Automatique - eavr.u-strasbg.freavr.u-strasbg.fr/~bernard/education/fip_1a/slides_fip1a_unique.pdf · Système et temps Système à temps continu u(t) et y(t) fonctions d’une variable

Introduction

Automatique

Bernard [email protected]

ENSPS, FIP 1A

2005–2006

Introduction

Notion de système

Système

Etymologiquement : ensemble organisé

Système et Automatique

Procédé de nature quelconque : électrique, mécanique,chimique, économique, . . . d’entrée u et de sortie y

Système et temps

Système à temps continuu(t) et y(t) fonctions d’une variable continue t

Système à temps discretu(k) et y(k) fonctions d’une variable discrète k

Introduction

Notion de système

Système




Système et temps



Introduction

Notion de système

Système




Système et temps



Introduction

Hypothèses et objectifs du cours (1)

Systèmes considérés

Classe restreinte de systèmes réels :

mono-entrée mono-sortie linéaires invariants

Modélisation

Cas continu Cas discret

Equation différentielle Equation aux différenceslinéaire à coef. constants linéaire à coef. constants

Introduction





Modélisation



Introduction





Modélisation



Moteur à courant continu (MCC) : système électromécanique

Système :

entrée : tension u(t)

sortie : vitesse ω(t)

Moteur à courant continu (MCC) : système électromécanique

e(t)

R Li(t)

u(t)fω(t)

γ(t)

i(t)

u(t)

Relation entrée-sortie :

ω(t)+RJ + Lf

Rf + K 2em

dω(t)dt

+LJ

Rf + K 2em

d2ω(t)dt2 =

Kem

Rf + K 2em

u(t)

Introduction


Dans ce cours. . .

Systèmes linéaires ou linéarisés autour d’un point defonctionnement.

Moteur à courant continu

L’équation différentielle du modèle n’est plus valable présenced’hystérésis ou de saturation du circuit magnétique : étudedans la plage de fonctionnement linéaire spécifiée par leconstructeur.

Introduction


Dans ce cours. . .

Etude des techniques pratiques de commande des systèmeslinéaires invariants→ commande par calculateur.

CAN

amplificationCNA +numérique

commande

de mesureéchantillons

analogiquecommande

mesures

Systèmes à temps continuSystèmes asservis à temps continu

Première partie I

Systèmes et asservissements à temps continu


Plan

1 Systèmes à temps continuPropriétés des systèmes à temps continuRéponses des systèmes à temps continuReprésentation des systèmes à temps continuSystèmes à temps continu élémentaires

2 Systèmes asservis à temps continuDescription des systèmes asservis à temps continuStabilité et précision des systèmes à temps continuCommande des systèmes à temps continu


Propriétés des systèmes à temps continuRéponses des systèmes à temps continuReprésentation des systèmes à temps continuSystèmes à temps continu élémentaires

Plan





Plan





Linéarité

Definition

Soit y1(t) et y2(t) les réponses d’un système Σ excitéséparément par les entrées u1(t) et u2(t) et α ∈ R.

Le système est linéaire si sa sortie vaut αy1(t) + y2(t) enréponse à l’entrée αu1(t) + u2(t).

y1(t)

y2(t)u2(t)

u1(t)

Σ

Σ

αu1(t) + u2(t) αy1(t) + y2(t)Σ

linéarité

Principes de superposition et de linéarité.



Invariance

Definition

Soit y(t) la réponse d’un système Σ d’entrée u(t).

Le système est invariant si une même commande, appliquée àdeux instants différents produit la même sortie aux instantsconsidérés.

Σu(t) y(t)

Σu(t + τ)invariance y(t + τ)



Principe de causalité

Definition

Un signal f (t) à temps continu est causal si f (t) = 0, ∀t < 0.

Definition

Soit y(t) la réponse d’un système d’entrée u(t).

Le système est causal si, ∀t < 0, u(t) = 0⇒ y(t) = 0.

La réponse du système ne précède pas son excitation. Tout système physiquement

réalisable est causal.

Hypothèse

Tous les signaux et systèmes étudiés sont causaux.



Linéarité et invariance

Propriété

Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant estdécrit par une équation différentielle linéaire à coefficientsconstants.

Notationsn∑

i=c

aid iy(t)

dt i =m∑

i=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi ∈ R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m ∈ N tel que m 6 n pour un système causaln : ordre du système, c 6 n : classe du systèmey(t) : n CI pour y et m CI pour u




Propriété


Notationsn∑

i=c

aid iy(t)

dt i =m∑

i=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi ∈ R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0

n, m ∈ N tel que m 6 n pour un système causaln : ordre du système, c 6 n : classe du systèmey(t) : n CI pour y et m CI pour u




Propriété


Notationsn∑

i=c

aid iy(t)

dt i =m∑

i=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi ∈ R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m ∈ N tel que m 6 n pour un système causal

n : ordre du système, c 6 n : classe du systèmey(t) : n CI pour y et m CI pour u




Propriété


Notationsn∑

i=c

aid iy(t)

dt i =m∑

i=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi ∈ R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m ∈ N tel que m 6 n pour un système causaln : ordre du système, c 6 n : classe du système

y(t) : n CI pour y et m CI pour u




Propriété


Notationsn∑

i=c

aid iy(t)

dt i =m∑

i=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi ∈ R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m ∈ N tel que m 6 n pour un système causaln : ordre du système, c 6 n : classe du systèmey(t) : n CI pour y et m CI pour u



Plan





Formulation générale

Définition

La réponse d’un système linéaire invariant d’entrée u(t) et desortie y(t) peut s’écrire sous la forme :

y(t) = g(t) ∗ u(t)

où g(t) est appelée réponse impulsionnelle du système et où ∗désigne le produit de convolution défini par :

g(t) ∗ u(t) =

∫ +∞

−∞g(τ)u(t − τ)dτ.



Formulation générale

Définition

La réponse d’un système linéaire invariant d’entrée u(t) et desortie y(t) peut s’écrire sous la forme :

y(t) = g(t) ∗ u(t)

où g(t) est appelée réponse impulsionnelle du système et où ∗désigne le produit de convolution défini par :

causalité → g(t) ∗ u(t) =

∫ t

0g(τ)u(t − τ)dτ.



Réponse impulsionnelle

Propriété

La réponse impulsionnelle d’un système représente sa réponseà une impulsion de Dirac.

En effet :y(t) = g(t) ∗ δ(t)

et, par définition de l’impulsion de Dirac :

y(t) =

∫ t

0g(τ)δ(t − τ)dτ = g(t).



Réponse indicielle

Définition

On appelle réponse indicielle d’un système sa réponse à unéchelon unité :

U(t) =

0, si t < 0,

1, si t > 0.

Cette réponse vaut :

y(t) = g(t) ∗ U(t) =

∫ t

0g(τ) U(t − τ)dτ =

∫ t

0g(τ)dτ.

La réponse indicielle d’un système est souvent utilisée pour lecaractériser (identification).

Temps

Am

plit

ud

e

Réponse indicielle

100 % 95 %

105 %

90 %

10 %

t5%

tm t

1

D1



Plan





Transformée de Laplace : définition

Définition

Soit f (t) un signal à temps continu, prenant la valeur f (t) àl’instant t . La transformée de Laplace de f (t) est définie par :

F (s) = Lf (t) =

∫ +∞

0f (t)e−stdt .

Propriété

Soit s = σ + jω. La transformée de Laplace est généralementdéfinie sur un demi-plan complexe pour lequel σ ∈ ]σ0, +∞[.La valeur σ0 définissant la limite de convergence est appeléeabscisse de convergence de la transformée.



Transformée de Laplace : calcul

Tables de transformées

Autant que possible, on utilise des tables de transforméespré-calculées :

δ(t) → 1U(t) → 1

s. . .



Transformée de Laplace : calcul


Autant que possible on utilise des tables de transforméespré-calculées.

Exemple de calcul (complet et rigoureux)

Calcul de la transformée de Laplace de f (t) = e−at U(t).



Transformée de Laplace : propriétés

Notations

Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplacerespectives F (s) et G(s).

Propriétés

Linéarité : Lf (t) + αg(t) = F (s) + αG(s), ∀α ∈ R




Notations


Propriétés

Changement d’échelle : L

f( t

α

)= αF (αs), ∀α ∈ R




Notations


Propriétés

Retard : Lf (t − τ) = e−τsF (s), ∀τ ∈ R




Notations


Propriétés

Dérivation en t : L

df (t)dt

= sF (s)− f (0)




Notations


Propriétés

Dérivation en s : dF (s)ds = L−tf (t)




Notations


Propriétés

Intégration : L∫ t

0 f (τ)dτ

= F (s)s




Notations


Propriétés

Théorème de la valeur initiale : limt→0 f (t) = lims→+∞ sF (s)




Notations


Propriétés

Théorème de la valeur finale : limt→∞ f (t) = lims→0 sF (s)




Notations


Propriétés

Produit de convolution : Lf (t) ∗ g(t) = F (s) G(s)




Notations


Propriétés

Produit : Lf (t) g(t) = 12πj F (s) ∗G(s)



Transformée de Laplace : inversion

Définition

Soit F (s) la transformée de Laplace de f (t). La transformée deLaplace inverse de F (s) s’écrit :

f (t) = L−1F (s) =1

2πj

∫Γ

F (s)estds.

Intégrale d’une fonction complexe sur un contour. . .

singularités de la transformée

−∞←

Γ

contour de Bromwich Γ

Axe réel

Axe imaginaire



Transformée de Laplace : intérêt

Réécriture du modèle du système

Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité detransformer les équations différentielles décrivant l’évolutiondynamique du système en équations algébriques en s.

Relation entrée-sortie du MCC

Variable t :

ω(t) +RJ + Lf

Rf + K 2em

dω(t)dt

+LJ

Rf + K 2em

d2ω(t)dt2 =

Kem

Rf + K 2em

u(t),







Variable s :

Ω(s) +RJ + Lf

Rf + K 2em

sΩ(s) +LJ

Rf + K 2em

s2Ω(s) =Kem

Rf + K 2em

U(s),







Variable s :(1 +

RJ + LfRf + K 2

ems +

LJRf + K 2

ems2)

Ω(s) =Kem

Rf + K 2em

U(s),



Fonction de transfert : définition

Soit un système linéaire invariant d’entrée u(t) et de sortie y(t).Réponse temporelle du système :

y(t) = g(t) ∗ u(t).



Fonction de transfert : définition

Soit un système linéaire invariant d’entrée u(t) et de sortie y(t).En appliquant la transformée de Laplace :

Y (s) = G(s)U(s).

Définition

On appelle fonction de transfert du système la transformée deLaplace G(s) de la réponse impulsionnelle :

G(s) =Y (s)

U(s).

Le terme synonyme transmittance est souvent utilisé.



Fonction de transfert : propriétés (1)

Forme de la fonction de transfert

Dans le cas des systèmes linéaires invariants sans retard lafonction de transfert prend la forme d’une fraction rationnelle :

G(s) =N(s)

D(s)=

∑mi=0 bisi∑ni=c aisi

Caractéristiques :

racines de N(s) : m zéros

racines de D(s) : n pôles

zéros et les pôles ∈ C






G(s) =b0 + b1s + . . . bmsm

ac + ac+1s + . . . ansn

Caractéristiques :



zéros et les pôles ∈ CK = b0

ac: gain statique






G(s) =bm

an

∏mi=1 (s − zi)∏ni=1 (s − pi)

Caractéristiques :



zéros et les pôles ∈ Cbman

: coefficient de gain

Fonction de transfert du MCC

G(s) =Ω(s)

U(s)=

KemLJ

s2 + RJ+LfLJ s + Rf+K 2

emLJ

.

donc :

N(s) =Kem

LJet D(s) = s2 +

RJ + LfLJ

s +Rf + K 2

em

LJ.


Caractéristiques :

pas de zéropôles (tels que D(s) = 0) ? On montre (voir annexe cours) :

G(s) =Ω(s)

U(s)=

Kτelτem(

s + 1τel

)(s + 1

τem

) ,

τel =LR

,

τem =RJ

Rf + K 2em

,

et K =Kem

Rf + K 2em

.


Caractéristiques :

pas de zéropôles (tels que D(s) = 0) ? On montre (voir annexe cours) :

G(s) =Ω(s)

U(s)=

Kτelτem(

s + 1τel

)(s + 1

τem

) ,

donc deux pôles :

p1 = − 1τel

et p2 = − 1τem

.



