STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, BRNO, KOUNICOVA 16 A A U U T T O O M M A A T T I I Z Z A A C C E E PRO 3. ROČNÍK OBORU SLABOPROUDÁ ELEKTROTECHNIKA 1. ČÁST ZPRACOVALA ING. MIROSLAVA ODSTRČILÍKOVÁ BRNO 2003
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, BRNO, KOUNICOVA 16
AAUUTTOOMMAATTIIZZAACCEE PRO 3. ROČNÍK OBORU SLABOPROUDÁ ELEKTROTECHNIKA
1. ČÁST
ZPRACOVALA ING. MIROSLAVA ODSTRČILÍKOVÁ
BRNO 2003
OBSAH
1. ÚVOD.........................................................................................................................4 1.1. KYBERNETIKA .........................................................................................................................4
1.1.1. Rozdělení kybernetiky..................................................................................................................4
1.2. SYSTÉMY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ............................................................................................5 1.2.1. Základní pojmy teorie systémů ....................................................................................................5
1.2.2. Třídění systémů ...........................................................................................................................6
1.3. ZÁKLADNÍ POJMY.....................................................................................................................7 1.3.1. Systémy pro ovládání .................................................................................................................7
1.3.2. Systémy automatické regulace ....................................................................................................8
2. STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI SYSTÉMŮ .........................................................11 2.1. STATICKÉ VLASTNOSTI.......................................................................................................... 11
2.2. DYNAMICKÉ VLASTNOSTI....................................................................................................... 12 2.2.1. Popis systému lineární diferenciální rovnicí ...............................................................................13
2.2.2. Přenos .......................................................................................................................................14
2.2.3. Operátorový přenos ...................................................................................................................14
2.2.4. Frekvenční přenos .....................................................................................................................14
2.2.5. Přechodová charakteristika........................................................................................................15
2.2.6. Impulsní charakteristika .............................................................................................................16
2.2.7. Frekvenční charakteristika .........................................................................................................16
3. ZÁKLADNÍ TYPOVÉ ČLENY .........................................................................................18 3.1. STATICKÉ SYSTÉMY.............................................................................................................. 18
3.1.1. Statický člen nultého řádu (článek proporcionální).....................................................................18
3.1.2. Statický člen 1. řádu (článek setrvačný).....................................................................................20
3.1.3. Statický člen 2. řádu (článek kmitavý)........................................................................................22
3.2. ASTATICKÉ (INTEGRAČNÍ) ČLENY ........................................................................................... 28 3.2.1. Astatický člen 1.řádu (ideální integrační článek) ........................................................................28
3.2.2. Astatický člen 2. řádu (reálný integrační článek)........................................................................30
3.3. DERIVAČNÍ SYSTÉMY ............................................................................................................ 32 3.3.1. Derivační člen 1. řádu (ideální derivační člen) ..........................................................................32
3.3.2. Derivační člen 1. řádu se setrvačností (reálný derivační člen) ...................................................34
3.4. ČLEN S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM ............................................................................................ 36
4. BLOKOVÁ ALGEBRA..................................................................................................38 4.1. SÉRIOVÉ SPOJENÍ................................................................................................................. 39
4.2. PARALELNÍ SPOJENÍ.............................................................................................................. 39
4.3. ZPĚTNOVAZEBNÍ (ANTIPARALELNÍ) SPOJENÍ........................................................................... 40
4.4. ŘEŠENÍ PŘEKŘÍŽENÝCH VAZEB .............................................................................................. 41 4.4.1. Pravidlo na přemístění místa rozvětvení....................................................................................41
4.4.2. Pravidlo na přemístění místa sumace........................................................................................41
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 2 --------------
4.4.3. Komutativní a asociativní pravidlo..............................................................................................42
4.4.4. Příklad č. 1.................................................................................................................................42
4.4.5. Příklad č. 2.................................................................................................................................43
4.4.6. Příklad č. 3.................................................................................................................................43
4.4.7. Příklad č. 4.................................................................................................................................44
5. HLAVNÍ DRUHY PŘENOSŮ V REGULAČNÍM OBVODU.....................................................45 5.1. PŘENOS OTEVŘENÉHO OBVODU FO........................................................................................ 45
5.2. PŘENOSY UZAVŘENÉ SMYČKY ............................................................................................... 46 5.2.1. Přenos řízení .............................................................................................................................46
5.2.2. Přenos odchylky.........................................................................................................................46
5.2.3. Přenos poruchy..........................................................................................................................46
6. REGULÁTORY...........................................................................................................47 6.1. LINEÁRNÍ ANALOGOVÉ REGULÁTORY...................................................................................... 48
6.1.1. Proporcionální regulátor.............................................................................................................48
6.1.2. Integrační regulátor....................................................................................................................49
6.1.3. Derivační regulátor.....................................................................................................................50
6.1.4. Proporcionálně integrační regulátor ...........................................................................................51
6.1.5. Proporcionálně derivační regulátor ............................................................................................54
6.1.6. Proporcionálně integračně derivační regulátor...........................................................................56
6.2. REALIZACE REGULÁTORŮ...................................................................................................... 58 6.2.1. Regulátory pasivní .....................................................................................................................59
6.2.2. Regulátory aktivní ......................................................................................................................63
6.3. ZPĚTNOVAZEBNÍ REGULÁTORY.............................................................................................. 67
7. REGULOVANÉ SOUSTAVY..........................................................................................69 7.1. STATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY ....................................................................................... 70
7.1.1. Bezkapacitní statické RS ...........................................................................................................70
7.1.2. Jednokapacitní statické RS........................................................................................................71
7.1.3. Dvoukapacitní statické RS.........................................................................................................71
7.1.4. Vícekapacitní statické RS ..........................................................................................................71
7.2. ASTATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY ..................................................................................... 72 7.2.1. Jednokapacitní astatické RS......................................................................................................72
7.2.2. Dvoukapacitní astatické RS .......................................................................................................73
7.3. REGULOVANÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM ............................................................... 73 7.3.1. Statické soustavy s dopravním zpožděním................................................................................74
7.3.2. Astatické soustavy s dopravním zpožděním ..............................................................................74
7.4. IDENTIFIKACE REGULOVANÝCH SOUSTAV ............................................................................... 74 7.4.1. Metoda frekvenčních charakteristik............................................................................................75
7.4.2. Metoda přechodové charakteristiky ...........................................................................................77
7.4.3. Identifikace pomocí modelu .......................................................................................................79
POUŽITÁ LITERATURA ...................................................................................... 78
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 3 --------------
1. ÚVOD
Automatizace představuje významný prostředek pro zvýšení produktivity,
jakosti a konkurenční schopnosti výroby a služeb.
Slovo automat je řeckého původu - autómatos - sám o sobě jednající.
Velký přínos pro automatizaci znamenaly samostatné číslicové počítače a
dále nástup mikroprocesorů počátkem 80. let. Současná nízká cena
automatizačních prvků a prostředků dovoluje využít automatizace nejen v průmyslu,
ale i v domácnostech (CD přehrávače, pračky, myčky nádobí apod.).
1.1. KYBERNETIKA
Kybernetika je moderní věda, založená v roce 1948 americkým matematikem
Norbertem Wienerem ve spolupráci s mexickým neurofyzikem Arturem
Rosenbluethem. Název kybernetika pochází z řeckého kybernetés - kormidelník.
Společně s dalšími spolupracovníky na základě analýzy pochodů v různých
odvětvích vědy přišli na myšlenku analogie v činnosti strojů a živých organismů a
uvědomělé činnosti člověka. Kybernetika jako obecná věda zavedla nový systémový
přístup k problémům v mnoha speciálních oborech, jejichž předmětem studia jsou
stroje, živé organismy a společnost, tj. takové objekty, ve kterých dochází k výměně
informací, řízení a sdělování. Pro kybernetiku jsou charakteristická tři základní
hlediska, z kterých nazírá na problémy a z kterých dané problémy řeší. Jsou to:
hledisko systémové, hledisko informační a hledisko řízení.
1.1.1. ROZDĚLENÍ KYBERNETIKY
V průběhu vývoje kybernetiky vznikla různá její odvětví.
Teoretická kybernetika, která vytváří společný teoretický základ celé
kybernetice. Zabývá se matematickým popisem chování systémů a procesy řízení.
Patří sem matematická teorie systémů, teorie informací, matematická logika, teorie
stochastického rozhodování, teorie her, teorie algoritmů, programování.
Podle toho, na které oblasti se kybernetika zaměřuje, dělíme ji takto:
Technická kybernetika - řeší otázky řízení strojů a mechanismů,
technologických procesů. Zahrnuje prostředky automatického řízení, prostředky na
zpracování informací v technických soustavách.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 4 --------------
Biologická kybernetika - biokybernetika - se zabývá strukturou i chováním
biologických regulací a přenosem informací v živých organismech (např. objasnění
principů mozkové činnosti).
Sociální kybernetika se zabývá řídícími a informačními procesy ve
společnosti. Do této skupiny lze zařadit např. kybernetiku v ekonomii.
Poznatky a výsledky jednotlivých kybernetických disciplín jsou využívány
v ostatních disciplínách, ovlivňují rozvoj celé kybernetiky jako vědního oboru. Tyto
vztahy jsou znázorněny na obrázku.
V kybernetice se vyskytuje další podskupina, aplikovaná kybernetika, která
využívá výsledků obecné kybernetiky (teoreticky všech čtyř disciplín kybernetiky)
v různých oborech, podle nichž se nazývá například lékařská kybernetika,
pedagogická kybernetika, ekonomická kybernetika, organizační kybernetika,
kybernetika ve vojenství apod.
1.2. SYSTÉMY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
1.2.1. ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE SYSTÉMŮ
Definice systému: Systém je soubor prvků, mezi nimiž existují funkční vztahy
a který má jako celek vztah ke svému okolí.
Systém v tomto pojetí je stroj složený ze součástek a částí, živý organismus,
který sestává z jednotlivých orgánů, podnik, ve kterém se spojuje množství
technologických procesů, strojů a zařízení, pracovních kolektivů apod.
Systém neexistuje izolovaně, ale má určité vazby s prostředím, je ve
vzájemném působení s tímto prostředím.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 5 --------------
1.2.2. TŘÍDĚNÍ SYSTÉMŮ
Systémy můžeme klasifikovat a třídit podle různých kritérií a hledisek. Podle
způsobu vzniku systému rozlišujeme systémy přirozené a systémy umělé.
Systémy, vytvořené prací člověka jsou systémy umělé. Podle způsobu, jakým se
projevuje hmota v charakteristice systému, lze hmotné systémy dělit na mechanické,
hydraulické, elektrické, pneumatické, optické, biologické a jiné.
Systém, který realizuje automatické řízení, je jeden z možných systémů
vytvořených člověkem a nazývá se systém automatického řízení. Patří do
kybernetických systémů.
Podle toho, zda se veličiny mění v závislosti na čase spojitě anebo náhle -
nespojitě, rozlišujeme systémy automatického řízení spojité a nespojité. Stále
většího významu nabývají diskrétní systémy. V diskrétních systémech se mění
veličiny nespojitě tak, že nabývají určitých nenulových hodnot jen v určitých časových
okamžicích.
U statických systémů (bez paměti) závisí okamžitá hodnota výstupních
veličin pouze na okamžitých hodnotách vstupních veličin. Jestliže kromě toho závisí
okamžitá hodnota výstupních veličin též na hodnotách, kterých vstupní veličiny
nabývaly v předcházejícím čase, pak systémy nazýváme dynamické (s pamětí).
Příkladem statického systému může být odporový dělič (při zanedbání jeho
parazitních kapacit a indukčností) nebo kombinační logický obvod. Příkladů
dynamických systémů je mnoho, např. setrvačný článek a sekvenční logický obvod.
Převážná část systémů je dynamická. Matematicky můžeme spojitý statický systém
popsat algebraickou rovnicí nebo soustavou algebraických rovnic. Dynamický spojitý
systém můžeme popsat buď diferenciální rovnicí nebo soustavou diferenciálních
rovnic.
