ENG.ECONÔMICA DE AVALIAÇÕES DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO ADM 1135 Aula 3 Taxa Equivalente e Taxa Proporcional Toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere a taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. Admita, por exemplo, que um empréstimo foi realizado a uma taxa nominal de 24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual. A seguir deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados são coincidentes. Em inúmeras operações estes prazos não são coincidentes. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período da capitalização. Faz-se necessário o uso de fórmulas de matemática financeira para expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. No regime de juros simples, diante da própria natureza linear, esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros. Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de
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ENG.ECONÔMICA DE AVALIAÇÕES DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃOADM 1135
Aula 3
Taxa Equivalente e Taxa Proporcional
Toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere a taxa de juros; e (2) o
prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.
Admita, por exemplo, que um empréstimo foi realizado a uma taxa nominal de 24% ao
ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual. A seguir deve-se
identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer que os encargos
incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados são
coincidentes.
Em inúmeras operações estes prazos não são coincidentes. O juro pode ser
capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser definido como o
prazo da taxa será rateado ao período da capitalização. Faz-se necessário o uso de fórmulas
de matemática financeira para expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo.
Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o de capitalização ou, de maneira inversa,
o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros.
No regime de juros simples, diante da própria natureza linear, esta transformação é
processada pela denominada taxa proporcional de juros. Esta taxa proporcional é obtida da
divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que
ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 24% ao ano, se a capitalização for definida
mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que
incidirá sobre o capital a cada mês será:
Taxa Proporcional = ao mês
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em operações de
curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos
de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária,
etc.
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital
e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.
Por exemplo, em juros simples, um capital de R$500.000,00, se aplicado a 2,5% ao
mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros.
A análise de investimento empresarial pode ser utilizada com os seguintes objetivos:
- Definir dentre vários projetos de investimento qual o mais rentável.
- Calcular a rentabilidade de um determinado projeto de investimento.
- Determinar o volume mínimo de vendas que um projeto de investimento precisa gerar para
que possa ser rentável.
- Definir o tamanho ideal de um projeto de investimento.
Métodos de análise
Os métodos de análise de investimento se dividem em dois grupos: métodos práticos e
métodos analíticos. Os primeiros são imprecisos e podem conduzir a decisões erradas,
embora sejam utilizados por muitas empresas, principalmente as pequenas e médias. Os
métodos analíticos baseiam-se no valor do dinheiro no tempo, o que os torna consistentes.
Para ilustrar a utilização dos vários métodos de análise de investimento usaremos o seguinte
projeto de investimento que designaremos por P:
- Valor do investimento é de R$ 100.000 ,00
- Vida útil: 10 anos
- Valor residual: zero
- Entradas anuais de caixa: 29.925,21 - Saídas anuais de caixa: 10.000,00
O fluxo de caixa correspondente a esse projeto de investimento é o seguinte:
Anos Investimento Entradas Saídas Fluxo de
de caixa de caixa Caixa
0 -100.000,00 -100.000,00
1 29.925,21 10.000,00 19.925,21
2 29.925,21 10.000,00 19.925,21
3 29.925,21 10.000,00 19.925,21
4 29.925,21 10.000,00 19.925,21
5 29.925,21 10.000,00 19.925,21
6 29.925,21 10.000,00 19.925,21
7 29.925,21 10.000,00 19.925,21
8 29.925,21 10.000,00 19.925,21
9 29.925,21 10.000,00 19.925,21
10 29.925,21 10.000,00 19.925,21
Métodos práticos
Existem dois métodos práticos de análise de investimento: taxa de retorno contábil e tempo
de retorno.
Taxa de retorno contábil
A taxa de retorno contábil é a relação entre o fluxo de caixa anual esperado e o valor do
investimento. Tem dois pontos fracos: não considera o valor do dinheiro no tempo e
implicitamente admite que a vida útil dos ativos tem duração infinita. Esta última premissa
torna a taxa de retorno contábil superavaliada em comparação com a taxa interna de retorno
que é o parâmetro correto.
A taxa de retorno do projeto P é:
19.925,21÷ 100.00,00 = 19,92 ou 19,92% ao ano.
Tempo de retorno (Payback)
O tempo de retorno, também conhecido como Payback, é a relação entre o valor do
investimento e o fluxo de caixa do projeto. O tempo de retorno indica em quanto tempo
ocorre a recuperação do investimento. Os pontos fracos desse método são:
- Não considera o valor do dinheiro no tempo.
- Não considera os fluxos de caixa após a recuperação do capital.
