Auswertung und Fehleranalyse - uni-kassel.de · 3 Fehleranalyse: Untersuchung und Auswertung der Unsicherheiten • Kenntnis der Größe der Messunsicherheit • Hinweise zur Verminderung

1

Auswertung und Fehleranalyse

Physikalische Größe: messbare Eigenschaft

• eines Körpers (z. B. Länge l)

• einer Erscheinung (z. B. Magnetfeld B)

• eines Vorgangs (z. B. Schwingungsdauer T)

Physikalische Größe = Zahlenwert mal Einheit

z. B. l = 3 cm, B = 1 T, T = 0,5 s

Tatsache:

Alle Messungen unterliegen unvermeidbaren Unsicherheiten!

2

Grundsätzliche Unvermeidbarkeit von Unsicherheiten

Beispiel:

Ein Schreiner möchte die Höhe einer Türöffnung bestimmen:

1. Blick auf die Öffnung werfen und schätzen: h = 210 cm.

Unsicherheit: Höhe liegt zwischen 205 cm und 215 cm.

2. Bandmaß verwenden: h = 211,3 cm.

Lage der oberen Türöffnung in Bezug auf die Teilstriche abschätzen.

Unsicherheit: Höhe liegt zwischen 211,2 cm und 211,4 cm.

3. Laserinterferometer verwenden, Unsicherheit liegt in der

Größenordnung der Lichtwellenlänge von etwa 500 nm.

Ein weiteres Problem taucht hier noch auf:

• Die Türöffnung ist an unterschiedlichen Stellen unterschiedlich hoch.

• An der selben Stelle variiert die Höhe mit der Temperatur und

Luftfeuchtigkeit. Definitionsproblem

3

Fehleranalyse: Untersuchung und Auswertung der Unsicherheiten

• Kenntnis der Größe der Messunsicherheit

• Hinweise zur Verminderung der Messunsicherheit

Ziel einer Messung:

Bestmöglichen Schätzwert mit Unsicherheit (Fehler) für den wahren Wert

der interessierenden physikalischen Größe ermitteln.

Die Fehleranalyse ist ein wesentlicher Bestandteil jedes

physikalischen Experiments!

4

Zum Begriff Fehler:

Der unvermeidliche Fehler oder die Unsicherheit gibt an wie genau ein gewonnenes Messergebnis ist.

• Fehler bedeutet nicht Fehlverhalten des Messenden.

• Fehler bedeutet auch nicht das das Ergebnis um diesen Betrag falsch ist.

5

Warum ist es so wichtig die Größe des Fehlers zu kennen?

Beispiel:

Um herauszufinden ob g am Äquator und am Nordpol den gleichen Wert

hat führen zwei Praktikantengruppen an beiden Orten Messungen durch:

Gruppe A findet: g (Äquator) = (9.78 0.01) m/s2 und

g (Nordpol) = (9.83 0.01) m/s2

Gruppe B findet: g (Äquator) = (9.78 0.05) m/s2 und

g (Nordpol) = (9.83 0.05) m/s2

Obwohl beide Gruppen dieselben Bestwerte für die Erdbeschleunigung

gemessen haben kann nur Gruppe A sicher entscheiden ob g an beiden

Stellen der Erde gleich groß ist oder nicht.

±

±

±

±

6

Beispiel:

Herausfinden ob eine Krone aus Gold oder einer billigen Legierung besteht.

Ein Problem, das Archimedes bereits gelöst haben soll.

Bekannt seien die Dichten von Gold und der Legierung.ρ

3

.

3

g/cm8,13

g/cm5,15

=

=

Leg

Gold

ρ

ρ

13,7 bis 14,113,5 bis 16,5Wahrscheinlicher Wertebereich für

13,915Bestwerte für

Fachmann 2Fachmann 1Dichte der Krone

in g/cm3

Kroneρ

Kroneρ

Kroneρ

• Messung von Fachmann 1 erlaubt keine Schlussfolgerung.

• Messung von Fachmann 2 entlarvt die Fälschung!

• Ohne Fehlerangaben wäre keine Aussage möglich, Messung von Fachmann 1 erlaubt sogar einen Fehlschluss!

7

Weitere Beispiele:

• Kraftwerksbau: Ingenieure müssen die Eigenschaften der Werkstoffe und

Brennstoffe kennen und die Zuverlässigkeit der Messwerte bestimmen.

• Sicherheit von Flugzeugen, Autos oder Zügen: Unsicherheiten in den

Reaktionszeiten und den Bremswegen müssen bekannt sein.

• Tests von konkurrierenden wissenschaftlichen Theorien durch

Experimente.

Beispiel: Test der Allgemeinen Relativitätstheorie durch die Messung der

Ablenkung von Licht, das nahe an der Sonne vorbeigeht.

1. Klassisch: keine Ablenkung

2. Korpuskelbild des Lichts und Äquivalenz von Energie und Masse:

3. Allgemeine Relativitätstheorie:

Experimente (1919): nur mit der 3. Theorie konsistent !

°= 9,0α

°= 8,1α

°±= )3,00,2(α

8

Wesentlich ist also:

• Unsicherheiten zuverlässig abschätzen!

• Andere von der Güte der Schätzung überzeugen!

Aber wie?

Unterschiedliche Arten von Fehlern:

1. Grobe Fehler

2. Systematische Abweichungen

3. Zufällige Unsicherheiten

1. Grobe Fehler:

• Irrtümer, Fehlüberlegungen oder Missverständnisse bei der Bedienung

und Ablesung der Messinstrumente (falsche Messbereichseinstellung)

• Fehler bei der Protokollierung von Messdaten (z.B. Eintragung der

falschen Einheiten)

• Rechen- Vorzeichen- oder Programmierfehler bei der Auswertun

können durch sorgfältiges Arbeiten vermieden werden!

9

2. Systematische Fehler

Typisch ist: Sie können durch wiederholte Messungen nicht entdeckt werden!

Quellen für systematische Fehler:

• Vernachlässigung von Umwelteinflüssen: z. B. Luftdruck, Temperatur, elektrische oder magnetische Streufelder

• Ungenügendes Konstanthalten der Versuchsbedingungen: z.B. mangelnde Konstanz bei Spannungsquellen bei elektrischen Messungen

• Mangelhafte Reinheit von Substanzen

• Einfluss der Messung auf das Messobjekt: z. B. bei der Messung des Reifendrucks

• Unvollkommenheit der Messgeräte: z.B. Konstruktions-, Fabrikations- oderEichfehler, Alterungsprozesse wie Änderung der elastischen Eigenschaften

• Unzulänglichkeiten von Seiten des Experimentators:z. B. unbewusste Voreingenommenheit oder mangelnde Objektivität

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3. Zufällige Fehler

Typisch ist: Bei zufällige Fehlern sind positive und negative Abweichungen

gleich häufig!

Quellen für zufällige Fehler:

• Zufällige Schwankungen der Messbedingungen

• Unzulängliche menschliche Sinnesorgane, z. B. die Geschicklichkeit

beim Anlegen eines Maßstabes oder die Sehschärfe des Auges

beim Ablesen des Wertes.

Zufällige Fehler lassen sich durch eine geeignete Vorgehensweise

verringern und abschätzen: statistische Methoden

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Beispiel: Messung der Schwingungsdauer eines Pendels mit einer Stoppuhr.

