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Aula 6: rea e Permetro de Figuras Planas Esta aula tem como
objetivo conhecer as caractersticas da superfcie de figuras planas.
As aplicaes do clculo de rea, permetro e baricentro de figuras
planas tem grande aplicao na engenharia, como por exemplo, no
clculo de oramento para materiais comercializados em unidades de
rea. Por outro lado, o clculo de rea est presente nos principais
ensaios mecnicos relacionados Fora e Tenso (trao, compresso, toro,
cisalhamento, flexo). 6.2. reas de Figuras Planas Regulares
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Fonte: CARVALHO, Benjamin A. Desenho Geomtrico.
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6.2. Clculo de rea por Reduo de Polgono Tringulo Para obter a
rea de um polgono qualquer (no-regular), pode-se utilizar uma
tcnica grfica de reduo de seus nmero de lados para 3, gerando um
tringulo com rea equivalente e assim, poder calcular a rea atravs
da frmula (B x H) / 2.
Para o clculo da rea do quadriltero irregular abaixo, procede-se
da seguinte maneira:
1) Una C A e trace uma reta por D, paralela a C A; 2) Trace uma
reta horizontal, a partir de A, de modo a cruzar a reta paralela a
C A, formando o ponto E; 3) A rea do tringulo EBC equivalente rea
da figura ABCD.
Abaixo, um polgono irregular de 5 lados. Procede-se da mesma
maneira que o exemplo anterior, reduzindo os dois lados do polgono
a tringulos. O tringulo DFG tem rea equivalente figura ABCDE.
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6.3. Ampliao e Reduo de rea de Figuras O processo grfico para
reduzir ou ampliar a rea de uma figura, mantendo sua semelhana e de
acordo com uma razo dada descrito abaixo. No exemplo, o objetivo
gerar uma figura igual ao dobro da rea da figura original.
1) Pelo ponto B (ponto da base do polgono), traa-se uma reta
vertical, com o comprimento da aresta A B; 2) Com o compasso fixado
em A, abertura at o ponto E, traa-se um arco at F, obtido pelo
prolongamento horizontal a partir de B; 3) A partir de F, traa-se
uma reta paralela a BC; 4) Traar uma reta com origem em A que passe
pelo ponto C at cruzar a reta desenhada anteriormente, formando o
ponto G; 5) Por G, traar uma paralela a CD; 6) Prolongar AD at
cruzar a reta anterior, formando o ponto H; 7) A figura AFGH tem o
dobro da rea da figura ABCD. Se o objetivo reduo de rea, faz-se um
processo semelhante, mas ao invs da reta partir de uma extremidade
da base do polgono, parte-se de um ponto interior da reta, de
acordo com o valor da reduo. No exemplo abaixo, a razo de reduo foi
de .
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6.4. Clculo de reas por Integrao Grfica Em superfcies complexas,
podemos obter sua rea aproximada atravs de um processo grfico de
integrao, onde divide-se a superfcie em partes e, ao final, faz-se
uma transformao destas partes em um retngulo, onde possvel obter o
valor da rea. Quanto mais partes, menor ser a discrepncia entre o
valor real e o obtido por este processo..
1) Traar a reta x pelos pontos mais afastados O, H; 2) Pelos
mesmos pontos traar as perpendiculares y, y ; 3) Dividir as duas
superfcies obtidas em certo nmero de faixas paralelas s retas
yy , formando figuras prximas a figuras regulares; 4) Projetar
os pontos mdios M, N, P,... sobre a reta y , obtendo os pontos 1,
2, 3, ....; 5) Traar 1 paralela a O1; 2 paralela a O2; 3 paralela a
O3... at determinar os pontos
B, D; 6) A rea da figura igual rea do retngulo ABCD.
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6.5. EXERCCIOS 1) Obtenha a rea das superfcies hachuradas
abaixo:
a)
75
R20
b) 90
35
20 20
c)
R40 R20
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d)
60
60 R30
30
30
2) Calcule a rea do hexgono abaixo utilizando dois processos
diferentes: a) Atravs da frmula descrita na tabela no incio desta
aula; b) Atravs da diviso do polgono em 6 tringulos eqilteros.
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69,28
3) Deduza a frmula para o clculo da rea do trapzio:
b
h
a
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4) Obtenha a rea do polgono abaixo, atravs da tcnica de reduo
polgono tringulo.
4) Obtenha um polgono com rea equivalente ao dobro da rea
original do polgono abaixo:
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5) Obtenha a rea da superfcie abaixo:
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Aula 7: Volume de Slidos Conhecer o volume de um componente um
dado importante para a rea de engenharia. Peas fundidas so oradas
pela quantidade (massa) de matria-prima que necessria sua formao.
Motores, dispositivos, equipamentos e estruturas so calculados e
dimensionados de acordo com o peso (massa) de seus componentes.