- Não pode ser aplicado quando o fluxo de caixa não é convencional. Um fluxo de caixa não
convencional é aquele em que existe mais de uma mudança de sinal (negativo para positivo
ou vice-versa).
No projeto P o tempo de retorno é:
100.00,00 ÷ 19.925,21 = 5,01 anos
Métodos Analíticos
Os métodos analíticos são precisos porque se baseiam no valor do dinheiro no tempo. A
precisão mencionada se refere à metodologia utilizada para analisar os dados do projeto.
O valor do dinheiro no tempo para cada empresa é expresso por um parâmetro denominado
Taxa Mínima de Atratividade (TMA). Essa taxa é específica para cada empresa e representa
a taxa de retorno que ela está disposta a aceitar em um investimento de risco (projeto
empresarial) para abrir mão de um retorno certo num investimento sem risco no mercado
financeiro.
Os métodos analíticos empregados em análise de investimentos são o Valor Presente
Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR).
Valor Presente Líquido
O valor presente líquido (VPL) de um projeto de investimento é igual ao valor presente de
suas entradas de caixa menos o valor presente de suas saídas de caixa. Para cálculo do
valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a Taxa Mínima de Atratividade
(TMA) como taxa de desconto. O valor presente líquido calculado para um projeto significa o
somatório do valor presente das parcelas periódicas de lucro econômico gerado ao longo da
vida útil desse projeto. O lucro econômico pode ser definido como a diferença entre a receita
periódica e o custo operacional periódico acrescido do custo de oportunidade periódico do
investimento.
Utilizando uma calculadora financeira e considerando-se uma TMA de 10% ao ano,
encontramos para o projeto de investimento P um Valor Presente Líquido de R$
R$20.392,54. Se considerarmos uma TMA de 15% ao ano, o Valor Presente Líquido do
Projeto será zero. Para uma TMA de 0%, o lucro econômico periódico se confunde com o
lucro contábil periódico e o valor presente líquido é igual ao somatório dos lucros contábeis
periódicos.
Podemos ter as seguintes possibilidades para o Valor Presente Líquido de um projeto de
investimento:
- Maior do que zero: significa que o investimento é economicamente atrativo, pois o valor
presente das entradas de caixa é maior do que o valor presente das saídas de caixa.
- Igual a zero: o investimento é indiferente pois o valor presente das entradas de caixa é igual
ao valor presente das saídas de caixa.
- Menor do que zero: indica que o investimento não é economicamente atrativo porque o
valor presente das entradas de caixa é menor do que o valor presente das saídas de caixa.
Entre vários projetos de investimento, o mais atrativo é aquele que tem maior Valor Presente
Líquido.
Taxa Interna de Retorno
A Taxa Interna de Retorno é o percentual de retorno obtido sobre o saldo investido e ainda
não recuperado em um projeto de investimento. Matematicamente, a Taxa Interna de
Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor ao
presente das saídas de caixa do projeto de investimento.
Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de
Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do
que 15% ao ano.
A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:
- Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é
economicamente atrativo.
- Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação
de indiferença.
- Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente
atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento sem risco.
Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno.
Dificuldades na análise de investimentos
A principal dificuldade na análise de investimentos é a obtenção de dados confiáveis,
principalmente as projeções de entradas de caixa. Estas se originam basicamente das
estimativas de vendas.
Quando as estimativas sobre os dados do projeto de investimento são imprecisas, é
recomendável que a análise de investimentos utilize três hipóteses: provável, otimista e
pessimista. Desse modo, a análise de investimentos produzirá uma Taxa Interna de Retorno
ou Valor Presente Líquido máximo, médio e mínimo esperados.
A metodologia de análise de investimentos apresentada, na qual os dados são considerados
como certos, é denominada determinística. A taxa interna de retorno e o valor presente
líquido podem ser enriquecidos com técnicas mais sofisticadas (árvore de decisão, análise
de Monte Carlo, regra de Laplace, regra de Hurwicz etc.) para lidar com o risco e a incerteza
relacionados com os dados do projeto.
Investimento no mercado financeiro
A análise de investimentos no mercado financeiro é utilizada principalmente para auxiliar as
decisões de aplicação em títulos e ações.
Investimento em títulos
A análise de investimentos em títulos permite determinar dois parâmetros:
- A taxa de juros a ser auferida com um título com base em seu preço de compra, no fluxo de
caixa projetado e no valor de resgate. O instrumento de análise utilizado para isso é a Taxa
Interna de Retorno do fluxo de caixa projetado.