Podle složitosti rozlišujeme systémy jednorozměrné (jednoparametrové) a
vícerozměrné (víceparametrové). Jednorozměrné systémy mají pouze jednu vstupní
veličinu a jednu výstupní veličinu. Hodnota výstupní veličiny bude záviset pouze na
hodnotě vstupní veličiny a parametrech systému. Mnohoparametrové systémy jsou
takové, kde počet vstupních a také i výstupních veličin je větší než jedna. U těchto
systémů hodnota výstupních veličin je zpravidla závislá na hodnotách všech
vstupních veličin a parametrech systému.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 6 --------------
Dalším kritériem třídění je statická charakteristika systému, což je závislost
hodnoty výstupní veličiny na hodnotě vstupní veličiny měřené v ustáleném stavu.
Podle průběhu této charakteristiky dělíme systémy na lineární a nelineární.
U lineárních systémů lze použít Laplaceovy transformace.
Jestliže parametry systému nezávisí na čase, pak nazýváme systémy
stacionární, v případě že parametry systému jsou funkcemi času, pak systémy
nazýváme nestacionární.
1.3. ZÁKLADNÍ POJMY
Dnešní období rozvoje vědy a techniky je charakterizováno automatizací.
Automatizace je proces, při němž je řídící funkce člověka nahrazována činností
různých přístrojů a zařízení. K zabezpečení automatizace je především nutno
zvládnout problém řízení daného technologického procesu.
Řízení je definováno jako cílevědomá činnost, při níž se hodnotí a
zpracovávají informace o řízeném procesu nebo objektu a podle nich se ovládají
příslušná zařízení tak, aby se dosáhlo určitého předepsaného cíle. V zásadě může
být ruční nebo automatické.
Řízení dělíme na ovládání a regulaci. Ovládání je řízení bez zpětné kontroly -
bez zpětné vazby. Regulace je řízení se zpětnou vazbou. Umožňuje udržování
zvolené fyzikální veličiny na předem určené hodnotě.
Systémy automatického řízení můžeme tedy rozdělit na systémy pro ovládání
a systémy automatické regulace.
1.3.1. SYSTÉMY PRO OVLÁDÁNÍ
Ovládání je řízení bez zpětné vazby. Je to nejjednodušší způsob řízení.
Signál se v ovládacím obvodě pohybuje pouze jedním směrem, od vstupu k výstupu.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 7 --------------
Vlivem působení poruchových veličin se ovládaná veličina mění, takže
přesnost řízení je malá.
Struktura ovládacího obvodu:
O1
O2
B1
B2
LO OSAČ
Signalizace
x - ovládanáveličina
O1,O2,...On zdroje ovládacích signálů, tj. vnější signály, které určují cíl ovládání.
B1,B2,...Bn zdroje blokovacích signálů, tj. vnitřní signály, které určují, za jakých
podmínek lze předepsaného stavu výstupu dosáhnout.
LO logický obvod - zařízení uskutečňující logické funkce. Jeho realizace může být
kontaktní (relé) nebo bezkontaktní (IO).
AČ akční člen - ovládá přítok energie do ovládané soustavy.
OS ovládaná soustava - zařízení, jehož některá veličina je řízena.
Signalizace - umožňuje kontrolu správné činnosti ovládaného zařízení.
Podle účelu dělíme signalizaci na provozní a poruchovou.
Podle provedení rozlišujeme optickou (světelnou) a akustickou signalizaci.
1.3.2. SYSTÉMY AUTOMATICKÉ REGULACE
Regulační obvod = zpětnovazební řídící obvod. Regulace umožňuje
nastavování regulované veličiny na libovolnou úroveň a současně udržování této
veličiny na požadované úrovni bez ohledu na působení poruchových veličin.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 8 --------------
Potlačování vlivu poruchových veličin je zajištěno zpětnou vazbou. Zpětná vazba
neustále kontroluje hodnotu regulované veličiny (např. vhodným snímačem). Kontrola
umožňuje opravy velikosti regulované veličiny tak, aby se vždy rovnala požadované
hodnotě. To vede k dosažení velké přesnosti řízení.
Struktura regulačního obvodu
Řídícíčlen
Ústředníčlen
Akčníčlen
ZVčlen
Regulo-vaná
soustava
Energie
poruchy
w e yx - regulovaná
velièina
x'
Řídící člen - je zdrojem signálu w - řídící veličina, který udává žádanou hodnotu
regulované veličiny.
Porovnávací člen - porovnává žádanou hodnotu regulované veličiny w s okamžitou
hodnotou regulované veličiny, udávanou zpětnovazebním členem jako
signál x’. Vytváří regulační odchylku e = w - x’
Ústřední člen - základem je zesilovač a dále analogový obvod, který zpracuje
požadovaným způsobem regulační odchylku. Je to v podstatě
regulátor.
Akční člen = výkonový člen - na základě signálu z regulátoru řídí přísun energie do
regulované soustavy.
Zpětnovazební člen = měřicí člen = snímač, měří neustále regulovanou veličinu,
eventuálně ji převádí na signál srovnatelný s řídícím.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 9 --------------
Činnost regulačního obvodu:
Zpětnovazební člen neustále snímá regulovanou veličinu a přivádí ji do
porovnávacího členu. Tam porovnáním s požadovanou hodnotou vzniká regulační
odchylka, která je přiváděna na vstup ústředního členu. Zde je zesílena,
požadovaným způsobem zpracována a výsledný regulační signál uvede v činnost
akční člen. Ten provede pomocí akční veličiny zásah do regulované soustavy. Tento
zásah musí být takový, aby se vzápětí vyrovnala regulovaná veličina na
požadovanou hodnotu. Potom regulační odchylka zanikne.
Činnost regulačního obvodu od vzniku regulační odchylky po její odstranění se
nazývá regulační pochod.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 10 --------------
2. STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI SYSTÉMŮ
V této kapitole se budeme zabývat tzv. jednorozměrnými regulačními systémy,
neboli systémy s jednou vstupní a jednou výstupní veličinou.
Vlastnosti regulačního systému můžeme posuzovat buďto za podmínky, že se
vstupní a výstupní veličiny nemění, obě jsou v ustáleném stavu, a to pak mluvíme o
statických vlastnostech. Nebo vyšetřujeme vlastnosti systému při změnách obou
veličin, a pak mluvíme o dynamických vlastnostech systému.
2.1. STATICKÉ VLASTNOSTI
Statické vlastnosti systémů automatického řízení jsou vztahy mezi ustálenou
hodnotou výstupní veličiny systému a ustálenou hodnotou vstupní veličiny systému.
Tyto vztahy mohou být vyjádřeny algebraickou rovnicí
y = f (x)
nebo častěji graficky, tzv. statickou charakteristikou, což je závislost výstupní
veličiny systému na vstupní veličině systému v ustáleném stavu.
Y
X0
nelineárníprůběh
lineárníprůběh
Statické charakteristiky mohou být lineární (přímkové) a nelineární (křivkové).
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 11 --------------
Statické charakteristiky se dále dělí na spojité a nespojité. Již uvedené
charakteristiky na předchozím obrázku jsou obě spojité. Na dalších obrázcích
uvedeme příklady nespojitých charakteristik.
Y
X01
-1
třípolohový(tříhodnotový)
průběh
X
Y
dvoupolohový(dvouhodnotový)
průběh
0
1
2.2. DYNAMICKÉ VLASTNOSTI
Dynamické vlastnosti jsou důležitější než vlastnosti statické, poněvadž se
týkají průběhu přechodného děje, o který jde v regulaci především (a ne ustáleného
stavu). Dynamické vlastnosti systému lze popsat v podstatě dvěma různými,
navzájem zcela odlišnými způsoby. Dynamické vlastnosti systému charakterizuje
vnější a vnitřní popis systému.
Vnější popis systému vyjadřuje dynamické vlastnosti pomocí vztahu mezi
výstupní a vstupní veličinou. Přitom neznáme a nezajímají nás fyzikální děje, které
uvnitř systému probíhají.
Vnitřní popis systému uvažuje s pojmem stav systému. Je to vyjádření
dynamických vlastností systému, uvažujeme vztahy mezi vstupem, stavem a
výstupem systému. Pro zavedení vnitřního popisu systému musíme znát jeho
strukturu a veškeré fyzikální nebo chemické pochody, které v něm probíhají. Z toho
je zřejmé, že vnitřní popis je dokonalejší než popis vnější. Je vyjádřen stavovými
rovnicemi ve stavovém prostoru (vysokoškolské studium).
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 12 --------------
Budeme se tedy zabývat popisem dynamických vlastností systému použitím
vnějšího popisu. Jsou to klasické metody regulační techniky.
Vnější popis - závislost mezi vstupem a výstupem systému - může být
vyjádřen různými způsoby: - diferenciální rovnice
- přenos
- operátorový přenos
- frekvenční přenos
- přechodová charakteristika
- impulsní charakteristika
- frekvenční charakteristika v komplexní rovině
- frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích
Tyto druhy vnějšího popisu spolu těsně souvisejí a je možno převést jeden
tvar na druhý. Dále budou popisovány jednotlivé druhy vnějšího popisu a vazby mezi
nimi.
2.2.1. POPIS SYSTÉMU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICÍ
Lineární spojitý systém se vstupem x(t) a výstupem y(t) je obecně popsán
diferenciální rovnicí, která umožňuje prostřednictvím derivací zobrazit časově
proměnný vstupní a výstupní signál.
m
m
mn
n
nn
n
n dt)t(xdb.....
dt)t(dxb)t(xb)t(ya
dt)t(dya.....
dt)t(yda
dt)t(yda +++=++++
−
−
− 10011
1
1
kde , jsou konstantní koeficienty. ia ib
V rovnici musí být vždy splněna podmínka fyzikální realizovatelnosti nm ≤
(stupeň nejvyšší derivace výstupní veličiny je vždy větší nebo roven stupni derivace
vstupní veličiny. Řád diferenciální rovnice n udává řád systému. Chceme-li rovnici
řešit a určit tak průběh výstupní veličiny y(t) daného systému, musíme znát tvar
vstupního signálu a počáteční podmínky.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 13 --------------
2.2.2. PŘENOS
Pro matematické vyjádření dynamických vlastností používáme poměr časově
proměnné hodnoty výstupního signálu k časově proměnné hodnotě vstupního
signálu, nazývaný přenos )t(x)t(y)t(F =
2.2.3. OPERÁTOROVÝ PŘENOS
Je nejčastěji používaným popisem . Pro zjednodušení matematického řešení
použijeme Laplaceovu transformaci, pomocí které lze převést řešení
diferenciálních rovnic na řešení rovnic algebraických. V tomto případě místo časové
změny vyjádřené diferenciálem d/dt uvedeme operátor p. Laplaceovou transformací
přenosu F(t) získáme operátorový přenos, který definujeme jako poměr Laplaceova
obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny. (Nazývá se proto také
obrazový přenos.)
)p(X)p(Y)p(F =
2.2.4. FREKVENČNÍ PŘENOS
Frekvenční přenos je poměr výstupních a vstupních harmonických kmitů
systému. Frekvenční přenos získáme tak, že na vstup systému přivedeme
harmonický signál. Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh
x = X0 sinω t
kde X0 je amplituda vstupního signálu
ω je úhlová frekvence
Přivedeme-li na vstup spojitého lineárního systému sinusový signál,
dostaneme na výstupu po ustálení přechodových jevů opět sinusový signál, ovšem
s jinou amplitudou a fázově posunutý proti vstupnímu signálu. Výstupní signál má
stejnou frekvenci (a tedy i periodu T) jako signál vstupní.
y = Y0 sin(ω t + ϕ )
kde Y0 je amplituda výstupního signálu
ϕ fázové posunutí
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 14 --------------
Měřenýčlen
x(jω
)
y(jω
)
T TϕX 0 Y
0
t t
Potom je frekvenční přenos vyjádřen takto:
t.sinX
)tsin(Y)j(x)j(y)j(F
ωϕω
ωωω
0
0 +==
nebo také ϕϕϖ
ϕϖ
ϖωωω jj
tj
)t(j
e.)j(Fe.XY
e.Xe.Y
)j(x)j(y)j(F ====
+
0
0
0
0
Frekvenční přenos je obecně komplexní číslo; můžeme jej tedy vyjádřit ve
složkovém tvaru
)jIm()jRe()j(F ωωω +=
Potom platí
22 ImRe)j(F +=ω ReImarctg=ϕ
Frekvenční přenos můžeme vyjádřit také v decibelech:
)j(Flog.FdB ω20=
2.2.5. PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA
je grafické znázornění
přechodové funkce, tj. řešení
DFR při jednotkové vstupní
veličině. Je to tedy odezva na
jednotkový skok. Používá se
často.
x(t)
t
Jednotkovýskok
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 15 --------------
2.2.6. IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA
je grafické zobrazení impulsní funkce,
tj. řešení DFR při jednotkovém (Diracově)
impulsu vstupní veličiny. Je to tedy odezva
na jednotkový impuls. Je to impuls s
nekonečně velkou amplitudou, který trvá
nekonečně krátkou dobu a jeho plocha je
rovna 1. Nelze ho přesně realizovat, a proto
se tato charakteristika používá velmi málo.
y(t)
t
Jednotkový(Diracův) impuls
2.2.7. FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
je grafické znázornění frekvenčního přenosu. Charakteristika může být
zakreslena v komplexní (Gaussově) rovině nebo v logaritmických souřadnicích.