• Fehlerquelle: Reaktionszeit des Messenden.

Die Reaktionszeit hat keinen konstanten Wert.

Schwankungen in der Reaktionszeit führen zu zufälligen Schwankungen

des gemessenen Zeitintervalls.

• Fehlerquelle: Die Uhr geht zu langsam.

Das Zeitintervall wird systematisch unterschätzt.

Eine Ursache kann sowohl zu zufälligen als auch zu systematischen

Abweichungen führen.

Beispiel: Fehlerquelle Parallaxe

• Es ist unmöglich das Auge exakt vor dem Messgerät zu positionieren.

zufällige Schwankungen beim Ablesen

• Experimentator schaut immer schräg von einer Seite auf die Anzeige

systematische Abweichung der Messwerte

12

Wiedergabe von Unsicherheiten

• Annahme in diesem Abschnitt: Die Fehler sind bekannt.

Allgemein wird jedes Messergebnis einer Größe angegeben als:

Messwert = Bestwert Unsicherheit

Beispiel: Bestwert der Zeit:

wahrscheinlicher Bereich:

Definition: Unsicherheit ist immer positiv.

höchster wahrscheinlicher Wert der Messgröße

niedrigster wahrscheinlicher Wert der Messgröße

±

s4,2=T

s5,2s3,2 ≤≤ T

s)1,04,2(s1,0s4,2 ±=±=T

xxx Best δ±=

xδ

xx

xx

Best

Best

δ

δ

−

+

13

Signifikante Stellen: Sinnvoll runden!

Die Unsicherheit ist ein Schätzwert.

Unsinn wäre z. B.:

Sinnvoll ist hier:

: Runden auf entspräche einer Verminderung um 40% .

Welche Stelle des Messwertes ist signifikant?

Unsinn wäre z. B.:

Sinnvoll gerundet:

xδ2m/s)02385,082,9( ±=g

14,0=xδ 1,0=xδ

2m/s)02,082,9( ±=g

m/s)71234567,124( ±=v

m/s)7124( ±=v

Messunsicherheiten werden im Anfängerpraktikum

in der Regel auf eine signifikante Stelle gerundet.

Ausnahme: An der führenden Stelle der Unsicherheit steht eine 1.

14

Beispiele:

Bei der Angabe von Messergebnissen sollte die letzte signifikante

Stelle des Bestwertes dieselbe Größenordnung haben (an der selben

Dezimalstelle stehen) wie die Messunsicherheit.

Ausnahme: An der führenden Stelle der Unsicherheit steht eine 1.

Beispiel:

unübersichtlich ist:

wesentlich besser ist:

m)3,08,92(

m3,0

m81,92

±=

=

=

x

x

xBest

δ

km)3,08,92(

m)30092800(

m300

m92813

±=

±=

=

=

x

x

x

xBest

δ

cm)2,16,27( ±=l

C10)05,061,1(

C)1051061,1(

19

2119

−

−−

⋅±=

⋅±⋅=

e

e

15

In Rechnungen sollte eine Stelle mehr mitgenommen werden,

gerundet wird erst am Ende.

Die Diskrepanz

Definition: Die Diskrepanz ist die Differenz zwischen zwei

Messwerten derselben Größe.

Beispiel: Zwei Studenten A und B messen einen Widerstand R.

Die Diskrepanz von ist kleiner als die Messunsicherheiten.

Insignifikante Diskrepanz

Signifikante Diskrepanz von

Ω±=

Ω±=

)842(

)540(

B

A

R

R

Ω2

Ω±=

Ω±=

)145(

)235(

B

A

R

R

Ω10

16

1. Annahme: Lineal ist zuverlässig kein systematischer Fehler

2. Lineal ordentlich anlegen, entscheiden wo die Spitze auf der Linealskala liegt

Millimeter0 10 20 30 40 50

Schätzung von zufälligen Unsicherheiten beim Ablesen von Skalen

Beispiel: Messung der Länge eines Bleistiftes mit einem Lineal

Die Größe liegt näher bei dem Teilstrich bei 36 mm als bei jedem anderen:

Bestwert der Länge: l = 36 mm

Wahrscheinlicher Bereich: 35,5 mm bis 36,5 mm

mm)5,00,36( ±=l

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Beispiel: Teilstriche liegen weit auseinander:

Abschätzen wo der Zeiger im Zwischenraum zwischen zwei Teilstrichen

liegt. Interpolation

Bestwert: l = 5,3 mm

Wahrscheinlicher Bereich: 5,2 mm bis 5,4 mm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mm

mm)1,03,5( ±=l

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Schätzung von zufälligen Unsicherheiten bei wiederholbaren Messungen

Beispiel: Messung eines Zeitintervalls (z. B. Schwingungsdauer eines Pendels) mit einer digitalen Stoppuhr

• Annahme: Uhr ist zuverlässig kein systematischer Fehler

• Quelle der Unsicherheit: Reaktionszeit beim Starten und Stoppen

• Größe der Unsicherheit durch mehrfache Messungen abschätzen.

Ergebnisse der Messreihe in Sekunden:

Bestwert der Zeit T = Mittelwert

Streuung der Messwerte gibt einen Hinweis auf die Unsicherheit:

Wahrscheinlicher Bereich: 2,3 s bis 2,5 s

2,42,52,42,3

s4,24

s4,2s5,2s4,2s3,2=

+++=T

s)1,04,2( ±=T

19

Berechnung statistischer (zufälliger) Fehler: Mittelwert, Standardabweichung und Standardabweichung des Mittelwertes

• Eine Messreihe besteht aus einer endlichen Zahl von Einzelmessungen N.

• Systematische Abweichungen sind vernachlässigbar.

Beispiel: Messung einer Länge.

Ergebnisse in mm:

allgemein:

Für N Messwerte ist der Bestwert gleich dem Mittelwert

7173727271

mm8,71mm5

7173727271=

++++== xxBest

Nxxx ,.....,, 21

N

x

N

xxxx

N

ii

N

∑==

+++= 121 .... ∑∑∑ ==

=i

ii

N

ii xxx

1

Abkürzungen

20

0,64-0,8715

1,441,2734

0,040,2723

0,040,2722

0,64-0,8711

AbweichungMesswertVersuch Nr.ixi xxi −

8,71=x

Messwerte in mm, Berechnung der Abweichungen und der quadrierten Abweichungen

Maß für die Genauigkeit der einzelnen Messwerte: Standardabweichung ∑

=

−=N

iix xx

N 1

2)(1

σ

Zuverlässigkeit der Messwerte:

0=− xxi

2)( xxi −

80,2)( 2 =−∑i

i xx

21

Standardabweichung = mittlere quadratische Abweichung der Messwerte

(engl.: root mean square (rms))

Varianz :

Standardabweichung:

2

xσ 22

1

22 mm56,0mm80,25

1)(

1=⋅=−= ∑

=

N

iix xx

Nσ

mm7,0=xσ

∑=

−−

=N

iix xx

N 1

2)(1

1σ

Alternative Definition der Standardabweichung!Standardabweichung

∑=

−=N

iix xx

N 1

2)(1

σ

Standardabweichung der Grundgesamtheit

Stichproben-Standardabweichung

Zu beachten:

Es ist wichtig anzugeben, welche Definition verwendet wird.

