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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Tópicos
1 Introdução
2 Método das Diferenças Finitas
3 Método dos Momentos
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Tópicos
1 Introdução
2 Método das Diferenças Finitas
3 Método dos Momentos
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Tópicos
1 Introdução
2 Método das Diferenças Finitas
3 Método dos Momentos
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Introdução
ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas
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I d
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Introdução
ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas
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I t d ã
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Introdução
ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas
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ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
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ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
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os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
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ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
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ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas
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ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Introdução
ao longo do curso consideramos várias abordagens
analíticas para resolver os problemas de EM
delas obtemos soluções na forma fechada
solução na forma de uma equação algébrica explícita
os valores dos parâmetros do problema podem sersubstituídosuma análise paramétrica pode ser realizada
algumas das soluções foram obtidas assumindo certassituações simplificadoras, por exemplo:
no capacitor de placas paralelas desprezamos os efeitosdas bordasno cabo coaxial também desprezamos os efeitos dasbordas
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Introdução
quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos
métodos gráficos
métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos
usaremos os métodos numéricos para solucionar e
analisar os problemas no nosso curso
estudaremos dois métodos
método das diferenças finitasmétodo dos momentos
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Introdução
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quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos
métodos gráficos
métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos
usaremos os métodos numéricos para solucionar e
analisar os problemas no nosso curso
estudaremos dois métodos
método das diferenças finitasmétodo dos momentos
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quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos
métodos gráficos
métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos
usaremos os métodos numéricos para solucionar e
analisar os problemas no nosso curso
estudaremos dois métodos
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Mé d d Dif Fi i
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métodos gráficos
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analisar os problemas no nosso curso
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Mét d d Dif Fi it
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quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos
métodos gráficos
métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos
usaremos os métodos numéricos para solucionar e
analisar os problemas no nosso curso
estudaremos dois métodos
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quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos
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usaremos os métodos numéricos para solucionar e
analisar os problemas no nosso curso
estudaremos dois métodos
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quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos
métodos gráficos
métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos
usaremos os métodos numéricos para solucionar e
analisar os problemas no nosso curso
estudaremos dois métodos
método das diferenças finitasmétodo dos momentos
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Método dos Momentos
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quando as complexidades do problema e/ou das fórmulasteóricas tornam as soluções analíticas intratáveis usamosos métodos não analíticos
métodos gráficos
métodos experimentaismétodos analógicosmétodos numéricos
usaremos os métodos numéricos para solucionar e
analisar os problemas no nosso curso
estudaremos dois métodos
método das diferenças finitasmétodo dos momentos
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
subtraindo a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− f (x − h )
2h +i =1
f (2i +1)(x )
(2i + 1)!h 2i
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
subtraindo a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− f (x − h )
2h +i =1
f (2i +1)(x )
(2i + 1)!h 2i
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
subtraindo a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− f (x − h )
2h +i =1
f (2i +1)(x )
(2i + 1)!h 2i
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
subtraindo a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− f (x − h )
2h +i =1
f (2i +1)(x )
(2i + 1)!h 2i
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
subtraindo a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− f (x − h )
2h +i =1
f (2i +1)(x )
(2i + 1)!h 2i
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Mé d d M
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
subtraindo a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− f (x − h )
2h +i =1
f (2i +1)(x )
(2i + 1)!h 2i
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Mét d d M t
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
somando a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2+i =1
f (2i +2)(x )
(2i + 2)!h 2i
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Método dos Momentos
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
somando a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2+i =1
f (2i +2)(x )
(2i + 2)!h 2i
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Método dos Momentos
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
somando a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2+i =1
f (2i +2)(x )
(2i + 2)!h 2i
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
somando a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2+i =1
f (2i +2)(x )
(2i + 2)!h 2i
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 2
2f (x ) + h 3
3!f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
somando a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2+i =1
f (2i +2)(x )
(2i + 2)!h 2i
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
é uma técnica numérica simples em que são aproximadasas derivadas de uma função e/ou parâmetro
consideremos uma função f (x ) e as seguintes expansões
em série de Taylor
f (x + h ) = f (x ) + h f (x ) + h 22
f (x ) + h 33!
f (x ) + · · ·
f (x − h ) = f (x )− h f (x ) +h 2
2f (x )−
h 3
3!f (x ) + · · ·
somando a 1a expansão da 2a obtemos
f (x ) =f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2+i =1
f (2i +2)(x )
(2i + 2)!h 2i
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Método dos Momentos
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Método das Diferenças Finitas
das expansões anteriores temos as fórmulas das
derivadas da função f (x )
f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )
2h
f
(x ) ≈
f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
se for uma função de duas
variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?
