilan i da ima dva nestabilna pola (u desnoj s poluravni).
U slučaju kada se pojavi kompletan nulti red sistem nije asimptotski stabilan, ostaje da se
ispita da li je evantualno marginalno stabilan. Procedura je slijedeća:
1. Kada se pojavi nulti red formira se pomoćni parni (neparni) polinom )(sd od
koeficijenata reda iznad nultog reda.
2. NaĎe se ))(( sdds
d, a zatim koriste koeficijenti ovog polinoma umjesto dobijenih
nultih koeficijenata.
3. Nastavi se standardno formiranje tabele
)()()( sdsPsP
Primjer:
Ispitati stabilnost slijedećeg sistema:
122
1)(
2345
ssssssG
Prva tri reda Routh-ova tablica:
5s 1 3 5 0 4s 2 4 6 0 3s 1 2 0 2s 6
1s
62 0
0s 1
5s 1 3 5 0 4s 2 4 6 3s 1 2 0
2s 0 6
1s 0 0s 1
5s 1 2 1 0 4s 1 2 1 0 3s 0 0 0
117
U ovom slučaju u trećem redu se pojavljuje nulti red, pa se formira pomoćni polinom
12)( 24 sssd
Dalje je:
sssdds
d44))(( 3
sada Routh-ova tablica poprima slijedeći oblik:
Sada se ponovo pojavljuje nulti red, sada u petom redu tablice. Ponovo se formira pomoćni
polinom:
1)( 2
1 ssd
diferenciranjem se dobija:
ssd 2)(1
Konačno tablica ima slijedeći izgled:
S obzirom da je:
jsssd 2/1
2
1 01)(
jsjssdsd 4/32/1
2
1 ,0))(()(
sistem je nestabilan jer na imaginarnoj osi postoje polovi j višestrukosti 2.
Hurwitz-ov kriterijum
Za datu karakterističnu jednačinu formira se matrica oblika:
02
1
2
31
42
531
0000
0
00
00
0
0
aa
a
aa
aa
aaa
aaa
nn
nn
nnn
nnn
h
5s 1 2 1 0 4s 1 2 1 0 3s 4 4 0 2s 1 1
s 0 0
5s 1 2 1 0 4s 1 2 1 0 3s 4 4 0 2s 1 1 1s 2 0 0s 1
118
Potreban i dovoljan uslov da je sistem sa karakterističnom jednačinom:
0... 0
1
1
asas n
n
n
asimptotski stabilan (ima sve polove u lijevoj s poluravni) je da su svi dijagonalni minori
matrice i koeficijent na pozitivni.
To se moţe zapisati na slijedeći način:
0na
011 na
02
31
2
nn
nn
aa
aa
,0
0 31
42
531
3
nn
nnn
nnn
aa
aaa
aaa
Posljednji dijagonalni minor n je sama Hurwitz-ova determinanta. Pošto su svi elementi
osim posljednjeg, zadnje kolone jednaki nuli, zuadnji minor se moţe predstaviti u slijedećem
obliku:
10 nn a
Prema tome, ako su svi prethodni minori pozitivni, onda se uslov da posljednji minor bude
takoĎe veći od nule svodi na to da slobodni član karakteristične jednačine 0a bude pozitivan.
Sistem će biti granično stabilan akao je posljednji dijagonalni minor jednak nuli, a svi
prethodni veći od nule. Posljednji dijagonalni minor n će biti nula ako je 00 a , 01 n i
010 na . Ako je 00 a , tada sistem ima pol u koordinatnom početku, a ako je 01 n
sistem ima par konjugovano kompleksnih polova na imaginarnoj osi.
Primjer:
Ispitati stabilnost sistema:
1
1)(
23
ssssG
Na osnovu karakteristične jednačine ovog sistema: 0123 sss , formira se Hurwitz-ova
matrica:
110
011
011
vrijedi:
013 aan , 011 , 02 i 03
Sistem je nestabilan jer je minor 01 .
119
Geometrijsko mjesto korijena – GMK (Root Locus)
Na slici je dat tipičan primjer sistema upravljanja u zatvorenoj povratnoj sprezi.
Slika 64.
Neka je prenosna funkcija kontrolera: KGr , dakle samo pojačanje. Prenosna funkcija
cjelokupnog sistema je:
)(
)(1
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
sP
sQK
sP
sQK
sKG
sKG
sR
sY
o
o
Karakteristična jednačina sistema je:
0)(
)(1
sP
sQK
pri čemu se pojačanje K mijenja u granicama K0 .
Pomoću metode GMK analizira se poloţaj polova u kompleksnoj ravni sistema sa zatvorenom
spregom kada se statičko pojačanje K mijenja u granicama od 0 do . Prema tome, GMK
daje geometrijsko mjesto korijena u zatvorenoj sprezi u funkciji statičkog pojačanja K
direktne grane.
Geometrijsko mjesto korijena (GMK) se moţe definisati na više načina. Dvije moguće
definicije su:
1. GMK sačinjavaju krive u s-ravni po kojima se kreću polovi funkcije zatvorenog
sistema tj. korijeni karakteristične jednačine kada se faktor pojačanja K kreće u
granicama K0 .
2. GMK se satoji od tačaka u s-ravni za koje vrijedi: 1)(
)(
sP
sQK i
)12(})(
)(arg{ k
sP
sQ gdje je ,2,1,0 k
Druga definicija GMK je direktna posljedica karakteristične jednačine sistema upravljanja sa
zatvorenom povratnom spregom.
Na slici 66. prikazano je geometrijsko mjesto korijena za slučaj sistema datog na slici 65:
)2()(
)()(
ss
K
sP
sQKsGo
Slika 65.
120
Slika 66. GMK sistema sa slike 65.
U opštem slučaju moţe se pisati:
)()()( 1 mzszssQ
)()()( 1 npspssP
sa ip su označeni polovi sistema, a sa iz nule sistema i vrijedi mn .
Konstrukcija GMK
Konstrukcija GMK se zasniva na slijedećim pravilima:
1. GMK počinje za K=0 iz polova sistaema sa otvorenom povratnom spregom. Polovi
sistema se dobijaju rješavanjem jednačine 0)( sP .
Za sistem )3)(2)(1(
)(
sss
KsG poloţaj polova je prikazan na slici 67.
Slika 67. poloţaj polova u kompleksnoj ravni
2. GMK završava za K u m konačnih nula sistema sa otvorenom povratnom
spregom, dok ostalih mn grana ide u beskonačnost.
3. GMK se sastoji od ukupno m grana.
121
4. GMK je simetričan u odnosu na realnu osu. Iz same definicije GMK slijedi:
1 1
( ) ( ) (2 1)m n
i i
i i
s z s p k
5. Tačka na realnoj osi pripada GMK ako je ukupan broj nula i polova sistema sa
otvorenom povratnom spregom udesno od te tačke neparan.
6. Uglovi asimptota koje odgovaraju mn grana koje završavaju u beskonačnosti su
dati sa:
mnkl
)12(
a tačka presjeka asimptota je data sa:
mn
zpi
i
i
i
a
7. Tačke odvajanja grana od realne ose date su rješavanjem jednačine po 0 :
011
1 01 0
m
i i
n
i i zp
8. Kritično pojačanje K za koje neke od grana GMK presjecaju imaginarnu osu se
odreĎuje na osnovu Routh-ovog kriterija primijenjenog na jednačinu:
0)()( sKQsP
Na osnovu prethodnih pravila moguće je nacrtat GMK. Primjer izgleda GMK za sistem zadat
prenosnom funkcijom )(sG je predstavljen na slici 68.
Slika 68. GMK
122
Sinteza kontrolera u kompleksnom domenu
Za sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom na slici 69. problem sinteze
se svodi na slijedeće korake:
1. Izbor strukture regulatora (broj nula i broj polova)
2. OdreĎivanje parametara (pojačanje, nule i polovi)
Slika 69. opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom
U opštem slučaju prenosna funkcija kontrolera se moţe predstaviti u obliku:
n
i
i
m
i
i
r
ps
zsK
sG
1
1
)(
)(
)(
Analiza uticaja dodavanja nula i polova kontrolera na karakteristike sistema biće sprovedena
na jednostavnom primjeru sistema:
)2(
1)(
sssGo
Najjednostavniji regulator predstavlja samo statičko pojačanje tj. KsGr )( . GMK ovakvog
sistema je prikazan na slici 70.
Slika 70. GMK sistema sa kontrolerom KsGr )(
Promjena pojačanja K uzrokuje kratanje polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom
(na slici prikazani kvadratićima) po granama GMK. Promjenom pojačanja oblik GMK se ne
mijenja.
123
U slučaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika:
)()(
as
KsGr
tj. pored statičkog pojačanja uvodi se pol )0(, aas . GMK ovakvog sistema za slučaj
4a ima slijedeći oblik:
Slika 71. GMK sistema sa kontrolerom 4
)(
s
KsGr
Analizirajući sliku 71. moţe se zaključiti da dodavanje pola zakreće grane GMK udesno.
Sistem postaje "manje stabilan". Promjena pojačanja K uzrokuje pomicanje polova sistema po
granama GMK i sada postoji odreĎeno kritično pojačanje za koje sistem postaje nestabilan.
U slučaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika:
)()( bsKsGr
GMK ovakvog sistema za slučaj 4b je prikazn na slici 72.
Slika 72. GMK sistema sa kontrolerom )4()( sKsGr
U slučaju dodavanja nule, grane GMK se zakreću ulijevo. Sistem postaje "stabilniji" i brţi.
Interesantno je primijetiti da sistem dat prenosnom funkcijom )()( bsKsGr predstavlja
idealni diferencijator, što praktično nije moguće ostvariti jer je takav sistem nekauzalan.
Ovakav sistem diferencira grešku i moţe imati nepovoljan efekat naročito u slučaju prisustva
124
šuma mjerenja koji je inherentno visokofrekventni, pa moţi doći do znatnog izobličenja
signala. Na primjer neka se neki signal )(ty moţe prikazati u obliku:
)()()( tstyty t
gdje )(ts predstavlja šum mjerenja i neka se )(ts moţe aproksimirati izrazom tats sin)( .
Diferenciranjem signala )(ty dobija se:
tadt
tdy
dt
tdy t cos)()(
dakle, došlo je do značajnog pojačavanja šuma za faktor .
Opšta struktura kontrolera je data prenosnom funkcijom:
n
i
i
m
i
i
r
ps
zsK
sG
1
1
)(
)(
)(
Teorijski gledano nule kontrolera se mogu izabrati tako da skrate neţeljene polove sistema, a
polovi regulatora se onda mogu izabrati tako da se u potpunosti zadovolje postavljene
specifikacije. MeĎutim ovakav pristup ima dva vaţna nedostatka:
1. Kontroler je veoma kompleksan i skup
2. Prenosna funkcija objekta nikada nije 100% poznata pa nije moguće izvršiti idealno
kraćenje neţeljenih polova objekta i nula kontrolera.
Cilj je imati što bolje performanse uz što je moguće jednostavniju strukturu kontrolera.
Dinamički regulatori (P,PI,PD,PID)
Osnovni elementi dinamičkih regulatora su proporcionalni, derivativni i integralni
član.
Proporcionalni element vrši pojačanje ulaznog signala tj. izlazni signal je proporcionalan
ulaznom signalu. Proporcionalni član regulatora se opisuje jednačinom:
)()( tKuty
proporcionalni član je prikazan na slici 73.
Slika 73. Proporcionalni element
Integralni član vrši integraciju ulaznog signala i opisuje se slijedećim izrazom:
t
dttuty )()(
Slika 74. integralni element
Prenosna funkcija integralnog elementa je daata izrazom: ssU
sY 1
)(
)(
Integralni član se fizički realizira pomoću operaciong pojačala.
125
Slika 75. fizička realizacija integratora.
Integrator prikazan na slici 75 se moţe opisati izrazom:
t
dttuRC
tu )(1
)( 12
Derivativni član vrši diferenciranje ulaznog signala i opisuje se slijedećim izrazom:
dt
tduty
)()(
Slika 76. derivativni element
Prenosna funkcija derivativnog elementa je: ssU
sY
)(
)(. S obzirom da je čisti diferencijator
nekauzalan sistem, realni diferencijator se opisuje slijedećom prenosnom funkcijom:
1)(
)(
s
s
sU
sY
Derivativni element se fizički realizira pomoću operacionog pojačala.
Slika 77. fizička realizacija diferencijatora
U praksi su najčešće u upotrebi dinamički regulatori sastavljeni od proporcionalnog,
integralnog i derivativnog člana tzv. PID regulatori.
126
Ako se sa )(te obiljeţi ulazni signal, a sa )(tu izlazni signal, PID regulator se opisuje
slijedećim izrazom:
t
idp dtteKdt
tdeKteKtu )(
)()()(
a prenosna funkcija regulatora je:
s
KsKK
sE
sUG i
dpPID )(
)(
Prema tome, projektovanje PID regulatora predstavlja odreĎivanje konstanti idp KKK ,, tako
da performanse sistema što bolje ispunjavaju postavljene specifikacije.
PID regulator je jednostavan regulator koji se moţe koristiti da popravi tranzijentna
ponašanja sistema i karakteristike usteljenog stanja sistema.
Opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom i PID regulatorom je data na
slijedećoj slici.
