UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO ENGENHARIA ELÉTRICA Automatizando a obtenção da complexidade baseada em linguagem regular de autômatos celulares elementares Fábio Tokio Miki Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica, como parte das Exigências para Obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Elétrica, na Área de Concentração em Engenharia da Computação. Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira São Paulo – SP 2006
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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃOENGENHARIA ELÉTRICA
Automatizando a obtenção da complexidadebaseada em linguagem regular de autômatos
celulares elementares
Fábio Tokio Miki
Dissertação de Mestradoapresentada ao Programa de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica, como parte dasExigências para Obtenção do Graude Mestre em Engenharia Elétrica,na Área de Concentração emEngenharia da Computação.
Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira
São Paulo – SP2006
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Dedicatória
À minha amiga e companheiraFabíola, pelo carinho, amor, incentivo ecompreensão aos finais de semana ausente.
À minha mãe Hihumi, pelo exemplode força, perseverança, dedicação e amorcom seus filhos.
À minha irmã Cinthia, pela amizade,companheirismo e pela Luz que irradia.
Ao meu pai Eijiro, pelo caráter,sabedoria, carinho, amizade e apoio emtodos os momentos de minha vida.
Aos meus avós, pelo exemplo deconduta e união, vividas e repassadas paranossa família.
Agradecimentos
Ao nosso Deus, pela sabedoria e oportunidade oferecida.
A todos meus familiares, sempre presentes em minha vida.
Aos meus colegas empreendedores da empresa Setis Automação e Sistemas
Ltda, que em momentos necessários apoiaram o desenvolvimento deste trabalho.
A Universidade Presbiteriana Mackenzie, pelo idealismo e dedicação ao ensino
na nossa sociedade.
Ao MACKPESQUISA - Fundo Mackenzie de Pesquisa, pelo suporte, reserva técnica
e bolsa parcial concedida, que colaboraram com desenvolvimento do presente trabalho
À Wolfram Research, pela bolsa integral de hospedagem fornecida, durante
minha participação no NKS-Summer School 2005.
Ao Victor Trafaniuc, pela paciência e suporte técnico oferecido que
contribuíram com o desenvolvimento desta pesquisa.
Em especial ao professor Dr. Pedro Paulo, meu orientador e amigo, pela
dedicação, incentivo e por estar sempre presente direcionando esta pesquisa.
Esta pesquisa foi possível graças aos seguintes financiamentos concedidos a meu
orientador: o projeto, já concluído, Advances in computing with cellular automata,
concedido pelo MACKPESQUISA , Edital 2004; o Mathematica Academic Grant Nº 1149,
concedido pela Wolfram Research; e o projeto Computing with cellular automata and
their temporal or spatial compositions, concedido pela FAPESP (Proc. 2005/04696-3).
A.1. TABELA DE COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS REGULARES [WOLFRAM, 1994].73
A.2. TABELA DE COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS REGULARES [TRAFANIUC, 2004]...................................................................................................................................................... 76
A.3. RESULTADO DA ANÁLISE AUTOMÁTICA DE CRESCIMENTO .................................... 79
FIGURA 2.1. REPRESENTAÇÃO DE UMA CADEIA FINITA UTILIZANDO LIMITESPERIÓDICOS. .....................................................................................................................................8
FIGURA 2.2. APLICAÇÃO DA REGRA DE TRANSIÇÃO EM UM AC. ...............................................8FIGURA 2.3. PROCESSO DE NUMERAÇÃO DE REGRAS – REGRA 110.........................................10FIGURA 2.3. DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPORAL DAS REGRAS 110, 124, 137 E 193 [WOLFRAM,
2002]...................................................................................................................................................12FIGURA 2.4. EVOLUÇÃO DA REGRA 254 [WOLFRAM, 2002]. ........................................................14FIGURA 2.5. EVOLUÇÃO TEMPORAL DA REGRA 250 [WOLFRAM, 2002]...................................15FIGURA 2.6. REGRA 90 APLICADA EM 50 PASSOS DE TEMPO [WOLFRAM, 2002]....................15FIGURA 2.7. CLASSES DINÂMICAS DOS AUTÔMATOS CELULARES [WOLFRAM, 1984]. (A)
AUTÔMATO CELULAR CLASSE 1, (B) AUTÔMATO CELULAR CLASSE 2, (C) AUTÔMATOCELULAR CLASSE 3 E (D) AUTÔMATO CELULAR CLASSE 4. ..............................................17
FIGURA 2.8. FIGURA QUE DEMONSTRA OS EFEITOS CAUSADOS COM PEQUENAALTERAÇÃO NA CONDIÇÃO INICIAL PARA AS QUATRO CLASSES DE AUTÔMATOSCELULARES [WOLFRAM, 2002]. ..................................................................................................19
FIGURA 2.9. EFEITOS CAUSADOS COM PEQUENA MODIFICAÇÃO NA CONDIÇÃO INICIALNA REGRA 110 – CLASSE 4 DE AUTÔMATO CELULAR [WOLFRAM, 2002]........................20
FIGURA 3.1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE AUTÔMATOS FINITOS DETERMINÍSTICOSCOM ALFABETO BINÁRIO Σ ={0,1} QUE (A) ACEITA TODAS AS PALAVRAS FORMADASPOR Σ; (B) ACEITA A LINGUAGEM (0+11)*. ..............................................................................25
FIGURA 3.2. RELAÇÃO ENTRE A EVOLUÇÃO TEMPORAL DE UM AUTÔMATO CELULARELEMENTAR E UM AUTÔMATO FINITO. ..................................................................................27
FIGURA 3.3. AUTÔMATO FINITO REPRESENTANDO GRAFICAMENTE A CONDIÇÃO INICIALDE UM AUTÔMATO CELULAR BINÁRIO : (A) SEGUINDO A MESMA NOTAÇÃODESCRITA NA FIGURA 3.1; (B) FORMA DE VISUALIZAÇÃO IMPLEMENTADA NOSOFTWARE MATHEMATICA E UTILIZADA EM [TRAFANIUC, 2004]. .....................................28
FIGURA 3.4. DIAGRAMA ESPAÇO TEMPORAL E GRAFOS GERADOS PARA 02 PASSOSTEMPORAIS DAS REGRAS 255 E 4 DO ESPAÇO ELEMENTAR [TRAFANIUC, 2004]. .........29
FIGURA 3.5. GRAFOS GERADOS A CADA PASSO DE TEMPO PARA A REGRA 126[TRAFANIUC, 2004].........................................................................................................................30
FIGURA 3.6. LEITURA DA TABELA A.1. [WOLFRAM, 1994]. ..........................................................32FIGURA 3.7. EXECUÇÃO DA FUNÇÃO TRIMNET.............................................................................33FIGURA 3.8. SEQÜÊNCIA DE UTILIZAÇÃO DE NETCASTEP, TRIMNET E MINNET. .................34FIGURA 3.9. VALIDAÇÃO DOS DADOS APRESENTADOS EM TABELA DE [TRAFANIUC,
2004]...................................................................................................................................................36FIGURA 3.10. ILUSTRAÇÃO DO ALGORITMO UTILIZADO EM [TRAFANIUC, 2004].................36FIGURA 3.11. GRAFOS DE TEMPOS CONSECUTIVOS (T E T+1) DA REGRA 128. .......................38FIGURA 3.12. GERAÇÃO DE SUBGRAFOS DE T+1 COM MESMA QUANTIDADE DE NÓS QUE
O GRAFO EM T. ...............................................................................................................................39FIGURA 3.13. SELEÇÃO DE SUBGRAFOS CANDIDATOS PARA IDENTIFICAÇÃO DA
ESTRUTURA COMUM EM PASSOS DE TEMPOS CONSECUTIVOS. ......................................39FIGURA 3.14. SELEÇÃO DE SUBGRAFO COM MENOR DIFERENÇA. ...........................................40FIGURA 4.1. MÓDULO DE GERAÇÃO E ARMAZENAMENTO. .......................................................43FIGURA 4.2. ILUSTRAÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO DA OPERAÇÃO DE DIFERENÇA. ..............44FIGURA 4.3. OPERAÇÃO DE DIFERENÇA APLICADA ENTRE GRAFOS DA REGRA 184 NOS
INSTANTES T=1 E T=2....................................................................................................................45FIGURA 4.4. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 11 RETIRADA DO APÊNDICE A.3.........48FIGURA 4.5. REGRA 184 EM EVOLUÇÃO TEMPORAL COM CONDIÇÃO INICIAL (#1S = #0S).51FIGURA 4.6. REGRA 184 EM EVOLUÇÃO TEMPORAL COM CONDIÇÃO INICIAL (#1S > #0S).52FIGURA 4.7. REGRA 184 EM EVOLUÇÃO TEMPORAL COM CONDIÇÃO INICIAL (#1S < #0S).
............................................................................................................................................................52FIGURA 4.8. GRAFO LIMITE DA REGRA 184. ....................................................................................53FIGURA 4.9. ANÁLISE DE ESTRUTURAS PRESENTES NOS GRAFOS RELACIONADOS À
REGRA 184. ......................................................................................................................................54FIGURA 4.10. ANÁLISE DO DIAGRAMA ESPAÇO TEMPORAL DA REGRA 184..........................54FIGURA 4.11. RESULTADOS DA OPERAÇÃO DE DIFERENÇA DE GRAFOS................................56FIGURA 4.12. ILUSTRAÇÃO DA OPERAÇÃO DE OBTENÇÃO DO GRAFO LIMITE PARA A
FIGURA 5.1. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 43 COM CRESCIMENTO LINEAR DESDEO PRIMEIRO INSTANTE DE TEMPO............................................................................................61
FIGURA 5.2. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 56 COM CRESCIMENTO LINEAR DESDEO SEGUNDO INSTANTE DE TEMPO............................................................................................63
FIGURA 5.3. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 50 COM CICLO=2 E CRESCIMENTOLINEAR . ...........................................................................................................................................65
FIGURA 5.4. ESTRUTURA ADICIONADA E EXCLUÍDA DA REGRA 50 COM CRESCIMENTOLINEAR. ............................................................................................................................................66
FIGURA 5.5. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 81 SEM ESTRUTURA REPETITIVA MASCOM CRESCIMENTO LINEAR. .....................................................................................................68
FIGURA 5.6. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 11 CRESCIMENTO LINEAR PARATEMPO PAR E ÍMPAR.....................................................................................................................70
Índice de Tabelas
TABELA 2.1. REPRESENTAÇÃO DA REGRA DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS DE UMAUTÔMATO CELULAR BINÁRIO. .................................................................................................7
TABELA 2.2. TRANSFORMAÇÃO DO AC ELEMENTAR 110 EM SUA REGRA EQUIVALENTE124......................................................................................................................................................11
TABELA 2.3. TRANSFORMAÇÃO DO AC ELEMENTAR 110 EM SUA REGRA EQUIVALENTE137......................................................................................................................................................11
TABELA 2.4. TRANSFORMAÇÃO DO AC ELEMENTAR 124 EM SUA REGRA EQUIVALENTE193......................................................................................................................................................11
TABELA 2.5. TRANSFORMAÇÃO DO AC ELEMENTAR 137 EM SUA REGRA EQUIVALENTE193......................................................................................................................................................12
TABELA 2.6. CLASSES DE REGRAS EQUIVALENTES DO ESPAÇO ELEMENTAR [WOLFRAM,1994]...................................................................................................................................................13
TABELA 3.1. EVOLUÇÃO DOS GRAFOS PARA REGRAS COM CRITÉRIOS DE PARADASDISTINTOS. ......................................................................................................................................37
TABELA 3.2. RESULTADO DO MÉTODO DE BUSCA DE SUBGRAFOS COMUM DA REGRA 128.............................................................................................................................................................41
TABELA 5.1. EXPRESSÕES DE CRESCIMENTO DA TABELA DE COMPLEXIDADE[WOLFRAM, 1994] QUE PERMANECIAM VAZIA ......................................................................71
TABELA A.1. COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS REGULARES [WOLFRAM, 1994]. .............75TABELA A.2. TABELA QUE DEMONSTRA A COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS
REGULARES, RETIRADA DO TRABALHO DE PESQUISA [TRAFANIUC, 2004]...................78
1
Resumo
Autômatos celulares são sistemas dinâmicos e computacionais totalmente discretos no
tempo, no espaço e em suas variáveis de estado. Sabe-se que, para um autômato celular
elementar, o conjunto de todas as configurações possíveis de se obter decorrida uma
quantidade finita de passos de tempo de sua evolução temporal constitui uma linguagem
regular. Com isso, esse conjunto de cadeias pode ser representado por um autômato finito
determinístico mínimo, e a quantidade de estados e transições entre eles pode ser
considerada uma medida da complexidade (em linguagem regular) da regra elementar em
questão; tal processo, apesar de eventualmente custoso computacionalmente, está bem
resolvido na literatura. No entanto, quando se deseja obter a representação do autômato
finito limite, isto é, para uma quantidade infinita de passos de tempo, essa máquina pode
não existir para algumas regras, e, mesmo em alguns casos em que se sabe que ela existe,
não há ainda um método que a gere automaticamente. O presente trabalho caminha na
direção de ajudar a solucionar este último problema, apesar de que ainda não foi possível
derivar o algoritmo de comportamento limite. No entanto, avança-se aqui com relação ao
método atualmente existente, no sentido de, através de um novo algoritmo, derivar
automaticamente expressões de crescimento do autômato finito representativo de cada
passo de tempo, inclusive em casos ainda não reportados, o que lança luz sobre a questão
original, abrindo perspectivas para que a obtenção automática do autômato finito limite
possa ser obtida posteriormente.