2.2.7.1.FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA V KOMPLEXNÍ ROVINĚ
Je grafické znázornění frekvenčního přenosu pro úhlovou frekvenci měnící se
od nuly do nekonečna. Pro sestrojení charakteristiky je nejlépe vycházet ze
složkového tvaru frekvenčního přenosu. Charakteristiku, která znázorňuje jak
amplitudy tak fázový posun, kreslíme do Gaussovy roviny. Tvary charakteristik jsou
velmi rozmanité.
F2(j ω )
Frekvenční
charakteristika pro
přenos typu
dT.jK)j(F ωω +=
Im
-Im
F1(j ω )
-Re Re 0
ω
ω
ω=0 ω=0
Frekvenční
charakteristika pro
přenos typu
T.j(jK)j(F
ωωω
+=
1
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 16 --------------
2.2.7.2.FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA V LOGARITMICKÝCH SOUŘADNICÍCH
V tomto případě kreslíme dvě charakteristiky, z nichž jedna zobrazuje
amplitudy a druhá charakteristika znázorňuje fázový posun.
LAFCH - logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika = amplitudová
charakteristika - tj. závislost přenosu v decibelech na úhlové frekvenci.
LFFCH - logaritmická fázová frekvenční charakteristika = fázová
charakteristika - tj. závislost fázového posunu na úhlové frekvenci.
Frekvenci vynášíme na logaritmickou stupnici, fázi a přenos na lineární;
charakteristiky kreslíme na semilogaritmický papír.
Tyto charakteristiky se užívají velmi často pro snadné kreslení amplitudové
charakteristiky pomocí asymptot. Je třeba, aby operátorový přenos byl upraven do
tvaru: )pT)(pT.(p
)pT.(p.K)p(F32
1
111
+++
=
Potom platí pro absolutní hodnotu frekvenčního přenosu, přenos v decibelech
a fázi následující vztahy:
2
322
22
21
2
11
1
T.T.
TK)j(F
ωωω
ωω
++
+=
)j(FlogFdB ω20=
321090 T.arctgT.arctgT.arctg ωωωϕ −−+−=
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 17 --------------
3. ZÁKLADNÍ TYPOVÉ ČLENY
Některé dynamické systémy vykazují vlastnosti, které se často vyskytují a jsou
v technické praxi typické. Systémy můžeme dělit na:
1) systémy statické
2) systémy astatické (integrační)
3) systémy derivační
4) systémy s dopravním zpožděním
3.1. STATICKÉ SYSTÉMY
Diferenciální rovnice nabývá tvaru
)t(xb)t(yadt
)t(dya.....dt
)t(ydadt
)t(yda n
n
nn
n
n 0011
1
1 =++++−
−
−
Charakteristické pro tyto systémy je, že přechodová charakteristika se ustálí
po skončení přechodového děje na konstantní hodnotě. Uvnitř skupiny statických
systémů rozeznáváme systémy ještě podle řádu rovnice. Typické jsou dynamické
vlastnosti odpovídající nultému, prvnímu a druhému řádu rovnice.
3.1.1. STATICKÝ ČLEN NULTÉHO ŘÁDU (ČLÁNEK PROPORCIONÁLNÍ)
Ustálená hodnota výstupního signálu je úměrná hodnotě vstupního signálu.
DFR (diferenciální rovnice) - vlastně rovnice lineární (derivace jsou rovny 0):
)t(xb)t(ya 00 =
Přenos pKab
)t(x)t(y)t(F ===
0
0
Operátorový přenos pK)p(F =
Frekvenční přenos: pK)j(F =ω
Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru dostaneme, když určíme absolutní
hodnotu přenosu a fázový posun (ten je v tomto případě roven 0):
0jp e.K)j(F =ω
Přenos v decibelech: pdB KlogF 20=
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 18 --------------
Přechodová charakteristika:
Kp
Frekvenční charakteristika:
- v komplexní rovině - bod na kladné reálné poloose.
- v logaritmických souřadnicích
0 t
y
Im
F(j ω )
-Re 0 Kp Re
-Im
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
FdB
20lo
gKp
ϕ0o
90o
-90o
Amplitudová charakteristika je rovnoběžná s osou frekvence ve vzdálenosti
20logKp. Fázová charakteristika je rovněž přímka rovnoběžná s osou frekvence v
hodnotě 0o.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 19 --------------
3.1.2. STATICKÝ ČLEN 1. ŘÁDU (ČLÁNEK SETRVAČNÝ)
Proporcionální člen se setrvačností 1.řádu.
DFR )t(xb)t(yadt
)t(dya 001 =+
Operátorový přenos 1
0
1
0
0
01
0
+=
+==
paa
ab
apab
)p(X)p(Y)p(F
Tp
K)p(F+
=1
Frekvenční přenos: T.j
K)j(Fω
ω+
=1
Frekvenční přenos upravíme do složkového tvaru následujícím způsobem:
T.jT.j.
T.jK)j(F
ωω
ωω
−−
+=
11
1
2222 11 TKT.j
TK)j(F
ωω
ωω
+−
++
=
Absolutní hodnota frekvenčního přenosu:
22
22
1 TKImRe)j(Fω
ω+
=+=
Fázový posun: T.arctgReImarctg ωϕ −==
Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru je tedy určen takto:
T.jarctge.T
K)j(F ω
ωω −
+=
221
Přenos v decibelech: 221
2020T
Klog)j(FlogFdBω
ω+
==
2212020 TlogKlogFdB ω+−=
Přenos v decibelech se skládá ze dvou členů, první člen 20logK je konstanta
nezávislá na kmitočtu a určuje rovnici první asymptoty, druhý člen je kmitočtově
závislý. Důležitá je frekvence zlomu ωL=1/T (lomová frekvence).
Pro frekvence ω<ωL určíme rovnici první asymptoty KlogFdB 20≅
a pro ω>ωL určíme rovnici druhé asymptoty T.logKlogFdB ω2020 −≅ tj.sklon -20dB/dek
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 20 --------------
Přechodová charakteristika:
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině
LAFCH a LFFCH:
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
FdB
ϕ
ωL
-20dB/dek
0o
-45o
-90o
Kω=∞
ω=0
ω
K
Im
t
-Im
0 T
-Re Re
0
1.asymptota
2.asymptota
y
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 21 --------------
3.1.3. STATICKÝ ČLEN 2. ŘÁDU (ČLÁNEK KMITAVÝ)
DFR )t(xb)t(yadt
)t(dyadt
)t(yda 0012
2
2 =++
Úprava Laplaceovou transformací:
)p(Xb)p(Ya)p(pYa)p(Ypa 0012
2 =++
Odvodíme operátorový přenos:
1
0
12
0
2
0
0
012
2
0
++=
++=
paap
aa
ab
apapab)p(F
Položme [ 22
0
2 sTaa
= ] , kde T je časová konstanta,
T.aa
ξ20
1 = , kde 20
1
2 aaa
=ξ je poměrné tlumení,
Kab
=0
0 , kde K je zesílení.
Operátorový přenos: 1222 ++
=Tp.pT
K)p(Fξ
Přechodová charakteristika
Pro její průběh jsou rozhodující kořeny jmenovatele přenosu. Hodnota kořenů
závisí na velikosti tlumení: ( )11 221 −−= ξξ m
Tp ,
Z tohoto vztahu plyne, že vzhledem k velikosti ξ mohou nastat tyto případy:
ξ > 1 aperiodický průběh, přetlumený
Kořeny jmenovatele jsou
1
11
Tp −=
21
1T
p −= přičemž
( )111 2
1
−−= ξξTT
, ( )111 2
2
−+= ξξTT
Operátorový přenos pak lze pak napsat ve tvaru
F p KpT pT
( )( )(
=+ +1 21 1)
Přechodová charakteristika je aperiodická, přetlumená.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 22 --------------
ξ = 1 mez aperiodicity
Kořeny jmenovatele jsou
T
p ,1
21 −=
Operátorový přenos lze napsat ve tvaru
F p KpT
( )( )
=+1 2
Přechodová charakteristika je na mezi aperiodicity.
0< ξ< 1 tlumené harmonické kmity
Kořeny jmenovatele přenosu jsou
( )2
121 11 ξξ −−= j
Tp , m
Kořeny jsou tedy dva, komplexně sdružené se zápornou reálnou částí.
Operátorový přenos pak napíšeme ve tvaru
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−+
=222 1111 ξξξξ j
Tpj
TpT
K)p(F
Přechodová charakteristika je kmitavá tlumená (tlumené harmonické kmity).
Proto se často statický člen 2. řádu označuje jako kmitavý článek.
Frekvence kmitů je 20 1 ξωω −=v
kde T1
0 =ω je tzv. přirozená frekvence kmitavého článku.
vω má fyzikální význam (kmitavý článek je schopen kmitat) jen pro 0<ξ<1.
Pro ξ=1 je vω =0.
Pro ξ>1 je vω vyjádřena imaginárním číslem - nemá fyzikální význam.
Pro ξ=0 je 0ωω =v .
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 23 --------------
ξ = 0 harmonický netlumený průběh
Kořeny jmenovatele přenosu jsou ryze imaginární, komplexně sdružené
( ) ( )T
jTT
p ,11111 2
21 ±=−−=−−= mm ξξ
Operátorový přenos píšeme ve tvaru:
221 TpK)p(F
+=
Přechodová charakteristika je harmonický netlumený průběh o frekvenci
T1
0 =ω . Poněvadž u technických zařízení dochází v důsledku nežádoucích
energetických ztrát vždy k většímu či menšímu tlumení, lze tento případ považovat
spíše za matematickou abstrakci.
Průběhy přechodové charakteristiky v závislosti na tlumení ξ .
t
y(t)
K
mez aperiodicity
netlumené harmonickékmity tlumené harmonické
kmity
aperiodický prùbeh
Frekvenční přenos dostaneme úpravou z operátorového přenosu a jeho tvar je
dán tlumením ξ. Řešení má opět čtyři možné varianty.
ξ > 1 aperiodický průběh, přetlumený
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 24 --------------
Operátorový přenos F p KpT pT
( )( )(
=+ +1 11 2 )
Frekvenční přenos )T.j)(T.j(
K)j(F21 11 ωω
ω++
=
Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru:
)TarctgTarctg(je.T.T.
K)j(F 21
22
221
2 11ωω
ωωω +−
++=
Frekvenční přenos v decibelech:
2
222
12 11
20TT
KlogFdBωω ++
=
Dvě časové konstanty určují dva kmitočty lomu: 2
21
111
T;
T LL == ωω ;
Rovnice asymptot:
1. asymptota: KlogFdB 20=
2. asymptota: ωlogTKlogFdB 2020
1
−= sklon -20dB/dek
3. asymptota: ωlogTTKlogFdB 4020
21
−= sklon -40dB/dek
ξ = 1 mez aperiodicity
Operátorový přenos má tvar F p KpT
( )( )
=+1 2
Frekvenční přenos 21 )T.j(K)j(Fω
ω+
=
Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru
Tjarctge.T
K)j(F ω
ωω 2
221−
+=
Při kmitočtu, který má hodnotu TL1
=ω tj. při frekvenci lomu má frekvenční
přenos amplitudu rovnu 0,5K.