Slika 78. Sistem upravljanja sa PID regulatorom
Ponekad i jednostavni P regulator moţe riješiti upravljački problem. U oštem slučaju pri
sintezi bilo kakvog regulatora treba krenuti od P regulatora.
U opštem slučaju specifikacije se postavljaju na tranzijentni i ustaljeni dio odziva. Spefikacije
na tranzijentni dio odziva se obično daju u obliku ţeljenog maksimalnog preskoka i ţeljenog
vremena smirenja. S druge strane, specifikacije na ustaljeni dio odziva obično se odnose na
grešku u ustaljenom stanju (najčešće se zahtjeva njena potpuna eliminacija).
S obzirom da se maksimalni preskok računa po izrazu:
100}1
exp{2
MPOS
to se za zadani preskok (OverShoot) moţe izračunati koeficijent prigušenja po izrazu:
100(ln
)100
(ln
22
2
MPOS
MPOS
Prirodna učestanost n se moţe izračunati na osnovu zadatog vremena smirenja i izračunatog
koeficijenat prigušenja po formuli:
s
nT
3
127
Na osnovu izračunatih parametara i n par konjugovano-kompleksnih polova koji
uzrokuju ţeljeno ponašanje je odreĎen izrazom: 2
2/1 1 nn js .
Primjer:
Za sistem dat prenosnom funkcijom )1(
1)(
sssG dizajnirati kontroler tako da performanse
sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedeće:
- Tranzijenti dio odziva: %20MPOS i sTs 6
- Ustaljeni dio odziva: 0)()(lim
tete sst
za step ulaz
Na osnovu zadatog maksimalnog preskoka i vremena sirenja izračunaju se koeficijent
prigušenja i prirodna učestanost:
45.0
100(ln
)100
(ln
22
2
MPOS
MPOS
s
rad
Ts
n 11.13
odavde slijedi:
99.05.01 2
2/1 jjs nn
Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema je dato na slici 79.
Slika 79.
Kao što se vidi sa slike grane GMK pročaze kroz ţeljene polove, pa je samo potrebno naći
pojačanje za koje je su polovi sistema 99.05.02/1 js . Pojačanje sistema se računa na
slijedeći način:
25.1||
||
i
i
ps
zsK
128
S obzirom da objekat upravljanja sadrţi integrator to se, na osnovu prethodnih izlaganja,
moţe zaključiti da će greška u stacionarnom stanju biti nula. Prema tome jednostavan P
regulator je dovoljan da riješi zadati upravljački problem.
Primjer:
Za sistem dat prenosnom funkcijom )2)(1(
1)(
sssG dizajnirati kontroler tako da budu
performanse sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedeće:
- Tranzijentni dio: %20MPOS
- Ustaljeni dio: 0)( tess za step ulaz
Odmah se moţe vidjeti da prenosna funkcija procesa ne sadrţi integrator, pa uslov nulte
stacionarne greške ne moţe biti ispunjen korištenjem P regulatora. Minimalno je potrebno
upotrijebiti PI regulator (integralni dio za eliminaciju greške )(tess ). Prema tome, zadati
upravljački problem nije moguće riješiti upotrebom P regulatora.
Algoritam dizajna P regulatora
Algoritam dizajna P regulatora se sastoji u slijedećem:
1. Prevesti vrijednosti specifikacija u lokaciju dominantnih polova sistema
2. Konstrukcijom GMK utvrditi da li grane GMK prolaze dovoljno blizu ţeljene lokacije
dominantnih polova. Ako je to slučaj, onda se potrebno pojačanje K odreĎuje po
formuli:
n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
1
1
||
||
3. Provjeriti da li su zadovoljene specifikacije ustaljenog stanja
4. Ukoliko bilo koji od 1-3 nije zadovoljen, P regulatorom nije moguće riješiti zadani
upravljački problem
Dizajn PI regulatora
PI regulator je dat prenosnom funkcijom: s
KKsGsG i
pPIr )()(
PI regulator se moţe zapisati i u nešto drugačijoj formi:
s
zsK
s
KsK
s
KKG c
p
ipipPI
gdje je: p
ic
K
Kz
PI regulator se koristi da popravi tranzijenta stanja sistema (koliko je to moguće) i da
eliminiše grešku ustaljenog stanja pri konstantnim referentnim vrijednostima i konstantnim
smetnjama. Na osnovu same prenosne funkcije PI regulatora vidi se da ukoliko je cz
dovoljno blizu nule, onda se efekat člana szs c /)( moţe skoro zanemariti jer se taj član
ponaša kao dipol i ne dolazi do znatnog pomjeranja grana GMK.
129
Algoritam dizajna PI kontrolera
Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedećih koraka:
1. Iz tranzijentnih specifikacija sistema odrediti da li je moguće postići te specifikacije sa
P regulatorom i sračunati odgovarajuće pK . Jasno je da će ustaljeni reţim zahtjevati
pol u nuli u regulatoru.
2. Izabrati nulu regulatora cz dovoljno malu odnosno dovoljno blizu polu u nuli (npr.
)1.001.0 cz . Na osnovu vrijednosti cz izračunati konstantu iK po formuli:
pci KzK
3. Provjeriti ponašanje sistema analizom GMK i simulacijom
Primjer:
Izvršiti sintezu regulatora sistema datog prenosnom funkcijom )22)(10(
6)(
2
sss
ssG
tako da su zadovoljene slijedeće specifikacije:
- %20MPOS
- 0)( tess pri .)( consttr i .)( consttd
Za zadati maksimalni preskok dobije se koeficijent prigušenja:
45.0
S obzirom da je cos , gdje je ugao koji prava povučena iz koordinatnog početka u
kompleksnoj ravni zatvara sa negativnim dijelom realne ose. Izraz cos je korišten ranije
kod nalaţenja vremenskog odziva sustema II reda, sada ugao dobija jasno geometrijsko
značenje.
GMK ovog sistema je dat na slici 80.
Slika 80. GMK sistema
Lokacija ţeljenog pola se nalazi u presjeku pravaca koji predstavljaju ograničenje za
koeficijent prigušenja 45.0 i grana GMK. Ţeljeni polovi se mogu dobiti geometrijskim
putem ili nekim pogodnim numeričkim potupkom. Pokazuje se da su za pojačanje 10K
polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom dovoljno blizu ţeljenim. Time je
zadovoljen uslova da preskok nije preko dozvoljenog. S druge strane postoji zahtjev za
130
eliminacijom greške ustaljenog stanja. To implicira da kontroler mora sadrţavati integrator,
pa se kao prirodno rješenje nameće upotreba PI kontrolera. Za nulu se bira 1.0 cz tako
da sa polom u ishodištu obrazuje dipol, kako ne bi došlo do značajnijeg pomjeranja grana
GMK. Prema tome za prenosnu funkciju kontrolera se konačno dobija:
ss
ssGsG PIr
110
)1.0(10)()(
Simulacijom u MATLAB-u za odziv sistema se dobija:
Slika 81. Odziv sistema )(sG na step ulaz
Dizajn PD regulatora
PD regulator je dat prenosnom funkcijom: sKKsGsG dpPDr )()(
Prenosna funkcija PD regulatora se moţe zapisati i u slijedećem obliku:
)()()( cddpPDr zsKsKKsGsG
gdje je d
p
cK
Kz .
Kao što se moţe vidjeti iz prenosne funkcije PD regulator dodaje nulu u sistem upravljanja
što za posljedicu ima zakretanje grana GMK ulijevo. U opštem slučaju PD se koristi za
popravak tranzijentnog odziva sistema, i minimizaciju uticaja vanjskih smetnji. Jedan od
efekata PD regulatora je prigušivanje oscilacija odziva sistema. Upotrebljava se u slučajevima
kada je potrebno da se zadrţi brzina odziva, a smanji amplituda oscilacija. Karakteristična
jednačina sistema sa zatvorenom povratnom spregom kada se koristi PD regulator je data
slijedećim izrazom:
0)()(1 sGzsK c
Odavde slijedi
)}()arg{( sGzs c
ili u drugačijem obliku:
131
1 1
( ) ( ) ( )m n
c i i
i i
s z s z s p
Posljednji izraz, zapravo, predstavlja uslov da tačka cs z pripada GMK. Taj uslov se moţe
iskoristiti za odreĎivanje vrijednosti cz .
Slika 82. odreĎivanje ugla c
OdreĎivanje vrijednosti cz je moguće preko odreĎivanja ugla c koji se odreĎuje iz uslova
da ţeljena tačka pripada GMK.
Prema tome, vrijedi:
1 1
( ) ( ) ( )m n
c c i i
i i
s z s z s p
Na osnovu poznatog ugla c izračunatog pod uslovom da ţeljeni pol 21d n ns j
pripada GMK slijedi:
2( 1 )nc c
c
z tgtg
Dalje se pojačanje K računa kao:
1
1
| |
| | | |
m
d i
id n
d c d i
i
s p
K
s z s z
Algoritam dizajna PD kontrolera
Algoritam dizajna PD regulatora (kontrolera) se sastoji od slijedećih koraka:
1. Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova ds
2. Pokušati riješiti problem sa P regulatorom
3. Ako se problem ne moţe riješiti sa P regulatorom onda odrediti nulu cz korištenjem
izvedene formule
4. Odrediti pojačanje dK preko izvedene formule
5. Provjeriti analizom GMK i simulacijom da li sistem postiţe ţeljene performanse.
132
Primjer:
Za sistem dat prenosnom funkcijom otvorene grane 10
( )( 1)( 2)( 12)
sG s
s s s
izvršiti
sintezu kontrolera tako da su postignute slijedeće performanse:
- 20%MPOS i vrijeme smirenja 1.5sT s
Za zadate specifikacije izračunaju se koeficijent prigušenja i n i na osnovu njih par
dominantnih polova: 0.45 , 4.348 2 3.86n d
rads j
s
Slika 83. GMK sistema ( )G s
Na slici su pored GMK ucrtana i ogranničenja vezana za koeficijent prigušenja 0.45
(prave) i prirodna učestanost 4.348n (elipsa). Kao što se vidi grane GMK ne prolaze blizu
ţeljenih polova, pa se problem ne moţe riješiti P regulatorom. Grane GMK je potrebno
zakrenuti ulijevo, a to se postiţe dodavanjem nule, odnosno PD regulatorom.
Na osnovu prethodno izvedenih formula za c , cz i dK dobija se: 24.18cz i 0.825dK
Prema tome prenosna funkcija kontrolera je: ( ) ( ) 0.825( 24.18)r PDG s G s s .
Slika 84. odziv sistema ( )G s sa regulatorom ( )PDG s
133
Kao što se vidi sa like 84. postoji greška u ustaljenom stanju, ali to se moglo i očekivati s
obzirom da ni proces ni kontroler ne sadrţe integrator, no to specifikacijama nije ni traţeno.
Da bi se izvršila eliminacija greške ustaljenog stanja potrebno je koristiti i integralni dio tj.
PID regulator.
Dizajn PID regulatora
PID kontroler je najuniverzalnija kombinacija i koristi se kako za poboljšanje
tranzijentnog odziva tako i za eliminaciju grešaka ustaljenog stanja. PID kontroler je dat
slijedećom prenosnom funkcijom:
( ) ( ) ir PID p d
KG s G s K K s
s
Prenosna funkcija se moţe zapisati i u slijedećoj formi:
2
1 2
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pd iPID d c c PD PI
d d
KK KG s s s K s z s z G s G s
s K K s
Algoritam dizajna PID regulatora
Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji od slijedećih koraka:
1. Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova ds i
analizirati zahtjeve na ustaljenim stanjem
2. Izvršiti sintezu PD regulatora tj. odrediti dK i 1cz prema prethodno razvijenom
algoritmu sinteze PD regulatora
3. Izabrati nulu kontrolera 2cz dovoljno blizu nuli ( 20.01 0.1cz )
4. Analizom GMK i simulacijom provjeriti da sistem zadovoljava ţeljene performanse
Primjer:
Za sistem dat prenosnom funkcijom direktne grane: 10
( )( 1)( 2)( 12)
sG s
s s s
izvršiti
sintezu regulatora tako da budu zadovoljene slijedeće performanse:
- 20%MPOS , 1.5sT s
- ( ) 0sse t pri ( ) .r t const i ( ) .d t const
S obzirom da se u ovom slučaju zahtjeva potpuna eliminacija greške u ustaljenom stanju jasno
je da će kontroler sadrţavati integrator. Da bi se omogućilo da grane GMK proĎu dovoljno
blizu ţeljenim polovima potrebno je izvršiti sintezu PD kontrolera (prethodni primjer). U
prethodnom primjeru su izračunate konstante PD regulatora:
1 24.18cz
0.825dK
Da bi se izvršila eliminacija greške mora se dodati integrator tj. pol u koordinatnom početku.
Parametar 2cz se bira da bude vrlo blisko nuli kako bi sa polom u ishodištu obrazovao dipol
sa ciljem da ne doĎe do značajnog pomjeranja grana GMK. Prema tome, prenosna funkcija
PID regulatora dobija oblik:
0.825( 24.18)( 0.1)( )PID
s sG s
s
134
Odziv sistema sa dizajniranim regulatorom je predstavljena na slici 85.