Analyse harmonique

Définition

On se place dans le cas d’un système linéaire invariant defonction de transfert G(s), en régime permanent sinusoïdal depulsation ω. On appelle G(s = jω) réponse harmonique.

Propriété

La réponse du système à une entrée sinusoïdale A sin ωt est :

y(t) = A |G(jω)| sin (ωt + ArgG(jω)) .

Analyse harmonique : étude de la fonction G(jω) :

comportement fréquentiel du système (signal périodique)

diagrammes mettant en correspondance module et argument



Diagrammes harmoniques (1)

Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes :

module en décibels (dB) :

GdB(ω) = 20 log10 |G(jω)|

argument, généralement exprimée en degrés (deg) :

ϕ(ω) = ArgG(jω)

On utilise traditionnellement les termes de gain et de phase, plutôt que les termes

modules et argument.




Intérêt du diagramme de Bode

Module d’un produit de nombres complexes = produit deleurs modules.Par conséquent : module en dB d’un produit de nombrescomplexes = somme de leurs modules en dB (propriété dulogarithme) :

20 log10 |G1(jω)G2(jω)| = 20 log10 |G1(jω)|+ 20 log10 |G2(jω)|,= G1dB

(jω) + G2dB(jω).

Argument d’un produit de nombres complexes = sommedes arguments :

ArgG1(jω)G2(jω) = ArgG1(jω) + ArgG2(jω).




Diagramme de Nyquist

Le diagramme de Nyquist est le lieu de G(jω) dans le plancomplexe, lorsque ω varie de −∞ à +∞.

Remarque

Ce diagramme est orienté selon les ω croissants. En généralon choisi l’échelle du diagramme de Nyquist de sorte que lepoint complexe d’abscisse −1, dit point critique apparaisse etpuisse être situé par rapport au lieu de G(jω).




Lieu de Black-Nichols

Le lieu de Black-Nichols est le lieu orienté des points decoordonnées (ϕ(ω), GdB(ω)) lorsque ω varie de −∞ à +∞. Ontache aussi de faire apparaître le point critique de coordonnées(−180, 0) sur ce lieu.

Remarque

Ce diagramme est orienté selon les ω croissants. En généralon choisi l’échelle du diagramme de Nyquist de sorte que lepoint complexe d’abscisse −1, dit point critique apparaisse etpuisse être situé par rapport au lieu de G(jω).

Moteur à courant continu Maxon F2260, bobinage 885

Calculer la valeur numérique des paramètres du modèle :

G(s) =Ω(s)

U(s)=

Kτelτem(

s + 1τel

)(s + 1

τem

) ,

τel =LR

,

τem =RJ

Rf + K 2em

,

et K =Kem

Rf + K 2em

.

d’après la (nouvelle) documentation.

Etablir les diagrammes harmoniques.

100

101

102

103

104

105

−80

−60

−40

−20

0

20A

mpl

itude

(dB

)

Diagramme de Bode

100

101

102

103

104

105

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

Pulsation (rad/s)

Phas

e (d

eg)

−2 0 2 4 6 8 10−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Axe réel

Axe

imag

inai

re


−180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

Phase (deg)

Gai

n (d

B)

Lieu de Black−Nichols



Plan





Systèmes du premier ordre (1)

Définition

Un système linéaire invariant à temps continu d’ordre un estdécrit par une équation différentielle d’ordre un à coefficientsconstants reliant son entrée u(t) et sa sortie y(t) :

y(t) + τdy(t)

dt= Ku(t)

où τ et K sont des constantes réelles non nulles ; τ est laconstante de temps du système et K son gain statique.

La réponse indicielle est y(t) = α + βe−tτ avec α et β deux

constantes réelles dépendant des CI.




Détermination des paramètres de :

y(t) = α + βe−tτ .

terme constant : régime permanent de la sortie

une partie variable : régime transitoire

cas τ > 0 : stable





y(t) = α + βe−tτ .



cas τ > 0 : stable

A l’instant t = 0 :y(0) = α + β.





y(t) = α + βe−tτ .



cas τ > 0 : stable

Quand t →∞, dy(t)dt = 0 :

limt→∞

y(t) = K ,

et limt→∞

y(t) = α.





y(t) = α + βe−tτ .



cas τ > 0 : stable

soit les paramètres :

α = K ,

β = y(0)− K .





y(t) = α + βe−tτ .



cas τ > 0 : stable

Finalement :

y(t) = K (1− e−tτ ) + y(0)e−

tτ .

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

2

4

6

8

10

12

14

16

Temps (s)

Am

plitu

de

Réponse indicielle

Réponse indicielle d’un système du premier ordre de constante detemps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10 pour différentes CI

Temps

Am

plitu

de

Réponse indicielle100 %

63 %

95 %

τ 3 τ

Caractéristiques générales de la réponse indicielle d’un système dupremier ordre




Fonction de transfert

La fonction de transfert d’un système du premier ordre estdonc :

G(s) =Y (s)

U(s)=

K1 + τs

.

Réponse harmonique

La réponse harmonique associée est :

G(jω) =K

1 + jτω.

Description de la réponse harmonique :

étude du comportement asymptotique du régime permanent sinusoïdal

extrapolation par des valeurs choisies





G(jω) =K

1 + jτω.

ω G(jω) gain gain phase

équivalent (dB) (deg)

ω 1

τ, soit ωτ 1 K K KdB = 20 log10 K 0

1

τ

K

1 + j

K√

2KdB − 3 −45

ω 1

τ, soit ωτ 1

−jK

τω

K

ωKdB − 20 log10 τ − 20 log10 ω −90

100

101

102

103

104

−20

−10

0

10

20

Am

plitu

de(d

B)

Diagramme de Bode

100

101

102

103

104

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Pulsation (rad/s)

Pha

se (

deg)

ωc

KdB

3 dB

−45

−90

− 20 dB/décade

Diagramme de Bode d’un système du premier ordre de constante detemps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

−180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Phase (deg)

Gai

n (d

B)


−90

KdB

Lieu de Black-Nichols d’un système du premier ordre de constante detemps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

−2 0 2 4 6 8 10

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Axe réel

Axe

imag

inai

re


K

K/2 = 5 −1

Diagramme de Nyquist d’un système du premier ordre de constantede temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10



Systèmes du second ordre (1)

Définition

Un système linéaire invariant à temps continu d’ordre deux estdécrit par une équation différentielle d’ordre deux à coefficientsconstants reliant son entrée u(t) et sa sortie y(t). On considèredes systèmes dont l’équation différentielle se met sous la formecanonique :

ω2n y(t) + 2ξωn

dy(t)dt

+d2y(t)

dt2 = Kω2n u(t),

où ξ et K sont des constantes réelles strictement positives etωn une constante réelle non nulle ; ξ : coefficientd’amortissement, ωn : pulsation naturelle et K : gain statique.




Réponse indicielle fonction de la valeur de ξ :α + βe−ξωnt sin(

√1− ξ2 ωnt + ϕ), si 0 < ξ < 1,

α + (β + γt)e−ξωnt , si ξ = 1,

α + βe−(ξ+√

ξ2−1)ωnt + γe−(ξ+√

ξ2−1)ωnt , si ξ > 1,

avec α, β, γ ∈ R dépendant des CI.

ξ > 1 : aucune oscillation

ξ < 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsationfixe ωp =

√1− ξ2 ωn, dont l’amplitude décroît

exponentiellement vers zéro. On appelle ωp

pseudo-pulsation ou pulsation amortie.





√1− ξ2 ωnt + ϕ), si 0 < ξ < 1,


α + βe−(ξ+√

ξ2−1)ωnt + γe−(ξ+√

ξ2−1)ωnt , si ξ > 1,











√1− ξ2 ωnt + ϕ), si 0 < ξ < 1,


α + βe−(ξ+√

ξ2−1)ωnt + γe−(ξ+√

ξ2−1)ωnt , si ξ > 1,







0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

2

4

6

8

10

12

14

16

Temps (s)

Am

plitu

de

Réponse indicielle

3,48

1,5

1

0,71

0,42

ξ= 0,2

Réponses indicielles d’un système du second ordre pour différentesvaleurs du coefficient d’amortissement




Temps de réponse

Pas de loi simple : abaques ou simulation.

Approximation:

deux pôles réels, associés à deux constantes de temps(τ1 > τ2)

t5% ' 3τ1

deux pôles complexes : la réponse indicielle est compriseà l’intérieur d’une enveloppe exponentielle connue : e−ξωnt .

t5 % <3

ξωn

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

Réponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

Temps de réponse à 5 % d’un système du second ordre de coefficientd’amortissement 0, 6 et d’un premier ordre de constante de temps 1

ξωn




Premier dépassement (cas pseudo-oscillant)

Formes analytiques :

t1 =2π√

1− ξ2 ωn, D1 = e

− ξπ√1−ξ2 .

Compromis optimal amortissement-rapidité est obtenu pour :

ξ =

√2

2' 0, 7

→ D1% = 5 % de la valeur finale et donc t1 = t5 %.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Amortissement

Am

plitu

de d

u pr

emie

r dé

pass

emen

t (%

)

Correspondance entre premier dépassement (D1%) et coefficientd’amortissement, pour un système du second ordre

Correspondance entre le temps de réponse à 5% normalisé ωnt5% etle coefficient d’amortissement ξ, pour un système du second ordre





La fonction de transfert du système du second ordre est :

G(s) =Y (s)

U(s)=

Kω2n

ω2n + 2ξωns + s2

.

Pôles = solutions de ω2n + 2ξωns + s2 = 0 :






G(s) =Y (s)

U(s)=

Kω2n

ω2n + 2ξωns + s2

.


p1,2 = −(ξ ± j√

1− ξ2)ωn si 0 < ξ 6 1

et p1,2 = −(ξ ±√

ξ2 − 1)ωn si ξ > 1.






G(s) =Y (s)

U(s)=

Kω2n

ω2n + 2ξωns + s2

.


0

ωn

√1− ξ2

-ωn

√1− ξ2

Axe réel

Axe imaginaire

p2

p1

−ξωn

cos(ψ) = ξ

ωn

ψ





G(jω) =Kω2

n

ω2n − ω2 + 2jξωnω

.

ω G(jω) gain gain phase

équivalent (dB) (deg)

ω ωn K K KdB = 20 log10 K 0

ωnK

2jξK2ξ

KdB − 6− 20 log10 ξ −90

ω ωn−Kω2

nω2

Kω2n

ω2 KdB + 40 log10 ωn − 40 log10 ω −180

100

101

102

103

104

−60

−40

−20

0

20

Am

plitu

de(d

B)

Diagramme de Bode

100

101

102

103

104

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

Pulsation (rad/s)

Pha

se (

deg)

ξ= 0,20,42

0,711

1,53,48

ωc

−90

−180

KdB

− 40 dB/décade

Diagramme de Bode d’un système du second ordreK = 10, ωn = 100, ξ variable

−180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Phase (deg)

Gai

n (d

B)


3,48

1

0,42

0,71

ξ= 0,2

1,5

KdB

Lieu de Black-Nichols d’un système du second ordreK = 10, ωn = 100, ξ variable

−10 −5 0 5 10 15

−25

−20

−15

−10

−5

0

Axe réel

Axe

imag

inai

re


3,481,510,710,42

ξ= 0,2

K=

Diagramme de Nyquist d’un système du second ordreK = 10, ωn = 100, ξ variable



Simplification de modèles (1)

Forme générique d’une fonction de transfert :

G(s) =Ksc

∏pi=1(1 + τis)

∏qi=p+1(1 + 2 ξi

ωnis + 1

ωn2is2)∏p′

j=1(1 + τjs)∏q′

j=p′+1(1 + 2 ξjωnj

s + 1ωn

2js2)

.

Termes du premier ordre : pôles et zéros réels

Termes du second ordre : pôles et zéros complexesconjugués





G(s) =Ksc

∏pi=1(1 + τis)

∏qi=p+1(1 + 2 ξi

ωnis + 1

ωn2is2)∏p′

j=1(1 + τjs)∏q′

j=p′+1(1 + 2 ξjωnj

s + 1ωn

2js2)

.







G(s) =Ksc

∏pi=1(1 + τis)

∏qi=p+1(1 + 2 ξi

ωnis + 1

ωn2is2)∏p′

j=1(1 + τjs)∏q′

j=p′+1(1 + 2 ξjωnj

s + 1ωn

2js2)

.