Frekvenční přenos v decibelech: 22120
TKlogFdB ω+
=
Rovnice asymptot dostáváme v tomto tvaru:
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 25 --------------
1. asymptota: tj. sklon 0dB/dek KlogFdB 20≅
2. asymptota: T.logTKlogFdB ω4020 2 −= tj. sklon -40dB/dek
0< ξ< 1 tlumené harmonické kmity
Operátorový přenos: ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−+
=222 1111 ξξξξ j
Tpj
TpT
K)p(F
Frekvenční přenos: ωξω
ωT.jT
K)j(F21 22 ++−
=
Exponenciální tvar frekvenčního přenosu:
ξξ
ωξωω
21
222222 41
−
+−=
jarctge.
T)T(K)j(F
Přenos v decibelech má tvar
222222 41
20ωξω T)T(
KlogFdB+−
=
Tato charakteristika má dvě asymptoty, které jsou stejné jako pro mez
aperiodicity. Skutečný průběh amplitudové charakteristiky závisí na konkrétní
hodnotě poměrného tlumení.
ξ = 0 harmonický netlumený průběh
Operátorový přenos má tvar 221 TpK)p(F
+=
Frekvenční přenos: 221 TK)j(Fω
ω−
=
Pro absolutní hodnotu a fázi frekvenčního přenosu platí:
T
pro;T
K o 101 22 <=
−ωϕ
ωL
=)j(F ω
T
pro;TK o 1180
122 >−=−
ωϕω
L
Asymptoty pro amplitudovou charakteristiku jsou stejné jako ve dvou
předchozích případech.
Frekvenční charakteristiky v komplexní rovině:
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 26 --------------
Re-Re
-Im
Im
0
0.5Kωο=1/Τ
ω= 8 K
ω=0
ω<1/Τω=>1/Τ
ω
ω
ξ = 0 ξ = 0
Amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích
FdB
ω0
-20dB/dek
-40dB/dek
ω1
ω20.1 1 10 100 1000
ω
FdB
0
10
20
30
-10
-20
-30
20lo
gK
Rezonanční převýšení
ξ=1
ξ>1
0<ξ<1
ξ = 0
0<ξ<1
ξ >1
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 27 --------------
Fázové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
0
10
20
30
-10
-20
-30
ω1 ω0
ω2
0o
90o
180o
lní rovnice nemá na levé straně prostý člen (člen bez derivace)
a nabývá tvaru
3.2. ASTATICKÉ (INTEGRAČNÍ) ČLENY
Diferenciá
)t(xbdt
)t(dya.....dt
)t(ydadt
)t(yda n
n
nn
n
n 011
1
1 =+++−
−
−
3.2.1. ASTATICKÝ ČLEN 1.ŘÁDU (IDEÁLNÍ INTEGRAČNÍ ČLÁNEK)
DFR )t(xbdt
a1)t(dy
0=
Úprava Laplaceovou transformací )p(Xb)p(pYa 01 =
Operátorový přenos pa
b)p(X)p(Y)p(F
1
0==
F p K P T pi
neboi( ) =1
kde Ki (Ti) je integrační (rychlostní) konstanta
ξ = 0
ξ = 0
ξ >1 0<ξ<1
ξ >1
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 28 --------------
Frekvenční přenos ω
ωjK)j(F i=
Frekvenční přenos ve složkovém tvaru (reálná část je rovna 0):
ω
ω iKj)j(F −=
Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru (fáze je rovna -90o):
2π
ωω
ji e.K)j(F−
=
Přenos v decibelech: ωω
logKlogKlogF ii
dB 202020 −==
Charakteristika je tvořena jedinou asymptotou se sklonem -20dB/dek.
Přechodová charakteristika:
y
t
K i1
K i2
F1
F2
K i1 K i2>
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině
Re-Re
-Im
Im
0ω= 8
ω=0
ω
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 29 --------------
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
-20dB/dek
FdB
20lo
gKi
ϕϕ
0o
-90o
3.2.2. ASTATICKÝ ČLEN 2. ŘÁDU (REÁLNÝ INTEGRAČNÍ ČLÁNEK)
DFR )t(xbdt
)t(dyadt
)t(yda 012
2
2 =+
Úprava Laplaceovou transformací
)p(Xb)p(pYa)p(Ypa 012
2 =+
Operátorový přenos získáme ve tvaru
)apa(p
bpapa
b)p(X)p(Y)p(F
12
0
12
2
0
+=
+==
)pT(p
K)p(F r
1+=
Frekvenční přenos
)T.j(j
K)j(F r
ωωω
+=
1
Frekvenční přenos ve složkovém tvaru:
ωωω
ω)T(
KjTTK)j(F rr
2222 11 +−
++−
=
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 30 --------------
Frekvenční přenos v exponenciálním tvaru:
)Tarctg(jr e.
TK)j(F
ωπ
ωωω
+−
+= 2
221
Frekvenční přenos v decibelech:
22
221202020
120 TloglogKlog
TKlogF r
rdB ωω
ωω+−−=
+=
Amplitudová frekvenční charakteristika má jeden zlom, který je roven hodnotě
1/T a rovnice asymptot jsou tyto:
1. asymptota: ωlogKlogF rdB 2020 −≅ sklon -20dB/dek
2. asymptota: ωlogTKlogF r
dB 4020 −≅ sklon -40dB/dek
Přechodová charakteristika:
y
tT
ideáln
í
reálný
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině:
Re-Re
-Im
Im0ω= 8
ω=0
ω
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 31 --------------
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
FdB
ϕ
-20dB/dek
-40dB/dek
ωL=1/T
kmitočetlomu
-90o
-135o
-180o
3.3. DERIVAČNÍ SYSTÉMY
Diferenciální rovnice nabývá tvaru
dt
)t(dxb)t(yadt
)t(dya.....dt
)t(ydadt
)t(yda n
n
nn
n
n 1011
1
1 =++++−
−
−
3.3.1. DERIVAČNÍ ČLEN 1. ŘÁDU (IDEÁLNÍ DERIVAČNÍ ČLEN)
Výstupní signál je úměrný derivaci vstupního signál.
DFR dt
)t(dxb)t(ya 10 =
Úprava pomocí Laplaceovy transformace:
)p(pXb)p(Ya 10 =
Operátorový přenos odvodíme takto:
0
1
apb
)p(X)p(Y)p(F ==
pK)p(F d=
kde Kd je derivační konstanta.
Frekvenční přenos ωω jK)j(F d=
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 32 --------------
Jedná se vlastně o složkový tvar přenosu.
Frekvenční přenos vyjádříme také v exponenciálním tvaru:
2π
ωωj
d e.K)j(F =
Frekvenční přenos v decibelech:
ωω logKlogKlogF dddB 202020 +==
Logaritmická amplitudová charakteristika je tvořena jedinou asymptotou se
sklonem +20dB/dek.
Přechodová charakteristika
y
t
Diracůvimpuls
0
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině
Re-Re
-Im
Im
0
ω= 8
ω=0
ω
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 33 --------------
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
FdB
+20dB/dek
20logKd
ϕ
0o
90o
180o
3.3.2. DERIVAČNÍ ČLEN 1. ŘÁDU SE SETRVAČNOSTÍ (REÁLNÝ DERIVAČNÍ ČLEN)
DFR dt
)t(dxb)t(yadt
)t(dya 101 =+
Úprava pomocí Laplaceovy transformace:
)p(pXb)p(Ya)p(pYa 101 =+
Operátorový přenos: 1
0
1
0
1
01
1
+=
+==
paa
pab
apapb
)p(X)p(Y)p(F
pT
K)p(F D
+=
1
Frekvenční přenos: T.j
jK)j(F D
ωω
ω+
=1
Frekvenční přenos upravený do složkového tvaru:
2222
2
11 TK.j
TTK)j(F DD
ωω
ωω
ω+
++
=
Frekvenční přenos upravený do exponenciálního tvaru:
)Tarctg(jD e.
TK)j(F
ωπ
ω
ωω
−
+= 2
221
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 34 --------------
Frekvenční přenos vyjádřený v decibelech:
22
221202020
120 TloglogKlog
TKlogF D
ddB ωω
ω
ω+−+=
+=
Amplitudová frekvenční charakteristika má jeden zlom, který je roven hodnotě
1/T, a je tvořena dvěma asymptotami.
1. asymptota: ωlogKlogF DdB 2020 +≅ sklon +20dB/dek
2. asymptota: TKlogF D
dB 20≅ sklon 0dB/dek
Přechodová charakteristika
y
t0
KD/T
T
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině
Re-Re
-Im
Im
0ω=
8
ω=0
ω
KD/T
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 35 --------------
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-300o
90o
45o
ωL
ϕ
FdB
20logKD/T+20dB/dek
3.4. ČLEN S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM
Při posuzování dynamických vlastností typových prvků předpokládáme, že
vstupní i výstupní veličina se začaly měnit ve stejném okamžiku t = 0. Jestliže se
však vstupní veličina začíná měnit se zpožděním τ (tj. její změna započne
v čase t = τ ), uvažujeme tzv. dopravní zpoždění.
Chování tohoto členu popisuje rovnice
)t(x)t(y τ−=
Operátorový přenos: τpe)p(F −=
Frekvenční přenos: ωτω je)j(F −=
Tento frekvenční přenos je vlastně v exponenciálním tvaru.
Přenos v decibelech : 0120 == logFdB
Přechodová charakteristika:
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 36 --------------
t
y
0
1
τ
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině:
Re-Re
-Im
Im
0
ω=0
1
1
-1
-1
ω
Frekvenční charakteristika má tvar jednotkové kružnice, začíná v bodě 1 na
kladné reálné poloose.
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 37 --------------
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
FdB
ϕ
0o
-90o
-180o
Dopravní zpoždění nemá vliv na amplitudu (FdB=0), působí pouze na fázový
posun → fáze narůstá až do . ∞−
4. BLOKOVÁ ALGEBRA
Pro vnější popis dynamického systému lze užít blokového schématu. V
kybernetice se však často setkáváme se složitými zařízeními, které se skládají z řady
dynamických systémů, členů, určitým způsobem spojených a my potřebujeme znát
přenosy (přenosové funkce) těchto zařízení (obvodů). Pravidla, podle nichž
vytvoříme přenosy větších celků, nazýváme blokovou algebrou. V blokové algebře
platí zákon komutativní a asociativní (při výpočtu můžeme zaměnit pořadí
jednotlivých členů) a princip superpozice jen při dodržení těchto podmínek:
- všechny členy v blokovém schématu jsou lineární
- jednotlivé členy se nesmějí navzájem ovlivňovat, tzn. signál postupuje pouze
ve směru šipek.
Existují tři základní způsoby blokového spojení dynamických systémů:
a) sériové spojení
b) paralelní spojení
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 38 --------------
c) antiparalelní (zpětnovazební) spojení
Probereme podrobně tyto jednotlivé způsoby spojení.
4.1. SÉRIOVÉ SPOJENÍ
Je to takové zapojení, při kterém výstupní veličina předcházejícího členu je
vstupní veličinou následujícího - viz. obr. Hledáme výsledný přenos zapojení. Platí:
F1 F2x y z Fx z
)p(X)p(Y)p(F =1
)p(Y)p(Z)p(F =2 )p(F).p(F
)p(F)p(Y
)p(Y).p(F)p(X)p(Z)p(F 21
1
2 ===
)p(F).p(F)p(X)p(Z)p(F 21==
Přenos sériového zapojení je roven součinu přenosů jednotlivých členů.
)p(F).p(F)p(F 21=
4.2. PARALELNÍ SPOJENÍ
Je to takové zapojení, při kterém máme jednu vstupní veličinu pro oba členy a
výstupní veličiny jednotlivých bloků se sčítají. Opět hledáme výsledný přenos.