Slika 85. Odziv sistema sa PID regulatorom
U slijedećoj tabeli je prikazan kako promjene pojedinih parametara PID regulatora utiču na
odziv sistema:
Parametar Brzina odziva Stabilnost Tačnost
pK
iK
dK (neznatno) bez značajnog uticaja
Eksperimentalno podešavanje PID regulatora
U praksi se susreću i sistemi sa tzv. mrtvim vremenom tj. sistemi koji se odazvu na
pobudu na ulazu tek nakon odreĎenog vremena. Ovakvi sistemi se mogu predstaviti na
slijedeći način: ( )( 1)
seG s
Ts
Step odziv ovakvog sistema za slučaj 0.5T s i 1s je prikazan na slici 86.
Slika 86. odziv sistema sa mrtvim vremenom
135
Sistemi sa kašnjenjem su teški za analizu pa se često vrši aproksimacija rastavljajući
eksponencijalni član u potencijalni red:
0
1( )
( )( 1)( 1)
!
s
n
n
eG s
sTsTs
n
Često se sistemi sa nepoznatim prenosnim funkcijama mogu aproksimirati sistemom sa
prenosnom funkcijom:
( )1
s
ob
eG s K
Ts
ili ( )s
ob
eG s K
s
Nepoznate koeficijente ,obK i T je moguće odrediti eksperimentalnim putem.
Slika 87. OdreĎivanje ,obK i T
Izvrši se snimanje odziva sistema , a zatim nepoznati parametri odrede na način prikazan na
slici 87. Preostali parametar obK se odreĎuje na slijedeći način:
ob
yK
u
Na ovaj način se aproksimativno moţe odrediti model nepoznatog sistema. Za dizajn PID
ovakvog sistema upotrebljavaju se eksperimentalne metode kao npr. Zigler-Nichols-ova
metoda.
136
Metoda podešavanja parametara PID regulatora prema Ziegler-Nichols-u
U slijedećoj tabeli su date preporuke za izbor parametara PID regulatora u formi:
1( ) (1 )PID d
i
G s K T sT s
Z. N. Preporuke K iT dT
P 1/ a - -
PI 0.9 / a 3 -
PID 1.2 / a 2 / 2
Gdje je oba KT
S obzirom da PID često moţe biti prikazan i u formi:
( ) iPID p d
KG s K K s
s
to se veza izmeĎu parametara u različitim formama moţe uspostaviti na slijedeći način:
pK K
d dK KT
i
i
KK
T
Z-N preporuke predstavaljaju optimalno podešavanje regulatora za regulacioni problem i u
većini slučajeva daju zadovoljavajuće performanse.
Ziegler-Nichols pravila za podešavanje PID regulatora su izvedena za problem regulacije, a
ne za problem praćenja. Ova pravila su optimalna sa aspekta potiskivanja smetnji.
Slika 88. Potiskivanje smetnje
Obično je potiskivanje takvo da vrijedi: 12
4
AA .
Z-N metoda za podešenje PID regulatora korištenjem eksperimenta sa upravljanjem u
zatvorenoj povratnoj sprezi
Za razliku od prethodne metoda kod ove varijante se ne vrše nikakve pretpostavke za oblik
modela procesa.
137
Slika 89. Z-N podešavanje PID sa eksperimentalnim modelom
Način podešavanja parametara PID regulatora korištenjem eksperimentalnog modela sa
zatvorenom povratnom spregom se sastoji iz slijedećih koraka:
1. izbace se integralno i derivativno dejstvo u regulatoru, pa se onda postepeno povećava
pK (pojačanje regulatora) sve dok izlaz u ustaljenom stanju ne doĎe do stabilnih
oscilacija (slika 90). Ova vrijednost pojačanja se naziva kritično pojačanje.
Slika 91.
2. Za kritičnu vrijednost pojačanja p krK K se odredi period uT stabilnih oscilacija
izlaza sistema.
3. Na osnovu Z-N tabele parametara se odaberu vrijednosti za pK , iT i dT parametre
regulatora.
Tip regulatora pK iT dT
P 0.5 krK - -
PI 0.45 krK 0.83 uT -
PID 0.6 krK 0.5 uT 0.125 uT
Ova pravila su uvijek dobra kao inicijalno podešavanje parametara.
Cohen-Coon preporuke za podešavanje PID regulatora
Cohen-Coon (CC) procedura koristi parametre koji se dobiju iz prethodne procedure
eksperimentalnog modela sa otvorenom povratnom spregom ali pretpostavlja da je model
procesa:
( )1
sKeG s
Ts
138
Parametri PID regulatora se biraju iz slijedeće tabele:
Tip regulatora pK iT dT
P 1 1
(0.35 )K
- -
PI 1 0.9
(0.083 )K
3.3 0.3
1 2.2
-
PID 1 1.35
(0.25 )K
2.5 0.46
1 0.61
0.37
1 0.19
gdje je: T
.
CC procedura takoĎe podešava parametre regulatora u odnosu na problem regulacije i sa
istim kriterijima 12( )
4
AA .
Za male vrijednosti T
. Z-N i CC će dati slične rezulatate. CC je superioran u odnosu
na Z-N u slučaju da je .
Podešavanje parametara PID regulatora prema Chien-Hroues-Reswick (CHR)
CHR preporuke su takoĎe bazirane na eksperimentalnom modelu u otvorenoj povratnoj
sprezi. Pretpostavlja se slijedeći model:
( )1
sKeG s
Ts
CHR podešavanje parametara je optimalno podešavanje sa aspekta praćenja referentne
vrijednosti.
CHR preporuke postoje za dva tipa ţeljenog ponašanja:
a) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti
aperiodička
b) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti oscilatorna
sa 20% preskoka
Za slučaj pod a) CHR preporuke su date u slijedećoj tabeli:
Tip regulatora pK iT dT
P 0.3 /R K - -
PI 0.35 /R K 1.2T -
PID 0.6 /R K T 0.5
gdje je: T
R
Za slučaj b) CHR preporuke su date u slijedećoj tabeli:
Tip regulatora pK iT dT
P 0.7 /R K - -
PI 0.6 /R K T -
PID 0.95 /R K 1.35T 0.47
Ova metoda daje loše rezultate za slučaj T
.
139
Schmitt-ov prediktor
U sistemima koji imaju vrlo veliko T
prethodno navedene procedure podešavanja
vjerovatno neće dati dobar odziv sistema. Za dobar odziv bilo bi potrebno izvršiti
kompenzaciju se sa inverznom funkcijom se . MeĎutim se nije moguće fizički relaizirati
(trebalo bi znati signal u budućnosti).
Upotrebljava se Schmitt-ova shema:
Slika 4. Optimalni PID sa Scmittovim prediktorom.
140
DRUGI DIO
Frekventne metode analize i sinteze sistema automatskog upravljanja
Kao što se moglo vidjeti iz prethodnog izlaganja, jedan od načina predstavljanja sistema je
pomoću Laplace-ove transformacije. Sistemi se predstavljaju prenosnim funkcijama u
domenu kompleksne promjenljive s. MeĎutim, nedostatak Laplace-ova transformacije je taj
da nema jasan fizikalni smisao, pa su razvijene i tzv. frekvente metode analize i sinteze
sistema koristeći Fourier-ovu transformaciju.
Fourier-ova transformacija funkcije g(t) se definiše kao:
F{ ( )} ( ) ( ) j tg t G j g t e dt
Frekventni odziv sistema se definiše kao ustaljeni odziv sistema na sinusoidalni ulazni signal.
S obzirom na definiciju Fourier-ove transformacije vidi se da su djelovanja nestaju u vremenu
od do 0 tako da ostaje samo ustaljeno stanje.
Na sistem predstavljen prenosnom funkcijom ( )G s kao na slici 1. dovodi se ulazni
sinusoidalni signal oblika 1 1( ) sin( )u t A t
Slika 1.
Prenosna funkcija sistema se moţe predstaviti u obliku: 1
1 0
1
1 0
( )m m
m m
n n
n
b s b s bG s
s a s a
Odziv sistema se moţe predstaviti u formi:
( ) ( ) ( )Y s G s U s
gdje je ( )U s Laplace-ova transformacija ulaza i za sinusoidalni signal je:
1 11 2 2
cos sin( )
sU s A
s
Odavde slijedi: 2
1
( )n
i
i i
KY s
s s
dakle Laplace-ova transformacija izlaza je predstavljena razvojem u parcijalne razlomke, pri
čemu se koeficijenti: iK ( 1,2,...,i n ), uz pretpostavku jednostrukih polova, odreĎuju na
slijedeći način:
lim( ) ( )i
i is s
K s s Y s
Koeficijenti 1nK i 2nK se odreĎuju na slijedeći način:
1 11 1
cos sinlim( ) ( ) lim( ) ( )
( )( )n
s j s j
sK s j Y s s j AG s
s j s j
dalje je:
1 1( / 2) (arg ( ) / 2)
1 1 1
1 1( ) | ( ) |
2 2
j j G j
nK AG j e A G j e
Koeficijent 2nK je:
141
1(arg ( ) / 2)*
2 1 1
1| ( ) |
2
j G j
n nK K A G j e
Odziv sistema se nalazi kao inverzna Laplace-ova transformacija od ( )Y s :
( )y t L-1
2
1 2
1 1
{ } i
n ns t j t j ti
i n n
i ii
KK e K e K e
s s
odziv sistema u ustaljenom stanju je:
1 2 1 1( ) lim ( ) ( ) sin( arg ( ) )j t j t
ss n nt
y t y t K e K e A G j t G j
Odavde slijedi vaţan zaključak:
Ukoliko je ulaz su linearni sistem prostoperiodična funkcija onda je izlaz iz sistema u
ustaljenom stanju takoĎe prostoperiodična funkcija iste učestanosti , a izmijenjene
amplitude i faze.
Prema tome, vrijedi:
22 1
1
( ) ( )A
A A G j G jA
( ) arg ( )G j
gdje je ( ) lim ( )s j
G j G s
.
Odavde se moţe zakljukčiti da ( )G j definiše odnos amplituda i faznu razliku ulaza i izlaza
sistema.
Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala za slučaj linearnog sistema su prikazani na sl. 2.
Slika 2. Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala
Kao što se vidi sa slike 2 razlika je samo u amplitudi i fazi signala.
( )G j - amplitudno fazna karakteristika sisttema i u potpunosti opisuje linearni sistem.
Postoje različiti načini grafičkog predstavljanja funkcije ( )G j koja je kompleksna funkcija
kompleksnog argumenta j :
a) Polarni plot funkcije ( )G j tzv. Nyquist-ov dijagram: arg ( )( ) Re{ ( )} Im{ ( )} ( ) ( ) ( ) j G jG j G j j G j u jv G j e
142
Slika 3. Polarni plot
b) Bode-ovi dijagrami generišu dvije karakteristike:
- Amplitudsko-frekventna karakteristika
- Fazno-frekventna karakteristika
Amplitudsko-frekventna karakteristika daje dijagram amplitude u ovisnosti o
frekvenciji. Amplituda se obično daje u decibelima dB ( 20log ( )G j ), faza u
stepenima, a frekventna osa je u logaritmskoj razmjeri radi prikaza širokog opsega
frekvencija. Na slici 4 dat je primjer Bode-ovog dijagrama.
Slika 4. Bode-ovi amplitudski i fazni dijagram
U praksi se obično ne crtaju stvarni amplitudski Bode-ovi dijagrami ( 20log ( )G j ) već
aproksimativni dijagrami (krive se aproksimiraju pravcima).
Konstrukcija Bode-ovih dijagrama
143
Neka je prenosna funkcija sistema data u obliku:
1
1
( 1)
( )
( 1)
m
i
i
nk
i
i
K s
G s
s s
ovo je vremska konstanta – forma prenosne funkcije. Na osnovu prenosne funkcije ( )G s
dobija se ( )G j u obilku:
1
1
( 1)
( )
( ) ( 1)
m
i
i
nk
i
i
K j
G s
j j
Odavde slijedi:
1 1
20log ( ) 20log 20log 1 20 log 20log 1m n
i i
i i
G j K j k j
1 1
arg ( ) arg( 1) arg( 1)2
m n
i i
i i
G j j k j
Primjer 1:
Konstruisati Bode-ove dijagrame za slučaj sistema ( )G s K
Zamjenom s sa j dobija se:
( ) ( ) ( ) 0G j K u jv K j
20log ( ) 20log
0, 0arg ( )
180 , 0
G j K
KG j
K
Bode-ovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 5.
Slika 5. Bode-ovi dijagrami sistema ( )G j K
Primjer 2:
144
Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem dat prenosnom funkcijom:
1( )G s
s
Zamjenom s sa j dobija se:
1( )G j
j
odavde slijedi:
120log ( ) 20log 20log
arg ( )2
G j
G j
Bodeovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 6.
Slika 6. Bode-ovi dijagrami sistema 1
( )G jj
Vidi se da sistem unosi slabljenje s pribliţno 20 dB po dekadi (dekada je povećanje
frekvencije 10 puta).
Primjer 3:
Konstruisati Bode-ove dijagram za sistem: ( )G s s
U ovom slučaju vrijedi:
( )
20log ( ) 20log
arg ( )2
G j j
G j G
G j
Bodeovi dijagrami su prikazani na slici 7.
145
Slika 7. Bode-ovi dijagrami sistema ( )G j j
Kao što se moţe vidjeti sa slike 7. sistem ( )G j j (diferencijator) vrši pojačavanje
signala i unosi pozitivno fazno kašnjenje.
