Page 1
1
Matematički alat: Laplasova transformacija (ponavljanje)
Definicija i zašto nam treba
Laplasova transformacija prevodi diferencijalne jednačine u
algebarske jednačine i to:
zatvorenog oblika ako su dif. jed. linearne (sa konst. koef.),
u otvorenom obliku (redovi) ako postoji umnožak dvije
promjenjive u vremenskom domenu (dobija se konvolucija u
domenu Laplasove promjenjive).
0)( dtetf t
0)()()( dtetfsFtf st
L
Laplasova transformacija funkcije vremena f(t) je:
Uslov da L. transformacija funkcije f(t) postoji je:
Page 2
2
Matematički alat: Laplasova transformacija (ponavljanje)
j
j
st - dsesFj
sFtf
)(
2
1)()( 1
L
Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) je
Step funkcija
01
00)(1
t
tt
s
ees
es
dtedtetst ststst 111)(1)(1)(1 0
000
L
Primjeri Laplasove transformacije standardnih (test) ulaza u sistem
)(1 t
t1
Page 3
3
Matematički alat: Laplasova transformacija (ponavljanje)
eksponencijalna (monotono opadajuća) funkcija
asas
eas
dtedteesFtf tastsastat
)Re(,11
)()(0
)(
0
)(
0L
ttetf at sve za),(1)(
0,)( tetf atili
Ra
)(tf
t
1
0
Primjeri Laplasove transformacije standardnih (test) ulaza u sistem
Page 4
4
Matematički alat: Laplasova transformacija (ponavljanje)
Impulsna funkcija
00
0)()(
t
tttf
Primjeri Laplasove transformacije standardnih (test) ulaza u sistem
Idealna impulsna funkcija (širina oko t=0 teži nuli)
Aproksimacija preko impulsa konačne visine i
nenulte širine (pravougaoni signal)
k0
k0kh
00
)()( 1-
t
t
t
tptf
)()( ttf
t0
)(tp
t0 k
1khP Površina -1kh
Page 5
5
Matematički alat: Laplasova transformacija (ponavljanje)
Primjeri Laplasove transformacije standardnih (test) ulaza u sistem
Aproksimacija preko impulsa
konačne visine i nenulte širine
(pravougaoni signal)
)(tp
t0 k
1khP Površina -1kh
)1(1
h1
hh)()()( kk
00
k
0
sststst es
es
dtedtetpsFtf
L
Izraz za LT pravougaonog impulsa se može iskoristiti za
formiranje LT idealnog impulsa
11
1lim
k
1lim
1)(
k
11lim)1(
1
k
1lim)()()(
k
0k
k
0k
k
0k
k
0k0
ss
ssst
se
s
e
ss
e
se
sdtetst L
Page 6
6
Matematički alat: Laplasova transformacija (ponavljanje)
Harmoničke funkcije
Primjeri Laplasove transformacije standardnih (test) ulaza u sistem
sinusna
kosinusna
prigušena sinusna
prigušena kosinusna
Rampa
Parabola, kubna,...tn
(izvesti na tabli za sve funkcije iznad)
Page 7
7
Matematički alat: Laplasova transformacija (ponavljanje)
LT izvoda funkcije
Laplasove transformacije izvoda i integrala funkcije originala (u vrem.dom.)
LT integrala funkcije
(izvesti na tabli)
(izvesti na tabli)
Page 8
8
Prenosna funkcija sistema je odnos Laplasove transformacije izlaza
i Laplasove transformacije ulaza, za nulte početne uslove
Dobija se općenito iz diferencijalnih jednačina kojima se opisuje
sistem, pri čemu se uzimaju nulti početni uslovi.