Simplification du modèle du MCC

Modèle du second ordre :

G(s) =9, 8975

(1 + 0, 0184s)(1 + 0, 0004s).

Modèle du premier ordre :

G(s) =9, 8975

1 + 0, 0184s.

Réponse harmonique relative au pôle dominant ?

G1(jω) =1

1 + 0, 0184jω,

Réponse harmonique relative au pôle secondaire ?

G2(jω) =1

1 + 0, 0004jω

G(jω) asymptotique

G(jω) réel

0

KdB = 20

0

−180

ω

ω

G1(jω) asymptotique

G2(jω) asymptotique

Am

plitu

de(d

B)

−90

Pha

se(d

eg)

(−1)(−1)

(−1)

(−2)

1τel

1τem




Règles générales : pôles réels

Lorsque deux pôles sont suffisamment distincts le pôle le plusprès de l’axe des imaginaires, c’est-à-dire le plus petit en valeurabsolue, associé à la constante de temps la plus lente, estprépondérant.

Si l’on doit faire une approximation pour simplifier l’étude d’unsystème, dont le modèle est d’ordre élevé, on négligera doncles pôles les plus rapides.

Si les pôles sont proches, il peut devenir plus hasardeuxd’effectuer une telle simplification.




Règles générales : pôles complexes conjugués

On pourra, de même considérer que la dynamique liée à unepaire de pôles complexes conjugués est négligeable devantcelle liée à un pôle simple ou à une autre paire de pôlescomplexes conjugués si la pulsation naturelle associée à cettepaire est grande devant la pulsation naturelle de l’autre paire,ou devant la pulsation associée au pôle simple.




Règles générales : zéros

Cas similaire : on simplifiera les zéros entre eux de la mêmemanière.

En revanche, on procédera avec prudence pour ce qui est denégliger un zéro prépondérant au vu de la valeur des pôles.


Description des systèmes asservis à temps continuStabilité et précision des systèmes à temps continuCommande des systèmes à temps continu

Plan





Plan





Notion de système asservi (1)

A la douche . . .

Douche à un bouton. . .

Après la douche brûlante, la douche à deux robinets. . .

. . . enfin, un thermostat et c’est réglé !




A la douche . . .







A la douche . . .







Cas du MCC

Equations électriques et mécaniques :

U(s) = E(s) + (R + Ls)I(s),

E(s) = Kem Ω(s),

Γ(s) = (f + Js)Ω(s),

Γ(s) = KemI(s).

I(s) Γ(s) Ω(s)+

−

U(s)

E(s)

Kem

Kem

1f + Js

1R + Ls




Cas du MCC (bis)

Equations électriques et mécaniques :

U(s) = E(s) + (R + Ls)I(s),

E(s) = Kem Ω(s),

Γ(s)− Γr (s) = (f + Js)Ω(s),

Γ(s) = KemI(s).

+

−

−Γr (s)

I(s) Γ(s)U(s)

E(s)

Ω(s)+

Kem

Kem1

f + Js1

R + Ls



Schéma d’un système asservi (1)

Schéma général d’un asservissement à temps continu

+

−

erreur commandeprocédé

perturbation

correcteur

capteur

référence

bruit

sortie

mesure




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+

Vocabulaire et notations




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


Yr (s) : référence (ou grandeur de consigne)




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


Y (s) : sortie (ou grandeur réglée)




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


Ym(s) : mesure




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


E(s) : erreur (ou écart) de l’asservissement




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


C(s) : correcteur




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


U(s) : commande du procédé




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


P(s) : perturbation




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


B(s) : bruit de mesure




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


CG(s) = C(s)G1(s)G2(s) : fonction de transfert de la chaînedirecte (ou chaîne d’action)




Schéma bloc

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+


H(s) = H1(s) H2(s) : fonction de transfert de la chaîne de retour(ou chaîne de contre-réaction)



Fonction de transfert d’un système asservi (1)

H(s)

+

−

Yr (s) E(s) U(s)

C(s) G(s)

Y (s)

Ym(s)

Définitions




H(s)

+

−

Yr (s) E(s) U(s)

C(s) G(s)

Y (s)

Ym(s)

Définitions

Fonction de transfert en boucle ouverte du système :

FTBO : C(s)G(s)H(s),

notée CGH(s)




H(s)

+

−

Yr (s) E(s) U(s)

C(s) G(s)

Y (s)

Ym(s)

Définitions

Fonction de transfert en boucle fermée du système :

FTBF :Y (s)

Yr (s)




H(s)

+

−

Yr (s) E(s) U(s)

C(s) G(s)

Y (s)

Ym(s)

Equations :U(s) = C(s)E(s),E(s) = Yr (s)− Ym(s),

Ym(s) = H(s)Y (s),Y (s) = G(s)U(s).

d’où :

U(s) = C(s) (Yr (s)− H(s)Y (s)) ,

Y (s) = CG(s) (Yr (s)− H(s)Y (s)) ,

et finalement :Y (s)

Yr (s)=

CG(s)

1 + CGH(s).

Exercice

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

B(s)

+U(s)

G1(s) G2(s)

+

+

P(s)

C(s)

Ym(s)H1(s)H2(s)

+

Montrer qu’avec les perturbations P(s) et B(s) :

Y (s) =CG(s) Yr (s) + G2(s) P(s)− CG(s) H2(s) B(s)

1 + CGH(s).

Régulation de la vitesse du rotor d’un MCC

Commande = tension d’entrée yr pour une vitesse de rotationdésirée ωr .

Mesure = vitesse du rotor est mesurée par une génératricetachymétrique placée sur l’axe et qui délivre une tension ym

proportionnelle à la vitesse de rotation de l’axe.





Ω(s)+

−C(s)

Yr (s) U(s)

Kω

KemLJ

s2+ RJ+LfLJ s+

Rf+K 2em

LJYm(s)





+

−C(s)

Yr (s)

Kω

U(s) Ω(s)KemLJ

s2+ RJ+LfLJ s+

Rf+K 2em

LJ

Ym(s)





Kω

Ω(s)C(s)

U(s)+

−

Yr (s)1

Kω

Ωr (s) KemLJ

s2+ RJ+LfLJ s+

Rf+K 2em

LJ



Comportement fréquentiel d’un système asservi

Y (jω)

Yr (jω)=

CG(jω)

1 + CGH(jω)→

(' CG(jω), si CGH(jω) 1,

' 1H(jω)

, si CGH(jω) 1.

−180

−90

(−1)

(−2)

1τ1

ωc1τ2

ϕ(ω)

0

0

ω

ω

boucle fermée

boucle ouverte



Plan





Stabilité

Première définition

De manière naturelle : on dira qu’un système est stable si,écarté de sa position d’équilibre, il y revient.

Seconde définition

Un système est stable si toute entrée bornée produit une sortiebornée. Cette définition caractérise la stabilité entréebornée-sortie bornée



Critères algébriques de stabilité (1)

Théorème

Un système linéaire invariant à temps continu est stable si tousses pôles sont à partie réelle strictement négative.

Ce théorème est valable pour tout système, qu’il soit en boucleouverte ou fermée. Pour un système d’ordre élevé, il fautgénéralement recourir à une résolution numérique pourdéterminer les pôles du système.




Théorème

Un système linéaire invariant à temps continu est stable si tousses pôles sont à partie réelle strictement négative.

Ce théorème est valable pour tout système, qu’il soit en boucleouverte ou fermée. Pour un système d’ordre élevé, il fautgénéralement recourir à une résolution numérique pourdéterminer les pôles du système.




Critère de Routh-HurwitzSoit D(s) = ansn + an−1sn−1 + · · ·+ acsc le polynôme dénominateur de la fonction

de transfert du système considéré.

Le système est stable si les ai , ∀i = c, c + 1, . . . , n sont demême signe et du même signe que les éléments de la premièrecolonne du tableau suivant (dit tableau de Routh) :

an an−2 an−4 . . .

an−1 an−3 an−5 . . .

bn−1 =an−1an−2−anan−3

an−1bn−3 =

an−1an−4−anan−5an−1

bn−5 . . .

cn−1 =bn−1an−3−an−1bn−3

bn−1cn−3 =

bn−1an−5−an−1bn−5bn−1

. . . . . .

dn−1 =cn−1bn−3−bn−1cn−3

cn−1. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .



Critères géométriques de stabilité (1)

Lieu des racines : définition

Le lieu des racines d’un système, encore appelé lieu d’Evans,est le lieu des pôles de sa fonction de transfert en bouclefermée lorsque le gain Kp de la chaîne directe varie de 0 à +∞.

Donc un système en boucle fermée est stable tant que sespôles, pour la valeur de Kp courante, sont dans le demi-plancomplexe gauche.

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

G(s)

U(s)

H(s)

Kp




Lieu des racines : construction

Soit m le degré du numérateur de la FTBO du système et n sonordre. Soit N(s) le numérateur de la FTBO du système et D(s)son dénominateur. Les propriétés suivante du lieu des racines,permettent sa construction :






Règle n. 1 : Symétrie par rapport à l’axe réel ;






Règle n. 2 : n branches ;

n points de départ, pour Kp = 0, confondus avec les pôlesde la FTBO ;

m points d’arrivée, pour Kp = +∞, confondus avec leszéros de la FTBO.






Règle n. 3 : n −m branches infinies :

ces branches donnent n −m asymptotes faisant desangles βλ = 2λ+1

n−m π, avec λ = 0, 1 . . . , n −m − 1 avecl’horizontale ;

intersection des asymptotes avec l’axe réel au point

d’affixe δ =Pn

i=1 pi−Pm

i=1 zin−m .






Règle n. 4 : Branches du lieu appartenant à l’axe réel : un pointd’affixe réelle appartient au lieu si le nombre de pôles et zérosréels de la FTBO situés à sa droite est impair ;






Règle n. 5 : Intersections du lieu avec l’axe réel : un point d’affixeréelle x est un point potentiel de séparation si :

1N(s)

dN(s)

ds

∣∣∣∣s=x

=1

D(s)

dD(s)

ds

∣∣∣∣s=x

.

Lieu des racines d’un système du 2nd ordre, en boucle fermé

On s’intéresse au lieu des racines du procédé de fonction detransfert :

G2(s) =1

(s − p1)(s − p2)

en boucle fermée, le retour étant unitaire.

−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Lieu des racines

Re

Im

Lieu des racines d’un système du 3ème ordre, en boucle fermé

On s’intéresse au lieu des racines du procédé de fonction detransfert :

G3(s) =1

s(s − p1)(s − p2)

en boucle fermée, le retour étant unitaire.

−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Lieu des racines

Re

Im




Marges de stabilité

On définit la marge de phase par :

Mφ = 180 + ArgCGH(jωc),

où ωc est telle que |CGH(jωc)|dB = 0 dB et la marge de gainpar :

MG = −|CGH(jωπ)|dB

où ωπ est tel que ArgCGH(jωπ) = −180.

Théorème

Le système est stable en boucle fermée si la marge de phase(ou la marge de gain) du système en boucle ouverte estpositive.

Etude d’un casOn s’intéresse à un procédé de fonction de transfert :

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.

1 Calculer les pôles du système en boucle ouverte. Le système est-il stable ?2 Appliquer le critère de Routh-Hurwitz pour résoudre le même problème.3 Reprendre les deux questions précédentes pour le système en boucle fermé,

avec retour unitaire.4 Déterminer maintenant le lieu des racines du système.5 Quelle est l’influence d’un zéro ? Pour cela ajouter un zéro, de sorte que le

système ait pour fonction de transfert :

F2(s) = 50000, 2s + 1

s3 + 61s2 + 560s + 500.

6 Déterminer les marges de stabilité du système.



Précision (1)

Précision statique

La précision statique du système est caractérisée par l’erreuren régime permanent en réponse à un échelon.

Cette erreur est appelée erreur statique (ou erreur de position).D’après le théorème de la valeur finale :

ε∞ = limt→+∞

ε(t) = lims→0

sE(s).

Précision dynamique

On parlera de précision dynamique dès que l’entrée dusystème évolue de manière continue dans le temps : parexemple on désigne par erreur de vitesse la valeur de l’erreurquand l’entrée du système est une rampe.



Précision (2)

On suppose donc que le système asservi considéré est sansperturbation de modèle ou de mesure. L’expression de l’erreurest :

E(s) = Yr (s)− H(s)Y (s),

et donc :

E(s) = Yr (s)− CGH(s)Yr (s)

1 + CGH(s).