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Método dos Momentos
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Método das Diferenças Finitas
das expansões anteriores temos as fórmulas das
derivadas da função f (x )
f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )
2h
f
(x ) ≈
f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
se for uma função de duas
variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?
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Método dos Momentos
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Método das Diferenças Finitas
das expansões anteriores temos as fórmulas das
derivadas da função f (x )
f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )
2h
f
(x ) ≈
f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
se for uma função de duas
variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
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Método das Diferenças Finitas
das expansões anteriores temos as fórmulas das
derivadas da função f (x )
f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )
2h
f
(x ) ≈
f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
se for uma função de duas
variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
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Método das Diferenças Finitas
das expansões anteriores temos as fórmulas das
derivadas da função f (x )
f (x ) ≈f (x + h )− f (x − h )
2h
f
(x ) ≈
f (x + h )− 2 f (x ) + f (x − h )
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
se for uma função de duas
variáveis, f (x , y ), comoaplicamos as fórmulas?
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
consideremos a região mostrada na figura
temos valores desconhecidos do potencial em cinco
pontos
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
consideremos a região mostrada na figura
temos valores desconhecidos do potencial em cinco
pontos
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Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
consideremos a região mostrada na figura
temos valores desconhecidos do potencial em cinco
pontos
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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IntroduçãoMétodo das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Mé d d Dif Fi i
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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Método dos Momentos
Mét d d Dif Fi it
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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Método dos Momentos
Mét d d Dif Fi it
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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Método dos Momentos
Mét d d Dif Fi it
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
se a região é livre de cargas e é homogênea temos
· D = 0 e · E = 0
a partir destas equações temos
∂ E x ∂ x
+ ∂ E y ∂ y
= 0
aproximamos as derivadas
usando as expressões
∂ E x
∂ x
a
=E 1 − E 0
h
∂ E y
∂ y
b
=E 2 − E 0
h
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Método dos Momentos
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
a relação E = −V aplicada na equação
∂ E x
∂ x +
∂ E y
∂ y = 0
leva a equação de Laplace
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2= 0
aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos
∂ 2V
∂ x 2
0 =
∂ V ∂ x a −
∂ V ∂ x c
h =
V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0
=
∂ V ∂ y
b − ∂ V
∂ y
d
h =
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
a relação E = −V aplicada na equação
∂ E x
∂ x +
∂ E y
∂ y = 0
leva a equação de Laplace
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2= 0
aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos
∂ 2V
∂ x 2
0 =
∂ V ∂ x a −
∂ V ∂ x c
h =
V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0
=
∂ V ∂ y
b − ∂ V
∂ y
d
h =
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
a relação E = −V aplicada na equação
∂ E x
∂ x +
∂ E y
∂ y = 0
leva a equação de Laplace
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2= 0
aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos
∂ 2V
∂ x 2
0 =
∂ V ∂ x a −
∂ V ∂ x c
h =
V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0
=
∂ V ∂ y
b − ∂ V
∂ y
d
h =
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
a relação E = −V aplicada na equação
∂ E x
∂ x +
∂ E y
∂ y = 0
leva a equação de Laplace
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2= 0
aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos
∂ 2V
∂ x 2
0 =
∂ V ∂ x a −
∂ V ∂ x c
h =
V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0
=
∂ V ∂ y
b − ∂ V
∂ y
d
h =
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
a relação E = −V aplicada na equação
∂ E x
∂ x +
∂ E y
∂ y = 0
leva a equação de Laplace
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2= 0
aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos
∂ 2V
∂ x 2
0 =
∂ V ∂ x a −
∂ V ∂ x c
h =
V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0
=
∂ V ∂ y
b − ∂ V
∂ y
d
h =
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
a relação E = −V aplicada na equação
∂ E x
∂ x +
∂ E y
∂ y = 0
leva a equação de Laplace
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2= 0
aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos
∂ 2V
∂ x 2
0 =
∂ V ∂ x a −
∂ V ∂ x c
h =
V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0
=
∂ V ∂ y
b − ∂ V
∂ y
d
h =
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
a relação E = −V aplicada na equação
∂ E x
∂ x +
∂ E y
∂ y = 0