F1
F2
Fx zx
x
x
y1
y2
z
)p(X)p(Y)p(F 1
1 = )p(X)p(Y)p(F 2
2 = )p(Y)p(Y)p(Z 21 +=
[ ])p(F)p(F)p(X)p(Z)p(F).p(X)p(F).p(X)p(Z 2121 +=⇒+=
)p(F)p(F)p(X)p(Z)p(F 21 +==⇒
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 39 --------------
Přenos paralelního spojení je roven součtu přenosů jednotlivých členů.
)p(F)p(F)p(F 21 +=
4.3. ZPĚTNOVAZEBNÍ (ANTIPARALELNÍ) SPOJENÍ
Je to takové zapojení dvou členů, kdy se výstupní veličina zapojení vede zpět
na vstup, kde se přičítá (nebo též odečítá) ke vstupnímu signálu.
Kladná zpětná vazba - výstupní signál se ke vstupu přičítá
F1
F2
x y z
u
Fx z
)p(Z)p(U
)p(Z)p(X
)p(Z)p(Y
+=
⇒ ⇒+= )p(F)p(F)p(F 2
1
11 )p(F)p(F
)p(F)p(F21
1
1 −=
Záporná zpětná vazba - výstupní signál se od vstupu odečítá
F1
F2
x y z
u
Fx z
)p(F)p(F
)p(F)p(F21
1
1 +=
Při zpětnovazebním zapojení je výsledný přenos dán zlomkem, kde v čitateli je
tzv. přenos přímé větve a ve jmenovateli jedna plus (pro kladnou zpětnou vazbu
minus) součin přenosu přímé větve a zpětné vazby.
Z uvedených vztahů lze odvodit pravidlo:
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 40 --------------
Přenos odvodíme obdobně jako
pro kladnou zpětnou vazbu.
Celkový přenos přímé větve
Pro veličiny na obr. platí:
)p(U)p(X)p(Y)p(Z).p(F)p(U)p(Y).p(F)p(Z
+===
2
1
celkový přenos zpětnovazebního
spojení - (kladná zpětná vazba) součin celkového přenosu
+ (záporná zpětná vazba) přímé větve a zpětné 1
4.4. ŘEŠENÍ PŘEKŘÍŽENÝCH VAZEB
Znalost blokové algebry - tj. tří základních zapojení - nám umožní řešit
přenosy složitých zapojení a stanovit výsledný přenos zapojení. Nestačí však při
řešení případů s tzv. překříženými vazbami. Tam musíme použít pravidla na
přemístění bodu rozvětvení a pravidla na přemístění místa sumace a komutativní a
asociativní pravidlo.
4.4.1. PRAVIDLO NA PŘEMÍSTĚNÍ MÍSTA ROZVĚTVENÍ
- přemístění rozvětvovacího místa před blok
F(p) F(p)
F(p)y y
- přemístění rozvětvovacího místa za blok
F(p)
y
F(p)
y 1/F(p)
4.4.2. PRAVIDLO NA PŘEMÍSTĚNÍ MÍSTA SUMACE
přemístění součtového uzlu za blok
-
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 41 --------------
F(p)
F(p)
F(p)
- přemístění součtového uzlu před blok
1/F(p)
F(p)F(p)
4.4.3. KOMUTATIVNÍ A ASOCIATIVNÍ PRAVIDLO
Při sumaci nezáleží na pořadí sumace a vstupy je možno sdružovat.
a yaya
b
c
yay
c bcb cb
4.4.4. PŘÍKLAD Č. 1
Určete výsledný přenos zapojení podle obr. na základě pravidel o sériovém,
paralelním a zpětnovazebním zapojení.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 42 --------------
F1(p)
F2(p)
x F3(p) F4(p)
F5(p)
F6(p)
y
Řešení: [ ][ ] [ ])p(F)p(F)p(F)p(F)p(F
)p(F).p(F)p(F)p(F)p(F65321
4321
1 ++++
=
4.4.5. PŘÍKLAD Č. 2
Určete výsledný přenos zapojení podle obr. za použití pravidel o přemístění
místa rozvětvení a místa sumace.
F1(p)x F2(p) F3(p) F4(p) F7(p)
F5(p)
F6(p)
Řešení:
)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F
)p(F64353274321
74321
1 +++=
4.4.6. PŘÍKLAD Č. 3
Určete výsledný přenos zapojení podle obr.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 43 --------------
yF1(p)
x F2(p) F3(p)
F4(p)
F5(p)
Řešení: )p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F
)p(F)p(F)p(F)p(F432521
321
1 ++=
4.4.7. PŘÍKLAD Č. 4
Vypočítejte ekvivalentní přenos blokového zapojení na obrázku.
F1(p) F2(p)x
F3(p) F4(p)
F5(p) F6(p)
y
F7(p)
Řešení:
)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F)p(F
654321732643521
40321
1 ++++=
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 44 --------------
5. HLAVNÍ DRUHY PŘENOSŮ V REGULAČNÍM OBVODU
Při posuzování chování regulačních obvodů používáme často zjednodušené
schéma regulačního obvodu:
RegulátorRegulo-
vanásoustava
x - regulovanáveličinaw e = w-x
x
u (poruchy)
y
V teorii automatického řízení mají velký význam základní přenosové funkce
systému. Vyjdeme ze zjednodušeného blokového schématu uvedeného na
předchozím obrázku (uvažujeme jednotkovou zápornou zpětnou vazbu).
Přenos regulované soustavy: F p X pY p U ps ( ) ( )
( ) ( )=
+
Pro nulové poruchy U(p)=0 F p X pY ps ( ) ( )
( )=
Přenos regulátoru: F p Y pE pR ( ) ( )
( )=
popřípadě F p Y pW p X pR ( ) ( )
( ) ( )=
−
Ve spojitých lineárních systémech můžeme definovat tyto základní druhy
přenosů: - přenos otevřeného obvodu
- přenos uzavřené smyčky
5.1. PŘENOS OTEVŘENÉHO OBVODU FO
FS
w yFR
xe
(ZV přerušena) - předpokládáme U(p)=0
)p(F).p(F)p(E)p(X
)p(W)p(X)p(F sR===0
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 45 --------------
5.2. PŘENOSY UZAVŘENÉ SMYČKY
5.2.1. PŘENOS ŘÍZENÍ
Předpoklad: U(p)=0 )p(F).p(F
)p(F).p(F)p(W)p(X)p(F
SR
SRw 1
=+
==
F p F pF pw ( ) ( )
( )=
+0
01
5.2.2. PŘENOS ODCHYLKY
Přenos regulační odchylky je definován rovněž pro U(p)=0:
Schéma je vhodné si překreslit takto:
w
eFRFS
x y
e
)p(F)p(F).p(F)p(W
)p(E)p(FSR
E011
11
+=
+==
5.2.3. PŘENOS PORUCHY
Přenos poruchy je definován pro W(p)=0:
Schéma je vhodné si překreslit takto:
uFS
FR
x
y
)p(F
)p(F)p(F).p(F
)p(F)p(U)p(X)p(F S
SR
Su
011 +=
+=
∆=
Poznámka: 1+F0(p) = 0 je charakteristická rovnice systému, kde
F0(p) je přenos otevřené smyčky.
1+F0(p) je charakteristický polynom
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 46 --------------
6. REGULÁTORY
Regulátor je řídícím systémem, kterým se uskutečňuje regulace, tj. řízení
regulované soustavy. Regulátory můžeme dělit podle různých hledisek. Podle
dodávané energie k regulaci je dělíme na přímé (direktní) a nepřímé (indirektní).
Přímé regulátory využívají ke své činnosti energie regulované soustavy. Přímé
regulátory se dne využívají většinou jenom jako stabilizátory - příkladem je
stabilizace neboli regulace výšky hladiny v nádrži podle obr.
plovák
w (řídící veličina)
y (akční veličina)
xregulovaná
veličina (výškahladiny)
u (poruchováveličina)
Naproti tomu nepřímé regulátory potřebují ke své činnosti přívod energie z
pomocného zdroje.
Dále se budeme zabývat pouze nepřímými regulátory, která zahrnují v
současné spojité regulaci převážnou část regulace.
Podle druhu energie, která je nositelem jak informace, tak je nutná k činnosti
regulátoru, dělíme regulátory na elektrické, pneumatické, mechanické, hydraulické a
kombinované.
Podle toho, v jakém tvaru je signál zpracován, dělíme regulátory na analogové
nebo číslicové.
Je-li závislost regulované veličiny na řídící veličině lineární, jsou vlastnosti
regulátoru popsány lineární diferenciální rovnicí, jde o lineární regulaci. Je-li tato
závislost výstupu na vstupu nelineární, je diferenciální rovnice regulátoru nelineární,
jde také o nelineární regulaci.
V této příručce se budeme zabývat výhradně lineárními analogovými
regulátory.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 47 --------------
6.1. LINEÁRNÍ ANALOGOVÉ REGULÁTORY
Vstupní veličinou regulátoru je regulační odchylka e(t) a výstupní veličinou je
akční veličina y(t). Výstupní veličina y působí spolu s poruchou u na regulovanou
soustavu.
RegulátorFR(p)
e(t)
E(p)
y(t)
Y(p)
Přenos regulátoru je tedy určen )p(E)p(Y)p(FR =
Podle toho, jak regulátor zpracovává vstupní regulační odchylku,
rozeznáváme tyto základní typy regulátoru:
1. proporcionální regulátory - P regulátory
2. integrační regulátory - I regulátory
3. derivační regulátory - D regulátory
a dále kombinované (sdružené) regulátory
4. proporcionálně-integrační PI regulátory
5. proporcionálně-derivační PD regulátory
6. proporcionálně-integračně-derivační PID regulátory
6.1.1. PROPORCIONÁLNÍ REGULÁTOR
Zkráceně P regulátor. Tento regulátor pouze zesiluje a má statický charakter
výstupní veličiny. Akční veličina je úměrná regulační odchylce.
Ideální P regulátor popisuje rovnice
)t(e.K)t(y r=
Přenos získáme po úpravě pomocí Laplaceovy transformace:
rR K)p(E)p(Y)p(F ==
kde Kr označuje zesílení regulátoru
Tento přenos odpovídá přenosu statického členu 0. řádu a rovněž tak
charakteristiky odpovídají tomuto typovému členu.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 48 --------------
Skutečné regulátory mají vždy určité přístrojové zpoždění. Regulátory se
setrvačností 1. a vyšších řádů jsou popsány takto:
1. řád: 11 pT
K)p(F rR +
=
2. řád: )pT)(pT(
K)p(F rR
21 11 ++=
3. řád: )pT)(pT)(pT(
K)p(F rR
321 111 +++= atd.
Seřízení: Jediným parametrem, jehož nastavením měníme seřízení
proporcionálního regulátoru, je zesílení Kr.
Proporcionální regulátor neodstraní zcela odchylku regulované veličiny, pouze
ji sníží. Největší odchylka odpovídá největší změně akční veličiny.
Přechodové a frekvenční charakteristiky - viz. statické typové členy.
6.1.2. INTEGRAČNÍ REGULÁTOR
Tento regulátor označujeme zkráceně jako I regulátor. U ideálního
integračního regulátoru je výstupní (tj. akční) veličina úměrná integrálu vstupní
veličiny (tj. regulační odchylky). Můžeme také říci, že výstupní veličina se mění
rychlostí úměrnou velikosti regulační odchylky. Chování integračního regulátoru
popisuje rovnice:
∫= dt)t(e.K)t(y i
Po úpravě Laplaceovou transformací získáme přenos I regulátoru:
p
K)p(F iR =
kde Ki je integrační (rychlostní) konstanta.
Tento přenos odpovídá přenosu astatického členu 1. řádu a rovněž tak
charakteristiky odpovídají tomuto typovému členu.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 49 --------------
Skutečné regulátory mají vždy určité přístrojové zpoždění. Akční veličina se
nerozbíhá konstantní rychlostí již v počátku, ale teprve po určité době. Regulátory
se setrvačností 1. a vyšších řádů jsou popsány takto:
1. řád: )pT(p
K)p(F iR +
=1
tj. reálný integrační člen
2. řád: )pT)(pT(p
K)p(F iR
21 11 ++= atd.