Primjer 4:
Konstruisati Bodeove dijagrame za aperiodski sistem I reda dat prenosnom funkcijom
1( )
1G s
Ts
Odavde je:
2 2
2
2
1 1( )
1 ( ) 1 ( ) 1
1( 20log ( 20log 1 ( )) )
1 ( )
arg ( ) ( )
TG j j
T j T T
G G Tj jT
G j artctg T
Bode-ovi dijagrami su prikazani na slici 8.
146
Slika 8. Bode-ovi dijagrami sistema 1
( )1
G jj T
Amplitudsko-frekventni dijagram predstavlja asimptotsku karakteristiku za dati sistem jer
vrijedi: 220log ( ) 1 0T za T
220log ( ) 1 20log( )T T za T
Primjer 5:
Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem: ( ) 1G s Ts
Analogno prethodnom primjeru, moţe se pisati:
2
2
( ) 1
( ) ( ) 1
20log ( ) 20log ( ) 1
arg ( ) ( )
G j Tj
G j T
G j T
G j arctg T
Asimptotske karakteristike Bode-ovih dijagrama su date na slici 9.
147
Slika 9. Bode-ovi dijagrami sistema ( ) 1G j Tj
Primjer 6:
Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem II reda dat prenosnom funkcijom: 2
2 2( )
2
n
n n
G ss s
Zamjenom s sa j dobija se:
2 2
2
2 2
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2
( )2
( ) 2( )
( ) (2 ) ( ) (2 )
( )( ) (2 )
n
n
n
n n
n n n
n n n n
jarctgn
n n
G jj
G j j
G j e
Odavde slijedi: 2 2 2 2 220log ( ) 20log 20log ( ) (2 )n n nG j
Na slici 10. su prikazani Bode-ovi dijagrami za sistema II reda
148
Slika 10. Bode-ovi dijagrami sistema 2
2 2( )
2
n
n n
G jj
Za frekvencije n amplituda opada asimptotski sa 40 /dB dec . Stvarni dijagram moţe
odstupati više ili manje od asimptotskog u zavisnosti od koeficijenta prigušenja .
Frekvencija maksimalne vrijednosti se dobija na slijedeći način:
2
( )0
1 2r n
d G j
d
Za maksimalnu vrijednost amplitude se dobija:
2
1
2 1pM
Prema tome do pojave maksimuma će doći za vrijednosti prigušenja 0.707
Izobličenje signala
Neka se signal ograničenog spektra 1
( ) sin( )n
i i i
i
y t A t
prenosi kroz komunikacioni
kanal prenosne funkcije ( ) SG s e odnosno:
( ) 1G j
arg ( )G j
Cilj je da amplituda bude dovoljno blizu 1 i da postoji linearno kašnjenje:
149
1 1
sin( ) sin ( ) ( )n n
i i i i i i i
i i
z A t A t y t
Dobija se signal iste amplitude, ali zakašnjen za neko vrijeme .
Prema tome, uslov da ne bude izobličenja:
( ) sG s e
Analiza stabilnosti u frekventnom domenu
Nyquist-ov kriterij stabilnosti
Nyquist-ov kriterij stabilnosti je baziran na Cauchy-evom principu argumenta:
Neka je kompleksna funkcija ( )F s analitička izuzev u konačnom broju tačaka i neka je data
neka kontura C po kojoj putuje argument s, tada će fazor funkcije ( )F s takoĎe putovati po
zatvorenoj konturi u ravni ( )F s . Dalje, ako funkcija ( )F s ima z nula i p polova, onda za
jedan obrtaj varijable s po zatvorenoj konturi C, funkcija ( )F s će da napravi n z p
obrtaja oko koordinatnog početka (slika 11).
Slika 11. Cauchy-ev princip argumenta
Ako se funkcija ( )F s moţe predstaviti u obliku:
1
1
( )
( )
( )
m
i
i
n
i
i
K s z
F s
s p
Tada se moţe pisati:
1 1
arg ( ) ( ) ( )m n
i i
i i
F s s z s p
Ako zatvorena kontura u s ravni obuhvata m nula i p polova tada je ukupni ugao konture u
ravni ( )F s :
2 2 2N m n
Odavde slijedi da je broj obilazaka koordinatnog početka koje načini kriva u ( )F s ravni:
150
N m p
Nyquist-ov dijagram daje odgovor o stabilnosti sistema sa zatvorenom povratnom spregom na
bazi analize sistema sa otvorenom povratnom spregom.
Posmatra se sistem sa otvorenom povratnom spregom prenosne funkcije ( )G s .
Neka je funkcija ( )D s definisana na slijedeći način:
( ) 1 ( )D s G s
i sa slijedećim osobinama:
- Nule funkcije ( )D s su polovi sistema sa zatvorenom povranom spregom
- Polovi ( )D s su polovi funkcije sa otvorenom povratnom spregom
Nyquist-ov dijagram je polarni dijagram funkcije ( )D s kada kompleksna varijabla s putuje po
konturi datoj na slici 12.
Slika 12.
Ova kontura obuhvata kompletnu desnu (nestabilnu) polovinu s ravni tj. R . TakoĎe,
( )D s mora biti analitička i na konturi, te su polovi ( )D s na imaginarnoj osi izbjegnuti
polukrugovima beskonačno malog poluprečnika r .
Nyquist-ov kriterij glasi:
Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak zbiru broja
nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja
koordinatnog početka Nyquist-ovog dijagrama funkcije ( )D s .
Dakle vrijedi:
Z N P
gdje je:
Z - broj polova sistema s zatvorenom povratnom spregom
P - broj polova sistema s otvorenom povratnom spregom u desnoj poluravni.
Ako je 0P kao što je to obično slučaj, tada mora biti 0N , tj. Nyquist-ov dijagram ne
smije ni jednom obuhvatiti koordinatni početak.
151
Za detaljniju analizu preslikavanja konture u s domenu u Nyquist-ov dijagram potrebno je
razmotriti kako se preslikavaju pojedini dijelovi konture:
a) Dio konture js Re (polukrug poluprečnika R) R i 2 2
se preslikava
na slijedeći način:
0
0
( )( )
( )
m
n
s bQ sG s
P s s a
S obzirom da je n m slijedi
0,(Re )
,
jn m
GC const n m
zaključuje se da krug preslikava u jednu tačku i to obično koordinatni početak.
b) Dio konture koji predstavlja imaginarnu osu: s j
( ) ( ) 1 ( )D s D j G j
( )G j predstavlja frekventnu karakteristiku sistema i preslikava se u konturu u
zavisnosti od oblika prenosne funkcije.
c) Dio konture koji isključuje polove na imaginarnoj osi js re ( 0r , 2 2
)
0
0
( )
( ) 1 ( )
( )
1( )
m
m
n
j j n m
D s G s
b s bG s
s a
G re er
Odavde se moţe zaključiti da kada 0r dio konture se preslikava u polukrug
beskonačnog poluprečnika.
Nyquist-ov kriterij se moţe uprostiti ako se umjesto polarnog dijagrama ( ) 1 ( )D s G s
nacrta polarni dijagram samo ( )G s i onda se posmatra obuhvatanje tačke ( 1 0j ). Prema
tome, modificirani Nyquist-ov dijagram glasi:
Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak sumi broja
nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja tačke
( 1 0j ) Nyquist-ovim dijagramom funkcije ( )G s .
Ako Nyquist-ov dijagram prolazi kroz tačku ( 1 0j ) sistem je marginalno stabilan.
Sistemi sa čistim transportnim kašnjenjem
Sistem s čistim transportnim kašnjnjem se moţe jednostavno prikazati i analizirati u
frekventnom domenu. Sistem sa čistim transportnim kašnjenjem se predstavlja prenosnom
funkcijom:
( )( )
( )
s Q sG s Ke
P s
Ili u frekventnom domenu:
( )( )
( )
j Q jG j Ke
P j
( )( )
( )
Q jG j K
P j
( )arg{ ( )} arg{ }
( )
Q jG j
P j
152
Margina (rezerva/pretek) stabilnosti sistema po fazi i po pojačanju
Za sistem sa prenosnom funkcijom ( )G s (slika 13) predstavljen polarnim plotom na slici 14.
definišu se slijedeće margine stabilnosti:
- Margina stabilnosti po pojačanju
- Margina stabilnosti po fazi
Slika 13. Sistem sa zatorenom povranom spregom
Slika 14. Polarni plot sistema ( )G s
Frekvencija pri kojoj kriva ( )G j presjeca realnu osu je označena sa c . Margina stabilnosti
se definiše kao kritično pojačanje sistema pri kojem polarni plot prolazi tačkom ( 1, 0)j :
1( ) 1
( )c r r
c
G j K KG j
Frekvencija c je frekvencija pri kojoj je arg ( ) 180G j .
Ako sistem posjeduje transportno kašnjenje, tada faktor se utiče na faznu marginu odnosno
uzrokuje rotiranje dijagrama i vodi sistem prema nestabilnosti.
153
Rezerva stabilnosti sistema je proporcionalan udaljenosti krive ( )G j od tačke ( 1, 0)j i
rezerva stabilnosti po fazi se često definiše kao:
( ) 180 arg{ ( )}fG j
gdje je sa f presječna učestanost za koju vrijedi: ( ) 1fG j .
U zaključku do sada izloţenog se moţe reći:
Frekventne metode analize i sinteze sistema automatskog upravljanja na slici 15. imaju niz
prednosti:
- ( )G j se moţe lako odrediti eksperimentalnim putem
- omogućeno je korištenje teorije filtera za analizu i sintezu sistema
- omogućena je analiza sistema sa čistim transportnim kašnjenjem
Slika 15. Sistem automatskog upravljanja
Grafičko predstavljanje funkcije arg ( )( ) ( ) Re{ ( )} Im{ ( )}j G jG j G j e G j j G j je
omogućeno na više načina, a najčešće se koriste:
1. Polarni plot (Nyquist)
2. Bode-ovi dijagrami
Primjer:
Ispitati stabilnost sistema datog na slici 16. korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti.
Slika 16.
Najprije se prekine povratna sprega, tj. analizira sistem sa otvorenom povratnom spregom:
1( )
( 3)( 5)G s
s s s
Zatim se u s ravni narcta kontura koja Re js pri čemu je: R i 2 2
, dakle
kontura koja zatvara desnu (nestabilnu) stranu kompleksne ravni, pri čemu se isključuju
polovi na imaginarnoj osi (u ovom slučaju pol 0s ).
Zatim se kontra podijeli na segmente i posmatra kako se pojedni segmenti preslikavaju
funkcijom ( )G s odnosno ( )G j :
a) Izvrši se smjena s j i posmatra dio konture od 0 (dio 0 ) je
simetričan u odnosu realnu osu. Prema tome dobija se:
154
2 3
4 2 2 2 4 2 2 2
8 (15 )( )
64 (15 ) 64 (15 )G j j
Skicira se polarni se polarni plot od ( )G j ispitivanjem kako se funkcija ponaša za 0 i
te u kojoj tački se presjeca realna osa. Tačke presjecanja imaginarne i realne ose se
dobiju rješavanjem:
Im{ ( )} 0G j
Re{ ( )} 0G j
po čime se dobiju frekvencije za koje funkcija presjeca realnu, odnosno imaginarnu osu, a
zatim uvrštavanjem tih frekvencija u ( )G j dobiju se stvarne presječne tačke. Na osnovu
izloţenog slijedi:
0lim ( ) 0.0356G j j
( )2
( )2( )
( )
lim ( ) 0j n m
j n m
n m n m
e
K KG j e
j
G j e
Moţe se zaključiti da će ( )G j završiti u trećem kvadrantu.
Za tačke presjeka se dobija: 2
3 2 2
(15 )Im{ ( )} 0 0
64 (15 )G j
Odavde slijedi da je frekvencija za koju ( )G j siječe realnu osu 15 , a za tačku
presjeka se dobija:
( 15) 0.083 0G j j
Presjek sa realnom osom je bitan podatak jer govori o stabilnosti sistema.
Na osnovu:
Re{ ( )} 0G j
se moţe zaključiti da za dati sistem presjeka sa imaginarnom osom nema.
b) Dio konture js re pri čemu je 0r i 2 2
se preslikava na slijedeći
način:
0
( )
lim
j j
j j
r
KG re e
r
Ke e
r
c) Dio konture Re js pri čemu je R 2 2
se preslikava na slijedeći
način:
3( Re )j jKG j e
R
3 3lim 0j j
R
Ke e
R
Na osnovu dobijenih podataka moţe se skicirati Nyquist-ov dijagram funkcije ( )G j . Na
slici 17. prikazano je preslikavanje konture koja obuhvata desnu stranu kompleksne s ravni u
krivu u Nyquist-ov dijagram.
155
Slika 17. Polarni plot sistema ( )G s
Primjer:
Naći oblast pojačanja K za koje je sistem dat na slici 18. asimptotski stabilan:
( )( 3)( 5)
KG s
s s s
Slika 18.
Na osnovu prethodne analize dobija se tačka presjeka krive ( )G j sa realnom osom:
( 15) 0.083 0G j j
Na osnovu izraza za kritično pojačanje sistema:
( ) 1
1 1 1
( ) 0.008315
c r
r
c
G j K
KG j G
Prema tome oblast stabilnosti je rK K ¸ odnsono:
1
0.0083K
Opšta procedura odreĎivanja kritičnog pojačanja (opsega pojačanja za koje je sistem stabilan)
je slijedeća:
- Nacrta se Nyquist-ova kriva za 1K
156
- NaĎe se kritično pojačanje iz ( ) 1r cK G j gdje se c dobije rješavanjem
Im{ ( )} 0G j . Sada je oblast pojačanja za koje je sistem stabilan: 0 rK K .