Finalement :

E(s) =Yr (s)

1 + CGH(s).



Précision (3)

L’expression générale de l’erreur d’un système asservi est :

ε∞ = lims→0

sYr (s)

1 + CGH(s).

Avec :

CGH(s) =Ksc

1 + β1s + . . .

1 + α1s + . . .

On établit le tableau suivant :

entrée échelon Yr =E0

srampe Yr =

V0

s2

classe 0E0

1 + K∞

classe 1 0V0

K

classe 2 0 0



Précision (4)

Dualité stabilité-précision

20 log10 Kp

ωc ω′c > ωc ω

(Kp > 1)

GdB(ω)

Kp GdB(ω)

ϕ(ω)

−90

−180

ω

Mϕ M ′ϕ < Mϕ

1τ2

1τ1



Plan





Commande : généralités (1)

Problème posé ?

La commande u(t) d’un système à temps continu peut êtremodifiée en asservissant ce système à l’aide d’un correcteur.

Les paramètres de réglages sont :la forme du correcteur :

sérieboucle interneretour d’étatetc.

les paramètres du correcteur :réglage des actions proportionnelle, intégrale et dérivéeréglage d’un correcteur par retour d’état




Cahier des charges

Problème posé sous forme d’un cahier des charges (faisable) =ensemble de contraintes à satisfaire

Exemples :

dépassement maximal

précision statique ou dynamique

temps de réponse

bande passante

etc.




Caractéristiques classiques d’un bon asservissement

Stabilité :

système stable

amortissement maîtrisé

Mϕ ' 50 à 70 deg

ξ ' 0, 5 à 0, 8

Précision : selon la classe ou le gain du système (le caséchéant ajout d’une ou plusieurs intégrations)

Rapidité : rapidité et bande passante sont liées (pulsation decoupure élevée, système rapide)



Correcteurs PID : introduction

Forme idéale du PID

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

G(s)

U(s)

H(s)

C(s) = Kp

„1 +

1τis

+ τd s«





+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

G(s)

U(s)

H(s)

C(s) = Kp

„1 +

1τis

+ τd s«

Action proportionnelle :

précision améliorée / stabilité diminuée ;

temps de montée réduit et plus de dépassement ;

temps de réponse pas forcément diminué.





+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

G(s)

U(s)

H(s)

C(s) = Kp

„1 +

1τis

+ τd s«

Action intégrale :

classe du système augmentée : précision améliorée ;

marge de phase diminuée de 90 deg par l’ajout d’uneintégration pure ;

saturation : dispositif d’anti-saturation.





+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

G(s)

U(s)

H(s)

C(s) = Kp

„1 +

1τis

+ τd s«

Action dérivée :

augmentation de la bande passante du système ;

augmentation de la stabilité, à bande passante égale ;

correcteur dérivé non causal : correction approchée, paravance de phase.





+

−

Yr (s) E(s) Y (s)

G(s)

U(s)

H(s)

C(s) = Kp

„1 +

1τis

+ τd s«

Actions combinées :

P = proportionnel ;

PI = proportionnel et intégral (ou retard de phase) ;

PD = proportionnel et dérivé (ou avance de phase) ;

PID = proportionnel, intégral et dérivé (ou avance et retardde phase).



Adéquation correcteurs/systèmes à asservir (1)

Correcteur à avance de phase

C(s) = Kp1+τd s

1+aτd s , avec a < 1→ PD approché, si a 1

ω

CdB(ω) PD idéal

PD idéal

1τd

ω

avance de phase

20 log10 Kp

ϕM

90

avance de phase

20 log10

(Kp

a

)

1aτd

ϕ(ω)




Correcteur à avance de phase : intérêt

L’intérêt de ce type de correcteur est d’ajouter de la phase ausystème en boucle ouverte, dans une certaine bande defréquence. Ceci peut permettre, sous certaines conditions, derendre le système stable ou d’augmenter sa marge de phase.Pour cette raison le correcteur à avance de phase se prête bienà la correction des systèmes peu stables, comme les systèmesde classe supérieure ou égale à un.

Avance de phase maximale telle que :

sin ϕM =1− a1 + a

à ωM =1√aτd

.

a = 0, 1→ ϕM = 54, 9 deg




Correcteur PI

C(s) = Kp

(1 +

1τis

)=

Kp(1 + τis)

τis.

Intérêt

Ce correcteur possède une intégration. Il convient donc bienlorsque l’on souhaite annuler l’erreur statique d’un système declasse 0. Contrairement au correcteur PD, le PI est tout à faitréalisable physiquement ; c’est d’ailleurs le correcteur le plusutilisé. En revanche, du fait de son action intégrale il présentel’inconvénient de saturer éventuellement l’entrée du système. Ilfaut alors l’associer à un dispositif anti-saturation, constitué leplus souvent d’un simple écréteur.




Correcteur PI approchée = correcteur à retard de phase

C(s) = aKp1+τi s

1+aτi s, avec a > 1→ PI approché, si a 1

ω

ω

CdB(ω)

ϕ(ω)

PI

PI

ϕm

−90

20 log10 Kp

20 log10 aKp

1τi

1aτi

retard de phase

retard de phase




Correcteur à avance et retard de phase (et correcteur PID)

C(s) = bKp1 + τds

1 + aτds1 + τis

1 + bτis,

avec a < 1 et b > 1.

Intérêt

Ce correcteur est bien évidemment plus général que lescorrecteurs précédents. Il a vocation à corriger des systèmesplus délicats à régler. Il n’est cependant pas nécessaired’utiliser ce type de correcteur si le cahier des charges peutêtre rempli par un des correcteurs précédemment évoqués. Enextrapolant ce qui a été vu pour les correcteurs avance etretard de phase, on conçoit que ce correcteur approche lecorrecteur PID idéal.



Méthode du lieu des racines (1)

Interprétation pour la correction des systèmes

Lieu des racines = lieu des pôles de la FTBO, lorsque le gainde la chaîne directe varie.

+

−

Yr (s) E(s) Y (s)U(s)

H(s)

Kp CG(s)




Synthèse par placement de pôles et zéros

Problème de synthèse = obtention des pôles et zéros conférantau système le comportement dynamique souhaité,généralement de type second ordre :

choix de pôles et zéros compensant les pôles présentsdans la FTBO ;

choix de pôles et zéros imposant la nouvelle dynamique dusystème ;

réglage du gain.

Utilisation des courbes caractéristiques pour un système d’ordre deuxpseudo-oscillant :

courbes de même amortissement (demi-droites partant de l’origine) ;

courbes de même temps de réponse (verticales) ;et

courbes de même bande passante (demi-cercles centrés sur l’origine).

−15 −10 −5 0−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

250.050.110.170.240.340.46

0.62

0.84

0.050.110.170.240.340.46

0.62

0.84

5

10

15

20

25

5

10

15

20

25

Lieu des racines

Axe réel

Axe

ima

gin

aire




Attention !

Tous les systèmes ne peuvent pas nécessairement être trans-formés en système du second ordre.




Attention !

Certaines compensations doivent être évitées : on ne compen-sera jamais un pôle à partie réelle positive :

s − (pi + ∆pi)

s − pi= 1− ∆pi

s − pi.

Première synthèse

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.

Cahier des charges : amortissement de 0, 7 et temps deréponse t5% < 0, 2s.

A la main

Tracer le lieu des racines et effectuer une correctionproportionnelle.

Première synthèse

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.


Correcteur purement proportionnel

−50 −40 −30 −20 −10 0

−30

−20

−10

0

10

20

30

Lieu des racines

Axe réel

Axe

imag

inai

re

On obtient alors un gain Kp = 0, 41, mais t5% = 0, 44 s.

Première synthèse

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.


A la main

Tracer le lieu des racines et effectuer une correctionproportionnelle et dérivée.

Première synthèse

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.


Correction proportionnelle et dérivée

−50 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80Lieu des racines

Axe réel

Axe

imag

inai

re

Première synthèse

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.


Correction proportionnelle et dérivée

−20 −15 −10 −5 0

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Lieu des racines

Axe réel

Axe

imag

inai

re

Première synthèse

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.


A la main

Tracer le lieu des racines et ajouter une paire pôle-zéro deplus ?!

Première synthèse

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500.


A la main ? ?

Tracer le lieu des racines et ajouter une paire pôle-zéro de plus

. . .et si on utilisait Matlab. . .



Méthodes harmoniques : correction PI

Correction PI

Réglage d’un correcteur PI :

C(s) = Kp

(1 +

1τis

)=

Kp(1 + τis)

τis.

en utilisant le diagramme de Bode.

Hypothèse

Système de classe zéro avec deux pôles réels, associés auxconstantes de temps τ1 et τ2, τ1 τ2.

ω

ϕ(ω)

−90

−180

1τ1

1τ2

GHdB(ω)1τ2

ω

1τ1

.

ω

ϕ(ω)

−90

−180

1τ1

1τ2

GHdB(ω)1τ2

ω

CGHdB(ω) pour Kp = 1

Arg (CGH(ω))

1τ1

(−1)

(−2)

ωωc

ϕ(ω)

−90

−180

Mϕ

1τ1

1τ2

ωc

CGHdB(ω)

GHdB(ω)1τ2

(−1)

ω


20 log Kp

Arg (CGH(ω))

1τ1

Mϕ désirée

(−2)

Synthèse de correcteur PI

G(s) =1

(s + 1)(s + 5)

Cahier des charges :

erreur statique nulleréglage de la stabilité

premier cas : marge de phase de 45 degdeuxième cas : coefficient d’amortissement de 0, 7



Méthodes harmoniques : correction à avance dephase

Correction à avance de phase

Réglage d’un correcteur PD approché :

C(s) = Kp1 + τds

1 + aτds

en utilisant le diagramme de Bode.

Hypothèse

Système est de classe 1 avec un pôle réel, associé à laconstante de temps τ1.

ω

(−1)

ϕ(ω)

−90

−180

ω

.

.

(−2)

GHdB(ω)

1τ1

ω

(−1)

(−1)

ϕ(ω)

−90

−180

ω

Mϕ

Mϕ désirée Arg (CGH(ω))

(−2)


GHdB(ω)

1τ1

1τd

ωc1

aτd

ω(−1)

(−1)

ϕ(ω)

−90

−180

CGHdB(ω)

ω

20 log Kp

Mϕ désirée Arg (CGH(ω))

(−2)

(−2)


GHdB(ω)

1τ1

1τd

ωc1

aτd

Synthèse de correcteur à avance de phase

G(s) =150

s(s + 5)

Cahier des charges :

erreur statique nulle

marge de phase de 60 deg

bande passante 10 rad/s



Autres méthodes

Méthodes de Ziegler-Nichols

Essais :

identification de la réponse indicielle ;

identification du régime critique ;

Synthèse sous forme de tableaux.

t

K

y(t)

tr + τ

pente α = Kτ

tr

coefficients du correcteur

type de correcteur Kp τi τd

P1

αtr

PI0, 9

αtr

tr0, 3

PID1, 2

αtr2tr 0, 5tr

Systèmes à temps discretAsservissements à temps discret

Deuxième partie II

Systèmes et asservissements à temps discret


Plan

3 Systèmes à temps discretSignaux à temps discret et échantillonnageReprésentation des systèmes à temps discret

4 Asservissements à temps discretNotion de système asservi à temps discretStabilité et précision des systèmes à temps discretCommande numérique des systèmes linéaires invariants


Signaux à temps discret et échantillonnageReprésentation des systèmes à temps discret

Plan





Plan





Signaux à temps discret

Définition

Un signal à temps discret est une suite ordonnée de valeursnumériques réelles, complexes, scalaires ou vectorielles. Onnote f (k) la valeur du signal à l’instant k (k -ème valeur dusignal).




Définition


Echelon unité :

1−1 2 3 4 5 6

U(k)

07

k

U(k) =

0, si k < 0,1, si k > 0 1




Définition


Impulsion unité :

1−1 2 3 4 5 60

1

7

k

δ(k) =

1, si k = 0,0, sinon.

δ(k)



Echantillonnage idéal

Définition

On appelle signal échantillonné idéal le signal à temps continu :

f ∗(t) =+∞∑

k=−∞f (kTe)δ(t − kTe)

où δ(t) représente l’impulsion de Dirac.