Abstract
Cellular automata are dynamical and computational systems, totally discrete in time, space
and their state variables. It is known that, for elementary cellular automata, the set of all
possible configurations that can appear at any finite number of time steps in their temporal
evolution constitutes a regular language. As a consequence, such a set of strings can be
represented by a minimal deterministic finite automaton, and the quantity of states and
transitions among them may be considered a measure of the (regular language) complexity
of the rule at issue; performing such a process may be computationally intensive, but it is
well solved in the literature. However, when the target is the limit finite automaton, that is,
the one after an infinite number of time steps, the machine may not exist for some rules, and
the currently existing method fails to automatically generate it for some rules for which it is
known otherwise that a solution does exist. This work aims at helping the solution of the
latter problem, although the actual derivation of the algorithm to automatically generate the
limit finite automaton has not yet been possible. However, it goes further the currently
existing method, by means of a new algorithm for automatically yielding the growth
expressions of the finite automaton representative of each time step, including some cases
not reported so far, therefore shedding light over the issue, and opening perspectives for a
subsequent automatic derivation of the limit finite automaton.
2
Capítulo 1
Introdução
Autômatos Celulares (ACs) são sistemas distribuídos espacialmente, consistindo
de um grande número de componentes simples e idênticos, com conectividade local.
Esses sistemas são discretos no tempo, no espaço, e nas variáveis de estado, cuja
interação local de seus componentes, pode resultar em comportamento global
extremamente complexo. Essa capacidade de processamento coordenado de
informações globais, a partir de forte restrição local, é conhecido como computação
emergente [Mitchell and Crutchfield, 1995], e está presente em inúmeros sistemas
naturais, razão pelo qual, os ACs vem sendo utilizados em modelagem de sistemas..
Os autômatos celulares durante a evolução temporal, apresentam um
comportamento de auto-organização, no qual pode ser atribuído a um processo
computacional. Essa evolução pode ser caracterizada, através da teoria das linguagens
formais [Wolfram, 1984]. O conjunto de configurações possíveis para um número finito
de passos da evolução temporal de um autômato celular, forma uma linguagem regular,
onde cada palavra ou cadeia de símbolos pertencente a esta linguagem, corresponde a
uma configuração do autômato celular. De acordo com hierarquia de Chomsky, as
linguagens regulares fazem parte da classe mais simples de linguagens, Tipo-3, e são
aceitas ou reconhecidas por máquinas classificadas como autômatos finitos (verificar
definição formal na Seção 3.3). O conceito dessas máquinas podem ser baseados na
idéia de um sistema capaz de efetuar leitura seqüencial e de gerar ou processar cadeias
de símbolos. Ao término de um processamento de uma cadeia de símbolos, quando
essas máquinas atingem um estado final de aceitação, pode-se afirmar que ocorreu a
aceitação da cadeia, ou seja, a cadeia de símbolos pertence à linguagem regular
reconhecida pelo autômato finito. O tamanho do autômato finito correspondente a uma
determinada linguagem regular, determina a complexidade da linguagem, e podem
indicar o grau de complexidade de configurações apresentadas por autômatos celulares
em evolução.
O estudo de autômatos celulares em evolução e a relação existente com a
complexidade de autômatos finitos, foi iniciado em pesquisa anterior intitulada como
3
“Caracterização computacional do comportamento limite de alguns autômatos celulares
elementares” [Trafaniuc, 2004]. Nesse trabalho, a tabela de complexidade de
linguagens regulares de [Wolfram, 1994] foi reconstruída. Essa tabela, exibe a
complexidade de autômatos finitos, relacionada ao número de nós e arestas necessários
para a representação gráfica da máquina. Em [Trafaniuc, 2004], novos resultados foram
apresentados utilizando métodos iterativos [Wolfram, 2002] e representações gráficas
de máquinas, que permitiram análise e observações visuais. O presente trabalho
apresenta-se como continuidade a essa pesquisa, com novas investigações da
complexidade de linguagens regulares associadas a regras de autômatos celulares,
dentro do espaço elementar, através de processos automatizados desenvolvidos.
O Capítulo 2 apresenta uma descrição geral de autômatos celulares, definição,
funcionamento, classificação dinâmica e exemplos que fornecem uma introdução
teórica a essa classe de sistema, estudada nesta pesquisa.
O Capítulo 3 apresenta a relação existente entre a complexidade de autômatos
finitos e a caracterização de autômatos celulares, e o processo desenvolvido em
[Trafaniuc, 2004] abordando esse relacionamento.
O Capítulo 4 apresenta todos os processos desenvolvido nesta pesquisa,
módulos de geração e análise de dados, e a exibição e interpretação dos resultados
obtidos.
Por fim, o Capítulo 5 conclui esta pesquisa, analisando os processos
desenvolvidos, com base nos resultados com sucesso e falha, e deixa como sugestão, o
que pode ser feito num trabalho de continuidade.
4
Capítulo 2
Autômatos celulares
2.1 Introdução
Atualmente, as leis básicas da física relevantes aos fenômenos mais comuns, já
são conhecidas e modeladas. Porém, muitos sistemas naturais possuem estruturas e
comportamentos complexos, em consideração à análise qualitativa. Por exemplo, as leis
que regem o congelamento da água ou as leis de condução de calor, são conhecidas há
algum tempo, mas modelar os inúmeros e complexos padrões gerados pela formação e
crescimento de flocos de neve, é uma tarefa que ainda não foi realizada, mesmo com
sofisticadas técnicas matemáticas. Desenvolver modelos matemáticos que descrevem o
comportamento de sistemas naturais complexos, e a utilização de métodos
convencionais de simulação, na maioria das vezes, apresentam falhas no resultado,
devido ao grande número de componentes a serem considerados. Nos últimos anos,
pesquisadores vem obtendo resultados importantes, utilizando na modelagem de
fenômenos reais, estruturas computacionais bastante simples, mas com capacidade de
exibir uma dinâmica complexa. Essas estruturas computacionais são conhecidas como
autômatos celulares (ACs) e vem sendo utilizadas nos mais variados campos da ciência
como biologia, física, química, geologia, música, etc.
Em meados dos anos 50, com o propósito de desenvolver uma Máquina de
Turing que permitisse manipular mecanismos capazes de auto-reprodução, John von
Neumann construiu o primeiro modelo de AC, seguindo sugestão de Stannislaw Ulam
[Burks, 1970]. Na mesma época, Ulam investigava uma variedade de jogos matemáticos
dispostos em uma grade bidimensional onde o estado de cada ponto na grade era
atualizado de acordo com o seu próprio estado e os estados de seus vizinhos. Ulam
estudava diferentes vizinhanças, com diversos números de estados possíveis por célula e
regras de transição variadas. Ulam sugeriu a von Neumann o conceito de uma grade
artificial, como um tabuleiro de xadrez, na qual cada quadrado poderia ser visto como
uma ‘célula’, e cada célula agiria individualmente, de acordo com um conjunto de
regras, que seria aplicado a todas as células da grade individualmente. A evolução das
células seria feita em passos discretos de tempo. Cada célula saberia seu próprio estado
5
e poderia olhar os estados de suas células mais próximas (vizinhança). A cada passo de
tempo, seria consultado o conjunto de regras de transição para decidir o estado de cada
célula da grade. Uma coleção de células nesta grade poderia ser vista como um
organismo artificial [Oliveira, 2003]. O modelo de AC projetado por von Neumann é
caracterizado por uma grade bidimensional infinita, formado por células uniformes com
29 estados cada e conectadas aos seus quatro vizinhos ortogonais. Os resultados dos
experimentos e estudos de von Neumann só foram publicados após sua morte, por seu
colaborador Arthur Burks em 1966 [von Neumann e Burks, 1966].
Na década de 70, durante estudos de autômato celular e computabilidade
universal, John Conway criou o Game of Life [Berlekamp, Conway e Guy, 1992]. O
sistema consiste em um AC bidimensional com estados binários, que funciona com uma
simples regra de transição, onde células no estado 0 são interpretadas como ‘mortas’ e
as no estado 1 como ‘vivas’. O Life como é conhecido, popularizou-se nos meios
acadêmicos, pelo fato de ser o primeiro AC relativamente simples, que mostrou
capacidade em produzir padrões complexos e estruturas que se assemelhavam a
organismos artificiais [Oliveira 2003].
Stephen Wolfram iniciou diversas pesquisas durante a década de 80, sobre o
comportamento dinâmico dos ACs, que se tornaram as principais referências ([Wolfram
• Regras Periódicas: a configuração limite não se altera à aplicação da
regra N vezes, com o tamanho do ciclo N, ou independente ou fracamente dependente
do tamanho do reticulado. Regras do Espaço Elementar: 26, 41, 62, 94 e 154. Em
particular, as regras 62 e 94 exibem dinâmicas de ciclo triplo.
• Regras Complexas: embora a dinâmica limite possa ser periódica, o
intervalo de transição pode ser extremamente longo e, tipicamente, este intervalo cresce
mais que linearmente com o tamanho do sistema. Regras do Espaço Elementar: 54 e
110.