Primjer
)(4)()(6)(11)(6)( 43
2
2
3
1 tutuTtytyTtyTtyT
)(4)()(6)(11)(6)( 43
22
2
33
1 sUssUTsYssYTsYsTsYsT
Nakon Laplasove transformacije obje strane dif. j. (uz nulte početne
uslove)
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Prenosne funkcije linearnih sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom
Page 9
9
Primjer (nastavak)
funkcijaprenosna)(6116
4
)(
)(
3
22
2
33
1
4 sGsTsTsT
sT
sU
sY
)()4()()6116( 43
22
2
33
1 sUsTsYsTsTsT
za Ti=1 s (sekunda), i=1,...,4
)3)(2)(1(
4
6116
4
)(
)()(
23
sss
s
sss
s
sU
sYsG
funkcije prenosne nula -4
funkcije prenosne polovi 3- 2,- -1,
s
s
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Prenosne funkcije linearnih sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom
Page 10
10
Rastavljanje racionalne funkcije (u Laplasovom domenu) na
parcijalne razlomke
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Dobijanje odziva iz prenosne funkcije sistema, Inverzna Laplasova transf.
domenu L.u odziv,)(
)()()()(
sQ
sPsUsGsY
n
n
ps
r
ps
r
ps
rd
sQ
sP
...
)(
)(
2
2
1
1
n
m
ips
iisQ
sPpsr
)(
)()(
n
m
rezidual za jednostruki pol pi
ips
iisQ
sPpsr
)(
)()(
n
m1
ips
iisQ
sPps
ds
dr
)(
)()(
n
m2
2
ips
k
ik
k
kisQ
sPps
ds
d
kr
)(
)()(
!
1
n
m1
1,rezidual za pol pi višestrukosti k
Page 11
11
Primjer
ssss
ssUsGsY
1
6116)()()(
23
3
2/1
2
1
1
2/1
)3)(2)(1(
1
6116
1)(
23
ssssssssssY
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Dobijanje odziva iz prenosne funkcije sistema, Inverzna Laplasova transf.
domenu L.u odziv,)(
)()()()(
sQ
sPsUsGsY
0,2
1
2
1)( 32 teeety ttt
Page 12
12
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
(a) Bezinercioni blok
)()( tkuty
Prenosna funkcija elementa (u domenu Laplasove promjenjive):
ksU
sYsG
)(
)()(
Blok dijagram bezinercionog elementa:
Opis elementa u vremenskom domenu:
U(s) Y(s) k
1
t
u(t)=1(t) k
y(t)
t
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
pužni prenosnik [1]
Page 13
13
(a) Bezinercioni blok - nastavak
Primjeri bezinercionog (proporcionalnog) elementa:
elektronski sklopovi - pojačavači, otpornik,
prenos zupčanicima (broj obrtaja na izlaznom vratilu,
broj obrtaja na ulaznom vratilu)
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Page 14
14
(b) Diferencijalni blok
dt
tdubtya
)()(
Prenosna funkcija elementa
sTsU
sYsG D
)(
)()(
Blok dijagram diferencijalnog elementa:
Opis elementa u vremenskom domenu:
U(s) Y(s)
(d/dt) 1
t
u(t)=1(t) y(t)=TD (t)
t
TD s
)()( sbsUsYa abTD /
Kauzalnost, hidraulički cilindar (sila-uzrok-prije, pomjeranje)
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Idealni diferencijator
nije moguće
fizički
realizirati
(kauzalnost)
Page 15
15
(c) Integralni blok
)()(
tbudt
tdya
Prenosna funkcija elementa
sTsU
sYsG
i
11
)(
)()(
Blok dijagram integralnog elementa:
Opis elementa u vremenskom domenu:
U(s) Y(s)
1
t
u(t)=1(t) y(t)=1/Ti t
t
(Ti s)-1
)()( sbUssYa baTi /
Primjer: kondenzator, ugao točka
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Page 16
16
(d) Aperiodski blok prvog reda
1
10
1,)()(
)(
atbutya
dt
tdya
Prenosna funkcija elementa
1)(
)()(
10
Ts
k
asa
b
sU
sYsG
Blok dijagram aperiodskog elementa:
Opis elementa u vremenskom domenu:
U(s) Y(s)
1
t
u(t)=1(t)
t
)()()( skUsYssYT
Primjer: kombinacija opruga-amortizer
)1()( /Ttekty
T
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
1Ts
k
Page 17
Prenosna funkcija sistema drugog reda
2
nn
2
2
n
2)(
)()(
ss
K
sU
sYsG
(e) Inercioni blok drugog reda
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Sistem drugog reda je općenito opisan sljedećom diferencijalnom jednačinom
21
22
2
21
2
212
2
0
1)()(
)()(
1)()(
)()(
TTtKuty
dt
tdyT
dt
tydTT
atbutya
dt
tdya
dt
tyda
)()()(
2)( 22
2
2
tuKtydt
tdy
dt
tydnnn
)()(2 222 sUKsYss nnn
17
Page 18
(e) Inercioni blok drugog reda (nast.)