Seřízení: Jediným parametrem, jehož nastavením měníme seřízení
integračního regulátoru, je integrační (rychlostní) konstanta Ki. Je to rychlost akční
veličiny při jednotkové regulační odchylce. V praxi se vyskytují integrační regulátory
1. popřípadě 2. řádu.
Integrační regulátor zcela odstraní regulační odchylku, je však s většinou
regulovaných soustav (s astatickými soustavami vždy) nestabilní.
Přechodové a frekvenční charakteristiky - viz. astatické typové členy.
6.1.3. DERIVAČNÍ REGULÁTOR
Derivační regulátory se dají použít samostatně pouze jako zpětnovazební
regulátory v tzv. vnitřní zpětné vazbě regulačního obvodu. V přímé větvi regulačního
obvodu derivační regulátor samostatně nelze použít, neboť výstupní veličina
regulátoru je nenulová jen tehdy, když se vstupní veličina e(t) mění. Pro konstantní
regulační odchylku e(t) = konst. je derivace této veličiny nulová a tedy akční veličina
y(t)=0 a nedochází k regulačnímu pochodu. Je však možné přidávat derivační složku
k jiným typům regulátorů - tím vznikají kombinované regulátory.
Ideální D regulátor je popsán rovnicí
dt
)t(deK)t(y d=
Výstupní veličina je úměrná derivaci veličiny vstupní; akční veličina je úměrná
rychlosti změny regulační odchylky.
Po úpravě Laplaceovou transformací získáme přenos I regulátoru:
p.K)p(F dR = kde Kd je derivační konstanta.
Tento přenos odpovídá přenosu derivačního ideálního členu a rovněž tak
charakteristiky odpovídají tomuto typovému členu.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 50 --------------
Skutečné regulátory mají vždy určité přístrojové zpoždění. Regulátory se
setrvačností 1. a vyšších řádů jsou popsány takto:
1. řád: pTp.K)p(F d
R +=
1 tj. reálný derivační člen
2. řád: )pT)(pT(
p.K)p(F dR
21 11 ++= atd.
Seřízení: Jediným parametrem, jehož nastavením měníme seřízení
derivačního regulátoru, je derivační konstanta Kd.
Přechodové a frekvenční charakteristiky - viz. derivační členy.
6.1.4. PROPORCIONÁLNĚ INTEGRAČNÍ REGULÁTOR
Proporcionálně integrační neboli PI regulátory vznikají paralelním spojení P a I
regulátoru.
P
I
e y
Přenos ideálního PI regulátoru obdržíme podle pravidla paralelního zapojení v
blokové algebře sečtením přenosu ideálního proporcionálního a přenosu ideálního
integračního regulátoru jako
p
KK)p(F iRR +=
Tento vztah můžeme upravit následovně:
p.Tp.TK)
pT(K)
pKK(K)p(F
i
iR
iR
R
iRR
+=+=+=
1111 kde i
Ri K
KT =
Přechodová charakteristika:
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 51 --------------
y(t)
tTi
KR
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině:
Im
Re0
ω
ω=∞Kr
Přenos v decibelech:
221202020 TlogTlogKlogF iidB ω++ω−=
Fázový posun:
iTarctgω+−=ϕ 090
LAFCH: - kmitočet zlomu i
L T1
=ω
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 52 --------------
1. asymptota: ω−=ω−≅ logTKlogTlogKlogF
i
iiidB 20202020 -20dB/dek
Pro 1=ω platí i
idB T
KlogF 20=
2. asymptota: iiiidB KlogTlogTlogKlogF 20202020 =ω+ω−= 0dB/dek
LFFCH: iTarctgω+−=ϕ 090
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
FdB
ϕ
ωL
-20dB/dek
0o
-45o
-90o
PI regulátor v sobě spojuje výhody rychlé odezvy na změny regulační
odchylky (v P složce) s možností regulovat statické soustavy přesně, tedy s nulovou
regulační odchylkou (I složka).
Seřízení: U těchto regulátorů se nastavují dva parametry, a to zesílení a
integrační konstanta.
Interakce: U kombinovaných regulátorů, kde můžeme nastavovat při
seřizování více parametrů, se může vyskytovat tzv. interakce. Jestliže při změně
nastavení jednoho parametru se ostatní parametry nezmění, jedná se o regulátor
bez interakce, v opačném případě má regulátor interakci, která stěžuje správné
seřízení. Regulátory s interakcí bývají konstrukčně jednodušší.
PI regulátor se setrvačností 1. řádu má přenos ve tvaru
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 53 --------------
TTkde)pT(p.T
p.TK)p(F ii
iRR >
++
=1
1
6.1.5. PROPORCIONÁLNĚ DERIVAČNÍ REGULÁTOR
Proporcionálně derivační neboli PD regulátor je tvořen paralelní kombinací P a
D regulátoru:
P
D
e y
Přenos ideálního PD regulátoru obdržíme podle pravidla paralelního zapojení
v blokové algebře sečtením přenosu ideálního proporcionálního a přenosu ideálního
derivačního regulátoru jako
pTK)p(F dRR +=
Tento vztah upravíme následovně:
R
dDDRR K
TT)pT(K)p(F =+= 1 kde
Přechodová charakteristika:
y(t)
t
KR
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině:
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 54 --------------
Im
Re0
ω
ω=0
KR
Přenos v decibelech:
2212020 DRdB TlogKlogF ω++=
Fázový posun: DTarctgω=ϕ
LAFCH:
Kmitočet zlomu: D
L T1
=ω
1. asymptota: RdB KlogF 20≅
2. asymptota: ω+=ω+≅ logT.KlogTlogKlogF DRDRdB 20202020
LFFCH: DTarctgω=ϕ
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
0o
90o
45o
ωL
ϕ
FdB
20logKR
+20dB/dek
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 55 --------------
Seřízení: U těchto regulátorů se nastavují dva parametry, a to zesílení a
derivační konstanta. Stejně jako PI mohou být i tyto regulátory s interakcí nebo bez
interakce.
Skutečný PD regulátor se setrvačností prvého řádu má přenos ve tvaru:
pT
)p.T(K)p(F DRR +
+=
11 kde T je setrvačná (časová ) konstanta, (TD>T)
6.1.6. PROPORCIONÁLNĚ INTEGRAČNĚ DERIVAČNÍ REGULÁTOR
Proporcionálně integroderivační neboli PID regulátory obsahují všechny tři
složky, tedy proporcionální, integrační a derivační. PID regulátor je vytvořen
paralelním spojením P, I a D složek.
P
I
D
e y
Použijeme-li ideální P, I, D složky v paralelní zapojení, obdržíme ideální PID
regulátor, jehož přenos je
p
Kp.TK)p(F idRR ++=
Přenos můžeme upravit například do tvaru:
)p.Tp.T
(K)p(F Di
RR ++=11
Přechodová charakteristika:
y(t)
tTi
KR
0
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 56 --------------
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině:
Im
Re0
ω
ω=0
Kr
Pro kreslení charakteristik LAFCH a LFFCH v logaritmických souřadnicích je
vhodné přenos přepočítat do tvaru
pT
)pT)(pTl(K)p(Fi
RR
21 1 ++=
Odtud můžeme určit přenos v decibelech:
22
221
2 1201202020 TlogTlogTlogKlogF iRdB ω++ω++ω−=
Fázový posun: 21090 TarctgTarctg ω+ω+−=ϕ
LAFCH:
Kmitočty zlomu mají hodnoty:
1
11
TL =ω a 2
21
TL =ω volíme T1 > T2 ⇒ωL1 < ωL2
1. asymptota: ω−= logTKlogF
i
RdB 2020 pokles -20db/dek
2. asymptota: i
RdB T
TKlogF 120=
3. asymptota: ω+= logT
TTKlogFi
RdB 2020 21 sklon +20dB/dek
LFFCH: 21090 TarctgTarctg ω+ω+−=ϕ
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 57 --------------
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
+20dB/dek-20dB/dek
ωL1 ωL2
0o
-90o
90o
ϕ
FdB
Seřízení: U těchto regulátorů se nastavují tři parametry, a to zesílení,
derivační a integrační konstanta. Stejně jako ostatní složené regulátory mohou být i
tyto regulátory s interakcí nebo bez interakce.
V praxi realizujeme PID regulátor se setrvačností. Skutečný PID regulátor se
setrvačností prvého řádu má přenos např. ve tvaru:
pT
)pTpT
(K)p(F
Di
R
R +
++=
1
11
6.2. REALIZACE REGULÁTORŮ
Hlavní pozornost budeme věnovat realizacím elektrickým (realizují se např. i
regulátory pneumatické). Elektrické regulátory můžeme realizovat jako:
- pasivní
- aktivní
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 58 --------------
6.2.1. REGULÁTORY PASIVNÍ
Pasivní regulátory jsou sestaveny z pasivních součástek - odporů a
kondenzátorů. Vyhoví v méně náročných aplikacích. Tyto členy, nazývané také
korekční, jsou svou jednoduchostí velmi výhodné.
6.2.1.1.PASIVNÍ P REGULÁTOR
R1
R2U1 U2
Pokuste se nakreslit charakteristiky pro tento typ regulátoru.
RKRR
R)p(U)p(U)p(F =
+==
21
2
1
2
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
-10
-20
0o
-Re
-Im
Im
0
t
y
0
Přechodová charakteristika Frekvenční charakteristika
LAFCH a LFFCH
6.2.1.2.PASIVNÍ I REGULÁTOR
pTpCRpC
R
pC)p(U)p(U)p(F
+=
+=
+==
11
11
1
1
1
2 R
U1 U2C
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 59 --------------
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
-10
-20
0o
-Re
-Im
Im
0
t
y
0
Přechodová charakteristika Frekvenční charakteristika
LAFCH a LFFCH
6.2.1.3.PASIVNÍ D REGULÁTOR
RU1 U2
C
pTpK
pCRpCR
pCR
R)p(U)p(U)p(F
+=
+=
+==
1111
2
kde K = T = RC
Re-Re
-Im
Im
0
t
y
0
Přechodová charakteristika Frekvenční charakteristika
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 60 --------------
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
-10
-20
0o
LAFCH a LFFCH
6.2.1.4.PASIVNÍ PI REGULÁTOR
CR1
R2U1 U2
2
1
1
2
11
pTpT
)p(U)p(U)p(F
++
==
kde T1 = CR2
a T2=(R1+R2)C
Re-Re
-Im
Im
0
t
y
0
Přechodová charakteristika Frekvenční charakteristika
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 61 --------------
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
-10
-20
a LFFCH
6.2.1.5.PASIVNÍ PD REGULÁTOR
LAFCH
11
2
11
pT)pT(K
)p(U)p(U)p(F
++
==
R2U1 U2
R1
C
kde 21
2
RRRK+
=
a T=CR1
a T1=KT
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
-10
-20
Re-Re
-Im
Im
0
t
y
0
Přechodová charakteristika Frekvenční charakteristika
LAFCH a LFFCH
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 62 --------------
6.2.1.6.PASIVNÍ PID REGULÁTOR
C2R1
R2U1 U2
C1
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
-10
-20
10
20
10
20
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 63 --------------
6.2.1.6.PASIVNÍ PID REGULÁTOR
C2R1
R2U1 U2
C1
)pT)(pT()pT)(pT(
)p(U)p(U)p(F
43
21
1
2
1111
++++
==
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
-10
-20
Re-Re
-Im
Im
0
t
y
0
Přechodová charakteristika Frekvenční charakteristika
6.2.2. REGULÁTORY AKTIVNÍ
Jádrem regulátoru je stejnosměrný zesilovač s velmi vysokým napěťovým
zesílením, s velmi vysokým vstupním odporem a s nízkým výstupním odporem. Jeho
zesílení navíc nesmí záviset na frekvenci.
Zesilovače s těmito vlastnostmi se nazývají operační a vyrábí se výhradně
jako integrované obvody a jejich vlastnosti můžeme považovat za ideální, tj.