• Regras Caóticas: produzem dinâmicas não periódicas e se caracterizam
pela divergência exponencial do comprimento do seu ciclo com o tamanho do reticulado
e pela instabilidade com respeito a perturbações. Regras do Espaço Elementar: 18, 22,
30, 45, 60, 73, 90, 105, 106, 126, 146, 150 e 122. A regra 73 pode ser classificada como
Localmente Caótica; pois seu comportamento é periódico com regiões de
comportamento caótico.
2.6 Sensibilidade às condições iniciais
Observando a aparência produzida pela evolução de autômatos celulares, é
possível identificar as 4 classes de autômatos celulares proposto por Wolfram[1984] e
mostradas na Figura 2.7. Dentro dessa classificação, uma característica importante para
ser analisada é a sensibilidade a condições iniciais [Wolfram, 2002].
Mudanças nas condições iniciais representam um comportamento diferente, para
cada tipo de classe. A Figura 2.8, mostra a evolução de autômatos celulares pertencentes
a cada uma das 4 classes. Os pontos escuros nos reticulados, representam as células que
sofreram mudanças, conseqüente a única célula modificada na configuração inicial.
Na classe 1, representada pela regra 160 da Figura 2.8, o estado final alcançado é
sempre o mesmo independente das condições iniciais, dessa forma, as alterações nas
condições iniciais não causam efeito nesse tipo de classe. A informação sobre as
condições iniciais é perdida rapidamente, pois a configuração do autômato sempre
evolui de forma rápida para um mesmo estado final.
19
Em autômatos celulares da classe 2, representado pela regra 108 na Figura 2.8,
mudanças nas condições iniciais persistem durante a evolução do autômato celular, mas
elas sempre se mantém em uma pequena região do autômato. As informações da
condição inicial são mantidas durante a evolução do autômato celular, e permanecem
isoladas, nunca se comunicando com outras partes do reticulado.
Para a classe 3, entretanto, o comportamento apresentado é diferente. Qualquer
alteração feita nas condições iniciais se propaga de maneira uniforme. Uma
característica dos autômatos celulares da classe 3 é que eles apresentam uma
comunicação de informação de grande abrangência dentro do reticulado de forma que
qualquer alteração na condição inicial quase sempre se propagará por todo o reticulado.
Essa característica pode ser observada através da regra 126 na Figura 2.8.
Na classe 4, representada pela regra 110 da Figura 2.8, as mudanças nas
condições iniciais também se propagam, mas de maneira aleatória. Cada classe de
autômato celular lida com a informação de forma particular, esta característica, ocasiona
classes com diferentes sensibilidades para as condições iniciais.
Regra 160 Regra 108
Regra 126 Regra 110
Regra 160 Regra 108
Regra 126 Regra 110
Figura 2.8. Figura que demonstra os efeitos causados com pequena alteração na
condição inicial para as quatro classes de autômatos celulares [Wolfram, 2002].
20
Autômatos celulares da classe 4 representam comportamento intermediário entre
as classes 2 e 3. A propagação da informação contida nas condições iniciais é possível,
mas nem sempre ocorre, ver Figura 2.9.
Figura 2.9. Efeitos causados com pequena modificação na condição inicial na regra 110
– classe 4 de autômato celular [Wolfram, 2002].
Uma mudança se propaga, e afeta alguma estrutura localizada no espaço, que se
desloca no reticulado ao longo do tempo [Wolfram, 2002].
21
Capítulo 3
Caracterização de autômato celular através de autômatos
finitos
3.1 Introdução
A teoria de autômatos é um ramo da ciência da computação que estuda os
componentes computacionais abstratos, ou as máquinas, através de suas representações
matemáticas. Desde a década de 1930, quando Alan Mathison Turing iniciou o estudo
dessas máquinas e a criação da Máquina de Turing, até o final da década de 1950,
quando originou-se a Teoria das Linguagens Formais e a classificação conhecida como
Hierarquia de Chomsky [Chomsky, 1959], as máquinas passaram por um processo de
estudo e evolução. Todos estes desenvolvimentos teóricos estão relacionados com o que
a ciência da computação faz atualmente. Conceitos derivados de autômatos finitos e
gramáticas formais são utilizados com destaque em aplicações como análise léxica e
sintática de linguagens de programação, modelos de sistemas biológicos, desenhos de
circuitos e desenvolvimento de importantes tipos de software [Hopcroft, Motwani e
Ullman, 2001].
Em [Trafaniuc, 2004], utilizou-se de autômatos finitos para caracterização do
comportamento de autômatos celulares. O desenvolvimento de recursos para
representação gráfica, comparação e análise de complexidade dessas máquinas,
permitiram avaliar dinamicamente os autômatos celulares de outra maneira.
Este capítulo apresenta conceitos, definições e representações de máquinas
finitas de estados, explica a relação existente com os autômatos celulares, e faz uma
abordagem aos métodos desenvolvidos em [Trafaniuc, 2004], reutilizados neste
trabalho.
22
3.2 Alfabetos, palavras, linguagens formais e gramáticas
Uma linguagem formal L pode ser definida como conjunto de palavras formadas por
símbolos de um alfabeto Σ. Segue descrição de alguns componentes necessários
para compreensão da definição apresentada:
• Alfabeto e Símbolo: um alfabeto é um conjunto finito de símbolos. Portanto, um
conjunto vazio também é considerado um alfabeto. Um símbolo ou caractere �
é uma entidade abstrata básica que assume valores desse conjunto finito Σ. O
tamanho do alfabeto é representado por || Σ ||;
• Palavra: uma palavra, cadeia de caracteres ou sentença sobre um alfabeto Σ, é
uma seqüência finita de símbolos (do alfabeto) justapostos. O comprimento da
palavra �, |�|, representa o número de símbolos em �. A palavra vazia,
representada pelo símbolo ε, é uma palavra formada por zero símbolos
[Hopcroft, Motwani e Ullman, 2001];
• Sub-palavra, prefixo e sufixo : Uma sub-palavra é uma parte contígua da
palavra. A concatenação de duas palavras x e y é representada por xy. Um
prefixo x de uma palavra y é uma sub-palavra que consiste de algum número de
símbolos iniciais de y, que é y=xz, para algum z. Um sufixo x de uma palavra y é
uma sub-palavra tal que y=zx. Um símbolo pode ser identificado dentro de uma
palavra pela sua posição i da seguinte forma �i. Por convenção, assume-se
0≥i , sendo assim o primeiro símbolo da cadeia é �0.
Suponha o alfabeto Σ = {a,b}, então o conjunto vazio { } e o conjunto {ε} são
linguagens formais. O conjunto de todas as palavras de comprimento C no alfabeto Σ é
representado por ΣC. O conjunto de palavras de qualquer comprimento incluindo a
palavra vazia é representado por Σ*. Analogamente, Σ+ representa o conjunto de todas
as palavras sobre Σ excetuando-se a palavra vazia, ou seja, Σ+ = Σ* - {ε}. Existem dois
procedimentos essenciais para representar linguagens: como reconhecedores ou
aceitadores (autômatos), procedimentos que indicam quando uma sequência faz parte da
23
linguagem, e como geradores (gramáticas), procedimentos que enumeram os elementos
da linguagem. Segue definição de gramática:
• Gramática: É o tipo mais comum de sistema gerador. Fundamentalmente, uma
gramática é composta por regras de produção, ou regras de re-escrita, através das
quais é possível obter todos os elementos da linguagem a partir de um símbolo
inicial, usando as regras para re-escrever (produzir) os elementos. Formalmente,
definimos uma gramática G como sendo uma construção G={N, Σ, P, S}, onde
N é um alfabeto de símbolos auxiliares, chamados de símbolos não-terminais,
ou, simplesmente, de não-terminais;
o Σ é o alfabeto no qual a linguagem é definida, cujos elementos
são os símbolos terminais, ou, simplesmente, terminais;
o P é o conjunto de regras de re-escrita, chamadas simplesmente de
regras ou produções;
o S ∈ N, é o símbolo inicial.
3.3 Linguagens regulares, autômatos finitos e representação
gráfica de máquinas
De acordo com a hierarquia de Chomsky, as linguagens regulares ou Tipo-3
encontram-se na classe mais simples de linguagens. Nesta seção, a definição formal de
linguagem regular será efetuada através do sistema reconhecedor correspondente, o
autômato finito.
Um autômato finito é formalmente definido pela quíntupla },,,,{ 0 FqQA δΣ= ,
onde:
• Q representa o conjunto finito de estados;
• Σ é o alfabeto de símbolos;
• QQ →Σ×:δ é a regra de transição, normalmente representada na seguinte
forma paq =),(δ , onde q é o estado atual, a é o símbolo que a máquina lê, e p
é o novo estado;
• 0q é o conjunto de estados iniciais da máquina e Qq ∈0 ;
24
• F representa o conjunto de estados finais, ou estados de aceitação da máquina.
As transições de estado de um autômato finito ocorrem de acordo com a
representação da máquina; para uma dada transição paq =),(δ , o estado q é o estado
atual e o estado p é o destino para uma entrada a. Para um dado estado q e um símbolo a
a transição ),( aqδ pode estar definida, ou não. Caso ela não esteja, a máquina entra em
estado de erro, e sempre que a máquina encontra um erro durante a leitura de uma
palavra ela pára a operação imediatamente. A função de transição pode ser estendida
para trabalhar com palavras utilizando a seguinte notação: ),( sqiδ onde s é uma
palavra de símbolos. Um autômato reconhece uma palavra se ao final da leitura da
mesma a máquina não entrou em estado de erro. E, o autômato aceita uma palavra se
depois de reconhecê-la a máquina se encontra em um estado de aceitação do conjunto F
[Hanson, 1993].
Um autômato finito é determinístico se nele há apenas um estado inicial q0, e
para todos os estados as transições de q para outros estados ocorrem até uma vez para
cada símbolo. A designação determinístico é baseada no fato de que os símbolos que a
máquina lê determinam a seqüência de transições que será realizada. Em um autômato
finito determinístico um estado pode ter mais de uma transição, mas cada uma delas
utiliza símbolos diferentes.
Seja A um autômato finito (sistema reconhecedor). A linguagem reconhecida
por A, é uma linguagem regular e pode ser definida pela sentença :
L(A) = {x ∈ Σ* | δ’(q0, x) ∈ F}
A linguagem L(A) é o conjunto de todas as palavras reconhecidas pela máquina
A. Então, pode-se afirmar que o autômato finito A reconhece uma linguagem regular L
se o mesmo aceita todas as palavras de L, e não aceita as palavras que não pertencem a
L.
Através da relação existente entre autômatos finitos e linguagens regulares,
podemos efetuar a comparação de máquinas desse tipo. Imagine a existência de dois
autômatos finitos A1 e A2, e as seguintes linguagens regulares L1=L(A1) e L2=L(A2).
Quando L1 é idêntico a L2, pode-se afirmar que os dois autômatos finitos A1 e A2 são
equivalentes, ou seja, reconhecem a mesma linguagem regular. Quando L1 é um
subconjunto de L2, pode-se afirmar que o autômato finito A1 ⊂ A2.
25
Uma outra forma de representar uma linguagem regular é através de uma
expressão regular (sistema gerador). Uma expressão regular é construída a partir dos
seguintes elementos:
1. O alfabeto de símbolos �∈σ ;
2. xy representa a concatenação de x e y;
3. x + y representa x ou y;
4. x+ representa uma ou mais concatenações de x.
5. x* representa qualquer número de concatenações de x, incluindo
nenhuma (o que representa a cadeia vazia);
Como exemplo, as expressões regulares para as linguagens aceitas na Figura 3.1,
são: (0+1)* para a máquina da esquerda; e (0+11)* para a máquina da direita.