- O preço de um título com base em seu fluxo de caixa projetado e no retorno desejado no
mercado para esse título. O Instrumento de análise é o Valor Presente Líquido do fluxo de
caixa projetado.
Investimento em ações
A análise de investimentos em ações permite determinar dois parâmetros:
- A taxa de juros a ser auferida: é calculada com base no preço de compra da ação e no fluxo
de caixa projetado (recebimento de dividendos). Neste caso, o objetivo do investimento é a
renda e, assim, o valor de revenda da ação não tem significado relevante para a decisão.
Habitualmente, esse valor de revenda é estimado como sendo igual ao valor de compra.
- O preço justo para uma ação: é calculado com base no fluxo de caixa projetado
(recebimento de dividendos) e na taxa de juros desejada pelo mercado como um todo.
O Instrumento de análise para o calcular os dois parâmetros mencionados é o modelo de
Gordon e Shapiro. Este modelo estabelece a relação entre o Valor Presente Líquido (preço
da ação), o dividendo, a taxa de juros e a taxa de crescimento dos dividendos.
O modelo de Gordon e Shapiro é representado pela seguinte fórmula :
p = d ÷ (r - g)
Sendo, p = preço da ação
d = dividendo anual da ação
r = taxa de juros no mercado
g = taxa de crescimento dos dividendos
Exemplos:
1. O preço de uma ação é R$ 45,00. Ela paga um dividendo de R$ 4,50 e espera-se que esse dividendo terá um crescimento anual de 2%. A taxa de juros a ser auferida por um investidor que entesoure essa ação será:
p = d ÷ (r - g) r - g = d ÷ p r - 0,02 = 4,5 ÷ 45 = 0,1 r = 0,1 + 0,02 = 0,12 ou 12% ao ano.
2. Uma ação paga um dividendo anual de R$ 3,00. É esperada uma taxa de crescimento de 4% ao ano no valor do dividendo. A taxa de juros do mercado é de 10% ao ano. O preço justo para essa ação seria:
p = d ÷ (r - g) = 3 ÷ (0,1 - 0,04) = 50
Bibliografia
CASAROTTO Filho, N. e Kopittke, B. H. Análise de Investimentos. Editora da UFSC. DE FRANCISCO, Walter – Matemática Financeira – 7ª ed. São Paulo: Atlas, 1999.HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia Econômica e Análise de Custos. 7ª ed.S
Exercícios para entregar em 07/05/04
Problemas propostos sobre juros simples
1) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano,
durante 7 meses.
2) Um capital de R$ 150.000,00, aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 43.750,00.
Determinar a taxa anual.
3) Durante 855 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a
taxa de juros é de 4% a.m., determinar o valor do capital aplicado.
4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultante de aplicação de
certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses?
5) Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo
de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre?
6) Em quanto tempo um capital de R$ 800.000,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um
montante de R$ 1.000.000,00?
7) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3
meses, produz um montante de R$ 600.000,00.
8) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor?
9) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do seu
valor?
10) Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00 à
taxa de 7,2% ao mês?
Problemas propostos sobre descontos simples
11)Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada
à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ao cliente:
a) de acordo com o conceito de desconto comercial;
b) de acordo com o conceito de desconto racional.
12)Calcular o valor do desconto, comercial e racional, de um título de R$ 100.000,00, com
115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês para ambos os
critérios.
13)Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, com 150 dias a
vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal
de desconto, de acordo com a conceituação comercial e racional.
14)Dois títulos, no valor de R$ 10.000,00 cada um, foram descontados à taxa de 2,5% ao
mês, gerando um desconto de R$ 1.000,00 para cada um deles. Sabendo-se que a
operação com um dos títulos foi feita de acordo com o conceito de desconto comercial, e
com o outro de acordo com o conceito de desconto racional, calcular os prazos dos
respectivos títulos.
15)Uma pessoa deve pagar R$200,00 daqui a dois meses. A juros simples de 5% ao ano,
determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a três meses que liquide
a dívida.
16)Um banco cobra, em seus financiamentos, a taxa administrativa de 2% e sua taxa de
juros corrente é de 29% a.a. Que financiamento por 3 meses deverá um cliente pedir a
este banco se esta pessoa necessitar de R$ 10.000,00?
17)Uma Nota Promissória no valor nominal de R$ 16.800,00 foi descontada em um banco
que cobra 1% de taxa de serviço. O valor descontado bancário recebido foi de R$
15.00,00, uma vez que a taxa de juros considerada fora de 33% a.a. Com base nestas
informações, pergunta-se: Qual foi o prazo de antecipação do resgate?