Autrement dit :

f∗(t) =+∞X

k=−∞f (t)δ(t − kTe) = f (t)

+∞Xk=−∞

δ(t − kTe)

donc f∗(t) peigne d’impulsions de Dirac δTe (t) =P+∞

k=−∞ δ(t − kTe), de période Te,

modulé en amplitude par f (t).



Echantillonnage réel (1)

Interprétation de l’échantillonnage

Echantillonnage = prélèvement de f (t) à t = kTe : modulationen amplitude du signal par un signal mod(t).

tTw

0t

f (t)

f (t)

0

t

mod(t)

mod(t)

fm(t)

fm(t)

Te 2Te

Te 2Te




Pour Tw petit :

fm(t) = f (t) mod(t)

= f (t)+∞∑

k=−∞U(t − kTe)− U(t − kTe − Tw ),

=+∞∑

k=−∞f (kTe) (U(t − kTe)− U(t − kTe − Tw )) ,

= Tw

+∞∑k=−∞

f (kTe)δ(t − kTe) = Tw f ∗(t).

Le signal échantillonné idéal f ∗(t) a donc les mêmes propriétésspectrales (même forme des transformées de Laplace) que lesignal fm(t) issu d’un échantillonnage réel (ou réaliste) de f (t).




Pour Tw petit :


= f (t)+∞∑

k=−∞U(t − kTe)− U(t − kTe − Tw ),

=+∞∑


= Tw

+∞∑k=−∞






Pour Tw petit :


= f (t)+∞∑

k=−∞U(t − kTe)− U(t − kTe − Tw ),

=+∞∑


= Tw

+∞∑k=−∞






Pour Tw petit :


= f (t)+∞∑

k=−∞U(t − kTe)− U(t − kTe − Tw ),

=+∞∑


= Tw

+∞∑k=−∞

f (kTe)δ(t − kTe)

= Tw f ∗(t).





Pour Tw petit :


= f (t)+∞∑

k=−∞U(t − kTe)− U(t − kTe − Tw ),

=+∞∑


= Tw

+∞∑k=−∞






Pour Tw petit :


= f (t)+∞∑

k=−∞U(t − kTe)− U(t − kTe − Tw ),

=+∞∑


= Tw

+∞∑k=−∞





Transformée de Laplace d’un signal échantillonné (1)

Première expression :

F ∗(s) =

∫ +∞

0f ∗(t)e−stdt ,

=

∫ +∞

0

(+∞∑


)e−stdt ,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

(∫ +∞

0δ(t − kTe)e−stdt

).

On obtient finalement :

F ∗(s) =+∞∑

k=−∞f (kTe)e−kTes.





F ∗(s) =

∫ +∞

0f ∗(t)e−stdt ,

=

∫ +∞

0

(+∞∑


)e−stdt ,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

(∫ +∞


).


F ∗(s) =+∞∑






F ∗(s) =

∫ +∞

0f ∗(t)e−stdt ,

=

∫ +∞

0

(+∞∑


)e−stdt ,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

(∫ +∞


).


F ∗(s) =+∞∑






F ∗(s) =

∫ +∞

0f ∗(t)e−stdt ,

=

∫ +∞

0

(+∞∑


)e−stdt ,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

(∫ +∞


).


F ∗(s) =+∞∑





Deuxième expression :

f ∗(t) = f (t)δTe(t),

avec δTe(t) =+∞∑

k=−∞cke

2πktTe ,

où ck =1Te

∫ Te2

− Te2

δTe(t)e−2jπkt

Te dt =1Te

.

donc f ∗(t) = f (t)+∞∑

k=−∞

1Te

e2jπkt

Te ,

=1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te





f ∗(t) = f (t)δTe(t),


k=−∞cke

2πktTe ,

où ck =1Te

∫ Te2

− Te2

δTe(t)e−2jπkt

Te dt =1Te

.

donc f ∗(t) = f (t)+∞∑

k=−∞

1Te

e2jπkt

Te ,

=1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te





f ∗(t) = f (t)δTe(t),


k=−∞cke

2πktTe ,

où ck =1Te

∫ Te2

− Te2

δTe(t)e−2jπkt

Te dt =1Te

.

donc f ∗(t) = f (t)+∞∑

k=−∞

1Te

e2jπkt

Te ,

=1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te





f ∗(t) = f (t)δTe(t),


k=−∞cke

2πktTe ,

où ck =1Te

∫ Te2

− Te2

δTe(t)e−2jπkt

Te dt =1Te

.

donc f ∗(t) = f (t)+∞∑

k=−∞

1Te

e2jπkt

Te ,

=1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te





f ∗(t) = f (t)δTe(t),


k=−∞cke

2πktTe ,

où ck =1Te

∫ Te2

− Te2

δTe(t)e−2jπkt

Te dt =1Te

.

donc f ∗(t) = f (t)+∞∑

k=−∞

1Te

e2jπkt

Te ,

=1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te





f ∗(t) = f (t)δTe(t),


k=−∞cke

2πktTe ,

où ck =1Te

∫ Te2

− Te2

δTe(t)e−2jπkt

Te dt =1Te

.

donc f ∗(t) = f (t)+∞∑

k=−∞

1Te

e2jπkt

Te ,

=1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te




On en déduit :

F ∗(s) =

∫ +∞

0

(1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te

)e−stdt ,

=1Te

+∞∑k=−∞

(∫ +∞

0f (t)e−(s− 2jπk

Te)tdt)

,

soit finalement :

F ∗(s) =1Te

+∞∑k=−∞

F(

s − 2jπkTe

).




On en déduit :

F ∗(s) =

∫ +∞

0

(1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te

)e−stdt ,

=1Te

+∞∑k=−∞

(∫ +∞


Te)tdt)

,

soit finalement :

F ∗(s) =1Te

+∞∑k=−∞

F(

s − 2jπkTe

).




On en déduit :

F ∗(s) =

∫ +∞

0

(1Te

+∞∑k=−∞

f (t)e2jπkt

Te

)e−stdt ,

=1Te

+∞∑k=−∞

(∫ +∞


Te)tdt)

,

soit finalement :

F ∗(s) =1Te

+∞∑k=−∞

F(

s − 2jπkTe

).



Analyse spectrale de l’échantillonnage (1)

Définition

La transformée de Fourier d’un signal causal f (t) est :

F (jω) = Ff (t) =

∫ +∞

0f (t)e−jωtdt .

C’est un cas particulier de la transformée de Laplace. Lemodule de la transformée de Fourier d’un signal est appeléspectre de ce signal (d’où l’analyse spectrale)

Propriété

La transformée de Fourier inverse vaut :

f (t) = F−1F (jω) =1

2π

∫ +∞

−∞F (jω)ejωtdt .




Comme F ∗(s) = 1Te

∑+∞k=−∞ F

(s − 2jπk

Te

)le spectre du signal

échantillonné est périodique, de période jωe = j 2πTe

.

ω

ωM−ωM

0

|F (jω)|

AM

Question

Quel est le spectre du signal échantillonné, selon les valeursrespectives des pulsations ωM et ωe ?




Cas où ωM est inférieure à la pulsation de Nyquist ωe2 .

−ωe2 ωM−ωM

0

ωe − ωM ωe + ωMωe2−ωe + ωM−ωe−ωe − ωM ωe

bande de base bandes complémentairesbandes complémentaires

ω

AMTe

|F∗(jω)|

Conclusion

L’information contenue dans le signal à temps continu est présente dans chacune desbandes et notamment dans la bande de base, pour des pulsations comprises dansl’intervalle [−ωe ωe]. Il est donc possible de reconstruire le signal à temps continu parfiltrage passe-bas idéal en supprimant les bandes complémentaires du spectre.




Cas où ωM est supérieure à la pulsation de Nyquist.

0

bande de basebandes complémentaires bandes complémentaires

ωM

ω

AMTe

ωe2−ωe

2

repliement de spectre

|F∗(jω)|

−ωM

Conclusion

On appelle le phénomène observé repliement de spectre. Il correspond en effet aurepliement des bandes complémentaires dans la bande de base : on ne peut plusreconstruire f (t) à partir de f∗(t).




Théorème de Shannon

Pour pouvoir reconstituer sans perte d’information un signal àtemps continu à partir d’échantillons de période Te de cesignal, il faut que la fréquence d’échantillonnage fe = 1

Tesoit au

moins égale au double de la fréquence maximale contenuedans le spectre de ce signal.

Filtrage anti-repliement

Si, la fréquence d’échantillonnage étant fixée, le signalcomporte des composantes spectrales à des fréquencessupérieures à la fréquence de Nyquist, il faut que le signalanalogique soit filtré avant échantillonnage de manière àassurer un repliement négligeable. Un tel filtre passe-basanalogique est appelé filtre anti-repliement.




Théorème de Shannon

Pour pouvoir reconstituer sans perte d’information un signal àtemps continu à partir d’échantillons de période Te de cesignal, il faut que la fréquence d’échantillonnage fe = 1

Tesoit au

moins égale au double de la fréquence maximale contenuedans le spectre de ce signal.

Filtrage anti-repliement

Si, la fréquence d’échantillonnage étant fixée, le signalcomporte des composantes spectrales à des fréquencessupérieures à la fréquence de Nyquist, il faut que le signalanalogique soit filtré avant échantillonnage de manière àassurer un repliement négligeable. Un tel filtre passe-basanalogique est appelé filtre anti-repliement.



Reconstruction idéale d’un signal (1)

Problème

Obtenir la reconstruction du signal f (t) à partir des échantillonsf (k).

Filtrage dans la bande de base = filtrage passe-bas idéal deréponse harmonique H(jω), de pulsation de coupure ωN .

−ωe2

ωe2

0

bande de base

|H(jω)|

|F∗(jω)|

AMTe

AM

ω

1

|F (jω)|




−ωe2

ωe2

0

|H(jω)|

|F∗(jω)|

AMTe

AM

ω

1

|F (jω)|

F (jω) = TeF ∗(jω)H(jω)

d’où : f (t) = F−1F (jω) = F−1TeF ∗(jω)H(jω),

=Te

2π

∫ +∞

−∞F ∗(jω)H(jω)ejωtdω,

=Te

2π

∫ ωe2

−ωe2

F ∗(jω)ejωtdω,

=Te

2π

∫ πTe

− πTe

(+∞∑

k=−∞f (kTe)e−jωkTe

)ejωtdω.




−ωe2

ωe2

0

|H(jω)|

|F∗(jω)|

AMTe

AM

ω

1

|F (jω)|



=Te

2π

∫ +∞


=Te

2π

∫ ωe2

−ωe2

F ∗(jω)ejωtdω,

=Te

2π

∫ πTe

− πTe

(+∞∑


)ejωtdω.




−ωe2

ωe2

0

|H(jω)|

|F∗(jω)|

AMTe

AM

ω

1

|F (jω)|



=Te

2π

∫ +∞


=Te

2π

∫ ωe2

−ωe2

F ∗(jω)ejωtdω,

=Te

2π

∫ πTe

− πTe

(+∞∑


)ejωtdω.




−ωe2

ωe2

0

|H(jω)|

|F∗(jω)|

AMTe

AM

ω

1

|F (jω)|



=Te

2π

∫ +∞


=Te

2π

∫ ωe2

−ωe2

F ∗(jω)ejωtdω,

=Te

2π

∫ πTe

− πTe

(+∞∑


)ejωtdω.