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Odziv inercionog bloka na odskočnu funkciju
)(1)()(
2)( 22
2
2
tKtydt
tdy
dt
tydnnn
)(1)( ttu
Polovi prenosne funkcije 02 2
nn
2 ss
(1) Realni i različiti polovi 12
nn2,1 s
0,)( 21
21 tKeCeCtytsts
(2) Realni i isti n21 ss 0,)( 1
21 tKeCtCtyts
(3) Konjugovano kompleksni
0,)cos()sin()( 21 tKtCtCety t
jjs 2
nn2,1 1
(3.1) Forma odziva
18
Page 19
(e) Inercioni blok drugog reda (nast.)
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
0,sin)(p
H
tKtAetyy
y
t
(3.2) Alternativna i bolja forma odziva
Za početne uslove: 0)0(,0)0( yy
21tg
21sin 21
K
A
(izvesti)
0,1
arctg1sin1
11)(
22
2
tteKty n
tn
19
Page 20
(e) Inercioni blok drugog reda (nast.)
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
(3.2) Alternativna forma (nast.)
21%100
ePO,
4
n
s
t
Postotak prebačaja (izvesti na tabli) Vrijeme smirenja
9.03.0
t (s)
y
yss=K 100
PO
2p
1
n
t
%)2(st
p
p
2
T 2
np 1
20
Page 21
21100
ePO
Odziv (izlaz) sistema se može oblikovati (PO, ts) pozicioniranjem parametara sistema (, n)
2
222
1100ln
PO2222
100ln)1(
PO
100ln
100ln 2222 POPO
100ln
100ln
22 PO
PO
(e) Inercioni blok drugog reda (nast.)
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Oblikovanje odziva (zadatak dizajna kontrolera)
21
Page 22
,4
n
s
t
a vrijeme smirenja (settling):
9.03.0 ,s
rad159.1
569.0
44
s
n
t
Polovi prenosne funkcije sa ovako određenim parametrima su
2
nn2,1 1 js 84.08.02,1 js
(e) Inercioni blok drugog reda
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
69.0
100
5ln
100
5ln
22
Npr., ako je zadato PO<5% i ts=5 sec, onda parametri i n se računaju na sljedeći način:
Oblikovanje odziva (zadatak dizajna kontrolera)
22
Page 23
(e) Inercioni blok drugog reda
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
Blok dijagram inercionog elementa:
U(s) Y(s)
1
t
u(t)=1(t) 22
2
2 nn
n
ss
t
y yss=K
23
Page 24
(f) Integro-diferencijalni blok
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
),()(
)()(
1
1
1
0
1
0 tua
b
dt
tdu
a
bty
dt
tdy
a
a
1
1010
1,)(
)()(
)(
atub
dt
tdubtya
dt
tdya
,)()(
)()(
tu
dt
tduTKty
dt
tdyT di
konstanta deriv. je
konstanta integ. je
d
i
T
T
24
Page 25
(f) Integro-diferencijalni blok
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
)(
)()(
)(tu
dt
tduTKty
dt
tdyT di
Prenosna funkcija integro-diferencijalnog elementa
)(1)(1 sUsTKsYsT di
1
1
)(
)()(
sT
sTK
sU
sYsG
i
d
Blok dijagram elementa:
U(s) Y(s)
1
t
u(t)=1(t) 1
1
sT
sTK
i
d
t
y yss=K
Page 26
(f) Integro-diferencijalni blok
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
0)()(
tydt
tdyTi
Homogeni dio jednačine
iT
t
H Cety
)( iT
t
etCty
)()(
Za u(t)=1(t), varijacijom konstante dobijamo
ii T
t
i
T
t
etCT
etCty
)(1
)()(
)(1)()()()( ttTKetCetCetCT d
T
t
T
t
T
t
iiii
iT
t
d
i
ettTT
KtC )(1)()(
11)(1)()( CeTTT
KCdtettT
T
KtC ii T
t
id
i
T
t
d
i
26
Page 27
(f) Integro-diferencijalni blok
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
iiiii T
t
i
dT
t
i
dT
t
T
t
id
i
T
t
eT
TKKe
T
TKeeTT
T
KetCty 1)()(
0,111)(
teT
TKe
T
TKty ii T
t
i
dT
t
i
d
t
y
yss=K
i
d
T
TK
id TT
t
y
yss=K
i
d
T
TK id TT
za zadaću: izraziti preko parametara 27
Page 28
Primjer: mehanički sistem
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
M1
b1
M2 b2
k1
k2
x(t) y(t)
Odrediti matematički model sistema pokazanog na slici, zatim odrediti prenosne funkcije izlaza (pomjeranja) x(t) i y(t) u odnosu na ulaz f(t) (silu).