18)O valor descontado comercial de uma promissória é igual a um quarto de seu valor
nominal. Qual será a taxa de desconto comercial anual, se o prazo de antecipação do
resgate for de 8 meses.
19)O valor atual de uma promissória é de R$ 1.449,28, tendo sido adotada a taxa de 18%
a.a. Qual será o prazo de antecedência, se o desconto racional for de R$ 50,72?
20)Um título a vencer em 90 dias, no valor de R$ 10.000,00, foi descontado por R$ 9.375,00
(valor atual comercial). Qual é a taxa de desconto e qual a taxa efetiva?
Exercícios sobre Fluxo de Caixa
1) Um bem custa R$ 400,00 a vista. Com uma entrada de R$50,00, deve-se 24 prestações
de quanto, se considerarmos 5% a.m.?
2) Valor à vista = R$5000,00 ; Entrada = R$1000,00. A 4% a.m., quantas prestações de
R$500,00 serão necessárias ? e mais quanto ?
3) Valor à vista = R$5000,00 ; Entrada = R$1500,00
a) A 2% a.m., quantas prestações de R$500,00 serão necessárias ?
b) e mais quanto ?
c) Quanto falta pagar ainda, depois da 4ª prestação ?
4) Calcular o Valor Presente e o ValorFuturo (supondo 1% a.m.) do Fluxo:
5) Um bem custa R$3000,00 a vista. Com uma entrada de R$600,00 e considerando 3%
a.m., deve-se 18 prestaçõesde quanto?
6) Calcular a Série Uniforme equivalente(supondo 0,8% a.m.) ao Fluxo:
7) Calcular a Série Uniforme equivalente(supondo 0,5% a.m.) ao Fluxo:
8) Calcular o Valor Futuro (supondo 1%a.m.) do Fluxo:
9) Calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) do Fluxo:
10)Calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) do Fluxo:
11) Uma companhia planeja depositar R$ 10.000,00 num fundo de reserva no fim de cada
ano, durante 5 anos. Se o fundo paga uma taxa de 10% a.a. com capitalização trimestral,
quanto a companhia terá no fim do sétimo ano ?
12)Com uma taxa de 2% a.m., receber R$ 200,00 a cada 2meses do 2º ao 10º mês,
corresponde areceber quanto, mensalmente, do 1º ao 10º ?
13)Com uma taxa de 5% a.m., receber R$ 200,00 a cada 2meses do 2º ao 20º mês e pagar
R$200,00 no mês seguinte, do 3º ao 19º mês,corresponde a receber quanto,
mensalmente, do 1º ao 20º?
14)Uma compra custaria R$2004,56 a vista, mas foi paga com R$500,00 de entrada e 18
parcelas mensais de R$96,00. Usando a mesma taxa de juros,seria possível saldar estes
R$2004,56 pagando R$20,00 nosegundo mês, R$40,00 no terceiro mês, R$60,00
noquarto mês e assim em diante, até quando ? e terminaria de saldar a dívida pagando
mais quanto no mês seguinte ?
15)Calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) do Fluxo:
16) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 10.000,00 em um banco,
trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% do valor nominal do
título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e
1% do valor nominal do título como imposto financeiro, no momento do desconto
do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real paga
pela empresa?
( A ) 3,09% ao mês
( B ) 4,00% ao mês
( C ) 4,71% ao mês
( D ) 4,59% ao mês
( E ) 4,50% ao mês
17)Um financiamento externo é contratado a uma taxa nominal de 12% ao ano com
capitalização semestral. Obtenha a taxa efetiva anual desse financiamento.
( A ) 12,36%
( B ) 11,66%
( C ) 10,80%
( D ) 12,44%
( E ) 12,55%
18)Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser amortizado em 12 prestações
mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a uma
taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do financiamento imediatamente
após o pagamento da sexta prestação.
( A ) R$ 9.954,00
( B ) R$ 10.834,38
( C ) R$ 10.252,62
( D ) R$ 10.000,00
( E ) R$ 12.000,00
19)Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo
dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com credor um pagamento único
equivalente no dia do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento
considerando juros simples de 4% ao mês.
a) R$ 11.800,00
b) R$ 12.006,00
c) R$ 12.200,00
d) R$ 12.800,00
e) R$ 13.486,00
20)Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento
de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor
nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto
ano o país deve pagar último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que
os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o
valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos
de registro da operação, de intermediação, etc.
a) 16%
b) 14%
c) 12%
d) 10%
e) 8%
21) Faça uma Resenha Crítica sobre o texto - Análise Fundamentalista – destacando os