−ωe2

ωe2

0

|H(jω)|

|F∗(jω)|

AMTe

AM

ω

1

|F (jω)|



=Te

2π

∫ +∞


=Te

2π

∫ ωe2

−ωe2

F ∗(jω)ejωtdω,

=Te

2π

∫ πTe

− πTe

(+∞∑


)ejωtdω.




f (t) =Te

2π

+∞∑k=−∞

(f (kTe)

∫ πTe

− πTe

ejω(t−kTe)dω

),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)

[ejω(t−kTe)

j(t − kTe)

]ω= πTe

ω=− πTe

,

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)ej π

Te(t−kTe) − e−j π

Te(t−kTe)

j(t − kTe),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)2 sin π

Te(t − kTe)

t − kTe,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

sin πTe

(t − kTe)πTe

(t − kTe).




f (t) =Te

2π

+∞∑k=−∞

(f (kTe)

∫ πTe

− πTe

ejω(t−kTe)dω

),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)

[ejω(t−kTe)

j(t − kTe)

]ω= πTe

ω=− πTe

,

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)ej π


Te(t−kTe)

j(t − kTe),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)2 sin π

Te(t − kTe)

t − kTe,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

sin πTe

(t − kTe)πTe

(t − kTe).




f (t) =Te

2π

+∞∑k=−∞

(f (kTe)

∫ πTe

− πTe

ejω(t−kTe)dω

),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)

[ejω(t−kTe)

j(t − kTe)

]ω= πTe

ω=− πTe

,

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)ej π


Te(t−kTe)

j(t − kTe),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)2 sin π

Te(t − kTe)

t − kTe,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

sin πTe

(t − kTe)πTe

(t − kTe).




f (t) =Te

2π

+∞∑k=−∞

(f (kTe)

∫ πTe

− πTe

ejω(t−kTe)dω

),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)

[ejω(t−kTe)

j(t − kTe)

]ω= πTe

ω=− πTe

,

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)ej π


Te(t−kTe)

j(t − kTe),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)2 sin π

Te(t − kTe)

t − kTe,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

sin πTe

(t − kTe)πTe

(t − kTe).




f (t) =Te

2π

+∞∑k=−∞

(f (kTe)

∫ πTe

− πTe

ejω(t−kTe)dω

),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)

[ejω(t−kTe)

j(t − kTe)

]ω= πTe

ω=− πTe

,

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)ej π


Te(t−kTe)

j(t − kTe),

=Te

2π

+∞∑k=−∞

f (kTe)2 sin π

Te(t − kTe)

t − kTe,

=+∞∑

k=−∞f (kTe)

sin πTe

(t − kTe)πTe

(t − kTe).




Soit finalement :

f (t) =+∞∑

k=−∞f (kTe)sinc

(t − kTe

Te

)

avec sincx = sin πxπx .



Reconstruction approchée d’un signal (1)

Problème

Obtenir la reconstruction du signal f (t) à partir des échantillonsf (k), à l’aide d’un bloqueur d’ordre zéro (BOZ), qui maintient lavaleur d’un signal échantillonné durant une périoded’échantillonnage.

t

Te 2Te 3Te 4Te

fb(t)

f ∗(t)

0

fb(t)f (t)BOZ

f ∗(t)




Un BOZ est donc un système dont la réponse impulsionnelleest une porte b0(t) de largeur Te, d’amplitude unitaire.

Te

0 t

fb(t)

f ∗(t)fb(t)BOZ

f ∗(t)f ∗(t)

Comme b0(t) = U(t)− U(t − Te), B0(s) = 1−e−Tes

s et donc :





Te

0 t

fb(t)

f ∗(t)fb(t)BOZ

f ∗(t)f ∗(t)


s et donc :

B0(jω) =1− e−jωTe

jω,





Te

0 t

fb(t)

f ∗(t)fb(t)BOZ

f ∗(t)f ∗(t)


s et donc :

B0(jω) = e−jω Te2

ejω Te2 − e−jω Te

2

jω,





Te

0 t

fb(t)

f ∗(t)fb(t)BOZ

f ∗(t)f ∗(t)


s et donc :

B0(jω) = e−jω Te2

2 sin ω Te2

ω.




Suite au blocage d’ordre 0 et au filtrage passe-bas idéal, on a :

Fb(jω) = B0(jω)F ∗(jω),

=1Te

B0(jω)F (jω),

= e−j(ωTe2 )

sin(

ωTe2

)(

ωTe2

) F (jω).

Comme ωTe2 = π ω

ωe:

Fb(jω) = e−j ωTe2 sinc

(ω

ωe

)F (jω).






=1Te

B0(jω)F (jω),

= e−j(ωTe2 )

sin(

ωTe2

)(

ωTe2

) F (jω).

Comme ωTe2 = π ω

ωe:


(ω

ωe

)F (jω).






=1Te

B0(jω)F (jω),

= e−j(ωTe2 )

sin(

ωTe2

)(

ωTe2

) F (jω).

Comme ωTe2 = π ω

ωe:


(ω

ωe

)F (jω).






=1Te

B0(jω)F (jω),

= e−j(ωTe2 )

sin(

ωTe2

)(

ωTe2

) F (jω).

Comme ωTe2 = π ω

ωe:


(ω

ωe

)F (jω).




Fb(jω) = e−j ωTe2︸︷︷︸

déphasage

sinc(

ω

ωe

)︸︷︷︸

déformation

F (jω).

La réponse harmonique du signal bloqué se déduit de celle dusignal à temps continu initial par :

une déformation, liée au sinus cardinal ;un retard pur d’une demi période d’échantillonnage.

−ωe2

ω0

ωe

bande de base bandes complémentaires

ωe2

1

|Fb(jω)|

sinc“

ωωe

”|F∗(jω)|

Les lobes additionnels apparaissant au delà de la pulsation deNyquist peuvent éventuellement être filtrés par un filtrepasse-bas.



Transformée en z

Définition

La transformée en z d’un signal à temps discret f (k) est définiepar :

F (z) = Zf (k) =k=+∞∑

k=0

f (k)z−k .

On remarque que : F∗“

s = lnzTe

”=

P+∞k=0 f (k)z−k = F (z).

Propriété

La transformée en z est une fonction de la variable complexe z,généralement définie sur une zone du plan complexe pourlaquelle |z| > R0. La valeur R0 définissant la limite deconvergence est appelée rayon de convergence.



Transformée en z : calcul


Autant que possible, on utilise des tables de transforméespré-calculées :

δ(k) → 1U(k) → z

z−1. . .



Transformée en z : calcul


Autant que possible on utilise des tables de transforméespré-calculées.

Exemple de calcul (complet et rigoureux)

Calcul de la transformée en z de f (k) = e−akTe U(k).



Transformée en z : propriétés

Notations

Les propriétés énoncées sont valables dans le cas général dessignaux à temps discret. Soit deux signaux à temps discret f (k)et g(k), de transformées en z respectives F (z) et G(z).

Propriétés

Linéarité : Zf (k) + αg(k) = F (z) + αG(z), ∀α ∈ R




Notations


Propriétés

Changement d’échelle : Zαk f (k) = F( z

α

), ∀α ∈ R




Notations


Propriétés

Retard : Zf (k − n) = z−nF (z), ∀n ∈ N




Notations


Propriétés

Avance : Zf (k + n) = zn(

F (z)−∑k=n−1

k=0 f (k) z−k)

, ∀n ∈ N




Notations


Propriétés

Multiplication par une rampe : Zkf (k) = −z dF (z)dz




Notations


Propriétés

Th. de la valeur initiale : limk→0 f (k) = limz→+∞ F (z)




Notations


Propriétés

Th. de la valeur finale : limk→∞ f (k) = limz→1(1− z−1)F (z)




Notations


Propriétés

Convolution : Zf (k)∗g(k) =∑n=+∞

n=−∞ f (k)g(n−k) = F (z)G(z)



Transformée en z inverse (1)

Remarque

Qualitativement, on peut comprendre que la transformée en zd’un signal f (t) échantillonné à la période Te, ne peut paspermettre de retrouver le signal original à temps continu f (t).

07 Te

t

−1 Te 2 Te 3 Te 4 Te 5 Te 6 Te

f (t)g(t)




Calcul

En pratique (dans l’ordre croissant de difficulté) :

tables de transformées ;

décomposition en éléments simples, puis tables detransformées ;

division selon les puissances croissantes de z−1 ;

formule d’inversion.




Calcul : décomposition en éléments simples

Transformée en z sous la forme :

F (z) =N(z)

D(z)=

n∑i=1

Aiz

z − ci.

Alors :

f (k) =n∑

i=1

Aicki U(k).

Exemple

Calcul de la transformée en z inverse de :

F (z) =z

z2 − (c + d)z + cd.




Calcul : division selon les puissances croissantes

Transformée en z sous la forme :

F (z) =N(z)

D(z)=

∑mi=0 biz−i∑ni=0 aiz−i

.

La division selon les puissances croissantes de z−1 de N(z)par D(z) donne :

F (z) = c0 + c1z−1 + c2z−2 + . . .

Alors :

f (k) = c0δ(k) + c1δ(k − 1) + c2δ(k − 2) + . . .




Calcul : division selon les puissances croissantes

f (k) = c0δ(k) + c1δ(k − 1) + c2δ(k − 2) + . . . conduit auxvaleurs :

f (0) = c0,

f (1) = c1,

. . .

Exemple

Calcul de la transformée en z inverse de :

F (z) =−z + z2

2 + 3z + z2 .




Calcul : formule d’inversion

La transformée en z inverse de la transformée F (z) s’écrit :

f (k) = Z−1F (z) =1

2πj

∫Γ

F (z)zk−1dz,

où Γ est un contour fermé du plan complexe contenant toutesles singularités de F (z).



Résolution d’équations aux différences (1)

Soit l’équation aux différences :a0f (k) + a1f (k + 1) + · · ·+ anf (k + n) = b0g(k) + b1g(k + 1) + · · ·+ bmg(k + m).

Comme :

Zf (k) = F (z),

Zf (k + 1) = zF (z)− zf (0),

Zf (k + 2) = z2F (z)− z2f (0)− zf (1),

. . .

et de même Zg(k) = G(z),

Zg(k + 1) = zG(z)− zg(0),

Zg(k + 2) = z2G(z)− z2g(0)− zg(1),

. . .




Soit l’équation aux différences :a0f (k) + a1f (k + 1) + · · ·+ anf (k + n) = b0g(k) + b1g(k + 1) + · · ·+ bmg(k + m).

Alors :

(a0 + a1z + · · ·+ anzn) F (z) = (b0 + b1z + . . . bmzm) G(z)+Pn(z),

où Pn(z) est un polynôme en z d’ordre n, dépendant des CI dessignaux f (k) et g(k). On en déduit que :

F (z) =b0 + b1z + · · ·+ bmzm

a0 + a1z + . . . anzn G(z) +Pn(z)

a0 + a1z + . . . anzn .

Par transformée en z inverse on peut donc résoudre l’équationaux différences originale.




Remarque

Les termes liés aux CI viennent de l’avance. Si on modifiel’équation par décalage, de façon à ne plus avoir que desretards, ces termes disparaissent.

Exemple

Résolution de l’équation aux différences :

f (k + 2) + 2f (k + 1) + f (k) = 0, 8g(k + 1) + 0, 4g(k)

où f (k) et g(k) causaux, g(0) = 1, g(1) = 0, 5, g(2) = −0, 5 etg(k) = 0 pour k > 3.



Plan





Fonction de transfert d’un système à temps discret (1)

Hypothèses

On considère des systèmes linéaires, causaux et invariantsdans le temps, de sortie y(k) en réponse à un signal à tempsdiscret d’entrée u(k).

Propriété

La relation entrée-sortie d’un tel système est caractérisée parune équation aux différences :

n∑i=0

aiy(k − i) =m∑

i=0

biu(k − i)

où m 6 n pour un système causal.




Hypothèses

On considère des systèmes linéaires, causaux et invariantsdans le temps, de sortie y(k) en réponse à un signal à tempsdiscret d’entrée u(k).

Cette relation s’écrit encore, sous forme développée :

a0y(k) + a1y(k − 1) + · · ·+ any(k − n) = b0u(k) + b1u(k − 1) + · · ·+ bmu(k −m).




n∑i=0

aiy(k − i) =m∑

i=0

biu(k − i)

Définition

On appelle fonction de transfert de ce système à temps discret(ou transmittance discrète) la fraction rationnelle :

G(z) =Y (z)

U(z).

D’après ce qui précède, elle prend donc la forme :

G(z) =N(z)

D(z)=


.




(n∑

i=0

aiz−i

)Y (z) =

(m∑

i=0

biz−i

)U(z).

Définition


G(z) =Y (z)

U(z).


G(z) =N(z)

D(z)=


.




(n∑

i=0

aiz−i

)Y (z) =

(m∑

i=0

biz−i

)U(z).

Définition


G(z) =Y (z)

U(z).


G(z) =N(z)

D(z)=


.




Propriété

La fonction de transfert à temps discret est la transformée en zde la réponse du système à une impulsion unité discrète(Zδ(k) = 1, donc Y (z) = G(z) et y(k) = g(k)).

Ceci établit une certaine analogie avec les signaux à tempscontinu qui peut même être menée plus loin. On montre eneffet que :

y(k) = g(k) ∗ u(k) =n=+∞∑n=−∞

g(n)u(k − n),

=n=+∞∑

n=k

g(n)u(k − n).

pour un système causal.