22

Die Standardabweichung des Mittelwertes

Bisher:

• Messwerte:

• Bestwert = Mittelwert

• Standardabweichung = mittlere Unsicherheit der Einzelwerte

Der Mittelwert ist zuverlässiger als jede einzelne Messung für sich allein.

Standardabweichung des Mittelwertes:

Beispiel: mit folgt:

Ergebnis auf der Grundlage der 5 Messwerte:

Nxxx ,.....,, 21

x

xσ

N

xx

σσ =

mm7,0=xσ 5=N mm3,05

mm7,0==xσ

mm)3,08,71( ±=x

Zu Beachten:

Zur Berechnung sollten mindestens 10 Werte verwendet werden!

23

Zahl der Messwerte erhöhen:

• Standardabweichung bleibt etwa gleich!

• Standardabweichung des Mittelwertes wird geringer.

Möglichkeit die Genauigkeit der Messungen zu verbessern!

ABER: Faktor

Um die Präzision um den Faktor 10 zu verbessern, ist es erforderlich

N um den Faktor 100 zu vergrößern!

• Messverfahren ändern

• Systematische Fehler nicht vergessen!

N/1

24

Hintergrundwissen: Die Gauß- oder Normalverteilung

Experiment liefert Messwerte:

26, 24, 26, 28, 23, 24, 25, 24, 26, 28

(zur Vereinfachung ohne Einheiten!)

z.B. der Größe nach: 23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 28

Besser: Verschiedene Werte und deren Anzahl, wie oft sie vorkommen, notieren.

Schreibeweise:

sehr unübersichtlich

Ordnen!

103231Anzahl nk

282726252423Werte xk

,.....3,1,....;24,23,....;3,2,1 2121 ===== nnxxk

25

• Definition des Mittelwertes umschreiben:

∑∑

∑

==+⋅+⋅+⋅+

=

+++++++++== =

kk

kkk

N

ii

NnN

xn

x

N

x

x

,10

2826325224323

10

282626262525242424231

• Von der Anzahl nk zum Anteil Fk an den gesamten Messungen übergehen:

∑∑ =⇒==k

kkk

kk

k FxxFN

nF ,1,

Normierungsbedingung

Beispiel: Die Anzahl, mit der der Wert 24 aufgetreten ist beträgt 3,

sein Anteil an allen Messungen ist 3/10.

26

Stabdiagramm der Messwerte

• Darstellung geeignet, für Werte mit gleichem Abstand

Häufiger auftretende Messwerte:

26,4; 23,9; 25,1; 24,6; 22,7; 23,8; 25,1; 23,9; 25,3; 25,4

Einteilung des Wertebereichs in Intervalle (Klassen)

014131Anzahl

27-2826-2725-2624-2523-2422-23Klasse

0,3

0,1

0,2

022 23 24 25 26 27 28

kx

kF

27

Histogramm der Messwerte

• Breite eines Intervalls:

• Anteil der Messwerte in der k-ten Klasse:

• Höhe Fk im Stabdiagramm entspricht der Fläche im Histogramm

K∆

∑ =∆∆k

kkkk ff 1,

kkf ∆

0,3

0,1

0,4

0,2

0

22 23 24 25 26 27 28x

kfK∆

Beispiel: Die Fläche des grauen Rechtecks beträgt 0,3,

d.h. 3/10 der Messwerte fallen in das Intervall zwischen 23 und 24.

28

Anzahl der Messungen erhöhen

die Verteilung nähert sich einer Grenzverteilung an.

Grenzfall: und : Histogramm Grenzverteilung ∞→N →0→∆ k

Histogramm für 100 Messungen derselben Größe

Histogramm für 1000 Messungen derselben Größe

22 23 24 25 26 27 28

kf

x

0,4

0,2

0

22 23 24 25 26 27 28

kf

x

0,4

0,2

0

29

• Die Messung unterliegt vielen kleinen zufälligen Abweichungen und vernachlässigbaren systematische Abweichungen.

• Die Grenzverteilung ist häufig eine

Gauß- oder Normalverteilung.

• Glockenförmige, symmetrische

Grenzverteilung, deren Zentrum

bei dem wahren Wert von x liegt.

• Breite der Glockenkurve ist durch

die Standardabweichung gegeben.

wahrer Wert

f(x) f(x) hohe Genauigkeit

geringe Genauigkeit

x x

30

)(xf

f(x)

x x+dxx x

a b

• Anteil der Messwerte, die zwischen x und x + dx fallen

= Wahrscheinlichkeit, dass irgendeine Messung ein

Ergebnis zwischen x und x + dx liefert.

• Wahrscheinlichkeit, dass ein Messergebnis zwischen a

und b liegt.

• Normierungsbedingung:

:)( dxxf

:)(∫b

a

dxxf

:1)( =∫∞+

∞−

dxxf

Mittelwert

Varianz (Mittelwert der quadrierten Abweichung):

∫∞+

∞−

⋅= dxxfxx )(

∫∞+

∞−

⋅−= dxxfxxx )()( 22σ

Grenzverteilung: Funktion

31

Funktion vom Typ:

• für x = 0 :

• symmetrisch um x = 0

• Breiteparameter:

−

2

2

2exp

σ

x

10 =e

σ

Funktion, die um x = X

zentriert ist:

−−

2

2

2

)(exp

σ

Xx

Wie sieht die Funktion f(x) aus?

f(x)

x

X

f(x)

x

0

klein σ

großσ1

32

Funktion muss noch normiert werden!

Normierungsbedingung:

−−⋅=

2

2

2

)(exp)(

σ

XxCxf C: Normierungsfaktor

1. Substitution:

2. Substitution:

dxXx

Cdxxf ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

−−⋅==

2

2

2

)(exp1)(

σ

dydxdx

dyyXx =⇒==− 1,

dyy

Cdxxf ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

−==

2

2

2exp1)(

σ

dzdydy

dzz

yσ

σσ=⇒==

1,

dzz

Cdxxf ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

−==

2exp1)(

2

σ

π2

−−⋅=⇒

2

2

,2

)(exp

2

1)(

σπσσ

Xxxf X

33

Die Normalverteilung hängt von zwei Parametern ab:

Berechnung

des Mittelwertes:

Berechnung der

Standardabweichung:

XxdxXx

xx =⇒

−−⋅= ∫

∞+

∞−2

2

2

)(exp

2

1

σπσ

σσσ σ =⇒⋅−= ∫∞+

∞−xXx dxxfxx )()( ,

2

∞→NGilt NUR für

X,σ

Die Messreihe ist eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit!

Beweisbar ist:

1. Der Mittelwert ist der Bestwert für den wahren Wert.

2. Die Standardabweichung ist der Bestwert

für die Standardabweichung der Grundgesamtheit.