Figura 3.1. Representação gráfica de autômatos finitos determinísticos com alfabeto
binário Σ ={0,1} que (a) aceita todas as palavras formadas por Σ; (b) aceita a linguagem
(0+11)*.
Os exemplos de autômatos finitos apresentados na Figura 3.1, utilizam a
representação gráfica de máquinas, seguindo a seguinte notação:
• cada estado é representado por um círculo;
• as setas indicam as transições, e seus índices ou cores indicam o símbolo que é
lido para que a mesma ocorra;
• estado inicial é representados com uma seta; e
• os estados finais são representados por um círculo duplo.
q0 q1q0
1
1
1
0
0
(a) (b)
26
3.4 Semi-autômato
De acordo com Klaus Sutner, autor da biblioteca ‘Automata Package’, um semi-
autômato pode ser definido por [Sutner, 2003] :
},,{ δΣ= QSA , onde:
• Q representa o conjunto finito de estados;
• Σ é o alfabeto de símbolos;
• QQ 2: →Σ×δ é a regra de transição, onde Q2 é o conjunto potência de Q e
pode ser representada na seguinte forma },...,3,2,1{),( pnpppaq =δ , onde q é
o estado atual, a é o símbolo que a máquina lê, e {p1, p2, p3,...., pn} é o
conjunto de possíveis novos estados;
• Não possui definição de q0 (estado inicial) e F(estados finais), porque todos os
estados são iniciais e finiais.
Pela definição apresentada, semi-autômato é um autômato finito não-
determinístico, onde todos os estados da máquina são iniciais e finais. Portanto, uma
seqüência que será lida pelo autômato pode começar em qualquer estado, e da mesma
forma, terminar em qualquer estado que será reconhecida como uma cadeia válida. Essa
classe de máquina é manipulada e utilizada no processo iterativo desenvolvido e
apresentado em Seção 3.10.
3.5 Configuração de autômatos celulares e relação com
autômatos finitos
Durante a evolução temporal, os autômatos celulares apresentam uma relação
direta com linguagens regulares. Um método de caracterizar a evolução de um autômato
celular elementar vem da teoria das linguagens formais [Sarkar, 2000]. O conjunto de
estados que pode surgir após um número finito de iterações na evolução de um
autômato celular unidimensional forma uma linguagem regular, que pode ser
reconhecida por um autômato finito correspondente [Wolfram, 1984]. Dessa forma,
para cada passo temporal de uma regra elementar em evolução, pode-se obter uma
máquina de estado correspondente (ver Figura 3.2).
27
Figura 3.2. Relação entre a evolução temporal de um autômato celular elementar e um
autômato finito.
Algumas regras de autômato celular, apresentam a mesma relação entre
autômatos finitos e configuração de autômatos celulares, mesmo se tratando da
condição limite [Wolfram, 1984]. Ou seja, para algumas regras de autômato celular,
existe um autômato finito que reconheçe todas as configurações possíveis do diagrama
espaço temporal, quando o tempo ‘t’ tende a infinito. Os termos ‘autômato finito limite’
e ‘grafo limite’, utilizados posteriormente neste trabalho, fazem referência a essas
máquinas, relacionadas ao comportamento limite.
3.6 Estado inicial do reticulado e sua representação
O estado inicial de um autômato celular binário pode ser representado por um
autômato finito onde todas as configurações possíveis de células brancas e pretas (0 e 1,
respectivamente) podem ocorrer [Wolfram, 2002]. O autômato finito que representa a
condição inicial de um autômato celular binário, deve ser capaz de reconhecer qualquer
cadeia binária. A Figura 3.3 ilustra o grafo de duas maneiras:
‘autômato finito 5’ reconhecetodas as configurações daregra elementar que aparecemno instante de tempo t=5
‘autômato finito 13’ reconhecetodas as configurações da regraelementar que aparecem noinstante de tempo t=13
Evolução temporal de N Condições iniciais aplicado a mesma regra elememtar
1 2 N
28
Figura 3.3. Autômato finito representando graficamente a condição inicial de um
autômato celular binário : (a) seguindo a mesma notação descrita na Figura 3.1; (b) forma de
visualização implementada no software Mathematica e utilizada em [Trafaniuc, 2004].
Toda a apresentação de dados e experimentos desenvolvidos nesta pesquisa,
utilizará a notação (b) da Figura 3.3. Nesta notação, todos os estados são finais e o
último estado numerado é o inicial. Outra observação, está relacionada às arestas dos
grafos, que não possuem índice, mas apenas cores. A cor vermelha representa o símbolo
‘0’ e a cor preta o símbolo ‘1’. Durante todo esse trabalho, o termo ‘grafo’ é utilizado
para fazer referências à representação gráfica de autômatos finitos determinísticos,
conforme notação descrita.
3.7 Evolução de autômato finito a cada passo de tempo
Para cada configuração de autômato celular, relacionada a um autômato finito
em particular, é obtido um novo autômato finito, após a evolução de um passo temporal
do autômato celular. A Figura 3.4 apresenta o diagrama espaço-temporal e os grafos
correspondentes aos 2 primeiros instantes de tempo das regras 255 e 4, do espaço
elementar. Através dos grafos pode-se verificar as possíveis seqüências de células
brancas e pretas (0s e 1s) que podem ocorrer a cada passo de tempo. Em cada caso, as
possíveis seqüências são representadas pelos caminhos percorridos no autômato finito.
q0
0
1
(a) (b)
29
0 20 40 60 80 100 120 140
0
10
20
30
40
50
0 20 40 60 80 100 120 140
0
10
20
30
40
50
t=0t=0
t=0t=0
t=1 t=2
t=1 t=2
0
1
Regra 255 (1111.1111)b
Regra 004 (0000.0100)b
0 20 40 60 80 100 120 140
0
10
20
30
40
50
0 20 40 60 80 100 120 140
0
10
20
30
40
50
t=0t=0
t=0t=0
t=1 t=2
t=1 t=2
0
1
Regra 255 (1111.1111)b
Regra 004 (0000.0100)b
Figura 3.4. Diagrama espaço temporal e grafos gerados para 02 passos temporais das
regras 255 e 4 do espaço elementar [Trafaniuc, 2004].
O autômato finito que representa a condição inicial (t=0), para ambas as regras,
representa as condições iniciais possíveis, onde qualquer seqüência binária pode
ocorrer. A partir do passo de tempo t=1 da regra elementar 255, o autômato finito passa
a aceitar apenas células pretas, enquanto que para a regra 4 as seqüências reconhecidas
pelo autômato finito são formadas por células pretas isoladas por pelo menos uma
célula branca. As duas regras são respectivamente parte das classes 1 e 2 de autômatos
celulares. Ao contrário das regras 4 e 255, a maior parte das regras, não estabilizam em
uma configuração limite após o primeiro passo de tempo. Essas regras passam a
aumentar progressivamente o número de estados e, com a evolução do autômato celular,
o conjunto de seqüências que podem ocorrer fica progressivamente menor e o autômato
finito resultante mais complexo. Para regras de classes 3 ou 4, após alguns passos de
tempo, o autômato finito apresenta um rápido crescimento no grau de complexidade.
Este aumento da complexidade do grafo pode ser explicado pela própria complexidade
das regras [Wolfram, 2002]. Observando a Figura 3.5, a evolução da regra 126 e a
representação gráfica dos autômatos finitos, para os três primeiros instantes de tempo
(t=1, t=2 e t=3), pode-se detectar um crescimento exponencial da complexidade em
linguagem regular, representada pelo número de estados e transições entre eles.
30
Figura 3.5. Grafos gerados a cada passo de tempo para a regra 126 [Trafaniuc, 2004].
Normalmente essa complexidade aumenta com o tempo, porém, mesmo assim,
há regras de autômatos celulares em que a configuração limite pode ser representada
através de linguagens regulares formais [Wolfram, 1984].
Durante este documento, a utilização de termos como ‘grafos em evolução
temporal’ ou ‘autômatos finitos em evolução temporal’ são utilizados para referenciar
os inúmeros grafos relacionados a cada instante de tempo de um autômato celular em
evolução temporal.
3.8 Complexidade em linguagem regular e caracterização de
autômatos celulares
A análise da complexidade de linguagens regulares representadas pelo número
de nós e arestas de um grafo para caracterização de autômatos celulares foi iniciada em
[Trafaniuc, 2004]. Nesse trabalho, utilizando-se de representações gráficas de máquinas
para mapear o espaço de estados, e recursos de manipulação e detecção de estruturas em
grafos, pôde-se detectar características para algumas regras de autômatos celulares, que
permitiram reconstruir por método iterativo [Wolfram, 2002], a tabela de complexidade
31
de linguagens regulares de [Wolfram, 1994], obtendo alguns resultados diferentes e
novos. O presente trabalho segue a mesma linha de raciocínio, extraindo características
do autômato celular em função da complexidade de linguagens regulares associadas.
3.9 Tabela de complexidade das linguagens regulares
Como já mencionado, foi demonstrado em [Wolfram, 1984] que o conjunto de
configurações que podem aparecer na evolução de um autômato celular unidimensional,
após um número t finito de iterações, forma uma linguagem regular. As configurações
possíveis para cada instante de tempo, correspondem aos caminhos possíveis de se
percorrer dentro de um autômato finito.
A Tabela A.1. [Wolfram, 1994], que representa a tabela de complexidade das
linguagens regulares, tem como base as 256 regras elementares de autômatos celulares e
apresenta o número mínimo de estados e transições dos autômatos finitos em cada caso.
As dimensões apresentadas são baseadas em autômatos finitos determinísticos, onde um
estado da máquina é inicial e todos os estados são finais. A tabela é constituída por 136
linhas, que representam as 255 regras agrupadas por equivalências obtidas apenas pelas
transformações de 0s por 1s. Para formação desta tabela, não são consideradas
equivalentes as regras obtidas pela transformação por tipo reflexão e, portanto, não são
excluídas da tabela. Por exemplo, verificando a Figura 2.3 que apresentam as regras
equivalentes 110, 124, 137 e 193, a Tabela A.1. apresenta a regra 110 e 124, porque são
equivalentes apenas pela transformação por tipo reflexão. Entretanto, as outras duas
regras 137 e 193, são equivalentes às regras 110 e 124 respectivamente, pela
transformação de 0s por 1s, dessa forma não aparecem na tabela porque são
consideradas de mesmo grupo. As regras equivalentes por transformação de 0s por 1s
são agrupadas porque um autômato finito relacionado a essas regras apresentariam as
mesmas conexões e mesmos números de nós, invertendo apenas as cores das arestas.
Por outro lado, regras equivalentes pela transformação por tipo reflexão retratam
máquinas não equivalentes, com conexões ou nós diferentes. A primeira coluna da
tabela indica o número da regra elementar, e as colunas seguintes indicam a dimensão
do autômato finito para determinados passos de tempo, que são: 1, 2, 3, 4, 5, passos de
tempo maiores que 5, e infinito. Para se efetuar a leitura da dimensão das máquinas, os
números que estão dentro dos colchetes significam o número de transições, e fora dos
colchetes o número de estados. O hífen indica que a linguagem regular é a mesma do
32
passo de tempo anterior. As entradas na última coluna apresentam o tamanho dos
autômatos finitos representando o limite de estados que pode ser atingido para qualquer
passo de tempo. Para algumas regras foram apresentadas fórmulas para compor o
autômato finito para um determinado passo de tempo t. Para ilustrar o funcionamento da
Tabela A.1, analisaremos os dados da regra 10 da tabela, junto com o grafo
correspondente, na Figura 3.6.