leva a equação de Laplace
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2= 0
aproximando as derivadas de 2a ordem obtemos
∂ 2V
∂ x 2
0 =
∂ V ∂ x a −
∂ V ∂ x c
h =
V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0
=
∂ V ∂ y
b − ∂ V
∂ y
d
h =
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
na figura temos os potenciais nos pontos
∂ 2V
∂ x 2
0
≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0 ≈
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
o potencial num ponto
é definido em termos dos
potenciais nos pontos
em torno deste
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
na figura temos os potenciais nos pontos
∂ 2V
∂ x 2
0
≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0 ≈
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
o potencial num ponto
é definido em termos dos
potenciais nos pontos
em torno deste
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial
na figura temos os potenciais nos pontos
∂ 2V
∂ x 2
0
≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0 ≈
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
o potencial num ponto
é definido em termos dos
potenciais nos pontos
em torno deste
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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étodo das e e ças tasCálculo de Potencial
na figura temos os potenciais nos pontos
∂ 2V
∂ x 2
0
≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0 ≈
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
o potencial num ponto
é definido em termos dos
potenciais nos pontos
em torno deste
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Método dos Momentos
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çCálculo de Potencial
na figura temos os potenciais nos pontos
∂ 2V
∂ x 2
0
≈V 1 − V 0 − V 0 + V 3
h 2
∂ 2V
∂ y 2
0 ≈
V 2 − V 0 − V 0 + V 4
h 2
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
o potencial num ponto
é definido em termos dos
potenciais nos pontos
em torno deste
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çCálculo de Potencial
combinando as duas expressões obtemos
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2≈
V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2
= 0
V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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çCálculo de Potencial
combinando as duas expressões obtemos
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2≈
V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2
= 0
V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
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Método dos Momentos
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çCálculo de Potencial
combinando as duas expressões obtemos
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2≈
V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2
= 0
V 0 ≈ 14 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
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Método dos Momentos
Método das Diferenças Finitas
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Cálculo de Potencial
combinando as duas expressões obtemos
∂ 2V
∂ x 2+
∂ 2V
∂ y 2≈
V 1 + V 2 + V 3 + V 4 − 4V 0h 2
= 0
V 0 ≈1
4 (V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
que é mais precisa quanto
menor for o passo h
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCá o
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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
dada a seção reta de uma calha quadrada com os lados ebase no potencial zero e o topo no potencial de 100 V ,
determine a distribuição de potencial na calha
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCál l d P t i l l d li ã o 1
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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
dada a seção reta de uma calha quadrada com os lados ebase no potencial zero e o topo no potencial de 100 V ,
determine a distribuição de potencial na calha
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCál l d P t i l l d li ã o 1
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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
usaremos o método iterativono primeiro passo fazemos todos os potenciais
desconhecidos iguais a zero depois aplicamos
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial exemplo de aplicação no 1
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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
usaremos o método iterativono primeiro passo fazemos todos os potenciais
desconhecidos iguais a zero depois aplicamos
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial exemplo de aplicação no 1
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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
usaremos o método iterativono primeiro passo fazemos todos os potenciais
desconhecidos iguais a zero depois aplicamos
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial exemplo de aplicação no 1
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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação n 1
1a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
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Cálculo de Potencial - exemplo de aplicação n 1
1a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
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Cálculo de Potencial exemplo de aplicação n 1
2a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