Abaixo, seguem as frmulas para obteno do volume e tambm da rea da
superfcie de slidos regulares:
Extrado de Protec Projetista de Mquinas
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6.1. Volume de Slidos Compostos
Para obteno do volume de slidos no regulares (compostos),
divide-se o slido em partes formadas por slidos simples, dos quais
pode-se calcular o valor da rea e, ao final, realizar a somatria
dos volumes das partes, obtendo o volume total. Veja o exemplo:
1) Volume 1 - hexaedro: 120 * 100 * 30; 2) Volume 2 hexaedro:
120 * 40 * 40; 3) Volume 3 semi-esfera: ( * 60 * 40)/2; 4) Volume
4
furos: 2*( * 12 * 30)
Frmula:
4321 VVVVVT
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6.2. Sees Planas em Slidos
As sees planas so obtidas atravs da adio de planos
auxiliares
os planos de corte que so posicionados de acordo com a regio do
slido que se deseja obter a seo.
Exemplo: Dadas aos coordenadas de uma pirmide de base quadrada,
obter a seo a partir de um plano no primeiro quadrante, o qual
forma um ngulo de 45 com o plano horizontal ( ), rotacionado a
partir do eixo dos afastamentos. Vista espacial do sistema de
planos:
Planos de Projeo e Plano de Corte
Vista Planificada:
Projeo da pirmide nos trs planos, com o plano de corte
representado na projeo vertical. No plano horizontal,
observa-se a seo produzida pelo plano de corte.
Os mesmos planos, a partir de um outro ponto de vista, para
melhor visualizar a interseco entre o plano de corte e o
poliedro.
(A) = 3, 9, 2 (B) = 3, 2, 2 (C) = 11, 2, 2 (D) = 11, 9, 2 (V) =
7, 5.5, 10
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Para se obter a verdadeira grandeza da seo, segue o procedimento
abaixo:
1) Traar a reta r paralela ao plano ; 2) Traar as retas s e t ,
perpendiculares reta r a partir dos pontos de interseco
do plano com o poliedro; 3) Obter (com o compasso) a medida M 1;
4) A partir de r , marcar esta medida, obtendo o ponto 5; 5)
Repetir o processo para M 2 obtendo o ponto 6; 6) N 4 ir determinar
o ponto 8; 7) N 3 para obter o ponto 7.
Rebatimento da seo para obteno da verdadeira grandeza.
r
s t
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6.3. EXERCCIOS 1) Obter o volume total dos slidos abaixo: a)
b)
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2.1) Projetar em pura (representao das vistas) o slido definido
pelos pontos abaixo, segundo os planos de projeo ,
e , definindo a visibilidade das suas arestas.
Base inferior: Base Superior: (A) = 4, 7, 1 (E) = 1, 7, 7 (B) =
8, 8, 1 (F) = 5, 8, 7 (C) = 8, 2, 1 (G) = 5, 2, 7 (D) = 4, 3, 1 (H)
= 5, 2, 7 2.2) Obter a seo gerada por um plano de corte que forma
um ngulo de 45 com o plano horizontal ( ), rotacionado a partir do
eixo dos afastamentos. 2.3) Obter (grfica e algebricamente) a rea
real da seo atravs de seu rebatimento. 2.4) Calcular o volume total
do slido, desconsiderando a existncia do corte.
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Aula 8: Planificao de Poliedros A planificao um importante
recurso utilizado no desenvolvimento de superfcies planificadas,
para posterior montagem e/ou conformao. As aplicaes clssicas da
planificao de poliedros esto na calderaria e no corte e dobramento
de chapas. Empresas de embalagem rgidas e flexveis tambm fazem uso
dos mtodos grficos para planificao de objetos.
Para se poder efetuar o desenho de um poliedro planificado,
inicia-se pela interpretao do seu formato e dimenses. Numera-se
cada vrtice do objeto. Em seguida, constri-se as trs duas
principais (Vertical e Horizontal ou vertical e lateral, dependendo
do formato). Pela infinita variedade de formas e dimenses, no
existem procedimentos padro a serem adotados para se determinar
como ser a planificao final. Portanto, cada tipo de poliedro tem
seus procedimentos especficos. Voc ver a seguir, dois exemplos de
planificao aplicados a um prisma reto e a um tronco de prisma reto
de seo retangular.
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Extrado de Protec
Desenhista de Mquinas
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Aula 9: Mtodos Grficos na Engenharia Diversos problemas de
engenharia podem ser resolvidos e/ou elucidados atravs de construes
geomtricas especiais. Algumas dessas construes tm sua finalidade
demonstrada na definio formal de elementos mecnicos muito
conhecidos, como motores e bombas. Por outro lado, os mtodos
grficos podem auxiliar o engenheiro na visualizao de trajetrias de
movimento de elementos mecnicos, tanto rotacionais quanto lineares.
Esta aula aborda algumas, entre as centenas de construes
existentes.
9.1. Curva Logartmica
123 1 2 3
A
B
C
D
B C D
0
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9.2. Mais Curto Caminho entre Dois Pontos, a partir de uma
reta
A
B
A
0
9.3. Voluta Jnica
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9.4. Espiral de Arquimedes
9.5. Lugar Geomtrico da Trajetria de um Ponto
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A
9.6. EXERCCIOS 1) Obter a curva logartmica a partir do ponto A
do grfico abaixo:
2) Definir o mais curto caminho entre os pontos C e D abaixo, a
partir da reta s :
CD
s
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3) Determinar a trajetria elptica do ponto C
abaixo:
B
A
C
4) Traar uma voluta jnica a partir de uma circunferncia de
dimetro 20mm. 5) Traar uma espiral de arquimedes a partir de uma
circunferncia de dimetro 80mm.