Regra t = 1 t =2 t = 3 t = 4 t = 5 t >5 �
10 4[6] - - - - 4[6] 4[6]
Figura 3.6. Leitura da Tabela A.1. [Wolfram, 1994].
Em [Trafaniuc, 2004] reconstruiu-se a tabela de complexidade de linguagens
regulares. A nova tabela exibe dados da tabela original [Wolfram, 1994] e de forma
comparativa, os novos dados gerados. Outras informações adicionais ilustram a tabela,
como a classificação dinâmica [Li e Packard, 1990] e a equivalência de regras.
Trafaniuc [2004] obteve novos resultados e algumas diferenças com relação à tabela
anterior, principalmente em regras ciclo-duplo e ponto-fixo. Estes resultados são
apresentados na Tabela A.2.
1
2
3
4
Dados extraído da Tabela A.1.
t=1
Indica uma máquina de4 estados e 6 transições
Após o instante detempo t=1, o autômatose repete.
Complexidade do autômato finito querepresenta a configuração limite da regra 10
O autômato finito gerado para o passo de tempo t=1 e t=2apresenta 4 estados e 6 transições, conforme a tabelaacima. Após o instante t=1, o AC atinge a configuraçãolimite.
1
2
3
4
t=2
33
3.10 Funções NetCAStep, TrimNet e MinNet
NetCAStep, TrimNet e MinNet [Wolfram, 2002] são funções desenvolvidas no
Mathematica e utilizadas para gerar e representar máquinas de estados finitos, a cada
passo de tempo na evolução de autômatos celulares elementares.
Dado um semi-autômato qualquer, relacionado a configurações de autômato
celular para um instante de tempo t, a função NetCAStep [Wolfram, 2002] retorna um
autômato finito relacionado ao instante de tempo t+1.
Os parâmetros de entrada da função NetCAStep são:
• o número de estados do autômato celular, que no caso é binário k=2;
• raio da vizinhança do autômato celular, no caso dos autômatos celulares
elementar, raio=1;
• número da regra de autômato celular;
• a lista de transições de estado do semi-autômato de instante t, a partir da qual
será aplicada a regra do autômato celular.
A função NetCAStep gera como saída, uma lista de transições de estados
correspondente a um autômato finito não-determinístico (AFND) [Wolfram, 2002].
Sobre a lista de transições de estado resultante da função NetCAStep é aplicada a
função TrimNet [Wolfram, 2002], que por sua vez, preserva todos os estados acessíveis
por qualquer nó da rede. Para exemplificar, verifique o grafo da esquerda na Figura 3.7
abaixo, que representa uma certa máquina.
1
2
3
4
5
Figura 3.7. Execução da função TrimNet.
Perceba-se que os estados 3 e 5 não são acessíveis se a máquina for iniciada
pelos nós 1, 2 e 4. Por outro lado, os nós 1, 2 e 4 da máquina podem ser acessados por
1
5 TrimNet
1
2
3
1
34
qualquer nó inicial na rede. O grafo da direita na Figura 3.7, ilustra a lista de transição
com a retirada dos nós.
Finalmente, a lista de transições de estado gerada pela função TrimNet é
aplicada na entrada da função MinNet [Wolfram, 2002]. O resultado obtido é uma lista
de transições de estado, referente a um autômato finito mínimo e determinístico
equivalente, com o último estado inicial e todos finais. Para esta função, é importante
destacar a seguinte informação fornecida: “Em geral, MinNet produzirá uma rede onde
qualquer sequência permitida de valores corresponderá a um caminho iniciado pelo nó
1” [Wolfram, 2002, página 957] . Baseados em experimentos realizados com a
aplicação da função para as regras 18, 22, 72 e 126 e, comparando os resultados obtidos
com os respectivos autômatos finitos determinísticos destacados em [Wolfram, 1984],
detectou-se que, o estado inicial produzido pelo MinNet é o último nó da rede, ao
contrário da informação em [Wolfram, 2002].
A saída da composição adequada das funções NetCAStep, TrimNet e MinNet é
um autômato finito determinístico que reconhece todas as configurações possíveis para
um passo de tempo seguinte, na evolução de uma regra dos autômatos celulares
elementares. A Figura 3.8 ilustra o funcionamento do fluxograma com as 3 funções
conectadas.
Figura 3.8. Seqüência de utilização de NetCAStep, TrimNet e MinNet.
NetCAStep
Entrada :- semi-autômato- número da Regra de AC.
Saída:- autômato finito não
determinístico relacionado aoinstante seguinte de tempo.
TrimNet
Entrada :- autômato finito
Saída (S.A.N.D.):- semi-autômato mantendoapenas os nós acessíveis porqualquer nó da rede.
Na ilustração, a estrutura excluída é destacada em vermelho e a estrutura
adicionada destacada em verde. As duas estruturas forma o retorno da operação de
diferença. As arestas marcadas em azul, representam o que foi mantido, ou seja, o
máximo subgrafo comum entre t e t+1. Essas informações coletadas durante a execução
do método iterativo, permitem efetuar importantes observações e análise do
comportamento de algumas regras em evolução.
O termo ‘estrutura líquida adicionada’ utilizado neste documento está
relacionado ao par de grafos estrutura adicionada e excluída, e tem o objetivo de fazer
referência a transformação sofrida pelo grafo T para construir T+1.
4.1.3 Módulo de análise de resultados
O módulo de análise de resultados efetua a recuperação dos dados gerados pelo
módulo de geração e, em função dessas informações, analisa e exibe resultados que
caracterizam as regras elementares de autômatos celulares. As regras analisada por este
módulo apresentam:
• tipo do crescimento dos grafos durante a evolução de um autômato
celular (linear ou não-linear);
• expressão de crescimento do número de nós em função do tempo;
• expressão de crescimento do número de arestas em função do tempo;
• instante de tempo em que o grafo inicia um crescimento cíclico;
• dimensão do ciclo de crescimento dos grafos (simples, duplo);
• estrutura(s) adicionada(s) ciclicamente durante a evolução temporal.
O Apêndice A.3 exibe o resultado das 26 regras analisadas pelo módulo, com 8
iterações. Para cada regra analisada, as informações anteriormente citadas são
organizadas nos tópicos explicados abaixo, que é ilustrado na Figura 4.4. com
resultados da regra 70:
47
REGRA ELEMENTAR 70
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3
12
3
4
56
7
12
3
4
56
7
1
2
3
12
3
4
56
7
1
2
3
45
6
7
1
23
4
5
67
8
9
1
23
4
5
67
8
9
12
3
4
56
7
1
23
4
5
67
8
9
12
3
4
5
6 7
8
9
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
67
8
9
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
12
3
4
5
6
78
9
10
11
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
48
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
8 910
11
12
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
123
4
5
6
7
89 10
11
12
13
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 6+t Início em t= 3- Expressao de Crescimento Aresta: 12+t Início em t=3
Estrutura Repetitiva
12
3
4
56
7
1
2
3
45
6
1
2
3
1
2
3
4
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 2 Inicio em t = 5
Figura 4.4. Resultados da regra elementar 11 retirada do Apêndice A.3.
1. Grafo em Evolução: são exibidos todos os grafos utilizados na análise, ou seja,
os grafos de cada instante de tempo, máximo subgrafo comum para grafo de
passos consecutivos e os grafos que representam a diferença de grafos: estrutura
excluída e adicionada.
2. Análise de Crescimento: informa se o número de nós e arestas do grafo cresce
linearmente com o tempo. Quando afirmativo, as expressões de crescimento são
apresentadas, junto com o instante de tempo em que se inicia a linearidade. Ver
pela Figura 4.4 que a regra 70 possui crescimento linear a partir do instante de
49
tempo t=3. Dessa forma, a expressão de crescimento tanto para o número de nós
(6+ t), quanto para o número de arestas (12+t) são apresentadas. Essa linearidade
é calculada utilizado a função FindFit com base nos números de nós e arestas
dos grafos de T para cada instante de tempo.
3. Estrutura Repetitiva: neste item são exibidas as diferentes estruturas
adicionadas aos grafos durante o período de dado coletado. Para obter essas
estruturas o algoritmo efetua um agrupamento de todas as estruturas da coluna
‘Estr.adic’. Observe pela Figura 4.4. que 4 estruturas são exibidas nesse item
para regra 70, ou seja, se a coluna que exibe os grafos que representam as
estruturas adicionais forem verificadas e agrupadas para o período executado,
será identificado 4 diferentes grafos. A mesma informação poderia ser extraída
da coluna estrutura excluída, porém como não acrescenta nenhuma informação
adicional, não foi implementada na análise de resultados.
4. Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas: todas as estruturas repetitivas
apresentadas no item anterior possuem uma classificação conforme o ciclo de
repetição. Dependendo da regra, as estruturas podem aparecer somente em uma
única iteração (ciclo = 0), durante todas as iterações (ciclo = 1 ou ciclo simples),
ou em iterações intercaladas com outra estrutura repetitiva (ciclo = 2 ou ciclo
duplo), e assim por diante. Para exemplificar, observe os dados da regra 70, na
Figura 4.4. A regra apresenta 4 estruturas repetitivas, onde as duas primeiras não
possuem ciclo de repetição (ciclo=0), ou seja, aparecem somente em uma única
iteração (t=1 para t=2 e t=2 para t=3). As demais estruturas repetitivas,
classificadas como ciclo duplo (ciclo = 2), indicam que após a iteração t=3 para
t=4, ficam intercalando entre si. Uma observação neste item é válida para a
interpretação do tempo ‘início em t’ apresentada. Como a estrutura repetitiva
considera sempre dois grafos de instantes de tempos consecutivos, quando o
tempo t é apresentado, considerar que a estrutura aparece na iteração do instante
(t-1) para t.
5. Quadro Resumo: exibe todas as regras que foram executadas e analisadas,
classificando-as por linearidade no crescimento. Apresenta as regras com os
respectivos ciclos. Por exemplo, à regra 70 associa-se ‘Ciclo {0, 2}’, sendo que
o zero indica que inicialmente não existe estrutura(s) repetitiva(s), mas após um
50
ou mais instantes de tempo, a regra passa a apresentar estruturas com ciclo
duplo representada pelo número 2.
4.2 Em busca da caracterização do comportamento limite
A estratégia de trabalho adotada para o desenvolvimento de um algoritmo capaz
de obter o autômato finito determinístico que corresponda ao comportamento limite de
um autômato celular foi observar e associar dados gerados pelos módulos, para algumas
regras com comportamento limite conhecido. Como não foi possível obter esse
algoritmo, esta seção descreve o que foi observado e estudado.
Na dinâmica de autômatos celulares existem configurações que são transientes e
de certo modo podem aparecer previamente somente durante a evolução. O conceito de
configuração limite está relacionado às configurações que são importantes num período
longo de execução, ou seja, configurações não transientes [Kari, 2005]. Na realidade, a
configuração limite de um autômato celular é uma configuração única contendo apenas
a configuração estável, ou é infinita e contém algumas configurações não periódicas.
Dessa maneira, para os casos em que a configuração é estável após n passos, a
configuração limite é finita [Hurd, 1987].