∑=

−−

=N

iix xx

N 1

2)(1

1σ

∑∑

== =

kkk

N

ii

xFN

x

x 1

34

Die Standardabweichung als 68% - Vertrauensgrenze

Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Messwert in einen Bereich innerhalb

einer Standardabweichung vom wahren Wert fällt:

∫∫+

−

+

−

−−⋅==

σ

σ

σ

σσσ

σπσ

X

X

X

X

X dxXx

dxxfP2

2

,2

)(exp

2

1)(

∫+

−

−⋅=

t

t

dzz

2

2

2exp

2

1

σπ

∫+

−

−⋅=

1

12

2

2exp

2

1dz

zP

σπσ⇒=

−z

Xx

σ

)(Substitution:

Fehlerfunktion: tabelliert

x

)(, xf Xσ

XσtX − σtX +

∫+

−

−−⋅=

σ

σσ

σπσ

tX

tX

t dxXx

P2

2

2

)(exp

2

1

99,73

95,52

68,31

t (%)σtP

Ebenso:

35

Vertrauensbereich

Für Stichproben aus einer normalverteilten Grundgesamtheit gilt: Der wahre Wert

befindet sich mit einer gewissen statistischen Sicherheit im Vertrauensbereich.

xx σ±

xx σ2±

xx σ3±

Zur Angabe der

Unsicherheit gehört

auch die Angabe des

gewählten

Vertrauensniveaus.ca. 99,7%

ca. 95%

ca. 68%

Vertrauensbereichstatistische Sicherheit

• Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% liegt der wahre Wert der Größe x

im Vertrauensbereich .

• Umgekehrt heißt das aber auch: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 32%

liegt der wahre Wert der Größe x nicht im Vertrauensbereich .

xx σ±

xx σ±

36

Wann ist ein Messergebnis vertrauenswürdig?

Beispiel: Vergleich eines Messergebnisses mit einem akzeptierten Wert

• Zahl der Standardabweichungen t um die das Ergebnis vom

akzeptierten Wert abweicht:

• Wahrscheinlichkeit, mit der diese Abweichung eintritt:

• Fall: , hier gilt:

wahrscheinlich, Messung „unverdächtig“.

• Fall: , hier gilt:

sehr unwahrscheinlich, Messung „verdächtig“.

Angemessene Grenze: 5% ( 4,6%), subjektive Festlegung.

σ

akzeptBest xxt

−=

)voninnerhalb(1)vonaußerhalb( σσ tPtP −=

σ=− akzeptBest xx 32%)1vonaußerhalb( ≈σP

σ3=− akzeptBest xx 3%,0)3vonaußerhalb( ≈σP

:2σ

37

Der bestmögliche Wert für den wahren Wert der Messgröße ist der Mittelwert:

N

x

N

xxxx

N

ii

N

∑==

+++= 121 ....

Die Unsicherheit, mit der die Einzelmessungen behaftet sind, wird mit der

Standardabweichung berechnet:

∑=

−−

=N

iix xx

N 1

2)(1

1σ

Je mehr Messwerte aufgenommen werden, umso genauer kann der Mittelwert

bestimmt werden. Die Standardabweichung des Mittelwertes ist:

N

xx

σσ = Möglichkeit die

Unsicherheit zu verringern!

10≥Nmit

Zusammengefasst:

38

Systematische Fehler erkennen und berücksichtigen

Beispiel: Schieblehre

• Herstellerangabe auf der Schieblehre, z. B.

Aber zusätzlich kann es sein:

• Gleichmäßige Abnutzung der Messschenkel: z. B zeigt der

Messschieber konstant 0,1 mm zu wenig an.

wenn erkannt: Rechnerisch zu korrigieren.

• Messschenkel sind nicht parallel: Je nach Stelle ist der Fehler

unterschiedlich. auch wenn erkannt: Nicht korrigierbar

Allgemein gilt:

Gesamtfehler = zufälliger Fehler + systematischer Fehler

mm05,0=systxδ

ABER: Wiederholte Messungen enthüllen nicht alle Unsicherheiten!

39

Beispiel: Messung einer Länge l mit einer Schieblehre

• Der systematische Fehler für die Schieblehre sei mit 0,05mm angegeben.

• Eine wiederholte Messung ergab:

Es ist sinnvoll für den zufälligen Fehler eine statistische Sicherheit von 95% zu

wählen:

Der statistische Fehler ist ca. um den Faktor 10 kleiner als der systematische.

Weitere Verringerung des statistischen Fehlers ist sinnlos!

Gesamte Messunsicherheit:

Messergebnis:

mm)003,0245,24()( ±=±=l

ll σ

)( syststat lll δδδ +±=

mm)06,025,24( ±=l

mm)006,0245,24()2( ±=±=l

ll σ

Gesamtfehler = zufälliger Fehler + systematischer Fehler

40

Schlussfolgerungen durch Vergleiche von Messwerten

1. Vergleich eines Messwertes mit einem akzeptierten Wert.

2. Vergleich eines Messwertes mit einem theoretisch vorhergesagten

Wert.

( Methode: Fehlerfortpflanzung)

3. Vergleich mehrerer Messwerte untereinander um zu zeigen, dass sie

entsprechend einer Gesetzmäßigkeit zusammenhängen.

( Methode: Lineare Regression)

41

1. Vergleich eines Messwertes mit einem akzeptierten Wert.

Elementarladung:

(National Institute of Standards and Technology (NIST))

Experimente entsprechend Punkt 1 sind typisch für ein Praktikum:

Beispiel: Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft:

Vergleich mit dem akzeptierten Wert:

Diskrepanz ist nicht signifikant. Messwert ist konsistent mit dem

akzeptiertem Wert.

m/s)5329( ±=Lc

m/s)5,00,331()Literatur( ±=Lc

C10)0400.000 000 4871.602 176 ( 19−⋅±=e

42

Beispiel: Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft:

Vergleich mit dem akzeptierten Wert:

Diskrepanz ist signifikant!

Ursache suchen: Das ist häufig langwierig und schwierig!

• Fehler bei der Messung?

• Fehler bei der Rechnung (Auswertung)?

• Messunsicherheit zu gering geschätzt?

• Wurde mit dem richtigen akzeptierten Wert verglichen?

• Gibt es einen unentdeckten systematischer Fehler?

m/s)2345( ±=Lc

m/s)5,00,331()Literatur( ±=Lc

m/s)15345( ±=Lc

m/s)5,00,343()C20(

m/s)5,00,331()C0(

±=°

±=°

L

L

c

c

43

2. Vergleich von zwei Messergebnissen:

Beispiel: Experiment zur Impulserhaltung, zwei Wagen stoßen auf einer

Luftkissenbahn elastisch zusammen.

Gemessen wird: 1. Gesamtimpuls der Wagen vor dem Stoß

2. Gesamtimpuls der Wagen nach dem Stoß

Theorie:

Ergebnisse:

Diskrepanz ist nicht signifikant

Ergebnis ist konsistent mit der Theorie

Vp

Np

NV pp =

1

N

1

V

smkg)06.056,1(

smkg)04.049,1(

−

−

±=

±=

p

p

44

Messungen wiederholen, wobei für jede der Messungen gilt:

Übersichtliche Darstellung: Tabelle

1

N

1

V

06,0

04,0

−

−

=

=

smkgp

smkgp

δ

δ

usw.usw.

1,051,15

2,122,10

1,561,49

Endimpulse pN

(alle 0,06)

Anfangsimpulse pV

(alle 0,04)

Gemessene Impulse (alle in kg m s-1)

± ±

Schlussfolgerung klarer herausstellen: Differenz bilden.