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−±
+= 2
21
212143
4112 aTT
TTaTTT ,
kde T1T2 = T3T4
T1 = R1C1
T2 =
kde 2
21
RRRa +
=
LAFCH a LFFCH
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 63 --------------
nekon ení, nekonečně velký vstupní odpor a nulový
výstupní odpor. Pro realizaci regulátorů je používáme v invertujícím zapojení.
6.2.2.1.AKTIVNÍ P REGULÁTOR
ečně velké napěťové zesíl
U1 U2
R1
R2
1
2
1
2
RR
)p(U)p(U)p(FR −==
6.2.2.2.AKTIVNÍ I REGULÁTOR
U1 U2
R
C
6.2.2.3.AKTIVNÍ D REGULÁTOR
iR pTpCR)p(U
)p(U)p(F 11
1
2 =−==
DR pKpCR
pC
R)p(U)p(U)p(F −=−=−==
11
2
∑=
−=n
ii
iV U
RR)p(U
1
0
U1 U2
RC
6.2.2.4.SUMÁTOR
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 64 --------------
Uv
R1
R0
R2
Rn
U2
U1
Un
Často volíme stejné hodnoty odporů sumátoru: R1 = R2 =...Rn= R0.
.2.2.5.AKTIVNÍ PI REGULÁTOR6
U1
R1
R2
R3
C
U2
R0
R
Rb
a
i
Rba
R pTK
RpCRR
RRRR)p(F 1
3
0
1
02 +=+=
Volíme-li stejné hodnoty odporů sumátoru Ra = Rb = R0 dostane:
i
RR pTK
pCRRR)p(F 11
31
2 +=+=
6.2.2.6.AKTIVNÍ PD REGULÁTOR
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 65 --------------
U1
R1
R2
R3
C
U2
R0
Ra
Rb
DRba
R pTKR
RpCRRRRR)p(F +=+= 03
1
02
Volíme-li Ra = Rb = R0 dostaneme přenos ve tvaru:
DRR pTKpCRRR)p(F +=+= 3
1
2
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 66 --------------
6.2.2.7.AKTIVNÍ PID REGULÁTOR
U1
R2
R1
R3
C1
U2
R0
Ra
Rb
R4
Rc
C2
Di
Rcba
R pTpT
KR
RRpCRRpC
RRRRR)p(F ++=++=
1042
31
0
1
02
Volíme-li stejné hodnoty odporů Ra = Rb = R0 dostaneme přenos:
Di
RR pTRpCR 42311
pTKRpCR)p(F ++=++=112
OVAZEBNÍ REG LÁTORY
o obvodu
vnitřní zpětná vazba
6.3. ZPĚTN U
Dle umístění v regulačním obvodu rozeznáváme dva druhy zpětných vazeb:
- hlavní (vnější) zpětná vazba (přivádí signál z výstupu regulačního obvodu
zpět
na vstup regulačníh
-
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 67 --------------
REGULÁTOR FR(p)
F(p)
Fz(p)
e(t) y(t)
Vnitřní ZV
Regulo-
avaná
soustavx
w(t) x(t) - regulovanáveličina
Vnější ZV
vlastnost e dva dr azeb:
á ZV vi en
poddajná ZV - frekvenčně závislá (používají se výhradně derivační členy,
čností, NIKDY nepoužívají se integrační členy)
Dle í rozeznávám uhy zpětných v
- tuh - frekvenčně nezá slá (tj. zpětnovazební př os proporcionální)
-
případně členy se setrva
Z uvedeného schématu můžeme odvodit přenos regulátoru F (p): R
F pF p F pR
z
( )( ) ( )
=+1
Použijeme-li jako člen
F p( )
v přímé větvi F(p) operační zesilovač, jehož zesílení
(přenos) se blíží nekonečnu, pak platí:
F pF pR ( )
( )=
1 z
řenos regulátoru e tedy určen převrácenou hodnotou přenosu
zpětnovazebního členu. Na základě tohoto poznatku můžeme realizovat tzv.
zpětnovazební regulátory, jejichž dynamické jsou dány (generovány) vnitřní
zápornou zpětnou vazbou.
čena dle údajů v následující tabulce.
Generovaný
regulátor typu
Celkový přenos
regulátoru FR(P)
Přenosový člen v záporné
zpětné vazbě Fz(p)
Charakter členu ve
zpětné vazbě
Celkový p
Realizace regulátoru je ur
P KR KR-1 proporcionální
I 1/pTi pTi derivační
PI KR(1+1/pTi) pTi/[KR(1+pTi)] derivační se setrv.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 68 --------------
PD KR(1+pTD) 1/[KR(1+pTD)] setrvačný
PID K (1+1/pT +pT ) pTi/[K (1+pT +p2T T )] derivační se setrv. 2.ř.R i D R i i D
Z této tabulky je zřejmé:
- integrační složka se realizuje pomocí derivační záporné ZV
- proporcionálně-derivační složka se získá pomocí setrvační záporné ZV
ě-integrační složka se získá pomocí derivační setrvační ZZV
V se
e zpětnovazebních regulátorech se tedy využívají derivační regulátory, které
v přím
- proporcionáln
- proporcionálně-integračně-derivační účinek získáme derivační ZZ
setrvačností 2. řádu.
V
é větvi regulační obvodu nelze použít (viz. kapitola 6.1.3).
7. REGULOVANÉ SOUSTAVY
Regulovaná soustava je z kybernetického hlediska řízeným objektem. Na jejím
vstupu ůžeme zakreslit takto: působí akční veličina a veličina poruchová, což m
Regulovanásoustava
FS(p)
x(t)
X(p)
y(t)
Y(p)
u(t)U(p)
odle počtu regulovaných veličin dělíme regulované soustavy na
jednorozměrné (1 regulovaná veličina)
P
-
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 69 --------------
- mnohorozměrné (více regulovaných veličin)
ulované soustavy dělíme na
- astatické soustavy
Statické regulované soustavy jsou charakteristické tím, že po skokové změně
vstupn veličiny)) přejde regulovaná veličina do
novéh
u úměra, vyjádřená koeficientem zesílení soustavy
(součin
eální, neobsahují žádnou energetickou kapacitu, nemají
proto schopnost hromadit hmotu ani energii a výstupní veličina je v každém okamžiku
úměrná velič změnu ihned, bez zpoždění
nebo setrvač
Podle dynamických vlastností reg
- statické soustavy
- soustavy s dopravním zpožděním
7.1. STATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY
í veličiny (tj. akční nebo poruchové
o ustáleného stavu (tj. regulační veličina se sama ustálí na nové hodnotě) tzv.
autoregulace. (Uvažujeme regulovanou soustavu samotnou, vyjmutou z regulačního
obvodu).
Pro statické soustavy je charakteristické, že v ustáleném stavu platí mezi
vstupní a výstupní veličino
itel přenosu Ks).
7.1.1. BEZKAPACITNÍ STATICKÉ RS
Nazývají se také id
ině vstupní, reaguje tedy na každou její
nosti.
Soustava je popsána rovnicí )t(yb)t(xa 00 =
SS Kab
)p(Y)p(X)p(F ===
0
0 a z ní vyplývá přenos
kde KS - zesílení soustavy (součinitel přenosu statické soustavy)
(Pozn.: SK
1 je tzv. součinitel autoregulace)
praxi se s tímto typem soustav setkáváme jen zřídka. Za tento typ je možné
považo
V
vat operační zesilovač, odporový dělič.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 70 --------------
7.1.2. JEDNOKAPACITNÍ STATICKÉ RS
uje na změny vstupní veličiny pomaleji, se
setrva
Tyto soustavy mají jednu energetickou kapacitu, která umožňuje hromadit
energii nebo hmotu. Výstupní veličina reag
čností.
Vlastnosti uvedené soustavy lze vyjádřit matematicky pomocí lineární
diferenciální rovnice 1. řádu:
)t(yb)t(xadt
)t(dxa 001 =+
Lze odvodit operátorový přenos (prostřednictvím Laplaceovy transformace):
s
SS
Kb)p(F == 0 pTpaa ++ 110
icky pomocí lineární
diferenciální rovnice 2. řádu:
kde Ks - součinitel přenosu soustavy (zesílení)
Ts - setrvačná časová konstanta
7.1.3. DVOUKAPACITNÍ STATICKÉ RS
Vlastnosti uvedené soustavy lze vyjádřit matemat
)t(yb)t(xadt
)t(dxa)t(xda2
++)t(d
Přenos:
0012 =
21
22
2210
0
1 ss
SS TppT
Kpapaa
b)p(F++
=++
=
Soustava má dvě časové konstanty, obsahuje dvě energetické kapacity.
Přechodová charakteristika může mít kmitavý průběh.
7.1.4. VÍCEKAPACITNÍ STATICKÉ RS
Tyto soustavy obsahují více než dvě energetické kapacity. Přechodová
charakteristika může mít kmitavý průběh.
S rostoucím počtem energetických kapacit obsažených v soustavě roste řád
diferen odezvy výstupní veličiny x(t) na změny
vstupn
ciální rovnice a zmenšuje se rychlost
í veličiny y(t). Řádu soustavy odpovídá stupeň jmenovatele přenosu Fs(p).
)pT)...(pT)(pT(
K)p(F ss =
n+++ 111 21
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 71 --------------
Frekvenční charakteristiky statických soustav v komplexní rovině začínají na
kladné reálné poloose v bodě KS a probíhají tolika kvadranty, kolikátého je soustava
řádu (v záporném smyslu).
LAFCH začíná asymptotou s nulovým sklonem ve vzdálenosti 20logKs od osy
frekvence, poslední asymptota má sklon n(-20dB/dek), je-li n řád soustavy.
LFFCH začíná z hodnoty 00 a končí v hodnotě n(-900).
vé
nádoby, výměníky tepla apod. Tvoří v technické praxi většinu.
7.2. ASTATICKÉ REGULOVANÉ SOUSTAVY
Astatické regulované soustavy jsou charakteristické tím, že po skokové změně
vstupn á veličina trvale mění (roste
nebo klesá), pokud neuvažujeme její omezení dané konstrukcí soustavy.
Astatické soustavy tedy po vyvedení z původního ustáleného stavu
nezaujmou samy nový ustálený stav - jsou samy o sobě nestabilní (nemají
autoregulaci) - provozní stabilita se zajišťuje regulací.
samovolně neustálí na nové
hodnot , jak tomu bylo u statických soustav, ale odchylka od původního
rovnov
e u těchto soustavy
při skokové změně akční veličiny mění ihned a roste úměrně s časem.
Mezi statické regulované soustavy patří pece, generátory, motory, tlako
í (tj. akční nebo poruchové) veličiny se regulovan
U těchto soustav se tedy regulovaná veličina
ě
ážného stavu se neustále zvětšuje. Z toho vyplývá, že následky vzniklé
poruchou lze odstranit pouze pomocí regulátoru.
7.2.1. JEDNOKAPACITNÍ ASTATICKÉ RS
Mají jednu energetickou kapacitu. Regulovaná veličina s
Vlastnosti jednokapacitní astatické soustavy lze popsat pomocí diferenciální
rovnice:
)t(ybdt
a 01 (na levé straně rovnice chybí prostý člen)
Přenos
)t(dx=
pK
pab)p(F I
s ==1
0
kde 1
0
abKi = je rychlostní - integrační konstanta (součinitel přenosu)
Astatická soustava 1. řádu se chová jako ideální integrátor.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 72 --------------
7.2.2. DVOUKAPACITNÍ ASTATICKÉ RS
Tyto soustavy jsou popsány diferenciální rovnicí:
)t(ybdt
)t(dxadt
)t(xda 01
2
2 =+
)pT(pK
papab)p(F I
s +=
+=
120 Přenos:
s21
soustav v komplexní rovině začínají na
záporn
00).
mají sklon k nestabilitě. (Vyskytují
se v ob
kem a odtokem kapaliny při regulaci výšky hladiny, stranové
řízení vozidel, lodí, letadel apod. Astatické soustavy vyšších řádů mohou být
přetlumené či kmitavé.
) a
za soustavu astatickou, bereme-li jako regulovanou veličinu úhel natočení hřídele.