Prethodni posao se moţe uraditi ako se umjesto obuhvatanja tačke ( 1, 0)j posmatra
obuhvatanje tačke 1
( , 0)jK
.
Primjer:
Ispitati stabilnost sistema sa slike 19. korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti.
Slika 19.
Preslikavanje konture koja okruţuje desnu stranu kompleksne s ravni u Nyquist-ovu krivu je
predstavljeno na slici 20.
Slika 20. Nyquist-ova kriva sistema.
S obzirom da sistem u otvorenoj sprezi posjeduje dva nestabilna pola 2s i 4s iz
Z N P
slijedi da Nyquist-ova kriva mora 2 puta obuhvatiti tačku ( 1, 0)j u kontra smjeru (smjeru
suprotnom od smjera kazaljeke na satu) kako bi vrijedilo:
0Z N P
Područje stabilnosti ovog sistema je:
0.75K
U ovom slučaju da bi sistem bio stabilan, Nyquist-ova kriva moraju obuhvatiti tačku ( 1, 0)j
2 puta u kontra smjeru pa zbog toga pojačanje mor abiti veće od 0.75 jer za manje vrijednosti
pojačanja Nyquist-ova kriva ne obuhvata tačku ( 1, 0)j pa je u tom slučaju 0N odnosno:
2Z N P
157
U tom slučaju sistem sa zatvorenom spregom će imati dva nestabilna pola. Geometrijsko
mjesto korijena ovog sistema je prikazano na slici 21.
Slika 21. GMK sistema sa slike 19.
Sistemi koji imaju nestabilan pol ili nulu (sistemi neminimalne faze)
Primjer:
Ispitati stabilnost sistema sa slike 22. korištenjem Nyquist-ovog kriterija
Slika 22.
Prenosna funkcija sistema sa otvorenom spregom je ( ) sG s Ke odnosno u domenu
frekvencije ( ) jG j e
Slika 23. Nyquist-ov dijagram
158
Sa slike se vidi da je sistem marginalno stabilan za 1K , ta da je područje stabilnosti
odreĎeno sa:
0 1K
Ako se na ulaz sistema priključi generator pravougaonih impulsa tada se dobiju slijedeći
odzivi:
Slika 24. Odzivi sistema na pravougaone impulse za 1K i 1K
Primjer:
Ispitati stabilnost sistema sa slike 25 korištenjem Nyquist-ovog kriterija.
Slika 25.
Prenosna funkcija sistema sa otvorenom povratnom spregom je ( )1
sKeG s
s
odnosno u
frekventnom domenu:
2 2
cos sin cos sin( )
1 1 1
jKeG j j
Dalje slijedi:
0lim ( ) 1 0G j j
za moţe se pisati: 2( ) 0j
G j e
odavde vrijedi
arg{ ( )}G j
159
Tačka presjeka sa realnom osom se dobija rješavanjem jednačine
Im{ ( )} 0 cos sin 0G j
po .
Za stabilnost se dobija slijedeće:
11kr krK a K
a
sistem je stabilan za vrijednosti pojačanja:
0 krK K
Nyquist-ov plot je dat na slici 26.
Slika 26.
Prema tome, moţe se zaključiti da je sistem sa čistim transportnim kašnjenjem uvijek moguće
destabilizirati sa dovoljno velikim pojačanjem K.
Analiza stabilnosti korištenjem Bode-ovih dijagrama
Za sistem automatskog upravljanja na slici 27. analiza stabilnosti se moţe izvršiti preko
Nyquist-ovog plota kako je to već pokazano u prethodnim primjerima ili korištenjem Bode-
ovih dijagrama.
Slika 27. sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom.
Pored analize apsolutne stabilnosti razmatra se i relativna stabilnost, kao mjera udaljenosti
sistema od granice nestabilnosti. Moe se razmatrati rezerva stabilnosti po pojačanju ondosno
amplitudi i rezerva stabilnosti po fazi.
Na slici 28. prikazano je odreĎivanje margina stabilonosti korištenjem Nyquist-ovog
dijagrama.
160
Slika 28. OdreĎivanje margina stabilnosti Nyquist-ovim dijagramima
Margine stabilnosti se mogu odrediti korištenjem Bode-ovih dijagrama na slijedeći način:
Slika 29. OdreĎivanje margina stabilnosti Bode-ovim dijagramima
Margina stabilnosti po pojačanju se odreĎuje na slijedeći način:
( ) 1kr cpK G j
161
gdje je cp - kritična učestanost faze za koju vrijedi
arg ( ) 180cpG j
Najveće pojačanje koje dovodi sistema na granicu stabilnosti je:
20log 20log ( )r M cpK G G j dB
a opseg pojačanja unutar granica stabilnosti se kreće u granicama: 0 rK K
Margina stabilnosti po fazi se se odreĎuje na slijedeći način:
180 arg ( )m cgG j
( ) 1cgG j
gdje je cg - presječna učestanost pojačanja i pokazuje koliko se moţe tolerisati fazno
kašnjenje u originalnom sistemu ( )G j , a da sistem ostane stabilan.
( ) ( ) ( )nG j G j G j
Relacije između tranzijentnog i frekventnog odziva sistema
Za sistem II reda prikazan na slici 30. je moguće uspostaviti vezu izmeĎu tranzijentnog i
frekventnog odziva.
Slika 30. Sistem II reda
Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je data izrazom: 2
2 2
( )( ) ( )
1 ( ) 2
n
n n
G sM s M s
G s s s
Obično se specifikacije sistema daju u vremenskom domenu u obliku preskoka i vremena
smirenja OS i sT :
21
% 100% ( )MPOS e f
3s
n
T
Frekventna karakteristika ovog sistema je data sa: 2
2 2( )
( ) 2
n
n n
M jj j
odavde slijedi: 2
2 2 2 2 2 2( )
( ) 4
n
n n
M j
Maksimalna vrijednost frekventnog odziva se dobija na slijedeći način:
2( )0 1p n
dM j
d
162
2
1( )
2 1p pM j M
Frekventni odziv sistema II reda je predstavljen na slici 31.
Slika 31. Frekventni odziv sistema II reda
Na osnovu dobijenog izraza vidi se da ( )pM j zavisi samo od koeficijenta prigušenja baš
kao i izraz za preskok sistema II reda u vremenskom domenu.
Ova veza se moţe predstaviti i grafički kao na slici 32.
Slika 32. Funkcionalna zavisnost %( )pM f MPOS
Preskok u vremenskom domenu je direktno povezan sa rezonantnim vrhom amplitudsko-
frekventne karakteristike. Rezonantni vrh u frekventnoj karakteristici se javlja samo ako je
0.707 . Ako je 0.707 ne postoji lokalni maksimum u frekventnom domenu, ali
postoji preskok u vremenskom domenu 0.707 1 .
163
Relacija između brzine odziva sistema i njegovog frekventnog odziva
Sistem automatskog upravljanja se moţe posmatrati kao niskopropusni (NF) filter. Propusni
opseg (bandwidth) sistema (NF filtera) tj. frekvencija BW se definiše kao frekvencija gdje je:
( ) 1
( 0) 2
BWM j
M j
ili ako se pretpostavi da je ( 0) 1M j slijedi 1
( )2
BWM j odnosno:
20log ( ) 20log 2 3BWM j dB
Kad BW raste, bolje se reprodukuje ulazni signal jer se tada visokofrekventne komponente
manje prigušuju.
Što je vrijeme smirenja sT manje to je sistem brţi.
2 4 2(1 2 ) 4 4 2BW n 3
s
n
T
Prema tome, moţe se zaključiti da je BW sT odnosno:
2 4 23(1 2 ) 4 4 2BW
sT
Prema tome, veza tranzijentnog odziva sa frekventnim karakteristikama se moţe prikazati na
slijedeći način:
( ) ( ) ( , )sG j M j MPOS T
Relacija između frekventnih karakeristika otvorenog sistema i frekventnih
karakteristika zatvorenog sistema, konstantni M i N krugovi
Za sistem sa otvorenom povratnom spregom ( )G s ekvivalentna prenosna funkcija sistema
koji se dobija zatvarnjem jedinične povratne sprege je:
( ) ( )( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
G s G jM s M j
G s G j
S obzirom da se ( )G j moţe napisati u obliku:
( ) ( ) ( )G j P j jQ j
Dalje je: 2 2
2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
(1 ( )) ( ) (1 ( )) ( )
P jQ P QM j M j
P jQ P Q
22 2
2
2 2 21 ( 1)
M MP Q
M M
Posljednja jednačina predstavlja jednačinu kruga sa koordinatama centra i poluprečnikom: 2
2,0
1
MC
M
2 1
MR
M
Za različite M dobije se familija tzv. konstantnih M krugova.
164
Slika 33. Konstantni M krugovi
Ukoliko bi preko M krugova nacrtali polarni dijagram funkcije otvorenog sistema ( )G j , u
svim tačkama presjeka ( )G j i odgovarajućeg M kruga je tačka koja predstavlja amplitudu
frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema.
Slično se moţe analizirati i fazna karakteristika:
arg{ ( )}M j
1 1( ) ( )
( ) ( ) 1
Q Qtg tg
P P
1
( ) ( )
( ) ( ) 1
( ) ( )1
( ) ( ) 1
Q Q
P Ptg
Q Q
P P
2 2
Qtg
P P Q
Ako se tg označi sa N dobija se:
2 2
QN
P P Q
2 2 2
2
1 1 1
2 2 4
NP Q
N N
Zadnja jednačina takoĎe predstavlja jednačinu kruga sa parametrima:
1 1,
2 2C
N
2
2
2
1
4
NR
N
165
Geometrisko mjesto svih mogućih faza sistema sa zatvorenom povratnom spregom
predstavlja familiju N-krugova s različitim .
Konstantni N krugovi su dati na slici 34.
Slika 34. Konstantni N krugovi
Ukoliko bi preko N krugova nacrtali polarni dijagram funkcije otvorenog sistema ( )G j , u
svim tačkama presjeka ( )G j i odgovarajućeg N kruga je tačka koja predstavlja fazu
frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema.
Ukoliko bi na jednom dijagramu nacrtali M i N krugove pa preko njih polarni plot ( )G j ,
tada bi presjek ( )G j i odgovarajućih M i N krugova potpuno definisao i odredio frekventnu
prenosnu funkciju zatvorenog sistema ( )M j . MeĎutim, u praksi je obično potrebno odrediti
samo frekvencije p i BW . Frekvencija p predstavlja frekvenciju rezonantnog vrha
frekventne karakteristike, a BW je granična frekvencija sistema..
Postupak odreĎivanja ovih frekvencija je slijedeći:
- Frekvencija BW se odreĎuje pomoću tačke presjeka kruga 0.707M i polarnog
plota ( )G j .
- Frekvencija p se odreĎuje tako da se nacrta najveći M krug koji tangira krivu
( )G j . Na osnovu vrijednosti M izračuna p
Ovaj postupak je predstavljen na slici 35.
166
Slika 35. OdreĎivanje p i BW
Primjer:
Za sistem sa slike 36. procijeniti veličini preskoka i vrijeme smirenja korištenjem M krugova.
Slika 36.
Provodeći prethodno opisan postupak dobija se polarni plot kao na slici 37.
Slika 37. Polarni plot sistema ( )G j
Iz tačke presjeka ( )G j sa krugom 0.707M dobija se frekvencija 3.5 /BW rad s .
TakoĎe, konstruiše se najveći krug 1.8M koji tangira polarni plot.
167
Odavde slijedi:
0.29
4.5sT s
Na osnovu poznatog koeficijenta prigušenja se moţe izračunati maksimalni preskok
vremenskog odziva sistema:
21
% 100% 38.6%MPOS e
Relacije između tranzijentnog odziva zatvorenog sistema i frekvencijskog odziva
otvorenog sistema pomoću Bode-ovih dijagrama
Relacije između koeficijenta prigušenja i margine faze
Sistem II reda je dat prenosnom funkcijom u otvorenoj sprezi: 2
( )( 2 )
n
n
G ss s
odnosno u zatvorenoj sprezi: 2
2 2( )
2
n
n n
M ss s
S obzirom da je:
( ) 1cgG j
gdje je cg - učestanost pojačanja koja pokazuje koliko se moţe tolerisati fazno kašnjenje u
originalnom sistemu ( )G j , a da sistem ostane stabilan
Moduo ( )G j je odreĎen izrazom: 2
2( )
2
n
n
G jj
odavde je: 2
2( )
2
ncg
cg cg n
G jj
2 42 1 4cg n
Fazna margina se definiše kao:
180 arg ( )m cgG j
i dobija se:
2 4
2 4
2 1 4 290
2 2 1 4m arctg arctg
prema tome moţe se zaključiti da je fazna margina funkcija od koeficijenta prigušenja .
( )m f
Ovisnost fazne margine od prigušenja sistema je grafički predstavljena na slici 38.
168
Slika 38. Funkcionalna ovisnost ( )m f
Relacija između vremena smirenja i amplituds frekventne karakteristike sistema sa
otvorenom povratnom spregom
M krug za 0.707M kome odgovara 3dB se u zavisnosti od faznog ugla moţe predstaviti
kao što je to prikazano na slici 39.