Wie berechnet man die Unsicherheit für die Differenz?

NV pp −

45

N(Best)V(Best)Best ppp −=∆Bestwert für die Differenz:

Höchster wahrscheinlicher Wert:

Niedrigster wahrscheinlicher Wert:

NVBestNVN(Best)V(Best)MAX

NN(Best)VV(Best)MAX

NN(Best)VV(Best)MAX )()(

pppppppp

ppppp

ppppp

δδδδ

δδ

δδ

++∆=++−=∆

+−+=∆

−−+=∆

)()(

)()(

NVBestNVN(Best)V(Best)MIN

NN(Best)VV(Best)MIN

NN(Best)VV(Best)MIN

pppppppp

ppppp

ppppp

δδδδ

δδ

δδ

+−∆=+−−=∆

−−−=∆

+−−=∆

Die Messunsicherheit der Differenz ist gleich der Summe der

ursprünglichen Messunsicherheiten. Fortpflanzung der Fehler

Hier: 11

NV kgms1,0kgms)06.004.0( −− =+=+=∆ ppp δδδ

46

usw.

1,05

2,12

1,56

Endimpulse pN

(alle 0,06)

usw.usw.

0,101,15

- 0,022,10

- 0,071,49

Differenz

(alle 0,1)Anfangsimpulse pV

(alle 0,04)

Gemessene Impulse (alle in kg m s-1)

± ±NV ppp −=∆

±

Ein Blick: Die Zahlen in der letzten Spalte sind alle mit Null verträglich!

Allgemeine Regel:

Wenn die Größen x und y mit den Unsicherheiten und

gemessen und die Werte x und y zur Berechnung einer Summe

(oder Differenz) verwendet werden, dann gilt für die

Messunsicherheit von q:

(Fehlerfortpflanzung)

xδ

yxq +=

yδ

yxq δδδ +=

47

Relative Unsicherheiten:

Beispiel: Länge l = 1 km, „genaue Messung“

Länge l = 5 cm, „grobe Messung“

Die absolute Messunsicherheit sagt nichts über die Qualität einer

Messung aus.

Definition: relative Unsicherheit =

Beispiel:

Ergebnis angeben:

Schreibweise soll nicht verwendet werden.

cm1=lδ

cm1=lδ

Bestx

xδ

02,050

1

cm)150(

==

±=

Bestl

l

l

δ

( )

±=±=

100

21cm5002,01cm50l

Die relative Unsicherheit ist dimensionslos!

%2cm50 ±=l

48

Multiplikation von Messwerten:

Beispiel: Gemessen werden die Geschwindigkeit v und die Masse m

eines Körpers. Berechnet wird der Impuls .

Messergebnis: Bestwert für den Impuls:

Fortpflanzung der Unsicherheiten?

Größter wahrscheinlicher Wert für p:

mvp =

±=

±=

Best

Best

Best

Best

m

mmm

v

vvv

δ

δ

1

1BestBestBest vmp ⋅=

+⋅

+=

+⋅

+=

BestBest

Best

Best

Best

Best

BestMAXm

m

v

vp

m

mm

v

vvp

δδδδ1111

49

BestBestBestBestBestBest m

m

v

v

v

v

m

m

m

m

v

v δδδδδδ+++=

+⋅

+ 111

klein

++=

BestBest

BestMAXv

v

m

mpp

δδ1

Analoge Rechnung:

d. h.: mit

+−=

BestBest

BestMINv

v

m

mpp

δδ1

BestBestBestBest

Bestm

m

v

v

p

p

p

ppp

δδδδ+=

±= ,1

50

Allgemeine Regel:

Wenn die Größen x und y mit den relativen Unsicherheiten

und gemessen werden, und aus den Messwerten das

Produkt q = xy berechnet wird, dann ist die relative Unsicherheit von

q gleich der Summe der relativen Unsicherheiten von x und y,

Dasselbe Resultat für die relative Unsicherheit von q gilt für

Quotienten:

xx /δ

yy /δ

y

y

x

x

q

q δδδ+=

y

xq =

51

Fehlerfortpflanzung für beliebige Funktionen

einer direkten Messgröße:

Messgröße:

Berechnet wird eine Funktion:

• Grafische Bestimmung von .

• Analytische Berechnung für

eine bekannte Funktion:

(Für kleine Unsicherheit .)

xxx Best δ±=

)(xq

qδ

xdx

dq

xqxxqq BestBest

δ

δδ

=

−+= )()(

xδ

BestxxxBest δ+xxBest δ−

qδ

qδBestq

q

x

52

Fehlerfortpflanzung:

Unsicherheit einer physikalischen Größe, die aus mehreren direkt

gemessenen Größen berechnet wird.

Werden die Größen x,y,..,z mit den Unsicherheiten gemessen und aus

den Messwerten wird die Größe q(x,y,…,z) berechnet, so ist der Fehler von q

maximal gleich:

zyx δδδ ,...,,

zz

qy

y

qx

x

qq δδδδ

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂= ....

Maximalfehler oder Größtfehler

53

Größtfehler

Funktionaler

Zusammenhang

xCq ⋅= xCq δδ ⋅=

yxq ±=yxq δδδ +=

yxq

xyq

=

=

y

y

x

x

q

q δδδ+=

mnyxq =

y

ym

x

xn

q

q δδδ+=

Aus der allgemeinen Regel lassen sich für bekannte Zusammenhänge die folgenden Formeln ableiten:

Bei Summen oder Differenzen addieren sich die absoluten Fehler!

Sehr nützlich:

Bei Produkten oder Quotienten addieren sich die relativen Fehler!

Dicke von 100 BlätternPapier:1 Blatt:

cm)2,05,1( ±=Dcm)002,0015,0( ±=d

54

%3033,01,9

3,0

%2019,053,0

01,0

≈==

≈==

v

δv

m

δm

052,0=+=v

δv

m

δm

p

δp

Absolute Unsicherheit:

Gerundetes Ergebnis:

0,25kgm/skgm/s82,4052,0 =⋅=⋅ pp

δp

kgm/s)3,08,4( ±=p

Beispiel: Messung eines Impulses

Direkt gemessene Größen: und

Impuls:

m/s)3,01,9( ±=v kg)01,053,0( ±=m

4,82kgm/sm/s1,9kg53,0 =⋅=⋅= vmp

Gerundetes Ergebnis: kgm/s)3,08,4( ±=p

oder:

4,576kgm/sm/s8,8kg52,0minminmin =⋅=⋅= vmp

5,076kgm/sm/s4,9kg54,0maxmaxmax =⋅=⋅= vmp

25,0=∆p

55

Beispiel: Messung der Erdbeschleunigung g durch Fallenlassen eines Körpers.

m)1,01,14(

s)1,06,1(

±=

±=

h

tgemessene Fallzeit: gemessene Höhe: 222 s

m02,11

(1,6s)

m1,1422=

⋅==

t

hg

222 m/s)5,10,11(m/s5,1133,0m/s02,11

%3.132%,3,66,1

1,0%,7,0

1,14

1,0

±=⇒=⋅=

=⋅+=====

gg

t

t

h

h

g

g

t

t

h

h

δ

δδδδδ

222

max

minmin

s

m69,9

(1,7s)

m0,1422=

⋅==

t

hg

222

min

maxmax

s

m62,12

(1,5s)

m2,1422=

⋅==

t

hg

5,1=∆g2m/s)5,10,11( ±=⇒ g

oder:

56

Gaußsche Fehlerfortpflanzung

Fehlerfortpflanzung bisher: Abschätzung des ungünstigsten Falls!