ŽDĚNÍM
dy nastala změna akční veličiny y. Tyto
soustavy nemají žádné dopravní zpoždění.
kde Ts - setrvačná časová) konstanta.
Frekvenční charakteristiky astatických
é imaginární poloose v bodě -∞ a probíhají (n-1) kvadranty (n je řád soustavy).
LAFCH začíná asymptotou s poklesem -20dB/dek, poslední asymptota má
sklon n(-20dB/dek), je-li n řád soustavy.
LFFCH začíná z hodnoty -900 a končí v hodnotě n(-9
Astatických soustav je v technické praxi ve srovnání s počtem soustav
statických méně. Astatické soustavy vyšších řádů se velmi obtížně řídí, zejména
proto, že regulační obvody, v nichž jsou obsaženy,
oru raketové techniky).
Typickým příkladem astatických soustav jsou turbiny, servomotory, motory a
elektromotory, jejichž výstupem je poloha nebo úhlové natočení (a nikoli otáčky),
nádrže s nuceným příto
Poznámka: Totéž zařízení může být statickou i astatickou soustavou. Záleží
jen na tom, která veličina se považuje za veličinu regulovanou. Tytéž motory
považujeme za statické soustavy, jestliže regulovanou veličinou je rychlost (otáčky
7.3. REGULOVANÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPO
Dosud uvažované soustavy měly všechny tu vlastnost, že regulovaná veličina
x se začínala měnit ve stejném okamžiku, k
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 73 --------------
V technické praxi se však u regulovaných soustav setkáme také s případy, kdy
mezi okamžikem zm
du. Změní se charakteristiky v
komplexní rovin ě frekvenční charakteristika. Nezmění se
logarit charakteristika. Dopravní zpoždění vždy ztěžuje
řízení
ění. Přenos soustavy s dopravním zpožděním získáme tedy tak,
když základní přenos stejné soustavy násobíme e-pτ, kde τ je dopravní
zpoždění. Například p ádu s dopravním zpožděním je:
7.3.2. A
DENTIFIKACE REGULOVANÝCH SOUSTAV
erátorového přenosu.
V zása
ěny akční veličiny y a okamžikem, kdy se začne měnit
regulovaná veličina x, uplyne časový interval, během něhož soustava nereaguje,
Tuto dobu nazýváme dopravní zpoždění a označujeme τ .
Dopravní zpoždění nemá vliv na amplitu
ě a logaritmická fázov
mická amplitudově frekvenční
soustavy; snažíme se je, kde to jde, potlačit.
Příkladem regulačních obvodů, u kterých se vyskytuje dopravní zpoždění, je
řízení vesmírných sond, kdy regulátor zůstává na zemi a regulovaná soustava je ve
vesmíru. Dopravní zpoždění je způsobeno konečnou rychlostí šíření signálu na
dlouhé spojovací cestě.
7.3.1. STATICKÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM
Považujeme v podstatě za sériové spojení statické soustavy a členu
dopravního zpožd
činitelem
řenos statické soustavy 0. řτ−= p
ss e.K)p(F
STATICKÉ SOUSTAVY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM
Výsledné přenosy těchto soustavy získáme stejným způsobem jako u
statických soustav s dopravním zpožděním.
7.4. I
Identifikace - určení vlastností a parametrů systému, v našem případě
regulované soustavy. Dynamickou identifikací rozumíme určení dynamických
vlastností, a to většinou ve formě diferenciálních rovnic nebo op
dě můžeme metody identifikace rozdělit na:
- analytické
- experimentální
Při analytické identifikaci vycházíme z konstrukčních údajů daného objektu a
podle fyzikálních a chemických zákonů sestavíme rovnice popisující vztahy mezi
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 74 --------------
veličinami v objektu (je to tzv. identifikace systému matematickofyzikální analýzou
objektu). Nevýhodou tohoto přístupu je, že vyžaduje důkladné znalosti příslušného
oboru, do kterého zkoumaný objekt patří, a získané výsledky jsou složité.
Při experimentální identifikaci systému určujeme vlastnosti objektu
rozborem průběhu vstupních a výstupních veličin objektu. Mezi experimentální
metody patří
- metoda frekvenčních charakteristik
- metoda přechodové charakteristiky
- identifikace pomocí modelů
armonický signál v požadovaném pásmu
frekve
vou veličinu a měříme za ustáleného
stavu poměr amplitudy výstupní a vstupní sinusovky a rozdíl jejich fází. Používáme
charakteristiky v logaritmických souřadnicích a při identifikaci vycházíme z průběhu
logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky (LAFCH).
K amplitudové charakteristice nakreslíme nejprve asymptoty. Přitom
postupujeme tak, že nejprve nakreslíme asymptoty pro ω→0, jejichž sklon je
0dB/dek, -20dB/dek, -40dB/dek podle řádu astatismu soustavy, pak asymptotu
pro ω→∞. Potom dokreslíme ostatní asymptoty se sklony 0dB/dek, ±20dB/dek,
±40dB/dek, ..., tak, aby na zlomech asymptot byla chyba od naměřené
charakteristiky při zlomu o 20 dB kolem 3dB, při zlomu o 40 dB kolem 6dB. Zlomy
asymptot určují převratné hodnoty časových konstant, a to při kladném zlomu v
polynomu čitatele přenosu, při záporném zlomu v polynomu jmenovatele. První
asymptota při ω=1 určuje hodnotu zesílení v decibelech. Podle asymptot amplitudové
charak
7.4.1. METODA FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK
Metoda frekvenčních charakteristik je jednou z nejstarších metod identifikace
a je vhodná pro soustavy, jejich časové konstanty nejsou příliš velké (řádově do
101s), u kterých jsme schopni realizovat h
ncí.
Při měření přivádíme na vstup sinuso
teristiky napíšeme operátorový přenos ve tvaru zlomku (v čitateli i ve
jmenovateli se vyskytují polynomy 1+pTn a operátor p), tedy např.:
F p K pTp pT pT
( ) .( ).( ).( )
=+
+ +1
1 11
2 3
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 75 --------------
Z operátorového přenosu sestavíme přenos frekvenční, který upravíme na
exponenciální tvar. Nakonec překontrolujeme vypočtenou amplitudovou a fázovou
charakteristiku s charakteristikami změřenými. Podle případných rozdílů opravíme
ho
stanovíme hodnotu dopravního zpoždění.
Příklad:
dnotu zesílení, frekvence zlomů asymptot, eventuálně při narůstající fázové chybě
Určete operátorový přenos soustavy, jejíž LAFCH (máme zakresleny
přímo asymptoty) a LFFCH jsou na obrázku:
0.1 1 10 100 1000
ω
FdB
ϕ
0
10
20
30
-10
-20
-30
+20dB/dek
ωL1 ωL2
0o
90o
ϕ
FdB 1.as.2.as.
3.as.
45o
20lo
gK
Amplitudová charakteristika je rozdělena do tří asymptot → musíme tedy určit
dva kmitočty lomu ωL1 a ωL2 a z nich dvě časové konstanty T1= 1/ωL1 a T2 = 1/ωL2.
První zlom je kladný → T1 bude tedy v polynomu v čitateli, druhý zlom je záporný →
T2 bude v polynomu ve jmenovateli. Z první asymptoty určíme ještě hodnotu zesílení
K.
našem případě je tedy výsledný přenos
V
F p K pTpT
( ) .( )( )
=+
+1
11
3
Pokuste se sestavit operátorové přenosy dle amplitudových charakteristik 1. až 4.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 76 --------------
1 10 100 1000 10000
ω
FdB
ϕ
0
20
40
60
-20
-40
-60
50 600
3
1
2
4
20
-20dB/dek-20dB/dek
-20dB/dek
-40dB/dek
-60dB/dek
+20dB/dek
+20dB/dek+40dB/dek
34
1. F1(p) =
2. F2(p) =
y s
velkými časovými konstantami (jednotky sekund a více), u kterých nemůžeme změřit
charakteristiky frekvenční. Přechodové charakteristiky mají velmi rozdílené tvary,
které závisí zejména na řádu soustavy. K vyhodnocování statických systémů byla
3. F3(p) =
4. F4(p) =
7.4.2. METODA PŘECHODOVÉ CHARAKTERISTIKY
Tato metoda je poměrně jednoduchá. K získání přechodové charakteristiky
stačí zdroj skokové funkce a zapisovač průběhu. Metoda je vhodná i pro soustav
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 77 --------------
vyvinu ě přesných) až po
složité metody pro soustavy vyšších řádů. Nejjednodušší je aproximace statickou
soustavou 1. řádu, případně statickou soustavou 1. řádu s dopravním zpožděním,
přesnějších výsledků dosáhneme aproximací statickou soustavou vyššího řádu s
dopravním zpožděním.
Příklad 1.
ta celá řada metod identifikace od jednoduchých (mén
: Aproximace statickou soustavou 1. řádu s dopravním zpožděním
Tn - doba náběhu
Tp - doba přechodu
Tu- doba průtahu
Přechodová charakteristika neznámé soustavy je v obrázku plně vytažena. V
inflexním bodě A vedeme tečnu a určíme časové úseky Tu, Tn a Tp. Aproximovaná
charakteristika je vyznačena čárkovaně a její přenos můžeme psát ve tvaru
y
t0
A
T
K
Tu Tn
Tp
F p KpT
en
p( ) .=+
−
1τ
Z obrázku je vidět, že tato aproximovaná charakteristika začíná v bodě t=Tu,
takže objekt má dopravní zpoždění τ = Tu. Časová konstanta T odpovídá době
náběhu Tn. Zesílení určuje ustálená hodnota přechodové charakteristika K pro
jednotkový vstupní signál, nebo výraz K/K1, pokud vstupní signál měl hodnotu K1.
Příklad 2.: Aproximace astatického systému prvního řádu
y
t0
K
1
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 78 --------------
Určit přenos astatického členu prvního řádu, jehož přechodová charakteristika
je na obrázku, je velmi jednoduché, neboť jeho přenos
F p KP
( ) =
7.4.3
čívá v postupné zm n parametrů
modelu tak, že reakce na vstupní signál jsou stejné jako reakce identifikovaného
objektu. Potom je z řenos uvedeného modelu je roven přenosu
identifikovaného systému. Pro identifikaci mů
Jako modelu můžeme použít např. analogového po ůsoby
objektem. Nejjednodušší a nejnázornější je
aralelní spojení modelu a identifikovaného objektu.
. IDENTIFIKACE POMOCÍ MODELU
Princip identifikace pomocí modelu spo ě ě
řejmé, že p
žeme použít libovolný vstupní signál.
čítače. Existují různé zp
spojení modelu s identifikovaným
p
Regulovanásoustava
Modelsoustavy
y1
y2
e
x
x
x
ude-li rozdílový signál e roven nule pro libovolný vstupní signál, je přenos
soustavy roven přenosu modelu.
B
POUŽITÁ LITERATURA:
] BERNARD, J.M., HUGON ,.,LE CORVEC,R.: OD LOGICKÝCH OBVODŮ K
MIKROPROCESORŮM, SNTL,1982, PRAHA ] MARŠÍK A.: AUTOMATIZAČNÍ TECHNIKA, SNTL PRAHA, 1986 ] MIKULA, V., VRBA, K.,: ČÍSLICOVÁ A IMPULSOVÁ TECHNIKA, VUT BRNO, 1992 !!] ŠVÁBENSKÝ Z., VORLÍČEK J., JIRSÍK V.:KYBERNETIKA, VUT BRNO, 1989
] ŠVÁBENSKÝ, Z.,: KYBERNETIKA, VUT BRNO, 1989
[1
[2
[3
[4
[5
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 79 --------------
[6] ŠVARC I.:KYBERNETIKA, VUT BRNO, 1989
[7] VAVŘÍN, P. A KOL.: AUTOMATIZAČNÍ TECHNIKA, SNTL,PRAHA 1983
Tato příručka neprošla jazykovou úpravou a je určena jako učební text pro
studenty 3. ročníku oboru slaboproudá elektrotechnika SPŠE Brno, Kounicova 16,,
jako doplněk výkladu učitele.
--------------- A U T ----------------------------------------------------------------------------- 80 --------------