Como já mencionado, o conjunto de configurações gerados por um autômato
celular, para um número finito de passos, forma uma linguagem regular. Quando se trata
de limite de tempo infinito, apenas algumas regras podem ser caracterizadas por uma
linguagem regular. Os autômatos celulares com comportamento de classe 1 e 2 fazem
parte dessas regras, por outro lado, as regras com comportamento de classe 3 e 4, que
apresentam como conjunto de configuração linguagem regular com crescimento de
complexidade exponencial ao tempo, provavelmente apresentarão conjuntos de
configuração limite correspondente a linguagens formais mais complicadas [Wolfram,
1984].
As 26 regras selecionadas e analisadas no presente trabalho são classificadas
dinamicamente como classe 1 e 2 [Wolfram, 1984]. Mesmo trabalhando em universo
restrito, com regras que convergem a linguagens regulares em suas configurações
limites, a tarefa de desenvolver um algoritmo para obtenção da linguagem regular
correspondente ao comportamento limite não foi concluída com sucesso. Todos os
51
dados gerados e analisados nos módulos de crescimento tratados na Seção 4.5
permitiram concluir informações importantes relativas ao comportamento dinâmico e
limite das regras no entanto, encontrou-se grande dificuldade em conectar esses dados
com o comportamento limite, através de um único algoritmo.
Os próximos itens desta seção ilustram o estudo efetuado utilizando como base a
regra 184, destacando associações importantes observadas e pontos críticos
encontrados, durante a tentativa de desenvolvimento do algoritmo.
4.2.1 Grafo limite da regra elementar 184
A regra elementar 184 foi utilizada como base para o desenvolvimento do
algoritmo de geração de grafo limite por ser uma regra com comportamento limite
conhecido. Ela possui basicamente 3 configurações limites, representadas por uma
linguagem regular, e que dependem exclusivamente da configuração inicial do autômato
celular:
• Configuração inicial com número de 1s igual ao número de 0s (#1s = #0s),
implica em configuração limite com 0s e 1s intercalados, conforme a Figura
4.5;
Figura 4.5. Regra 184 em evolução temporal com condição inicial (#1s = #0s).
• Configuração inicial com número de 1s maior que o número de 0s (#1s > #0s),
implica em configuração limite com formação de grupos de 1s, intercalados por
blocos 01, conforme a Figura 4.6;
01
52
Figura 4.6. Regra 184 em evolução temporal com condição inicial (#1s > #0s).
• Configuração inicial com número de 0s maior que o número de 1s (#1s < #0s),
implica em configuração limite com formação de grupos de 0s, intercalados por
blocos 10, conforme a Figura 4.7;
Figura 4.7. Regra 184 em evolução temporal com condição inicial (#1s < #0s).
Considerando as 3 variações de configurações limites, construiu-se manualmente
o autômato finito que reconhece a linguagem regular formada pelo comportamento
limite da regra 184 (verificar a Figura 4.8). O autômato finito passou a ser o grafo alvo
do algoritmo em desenvolvimento.
01
01
53
1
2
3
4
5
Figura 4.8. Grafo limite da regra 184.
4.2.2 Grafos e a relação com diagrama espaço temporal
Para obter o grafo limite apresentado na Figura 4.8, foi efetuada uma análise das
estruturas presentes nos grafos da regra 184. Observando os 5 grafos da Figura 4.9,
podemos destacar dois pontos que aparecem em todos os instantes de tempo, ponto A
(em cinza) e B (em vermelho). Percebe-se que no ponto A, existe uma aresta de cor
preta em loop, representando uma cadeia de um ou mais caracteres 1 (expressão regular
1+). O ponto B, representa uma expressão regular análoga, agora considerando o
caractere 0 (expressão regular 0+ ).
54
REGRA 184
1
2
3
4
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Figura 4.9. Análise de estruturas presentes nos grafos relacionados à regra 184.
Dessa forma, podemos dizer que o ponto A representa blocos de 1s e o ponto B,
blocos de 0s, visíveis em um diagrama espaço temporal da regra 184 (verificar a Figura
4.10).
Figura 4.10. Análise do diagrama espaço temporal da regra 184.
A B
A BA B A BA B
A B
Ponto A – grupo de 1sPonto B – grupo de 0s
Distância entre grupo de 1s e grupo de 0sDistância entre grupo de 0s e grupo de 1s
11
t=5
t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
55
Observando as Figuras 4.9 e 4.10, podemos relacionar estruturas dos grafos, com
o diagrama da evolução temporal da regra 184. A Figura 4.9 destaca em azul o caminho
necessário a ser percorrido para conectar o ponto B ao ponto A, ou seja, bloco de 0s ao
bloco de 1s. Pelos 5 grafos, observe-se que a conexão entre os pontos é imediata, ou
seja, a qualquer instante de tempo finito, poderão aparecer cadeias de 0s seguidos de
cadeias de 1s (expressão regular 0+1+). Essa informação pode ser confirmada na Figura
4.10, destacada também em azul.
A Figura 4.9 destaca em verde o caminho necessário a ser percorrido para
conectar o ponto A ao ponto B, ou seja, bloco de 1s ao bloco de 0s. Observe pelos 5
grafos, que a distância de conexão entre os pontos aumenta a cada instante de tempo, e
já no primeiro instante (t=1), uma seqüência de caracteres alternados 01 deve ser
percorrida; ou seja, da segunda linha (t=1) em diante da Figura 4.10 não é possível
visualizar grupos de 1s junto com grupos de 0s, e a seqüência de blocos alternadas de 01
aumenta a cada instante de tempo, separando os dois grupos (ponto A e B).
Pelo fato dos grafos da regra 184 não serem simétricos, o diagrama espaço
temporal da regra 184 poderá apresentar bloco de 0s seguido de bloco de 1s, porém
nunca apresentará bloco de 1s junto com bloco de 0s. Mas como o grafo limite da regra
184 é simétrico, quando a evolução temporal atinge o comportamento limite (t tende a
infinito), o diagrama não apresentará bloco de 0s seguido de bloco de 1s e vice-versa.
Essas associações permitiram compreender porque a regra 184, para cada instante
definido de tempo, apresenta aumento da complexidade dos grafos em evolução. A
transformação necessária do grafo não simétrico para um grafo simétrico (quando atinge
a condição limite), foi uma das grandes dificuldades encontradas no desenvolvimento
do processo.
4.2.3 Componentes do comportamento limite
Após a análise do comportamento dinâmico dos grafos em evolução da regra
184, procurou-se observar os resultados do módulo de análise e criar associações para
obter o grafo limite da Figura 4.8.
O resultado da operação de diferença de grafos permitiu identificar que uma
estrutura é adicionada e outra excluída de forma repetitiva, a cada passo temporal (ver
Figura 4.11). A estrutura adicional está relacionada à seqüência alternada de blocos 01
56
que separam o bloco de 1s do bloco de 0s, explicada na seção anterior. A estrutura
eliminada está relacionada à transformação que o grafo sofre, para encaixe da estrutura
adicional ao novo instante de tempo.
Intuitivamente a informação que compõe o grafo limite parece estar no grafo
referente ao instante de tempo que antecede o início da repetição, e o resultado da
operação de diferença de grafos (estrutura adicionada e estrutura excluída).
Estrutura adicionada Estrutura excluída
Figura 4.11. Resultados da operação de diferença de grafos.
Como o ciclo de repetição identificado inicia-se na primeira aplicação da
operação de diferença, entre os instantes t=1 e t=2, a operação ‘alvo’ não desenvolvida
neste trabalho receberia os parâmetros ilustrados na Figura 4.12 para a regra 184.
Figura 4.12. Ilustração da operação de obtenção do grafo limite para a regra 184.
A dificuldade na geração dessa operação foi encontrar uma lógica de associação
entre esses componentes, e obter o grafo limite. Se analisarmos o primeiro parâmetro da
operação representado pelo grafo t=1, verificamos a presença dos pontos A e B,
ilustrados na Figura 4.9, que são informações referentes a blocos de 0s e blocos de 1s,
presentes em todos os grafos da regra 184. De fato, os pontos A e B também aparecem
no grafo limite, com a diferença de que estão localizados em nós que nunca se
encontram (nós 2 e 5). Se afirmarmos que o segundo e o terceiro parâmetros indicam
OPERAÇÃO
57
que a cada passo temporal uma estrutura é inserida repetidamente do ponto A para o
ponto B, para o tempo tendendo a infinito, o ponto A passará a não possuir conexão
direta com o ponto B. Porém, faltou alguma informação ou associação que possibilitasse
afirmar o contrário, já que no grafo limite, o ponto B também não possui conexão com o
ponto A. Seguindo essa linha de raciocínio, e trabalhando com esses componentes é que
se tentou obter o algoritmo que gerasse o grafo limite.
58
Capítulo 5
Conclusão
5.1 Introdução
Como já citado, o presente trabalho é uma continuidade à pesquisa iniciada em
[Trafaniuc, 2004] e, dessa forma, foi utilizado o recurso de análise da complexidade de
grafos correspondente a configurações de autômatos celulares elementares. A utilização
desta abordagem permite efetuar visualmente associações da evolução dos autômatos
finitos relacionados a configurações celulares ao longo de um período, com
características presentes no comportamento dinâmico de regras elementares.
O objetivo desta pesquisa teve como foco a automatização de processos para
caracterização de regras de autômatos celulares elementares. Essa caracterização
compreendia desde dados como a expressão de crescimento, até o autômato finito
correspondente a configuração limite de autômato celular.
Todo o desenvolvimento foi conduzido com o software Mathematica versão 5.1,
[Wolfram, 2006], pela facilidade que apresenta na manipulação de grafos e autômatos
celulares. Em muitos experimentos foi utilizada a biblioteca Automata Package versão
5.0, desenvolvida por Klaus Sutner [2006].
O desenvolvimento principal foi dividido em dois módulos: módulo de geração e
armazenamento de dados e o módulo de análise de resultados. O primeiro módulo
utiliza as mesmas funções NetCAStep, TrimNet e MinNet [Wolfram, 2002], utilizadas
por [Trafaniuc, 2004]. Porém, além dos grafos para cada instante de tempo e das
estruturas comuns presentes em grafos de tempos consecutivos, foi desenvolvido neste
módulo uma operação de diferença entre grafos, conforme apresentado na Seção 4.1.2.
Através desta operação, foi possível observar de outra maneira o comportamento
dinâmico das regras, durante a geração de grafos referentes a tempos consecutivos e,
por conseqüência, a obtenção de alguns resultados que preencheram a tabela de
complexidade das linguagens regulares [Wolfram, 1994] que ainda estavam vagos em
[Trafaniuc, 2004] (ver Seção 5.2).
59
O segundo módulo, responsável pela análise de resultados, foi desenvolvido para
computar os dados coletados pelo primeiro módulo, e extrair informações do
crescimento do autômato finito que reconhece a configuração limite de um autômato
celular. Esse módulo foi parcialmente construído, dado que o algoritmo para obtenção
do autômato finito referente à configuração limite, não pôde ser concebido.
212, 224 e 232) apresentaram crescimento linear na complexidade do autômato
finito, desde o primeiro instante de tempo. A Figura 5.1 ilustra a regra elementar
43.