Slika 39.
Sa slike se moţe uočiti da se u opsegu od -6 dB do -7.5 dB amplituda ( )G j vrlo malo
mijenja pa se u ovom opsegu moţe aproksimirati konstantom. Dakle, kriva se moţe
aproksimirati tako da frekvencija BW pri kojoj je amplituda zatvorenog sistema -3 dB,
odgovara frekvenciji za koju je amplituda sistema sa otvorenom povratnom spregom izmeĎu
6 dB i -7.5 dB, a faza izmeĎu 135 i 225 .
Prethodna analiza omogućava uspostavljanje veze izmeĎu propusnog opsega sistema sa
zatvorenom povratnom spregom BW odnosno vremena smirenja sistema sT i karakteristika
sistema sa otvorenom povratnom spregom.
Na osnovu provedene analize moţe se zaključiti slijedeće:
Propusni opseg sistema sa zatvorenom povratnom spregom BW se odreĎuje na onom mjestu
gdje je slabljenje sistema sa otvorenom povratnom spregom izmeĎu 6 dB i -7.5 dB, a fazno
kašnjenje izmeĎu 135 i 225 .
169
Dizajn P, PD i PID kontrolera u frekventnom domenu
Neka je dat sistem automatskog upravljanja kao na slici 40.
Slika 40. Opšta struktura sistema automatskog upravljanja
Problem sinteze kontrolera se svodi na odreĎivanje strukture i parametara kako bi se postigle
zadovoljavajuće performanse sistema.
Algoritam dizajna P kontrolera
Algoritam dizajna P regulatora se sastoji iz slijedećih koraka:
1. Nacrtati Bode-ove dijagrame sistema za pogodno izabrano K (npr. 1K ).
2. Iz specifikacija procenta preskoka ( MPOS )odrediti porebnu rezervu stabilnosti po
fazi m korištenjem sljedećih formula:
2
2
1
2 2
ln100%
100%
ln100%
MPOS
MPOS eMPOS
2 4
2
2 1 4m arctg
3. Naći frekvenciju m na Bodeovim dijagramima koja odreĎuje ţeljenu vrijednost
rezerve stabilnosti po fazi.
4. Promijeniti pojačanje za iznos AB (podići karakteristiku) tako da Bodeova amplitudna
karakteristika prolazi kroz 0 dB u m . Iznos AB (promjena pojačanja) je dodatno
potrebno pojačanje koje osigurava ţeljenu rezervu stabilnosti po fazi. Pojačanje se
obično moţe prikazati u obliku:
s nK K K
gdje je sK - startno pojačanje, a nK nova vrijednost.
Pojačanje u dB je: 20logAB K .
Pri sintezi P regulatora je moguće fiksirati BW , a vrijeme smirenja sT je onda odreĎeno
izborom BW i obrnuto. TakoĎe, moguće je postići ţeljeni preskok, ali je i time odreĎena
margina m .
Primjer:
Za pozicioni servo sistem upravljanja uglom radarske antene dat na slici 41. potrebno je
izvršiti sintezu P regulatora tako da pri referentnom step ulazu maksimalni preskok bude
9.48% .
170
Slika 41. Pozicioni servo sistem radarske antene
Na osnovu zadatih specifikacija slijedi:
2
2 2
2 4
ln100%
0.6
ln100%
259.19
2 1 4m
MPOS
MPOS
arctg
Bode-ov dijagram sistema za izabrano 3.6K je dat na slici 42.
Slika 42. Bode-ovi dijagrami za sistem sa slike 41.
Sa Bode-ovih dijagrama se očita da je frekvencija m za koju je fazna margina 59.19m
i iznosi:
14.8 /m rad s
Pojačanje AB potrebno da amplitudni Bode-ov dijagram proĎe kroz nulu na frekvenciji
14.8 /rad s se takoĎe očita na dijagramu i iznosi 44.2AB dB .
171
Ukupno pojačanje kontrolera je: 44.2
200 10 582o ABK K K K
Simulacijom se provjeri da li dizajnirani kontroler zadovoljava traţene specifikacije.
Simulacijom odziva sistema na step ulaz dobija se slijedeći rezultat:
Slika 43. Odziv sistema na step ulaz
Algoritam dizajna PD regulatora
Opšti oblik prenosne funkcije PD regulatora je:
( )PD dG s K K s
odnosno u drugačijoj formi:
( ) 1 1dPD d
KG s K s K T s
K
Sada se sistem upravljanja moţe prikazati u obliku kao na slici 44.
Slika 44. Sistem upravljanja sa PD regulatorom
Bode-ovi dijagrami ( ) 1dW s T s su već ranije konstruisani i prikazani na slici 9. Kao što je
poznato, derivativni član unosi pozitivan fazni pomjeraj, prigušujući sistem i čineći ga na taj
način stabilnijim.
172
Analiza uticaja derivativnog člana ( ) 1dW j T j se moţe izvršiti konstruisanjem Bode-
ovih dijagrama procesa ( )pG j i ( )W j . Uporedni prikaz dijagrama je dat na slici 45.
Slika 45. Bode-ovi dijagrami ( )pG j i ( )W j
Moţe se zaključiti da ako je 1
d
dT >> BW procesa tada će uticaj ( )W j na amplitudsku
karakteristiku ( ) ( )pG j W j biti zanemariv, odnosno amplitudska karakteristika
( ) ( )pG j W j je pribliţno jednaka amplitudskoj karakteristici procesa.
Algoritam dizajna PD regulatora u frekventnom domenu se sastoji iz slijedećih koraka:
1. Iz specifikacija sistema (MPOS i sT ) odrediti potrebno m i potrebni propusni opseg
sistema BW korištenjem slijedećih formula:
2
2 42 2
ln2100%
2 1 4ln100%
m
MPOS
arctgMPOS
173
2 4 231 2 4 4 2BW
sT
2. Izabrati dT takvo da je 1
10d
BW
T
, odnosno 10d BW učestanost za dekadu
veća od BW , te nacrtati Bodeov dijagram funkcije 1( ) ( 1) ( )dG s K T s G s za
proizvoljno (pogodno) izabrano K.
3. Promijeniti pojačanje K za potrebno AB tako da Bode-ov amplitudni dijagram proĎe
kroz -7 dB u tački BW . Pojačanje AB se odreĎuje na slijedeći način:
120 log log20
ABAB K K
4. Odrediti ms nalaţenjem m pri kojoj novodobijena amplitudna karakteristika
postiţe 0 dB, te je uporediti s potrebnom rezervom m dobijenom iz specifikacija
sistema.
5. Formirati razliku:
( )mm ms dsarctg T
Dalje slijedi:
( )m ds m msarctg T
Izračunati novo dT :
( )m d
d
m
tg arctg TT
6. Sa odreĎenim K i dT provjeriti analizom Bode-ovih dijagrama da li su specifikacije
zadovoljene.
Algoritam dizajna PI regulatora
Opšti oblik prenosne funkcije PI regulatora je:
( ) iPI p
KG s K
s
Obično se koristi slijedeća forma regulatora:
1( ) i i
PI p
K T sG s K K
s s
Sada se sistem upravljanja sa PI regulatorom se moţe prikazati u obliku kao na slici 46.
Slika 46. Sistem upravljanja sa PI regulatorom.
174
U cilju analize uticaja PI regulatora konstruisane su Bode-ove karakteristike člana
1( ) iT j
W jj
.
Slika 47. Bode-ove karakteristike 1
( ) iT jW j
j
Kao što se vidi sa slike 47. postoje NF domen ( i ) i VF domen ( i ). U VF domenu
faza je praktično jednaka nuli, a amplituda je konstantna i iznosi 20log iT . Cilj je postići što
veće pojačanje na niskim frekvencijama.
Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedećih koraka:
1. Odrediti pojačanje K (bez člana ( )W j ) prema algoritmu sinteze P regulatora u cilju
postizanja ţeljenog preskoka (koeficijenta prigušenja).
2. Izabrati proizvoljno iT , obično u granicama 0.5 2iT , (kako bi se obrazovao dipol
u s domenu).
3. Korigovati vrijednost iK koja je naĎena u koraku 1 za iznos od 20log iT jer je
dodavanjem člana ( )W j došlo do podizanja karakteristike. Potrebno je izvršiti
korekciju na slijedeći način:
20log 20log 20login is i
isin
i
K K T
KK
T
4. Provjeriti validnost dizajna konstruisanjem Bode-ovih dijagrama datog sistema.
175
Algoritam dizajna PID regulatora
Opšti oblik prenosne funkcije PID regulatora je:
( ) iPID P d
KG s K K s
s
Za dizajn ovog tipa regulatora se obično koristi slijedeća forma:
( 1)( 1)( ) d i
PID
T s T sG s K
s
Veze izmeĎu ovih formi su date na slijedeći način:
( )
i
d i p
d i d
K K
K T K K
K T T K
Ako se obiljeţi:
( ) ( 1)
1( )
PD d
iPI
G s K T s
T sG s
s
moţe se zaključiti da ovaj kontroler predstavlja kaskadno povezane PI i PD kontrolere.
Dakle opšta struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom se moţe predstaviti kao na
slijedećoj slici.
Slika 48. Opšta struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom
Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji iz slijedećih koraka:
1. Dizajnirati se PD dio regulator tj. odrediti parametri K i dT prema algoritmu za
dizajniranje PD regulatora.
2. Dizajnirati se PI dio regulatora, tj. proizvoljno izabrati parametar iT (0.5 2iT ) i
izvršiti korekciju pojačanja prema izrazu:
isin
i
KK
T
3. Formirati strukturu regulatora u obliku:
( 1)( 1)( ) i d
PID
K T s T sG s
s
4. Konstruiati se Bode-ovi dijagrami dobijenog sistema i provjeriti da li su zadovoljene
tranzijentne specifikacije.
176
TRAĆI DIO
Analiza i sinteza sistema u vremenskom domenu
U opštem slučaju sistem se moţe predstaviti na neki od slijedećih načina:
- U domenu kompleksne promjenljive s pomoću Laplace-ove transformacije
- U frekvencijskom domenu ( s j ) pomoću Fourier-ove transformacije
- U vremnskom domenu, pomoću koncepta prostora stanja
Koncept prostora stanja
Diferencijalne jenačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema se mogu zapisati na
više načina. Standardni način zapisa diferencijalne jednačine je u slijedećoj formi:
( )( ,..., ( ), ( ), ) 0
n
n
d y tf y t u t t
dt
Kao što je poznato linearni sistem se moţe opisati slijdedećom diferencijalnom jednačinom: 1
1 0 01
( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m
n n mn n m
d y t d y t d u ta a a y t b b u t
dt dt dt
Prethodna diferencijalna jednačina se moţe zapisati i slijedećoj (tzv. normalnoj) formi:
11 1
22 1
1
1
( ,..., , , )
( ,..., , , )
( ,..., , , )
( ) ( ,..., , , )
n
n
nn n
n
dxf x x u t
dt
dxf x x u t
dt
dxf x x u t
dt
y t g x x u t
gdje su:
( )u t - ulaz sistema
( )y t - izlaz sistema
1
T
nx x x - vektor stanja sistema tj. minimalni skup meĎusobno nezavisnih
koordinata ( 1,2,... )ix i n koje jednoznačno opisuju stanje sistema.
Dakle prethodni sistem jednačina se moţe zapisati u vektorskoj formi:
( , , )x f x u t
gdje su:
x - vektor stanja sistema
1,...,T
nf f f - vektor funkcija
Ovakav zapis sistema omogućava slijedeće koristi:
1. Rješavanje sistema je daleko jednostavnije (lakše je riješiti n jednačina prvog reda
nego jednu jednačinu n-tog reda)
2. Model u prostoru stanja jednostavno opisuje kako linearne tako i nelinearne sistema i
multivarijabilne sisteme
3. Teorija optimalnog upravljanja sistema zahtijeva matematički model sistema u
prostoru stanja
177
Matrični modeli linearnih vremenski stacionarnih sistema
Linearni sistem se moţe opisati slijedećim sistemom jednačina:
111 1 12 2 1 1
221 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
nn n nn n n
dxa x a x a x b u
dt
dxa x a x a x b u
dt
dxa x a x a x b u
dt
1 1 n ny c x c x D u
Prethodni sistem se moţe zapisati u slijedećoj matričnoj formi:
1 11 12 1 1 1
2 21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n n nn n n
x a a a x b
x a a a x bu
x a a a x b
1
2
1 2 n
n
x
xy c c c d u
x
ili u kraćoj formi:
x Ax B u
y Cx D u
uz početne uslove:
(0) (0)x x
gdje su:
n xn
A - matrica sistema
1n x
B - vektor ulaza sistema
1xn
C - vektor izlaza sistema
1 1x
D - vektor ulaz-izlaz sistema
Svali linearni sistem je jednoznačno odreĎen s matricama , ,A B Ci d .
Rješavanje diferencijalnih jednačina u prostoru stanja
Diferencijalne jednačine se u opštem slučaju mogu riješavati klasičnim putem ili primjenom
neke pogodne transformacije kao što je Laplace-ova transformacija.
Difrencijalnu jednačinu:
x ax
je moguće riješiti razdvajanjem promjenljivih:
dx dxax adt
dt x
178
Rješnje jednačine se dobija jednostavnom integracijom: atx Ce
pri čemu se konstanta C odreĎuje iz početnog uslova: 0(0)x x , pa se konačno dobija:
0( ) atx t x e
Analogno se moţe riješiti slijedeća diferencijalna jednačina:
x Ax
uz početne uslove 0(0)x x .