f(t)
Rješenje: (na tabli)
Rješenje: (pokazati modeliranje sistema u Simulinku)
28
Page 29
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
)()()(
)()()(
)(
)()(
)(
)()( 21
212 sGsGsU
sGsGsU
sU
sGsZ
sU
sYsG
G1(s) G2(s) U(s) Y(s) Z(s)
Kaskada dva sistema
G1(s)G2(s) U(s) Y(s)
Primjer: zupčanici u reduktoru
)(1 t
)(2 t
)(3 t
2
11
z
zK
4
32
z
zK
1
2 3
4
)(1 s)(2 s
)(3 s1K 2K
29
Page 30
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
b
k
u(t)=x(t)
F(t)
Primjer: opruga-cilindar Primjer: otpornici
u(t)=U(t)
R1
R2
i(t)=y(t)=y1(t)+y2(t)
i1(t)=y1 (t) =u/R1
i2(t)=y2 (t)=u/R2
)()()(
)()(
)(
)()( 21
21 sGsGsU
sYsY
sU
sYsG
G1(s)+G2(s) U(s) Y(s)
Paralelno dva sistema
Y(s) G1(s)
G2(s)
U(s)
Y1(s) +
+
Y2(s)
30
Page 31
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
U(s) Y(s)
)()(1
)(
sHsG
sG
Y(s) G (s)
U(s) +
- )(1
)(
)(
)()(
sG
sG
sU
sYsT
Jedinična povratna sprega
31
Povratna sprega
Y(s) G (s)
H(s)
U(s) +
-
E(s)
))()()()(()()()( sYsHsUsGsEsGsY
)()(1
)()(
)(
)(
sHsG
sGsT
sU
sY
)()())()(1)(( sUsGsHsGsY
Page 32
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
Pomjeranje tačke sumacije
32
z(s) w(s) G (s)
+
+
v(s)
z(s) w(s)
G (s)
+
+
v(s)
1/G (s)
z(s) w(s) G (s)
-
+
v(s)
z(s) w(s) G (s)
-
+
v(s) G (s)
Page 33
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
33
Pomjeranje tačke grananja
z(s) w(s) G (s)
z(s) w(s) G (s)
G (s) z(s)
z(s) w(s) G (s)
1/G (s) w(s)
z(s) w(s) G (s)
Page 34
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
G1 G2 G3
G5
G4
-
+ + + U(s) Y(s)
-
34
Primjer:
G1 G2 G3
G5
G4
-
+ +
+ U(s) Y(s) +
-
Page 35
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
35
Primjer:
G1 G2 G3
G5
G4
-
+ +
+ U(s) Y(s) +
-
G1 G3
G5
G4
-
+ +
+ U(s) Y(s)
2
2
G1
G
Page 36
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
36
Primjer:
G1
G5
G4
-
+ +
+ U(s) Y(s)
2
32
G1
GG
G1
G5
G4/G1
-
+ +
+ U(s) Y(s)
2
32
G1
GG
Page 37
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
37
Primjer:
G5
G4/G1
+ U(s) Y(s)
2
321
G1
GGG
-
+
G4/G1
+ U(s) Y(s)
2
3215
2
321
G1
GGGG1
G1
GGG
-
+
Page 38
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
38
Primjer:
1+G4/G1 U(s) Y(s)
2
3215
2
321
G1
GGGG1
G1
GGG
U(s) Y(s)
2
3215
2
321
1
4
G1
GGGG1
G1
GGG
G
G1
)(G)(G)(G)(G)(G1
)(G)(G)(G)(G)(T
53212
3241
sssss
sssss
Page 39
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
39
G1 G2 G3
G5
G4
-
+ + + U(s) Y(s)
-
+ +
Za zadaću: Naći prenosnu funkciju sistema koristeći transformacije blok dijagrama.