Beispiel: Summe

Möglichkeit der Kompensation der Unsicherheiten

• wenn Messgrößen unabhängig voneinander gemessen werden

• und die Abweichungen zufällig (mal positiv, mal negativ) sind.

yxqyxq δδδ +=+= ,

222

...

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂= z

z

qy

y

qx

x

qq δδδδ

Nur für den Fall, dass die Unsicherheiten der gemessenen Größen klein,

zufällig und unabhängig sind, kann die Standardabweichung für q

berechnet werden:

57

Veranschaulichung: Berücksichtigung der Kompensation

( ) ( ) yxyxq δδδδδ +≤+=22

xδ

yδ( ) ( )22yx δδ +

yxq +=

( ) ( )22yxq δδδ +=

Es gilt:

Beispiel: Summe

Quadratische Addition der absoluten Unsicherheiten:

58

Zum Vergleich: Größtfehler

Fehlerfortpflanzung nach Gauß

Funktionaler

Zusammenhang

xCq ⋅= xCq δδ ⋅= xCq δδ ⋅=

yxq ±= yxq δδδ +=22 )()( yxq δδδ +=

yxq

xyq

=

= 22

+

=

y

y

x

x

q

q δδδy

y

x

x

q

q δδδ+=

mnyxq =

22

+

=

y

ym

x

xn

q

q δδδy

ym

x

xn

q

q δδδ+=

Aus der allgemeinen Regeln lassen sich für bekannten Zusammenhänge die folgenden Formeln herleiten:

59

Beispiel: Wirkungsgrad eines elektrischen Gleichstrommotors messen.

Zugeführte Energie (elektrisch):

Geleistete Arbeit (mechanisch, Heben eines Körpers):

Wirkungsgrad:

• Relative Unsicherheit von m, h, U und I: 1%

• Relative Unsicherheit von t : 5%

• Relative Unsicherheit von g : vernachlässigbar

Es gilt: Die Unsicherheiten sind zufällig und voneinander unabhängig.

tIUEel ⋅⋅=

hgmEmech ⋅⋅=

UIt

mgh

E

E

el

mech ==η

%5%4,5%29%)5(%)1(%)1(%)1(%)1( 22222

22222

≈==++++=

+

+

+

+

=

η

δη

δδδδδ

η

δη

t

t

h

h

m

m

I

I

U

U

60

Beispiel: Fläche eines rechteckiges Blech genau vermessen, Größe etwa

• Wahl des Messgerätes: Schieblehre

• Breite b und Länge l mehrfach an unterschiedlichen Stellen des Bleches

messen!

• Mehrere Schieblehren verwenden!

Messergebnisse:

cm5cm5,2 ×

50,36; 50,35; 50,41; 50,37; 50,36

50,32; 50,39; 50,38; 50,36; 50,38

Breite b

24,25; 24,26; 24,22; 24,28; 24,24

24,25; 24,22; 24,26; 24,23; 24,24

Länge l

Messwerte in mm

61

Mittelwerte: Standardabweichungen:

368,50

245,24

=

=

b

l

024,0

019,0

=

=

b

l

σ

σ

Standardabweichungen der Mittelwerte:

008,0

006,0

=

=

b

l

σ

σ

• Länge und Breite wurden auf dieselbe Weise gemessen:

Ergebnisse für l und b:

bl σσ ≈

( )( )4-

4-

101,61mm368,50mm)008,0368,50(

102,51mm245,24mm)006,0245,24(

⋅±=±=

⋅±=±=

b

l

Fläche:

%03,00003,000016,000025,0

mm17,1221

22

22

2

==+=

+

=

==

=

b

b

l

l

A

A

blA

lbA

Best

Best

δδδ

Somit: 2mm)4,02,1221( ±=A2mm37,0=⇒ Aδ

62

Dieses Ergebnis bedeutet:

• Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68% liegt der wahre

Wert für die Fläche im Intervall:

• Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95% liegt der wahre

Wert für die Fläche im Intervall:

2mm)4,02,1221( ±=A

2mm)7,02,1221( ±=A

63

Begründung für die Standardabweichung des Mittelwertes:

N

xxxx N+++

=....21

22

2

2

2

1

1

...

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂= N

N

xx

xx

x

xx

x

xx δδδδ

∑=

−−

=N

iix xx

N 1

2)(1

1σ

222211

...11

⋅=

++

+

= xxxx

NN

NNNx σσσσδ

xx

Nx σ

σδ ==

64

3. Überprüfung der Proportionalität von Größen mit einem Diagramm:

Beispiel: Hookesches Gesetz: Die Dehnung x einer Feder ist proportional zu

der wirkenden Kraft F. Es gilt , wobei k die Federkonstante der

Feder ist.

Experiment:

Fk

x1

=

0

5

10

15

20

mk

g

k

mgx

==

Massen m anhängen und

die Dehnung der Feder

messen.

Gewichtskraft: mgF =

65

Angehängte Massen und Dehnung

5,44,63,53,42,81,91,51,1Dehnung

x(cm)

(alle )

900800700600500400300200Masse m(g)

0≈mδ

3,0±

a) b)

a) Daten ohne Fehlerbalken b) Daten mit Fehlerbalken zur Darstellung der Messunsicherheit der x – Werte.

x(c

m)

m (g)0 500 1000

5

x(c

m)

m (g)0 500 1000

5

66

Beispiel für eine Datenmenge, die mit einer Proportionalität zwischen x und m inkonsistent ist:

Messungen, bei denen x und mnicht vernachlässigbare Unsicherheiten haben.

m (g)

x(c

m)

0 500 1000

5

m (g)

x(c

m)

0 500 1000

5

67

Auswertung linearer Zusammenhänge

Zwei physikalische Größen x und y sind linear abhängig. Es gilt:

BxAxyy +== )(

y

xAchsenabschnitt A

Steigung:x∆

y∆

x

yB

∆

∆=

68

Grafische Auswertung

y

x

größte Steigung: Bmax

kleinste Steigung: Bmin

kleinster Achsenabschnitt: Amin

größter Achsenab-schnitt: Amax

Beste Gerade nach Augenmaß A,B

2/)( minmax

minmax

BBB

BBBB

−=∆

−≈−A∆⋅2

69

Tipps und Hinweise zur graphischen Darstellung:

• Millimeterpapier verwenden.

• Achsen beschriften.

• Maßstab so wählen, dass das Papier gut ausgenutzt wird (in x und y).

• Runde Maßstabszahlen, die in einfacher Beziehung zur Millimeterskala stehen. Z.B.: 1 Einheit ist 1cm

• Durch streuende Messpunkte eine glatte ausgleichende Kurve legen. (ist nur dann eindeutig wenn die Form der Kurve bekannt ist).

• Messpunkt ist eine Idealisierung, Fehlerbereich durch einen Fehlerbalken (oder Balkenkreuz) angeben. (Aussagewert hängt von der Größe des Fehlerbalkens ab, z. B. Entscheidung ob eine lineare Beziehung vorliegt oder nicht.)