Sa ( )t je obiljeţena matrica Ate . Matrica ( )t se definiše na slijedeći način: 2
0
( ) ( )( )
! 2!
nAt
n
At Att e I At
n
gdje je sa I označena jedinična matrica.
Prema tome rješenje diferencijalne jednačine x Ax se dobija u slijedećem obliku:
( ) ( ) (0)x t t x
Matrica ( )t se naziva matrica prelaza stanja.
Sistem linearnih diferencijalnih jednačina:
x Ax B u
y Cx d u
u opštem slučaju moţe biti riješen na dva načina:
1. Direktno rješavanje metodom varijacije konstanti
2. Rješavanje Laplace-ovom transformacijom.
Primjenom metode varijacije konstanti dobija se slijedeće:
x Ax , 0(0)x x
odavde slijedi rješenje homogenog dijela:
( ) (0) ( ) (0)Atx t x e t x
Konačno rješenje se moţe dobiti kao zbir homogenog i partikularnog rješenja:
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
x t t x t Bu d
homogeni dio 0( )t x predstavlja uticaj početnih uslova, a partikularni dio 0
( ) ( )
t
t Bu d
predstavlja prinudni reţim. ( )x t predstavlja vektor varijabli stanja.
Primjenom Laplace-ove transformacije na sistem:
x Ax B u
y Cx d u
dobija se slijedeće:
0
0
1 1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
sX s x AX s BU s
sI A X s x BU s
X s sI A x sI A BU s
gdje je:
1 1( ) ( ) ( )
det( )sI A adj sI A s
sI A
179
Prema tome, dalje se moţe pisati:
0( ) ( ) ( ) ( )X s s x s BU s
gdje 1( ) ( )s sI A predstavlja Laplace-ovu sliku matrice prelaza stanja.
Vektor varijabli stanja u vremenskom domenu se dobija nalaţenjem inverzne Laplace-ove
transformacije od ( )X s :
( )x t L-1
{ ( )}X s
Odziv sistema se odreĎuje iz izraza:
( ) ( ) ( )y t Cx t Du t
primjenom Laplace-ove transformacije dobija se :
( ) ( ) ( )Y s CX s DU s
S obzirom da je:
0( ) ( ) ( ) ( )X s s x s BU s
za nulte početne uslove: 0 0x moţe se odrediti prenosna funkcija sistema ( )
( )
Y s
U s:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
Y s CX s DU sG s C s B D
U s U s
Primjer:
Naći matricu prelaza stanja datog u prostoru stanja sa:
1 1
2 2
0 3
1 2
x x
x x
uz početne uslove:
0
1
1x
Matrica prelaza stanje se dobija na slijedeći način:
( )t L-1
{ ( )}s
gdje se ( )s računa kao:
2 21
2 2
3 2
3 2 3 2( ) ( )
1
3 2 3 2
s
s s s ss sI A
s
s s s s
Odavde je: 2 2
2 2
2 2 2( )
2
t t t t
t t t t
e e e et
e e e e
Vektor stanja sistema nije jednoznačan, što je posljedica činjenice da postoji beskonačno
mnogo načina na koje se sistem moţe predstaviti.
Neka je sistem dat predstavom u prostoru stanja:
x Ax Bu
y Cx Du
uz vektor počentnih uslova:
0(0)x x
Smjenom ˆx Tx , gdje je T neka regularna matrica dobija se:
180
ˆ ˆ
ˆ
Tx ATx Bu
y CTx Du
S obzirom da vrijedi: 1ˆ ˆx Tx x T x
prethodni sistem se moţezapisati u slijedećem obliku: 1 1ˆ ˆ
ˆ
x T ATx T Bu
y CTx Du
, 1ˆ(0) (0)x T x
odnosno:
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ
x Ax Bu
y Cx Du
gdje se transformacije: 1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A T AT
B T B
C CT
D D
nazivaju transformacije sličnosti.
Ove transformacije mogu posluţiti za dovoĎnje sistema u prostiju formu za svrhe analize.
Jedna od mogućih je dijagonalna forma:
1 0
ˆ
0 n n xn
A
Homogeni dio tada prelazi u slijedeći oblik:
1 1 1
2 22
ˆ ˆ0 0
ˆ0 0ˆ
ˆ0 0ˆ n nn
x x
xx
xx
odnosno u sistem jednačina:
1 1 1ˆ ˆ
ˆ ˆn n n
x x
x x
Na osnovu prethodne analize moţe se zaključiti da se pomoću dijaginalne matrice sistem reda
n transformiše u n diferencijalnih jednačina prvog reda.
Matrica A se moţe prevesti u dijagonalnu formu transformacijom sličnosti ako ima
jednostruke realne svojstvene vrijednosti ili ako je simetrična.
Načini dobijanja modela u prostoru stanja
a) Dobijanje modela u prostoru stanja direktno iz obične diferencijalne jednačine
sistema
i) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: ( ) ( 1)
1 0( ) ( ) ( ) ( )n n
ny t a y t a y t u t
181
predstava u prostoru stanja se dobija uvoĎenjem slijedećih smjena:
1
2 1
1
11
0 1 1 2 1
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n nn
n
n n nn
x t y t
dy tx t x t
dt
d y tx t x
dt
d y tx t a x t a x t a x t u t
dt
Ovaj sistem se moţe predstaviti u slijedećoj matričnoj formi:
1 1
2 2
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1n n n
x x
x xu
x a a a a x
1
21 0 0 0
n
x
xy u
x
Odgovarajuće matrice su:
0 1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
n
A
a a a a
,
0
0
1
B
1 0 0C , 0D
Primjer:
Za datu diferencijalnu jednačinu naći model u prostoru stanja. 3 2
3 2
( ) ( ) ( )3 4 2 ( ) ( )
d y t d y t dy ty t u t
dt dt dt
Slijedećim smjenama:
1
2 1
3 2
3
x y
x x y
x x y
x y
dobija se matrični model sistema u prostoru stanja:
1 1
2 2
3 3
0 1 0 0
0 0 1 0
2 4 3 1
x x
x x u
x x
1
2
3
1 0 0
x
y x
x
182
ii) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: ( ) ( 1) ( )
1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n m
n my t a y t a y t u t bu t b u t
( n m )
predstava u prostoru stanja se dobija na korištenjem principa superpozicije svojsvenog
linearnim sistemima.
Posmatra se diferencijalna jednačina: ( ) ( 1)
1 0( ) ( ) ( ) ( )n n
nt a t a t u t
Na osnovu prethodnih razmatranja (slučaj i)) dobija se slijedeća matrična predstava u prostoru
stanja:
1 1
2 2
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1n n n
x x
x xu
x a a a a x
pri čemu su varijable stanja izabrane na uobičajen način:
1
2 1
( 1)
1
( )
1
( 1)
1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m
m m
m
m m
n
n n
x t t
x t x t t
x t x t t
x t x t t
x t x t t
Za linearni sistem vrijedi princip superpozicije:
1 2 1 2( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))L a u t b u t a L u t b L u t
Prema tome, izlaz sistema se moţe pisati u obliku: ( )
0 1( ) ( ) ( ) ( )m
my t b t b t b t
zamjenom derivacija ( )w t sa izabranim varijablama stanja dobija se:
0 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )m my t b x t b x t b x t
odnosno u matričnoj formi:
1
1
0
2
( ) 0 0m
m
m
n
x
xy t b b
x
x
Primjer:
Za datu diferencijalnu jednačinu napisati model u prostoru stanja:
( ) ( ) ( ) 6 ( ) 3 ( ) 4 ( )y t y t y t y t u t u t
Zadata diferencijalna jednačina se moţe, prema prethodnom razmatranju, zamijeniti
slijedećim jednačinama:
( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( )t t t t u t
4 ( ) 3 ( ) ( )t t y t
Promjenljive stanja se biraju na slijedeći način:
183
1
2 1
3 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t t
x t x t t
x t x t t
Odavde je:
3 3 2 1( ) ( ) ( ) 6x t t u t x x x
Matrični model sistema u prostoru stanja je:
1 1
2 2
3 3
0 1 0 0
0 0 1 0
6 1 1 1
x x
x x u
x x
1
2
3
3 4 0
x
y x
x
iii) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: ( ) ( 1) ( )
1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n
n ny t a y t a y t u t bu t b u t
analogno, kao u prethodnom slučaju data diferencijalna jednačina se moţe zamijeniti
slijedećim jednačinama: ( ) ( 1)
1 0( ) ( ) ( ) ( )n n
nt a t a t u t
( ) ( 1)
1 0( ) ( ) ( ) ( )n n
n nb t b t b t y t
UvoĎenjem promjenljivih stanja:
1
2 1
( 1)
1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )n
n n
x t t
x t x t t
x t x t t
odavde moţe se pisati:
0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nx t u t a x t a x t
0 1 1 0 1 1 0 1 1( )n n n n n n n n ny b x b x b x b x b x b u t a x a x
sreĎivanjem, za odziv sistema se dobija:
0 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n ny t b b a x t b b a x t b u t
Sada se sistem moţe zapisati u matričnoj formi:
1 1
2 2
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1n n n
x x
x xu
x a a a a x
1
2
0 0 1 1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n n
n
x
xy b b a b b a b b a b u
x
U opštem slučaju nelinearna diferencijalna jednačina oblika: ( )( ,..., , , ) 0nf y y u t
184
moţe biti prevedena u prostor stanja ako se moţe eksplicitno riješiti po najvišem izvodu tj.
ako se moţe prevesti u slijedeći oblik: ( ) ( 1)( ,..., , )n ny g y u t
Odavde trivijalne smjene:
1
2 1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )n n n
x t y t
x t x t y t
x t x t y t
prevode sistem u prostor stanja.
b) Dobijanje modela sistema u prostoru stanja iz simulacionih dijagrama
Simulacijom dinamičkih sistema dobija se rješenje sistema diferencijalnih jednačina
korištenjem računarskih mašina koje mogu biti analogne ili digitalne.
Osnovni simulacioni elementi su:
- Integrator
- Sumator
- Pojačavač
- Nelinearni element (histereza i sl.)
U simulacionim dijagramima se koriste slijedeći grafički simboli:
Simbol Jednačina Naziv
( ) ( )y t x t dt Integrator
1
n
i
i
y x
Sumator
y Kx Pojačalo
Dobijanje modela iz simulacionih dijagrama moţe biti izvršeno na više načina:
- Serijsko programiranje funkcije prenosa
- Paralelno programiranje funkcije prenosa
- Direktno programiranje funkcije prenosa
Neka je prenosna funkcija sistema u s domenu data na slijedeći način:
( ) ( )( )
( ) ( )
Y s Q sG s
U s P s
Različiti načini programiranja funkcije prenosa koriste različite forme predstavljanja prenosne
funkcije.
185
Serijsko programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu:
1
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )i n
Q s KG s
P s s s s s s s
pri čemu se pretpostavlju realni polovi.
Prenosna funkcija sistema se moţe zapisati u obliku:
1
1 1( )
( ) ( ) ( )i n
KG s
s s s s s s
Element ( ) 1
( ) i
X s
U s s s
se moţe prikazati simulacionim dijagramom na slijedeći način:
( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )i i
i
X ss s x s U s x t s x t u t
U s s s
odavde se dobija:
( ) ( ) ( )ix t s x t u t
Koristeći standardne grafičke simbole posljednji izraz se moţe grafički predstaviti:
Slika 1. Grafička predstava elementa 1
is s
Kompletan simulacioni dijagram predstavlja kaskadnu vezu ovakvih elemenata:
Slika 2. Kompletan simulacioni dijagram sistema 1
( )( ) ( )n
KG s
s s s s
Ako se kao koordinate stanja izaberu izlazi integratora iz simulacionog dijagrama dolazi se do
modela sistema u prostoru stanja:
1 1 1
2 2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0n n n
x s x
x s xK
x s x K
1
21 0 0 0
n
x
xy u
x
186
Paralelno programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu:
11
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
ni
in i
KQ s Q sG s
P s s s s s s s
Paralelna forma koristi Heaviside-ov razvoj prenosne funkcije u parcijalne razlomke.
Kompletan simulacioni dijagram se dobija paralelnim vezivanjem pojedinih simulacionih
elementa.
Slika 3. Kompletan simulacioni dijagram sistema 1
( )n
i
i i
KG s
s s
Izborom koordinata stanja kao izlaza integratora dobija se:
1 1 1
1 1 2 2
n n n
n n
x s x u
x s x u
y K x K x K x
ili u matričnoj formi:
1 1 1
2 2 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1n n n
x s x
x s xu
x s x
187
1
2
1 2 n
n
x
xy K K K
x
ovakva forma modela u prostoru stanja (matrica A dijagonalna) naziva se modalna kanonska
forma sistema i najjednostavnija je moguća za analizu sistema. Dijagonalna matrica se moţe
dobiti jedino ako prenosna funkcija sistema ( )G s ima sve jednostruke realne polove.