Page 40
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
40
G1 G2 G3
G5
G4 -
+
+ + U(s) Y(s)
-
+ +
Za zadaću: Naći prenosnu funkciju sistema koristeći transformacije blok dijagrama.
Page 41
AR2: Transformacije blok dijagrama, ekvivalentna prenosna funkcija sistema
41
G1 G2 G3
G5
G4 -
+
+ + U(s) Y(s)
-
+ +
Za zadaću: Naći prenosnu funkciju sistema koristeći transformacije blok dijagrama.
Page 42
Matematski model u prostoru stanja
Prostor stanja, modeliranje sistema sa više ulaza i izlaza (AR dio 3)
Matematski model vremenski varijabilnog sistema (lineariziranog) u prostoru stanja ima matrični oblik
42
)()(B)()(A)( ttttt uxx
)()(D)()(C)( ttttt uxy
gdje je:
1nn
2
1
)(
)(
)(
)(
tx
tx
tx
t
x
1pp
2
1
)(
)(
)(
)(
ty
ty
ty
t
y
1mm
2
1
)(
)(
)(
)(
tu
tu
tu
t
u
nnnnn2n1
n22221
n11211
)()()(
)()()(
)()()(
)(A
tatata
tatata
tatata
t
mnnmn2n1
m22221
m11211
)()()(
)()()(
)()()(
)(B
tbtbtb
tbtbtb
tbtbtb
t
np)(C)(C tt mp)(D)(D tt
Page 43
Matematski model u prostoru stanja
Prostor stanja, modeliranje sistema sa više ulaza i izlaza (AR dio 3)
43
x(t), y(t) i u(t) su vektori stanja, izlaza i ulaza, respektivno
A(t), B(t), C(t) i D(t) su matrica (dinamike) sistema, matrica ulaza, matrica izlaza i matrica direktne sprege ulaza prema izlazu, respektivno.
A(t), B(t), C(t) i D(t) su matrica (dinamike) sistema, matrica ulaza, matrica izlaza i matrica direktne sprege ulaza prema izlazu, respektivno.
Page 44
Primjer: mehanički sistem
Prostor stanja, modeliranje sistema sa više ulaza i izlaza (AR dio 3)
M1
b1
M2 b2
k1
k2
x(t) y(t)
f(t)
Rješenje: (na tabli)
44
Page 45
Zadaća1: (objašnjenja)
Zadaci iz Modern Control Systems (Dorf): E1.3, E1.4, P1.2, P1.11, DP1.2
45
Page 46
Zad
aća1:
E1.3
(o
bja
šn
jen
ja)
46
Page 47
Zad
aća1:
E1.4
(o
bja
šn
jen
ja)
47
Page 48
Zad
aća1:
P1.1
1 (
ob
jašn
jen
ja)
48
Page 49
Zad
aća1:
P1.1
1 (
ob
jašn
jen
ja)
49
Page 50
Zad
aća1:
DP
1.2
(o
bja
šn
jen
ja)
50
Page 51
(e) Inercioni blok drugog reda (nast.)
Elementarni blokovi sistema automatskog upravljanja
Modeliranje fizičkih sistema (AR - dio 2)
0,sin)(p
H
tKtAetyy
y
t
(3.2) Alternativna i bolja forma odziva
Za početne uslove: 0)0(,0)0( yy
KAy sin0)0(
cossincossin0)0(0
t
t
tt AeteteAy
sin
KA
22 11
n
ntg
2
2
2
2
21
11
1
1sin
tg
tg21
K
A
51