REGRA ELEMENTAR 43
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
60
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
56
7
8
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
2
34
5
6
7
8 9
10
11
12
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2
345
6
7
8
9
1011 12
1314
15
16
1
2
3456
7
8
9
0
11
1213
14 15 161718
19
20
1
2
3456
7
8
9
0
1
1213
14 15 161718
19
20
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2
3456
7
8
9
0
11
1213
14 15 161718
19
20
1
23
4567
8
9
0
11
12
13141516
1718
19
20
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
1
2
3456
7
8
9
0
11
1213
14 15 161718
19
20
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
123
45
6789
10
1
231415
1617181920
21222324
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
1234
5678910
1112
345161718
192021222324
25262728
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
61
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
12345
67891011
121314
56718192021
22232425262728
29303132
1234567
891011121314151678920212223242526272829
30313233343536
12345
6789101112
13141567890212223242526272829
30313233343536
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 4 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 8+6 t Início em t= 1
Estrutura Repetitiva
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
Figura 5.1. Resultados da regra elementar 43 com crescimento linear desde o primeiro
instante de tempo.
Observe que visualizando apenas as colunas grafo t, comum e grafo t+1,
exibidas em [Trafaniuc, 2004] fica difícil observar que a regra possui
crescimento linear. Através das colunas estrutura adicionada e excluída
implementadas neste trabalho, torna-se mais fácil essa percepção, uma vez
detectado que sempre a mesma estrutura é adicionada e excluída do grafo para
todos os instantes de tempo executado. Na análise automática executada pelo
módulo, a informação de repetição e crescimento linear pode ser confirmada
pelo item ‘Análise de Ciclo’ da Figura 5.1, onde a regra 43 apresenta uma única
estrutura repetitiva que se apresenta com ciclo=1 e início em t=2.
62
2. Crescimento linear após o primeiro instante de tempo
03 regras (56, 98 e 172) apresentaram crescimento linear na complexidade do
autômato finito, após o primeiro instante de tempo. A Figura 5.2 ilustra a regra
elementar 56.
REGRA ELEMENTAR 56
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3 1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
12
3
4 5
6
12
3
4 5
6
1
2
3
4
12
3
4 5
6
1
2
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
78
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7 8
9
10
63
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
89 10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10 11 12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 t Início em t= 2
Estrutura Repetitiva
1
2
3
12
3
4 5
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 1 Inicio em t = 3
Figura 5.2. Resultados da regra elementar 56 com crescimento linear desde o segundo
instante de tempo.
Essas regras (que exibem crescimento linear após o primeiro instante de tempo)
apresentam maior dificuldade ainda para detecção do crescimento linear, sem
utilização dos grafos de diferença. A Figura 5.2 mostra que a regra elementar 56
possui crescimento linear de nós e arestas do segundo instante de tempo em
diante, e que, entre a iteração dos grafos de t=1 para t=2, a estrutura repetitiva 1
é apresentada uma única vez. Já a estrutura repetitiva 2, que se repete entre a
iteração t=2 para t=3 em diante, inclui a característica de linearidade no
crescimento.
64
3. Crescimento linear e estruturas repetitivas com ciclo duplo
2 regras (50 e 70), mesmo com estruturas adicionais repetitivas a cada dois
instantes de tempo (ciclo=2), apresentaram crescimento linear do número de nós
e arestas.
REGRA ELEMENTAR 50
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3
12
3
4
56
7
12
3
4
56
7
1
2
3
12
3
4
56
7
1
2
3
45
6
7
1
23
4
5
67
8
9
1
23
4
5
67
8
9
12
3
4
56
7
1
23
4
5
67
8
9
12
3
4
5
6 7
8
9
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
5
67
8
9
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
5
6
7 89
10
11
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
65
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
234
5
6
7
89 10
11
12
13
1
234
5
6
7
8
9
1011 12
13
14
15
1
234
5
6
7
8
9
1011 12
13
14
15
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
234
5
6
7
8
9
1011 12
13
14
15
1
23
45
6
7
8
9
10 1112
13
14
15
1
23
456
7
8
9
10
1112 13
1415
16
17
1
23
456
7
8
9
10
1112 13
1415
16
17
1
234
5
6
7
8
9
1011 12
13
14
15
1
23
456
7
8
9
10
1112 13
1415
16
17
1
2
3456
7
8
9
1011 12 13
14
15
16
17
1
23
4567
8
9
0
11
1213 14 15
16
17
18
19
1
23
4567
8
9
0
11
1213 14 15
16
17
18
19
1
23
456
7
8
9
10
1112 13
1415
16
17
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 (2+t) Início em t=2
Estrutura Repetitiva
12
3
4
56
7
1
23
4
5
67
1
23
4
5
6
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 2 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4
Figura 5.3. Resultados da regra elementar 50 com ciclo=2 e crescimento linear .
Essas duas regras apresentam crescimento linear porque, coincidentemente, as
duas estruturas repetitivas que se intercalam na evolução, adicionam o mesmo
número de nós e arestas em cada instante de tempo.
66
Figura 5.4. Estrutura adicionada e excluída da regra 50 com crescimento linear.
Observe pela Figura 5.4 que o número de arestas da estrutura líquida adicionadas
ao grafo no próximo instante de tempo é o mesmo.
4. Crescimento linear e estruturas repetitivas com ciclo zero
A regra 81 mesmo não apresentando estrutura adicional repetitiva (ciclo=0),
apresentou crescimento linear do número de nós e arestas após o instante t=3
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 3- Expressao de Crescimento Aresta: 4+3 t Início em t= 3
68
Estrutura Repetitiva1
23
4
12
3
456
7
1
2
34
5
1
234 5
12
3456
1
2345 6
1
34567
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 0 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 0 Inicio em t = 5- Estrutura 5 => Ciclo: 0 Inicio em t = 6- Estrutura 6 => Ciclo: 0 Inicio em t = 7- Estrutura 7 => Ciclo: 0 Inicio em t = 8
Figura 5.5. Resultados da regra elementar 81 sem estrutura repetitiva mas com
crescimento linear.
A regra 81 apresenta um comportamento bastante interessante. Observe-se pelas
colunas estrutura adicionada e excluída na Figura 5.5 que, para os dois primeiros
instantes de tempo, os pares correspondentes de estrutura adicionada e retirada
aparecem uma única vez. Depois disso, a estrutura líquida adicionada apresenta
mesmo número de nós e arestas, seguindo a mesma explicação de crescimento
linear da Figura 5.4. Uma segunda observação é que analisando visualmente as
colunas estrutura adicionada e estrutura excluída, pode-se observar um
crescimento linear dessas estruturas ao longo do tempo.
Além dessas regras com crescimento linear, o módulo detectou 03 regras (11, 14
e 35) que não apresentaram crescimento linear do número de nós e arestas, porém
apresentaram estruturas adicionais repetitivas com ciclo duplo. O número de arestas que
varia de acordo com o instante de tempo (par e ímpar) é que impede a linearidade no
crescimento. Essa percepção também só foi possível com a análise de ciclo e estruturas
repetitivas incluídas neste trabalho (ver Figura 5.6).
REGRA ELEMENTAR 11
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
69
1
2
3
1
2
3 12
3
4 5
6
12
3
4 5
6
1
2
3
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5 6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
78 9
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
70
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2
34
5
6
7
8
910
11 1213
14
15
16
1
2
345
6
7
8
9
10
1112
13 141516
17
18
1
2
345
6
7
8
9
0
1112
13 1415
16
17
18
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Não- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: --- - -
Estrutura Repetitiva
12
3 4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 2 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4
Figura 5.6. Resultados da regra elementar 11 crescimento linear para tempo par e ímpar.
Observe que essas regras mesmo assemelhando-se a regra 50 da Figura 5.3, por
apresentarem ciclo duplo na iteração de tempo t=2 para t=3 em diante, não possui
crescimento linear. Essas três regras não apresentam o crescimento linear porque as
duas estruturas repetitivas que se intercalam na evolução, não apresentam o mesmo
número de arestas. Porém, como essas estruturas são repetitivas e intercalam, através de
observações de grafos dessas regras, pôde-se extrair expressões de crescimento para
tempo par e ímpar.
Para todas as 26 regras analisadas, obteve-se uma expressão de crescimento do
número de nós e arestas do grafo em função do tempo. Dessas 26, as expressões de 06
regras (11, 14, 35, 50, 70 e 81), não haviam sido preenchidas na tabela de complexidade
das linguagens regulares nem em [Wolfram, 1994] nem em [Trafaniuc, 2004].
A Tabela 5.1 abaixo, ilustra as expressões de crescimento do número de nós e
arestas obtidas neste trabalho:
71
Numero de Nós Número de ArestaRegra
Expressão Observação Expressão Observação
9 + 5(t/2 -1) t �2 (Par)11 2 (1+t) t �2
12+ 5/2(t-3) t �2 (Ímpar)
10 + 5(t/2 -1) t �2 (Par)14 2 (1+t) t � 2
12+ 5/2(t-3) t �2 (Ímpar)
6 + 3(t/2 -1) t �2 (Par) 10 + 4(t/2 -1) t �2 (Par)35
7+3/2(t-3) t �2 (Ímpar) 11+ 2(t-3) t �2 (Ímpar)
50 3+2 t t �2 3 (2+t) t �2
70 6+t t �3 12+t t �2
81 2 (1+t) t �3 4+3 t t �3
Tabela 5.1. Expressões de crescimento da tabela de complexidade [Wolfram, 1994] que
permaneciam vazia
5.3 Comentários finais
Nesta pesquisa detectou-se que a função MinNet [Wolfram, 2002, página 957]
está com o descritivo errado no livro. Através de experimentos efetuados comprovaram
que a função retorna o último estado como inicial, e não o primeiro como mencionado.
Essa desvio de informação nos levou em muitos momentos desta pesquisa a trabalhar
com alguns conceitos errados, principalmente com relação a que cada função(MinNet,
TrimNet e SetCAStep) utilizadas no processo iterativo efetua de fato. Relacionado a
esta mesma função, e talvez relacionado a esse erro de descrição, Trafaniuc [2004]
referencia em alguns pontos de sua pesquisa, de forma errada, à máquina gerada por
esta função como semi-autômato, ao invés de autômato finito determinístico.
As diferenças encontradas entre as tabelas de complexidade em linguagem
regular de [Wolfram, 1994] e [Trafaniuc, 2002], foram investigadas e podem ser
atribuídas a um possível erro existente no código anterior utilizado por Wolfram para
construção da tabela [1994] e corrigido em [2002]. A comparação de grafos da regra
108 exibidos pelo próprio Wolfram [2002] e constatação da condição de igualdade com
dados da tabela de [Trafaniuc, 2002], é que nos induz a acreditar nessa hipótese.
72
Todos os resultado da análise automática desenvolvida nesta pesquisa gerou
informações novas e importantes na análise de crescimento da complexidade de
autômatos finitos, porém, a informação relativa ao comportamento limite da regra
permanece em aberto. Neste trabalho, a manipulação de grafos foi o recurso mais
utilizado e focado na tentativa de obter o autômato finito determinístico que
representasse o comportamento limite de uma regra elementar. Em algumas situações,
tentou-se utilizar expressões regulares utilizando a biblioteca Automata Package para
conversão de máquinas em expressões. Porém, essas conversões normalmente
resultavam em expressões regulares extremamente grandes e complexas, que
impossibilitavam a associação ou desenvolvimento de algum raciocínio lógico. Outro
ponto a ser destacado, é que mesmo encontrando alguns componentes importantes na
caracterização do comportamento limite, conforme apresentado na Seção 4.2.3, intui-se
que ainda falta alguma informação adicional que permitirá finalizar a operação de
obtenção do comportamento limite, para uma regra elementar.
73
Apêndice
A.1. Tabela de complexidade das linguagens regulares
[Wolfram, 1994].