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Cálculo de Potencial exemplo de aplicação n 1
2a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
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Cálculo de Potencial exemplo de aplicação n 1
3a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
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á a p ap açã
3a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
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p p ç
4a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método das Diferenças FinitasCálculo de Potencial - exemplo de aplicação no 1
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p p ç
4a
iteração
V 0 ≈1
4(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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é uma técnica numérica para resolver equações integrais
e equações diferenciais
aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver
equações integrais
equação integral é uma equação em que a incógnita está
na integral
exemplos
E = v
ρv dv
4 π ε0 R 2 a R V =
v
ρv dv
4 π ε r
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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é uma técnica numérica para resolver equações integrais
e equações diferenciais
aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver
equações integrais
equação integral é uma equação em que a incógnita está
na integral
exemplos
E = v
ρv dv
4 π ε0 R 2 a R V =
v
ρv dv
4 π ε r
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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é uma técnica numérica para resolver equações integrais
e equações diferenciais
aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver
equações integrais
equação integral é uma equação em que a incógnita está
na integral
exemplos
E = v
ρv dv
4 π ε0 R 2 a R V =
v
ρv dv
4 π ε r
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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é uma técnica numérica para resolver equações integrais
e equações diferenciais
aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver
equações integrais
equação integral é uma equação em que a incógnita está
na integral
exemplos
E = v
ρv dv
4 π ε0 R 2 a R V =
v
ρv dv
4 π ε r
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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é uma técnica numérica para resolver equações integrais
e equações diferenciais
aqui aplicaremos o método dos momentos para resolver
equações integrais
equação integral é uma equação em que a incógnita está
na integral
exemplos
E = v
ρv dv
4 π ε0 R 2 a R V =
v
ρv dv
4 π ε r
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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aplicaremos uma técnica de integração numérica que éum caso particular do método dos momentos
consideremos um fio condutor fino de raio a e
comprimento L (L a )
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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aplicaremos uma técnica de integração numérica que éum caso particular do método dos momentos
consideremos um fio condutor fino de raio a e
comprimento L (L a )
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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aplicaremos uma técnica de integração numérica que éum caso particular do método dos momentos
consideremos um fio condutor fino de raio a e
comprimento L (L a )
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
l d fi
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em um ponto qualquer do fio temos
V =
v
ρv dv
4 π ε r → V 0 =
L
0
ρl dl
4 π ε0 r
em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos
V 0 =1
4 π ε0
L0
ρl (y )dy
|y k − y |
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
t l d fi t
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em um ponto qualquer do fio temos
V =
v
ρv dv
4 π ε r → V 0 =
L
0
ρl dl
4 π ε0 r
em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos
V 0 =1
4 π ε0
L0
ρl (y )dy
|y k − y |
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
t l d fi t
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em um ponto qualquer do fio temos
V =
v
ρv dv
4 π ε r → V 0 =
L
0
ρl dl
4 π ε0 r
em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos
V 0 =1
4 π ε0
L0
ρl (y )dy
|y k − y |
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
em um ponto qualquer do fio temos
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em um ponto qualquer do fio temos
V =
v
ρv dv
4 π ε r → V 0 =
L
0
ρl dl
4 π ε0 r
em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos
V 0 =1
4 π ε0
L0
ρl (y )dy
|y k − y |
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
em um ponto qualquer do fio temos
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em um ponto qualquer do fio temos
V =
v
ρv dv
4 π ε r → V 0 =
L
0
ρl dl
4 π ε0 r
em um ponto fixo y k , o ponto de amostragem temos
V 0 =1
4 π ε0
L0
ρl (y )dy
|y k − y |
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área
se δy é pequeno, a integração de
V 0
=1
4 π ε0
L
0
ρl (y )dy
|y k − y |=
1
4 π ε0
L
0
f (y ) dy
no intervalo 0 < y < L será
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =N
k =1
f (y k ) ∆y
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área
se δy é pequeno, a integração de
V 0 =1
4 π ε0
L
0
ρl (y )dy
|y k − y |=
1
4 π ε0
L
0
f (y ) dy
no intervalo 0 < y < L será
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =N
k =1
f (y k ) ∆y
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área
se δy é pequeno, a integração de
V 0 =1