Exemple

Soit le signal à temps discret f (k), de transformée en z :

F (z) =10z + 5

z2 − 1, 2z + 0, 2.

A la lumière de ce qui précède, calculer f (k).

Il s’agit bien évidemment d’un exercice de compréhension, laméthode la plus naturelle étant ici de factoriser (deux pôlesévidents !) et décomposer en éléments simples F (z) oud’effectuer la division selon les puissances croissantes de z−1.



Fonction de transfert d’un système échantillonné (1)

u(t) y(t)Te Te

U(s)

G(s)

Y (s)

Y (z)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)

Y ∗(s) = (G(s)U∗(s))∗ ,

=1Te

+∞∑k=−∞

Y(

s − 2jπkTe

),

=1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

)U∗(

s − 2πkTe

),

=

(1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

))U∗(s).




u(t) y(t)Te Te

U(s)

G(s)

Y (s)

Y (z)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)

Y ∗(s) = (G(s)U∗(s))∗ ,

=1Te

+∞∑k=−∞

Y(

s − 2jπkTe

),

=1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

)U∗(

s − 2πkTe

),

=

(1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

))U∗(s).




u(t) y(t)Te Te

U(s)

G(s)

Y (s)

Y (z)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)

Y ∗(s) = (G(s)U∗(s))∗ ,

=1Te

+∞∑k=−∞

Y(

s − 2jπkTe

),

=1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

)U∗(

s − 2πkTe

),

=

(1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

))U∗(s).




u(t) y(t)Te Te

U(s)

G(s)

Y (s)

Y (z)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)

Y ∗(s) = (G(s)U∗(s))∗ ,

=1Te

+∞∑k=−∞

Y(

s − 2jπkTe

),

=1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

)U∗(

s − 2πkTe

),

=

(1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

))U∗(s).




u(t) y(t)Te Te

U(s)

G(s)

Y (s)

Y (z)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)

Y ∗(s) = (G(s)U∗(s))∗ ,

=1Te

+∞∑k=−∞

Y(

s − 2jπkTe

),

=1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

)U∗(

s − 2πkTe

),

=

(1Te

+∞∑k=−∞

G(

s − 2jπkTe

))U∗(s).




On en déduit que :

Y ∗(s) = G∗(s) U∗(s),

Y (z) = G(z) U(z).

Remarque

Il y a équivalence entre les transformées de Laplace dessignaux échantillonnés et les transformées en z des signaux àtemps discret.




On en déduit que :

Y ∗(s) = G∗(s) U∗(s),

Y (z) = G(z) U(z).

Définition

La fonction de transfert à temps discret du système est donc :

G(z) =Y (z)

U(z).




u(t)Te

U(s)G1(s) G2(s)

Te

Y (z)

y(t)

Y (s)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)

(G1(s)G2(s))∗ 6= (G1(s))∗ (G2(s))∗

Alors, on aura :Y (z) = G1G2(z)U(z),

en notant, pour alléger :

G1G2(z) = ZL−1G1(s)G2(s).




Remarque

C’est en particulier le cas de l’association d’un bloqueur d’ordrezéro et d’un procédé.

u(t)Te

U(s)

Te

Y (z)

y(t)

Y (s)BOZ G(s)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)




Comme :Y (s)

U∗(s)=

(1− e−Tes

s

)G(s).

on a :Y (z)

U(z)= Z

L−1

(1− e−Tes

s

)G(s)

,

= ZgI(t)− gI(t − Te),

où gI(t) = L−1G(s)

s

. Par conséquent :

Y (z)

U(z)= (1− z−1)ZgI(t),

etY (z)

U(z)= (1− z−1)Z

G(s)

s

.



Pôles et zéros d’un système échantillonné (1)

u(t) y(t)Te Te

U(s)

G(s)

Y (s)

Y (z)

u∗(t)

U∗(s)

y∗(t)

Y ∗(s)

Vocabulaire

Les pôles (resp. les zéros) en s du système sont les pôles(resp. les zéros) de G(s) = Y (s)

U∗(s) . Ses pôles (resp. ses zéros)

en z sont les pôles (resp. les zéros) de G(z) = Y (z)U(z) .




Si G(s) ne comporte que des pôles simples :

G(s) =n∑

i=1

Ai

s − pi

et par conséquent :

g(t) = L−1G(s) =n∑

i=1

Aiepi tU(t).

Les pôles en z sont obtenus en appliquant alors la transforméeen z :

G(z) =n∑

i=1

Aizz − epi Te

.

A un pôle simple en s d’affixe pi correspond donc un pôle en zen epi Te .

Im(s)

Im(s)

σ2 σ1

échantillonnage idéaltemps continu temps discret

σ ± jω mod jωes = σ ± jω z = ejω

Re(s)

ωe

−ω2

−ωe

ω2

3ωe2

−ωe2

ωe2

− 3ωe2

ωe − ω2

−ωe + ω2

ωe + ω2

−ωe − ω2

−ω2

Re(s)

ω2

Re(z)

ω2Te

Im(z)

σ1σ2 eσ2Teeσ1Te




Im(s)

p1 < 0 ep1Te

Re(z)

Im(z)

p2 > 0Re(s)

ep2Te

Correspondance entre les pôles en s et les pôles en z d’unsystème du premier ordre




Im(s)

ξ=

constante

Re(z)

Im(z)

Re(s)

ωn = constante

Correspondance entre les pôles en s et les pôles en z d’unsystème du second ordre




Remarque

Il n’existe pas de relation simple entre les zéros de G(s) etceux de G(z).

Pour s’en convaincre il suffit de prendre un exemple. Si l’onconsidère :

g(t) = e−at

alors :

G(s) =1

s + a,

G(z) =z

z − e−aTe.

Ainsi, il existe un pôle en z alors qu’il n’en existe pas en s.


Notion de système asservi à temps discretStabilité et précision des systèmes à temps discretCommande numérique des systèmes linéaires invariants

Plan





Plan





Structure des systèmes à commande numérique (1)

Constat

Systèmes continus : organes de commande analogiques

+

−procédé

yr (t) ε(t)correcteuranalogique

capteur

u(t)

b(t)

y(t)

mesure analogique

p(t)

commande analogique du système

organes de commande analogiques(électriques, hydrauliques, pneumatiques, . . .)

consigne analogique




Commande numérique

Système à commande numérique : remplacement de lacommande analogique du système par des algorithmes(comparaison, correction) mis en œuvre sur calculateur.

procédé

capteur

u(t)

b(t)

y(t)

p(t)

commande numérique du système

+

−

correcteurε(k)

numérique

yr (k)

mesure analogique

CAN

CNA

Te

consigne numérique




Commande hybride temps continu-temps discret

Traitement de l’information analogique par découpage temporeldes signaux au niveau du calculateur.

Interface calculateur/procédé :

convertisseur numérique-analogique (CNA) pour convertirles signaux issus du calculateur qui constituent l’entrée duprocédé (ou plus généralement de l’ensembleamplification+procédé) ;

convertisseur analogique-numérique (CAN) pour convertirles mesures effectuées sur le procédé et les fournir aucalculateur : échantillonnage et quantification (bruit dequantification).



Système échantillonné bouclé (1)

y(t)

Y (s)

y(k)

Y (z)

Te

+yr (k)

−CNA

Te

CAN

ym(t)ym(k)

ε(k) u(k) u(t)C(z) BOZ G(s)

H(s)

E(z)Yr (z) U(z) U(s)

Ym(s)Ym(z)

U(z) = C(z)E(z), Ym(z) = (1− z−1)Z

G(s)H(s)s

ffU(z),

E(z) = Yr (z)− Ym(z), Y (z) = (1− z−1)Z

G(s)s

ffU(z).




U(z) = C(z)E(z),

E(z) = Yr (z)− Ym(z),

Ym(z) = (1− z−1)Z

G(s)H(s)

s

U(z),

Y (z) = (1− z−1)Z

G(s)

s

U(z).




U(z) = C(z)E(z),

E(z) = Yr (z)− Ym(z),

Ym(z) = (1− z−1)Z

G(s)H(s)

s

U(z),

Y (z) = (1− z−1)Z

G(s)

s

U(z).

Donc :

U(z) = C(z)

(Yr (z)− (1− z−1)Z

G(s)H(s)

s

U(z)

),




U(z) = C(z)E(z),

E(z) = Yr (z)− Ym(z),

Ym(z) = (1− z−1)Z

G(s)H(s)

s

U(z),

Y (z) = (1− z−1)Z

G(s)

s

U(z).

Donc :

U(z)

(1 + (1− z−1)C(z)Z

G(s)H(s)

s

)= C(z)Yr (z),




U(z) = C(z)E(z),

E(z) = Yr (z)− Ym(z),

Ym(z) = (1− z−1)Z

G(s)H(s)

s

U(z),

Y (z) = (1− z−1)Z

G(s)

s

U(z).

soit :

U(z) =C(z)Yr (z)

1 + (1− z−1)C(z)ZG(s)H(s)

s

.




U(z) = C(z)E(z),

E(z) = Yr (z)− Ym(z),

Ym(z) = (1− z−1)Z

G(s)H(s)

s

U(z),

Y (z) = (1− z−1)Z

G(s)

s

U(z).

La FTBF du système à commande numérique est alors :

Y (z)

Yr (z)=

Y (z)

U(z)

U(z)

Yr (z),




U(z) = C(z)E(z),

E(z) = Yr (z)− Ym(z),

Ym(z) = (1− z−1)Z

G(s)H(s)

s

U(z),

Y (z) = (1− z−1)Z

G(s)

s

U(z).

soit, finalement :

Y (z)

Yr (z)=

(1− z−1)C(z)ZG(s)

s

1 + (1− z−1)C(z)Z

G(s)H(s)s

.




Exemple

Calculer la FTBF discrète de l’asservissement représenté à lafigure suivante.

+

−

++

B(z)

BOZC(z)

+

+

Y (z)Te

Y (s)Yr (z)

Ym(z)

P(s)

G2(s)

G1(s)

Te



Plan





Stabilité

Généralités

Les définitions générales de la stabilité s’appliquent bienévidemment aux systèmes échantillonnés.

Pôles en z et condition de stabilité

Un système linéaire invariant à temps discret est stable si etseulement si tous ses pôles sont de module strictementinférieur à un.



Critère algébrique de Jury (1)

On considère un système à temps discret de fonction detransfert :

N(z)

D(z), avec D(z) = a0 + a1z + · · ·+ +anzn,

avec an > 0.

Lorsque les coefficients de D(z) sont réels, ce qui est le cas enpratique pour des systèmes asservis à temps discret, le critèrede Jury permet de conclure sur la stabilité, sans pour autantcalculer les racines de D(z).




Soit :a0,i = ai , ∀i = 0, 1, . . . , n,

aj+1,i =aj,0 aj,n−j−i

aj,n−j aj,i, avec 0 6 i 6 n − j − 1.

Critère de Jury

Une condition nécessaire et suffisante pour que D(z), àcoefficients réels ait ses racines de module inférieur à l’unitéest que les inégalités suivantes soient vérifiées :

1 |a0| − an < 0 ;2 D(1) > 0 ;3 (−1)n D(−1) > 0 ;4 |aj,0| − |aj,n−j | > 0,∀j = 1, 2, . . . , n − 2.




Exemple

Etudier ce critère pour les systèmes d’ordre inférieur ou égal àtrois.



Critères algébriques de Routh et transformée en w

Le critère de Routh ne s’applique pas tel quel aux systèmes àtemps discret. Pour cela on utilise la transformée en w :

w =z − 1z + 1

⇐⇒ z =1 + w1− w

qui associe à l’intérieur du cercle unité du plan en z ledemi-plan gauche du plan en w .

Critère de Routh en temps discret

On admet que la stabilité est vérifiée si le polynôme en w :

D′(w) = (1− w)nD(

1 + w1− w

)vérifie le critère de Routh.



Critères algébriques de stabilité

Exemple

A l’aide des critères algébriques précédents, montrer que lesystème de fonction de transfert :

G1(z) =1, 42− 0, 12z + 0, 113z2

0, 1066− 0, 5620z + 1, 67z2 − 2, 2z3 + z4

est stable, alors que le système de fonction de transfert :

G2(z) =1, 42− 0, 12z + 0, 113z2

0, 98− 0, 5620z + 1, 67z2 − 2, 2z3 + z4

est instable.