Direktno programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu: 1
1 0
1
1 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
b s b s bY sG s
U s s a s a
Prenosna funkcija se moţe transformisati na slijedeći način:
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
m
m
n
b s bY s Y s V s Y s V sG s
U s U s V s V s U s s a
Odavde je: 1
1 0
1
1 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n
n
m m
m m
s a s a V s U s
b s b s b V s Y s
ili u vremenskom domenu: ( ) ( 1)
1 0
( ) ( 1)
1 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
m m
m m
v t a v t a v t u t
b v t b v t b v t y t
Kompletan simulacioni dijagram sistema ( )G s direktnog programiranja funkcije prenosa za
najopštiji slučaj ( )n m je dat na slici 4.
Slika 4. Simulacioni dijagram direktnog programiranja prenosne funkcije
Ako se kao promjenljive stanja izaberu izlazi integratora dobije se slijedeći model:
188
1 1
2 2
0 1 2
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1n n n
x x
x xu
x a a a a x
1
2
0 0 1 1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n n
n
x
xy b b a b b a b b a b u
x
Ovakva forma matrice A se naziva kontrolabilna kanonska forma.
Analiza stabilnosti dinamičkih sistema u prostoru stanja
Analiza stabilnosti sistema u prostoru stanja se provodi za sistem bez ulaznog pobudnog
signala, tj. samo uz dejstvo početnih slova
Već ranije je pokazano da je rješenje diferencijalne jednačine:
x Ax
uz početne uslove:
0(0)x x
dato preko matrice prelaza stanja:
0 0( ) ( ) Atx t t x e x
Za linearni vremensko invarijantni (LVI) sistem se uvode slijedeće definicije:
a) LVI sistem dat u prostoru stanja jednačinom x Ax uz početne uslove 0(0)x x se
kaţe da je asimptotski stabilan ako za moduo vektora stanja vrijedi:
lim ( ) 0t
x t
Ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 5.
Slika 5. Asimptotski stabilan sistem
189
b) Za sistem se kaţe da je marginalno stabilan ako je:
lim ( )t
x t M
ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 6.
Slika 6. Marginalno stabilan sistem
c) Sistem je nestabilan ako je:
lim ( )t
x t M
Slika 7. Nestabilan sistem
S obzirom da je 0( ) ( )x t t x to se moţe zaključiti da stabilnost odreĎuje matrica prelaza
stanja ( ) Att e L-1 1{( ) }sI A .
190
Laplace-ova transformacija matrice prelaza stanja je:
1 1( ) ( ) ( )
det( )s sI A adj sI A
sI A
odnosno u opštem obliku:
11 1
1
( ) ( )1
( )det( )
( ) ( )
n
n nn
G s G s
ssI A
G s G s
Analizirajući ( )s moţe se pisati:
0
11 1 10
1 0
0
1
( ) ( )
( ) ( )1
( )det( )
( ) ( )
1( ) ( )
det( )
n
n nn n
n
i ij i
j
X s s x
G s G s X
X ssI A
G s G s X
X s G s XsI A
( )ix t L-1 ( )iX s
Jednačina:
Ax x
definiše sopstvene vektore i sopstvene vrijednosti matrice A.
Dalje se moţe pisati:
0
( ) 0
det( ) 0
Ax x
x A I
A I
Izraz det( )sI A predstavlja polinom n-tog reda.
Sada se dobija:
0
1
1 2
( )
( )( )( ) ( )
n
ij i
j
i
i
G s X
X ss s s
gdje su sa i ( 1,2,...i n ) obiljeţene sopstvene vrijednosti matrice A.
Na osnovu prethodnog izlaganja prenosna funkcija sistema se moţe dobiti u obliku:
1 2
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )n
Q s Q sG s
P s s s s s s s
Prema tome, polovi prenosne funkcije predstavljaju sopstvene vrijednosti matrice A.
Za sistem zadat u prostoru stanja:
x Ax Bu
y Cx
prenosna funkcija se moţe odrediti na slijedeći način:
1( )( )
( )
Y sC sI A B
U s
( )( )
det( )
C adj sI A BG s
sI A
Za koordinate stanje se moţe pisati:
( ) it
i ix t C e
191
Odavde se moţe zaključiti slijedeće:
2lim ( ) lim 0it t
x t x
; za svako 0i
lim ( )t
x t
; ako je bilo koji i >0
lim ( )t
x t M
; ako je neki 0k , a svi ostali manji od 0
Na osnovu ovoga vrijedi:
a) Sistem dat u prostoru stanja sa x Ax je asimptotski stabilan ako sve sopstvene
vrijednosti matrice A imaju negativne realne dijelove (lijeva poluravan s ravni).
b) Sistem je marginalno stabilan ako matrica A ima jednostruke sopstvene vrijednosti s
nultim realnim dijelom, a sve ostale imaju negativan realni dio.
c) Sistem je nestabilan ako ima bar jednu pozitivnu sopstvenu vrijednost ili višestruke
sopstvene vrijednosti sa nultim realnim dijelom.
Kontrolabilnost i opservabilnost sistema
Neka je sistem dat u prostoru stanja:
x Ax Bu 0(0)x x
y Cx
Kontrolabilnost govori da li je uopšte moguće upravljati nekim sistemom.
Za svaki sistem dat u prostoru stanja se kaţe da je kontrolabilan ako ga je iz bilo kojeg
početnog stanja 0(0)x x mogućeo prevesti u bilo koje drugo krajnje stanje 0( )fx t za
konačno 0t .
Slika 8. Kontrolabilnost sistema
Linearni vremensko invarijantni sistem (SISO) je kotrolabilan ako matrica kontrolabilnosti C: 2 1nC B AB A B A B
ima rang n.
Za kvadaratnu matricu uslov rangC n je ekvivalentan uslovu det 0C (regularna matrica).
192
Opservabilnost sistema pokušava odgovoriti na pitanje da li je moguće na bazi mjerenja izlaza
sistema ( )y t rekonstruisati kompletan vektor stanja x .
Za sistem dat u prostoru stanja moţe se pisati:
(0) (0)y C x
2 22
2 2
1 11
1 1
(0)'(0) (0)
(0) ( (0))(0)
(0) ( (0))(0)
n nn
n n
dyC x C A x
dt
d y d xC CA x
dt dt
d y d xCA x
dt dt
Ili u matričnoj formi:
1
222
32
1
1
1
(0)
(0) (0)
(0)(0)
(0)
(0)(0)
n
nn
n
y
dy xCdt
xCAd y
xCAdt
xCAd y
dt
Matrica 2 1T
nO C CA CA CA se naziva matrica opservabilnosti.
Sistem je opservabilan ako matrica O ima rang n. Za SISO sistem ovaj uslov je ekvivalentan
uslovu det 0O .
Stabilnost Lyapunov-a
Prema teoremi Lyapunov-a moguće je ispitati stabilnost sistema ako se moţe naći funkcija
V(x) takva da je V(x)>0 i V(0)=0 i ako je moguće pokazati da je:
( )0
dV x V dx
dt x dt
tada je sistem asimptotski stabilan.
Na slici 9. je prikazano kretanje sistema u prostoru stanja u slučaju stabilnog sistema:
Slika 9. Asimptotski stabilan sistem
193
Vidi se da je nakon nekog vremena vektor stanja sigurno u koordinatnom početku.
Ako se za sistem x Ax formira funkcija ( ) TV x x p x (u nastavku vektor x se
obiljeţava sa x ) tada je:
( ) ( )T T T T T T T T TdV V dxx px x px A x px x pAx x A px pAx x A p pA x
dt x dt
gdje je 0Tp p simetrična i pozitivno definitna matrica.
Prema tome, da bi bio ispunjen uslov stabilnosti:
( )0
dV x
dt
slijedi da matrica: TA p pA Q mora biti negativno definitna, odnosno matrica Q mora
biti pozitivno definitna.
Teorem stabilnosti se moţe formulisati i na slijedeći način:
LVI sistem x Ax je asimptotski stabilan ako za bilo koju simetričnu i pozitivno definitnu
matricu Q ( 0)TQ Q postoji jedinstveno rješenje jednačine TA p pA Q po p , tako
da je 0Tp p
Sinteza upravljanja u prostoru stanja
Općenito problem sinteze upravljanja u prostoru stanja se klasificira u dva problema.
a) tzv. problem regulatora,
b) servo-problem / problem praćenja
Problem regulatora
Za sistem dat u prostoru stanja:
x Ax Bu 0(0)x x
y Cx
Problem regulatora se formuliše kao:
Potrebno je naći upravljanje ( )u f x odnosno upravljanje u funkciji vektora stanja koje na
ţeljeni način karakteriše poremećaj tipa početnih uslova.
Izabere se najjednostavnije moguće upravljanje u formi linearne kombinacije vektora stanja:
u k x
odnosno u razvijenoj formi:
1
1 1 2 2 1
T
n n n
n
x
U k x k x k x k k k x
x
gdje je:
T
k - vektor pojačanja dimenzija 1xn
x - vektor koordinata stanja dimenzija 1nx
Sada se moţe pisati:
x Ax Bu u kx
( )x Ax Bkx x A Bk x
194
Dinamika sistema je sada odreĎena matricom . Ovo je regulator sa postavljanjem polova, jer
se pomoću vektora k moţe postaviti svaki pol sistema.
Neka je sistem dat u kontrolabilnoj formi:
11
22
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1n n
xx
xxu
a a a a xx
y Cx
Prenosna funkcija sistema je:
1
1 0
( )( )
n n
n
Q sG s
s a s a
a karakteristični polinom sistema: 1
1 0( ) n n
ns s a s a
Upravljanje u k x u stvari predstavlja povratnu spregu pomoću koje se svi polovi
smještaju na ţeljene lokacije: 1
1 2 1 0( ) ( )( ) ( ) n n
d i nP s s s s s a s a
gdje su i ( 1,2,... )i n ţeljeni polovi.
Dalje je:
11
1
22
1
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0( 1)
1
n
n
n n
xxx
xxk k
xa a a a xx
11
22
0 1 1 2 2 3 1
0 1 0 0
0 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( )n n n
xx
xx
a k a k a k a k xx
Karakteristična polinom ovog sistema je: 1
1 0 1( ) ( ) ( )n n
f n nP s s a k s a k
a ţeljeni karakteristični polinom je: 1
1 2 1 0( ) ( )( ) ( ) n d n d
d i nP s s s s s a s a
Izjednačavanjem koeficijenata se dobija:
1 1
0 0 1
d
n n n
d
a a k
a a k
Konačno se dobija:
1 1
1 0 0
d
n n n
d
k a a
k a a
195
Ovo je tzv. pole placement regulator i prikazan je na slici 10.
Slika 10. Pole placement regulator
Vektor pojačanja k se moţe odrediti pomoću tzv. Ackermann-ove formule:
10 0 1 ( )ck p q A
gdje je:
1n
cp B AB A B - matrica kontrolabilnosti
1
1 0( ) n d n d
nq A A a A a I
- matrični polinom
Problem praćenja
Za sistem dat u prostoru stanja:
x Ax Bu 0(0)x x
y Cx
Problem praćenja se formuliše kao:
Izvršiti sintezu regulatora u prostoru stanja tako da sistem prati referentnu ulaznu vrijednost sa
nultom greškom u stacionarnom stanju i ţeljenim tranzijentnim odzivom.
Ako se ţeli da sistem prati referentni signal ( ) .r t const tada se uvode pomoćne jednačine:
e r y
0e y y Cx
Sada se jednačine sistema u prostoru stanja mogu pisati kao:
x Ax Bu
e Cx
uvoĎenjem novih promjenljivih z i w kao:
z x w u
sistem jednačina dobija novi oblik:
z Az Bw
e Cz
ili u matričnoj formi:
0 0
0
e C ew
z A z B
Ako je sistem kontrolabilan, tada se prema prethodnom postupku moţe odrediti upravljanje:
1
Tw k e k z
koje će obezbijediti asimptotsko praćenje referentnog ulaza sa nultom greškom u ustaljenom
stanju.
196
Observeri (estimatori) stanja
Iz prethodnog izlaganja se vidi da je za sintezu regulatora potrebno poznavati koordinate
stanja. MeĎutim, u praksi nisu sve varijable stanja uvijek dostupne ili se ne mogu mjeriti, pa
ih je potrebno na neki način odrediti. Koordinate stanja je moguće odrediti (pribliţno) ako je
sistem opservabilan.
Neka je sistem dat u prostoru stanja:
( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t 0(0)x x
( ) ( )y t Cx t
Ako se procjena koordinata stanja označi sa x̂ , jednačina estimatora stanja je:
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))x t Ax t Bu t k y t y t
ˆ ˆ( ) ( )y t Cx t
Ako se greška procjene definiše kao: ˆ( ) ( ) ( )e t x t x t
odavde je:
ˆ( ) ( ) ( )e t x t x t
zamjenama: ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t i ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))x t Ax t Bu t k y t y t u prethodnoj jednačini
i sreĎivanjem dobija se:
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e t x t x t Ae t kCe t
( ) ( ) ( )e t A k C e t
Problem sinteze observatora je u odreĎivanju takvog vektora k da greška što brţe konvergira
nuli.
Ako se uzme: T T T TD A kC D A C k
problem se svodi na problem sinteze regulatora, pa se moţe primijeniti Ackermann-ova
formula za odreĎivanje vektora Tk
10 0 1 ( )T
ck p q A
gdje je:
1( )T T T T n T
cp C A C A C - matrica opservabilnosti
1
1 0( ) ( ) ( )T n T n
nq A A a A a I
- matrični polinom
ia ( 1,..., 1i n ) – koeficijenti karakterističnog polinoma za ţeljene lokacije polova