4 π ε0
L
0
ρl (y )dy
|y k − y |=
1
4 π ε0
L
0
f (y ) dy
no intervalo 0 < y < L será
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =
N k =1
f (y k ) ∆y
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, édeterminar uma área
se δy é pequeno, a integração de
V 0 =1
4 π ε0
L
0
ρl (y )dy
|y k − y |=
1
4 π ε0
L
0
f (y ) dy
no intervalo 0 < y < L será
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =
N k =1
f (y k ) ∆y
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, é
determinar uma área
se δy é pequeno, a integração de
V 0 =1
4 π ε0
L
0
ρl (y )dy
|y k − y |=
1
4 π ε0
L
0
f (y ) dy
no intervalo 0 < y < L será
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =
N k =1
f (y k ) ∆y
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
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Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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do cálculo sabemos que integração, em uma dimensão, é
determinar uma área
se δy é pequeno, a integração de
V 0 =1
4 π ε0
L
0
ρl (y )dy
|y k − y |=
1
4 π ε0
L
0
f (y ) dy
no intervalo 0 < y < L será
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =
N k =1
f (y k ) ∆y
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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aplicando
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =N
k =1
f (y k ) ∆y
obtemos
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y k − y 1|+
ρ2 ∆
|y k − y 2|+
· · ·+ρN ∆
|y k − y N |
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Introdução
Método das Diferenças FinitasMétodo dos Momentos
Método dos Momentos
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aplicando
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =N
k =1
f (y k ) ∆y
obtemos
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y k − y 1|+
ρ2 ∆
|y k − y 2|+
· · ·+ρN ∆
|y k − y N |
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
li d
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aplicando
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =
N k =1
f (y k ) ∆y
obtemos
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y k − y 1|+
ρ2 ∆
|y k − y 2|+
· · ·+ρN ∆
|y k − y N |
Carvalho Eletromagnetismo Computacional
Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
li d
Page 102
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aplicando
L0
f (y )dy = f (y 1) ∆y +f (y 2) ∆y +· · ·+f (y N ) ∆y =
N k =1
f (y k ) ∆y
obtemos
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y k − y 1|+
ρ2 ∆
|y k − y 2|+
· · ·+ρN ∆
|y k − y N |
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
como temos N pontos, aplicando
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p , p
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y k − y 1|+
ρ2 ∆
|y k − y 2|+· · ·+
ρN ∆
|y k − y N |
para cada ponto obtemos o sistema de equações lineares
4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|
+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|
+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y 2 − y 1|+
ρ2 ∆
|y 2 − y 2|+ · · ·
ρN ∆
|y 2 − y N |
.
..
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y N − y 1|+
ρ2 ∆
|y N − y 2|+ · · ·
ρN ∆
|y N − y N |
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
como temos N pontos, aplicando
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p , p
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y k − y 1|+
ρ2 ∆
|y k − y 2|+· · ·+
ρN ∆
|y k − y N |
para cada ponto obtemos o sistema de equações lineares
4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|
+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|
+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y 2 − y 1|+
ρ2 ∆
|y 2 − y 2|+ · · ·
ρN ∆
|y 2 − y N |
.
..
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y N − y 1|+
ρ2 ∆
|y N − y 2|+ · · ·
ρN ∆
|y N − y N |
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
como temos N pontos, aplicando
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p p
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y k − y 1|+
ρ2 ∆
|y k − y 2|+· · ·+
ρN ∆
|y k − y N |
para cada ponto obtemos o sistema de equações lineares
4 π ε0 V 0 = ρ1 ∆|y 1 − y 1|
+ ρ2 ∆|y 1 − y 2|
+ · · · ρN ∆|y 1 − y N |
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y 2 − y 1|+
ρ2 ∆
|y 2 − y 2|+ · · ·
ρN ∆
|y 2 − y N |
.
..
4 π ε0 V 0 =ρ1 ∆
|y N − y 1|+
ρ2 ∆
|y N − y 2|+ · · ·
ρN ∆
|y N − y N |
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Introdução
Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
escrevendo na forma matricial
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[A][ρ] = [B ]
em que
[A] =
A11 A12 · · · A1N
A21 A22 · · · A2N ...
...
AN 1 AN 2 · · · ANN
,
Ann
= 2 ln ∆a
Amn =∆
|y m −y n |
[B ] = 4 π ε0 V 0
1
1...
1
[ρ] =
ρ1
ρ2...
ρN
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
escrevendo na forma matricial
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[A][ρ] = [B ]
em que
[A] =
A11 A12 · · · A1N
A21 A22 · · · A2N ...
...
AN 1 AN 2 · · · ANN
,
Ann
= 2 ln ∆a
Amn =∆
|y m −y n |
[B ] = 4 π ε0 V 0
1
1...
1
[ρ] =
ρ1
ρ2...
ρN
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Método das Diferenças Finitas
Método dos Momentos
Método dos Momentos
escrevendo na forma matricial
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[A][ρ] = [B ]
em que
[A] =
A11 A12 · · · A1N
A21 A22 · · · A2N ...
...
AN 1 AN 2 · · · ANN
,
Ann
= 2 ln ∆a
Amn =∆
|y m −y n |
[B ] = 4 π ε0 V 0
1
1...
1
[ρ] =
ρ1
ρ2...
ρN
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