74
75
Tabela A.1. Complexidade das linguagens regulares [Wolfram, 1994].
76
Resultados diferentes entre as duas tabelasNovos ResultadosRegras Equivalentes já apresentadas
* - regras válidas a partir do segundo passo de tempo
Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições
Tabela Wolfram 1986 Nova Tabela Utilizando as funções do NKSt=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t>5 Infinito t=1 t=2 Infinitot=3 t=4 t=5 t>5
A.2. Tabela de complexidade das linguagens regulares [Trafaniuc, 2004].
77
Resultados diferentes entre as duas tabelasNovos ResultadosRegras Equivalentes já apresentadas
* - regras válidas a partir do segundo passo de tempo
Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições
Tabela Wolfram 1986 Nova Tabela Utilizando as funções do NKSt=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t>5 Infinito t=1 t=2 Infinitot=3 t=4 t=5 t>5
78
Resultados diferentes entre as duas tabelasNovos ResultadosRegras Equivalentes já apresentadas
* - regras válidas a partir do segundo passo de tempo
Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições
Complexidade das linguagens regulares[Wolfram 1994] Funções NetCAStep, TrimNet e MinNett=1 t=2 t=3 t=4 t=5
Tabela A.2. Tabela que demonstra a complexidade das linguagens regulares, retirada do trabalho de pesquisa [Trafaniuc, 2004].
79
A.3. Resultado da análise automática de crescimento
Segue abaixo, a exibição da análise de resultado automática emitida pelo módulo deanálise, para as 26 regras, com 8 iterações.
* * * * * MODULO DE ANALISE * * * * *
REGRA ELEMENTAR 11
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3 12
3
4 5
6
12
3
4 5
6
1
2
3
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5 6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7 8
9
10
80
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
78 9
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2
34
5
6
7
8
910
11 1213
14
15
16
1
2
345
6
7
8
9
10
1112
13 141516
17
18
1
2
345
6
7
8
9
0
1112
13 1415
16
17
18
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Não- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: --- - -
Estrutura Repetitiva
12
3 4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 2 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4
REGRA ELEMENTAR 14
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
81
1
2
3
1
2
3
12
3
4 5
6
12
3
4 5
6
1
2
3
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
67
8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
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9 10 11
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1
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10
11 12 13
14
15
16
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Não- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: --- - -
Estrutura Repetitiva
12
3
4 5
6
1
2
3
4
1
2
3
4
5
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 2 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4
REGRA ELEMENTAR 23
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
23
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7 8
9
10
1
234
5
6
7
8
910 11
12
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14
1
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6
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13
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9
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13 1415
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12
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2
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1112
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2
3
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222324
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2
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9
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1
12
131415161718
1920
21
22
1
23
45678
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15161718192021
222324
25
26123
456789
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171819202122
23242526
1234
5678910
1112134561718192021222324
252627282930
123
456
789101112134561718192021222324
252627282930
1
23
45678
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222324
25
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456
789101112134561718192021222324
252627282930
1234
567891011
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789101112131415678192021222324252627
28293031323334
123
456
7891011
12134561718192021222324
252627282930
123456
789101112131415678192021222324252627
28293031323334
123456
78910111213
141567819202122
2324252627282930
31323334
123456
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32333435363738
123456
789101112131415167890122232425262728293031
32333435363738
1234
56789101112
131415678192021222324252627
28293031323334
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 6+4 t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 6 (2+t) Início emt= 1
Estrutura Repetitiva
84
1
2
34
5
6
7
8
9
10
11
12
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 35
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
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1
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4
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3
4
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1
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4
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4
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9 1011
12
13
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Não- Expressao de Crescimento Nó: --- - -- Expressao de Crescimento Aresta: --- - -
Estrutura Repetitiva
12
3
4
1
2
3
12
3
45
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 2 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4
REGRA ELEMENTAR 43
86
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
4
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14 15 161718
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2
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0
11
1213
14 15 161718
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14 15 161718
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2
3
141516171819
202122
23
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1011123
451617181920212223
2425262728
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141516171819
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1011123
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1112
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1234
567891011
121314567181920212223242526
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123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
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567891011
121314567181920212223242526
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12345
67891011
121314
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1234567
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30313233343536
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 4 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 8+6 t Início em t=1
Estrutura Repetitiva
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 50
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
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1
2
3
12
3
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7
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88
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1
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4
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9
12
3
4
56
7
1
23
4
5
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8
9
12
3
4
5
6 7
8
9
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
5
67
8
9
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
1
23
4
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6
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12
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6
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1112 13
1415
16
17
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 (2+t) Início em
89
t= 2
Estrutura Repetitiva
12
3
4
56
7
1
23
4
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1
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4
5
6
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 2 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4
REGRA ELEMENTAR 56
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC.ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3 1
2
3
4
1
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1
2
3
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4 5
6
12
3
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6
1
2
3
4
12
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7
8
1
2
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4
5
6
7
8
12
3
4 5
6
90
1
2
3
4
5
6
7
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1
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1
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4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
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1
2
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7 8
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10
1
23
4
5
6
78
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
89 10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10 11 12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 t Início em t= 2
Estrutura Repetitiva
1
2
3
12
3
4 5
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 1 Inicio em t = 3
91
REGRA ELEMENTAR 70
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC.ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3
12
3
4
56
7
12
3
4
56
7
1
2
3
12
3
4
56
7
1
2
3
45
6
7
1
23
4
5
67
8
9
1
23
4
5
67
8
9
12
3
4
56
7
1
23
4
5
67
8
9
12
3
4
5
6 7
8
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23
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6
7 8
9
10
1
23
4
5
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1
23
4
5
67
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9
1
23
4
5
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7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
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6
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8 9
10
11
1
23
4
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10
11
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
12
3
4
5
6
78
9
10
11
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
8 9
10
11
92
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
8 910
11
12
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
123
4
5
6
7
89 10
11
12
13
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
9 1011
12
13
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 6+t Início em t= 3- Expressao de Crescimento Aresta: 12+t Início em t= 3
Estrutura Repetitiva
12
3
4
56
7
1
2
3
45
6
1
2
3
1
2
3
4
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 2 Inicio em t = 5
REGRA ELEMENTAR 81
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
93
1
2
3
4
5
12
3 4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
12
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
67
8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
123
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2
34
5
6
7
89 10 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
234
5
6
7
8
9
1011
1213
14
15
16
1
2
345
6
7
8
9
10
1112
13 141516
17
18
1
2
345
6
7
8
9
0
1112
13 1415
16
17
18
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 3- Expressao de Crescimento Aresta: 4+3 t Início em t= 3
94
Estrutura Repetitiva1
23
4
12
3
456
7
1
2
34
5
1
234 5
12
3456
1
2345 6
1
34567
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 0 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 0 Inicio em t = 5- Estrutura 5 => Ciclo: 0 Inicio em t = 6- Estrutura 6 => Ciclo: 0 Inicio em t = 7- Estrutura 7 => Ciclo: 0 Inicio em t = 8
REGRA ELEMENTAR 98
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
12
3
4 5
6
12
3
4 5
6
1
2
3
4
12
3
4 5
6
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
12
3
4 5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
95
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
78
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7 8
9
10
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
89 10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10 11 12
13
14
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
234
5
6
7
8
910 11
12
13
14
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 1+3 t Início em t=2
Estrutura Repetitiva
1
2 3
12
3
4
1
2
3
4
5
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 1 Inicio em t = 4
REGRA ELEMENTAR 113
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
96
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
56
7
8
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
2
34
5
6
7
8 9
10
11
12
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
23
4
5
6
7
89
10
11
12
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2
345
6
7
8
9
1011 12
1314
15
16
1
2
3456
7
8
9
0
11
1213
14 15 161718
19
20
1
2
3456
7
8
9
0
1
1213
14 15 161718
19
20
1
2345
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
16
1
2
3456
7
8
9
0
11
1213
14 15 161718
19
20
1
23
4567
8
9
0
11
12
13141516
1718
19
20
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
1
2
3456
7
8
9
0
11
1213
14 15 161718
19
20
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
123
45
6789
10
1
231415
1617181920
21222324
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
1
23
456789
10
1
2
3
141516171819
202122
23
24
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
1234
5678910
1112
345161718
192021222324
25262728
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
123
456789
1011123
451617181920212223
2425262728
97
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
12345
67891011
121314
56718192021
22232425262728
29303132
1234567
891011121314151678920212223242526272829
30313233343536
12345
6789101112
13141567890212223242526272829
30313233343536
1234
567891011
121314567181920212223242526
272829303132
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 4 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 8+6 t Início em t=1
Estrutura Repetitiva
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 128
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
2
3
4
12
3
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12
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16
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 2 (2+t) Início em
99
t= 1
Estrutura Repetitiva
1
2
3
4
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 132
Grafo em Evolução
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Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+2 t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 3 (2+t) Início emt= 1
Estrutura Repetitiva
101
1
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Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 136
Grafo em Evolução
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Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2+t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 4+t Início em t= 1
Estrutura Repetitiva
103
1
2 3
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 140
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
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Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 6+t Início em t= 1
Estrutura Repetitiva
105
1
2
3
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 142
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
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272829303132
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 4 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 8+6 t Início em t=1
Estrutura Repetitiva
107
1
2
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5
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Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 162
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
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10
1112 13
1415
16
17
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+2 t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 3 (2+t) Início emt= 1
Estrutura Repetitiva
109
1
2
3
4
5
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 168
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
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1
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4
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10
11
1
23
4
5
6
7 8
9
10
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 6+t Início em t= 1
Estrutura Repetitiva
111
1
2
3
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 172
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
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6
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12
1
23
4
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14
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16
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 9+t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 17+t Início em t= 2
Estrutura Repetitiva
1
23
4
5
6
7
8
1
2
3
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 1 Inicio em t = 3
113
REGRA ELEMENTAR 176
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
1
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3
4
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4
5
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1
23
4
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1
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4
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6
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1
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5
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1
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1112 13
1415
16
17
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+2 t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 2 (3+t) Início emt= 1
Estrutura Repetitiva
1
2
3
4
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 184
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
115
1
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12
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14
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1
2345
6
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9
10
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14
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1011
12 1314
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11 12 13
14
15
16
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 4+3 t Início em t=1
Estrutura Repetitiva
12
3
4 5
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 192
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
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8
9
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2+t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 4+t Início em t= 1
118
Estrutura Repetitiva
1
2 3
Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 196
Grafo em Evolução
GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA
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Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 5+2 t Início em t=1
Estrutura Repetitiva
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Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
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Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 4 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 8+6 t Início em t=1
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Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
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Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 6+t Início em t= 1
Estrutura Repetitiva
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Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
REGRA ELEMENTAR 232
Grafo em Evolução
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28293031323334
Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 6+4 t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 6 (2+t) Início emt= 1
Estrutura Repetitiva
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Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2
EXPRESSÃO DE CRESCIMENTO DE NOS E ARESTASRegras com Crescimento Linear:{0,0,23,0,43,50,56,70,81,98,113,128,132,136,140,142,162,168,172,176,184,192,196,212,224,232}Regras com Crescimento Não Linear: {11,14,35}
127
CICLO DE REPETIÇÃORegras com Ciclo Simples desde t=1 (puramente linear):{23,43,113,128,132,136,140,142,162,168,176,184,192,196,212,224,232}Regras com Ciclo Simples após um dado t : {56,98,172}
Regras com Ciclo Duplo: {11,14,35,50,70}Regras SEM Ciclo: {81}
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