• Kurze Unter- oder Überschrift mit Erläuterung

70

Berechnung der Bestwerte der Konstanten A und B: Lineare Regression

Annahmen:

• Die Unsicherheiten der x – Werte sind vernachlässigbar.

• Die Unsicherheiten der y – Werte folgen alle einer Gauß – Verteilung mit

dem selben Breiteparameter .

Zu jedem Wert xi gehört ein wahrer Wert yiw, mit wobei die

Konstanten A und B nicht bekannt sind.

yσ

,iiw BxAy +=

Wahrscheinlichkeit, den (gemessenen) Wert yi zu erhalten:

−−⋅=

2

2

,2

)(exp

2

1)(

y

iw

y

yiwy

yyyf

σπσσ

iiyiwyiBA dyyfyP )()( ,, σ=

−−−⋅=

−−⋅∝⇒

2

2

2

2

,2

)(exp

1

2

)(exp

1)(

y

ii

yy

iwi

y

iBA

BxAyyyyP

σσσσ

Gaußverteilung:

71

.)(

,

2exp

1

2

)(exp

1),...,(

)()(),...,(

12

22

2

12

2

,

,,,

∑

∑

=

=

−−=

−⋅=

−−−⋅∝

⋅⋅⋅=

N

i y

ii

N

y

N

i y

ii

N

y

NiBA

NBAiBANiBA

BxAy

BxAyyyP

yPyPyyP

σχ

χ

σσσ

mit

Wahrscheinlichkeit, alle (gemessenen) Werte yi, …,yN zu erhalten:

Die Bestwerte der Konstanten A und B sind die Werte, für die die

Wahrscheinlichkeit maximal wird!),...,(, NiBA yyP

∑=

−−=

N

i y

ii BxAy

12

22 )(

σχD.h. die Summe der Quadrate muss minimal werden!

∑∑ ∑∑

∑∑∑

== ==

===

+=⇒=−−

−⇒=

∂

∂

+=⇒=−−

−⇒=

∂

∂

N

ii

N

i

N

iiii

N

iiii

y

N

ii

N

ii

N

iii

y

xBxAyxBxAyxB

xBNAyBxAyA

1

2

1 112

2

1112

2

0)(2

,0

0)(2

,0

σ

χ

σ

χ

72

Gleichungssystem lösen Bestwerte für die Konstanten A und B auf der

Basis der gemessenen Wertepaare (xi,yi):

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

−

−=

−

−=

22

22

2

)()(

))(()(

)()(

))(())((

ii

iiii

ii

iiiii

xxN

yxyxNB

xxN

yxxyxA

yσ

∑ −−−

= 2)(2

1iiy BxAy

NσStandardabweichung:

Fehlerfortpflanzung liefert:

∑ ∑∑

∑ ∑∑

∑

−=

∂

∂=

−=

∂

∂=

22

2

2

22

22

2

)()(

)()(

ii

yy

i

B

ii

iyy

i

A

xxN

N

y

B

xxN

x

y

A

σσσ

σσσ

Unsicherheiten für A und B?

• Die Unsicherheiten der y – Werte

folgen alle einer Gauß – Verteilung

mit dem selben Breiteparameter .

73

Beispiel: Ideales Gas bei konstantem Volumen, Messung des absoluten Nullpunktes der Temperatur.

ϑ

C15,273

K,)15,273C/(,

°−=+=⇒

∆=∆+°==

ABpA

TTRTpV

mitϑ

ϑϑυ

Theorie: Allgemeine Gasgleichung

Ziel: Bestwerte für die Konstanten A und B auf der Basis von gemessenen Wertepaaren ( ) finden.iip ϑ,

1271055

94954

42853

17752

-20651

Temperatur (°C)Druck pi (Torr)Versuchsnr. i iϑ

Die Temperatur , gemessen in °C, ist also eine lineare Funktion des Druckes.

(akzeptierter Wert für den absoluten Nullpunkt)

74

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

−

−=

−

−=

22

22

2

)()(

))(()(

)()(

))(())((

ii

iiii

ii

iiiii

ppN

ppNB

ppN

pppA

ϑϑ

ϑϑ

Berechnung der Summen:

Bestwerte für A und B auf der Grundlage der 5 Messwerte:

∑ ∑

∑∑∑

∑

=−

=

=

=

=

5000)()(

25810

260

37125

425

22

2

ii

ii

i

i

i

ppN

p

p

p

ϑ

ϑ

Torr

C71,3

C35,263

°=

°−=

B

A

75

Unsicherheit für die Konstante A:

Standardabweichung der y - bzw. -Werte:

Somit folgt:

Messergebnis: absoluter Nullpunkt

Vergleich mit dem akzeptierten Wert von -273 °C keine Diskrepanz!

ϑ

C7,6)(2

1 2 °=−−−

= ∑ ii BpAN

ϑσϑ

C18)()( 22

2

°=−

=∑ ∑

∑ii

iA

ppN

pϑσσ

C)20260( °±−=A

76

Grafische Darstellung:

Extrapolation:

Unsicherheiten der Datenpunkte von ergeben eine Unsicherheit im „weit entfernten“Achsenabschnitt von .

C7°±

C20°±Messergebnis:

C)20260( °±=A

Tem

pera

tur

in °

C

Druck in Torr

100

0

-100

-200

-300

20 40 60 80 100

77

Tem

pera

tur

in °

C

Druck in Torr

100

0

-100

-200

-300

20 40 60 80 100

Zum Vergleich: Grafische Auswertung

78

Linearisieren von nichtlinearen Zusammenhängen:

Beispiel: Kernzerfall Von anfänglich vorhandenen Kernen sind nach der Zeit t nur noch Kerne vorhanden sind.

Zerfallsgesetz:

Logarithmieren linearer Zusammenhang:

0N )(tN

teNtN

λ−⋅= 0)(

tNtN λ−= 0ln)(ln

BtAty +=)(

Beispiel: Linsengleichung für dünne Linsen

mit und folgt: bgf

111+= x

g=

1y

b=

1x

fxy )1(

1)( −+=

79

Die Schwingungszeit T eines Drehtisches mit Feder, auf dem eine verschiebbare Scheibe der Masse m liegt, hängt vom Abstand l des Scheibenschwerpunktes von der Achse des Drehtisches ab :

Die Winkelrichtgröße D der Feder sowie das Trägheitsmoment J der Scheibe bezogen auf eine Drehachse durch den Schwerpunkt sind unbekannt.

)2(1

2 mlJD

T += π

224242 lm

DJ

DT

+=

ππ

D folgt aus der Steigung

J folgt aus dem Achsenabschnitt

Quadrieren liefert:

Beispiel: Drehschwingung

80

Verwerfen von Daten

Messwerte für die Schwingungsdauer eines Pendels in Sekunden:

• Wert von 1,8 s weicht auffällig ab.

Was tun?

Prüfen ob grobe Fehler vorliegen.

- Zeit falsch abgelesen.

- Uhr wurde vor dem letzten Wert ausgewechselt, die neue geht

systematisch nach.

- Es wurde nur die halbe Schwingungsdauer gemessen (2. Person).