Critères géométriques de stabilité

Pôles en z et critère géométrique de stabilité

Un système linéaire invariant à temps discret est stable si etseulement si ses pôles sont à l’intérieur du cercle unité dans leplan complexe.

Lieu des racines

Le lieu des racines autorise l’analyse et la commande dessystèmes à temps discrets. Pour pouvoir l’appliquer il suffit detransposer ses propriétés en s, d’après les règles vuesprécédemment.

Im(s)

Im(s)

σ2 σ1

échantillonnage idéaltemps continu temps discret

σ ± jω mod jωes = σ ± jω z = ejω

Re(s)

ωe

−ω2

−ωe

ω2

3ωe2

−ωe2

ωe2

− 3ωe2

ωe − ω2

−ωe + ω2

ωe + ω2

−ωe − ω2

−ω2

Re(s)

ω2

Re(z)

ω2Te

Im(z)

σ1σ2 eσ2Teeσ1Te



Précision : expression de l’erreur (1)

+

−C(z)

Yr (z) E(z) U(z) Ym(z)(1− z−1)Z

GH(s)

s

ff

Le signal d’erreur est :

ε(k) = yr (k)− ym(k).

Donc :

E(z) =Yr (z)

1 + C(z)(1− z−1)Z

GH(s)s

.



Précision : expression de l’erreur (2)

Comme :

ε∞ = limz→1

z − 1z

E(z)

si les pôles de z−1z E(z) sont à l’intérieur du cercle unité :

ε∞ = limz→1

z − 1z

Yr (z)

1 + C(z)(1− z−1)Z

GH(s)s

.

Selon le même cheminement que dans le cas continu, il estdonc possible de calculer l’erreur statique ou dynamique dusystème si l’on connaît les limites en 1 de la fonction detransfert en boucle ouverte.



Précision : classe du système

Intégration en z

Dans le cas d’un système à temps discret, une intégration estcaractérisée par la présence d’un pôle en z = e0 = 1.

Ainsi, on sait qu’il y a au moins une intégration si la somme descoefficients du dénominateur de la fonction de transfert dusystème considéré est nulle :




Intégration en z



D(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn,




Intégration en z



D(1) = a0 + a1 + · · ·+ an.



Précision : expression générale de l’erreur (1)

On considère que la fonction de transfert d’un système linéaireinvariant à temps discret est donnée par l’équation :

C(z)(1− z−1)Z

GH(s)

s

=

K(z − 1)c

1 + β1z + . . .

1 + α1z + . . .

où c est la classe du système.

entrée échelon Yr (z) =E0z

z − 1rampe Yr (z) =

V0z(z − 1)2

classe 0E0

1 + K∞

classe 1 0V0

K

classe 2 0 0



Erreur due aux perturbations (1)

+

−CNA

Te

C(z) BOZ

H(s)

E(z)

ε(k)

U(z) U(s)

Ym(z)

+

+

G1(s) G2(s)Y (s)

P(s)

Yr (z)

Soit c2 le nombre d’intégration dans G2(s)H(s) (inférieur à laclasse c du système).



Erreur due aux perturbations (2)

On montre que pour un échelon de perturbation d’amplitudeE0 :

ε∞ = −E0K1 limz→1 (z − 1)c−c2

limz→1(z − 1)c + K2

où K1 et K2 sont des constantes. On en déduit le théorèmesuivant.

Conséquence

Pour obtenir une erreur statique nulle en présence d’uneperturbation constante, il faut et il suffit que c > c2, c’est-à-direqu’il y ait au moins un intégrateur en amont du pointd’application de la perturbation.

Rejet d’un bruit permanent : intégration dans le correcteur, etc..



Plan





Synthèse continue

0t

Te 2Te 3Te 4Te

fb(t)

f (t)

f (t − Te2 )

Idée

Si la fréquence d’échantillonnage est suffisamment élevée onpeut considérer que l’échantillonneur, comme le bloqueur, sontassimilables un simple retard d’une demi-périoded’échantillonnage (bloc de fonction de transfert de e−

Te2 s).

Difficulté : synthèse du correcteur continu en présence d’un retard pur.



Transposition de correcteurs continus

Principe de la méthode

Cette méthode de synthèse de correcteur consiste à discrétiserun correcteur continu préexistant ou synthétisé par uneméthode continue pour l’utiliser dans un schéma de commandenumérique.

Problème à résoudre

On cherche pour cela les conditions permettant d’approcher aumieux un correcteur continu à l’aide d’équations auxdifférences.



Différences vers l’arrière (1)

Principe

Approximer la dérivation (multiplication par s en continu) par laformule des rectangles (Euler), comme une différence versl’arrière :

df (t)dt' f (t)− f (t − Te)

Te.

Donc, dans le cas discret :

Z

f (t)− f (t − Te)

Te

=

1− z−1

TeF (z) =

z − 1z Te

F (z).

D’où :

s ←→ z − 1z Te

.




Principe



Te.


Z

f (t)− f (t − Te)

Te

=

1− z−1

TeF (z) =

z − 1z Te

F (z).

D’où :

s ←→ z − 1z Te

.




Principe



Te.


Z

f (t)− f (t − Te)

Te

=

1− z−1

TeF (z) =

z − 1z Te

F (z).

D’où :

s ←→ z − 1z Te

.




Transposition : C(s) −→ C′(z) = C(

s = z−1z Te

).

Transposition et stabilitéIm(s)

Re(z)

Im(z)

Re(s)

conserve la stabilité



Différences vers l’avant (1)

Principe

Approximer la dérivation d’un signal à temps continu f (t) parune différence vers l’avant :

df (t)dt

=f (t + Te)− f (t)

Te


Z

f (t + Te)− f (t)Te

=

z − 1Te

F (z)

D’où :

s ←→ z − 1Te




Principe


df (t)dt

=f (t + Te)− f (t)

Te


Z


=

z − 1Te

F (z)

D’où :

s ←→ z − 1Te




Principe


df (t)dt

=f (t + Te)− f (t)

Te


Z


=

z − 1Te

F (z)

D’où :

s ←→ z − 1Te





s = z−1Te

).


Re(z)

Im(z)

Re(s)

ne garantit pas la stabilité



Transformation bilinéaire (1)

On définit la transformation bilinéaire :

z =1 + Te

2 s

1− Te2 s

qui est en fait une approximation linéaire du changement devariable z = eTes :

eTes =e

Te2 s

e−Te

2 s,

'1 + Te

2 s

1− Te2 s





z =1 + Te

2 s

1− Te2 s


eTes =e

Te2 s

e−Te

2 s,

'1 + Te

2 s

1− Te2 s





z =1 + Te

2 s

1− Te2 s


eTes =e

Te2 s

e−Te

2 s,

'1 + Te

2 s

1− Te2 s





s = 2Te

z−1z+1

).


Re(z)

Im(z)

Re(s)

conserve la stabilité



Choix de la période d’échantillonnage

Critères :

Te suffisamment petite par rapport à la constante de tempsτ du système. Typiquement, on impose Te 6 τ

5 ;

si l’on souhaite obtenir une bande passante ωn pour lesystème bouclé, il faut que Te 6 1

10 ωn;

si Te est du même ordre que le temps de calcul de lacommande, il faut modéliser le retard dû à ce calcul (termede retard pur z−1 ou esTe dans un bloc continu) ;

Te pas trop petite, sinon les pôles dominants sont prochesdu cercle unité (eaTe ' 1 si Te petit) : problèmesnumériques.




Critères :


5 ;


10 ωn;






Critères :


5 ;


10 ωn;






Critères :


5 ;


10 ωn;






Critères :


5 ;


10 ωn;



Exemple

Soit le système de fonction de transfert :

F1(s) =5000

s3 + 61s2 + 560s + 500=

5000(s + 1)(s + 10)(s + 50)

.

On veut maintenant une erreur statique nulle, un coefficientd’amortissement de 0, 9 et un temps de réponse t5% < 0, 2s.

1 Déterminer le correcteur continu permettant de remplir cecahier des charges.

2 Réaliser la commande numérique de ce correcteur enchoisissant soigneusement la période d’échantillonnage eten transposant le correcteur par transformation bilinéaire.

3 Donner l’équation aux différences vérifiée par le correcteur.4 Déduire le modèle discret de l’asservissement.



Correcteur PID numérique standard (1)

La forme standard du correcteur PID numérique provient de latransposition de la forme standard continue. En appliquant latransposition par différences vers l’avant au terme intégral et latransposition par différences vers l’arrière au terme dérivé, onobtient :

C(z) = Kp

(1 +

Te

τi(z − 1)+

N(z − 1)

(1 + NTeτd

)z − 1

).

Les variantes P, PI et PD, aisément déduites de la formeprécédente, sont bien évidemment également utilisées.



Correcteur PID numérique standard (2)

Exemple

Mettre le correcteur :

C(s) = 0, 154(

s + 11 +1s

)trouvé précédemment sous forme standard.



Anti-saturation du terme intégral

Problème de saturation du terme intégral

Dans le cas (c’est-à-dire toujours) où les actionneursprésentent des saturations, la présence d’un terme intégraldans le correcteur peut poser problème.

Configuration assimilable à une boucle ouverte :

en cas de variations de la consigne, intégration jusqu’à detrès grandes valeurs (effet mémoire) ;

quand l’erreur est réduite (action intégrale désaturée),temps important pour que les valeurs des variables nesoient correctes de nouveau.

Solutions possibles :suspendre l’action intégrale en cas de saturation ;recalculer le terme intégral pour ne pas saturer.



Synthèse directe par placement de pôles (1)

Correcteur possédant un certain nombre de degrés de liberté :

C(z) = Kc

(z

z − 1

)l DI(z)

NI(z)

1 + β1z + . . .

1 + α1z + . . .

avec :

l nombre minimal d’intégrations permettant de satisfaire laspécification en précision ;

compensation des pôles et zéros à l’intérieur du cercleunité (sauf les pôles oscillants trop proches du cercle etceux à partie réelle négative) ;

introduction alternativement de pôles et de zérossupplémentaires et réglage du gain ajustable Kc .





C(z) = Kc

(z

z − 1

)l DI(z)

NI(z)

1 + β1z + . . .

1 + α1z + . . .

avec :








C(z) = Kc

(z

z − 1

)l DI(z)

NI(z)

1 + β1z + . . .

1 + α1z + . . .

avec :








C(z) = Kc

(z

z − 1

)l DI(z)

NI(z)

1 + β1z + . . .

1 + α1z + . . .

avec :



introduction alternativement de pôles et de zérossupplémentaires

et réglage du gain ajustable Kc .





C(z) = Kc

(z

z − 1

)l DI(z)

NI(z)

1 + β1z + . . .

1 + α1z + . . .

avec :







Exemple

On considère un asservissement à retour unitaire du procédéayant pour fonction de transfert :

G(s) =K

s(1 + τs)

avec K = 50, τ = 0, 3 et fe = 100 Hz.




Questions

1 Calculer la fonction de transfert en z équivalente au blocBOZ + procédé notée GH(z) ;

2 On souhaite que le système en boucle fermée ait uncomportement analogue à celui d’un deuxième ordre depulsation naturelle ωn = 4 rad/s et de coefficientd’amortissement ξ = 0, 71. Par ailleurs, on souhaite avoirune erreur de position nulle en régime permanent et uneerreur de vitesse de 0, 1 rad/s en présence d’uneconsigne en rampe.

donner la forme du correcteur envisagé ;calculer ce correcteur de façon a ce qu’il remplisse lecahier des charges précédent ;en déduire l’équation aux différences constituant la relationentrée-sortie de ce correcteur.




La compensation de zéros et de pôles par leur introductiondans la fonction de transfert d’un correcteur série trouve unintérêt particulier lorsque l’on réalise cette synthèse ens’appuyant sur le lieu des racines, dont on connaît leparamétrage en courbes de même amortissement et encourbes de même pulsation naturelle.

On peut adopter les règles générales vues dans le paragrapheprécédent pour choisir la forme du correcteur que l’on règlealors en s’appuyant sur la construction du lieu des racines.




Exemple

On reprend la synthèse précédente en s’appuyant sur le lieudes racines.

Automatique - eavr.u-strasbg.freavr.u-strasbg.fr/~bernard/education/fip_1a/slides_fip1a_unique.pdf · Système et temps Système à temps continu u(t) et y(t) fonctions d’une variable

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