Nachträgliche Fehlersuche ist nur bei sorgfältiger Dokumentation möglich!

Häufig: Äußere Ursache kann nicht ermittelt werden.

1,83,43,93,53,8

81

Lösung hier: Messung oft wiederholen.

• Tritt der anormale Wert nicht mehr auf, spielt er statistisch keine

große Rolle mehr.

• Tritt er häufiger auf: Ursache ermitteln- Fehler durch äußere Einflüsse- physikalischer Effekt

Fall: Messungen sind nicht wiederholbar.

• Wenn Daten verworfen werden: Dann nur nach objektiven Kriterien!

• Problematik der Verwerfung bleibt bestehen:

- physikalischer Effekt steckt dahinter, bleibt unentdeckt.

- Entscheidung der Verwerfung bleibt subjektiv.

Vorwurf: Datenmanipulation

82

Das Chauvenetsche Kriterium

Messwerte in Sekunden:

Mittelwert und Standardabweichung:

Abweichung des anomalen Messwertes vom Mittelwert:

Wahrscheinlichkeit für einen solchen Messwert:

Bei 20 Messungen würden wir erwarten, dass ein solcher Wert auftritt!

Erwartete Anzahl n bei 5 Messwerten:

Geringe Wahrscheinlichkeit oder nicht?

Chauvenetsche Kriterium: Grenze liegt bei .

Allg.:

1,83,43,93,53,8

s8,0

s4,3

=

=

x

x

σ

σ2s6,1s4,38,15 ==−=− xx

05,095,01)2voninnerhalb(1)2vonaußerhalb( =−=−= σσ PP

25,0505,0 =⋅=n

5,0=n

,σ

xxt anorm

anorm

−= )vonaußerhalb( σanormtPNn ⋅=

Wert kann verworfen werden

83

Beispiel: Messung einer Länge

Messergebnisse in mm:

43454458474538444846

5,1mm

45,8mm

=

=

x

x

σ4,2

1,5

8,4558=

−=

−=

σ

xxt anorm

anorm

5,016,0

16,0)984,01(10)vonaußerhalb(

<

=−⋅=⋅=⇒ σanormtPNn

Der Wert 58 mm kann nach dem Chauvenetschen Kriterium verworfen werden.

5,11,5

8,4538=

−=

−=

σ

xxt anorm

anorm 5,03,1;3,1)866,01(10 >=−⋅=⇒ n

Der Wert 38 mm darf nach dem Chauvenetschen Kriterium nicht verworfen werden.

434544584745384448462,9mm

44,4mm

=

=

x

x

σ

84

Chauvenetsches Kriterium nicht erneut mit neuem Mittelwert und neuer

(kleinerer) Standardabweichung anwenden!

Empfehlung für das Praktikum:

Auswertung gegebenenfalls zweimal machen.

1. Mit den Original Daten.

2. Mit den Daten nach der Verwerfung eines anomalen Wertes.

3. Diskussion des Einflusses des anomalen Wertes.

85

Zusammenfassung getrennt erhaltener Messergebnisse: Gewichteter Mittelwert

Messergebnisse derselben Größe zweier Personen A und B:

BxB

AxA

xx

xx

σ

σ

±=

±=

Diskrepanz Resultate sind inkonsistent.

• Fall: Messergebnisse sind konsistent und .

• Zusammenfassung der Ergebnisse aber: Die genauere Messung soll

mehr Gewicht erhalten als die ungenauere.

Voraussetzung: Messergebnisse sind normal verteilt.

BABA xx σσ +>>−

BA σσ ≠

,BA

BBAABest

ww

xwxwx

+

+=

2

1

A

Awσ

=2

1

B

Bwσ

=

,11

∑∑==

=N

ii

N

iiiBest wxwxallg.: mit der Unsicherheit:

2/1

1

−

=

= ∑N

iixBest wσ

gewichteter Mittelwert: mit und

86

Beispiel:

d.h.: , somit

Beispiel: Der Widerstand R wurde von drei Personen gemessen.

BA σσ =BA ww =

22

)( BA

A

BAABest

xx

w

xxwx

+=

+=

Ω±=

Ω±=

Ω±=

)310(

)112(

)111(

R

R

R

Bestwert für R aus den drei Messungen?

Aus den drei Unsicherheiten folgt für

die drei Gewichte:

,3,1,1 321 Ω=Ω=Ω= σσσ

9/1,1,1/1 32

2

11 ==== www σ

( )Ω=

++

Ω⋅+Ω⋅+Ω⋅==⇒

∑

∑

=

= 42,119/111

)109/1()121()111(3

1

3

1

ii

iii

Best

w

xw

x

,69,09/111

12/1

1

Ω=Ω++

=

=⇒−

=∑N

iixBest wσ somit: Ω±= )7,04,11(R

87

Wahrscheinlichkeit für Zerfälle ?

Eine weitere Grenzverteilung: Die Poisson-Verteilung

• Zerfälle radioaktiver Kerne

• Einfall von kosmischer Strahlung

Situation: - Es sind N Kerne vorhanden.

- Die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall eines Kerns sei p.

υ

20

20

10

10

−≈

≈

p

N „sehr groß!“

„sehr klein!“

Poissonverteilung !

)(υ

µυ

υµ

µ−= ep

µ

,υµ =

Die Poissonverteilung ist nur von einem Parameter abhängig.

Dabei ist d.h. der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse.

Standardabweichung der Poissonverteilung: υµσυ ==

Typische Werte:

88

Poissonverteilung: Mittelwert 1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 310

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

1 2 3 4 5 6 7

Poisson-Verteilungen:

Mittelwert = 0,8 Mittelwert = 1

Mittelwert = 3 Mittelwert = 13

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

00 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

00 5 10 15 20 25 30

• diskrete Verteilungen• unsymmetrisch

Für gilt: ∞→µ

)()( , υυ σµ Xfp ≈

89

Beispiel:

Experiment: Messung der kosmischen Strahlung

Student A: Anzahl der eintreffenden kosmischen Teilchen pro Minute:

im Mittel

Student B: und Student C:

min

19=υ

min

112=υ

min10

1120=υ

Sind die drei Messungen konsistent?

Vergleich von A und B:

Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis:

Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, innerhalb einer Standardabweichung:

min/3min/9 ==⇒= υσυ

!

9)( 9

9υ

υυ

−= ep

∑=

=

−=≤≤11

7

9

!

9)117(

υ

υ

υ

υυ eP

90

13,0!9

9)9(

10,0!11

9)11(13,0

!8

9)8(

12,0!10

9)10(12,0

!7

9)7(

99

9

119

9

89

9

109

9

79

9

===

======

======

−

−−

−−

ep

epep

epep

υ

υυ

υυ

6,0)117( =≤≤⇒ υP

Wahrscheinlichkeit für und : ca. 40%

Die Ergebnisse von A und B sind konsistent.

As Vorhersage:

Abweichung der Messung von C: mehr als !

Hier gilt: , d.h. Wahrscheinlichkeit für eine solche

Abweichung ist etwa 0,3%.

Ergebnisse von A und C sind nicht konsistent.

6≤υ 12≥υ

5,990min10/90min/9 ==⇒== συ

σ3

)()( , υυ σµ Xfp ≈